Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 13, Notas de estudo de Geometria
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Poĺıgonos regulares MÓDULO 1 - AULA 13

Aula 13 – Poĺıgonos regulares

Objetivos

• Determinar a área de poĺıgonos regulares.

Introdução

Um poĺıgono é chamado equilátero se todos os seus lados são congruen-

tes. É chamado equiângulo se todos os seus ângulos internos são congruentes.

Um poĺıgono que é ao mesmo tempo equilátero e equiângulo é chamado re-

gular. Veja na figura 253 alguns exemplos de poĺıgonos regulares.

Fig. 253: Poĺıgonos regulares.

Você pode estar se perguntando se as duas definições não significam a

mesma coisa. Na verdade, se estivermos falando de triângulos, as duas pro-

priedades são equivalentes. Isso acontece por causa da propriedade que têm

os triângulos de o maior ângulo se opor ao maior lado, e vice-versa. Assim, se

um triângulo é equilátero, então, como conseqüência, todos os seus ângulos

são iguais e ele é equiângulo. Da mesma forma, se um triângulo tem todos os

ângulos congruentes, prova-se que seus lados também são congruentes. Por-

tanto, para mostrar que um dado triângulo é regular, basta mostrar que ele

é equilátero ou que ele é equiângulo, não sendo necessário verificar as duas

coisas.

No caso de poĺıgonos com mais de três lados isso não é verdade, nem

mesmo para quadriláteros. Um retângulo com base e altura não congruentes

é equiângulo, pois todos os seus ângulos são retos, mas não é equilátero. Um

losango que não seja quadrado é equilátero, mas não é equiângulo (figura

254).

(a)

(b)

Fig. 254: (a)Equiângulo mas não equilátero. (b) Equilátero mas não equiângulo. 163 CEDERJ

Poĺıgonos regulares

Quando acontece de existir um ćırculo contendo todos os vértices de

um poĺıgono, dizemos que esse poĺıgono está inscrito em tal ćırculo, ou que

ele é inscrit́ıvel. Quando ocorre de existir um ćırculo que é tangente a todos

os lados de um poĺıgono, dizemos que esse poĺıgono está circunscrito a tal

ćırculo, ou que ele é circunscrit́ıvel. Veja a figura 255.

(a) (b) (c)

Fig. 255: a) Poĺıgono inscrito (o poĺıgono não é regular)). b) Poĺıgono circunscrito (o poĺıgono não é

regular). c) Poĺıgono regular inscrito.

Vamos provar que todo poĺıgono regular é inscrit́ıvel e circunscrit́ıvel.

Para isso considere um poĺıgono regular P = A1A2 . . . An qualquer. Tracemos

as mediatrizes dos lados A1A2 e A2A3, as quais encontram-se num ponto O.

A figura 256 mostra um caso particular em que P é um pentágono.

o

A 1

A 2

A 3

A 4 A 5

Fig. 256: Pentágono regular A1A2A3A4A5.

Como O está na mediatriz do lado A1A2, então a distância de O aos

vértices A1 e A2 é a mesma, que chamaremos r. Pelo mesmo motivo, a

distância de O a A3 é a mesma distância r de O a A2. Os triângulos OA1A2

e OA2A3 são, assim, isósceles. Além disso, OA1A2 ≡ OA2A3, por L.L.L.. Se- gue que os ângulos OÂ1A2, OÂ2A1, OÂ2A3 e OÂ3A2 são todos congruentes.

CEDERJ 164

Poĺıgonos regulares MÓDULO 1 - AULA 13

Como A1Â2A3 ≡ A2Â3A4 (pois o poĺıgono é equiângulo), conclui-se que OÂ3A4 ≡ OÂ3A2. Por L.A.L., os triângulos OA3A4 e OA3A2 são congruen- tes, donde se conclui que OA4 ≡ OA2. Assim, tem-se que a distância entre O e A4 é também r. Da mesma forma se prova que a distância do ponto O

aos outros vértices do poĺıgono P é também r. Conseqüentemente, o ćırculo

de centro O e raio r passa por todos os vértices do poĺıgono P .

Além disso, os triângulos OA1A2, OA2A3, . . ., OAnA1 são todos con-

gruentes. Segue que os segmentos unindo o ponto O aos pontos médios

de cada lado são todos congruentes. Chamemos de a a medida desses seg-

mentos. Como esses segmentos são perpendiculares aos lados do poĺıgono

P , conclúımos que o ćırculo de centro O e raio a é tangente a todos os

lados de P .

Provamos, assim, que:

Todo poĺıgono regular é inscrit́ıvel e circunscrit́ıvel

O ponto O considerado na demonstração anterior é chamado centro do

poĺıgono regular, e o número a é chamado apótema. Também chamaremos

de apótema a todo segmento ligando O ao ponto médio de um dos lados.

Veja na figura 257 um hexágono regular e os ćırculos em que está ins-

crito e circunscrito.

Fig. 257: Ćırculos inscrito e circunscrito a um hexágono regular.

Um poĺıgono, contudo, pode ser inscrit́ıvel ou circunscrit́ıvel sem ser

regular, como mostra a figura 255. Por outro lado, existem poĺıgonos que

não são inscrit́ıveis, ou circunscrit́ıveis. Veja a figura 258.

(a) (b)

Fig. 258: a) Poĺıgono não inscrit́ıvel. b) Poĺıgono não circunscrit́ıvel.

165 CEDERJ

Poĺıgonos regulares

Veremos a seguir um critério que permite decidir se um quadrilátero

qualquer é inscrit́ıvel ou não. Primeiro consideremos um quadrilátero ABCD

inscrito no ćırculo Γ, como na figura 259.

A

B

C

D

G

Fig. 259: ÂQuadrilátero inscrito.

Os ângulos ˆBAD e ˆBCD são ângulos inscritos em Γ, e os arcos de-

terminados por esses ângulos compõem o ćırculo completo, intersectando-se

apenas nos extremos. Dáı, conclui-se que 2 ˆBAD + 2 ˆBCD = 360o, ou seja, ˆBAD + ˆBCD = 180o e esses ângulos são suplementares. Do mesmo modo,

são suplementares os ângulos ˆADC e ˆABC.

Reciprocamente, suponhamos que ABCD seja um quadrilátero tal que

os ângulos opostos são suplementares. Tracemos o ćırculo Γ que contém os

pontos A, B e C. Vamos mostrar que o ponto D também está em Γ.

Suponhamos que o ponto D não esteja no ćırculo Γ. Nesse caso, há

duas possibilidades: D está no interior de Γ ou D está no exterior de Γ (veja

as duas possibilidades na figura 260).

A

B

C

D

(a) (b)

A

B

C

Γ Γ

D

Fig. 260: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.

Em qualquer das possibilidades, seja E o ponto em que a semi-reta −−→ BD

intersecta Γ, como na figura 261.

CEDERJ 166

Poĺıgonos regulares MÓDULO 1 - AULA 13

A

B

C

D E

(a)

A

B

C

D E

(b)

G G

Fig. 261: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.

Se D está no interior de Γ, temos ˆADB > ˆAEB e ˆCDB > ˆCEB,

donde se conclui que ˆADC > ˆAEC. Mas ˆADC e ˆABC são suplementares,

por hipótese, e ˆAEC e ˆABC são suplementares porque ABCE está inscrito

em Γ. Logo ˆADC ≡ ˆAEC. Mas já t́ınhamos conclúıdo que ˆADC > ˆAEC. Essa contradição mostra que D não pode estar no interior de Γ. Deixamos

como exerćıcio a prova de que D não pode estar no exterior de Γ.

Com isso mostramos a seguinte proposição:

Proposição 31

Um quadrilátero é inscrit́ıvel num ćırculo se e somente se seus ângulos inter-

nos opostos são suplementares.

Veja na proposição seguinte como fica a área de um poĺıgono regular.

Proposição 32

A área de um poĺıgono regular é a metade do produto do peŕımetro pelo

apótema.

Prova:

Se A1A2 . . . An é um poĺıgono regular de n lados, ligando cada um

de seus vértices ao centro O do poĺıgono, ficam determinados n triângulos

isósceles congruentes de base igual a m(A1A2) e altura igual ao apótema do

poĺıgono, que denotaremos por a. A área de cada um desses triângulos é m(A1A2)a

2 . Pelas propriedades de área, conclúımos que

AA1A2...An = n

( m(A1A2)a

2

) = nm(A1A2)a

2

Como nm(A1A2) é justamente o peŕımetro do poĺıgono, já que seus n

lados são todos congruentes a A1A2, fica demonstrada a proposição.

C.Q.D.

167 CEDERJ

Poĺıgonos regulares

Sejam Γ e Γ′ ćırculos com o mesmo centro O (dizemos nesse caso que

são concêntricos) e seja P = A1A2 . . . An um poĺıgono regular inscrito em Γ.

Definamos um poĺıgono P ′ inscrito em Γ′ da seguinte forma: B1 = −−→ OA1 ∩Γ′,

B2 = −−→ OA2 ∩ Γ′ etc. O poĺıgono assim definido é chamado projeção radial de

P sobre Γ′. Veja na figura 262 o caso particular em que P é um hexágono.

Nota: na figura 262, Γ′ é o ćırculo externo e Γ é o

ćırculo interno.

Os apótemas a e a′ são, respectivamente, a distância

do centro O até os lados dos

poĺıgonos P e P ′.

B 1 B2

B 6

B 3

B 5

B 4

A 1

A 2

A 6

A 3

A 4

A 5

O

Fig. 262: Projeção radial do hexágono.

Deixaremos como exerćıcio a prova de que P ′ também é regular. De-

terminaremos agora a relação entre as áreas de P e P ′. Para isso, chamemos

de r e r′ os raios de Γ e Γ′, a e a′ os apótemas, A e A′ as áreas e p e

p′ os peŕımetros de P e P ′, respectivamente. Já sabemos que A = 1

2 ap e

A′ = 1

2 a′p′. Considere os triângulos A1OA2 e B1OB2. Como ambos são

isósceles e têm o ângulo central ˆA1OA2 em comum, podemos concluir que

são semelhantes. Como conseqüência dessa semelhança, decorre que

r

r′ = m(A1A2)

m(B1B2) =

a

a′ (6)

onde a última igualdade vem do fato de a e a′ serem as alturas de A1OA2

e B1OB2 com respeito às bases A1A2 e B1B2. Como P e P ′ são regulares,

temos p = nm(A1A2), e p ′ = nm(B1B2), o que nos dá

p

p′ = m(A1A2)

m(B1B2) .

Substituindo na equação (6), obtemos

r

r′ =

p

p′ =

a

a′ .

CEDERJ 168

Poĺıgonos regulares MÓDULO 1 - AULA 13

Dáı conclúımos que

A

A′ =

ap

a′p′ = ( r

r′

)2 .

Um racioćınio análogo pode ser feito para os poĺıgonos circunscritos. A

fórmula acima será muito útil na próxima aula, quando faremos o cálculo da

área do ćırculo.

Resumo

Nesta aula você aprendeu...

• O que são poĺıgonos regulares.

• Que todo poĺıgono regular é inscrit́ıvel e circunscrit́ıvel.

• Que um poĺıgono pode ser inscrit́ıvel ou circunscrit́ıvel sem ser regular.

• Que existem poĺıgonos que não são inscrit́ıveis ou circunscrit́ıveis.

• Um critério para verificar se um quadrilátero é inscrit́ıvel ou não.

• A fórmula para calcular a área de um poĺıgono regular.

Exerćıcios

1. Prove que todo triângulo equiângulo é também equilátero.

2. Prove que um poĺıgono regular circunscrito a um ćırculo tangencia o

mesmo no ponto médio de cada lado.

3. Prove que a soma dos ângulos externos de um poĺıgono convexo é 360o.

4. Na figura 263, ABP é um triângulo equilátero eABCDE é um pentágono

regular.

A B

C

D

E

P

Fig. 263: Exerćıcio 4.

Determine DÂP e BP̂C. 169 CEDERJ

Poĺıgonos regulares

5. Determine os poĺıgonos regulares para os quais os ângulos internos e

externos são iguais.

6. Determine o número de lados de um poĺıgono regular, sabendo que seus

ângulos internos medem 144o.

7. Determine os raios dos ćırculos inscrito e circunscrito em um hexágono

regular de 6 cm de lado.

8. Determine a medida do lado e o apótema de um hexágono regular

inscrito em um ćırculo de raio 2 √

3 cm.

9. Prove que a área de um triângulo é dada pelo produto do semi-peŕımetro

pelo raio da circunferência inscrita.

10. Prove que a soma das distâncias de um ponto interno de um triângulo

equilátero aos lados não depende do ponto interno considerado.

11. Determine a maior área que um triângulo pode ter se ele está inscrito

em um ćırculo de raio R.

12. Na figura 264, ABCDEF é um hexágono regular. Sobre seus lados

foram constrúıdos quadrados.

A B

D

C

E

F

G H

I

J

K

L

MN

O

P

Q

R

Fig. 264: Exerćıcio 12.

Prove que o poĺıgono GHIJKLMNOPQR é um dodecágono regular.

13. (EPUSP-1966) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um

ćırculo medem 9 cm e 6 cm. Cada um dos outros dois lados do trapézio

mede:

(a) 4,5 cm (b) 6 cm (c) 7,5 cm (d) 8 cm (e) N.R.A.

CEDERJ 170

Poĺıgonos regulares MÓDULO 1 - AULA 13

14. (FUVEST-1989) Os pontos A, B e C são vértices consecutivos de um

hexágono regular de área igual a 6. Qual a área do triângulo ABC ?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) √

2 (e) √

3

15. (COVEST-1991) Se todos os lados de um heptágono regular forem

aumentados em 50%, em quanto aumenta a sua área ?

(a) 50% (b) 75% (c) 100% (d) 125% (e) 150%

16. (U.C. SALVADOR-1991) Na figura 265, ABCD é um losango e A é o

centro do ćırculo de raio 4 cm.

A

B

C

D

Fig. 265: Exerćıcio 16

A área desse losango, em cent́ımetros quadrados, é:

(a) 4 √

3 (b) 8 (c) 12 (d) 8 √

3 (e) 12 √

3

17. (FESP-1991) Um triângulo equiláteroABC está inscrito em um ćırculo.

O triângulo é interceptado por um diâmetro do ćırculo, formando um

trapézio, conforme a figura 266.

A

B C

M N

O

P Q

Fig. 266: Exerćıcio

A razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio é igual a:

a) 5

4 (b)

9

5 (c)

9

8 (d)

9

4 (e)

8

5

171 CEDERJ

Poĺıgonos regulares

18. Prove que o poĺıgono P ′ da f́ıgura 262 é regular.

19. Seja Q = A1A2 . . . An um poĺıgono regular circunscrito a um ćırculo Γ

e sejam T1, T2, . . . , Tn os pontos em que A1A2, A2A3, . . . , AnA1 tangen-

ciam Γ. Considere um ćırculo Γ′ concêntrico a Γ e sejam T ′1 = ←−− OT1∩Γ′,

etc. Por T ′1, T ′ 2, . . . , T

′ n trace tangentes a Γ

′, obtendo um poĺıgono

Q′ = B1B2 . . . Bn (veja figura 267).

A

B

A

B

A

B

1

1 2

2

3 n n A B

O

1 T '

2 T

2 T

' 1

T

3

n T

n T '

Fig. 267: Exerćıcio

Prove que Q′ é também regular. Se r e r′ são os raios de Γ e Γ′,

respectivamente, prove que a razão entre a área A de Q e a área de Q′

é dada por A

A′ = ( r r′

)2 .

Sugestão: Prove que OT1A2 ≡ OT2A2 e OT ′1B2 ≡ OT ′2B2 e conclua que O,A2, e B2 são colineares. Da mesma forma são colineares os

termos O,A3, B3, . . . , O,A1, B1. Use o exerćıcio 1 desta aula e a seme-

lhança entre os triângulos OA1A2 e OB1B2, . . . , OAnA1 e OBnB1 para

provar que OT ′1B2 ≡ OT ′1B1, OT ′2B3 ≡ OT ′2B2, . . . , OT ′nB1 ≡ OT ′nBn. Lembrando que já sabemos que OT ′nB1 ≡ OT ′1B1, OT ′2B2 ≡ OT ′1B2, etc, prove que Q′ é regular. Para provar que

A

A′ = ( r r′

)2 , observe que

OA1A2 é semelhante a OB1B2, OA2A3 é semelhante a OB2B3, etc, com

razão de semelhança igual a r

r′ .

CEDERJ 172

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