Apostila de Álgebra linear III, Notas de estudo de Engenharia de Produção
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Transformações lineares, operadores lineares mudança de base.
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Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18

Aula 18 – Transformações lineares

Objetivos

Definir os conceitos de transformação matricial e linear;

Apresentar vários exemplos de transformações lineares.

Introdução

Um dos conceitos centrais na Matemática é o de função. De modo geral

usa-se os termos função, aplicação e transformação como sinônimos.

Uma função é uma associação entre dois conjuntos A e B, envolvendo

todos os elementos de A, mas não necessariamente todos os elementos de B,

e que associa cada elemento de A à somente um elemento de B. Esta maneira

de ver uma função somente como uma associação é uma visão essencialmente

estática.

Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinâmica,

é que uma função é uma transformação, que ¨leva¨ elementos do conjunto

A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em

elementos de B.

Na Álgebra Linear, usa-se mais o termo transformação do que função,

especialmente no caso das transformações lineares, que definiremos nesta

aula. Em resumo, uma transformação de um espaço vetorial V em um espaço

vetorial W é simplesmente uma função de V em W .

Como observamos, são de interesse especial as transformações linea-

res. Comecaremos definindo transformações matriciais e depois as lineares.

Veremos que para transformações de Rn em Rm, os dois conceitos são equi- valentes.

7 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações lineares

Transformações matriciais

Uma transformação matricial é uma função dada por T (x) = Ax, onde

A é uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Então a aplicação T : Rn → Rm dada por x→ Ax é uma transformação matricial. Exemplo 1

Seja

A =

[ 2 1 3

1 2 0

]

então A induz a transformação matricial T : R3 → R2, dada por x→ Ax.

Por exemplo, se x =

 

1

−1 2

 , então

Ax =

[ 2 1 3

1 2 0

] .

 

1

−1 2

  =

[ 7

−1

] .

Em geral, se x =

  x1

x2

x3

 , então

Ax =

[ 2 1 3

1 2 0

] .

  x1

x2

x3

  =

[ 2x1 + x2 + 3x3

x1 + 2x2

] .

Exemplo 2

Se

A =

[ 1 −1 2 2 1 −1

]

e b =

[ 2

2

] . Encontre um x ∈ R3, tal que Ax = b.

Solução: Seja x =

  x1

x2

x3

 , então Ax = b, leva a

[ 2 −1 2 2 1 −1

] .

  x1

x2

x3

  =

[ 2

2

]

CEDERJ 8

Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18

{ 2x1 − x2 + 2x3 = 2 2x1 + x2 − x3 = 2

=⇒ {

2x1 − x2 = 2− 2x3 2x1 + x2 = 2 + x3

Somando as duas equações, obtemos

4x1 = 4− x3 ⇒ x1 = 1− x3 4 .

Subtraindo as mesmas equações, obtemos

2x2 = 0 + 3x3 ⇒ x2 = 3x3 2

.

Portanto, todo vetor x =

 

1− x3 4

3x3 2

x3

 , x3 ∈ R, é levado a b pela trans-

formação matricial T = Ax.

Exemplo 3

Seja A = x =

 

1 1

2 1

1 −1

 . Determine a imagem de T = Ax.

Solução: Temos que T : R2 → R3. Seja u = [ x1

x2

] e seja Tu =

  a

b

c

 .

Então  

1 1

2 1

1 −1

  . [ x1

x2

] =

  a

b

c

 

  

x1 + x2 = a

2x1 + x2 = b

x1 − x2 = c =⇒

  

x1 + x2 = a

−x2 = b− 2a −2x2 = c− a

  

x1 = b− a x2 = 2a− b 0 = c− a− 2b+ 4a

=⇒

  

x1 = b− a x2 = 2a− b 0 = 3a− 2b+ c

,

o que mostra que Ax = b tem solução quando 3a − 2b + c = 0. Portanto, a aplicação dada pela matriz A leva R2 no plano 3x− 2y + z = 0.

9 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações lineares

R2

T = Ax R3

Figura 1: Aplicação T leva R2 no plano 3x− 2y + z = 0.

Transformações lineares

Dada uma matrix m×n A, vetores n×1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplicação de matrizes que

A(u+ v) = Au+ Av e A(cu) = cAu .

De maneira geral, quando uma função possui as duas propriedades

acima, dizemos que ela é linear. Definiremos agora as transformações

lineares.

Definição 1

Uma transformação T é linear se:

1. T (u+ v) = Tu+ tv, para todos u e v no domı́nio de T .

2. T (cv) = cT (v), para todo v e para todo escalar c.

Em outras palavras, podemos dizer que uma transformação é linear

quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.

Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores

primeiro (u+ v) e, em seguida, aplicarmos T , obtendo T (u+ v), o resultado

é o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados

(Tu+ Tv), isto é T (u+ v) = Tu+ Tv.

Se A é uma matriz, u e v são vetores no domı́nio de T = Ax e c é um

escalar, então, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a

soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o

produto por escalar. Portanto, toda transformação matricial é linear.

Por outro lado, nem toda transformação linear de espaços vetoriais é

matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transformações

CEDERJ 10

Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18

lineares de Rn em Rm são sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23 onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representação matricial

de uma transformação linear.

Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais, e seja v ∈ V . Então

T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W ,

onde 0V indica o vetor nulo do espaço vetorial v e 0W indica o vetor nulo do

espaço vetoria W . Mostramos então que uma transformação linear T : V → W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W .

Outra propriedade muito utilizada é a seguinte:

T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u) .

A dedução acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob-

serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.

Isto é, se uma transformação T satisfaz

T (cv + du) = cT (u) + dT (v) ,

então ela é linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos

T (u+v) = Tu+Tv (preservação da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0,

obtemos T (cu) = cT (u) (preservação do produto de vetores por escalares).

Aplicando sucessivamente o mesmo racioćınio acima, podemos mostrar

que

T (c1v1 + · · ·+ ckvk) = c1T (v1) + · · ·+ ckT (vk) ,

onde c1, · · · , ck são escalares e v1, · · · , vk são vetores no domı́nio de T .

Exemplo 4

A transformação T : V → W dada por T (x) = 0W é linear. Esta trans- formação, chamada transformação nula, leva todo vetor de V no vetor nulo

de W .

Exemplo 5

Seja V um espaço vetorial qualquer, a transformação T : V → V dada por T (u) = u é linear. Esta transformação é chamada indentidade. Se V = Rn, então a transformação linear dada pela matriz In, identidade de ordem n, é

a transformação identidade de Rn.

11 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações lineares

Exemplo 6

Seja r ∈ R. Mostre que a transformação T : Rn → Rn dada por T (x) = rx é uma transformação linear.

Solução: Sejam u, v ∈ Rn e c, d escalares. Então

T (cu+ dv) = r(cu+ dv) = rcu+ rdv = c(ru) + d(rv) = cT (u) + dT (v) .

Portanto T é uma transformação linear.

Se r = 0 então temos a transformação nula. Se r = 1 temos a trans-

formação identidade. Se 0 ≤ r < 1 então dizemos que T é uma contração. Se r > 1 então dizemos que T é uma dilatação. A figura abaixo mostra a

dilatação T (x) = 2x.

Tx = 2x

Figura 2: Dilatação T (x) = 2x.

Exemplo 7

A transformação T : R2 → R2 dada por T (x) = x+ (1, 0) não é linear. Para ver isto, basta notar que ela não leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta é uma

translação de vetores no R2.

Exemplo 8

A transformação linear T : R2 → R2 dada pela matriz [

0 −1 1 0

] , isto é

T (x) =

[ 0 −1 1 0

] .

[ x1

x2

] =

[ −x2 x1

] .

Como esta transformação é matricial, então ela é linear. Determinando a

imagem de alguns vetores e representando em um gráfico estes vetores e

suas imagens, podemos ver que esta transformação gira os vetores em torno

da origem, no sentido anti-horário, de um ângulo de 900. Isto é verdade.

Estudaremos com maiores detalhes transformações lineares especiais, como

a rotação de um ângulo θ, nas aulas 25 e 26.

CEDERJ 12

Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18

u

v

T(u)

T(v)

Figura 3: Rotação de um ângulo de 900.

Exemplo 9

Seja Pn o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n. Definimos o

operador derivação D : Pn → Pn−1 por

D(a0 + a1t+ · · ·+ antn) = a1 + 2a2t+ · · ·+ nantn−1 .

Isto é, D leva cada termo akt k em kakt

k−1.

É fácil ver que este operador é uma transformação linear. Note que ele

é a derivação de funções no sentido usual, restrito ao espeço dos polinômios.

Sabemos que para a derivação vale

D(cf1 + df2) = cD(f1) + dD(f2) ,

confirmando que D é uma transformação linear.

Note que esta transformação é linear mas não é matricial. Não há

uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda

transformação linear entre espaços de dimensão finita têm uma representação

matricial. Há uma matriz A tal que se p é um polinômio e se [p]B é a

representação deste polinômio em uma base B escolhida de Pn, então A[p]B

é a representação de Dp nesta base.

Exemplo 10

Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos

de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada

seu dinheiro entre as 4 opções do banco. Representamos a carteira de um

cliente por um vetor 4× 1. Assim uma carteira x =

 

xA

xB

xC

xD

  indica xA reais

investidos na opção A, xB reais investidos na opção B etc.

13 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações lineares

Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou

em yB reais por real aplicado etc, então o resultado total de cada cliente será

calculado pela transformação linear T : R4 → R, dada por

T (x) =

 

xA

xB

xC

xD

  . [ yA yB yC yD

] = xAya + xByB + xCyC + xDyD .

Resumo

Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Álgebra Li-

near, que é o de Transformação Linear.

Vimos, inicialmente, as transformações matriciais. Em seguida, defini-

mos transformações lineares.

Vimos diversos exemplos de transformações lineares, inclusive uma aplicação

à economia.

CEDERJ 14

Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18

Exerćıcios

1. Seja T : R2 → R3 a transformação definida por Tx = Ax, onde A =[ 1 2 2

−1 2 1

] . Encontre a imagem de

u =

 

2

−3 0

  e u =

  −1 1

1

 

2. Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma

aplicação de R4 em R6 por T (x) = Ax.

3. Para os valores da matriz A e vetor b nos ı́tens abaixo, encontre, se for

posśıvel, um vetor x tal que Tx = b.

(a)

A =

[ 1 0 1

2 −1 3

] , b =

[ 2

3

]

(b)

A =

 

11 −1 2 5

1 6

  , b =

 

2

−3 2

 

4. Encontre todos os valores de x ∈ R4 que são levados no vetor nulo pela transformação x→ Ax, onde

A =

 

1 1 1 1

1 −1 −1 2 1 2 3 −1

  .

5. Nos ı́tens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar gra-

ficamente os vetores u =

[ 2

1

] , v =

[ 3

−1

] , Tu e Tv. Faça uma

descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de R2.

(a) T (x) =

[ 3 0

0 3

] .

(b) T (x) =

[ 0, 5 0

0 0, 5

] .

(c) T (x) =

[ −1 0 0 −1

] .

(d) T (x) =

[ 0 0

0 1

] .

15 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações lineares

6. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear. Se

T (

[ 1

0

] ) =

[ 2

1

] e T (

[ 0

1

] ) =

[ −1 3

] ,

determine T (

[ 2

1

] ) e T (

[ x1

x2

] ).

Respostas dos exerćıcios

1.

[ −4 −8

] e

[ 3

4

] .

2. A deve ser uma matriz 6× 4.

3. (a) x =

 

2− c c+ 1

c

 , para todo c ∈ R.

(b) Não há valor de x tal que Tx = b.

4. O espaço gerado por {(− 3 2 ,−1, 3

2 , 1)} é levado no vetor nulo.

5. (a) Dilatação por um fator de 3.

(b) Contração por uma fator de 0, 5.

(c) Rotação de 1800.

(d) Projeção sobre o eixo-y.

CEDERJ 16

Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19

Aula 19 – Propriedades das Transformações

Lineares

Objetivos

Reconhecer e aplicar as propriedades das transformações lineares.

Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de função - as trans-

formações lineares, que são funções definidas entre espaços vetoriais e com

caracteŕısticas que as tornam muito úteis, em uma gama imensa de problemas

e situações da Matemática, F́ısica, Engenharia e Computação, entre outras

áreas de estudo e trabalho.

Nesta aula veremos várias propriedades das transformações lineares.

Em especial, veremos um fato muito importante, que é o seguinte: para de-

terminar uma transformação linear T : V → W , basta conhecer seus valores em uma base qualquer de V .

Propriedades das transformações lineares

Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. Valem as seguintes propriedades:

(i) T (0V ) = 0W

Em palavras: uma transformação linear leva o vetor nulo do domı́nio

ao vetor nulo do contra-domı́nio. Esta propriedade já foi demonstrada

na aula 18.

(ii) T (−v) = −T (v),∀v ∈ V Em palavras: A imagem do vetor oposto é o oposto da imagem do

vetor.

Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v).

(iii) Se U é um subespaço de V então T (U) é um subespaço de W .

Devemos mostrar que 0W ∈ T (U) e que T (U) é fechado para soma de vetores e multiplicação por escalar.

17 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Propriedades das Transformações Lineares

Como U um subespaço de V , então 0V ∈ U . Pela propriedade (i), T (0V ) = 0W ∈ T (U). Sejam x, y ∈ T (U). Existem u, v ∈ U tais que T (u) = x e T (v) = y. Como U é subespaço de V , então u + v ∈ U . De T (u + v) ∈ T (U) resulta que

T (u+ v) = T (u) + T (v) = x+ y ∈ T (U) .

Finalmente, sejam x ∈ T (U) e α ∈ R. Existe u ∈ U tal que T (u) = x. Como αu ∈ U , então T (αu) ∈ T (U), o que resulta em

T (αu) = αT (u) = αx ∈ T (U) ,

e podemos concluir que T (U) é subespaço de W .

(iv) Dados v1, v2, ..., vn ∈ V ,

T (α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αnT (vn) .

Em palavras: A imagem de uma combinação linear de vetores de V

é uma combinação linear das imagens desses vetores, com os mesmos

coeficientes.

Esta propriedade já foi apresentada na Aula 18. Vamos dar aqui uma

demonstração usando indução sobre n.

O caso n = 1 segue diretamente da definição de transformação linear,

pois T (α1v1) = α1T (v1). Vamos supor que a propriedade vale para

n = k, isto é,

T (α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk) = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αkT (vk) .

Vamos provar que vale para n = k + 1 :

T (α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk + αk+1vk+1)

= T [(α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk) + (αk+1vk+1)] T linear

= T (α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk) + T (αk+1vk+1) hip. ind.

= α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αkT (vk) + T (αk+1vk+1) T linear

= α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αkT (vk) + αk+1T (vk+1) ,

isto é, vale a propriedade para n = k+1, o que conclui a demonstração.

CEDERJ 18

Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19

(v) Se {v1, v2, ..., vn} é um conjunto gerador de V então {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é um conjunto gerador da imagem de T .

Demonstração. Seja {v1, v2, ..., vn} um conjunto gerador de V . Seja w um vetor na imagem de T , isto é, existe v em V tal que w = T (v). Então

existem escalares α1, α2, ..., αn tais que v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn.

Podemos escrever: w = T (v) =

= T (α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn) (iv) =

= α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αnT (vn).

Logo, os vetores T (v1), T (v2), ..., T (vn) geram a imagem de T .

(vi) Se T (v1), T (v2), ..., T (vn) ∈ W são LI então os vetores v1, v2, ..., vn ∈ V são LI.

Demonstração. Seja a combinação linear

α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn = oV . (1)

Vamos aplicar a transformação T a ambos os lados dessa igualdade:

T (α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn) = T (0V ) ⇒

α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αnT (vn) = 0W .

Como os vetores T (v1), T (v2), ..., T (vn) são LI, conclúımos que α1 =

α2 = ... = αn = 0. Ou seja, todos os coeficientes da combinação linear

(1) são iguais a zero, o que implica que os vetores v1, v2, ..., vn são LI.

Exemplo 11

Sejam V um espaço vetorial e u ∈ V . A aplicação

Tu : V → V v 7→ v + u

é chamada translação definida por u. É fácil verificar que, quando u 6= 0V , essa aplicação não é linear, pois Tu(0V ) = 0V + u = u 6= 0V , violando a propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplicação é o

operador identidade de V , que é linear.

Exemplo 12

A rećıproca da propriedade (vi) não é verdadeira, isto é, é posśıvel termos um

conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um

19 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Propriedades das Transformações Lineares

conjunto LD em W . Considere, por exemplo, o operador projeção ortogonal

sobre o eixo x, definido em R2, isto é, a transformação linear tal que T (x, y) = (x, 0), para todo vetor (x, y) do plano. Os vetores v1 = (3, 1) e v2 = (3, 4) são

LI, mas suas imagens coincidem: T (v1) = T (v2) = (3, 0). Logo, o conjunto

{T (v1), T (v2)} ⊂ R2 é LD. Essa situação é ilustrada na figura 1.

T(x,y)=(x,0)

(3,1)

(3,1)

(3,4)

(3,0)

Figura 1: v1 e v2 são LI; T (v1) e T (v2) são LD.

Uma caracteŕıstica importante das transformaçõs lineares é que elas

ficam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma

base do domı́nio. Isto é, dada uma transformação linear T : V → W , se conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter

a expressão de T (v), para um vetor v genérico de V . O exemplo a seguir

mostra esse procedimento:

Exemplo 13

Seja T : R3 → R3, linear, tal que T (1, 0, 0) = (1, 1, 1);

T (0, 1, 0) = (2,−1, 1); T (0, 0, 1) = (1, 0, 2).

Vamos determinar T (x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor genérico de R3.

Os vetores v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) formam a base

canônica de R3. Assim, um vetor v = (x, y, z), genérico, de R3, se escreve (x, y, z) = xv1 + yv2 + zv3. Aplicando a propriedade (iv), temos:

T (v) = T (x, y, z) =

= T (xv1 + yv2 + zv3) =

= xT (v1) + yT (v2) + zT (v3) =

= x(1, 1, 1) + y(2,−1, 1) + z(1, 0, 2) = = (x+ 2y + z, x− y, x+ y + 2z).

Logo, T é dada por T (x, y, z) = (x+ 2y + z, x− y, x+ y + 2z).

CEDERJ 20

Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19

Vamos ver como fazer no caso em que a base na qual a transformação

linear é conhecida não seja a canônica:

Exemplo 14

Uma transformação linear T : R2 → R3 é tal que T (1,−1) = (1, 1, 2); T (2, 0) = (2,−1, 1).

Vamos determinar T (x, y), para (x, y) ∈ R2.

Primeiramente, verificamos que os vetores v1 = (1,−1) e v2 = (2, 0) formam uma base de R2. Neste caso, como são dois vetores num espaço bi-dimensional, uma forma rápida de verificar que são LI é calcular o deter-

minante formado pelas suas coordenadas e constatar que é diferente de zero.

Deixamos isso com você, como exerćıcio (!).

A seguir, escrevemos um vetor genérico do espaço como uma com-

binação linear dos vetores dessa base:

v = (x, y) = av1 + bv2 = a(1,−1) + b(2, 0)⇒ { a+ 2b = x

−a = y .

Resolvendo o sistema, obtemos a = −y e b = x+y 2

. Portanto,

(x, y) = −y(1,−1) + x+ y 2

(2, 0)

Usando a linearidade de T , obtemos

T (v) = T (x, y) =

= T (−yv1 + x+y2 v2) = = −yT (v1) + x+y2 T (v2) = = −y(1, 1, 2) + x+y

2 (2,−1, 1) =

= ( x, −x−3y

2 , x−3y

2

) .

.

Logo, T é dada por T (x, y) = ( x, −x−3y

2 , x−3y

2

) .

Exemplo 15

Em relação à transformação linear do exemplo 4, encontre v ∈ R2 tal que T (v) = (3, 1, 4).

Queremos (x, y) ∈ R2 tal que T (x, y) = (3, 1, 4).

21 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Propriedades das Transformações Lineares

( x, −x− 3y

2 , x− 3y

2

) = (3, 1, 4)⇒

  

x = 3 −x−3y

2 = 1

x−3y 2

= 4

  

x = 3

−x− 3y = 2 x− 3y = 8

.

Resolvendo o sistema, obtemos

{ x = 3

y = −5 3

.

Logo, o vetor procurado é (3,−5/3).

Exemplo 16

Dado um espaço vetorial V , um funcional linear definido em V é uma trans-

formação linear f : V → R. Considere o funcional linear f definido em R2Note que o conjunto dos números reais é, ele mesmo,

um espaço vetorial real. tal que f(1, 1) = 2 e f(2, 1) = 3. Vamos determinar f(x, y), para (x, y) ∈ R2.

Novamente, começamos conferindo que os vetores (1, 1) e (2, 1) for-

mam uma base de R2. Escrevemos, então, um vetor genérico (x, y), como combinação linear dos vetores dados: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 1). Resolvendo,

obtemos { a+ 2b = x

a+ b = y ⇒ { a = −x+ 2y b = x− y ,

isto é, (x, y) = (−x+ 2y)(1, 1) + (x− y)(2, 1). Então

T (x, y) = T ((−x+2y)(1, 1)+(x−y)(2, 1)) = (−x+2y)T (1, 1)+(x−y)T (2, 1)

= (−x+ 2y).2 + (x− y).3 = x+ y .

Logo, T é dada por T (x, y) = x+ y.

Exemplo 17

Em relação ao funcional linear definido no exemplo acima, vamos procurar

os vetores v de R2 tais que f(v) = 0. Isto é, queremos (x, y) tal que f(x, y) = x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x,−x). Logo, há infinitos vetores de R2 que são levados ao zero, pelo funcional f - a saber, todo vetor do conjunto {(x,−x)|x ∈ R}.

CEDERJ 22

Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19

Para finalizar, um exemplo no espaço dos polinômios:

Exemplo 18

Seja T a transformação linear em P3(R) dada por

T (1) = 1− t; T (1 + t) = t3;

T (t+ t2) = 3− t2; T (t2 + t3) = 1 + t2.

Vamos determinar T (x+ yt+ zt2 +wt3), onde x+ yt+ zt2 +wt3 é um

polinômio qualquer de P3(R) e, a seguir, calcular T (2− 3t+ 4t3). Como nos exemplos anteriores, constatamos que {1, 1 + t, t+ t2, t2 + t3}

é uma base de P3(R).

A seguir, escrevemos o vetor genérico de P3(R) nessa base:

x+ yt+ zt2 + wt3 = a.1 + b(1 + t) + c(t+ t2) + d(t2 + t3) =

= (a+ b) + (b+ c)t+ (c+ d)t2 + dt3.

Obtemos, assim, o seguinte sistema:   

a+ b = x

b+ c = y

c+ d = z

d = w

,

que, resolvido, fornece a solução:   

a = x− y + z − w b = y − z + w c = z − w d = w

.

Escrevemos então:

x+yt+zt2+wt3 = (x−y+z−w).1+(y−z+w)(1+t)+(z−w)(t+t2)+w(t2+t3) . Aplicamos a transformação T em ambos os lados dessa igualdade:

T (x+ yt+ zt2 + wt3)

= T ((x− y + z − w).1 + (y − z + w)(1 + t) + (z − w)(t+ t2) + w(t2 + t3))

= (x− y + z − w).T (1) + (y − z + w).T (1 + t) + (z − w).T (t+ t2) + w.T (t2 + t3)

= (x− y + z − w).(1− t) + (y − z + w).t3 + (z − w).(3− t2) + w.(1 + t2) = (x− y + 4z − 3w) + (−x+ y − z + w)t+ (−z + 2w)t2 + (y − z + w)t3 .

23 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Propriedades das Transformações Lineares

Logo, a transformação procurada é dada por:

T (x+yt+zt2+wt3) = (x−y+4z−3w)+(−x+y−z+w)t+(−z+2w)t2+(y−z+w)t3 .

Vamos, agora, calcular T (2 − 3t + 4t3). Temos x = 2; y = −3; z = 0 e w = 4. Então

T (2− 3t+ 4t3) = −7− t+ 8t2 + t3 .

Resumo

Nesta aula estudamos as propriedades das transformações lineares. O

fato mais relevante é que podemos determinar uma transformação linear a

partir da sua aplicação nos vetores de uma base, apenas. Assim, o número de

informações necessárias a respeito de uma transformação linear, para que a

conheçamos completamente, é igual à dimensão do espaço vetorial no qual ela

é definida. Isso é uma especificidade das transformações lineares: nenhuma

outra função permite uma manipulação tão simples. É por essa qualidade,

em particular, que as transformações lineares são, por excelência, as funções

usadas na Computação em geral.

CEDERJ 24

Propriedades das Transformações Lineares MÓDULO 3 - AULA 19

Exerćıcios

1. Seja T : R2 → R a transformação linear para a qual T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = −2. Encontre T (x, y), para (x, y) ∈ R2.

2. Um operador linear T , definido em P2(R), é tal que T (1) = t2, T (x) = 1− t e T (t2) = 1 + t+ t2.

(a) Determine T (a + bt + ct2), onde a + bt + ct2 é um vetor genérico

de P2(R).

(b) Determine p ∈ P2(R) tal que T (p) = 3− t+ t2.

3. Encontre T (x, y) onde T : R2 → R3 é definida por T (1, 2) = (3,−1, 5) e T (0, 1) = (2, 1,−1).

4. Determine T (x, y, z) onde T : R3 → R é dada por T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1,−2) = 1 e T (0, 0, 1) = −2.

Auto-avaliação

Você deverá assimilar o significado de cada propriedade vista. A pri-

meira delas é extremamente útil para rapidamente identificar algumas trans-

formações que não são lineares, por não levarem o vetor nulo do domı́nio ao

vetor nulo do contra-domı́nio. A translação é o exemplo mais importante

disso. Além disso, você deve se familiarizar com a técnica de encontrar uma

transformação linear a partir de seus valores nos vetores de uma base do

domı́nio. Veja que os exerćıcios são repetitivos: mudam o espaço e a base

considerada, mas a estrutura se repete. Caso você tenha alguma dúvida,

entre em contato com o tutor da disciplina. E... vamos em frente!!

Respostas dos exerćıcios

1. T (x, y) = 5x− 2y

2. (a) T (a+ bt+ ct2) = (b+ c) + (−b+ c)t+ (a+ c)t2

(b) p = 2t+ t2

3. T (x, y) = (−x+ 2y,−3x+ y, 7x− y)

4. T (x, y, z) = 8x− 3y − 2z

25 CEDERJ

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20

Aula 20 – Núcleo e Imagem de uma

Transformação Linear

Objetivos

Determinar o núcleo e a imagem de uma transformação linear.

Identificar o núcleo de uma transformação linear como um subespaço do

domı́nio.

Identificar a imagem de uma transformação linear como um subespaço do

contra-domı́nio.

Na aula 19 mencionamos a imagem de uma transformação linear. Nesta

aula definiremos o núcleo de uma transformação linear e mostraremos que,

tanto o núcleo, como a imagem, possuem estrutura de espaço vetorial.

Núcleo de uma transformação linear

Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. Chamamos de núcleo de T , representado por N(T ), o seguinte conjunto:

N(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0W} .

Em palavras: o núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do

Alguns textos usam a

notação ker(T ), pois núcleo,

em inglês, é kernel.

domı́nio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contra-

domı́nio.

Dom inio

Nuc leo

Imagem 0

Figura 1:

Exemplo 19

• Seja T : V → W a transformação linear nula, isto é, a transformação tal que T (v) = 0W ,∀v ∈ V . É fácil ver que seu núcleo é todo o espaço V .

27 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

• O núcleo da transformação identidade, definida no espaço vetorial V , é o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de V .

• A projeção ortogonal sobre o eixo dos x, em R2, é uma transformação linear cujo núcleo é o eixo dos y.

Exemplo 20

O núcleo da transformação linear T : R2 → R3 dada por

T (x, y) = (x+ y, x− y, x− 2y)

é o conjunto {(x, y) ∈ R2 | T (x, y) = (0, 0, 0)}, isto é

(x+ y, x− y, x− 2y) = (0, 0, 0) ⇒

  

x+ y = 0

x− y = 0 x− 2y = 0

.

Esse sistema tem solução x = 0 e y = 0. Logo, N(T ) = {(0, 0)}.

Exemplo 21

Seja T : R4 → R3 a transformação linear dada por

T (x, y, z, t) = (2x, x+ 2y − z, x− y + z + t) .

Então, N(T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 | T (x, y, z, t) = (0, 0, 0)}. Isto é, um vetor (x, y, z, t) de R4 pertence ao núcleo de T se, e somente se,

(2x, x+ 2y − z, x− y + z + t) = (0, 0, 0) ⇒

  

2x = 0

x+ 2y − z = 0 x− y + z + t = 0

.

Esse sistema tem conjunto-solução {(0, k, 2k,−k); k ∈ R}, que é o núcleo de T .

CEDERJ 28

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20

Imagem de uma transformação linear

Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. A imagem de T , representado por Im(T ), é o conjunto de todos os vetores

de W da forma T (v), para algum v ∈ V , isto é

Im(T ) = {w ∈ W | w = T (v), para algum v ∈ V }. Exemplo 22

• Se T : V → W é a transformação linear nula, isto é, tal que T (v) = 0W ,∀v ∈ V , sua imagem é o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de W .

• A imagem da transformação identidade, definida no espaço vetorial V , é o espaço V .

• A projeção ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 é uma transformação linear cuja imagem é o eixo dos x.

Exemplo 23

Vamos determinar a imagem da transformação linear T : R2 → R3 dada por

T (x, y) = (x+ y, x− y, x− 2y) .

Queremos encontrar os vetores w = (a, b, c) ∈ R3 para os quais existe v = (x, y) ∈ R2 tal que T (v) = w, isto é, queremos que a equação

T (x, y) = (x+ y, x− y, x− 2y) = (a, b, c)

tenha solução. Isso equivale a analisar as condições para que o sistema   

x+ y = a

x− y = b x− 2y = c

admita solução. Escalonando, obtemos o seguinte sistema equivalente:   

x+ y = a

y = (a− b)/2 0 = (a− 3b+ 2c)/2

,

que admite solução se, e somente se, a− 3b+ 2c = 0. Logo,

Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R3|a− 3b+ 2c = 0} .

Note que a representação

geométrica de Im(T ) é um

plano passando pela origem.

Você se lembra? Os

subespaços de R3 são as retas e os planos passando

pela origem, além do

subespaço nulo e do próprio

R3.

29 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Exemplo 24

Seja T : R4 → R3 a transformação linear dada por

T (x, y, z, t) = (2x, x+ 2y − z, x− y + z + t) .

Queremos determinar as condições para que um vetor (a, b, c), de R3 seja a imagem, por T , de algum vetor de R4. Como no exemplo anterior, queremos que o sistema 

 

2x = a

x+ 2y − z = b x− y + z + t = c

admita solução. Escalonando, chegamos ao sistema equivalente

  

x− y + z + t = c y + t = b+ c− a −z − 2t = (3a− 2b− 4c)/2

,

que é compat́ıvel para quaisquer valores de a, b e c. Logo, todo vetor (a, b, c) ∈ R3 pertence à imagem de T , ou seja, Im(T ) = R3.

Você já deve ter se dado conta de que as transformações lineares pos-

suem propriedades realmente especiais, que não encontramos nas demais

funções. O núcleo e a imagem de uma transformação linear não são apenas

conjuntos: ambos apresentam estrutura de espaço vetorial, como mostrare-

mos nos resultados a seguir.

Teorema 1

Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. O núcleo de T é subespaço vetorial de V .

Demonstração.

Primeiramente, vemos que 0V ∈ N(T ), uma vez que T (0V ) = 0W . Portanto N(T ) 6= ∅.

Sejam v1, v2 vetores no núcleo de T . Isto é, T (v1) = T (v2) = 0W , então

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = 0W + 0W = 0W . Logo, (v1 + v2) ∈ N(T ). Portanto, o núcleo é fechado para a soma.

Sejam α ∈ R e v ∈ N(T ). Isto é, T (v) = 0W , então T (αv) = αT (v) = α0W = 0W . Logo, (αv) ∈ N(T ), o que mostra que o núcleo é fechado para o produto por escalar. 

CEDERJ 30

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20

Teorema 2

Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W uma transformação linear. A imagem de T é subespaço vetorial de W .

Demonstração.

A imagem de T não é vazia, pois 0W é a imagem de 0V .

Sejam w1, w2 vetores na imagem de T . Isso significa que existem vetores

v1 e v2 em V , tais que T (v1) = w1 e T (v2) = w2. Então o vetor (w1 + w2)

pertence à imagem de T , pois é a imagem do vetor (v1 + v2). De fato, temos:

T (v1 + v2) = T (v1) + t(v2) = w1 + w2.

Finalmente, sejam α ∈ R e w ∈ Im(T ). Isto é, existe v ∈ V tal que T (v) = w. Então, como T (αv) = αT (v) = αw, temos que (αw) ∈ Im(T ).

 Uma vez provado que o núcleo e a imagem são subespaços vetoriais, o

próximo passo é determinar a dimensão e obter uma base para cada um. É

o que faremos nos exemplos seguintes.

Exemplo 25

Dada a transformação linear T : R3 → R3 dada por

T (x, y, z) = (x+ y, x− z, y + z) ,

determine uma base e a dimensão de seu núcleo e de sua imagem.

Vamos determinar o núcleo de T . Queremos encontrar os vetores

(x, y, z) de R3 tais que

T (x, y, z) = (x+ y, x− z, y + z) = (0, 0, 0) ⇒

  

x+ y = 0

x− z = 0 y + z = 0

,

cujo conjunto-solução é {(k,−k, k); k ∈ R} = {k(1,−1, 1); k ∈ R}. Logo, o núcleo de T é gerado pelo vetor (1,−1, 1). Então temos que

dimN(T ) = 1 e uma base de N(T ) é {(1,−1, 1)}. Vamos, agora, determinar a imagem de T . Queremos estabelecer as

condições que um vetor (a, b, c) de R3 deve satisfazer para que exista um vetor (x, y, z), em R3, tal que T (x, y, z) = (x + y, x − z, y + z) = (a, b, c). Essa igualdade leva a um sistema linear que, escalonado, fornece

  

x+ y = a

y + z = a− b 0 = a− b− c

.

31 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Para que existam soluções, devemos ter a − b − c = 0, que é a equação que caracteriza os vetores da imagem de T . Como a = b+c, um vetor da imagem

pode ser escrito (b + c, b, c) = b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1). Logo, a imagem possui

dimensão 2 e uma base para ela é {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

Os dois próximos exemplos “invertem”o processo: vamos determinar

uma transformação linear (ela não será única) a partir do seu núcleo ou de

sua imagem.

Exemplo 26

Encontrar uma transformação linear T : R3 → R3, cuja imagem é gerada pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1).

Vimos, na aula passada, que uma transformação linear fica completa-

mente determinada se a conhecemos nos vetores de uma base de seu domı́nio.

Consideremos, por simplicidade, a base canônica de R3 e vamos determinar as imagens dos vetores dessa base, por T :

T (1, 0, 0) = (1, 2, 3)

T (0, 1, 0) = (1, 1, 1)

T (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

Note que a escolha de T

neste exemplo não é de

forma alguma única.

Podeŕıamos, por exemplo,

ter escolhido

T (1, 0, 0) = (1, 1, 1),

T (0, 1, 0) = (1, 1, 1) e

T (0, 0, 1) = (1, 2, 3).

Note que o terceiro vetor deve ser levado a um que forme, com os dois

vetores dados no enunciado, um conjunto LD, uma vez que a dimensão da

imagem é 2. Então, como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), temos

T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) +

z(0, 0, 0) = (x+ y, 2x+ y, 3x+ y), que é a lei que define a transformação T .

Exemplo 27

Encontrar uma transformação linear T : R3 → R3, cujo núcleo é gerado pelos vetores (1, 2, 3) e (1, 1, 1).

Aqui, também, vamos definir uma transformação linear numa base de

R3, mas esta base deve conter os vetores dados. Isto é, vamos completar o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1)} para que se torne uma base de R3. Para isso, de- vemos escolher um vetor (x, y, z) tal que o conjunto {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (x, y, z)} seja LI. Em outras palavras, basta que seja um vetor tal que o determinante

formado pelas coordenadas dos 3 vetores do conjunto seja diferente de zero.

Isto é: ∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3

1 1 1

x y z

∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0⇒ z 6= −x+ 2y .

CEDERJ 32

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20

Podemos considerar, por exemplo, o vetor (1, 0, 0). Temos, então, uma

base de R3 em cujos vetores iremos definir a transformação:

T (1, 2, 3) = (0, 0, 0)

T (1, 1, 1) = (0, 0, 0)

T (1, 0, 0) = (1, 0, 0) (por exemplo)

Observe que a dimensão do núcleo é 2; logo, o terceiro vetor da base

deve estar fora do núcleo, ou seja, ter imagem não nula.

Para finalizar, temos que escrever um vetor genérico do R3 como com- binação linear dos vetores da base considerada e, enfim, determinar a ex-

pressão de T :

(x, y, z) = a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0)⇒

  

a+ b+ c = x

2a+ b = y

3a+ b = z

⇒ a = −y + z; b = 3y − 2z; c = x− 2y + z

Logo,

T (x, y, z) = aT (1, 2, 3) + bT (1, 1, 1) + cT (1, 0, 0) =

= (−y + z)(0, 0, 0) + (3y − 2z)(0, 0, 0) + (x− 2y + z)(1, 0, 0) .

Assim, uma posśıvel resposta é T (x, y, z) = (x− 2y + z, 0, 0).

Resumo

Nesta aula definimos o núcleo e a imagem de uma transformação linear

T . Vimos que ambos são subespaços vetoriais: o núcleo, do domı́nio de T e a

imagem, do contradomı́nio de T . Os exemplos visaram ajudar na assimilação

da técnica para caracterizar o núcleo e a imagem, determinar suas dimensões

e encontrar uma base para cada. Na próxima aula veremos um resultado

importante que relaciona as dimensões do núcleo, da imagem, e do domı́nio

de uma transformação linear.

33 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Exerćıcios

1. Verifique se o vetor v ∈ V pertence ao núcleo da transformação linear T : V → W , em cada caso:

(a) V =R3; W = R2; T (x, y) = (x+ y− z, 3y+ z); v = (4,−1, 3) (b) V =R3; W = R2; T (x, y) = (x+ y− z, 3y+ z); v = (1,−1, 2)

(c) V = M2(R); W = R; T

( a11 a12

a21 a22

) = a11 +a12 +2a21 +2a22;

v =

[ 1 −3 5 2

]

(d) V = M2(R); W = R; T

( a11 a12

a21 a22

) = a11 +a12 +2a21 +2a22;

v =

[ 1 3

3 −5

]

2. Seja T : P2 → P3 a transformação linear definida por T (p(t)) = tp(t). Quais dos seguintes vetores estão na imagem de T?

(a) t2

(b) 0

(c) t+ 1

(d) t2 − 2t

3. Determine a dimensão e uma base do núcleo, a dimensão e uma base

da imagem da transformação linear T : R3 → R2 dada por

T (x, y, z) = (y − 2z, x− y − z).

4. Seja T a transformação linear definida em M2 tal que T (v) = Av, para

v ∈ M2, onde A = [

2 3

−1 2

] . Determine a dimensão e encontre uma

base da imagem, determine a dimensão e encontre uma base do núcleo

de T .

5. A transformação T : P3 → P2 que associa cada polinômio p(t) ao po- linômio obtido pela derivação, isto é: T (p(t)) = p

′ (t), é linear. Descreva

o núcleo de T .

CEDERJ 34

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 20

6. Encontre uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem seja gerada pelos vetores (1, 0, 2, 3) e (1, 0,−1, 5).

7. Encontre uma transformação linear T : R3 → R2 cujo núcleo seja gerado pelo vetor (1, 0, 3).

Respostas dos exerćıcios

1. (a) pertence

(b) não pertence

(c) não pertence

(d) pertence

2. a); b); d)

3. dimN(T ) = 1; uma base de N(T ) : {(3, 2, 1)} (Há infinitas bases.) dim Im(T ) = 2 (Im(T ) = R2); uma base de Im(T ) : {(1, 0), (0, 1)} (Há infinitas bases.)

4. N(T ) =

{( 0 0

0 0

)} ; dimN(T ) = 0; Im (T ) = M2; uma base para

a imagem de T :

{( 1 0

0 0

) ,

( 0 1

0 0

) ,

( 0 0

1 0

) ,

( 0 0

0 1

)} .

5. O núcleo de T é formado pelos polinômios constantes de P3.

6. Há infinitas soluções.

7. Há infinitas soluções.

35 CEDERJ

Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21

Aula 21 – Teorema do Núcleo e da Imagem

Objetivo

Apresentar o teorema do núcleo e da imagem, algumas conseqüências e exem-

plos.

Na aula passada vimos que, se T : V → W é uma transformação li- near, o núcleo N(T ) é um subespaço vetorial de V e a imagem Im(T ) é um

subespaço vetorial de W .

Nesta aula apresentaremos o teorema do núcleo e da imagem, que re-

laciona as dimensão de V , N(T ) e Im(T ).

Teorema 1

Sejam V e W espaços vetoriais de dimewnsão finita. Seja T : V → W uma transformação linear, então

dimV = dimN(T ) + dim Im(T ) .

Demonstração.

Seja p = dim Im(T ) e q = dimN(T ). Sejam {v1, . . . , vq} uma base de N(T ) e {w1, w2, . . . , wp} uma base de Im(T ).

Existem {u1, . . . , up} ⊂ V tais que w1 = T (u1), w2 = T (u2), . . . , wp = T (up). Vamos mostrar que o conjunto

{v1, . . . , vq, u1, . . . , up}

é uma base de V , o que demonstra o teorema, pois então temos

dimV = q + p = dimN(T ) + dim Im(T ) .

Vamos iniciar provando que o conjunto {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} é LI. Suponha que

α1u1 + · · ·+ αpup + β1v1 + · · ·+ βqvq = 0 (1) ,

onde os α´s e β´s são escalares. Aplicando o operator T , temos

α1T (u1) + · · ·+ αpT (up) + β1T (v1) + · · ·+ βqT (vq) = T (0) = 0 .

Como T (ui) = wi, i = 1, . . . , p e T (vi) = 0, i = 1, . . . , q, resulta que

α1w1 + · · ·+ αpwp = 0 .

37 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Teorema do Núcleo e da Imagem

Mas {w1, . . . , wp} é um conjunto L.I. (sendo base de Im(T )), portanto α1 = · · · = αp = 0. Substituindo na equação (1), resulta

β1v1 + · · ·+ βqvq = 0 .

Como {v1, . . . , vq} é uma base de N(T ), então é um conjunto LI, o que implica em β1 = · · · = βq = 0.

Conclúımos que {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} é LI. Vamos agora mostrar que esse conjunto gera V . Seja v ∈ V um vetor

qualquer. Como T (v) ∈ Im(T ), então existem escalares α1, . . . , αp tais que

T (v) = α1w1 + . . .+ αpwp = α1T (u1) + . . .+ αpup .

Podemos escrever esta equação como

T (v − α1u1 − . . .− αpup) = 0⇒ v − α1u1 − . . .− αpup ∈ N(T ) .

Como {v1, . . . , vq} é uma base de N(T ), existem β1, . . . , βq tais que

v − α1u1 − . . .− αpup = β1v1 + . . .+ βqvq ,

ou seja

v = α1u1 + . . .+ αpup + β1v1 + . . .+ βqvq

Isto mostra que {v1, . . . , vq, u1, . . . , up} gera o espaço V . .

Exemplo 28

A projeção ortogonal sobre o eixo-x é a transformação T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x, 0).

(x,y)

(x,0)

Figura 1: Projeção ortogonal sobre o eixo-x

Temos que o núcleo de T é formado pelos (x, y) tais que

T (x, y) = (x, 0) = (0, 0)⇒ x = 0 .

CEDERJ 38

Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21

Ou seja, N(T ) = {(0, y)} que é gerado por {(0, 1)}. Portanto dimN(T ) = 1. A imagem de T é

ImT = T (x, y) = (x, 0) ,

que é um espaço gerado por {(0, 1)}. Portanto, dim Im(T ) = 1. Os valores de dim(T ) e Im(T ) confirmam o teorema do núcleo e da

imagem, pois

2 = dimR2 = dimN(T ) + dim Im(T ) = 1 + 1 = 2 .

Exemplo 29

A transformação linear T : R2 → R3 dada por

T (x, y) = (x+ y, x− y, x− 2y) .

Vimos no exemplo 20 da aula 20 que N(T ) = {(0, 0)}. Portanto,

dimR2 = dimN(T ) + dim Im(T )⇒ 2 = 0 + dim Im(T )⇒ dim Im(T ) = 2 .

Para confirmar isto, vamos calcular Im(T ). Seja (a, b, c) ∈ Im(T ). Então

T (x, y) = (x+ y, x− y, x− 2y) = (a, b, c)⇒

  

x+ y = a

x− y = b x− 2y = c

Reduzindo este sistema, obtemos

x = a+b 2

y = a−b 2

0 = c− 3b 2 − a

2

Exemplo 30

No exemplo 21 da aula 20, vimos que a transformação linear T : R4 → R3 dada por

T (x, y, z, t) = (2x, x+ 2y − z, x− y + z + t)

tem núcleo N(T ) = {0, k, 2k,−k)} que é gerado por {(0, 1, 2,−10}. Portanto dimN(t) = 1. Aplicando o teorema do núcleo e da imagem, obtemos

dimR4 = dimN(T ) + dim Im(T )⇒ dim Im(T ) = 4− 1 = 3 .

39 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Teorema do Núcleo e da Imagem

De fato, se (a, b, c) ∈ Im(T ) então

(2x, x+ 2y − z, x− y + z + t) = (a, b, c)⇒

  

2x = a

x+ 2y − z = b x− y + z + t = cc

.

Não é dif́ıcil verificar que este sistema tem solução para qualquer valor de

(a, b, c), o que demonstra que dim Im(T ) = 3.

Na próxima seção veremos algumas aplicações do teorema que acaba-

mos de provar para transformações injetoras e sobrejetoras.

Transformações injetoras e sobrejetoras

Vamos recordar algumas definições. Uma transformação T : V → W é sobrejetora quando Im(T ) = W . Como Im(T ) é subespaço de W , então, se W

tem dimensão finita, temos que T é sobrejetora quando dim Im(T ) = dimW .

Uma transformação é injetora quando

T (v1) = T (v2)⇒ v1 = v2 ⇒ v1 − v2 = 0 .

No caso de transformações lineares, podemos dar outra caracterização.

Proposição 1

Uma transformação linear T é injetora se, e somente se, vale o seguinte

T (v) = 0⇒ v = 0 .

Demonstração.

Se T é injetora então claramente vale a propriedade acima, pois T (v) =

0 e T (0) = 0 implica em v = 0 pela propriedade injetiva.

Se vale a propriedade acima, temos que

T (v1) = T (v2)⇒ T (v1 − v2) = 0⇒ v1 − v2 = 0⇒ v1 = v2 .

 Assim, entre as tranformações lineares, as injetoras são aquelas em

que apenas o vetor nulo é levado no vetor nulo, isto é T é injetora quando

N(T ) = 0.

CEDERJ 40

Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21

Resumindo, em termos dos subespaços Im(T ) e N(T ), temos o seguinte:

• T é sobrejetora quando Im(T ) = W .

• T é injetora quando N(T ) = 0.

Vamos agora provar uma conseqüência muito interessante do teorema

do núcleo e da imagem.

Teorema 2

Uma transformação linear entre espaços vetorias de mesma dimensão finita

é injetora se, e somente se, é sobrejetora.

Demonstração.

Isto é verdade porque, se T : V → W e n = dimV = dimW , então, como pelo teorema do núcleo e da imagem, n = dimN(T ) + dim Im(T ),

temos

N(T ) = {0V } ⇔ dimN(T ) = 0⇔ dim Im(T ) = n⇔ Im(T ) = W .

A última equivalência é conseqüência do fato de que

n = dim Im(T ) = dimW ⇒ Im(T ) = W .



Em geral, se U é subespaço

de W e dimU = dimW

então U = W .

Uma caracteŕıstica importante das transformações lineares bijetoras é

que levam uma base em uma base. Mais precisamente:

Teorema 3

Seja T : V → W uma transformação linear entre os espaços V e W . Então T é bijetora se, e somente se, T leva uma base de V em uma base de W .

Demonstração.

Suponha que T leve uma base de V em uma base de W . Seja n = dimV

e {v1, · · · , vn} uma base de V . Então {T (v1), · · · , T (vn)} é uma base de W , logo V e W têm a mesma dimensão n. Alem disso, se w ∈ W então existem α1, · · · , αn tais que

w = α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) = T (α1v1 + · · ·+ αnvn)⇒ w ∈ ImT .

Portanto, T é sobrejetora.

Pelo teorema anterior, como T é uma transformação linear sobrejetora

entre espaços de mesma dimensão, então T é bijetora.

41 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Teorema do Núcleo e da Imagem

Suponha agora que T seja uma transformação linear bijetora. Seja

{v1, · · · , vn} uma base de V . Queremos mostrar que {T (v1), · · · , T (vn)} é uma base de W .

Se existem α1, · · · , αn tais que

α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) = 0

então

T (α1v1 + · · ·+ αnvn) = 0 . Como T é injetora então

α1v1 + · · ·+ αnvn = 0 .

Já que {v1, · · · , vn} é base, então α1 = · · · = αn = 0, o que mostra que {T (v1), · · · , T (vn)} é um conjunto L.I.

Resta apenas mostrar {T (v1), · · · , T (vn)} gera W . Seja w ∈ W . Como T é sobrejetora, então existe v ∈ V tal que T (v) = w. Como {v1, · · · , vn} é uma base de V , então existem α1, · · · , αn tais que v = α1v1 + · · · + αnvn. Portanto,

w = T (v) = T (α1v1 + · · ·+ αnvn) = α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) .



Isomorfismos e automorfismos

Um isomorfismo dos espaços vetorias V em W é uma aplicação linear

T : V → W que é bijetora. Dizemos que dois espaços vetoriais V e W são isomorfos quando existe algum isomorfismo T : V → W .

Vimos, no Teorema 3, que, se T é um isomorfismo entre V e W , então

T leva uma base de V em uma base de W . Conseqüentemente, V e W têm a

mesma dimensão. Isto é, espaços vetoriais isomorfos têm a mesma dimensão.

um isomorfismo T : V → V é chamado automorfismo de V . Exemplo 31

1. O operador identidade I : V → V é um automorfismo de V , para qual- quer espaço vetorial V .

2. O operador T : R2 → P1(R) dado por T (x1, x2) = x1 + x2X é um isomorfismo de R2 no espaço P1(R) dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e coeficientes reais.

CEDERJ 42

Teorema do Núcleo e da Imagem MÓDULO 3 - AULA 21

A verificação de que T é linear e é bijetora é muito simples e será

deixada como exerćıcios.

Resumo

O resultado mais importante desta aula é o teorema do núcleo e da

imagem (Teorema 1).

Provamos, como conseqüência do Teorema 1, que uma transformação

entre espaços de mesma dimensão é injetora se, e somente se, é sobrejetora.

Provamos tambem que as transformações lineares bijetoras são carac-

terizadas pela propriedade de levarem base em base.

Exerćıcios

1. Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x+ y, 2x− z).

(a) Determine o núcleo de T .

(b) Determine a imagem de T .

2. Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (x, y, 0).

(a) Determine o núcleo de T .

(b) Determine a imagem de T .

3. Mostre que a aplicação linear T : R3 → R3 dada por

T (x, y, z) = (x+ z, y + z, x+ 2z)

é um automorfismo de R3.

4. Determine uma aplicação linear T : R3 → R4 tal que ImT seja o espaço gerado por {(1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)}.

5. Determine uma transformação linear T : R3 → R2 cujo núcleo seja gerado por {(1, 0, 1)}.

6. Mostre que a transformação linear T : R3 → P2(R) dada por T (x1, x2, x3) = x1 + x2X + x3X

2 é um isomorfismo.

7. Prove que o espaço R2 é isomorfo ao espaço

U = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0} .

43 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Teorema do Núcleo e da Imagem

Respostas dos exerćıcios

1. (a) N(T ) é o espaço gerado por {(1,−1, 2)}. (b) ImT = R2.

2. (a) N(T ) é o espaço gerado por {(0, 0, 1)}. (b) ImT é o espaço gerado por {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.

3. Vamos determinar N(T ).

T (x, y, z) = (0, 0, 0)⇒

  

x+ z = 0

y + z = 0

x+ 2z = 0

⇒ x = y = z = 0

Portanto T é transformação linear injetora entre espaços de mesma

dimensão, o que implica que é bijetora.

4. Partindo da base {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, base canônica do R3, va- mos definir uma transformação linear por

(1, 0, 0)→ (1, 1, 0, 1) (0, 1, 0)→ (2, 0, 1, 1) (0, 0, 1)→ (0, 0, 0, 0) A transformação é

T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1)

= x(1, 1, 0, 1) + y(2, 0, 1, 1) + z(0, 0, 0, 0)

= (x+ 2y, x, y, x+ y) .

5. Vamos iniciar determinando uma base de R3 que inclua o vetor (1, 0, 1). Por exemplo, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} é base de R3 (verifique!). Agora definimos uma transformação linear por

(1, 0, 0)→ (1, 0) (0, 1, 0)→ (0, 1) (1, 0, 1)→ (0, 0) . Um vetor (x, y, z) se escreve nesta base como

(x, y, z) = (x− z)(1, 0, 0) + y(1, 0, 0) + z(1, 0, 1) Portanto,

T (x, y, z) = (x− z)(1, 0) + y(1, 0) + z(0, 0) = (x− z, y) .

6. Como dimR3 = dimP2(R) = 3, basta mostrar que T é injetora (ou que T é sobrejetora).

T (x1, x2, x3) = 0⇒ x1 + x2X + x3X2 = 0⇒ x1 = x2 = x3 = 0

7. Um isomorfismo é dado por T (x, y) = (x, y, 0).

CEDERJ 44

Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22

Aula 22 – Representação Matricial de uma

Transformação Linear

Objetivos

Determinar a representação matricial de uma transformação linear;

Determinar uma transformação linear a partir de sua representação matricial;

Na aula 18, vimos que toda transformação matricial é linear. Num

sentido inverso, mostraremos agora que toda transformação linear entre Na aula 18 dissemos que

faŕıamos isso na aula 23,

mas resolvemos adiantar esse

tópico!!

espaços vetoriais de dimensão finita é matricial, isto é, pode ser representada

por uma matriz, de modo que sua aplicação a um vetor do domı́nio se re-

suma a multiplicar essa matriz pelo vetor. Veremos que os elementos dessa

matriz dependem das bases escolhidas, tanto para o domı́nio quanto para o

contradomı́nio, como obtê-la e como aplicá-la em exerćıcios.

A idéia:

Dados V e W , espaços vetoriais, e T : V → W , linear, queremos determinar uma matriz M que nos possibilite escrever:

T (v) = Mv,

para todo v ∈ V .

Sejam:

V : espaço vetorial, de dimensão n;

W : espaço vetorial, de dimensão m;

A = {v1, v2, ..., vn}, base de V ; B = {w1, w2, ..., wm}, base de W ; T : V → W , uma transformação linear; v ∈ V . Primeiramente, como v ∈ V , e A é base de V , podemos escrever v como

combinação linear dos vetores de A, isto é, existem escalares α1, α2, ..., αn tais

45 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear

que

v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn. (1)

Usando (1) e a linearidade de T , podemos escrever:

T (v) = T (α1v1 +α2v2 + ...+αnvn) = α1T (v1)+α2T (v2)+ ...+αnT (vn). (2)

Cada vetor T (vi), i = 1, 2, ..., n, presente em (2), pertence a W ; logo,

pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base B. Ou seja,

para cada vetor vi, i = 1, 2, ..., n, de A, existem escalares a1i, a2i, ..., ami tais

que

T (vi) = a1iw1 + a2iw2 + ...+ amiwm.

Detalhando mais, temos:

T (v1) = a11w1 + a21w2 + ...+ am1wm

T (v2) = a12w1 + a22w2 + ...+ am2wm

...

T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + ...+ amnwm

Substituindo essas expressões em (2), temos:

T (v) = α1(a11w1 + a21w2 + ...+ am1wm)

+α2(a12w1 + a22w2 + ...+ am2wm)

+...

+αn(a1nw1 + a2nw2 + ...+ amnwm) =

= (α1a11 + α2a12 + ...+ αna1n)w1

+(α1a21 + α2a22 + ...+ αna2n)w2

+...

+(α1am1 + α2am2 + ...+ αnamn)wm (3)

O vetor T (v), por sua vez, está em W . Logo, pode ser escrito em relação

à base B, isto é, existem escalares β1, β2, ..., βm tais que

T (v) = β1w1 + β2w2 + ...+ βmwm. (4)

CEDERJ 46

Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22

Comparando as expressões (3) e (4), concluimos que:

β1 = a11α1 + a12α2 + ...+ a1nαn

β2 = a21α1 + a22α2 + ...+ a2nαn ...

βm = am1α1 + am2α2 + ...+ amnαn

As igualdades acima podem ser representadas na seguinte forma ma-

tricial:

 

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n ...

... ... ...

am1 am2 ... amn

 

 

α1

α2 ...

αn

 

=

 

β1

β2 ...

βm

 

(5)

Observe que os vetores-coluna que aparecem nessa igualdade são os

vetores-coordenadas dos vetores v e T (v), em relação às bases A e B, res-

pectivamente. Representando a matriz m × n por [T ]A,B, podemos escrever a igualdade (5) na forma:

[T ]A,B[v]A = [T (v)]B

Dizemos que a matriz [T ]A,B é a matriz de T (ou matriz associada a

T ) em relação às bases A e B.

Obtendo a matriz associada a uma transformação linear

Você não terá que repetir todo esse procedimento para obter a matriz

associada a uma transformação linear. Primeiramente, note que, se dimV =

n e dimW = m, então a matriz associada a uma transformação linear de V

em W é m× n e é tal que:

• a primeira coluna é formada pelos elementos do vetor-coordenadas de T (v1) em relação à base B, ou seja, é [T (v1)]B;

• a segunda coluna é formada pelos elementos do vetor-coordenadas de T (v2) em relação à base B, ou seja, é [T (v2)]B;

• de modo geral, a i-ésima coluna da matriz é a imagem do i-ésimo vetor da base A, escrito na base B.

47 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear

[T] A,B

B [T(v )]

1 B [T(v )] 2 B [T(v )] n

...=

Figura 1: A matriz [T ]A,B, onde A = {v1, v2, ..., vn}

Essa idéia está ilustrada na figura 1.

Observações. Quando as bases consideradas são as canônicas, dizemos

que a matriz obtida é a matriz canônica da transformação linear. Além

disso, quando lidamos com operadores lineares, ou seja, com transformações

lineares em que o domı́nio e o contradomı́nio coincidem, se consideramos uma

única base para representar, tanto os vetores de entrada quanto suas imagens,

podemos simplificar a notação. Por exemplo, sendo A a base escolhida,

representamos [T ]A,A por [T ]A.

Exemplo 32

Seja T : R2 → R3 a transformação linear dada por T (x, y) = (x + y, 2x, x− 3y). Vamos determinar a matriz associada a T , relativamente às bases A =

{(2, 1), (−1, 0)} e B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 3)}. Sabemos que [T ]A,B é do tipo 3 × 2 e que cada coluna é a imagem do

respectivo vetor da base A, escrita na base B. Vamos proceder aos seguintes

passos:

(1) Aplicar T aos vetores da base A:

T (2, 1) = (3, 4,−1)

T (−1, 0) = (−1,−2,−1)

(2) Explicitar como a base B gera R3, isto é, determinar como um vetor genérico de R3 se decompõe como combinação linear dos vetores de B:

(x, y, z) = a(1, 2, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 3)⇒

  

a = x

b = y − 2x c = x−y+z

3

.

CEDERJ 48

Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22

Assim, o vetor-coordenada de (x, y, z), em relação à baseB, é

 

x

y − 2x x−y+z

3

  .

(3) Obter os vetores-coordenadas dos vetores do item (1):

[(3, 4,−1)]A =

 

3

−2 −2

3

  e [(−1,−2,−1)]A =

  −1 0

0

 .

(4) Escrever a matriz:

[T ]A,B =

 

3 −1 −2 0 −2

3 0

 

No exemplo 1, dada uma transformação e fixadas duas bases, obtivemos

a matriz associada. No próximo exemplo seguiremos o percurso inverso:

vamos determinar a transformação, a partir da matriz.

Exemplo 33

Sejam A = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)} e B = {(1, 1), (2, 0)}, bases, respec- tivamente, de R3 e R2, e T : R3 → R2, transformação linear com matriz

associada [T ]A,B =

[ 1 1 2

0 3 0

] . Vamos determinar a transformação T , isto

é, a expressão de T (x, y, z), para (x, y, z) ∈ R3. Pela definição de matriz associada, temos que

T (1, 1, 0) = 1.(1, 1) + 0.(2, 0) = (1, 1)

T (0, 1, 0) = 1.(1, 1) + 3.(2, 0) = (7, 1)

T (0, 0, 2) = 2.(1, 1) + 0.(2, 0) = (2, 2)

Agora, vamos escrever (x, y, z) ∈ R3 em relação à base B:

(x, y, z) = a.(1, 1, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 2) = (a, a+ b, 2c).

Dáı, temos a = x; b = y − x e c = z 2 .

Então,

T (x, y, z) = x.T (1, 1, 0) + (y − x)T (0, 1, 0) + z 2 T (0, 0, 2)

= x(1, 1) + (y − x)(7, 1) + z 2

(2, 2)

= (−6x+ 7y + z, y + z).

49 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear

Exemplo 34

Seja T o operador linear definido em P3 tal que T (a + bx + cx 2 + dx3) =

(2a+ b) + (2b+ c)x+ (2c+ d)x2 + 2dx3. Determine a matriz canônica de T .

A base canônica de P3 é C = {1, x, x2, x3}. Vamos aplicar T em cada um dos vetores de C:

T (1) = 2⇒ [T (1)]C =

 

2

0

0

0

 ;

T (x) = 1 + 2x⇒ [T (x)]C =

 

1

2

0

0

 ;

T (x2) = x+ 2x2 ⇒ [T (x2)]C =

 

0

1

2

0

 ;

T (x3) = x2 + 2x3 ⇒ [T (x3)]C =

 

0

0

1

2

 ;

Logo, [T ]C =

 

2 1 0 0

0 2 1 0

0 0 2 1

0 0 0 2

 .

Resumo

Nesta aula vimos como determinar a matriz associada a uma trans-

formação linear. Essa matriz depende das bases de sáıda e de chegada, fi-

xadas. A representação matricial é privilégio das transformações lineares e

possibilita, entre outras aplicações importantes, um tratamento computacio-

nal: armazenando a matriz, a própria transformação linear está armazenada,

pronta para ser aplicada a quantidade de vezes que se fizer necessária. Nas

próximas aulas veremos que, à medida que operamos com transformações

lineares, operações análogas podem ser realizadas com as matrizes dessas

transformações.

CEDERJ 50

Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22

Exerćıcios

1. Determine a matriz [T ]A,B, sendo T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (2x+y−z, x+2y), A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} e B = {(−1, 1), (0, 1)}.

2. Determine o operador linear T , definido em R2, sabendo que sua matriz

em relação à base A = {1, 1), (1, 2)} é [

1 0

1 2

] .

3. Seja T : R3 → R2 tal que [T ]A,B = [

1 0 −1 −1 1 1

] , sendo A =

{(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B = {(−1, 0), (0,−1)}, bases do R3 e do R2, respectivamente.

(a) Encontre a expressão de T (x, y, z).

(b) Determine o núcleo de T .

(c) Determine a imagem de T .

(d) T é injetora? É sobrejetora?

4. Seja T a transformação linear de R3 em R2 dada por T (x, y, z) = (2x+ y − z, x + 2y). Fixadas as bases A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} e B = {(−1, 1), (0, 1)}, de R3 e R2, respectivamente, e considerando v = (1, 2, 0) ∈ R3,

(a) Dê o vetor-coordenadas de v em relação à base A.

(b) Calcule T (v).

(c) Determine o vetor-coordenadas de T (v) em relação à base B.

(d) Obtenha a matriz [T ]A,B.

(e) Calcule o vetor-coordenadas de T (v0 em relação à base B, usando

a matriz obtida no item d) (isto é, calcule [T ]A,B[v]A) e compare

com o item c)).

5. A transformação linear T : R2 → R3 tem matriz [T ]A,B =

 

3 1

2 5

1 −1

 ,

em relação às basesA = {(−1, 1), (1, 0)}, do R2, eB = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)}, do R3. Determine:

(a) A expressão de T (x, y).

51 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Representação Matricial de uma Transformação Linear

(b) A matriz canônica de T .

6. Sejam A = {(1,−1), (0, 2)} e B = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)}, bases

de R2 e R3, respectivamente, e [T ]A,B =

 

1 0

1 1

0 −1

 .

(a) Determine T .

(b) Ache uma base C de R3 tal que [T ]A,C =

 

1 0

0 0

0 1

 .

7. Considere o operador identidade I, definido em R2, isto é, o operador linear tal que I(x, y) = (x, y), para todo (x, y) ∈ R2. Considere as bases A = {(1, 1), (0,−1)} e B = {(2,−3), (−3, 5)}, de R2. Encontre a matriz [I]A,B.

Auto-avaliação

Basicamente, vimos duas técnicas: obter e aplicar a matriz associada

a uma transformação linear. Você deverá estar familiarizado com os passos

que levam à obtenção dessa matriz e, além disso, ter sempre em mente que

a matriz [T ]A,B só pode ser multiplicada por vetores representados na base

A, e que o produto é a imagem do vetor, escrita em relaçao à base B. Caso

você tenha alguma dúvida, entre em contato com o tutor da disciplina.

CEDERJ 52

Representação Matricial de uma Transformação Linear MÓDULO 3 - AULA 22

Respostas dos exerćıcios

1. [T ]A,B =

[ −2 −3 0

3 3 2

]

2. T (x, y) = 2x, 2x+ y)

3. (a) T (x, y, z) = (z − 2y,−x+ y) (b) ImT = R2

(c) N(T ) = [(1, 1, 2)] (subespaço de R3 gerado pelo vetor (1, 1, 2)).

(d) T não é injetora; T é sobrejetora.

4. (a)

 

5

−2 0

 

(b) (4, 5)

(c)

[ −4

9

]

(d)

[ −2 −3 0

3 3 2

]

5. (a) T (x, y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y)

(b) [T ] =

 

8 18

6 11

−2 −4

 

6. (a) T (x, y) = ( x−y

2 , x−y

2 , 2x+ y

)

(b) C = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (−1,−1, 2)}.

7.

[ 8 −3 5 −2

]

53 CEDERJ

A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23

Aula 23 – A Álgebra das Transformações

Pré-requisito: Aulas 2, 3, 18

a 22.Objetivos

Operar algebricamente com as transformaçõs lineares;

Reconhecer as analogia entre as operações efetuadas com transformações li-

neares e as efetuadas com suas matrizes associadas.

Reconhecer a estrutura de espaço vetorial no conjunto das transformações

lineares.

Na aula anterior, vimos que toda transformação linear entre espaços de

dimensão finita são matriciais. Por outro lado, nas aulas 2 e 3, do módulo I,

aprendemos a somar matrizes, a multiplicar uma matriz por um número real

e a multiplicar duas matrizes. Pois bem: nesta aula, iremos unir os conceitos

de operações com matrizes e com transformações lineares matriciais. Defini-

remos operações que nos possibilitarão combinar transformações lineares, de

modo a obter novas transformações lineares. Veremos, também, que, com es-

sas operações, o conjunto de todas as transformações lineares definidas entre

dois espaços fixados é, ele próprio, um espaço vetorial.

Adição de transformações lineares

Sejam V e W espaços vetoriais, T : V → W , S : V → W trans- formações lineares. Definimos a transformação soma de T e S como sendo:

(T + S) : V → W v 7→ T (v) + S(v)

Vamos mostrar que a soma de transformações lineares é uma trans-

formação linear. Para isso, sejam u, v ∈ V, α ∈ R. Então

• (T + S)(u+ v) = T (u+ v) + S(u+ v) = T (u) + T (v) + S(u) + S(v) = T (u) + S(u) + T (v) + S(v) = (T + S)(u) + (T + S)(v).

• (T + S)(αv) = T (αv) + S(αv) = αT (v) + αS(v) = α[T (v) + S(v)] = α(T + S)(v).

55 CEDERJ

Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações

Multiplicação de uma transformação linear por um número

real

Sejam V um espaço vetorial, T : V → W , uma transformação linear e k ∈ R. Definimos a transformação produto de k por T como sendo:

(kT ) : V → W v 7→ kT (v)

Vamos mostrar que o produto de transformação linear por escalar é

uma transformação linear. Para isso, sejam u, v ∈ V, α ∈ R. Então

• (kT )(u+v) = kT (u+v) = k(T (u)+T (v)) = kT (u)+kT (v) = (kT )(u)+ (kT )(v).

• (kT )(αv) = kT (αv) = kαT (v) = α[kT (v)] = α(kT )(v).

Podemos afirmar o seguinte resultado:

Sejam V e W espaços vetoriais. Com as operações de adição e mul-

tiplicação por escalar vistas acima, o conjunto de todas as transformações

lineares de V em W formam um espaço vetorial. Representaremos esse

espaço por L(V,W ). Além disso, se dimV = n e dimW = m, temos que

dimL(V,W ) = mn. No caso particular de V = W , o espaço vetorial de

todos os operadores lineares definidos em V será representado por L(V ). Você poderá encontrar uma

desmontração desse

resultado no livro de Álgebra

Linear, de Seymour

Lipschutz, da Coleção

Schaum.

Exemplo 35

Sejam T, S : R3 → R2 as transformações lineares dadas por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + z) e S(x, y, z) = (x, y). Então:

• (T + S)(x, y, z) = T (x, y, z) + S(x, y, z) = (2x+ y, x+ z).

• (3T )(x, y, z) = 3(x+ y, x− y + z) = (3x+ 3y, 3x− 3y + 3z).

• (2T−5S)(x, y, z) = 2(x+y, x−y+z)−5(x, y) = (−3x+2y, 2x−7y+2z).

CEDERJ 56

A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23

Composição de transformações lineares

Sejam V, U,W espaços vetoriais, T : V → U e S : U → W trans- formações lineares. Definimos a transformação composta S ◦ T como sendo:

S ◦ T : V → W v 7→ S(T (v))

A figura 1 ilustra essa idéia:

v T(v) S(T(v))

V U W T S

Figura 1: A transformação composta S ◦ T

Vamos mostrar que a composta de transformações lineares é uma trans-

formação linear. Para isso, sejam u, v ∈ V, α ∈ R. Então

• (S ◦ T )(u+ v) = S[T (u+ v)] = S[T (u) + T (v)] = S(T (u)) +S(T (v)) = (S ◦ T )(u) + (S ◦ T )(v).

• (S ◦ T )(αv) = S[T (αv)) = S[αT (v)] = αS(T (v)) = α(S ◦ T )(v). Exemplo 36

Sejam T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x+ y, 3x, x− 2y) e S : R3 → R4 dada por S(x, y, z) = (x+ y, x− y, 0, x+ y+ z). A transformação composta S ◦T , de R2 em R4, é dada por:

(S ◦T )(x, y) = S(T (x, y)) = S(x+y, 3x, x−2y) = (4x+y,−2x+y, 0, 5x−y).

As operações análogas com as matrizes associadas

Sendo V e W espaços vetoriais de dimensão finita, vimos, na aula 22,

que, fixadas bases em V e em W , cada transformação linear definida entre

esses espaços está associada a uma matriz. Ora, qual será a matriz associada

à soma de duas transformações lineares? E ao produto de uma transformação

linear por um escalar? E à composta de duas transformações lineares? Fa-

zendo os cálculos que levam à obtenção da matriz associada, chegamos às

seguintes conclusões:

57 CEDERJ

Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações

• A matriz associada à soma de duas transformações lineares é a soma das matrizes associadas a essas transformações.

• A matriz associada ao produto de uma transformação linear por um escalar é o produto da matriz associada à transformação pelo mesmo

escalar.

• A matriz associada à composta de duas transformações lineares é o produto (numa determinada ordem) das matrizes associadas às trans-

formações.

Mais formalmente, o que temos é:

• Se T e S são transformações lineares de V em W ; A é base de V ; B é base de W , então

[T + S]A,B = [T ]A,B + [S]A,B

• Se T é transformação linear de V em W ; A é base de V ; B é base de W e k ∈ R, então [kT ]A,B = k[T ]A,B

• Se T é transformação linear de V em U ; S é transformação linear de U em W ; A é base de V , B é base de U e C é base de W , então

[S ◦ T ]A,C = [T ]A,B.[S]B,C Exemplo 37

Vamos retomar as transformações do exemplo 1: T, S : R3 → R2, dadas por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + z) e S(x, y, z) = (x, y). As matrizes canônicas de T e S são:

[T ] =

[ 1 1 0

1 −1 1

] [S] =

[ 1 0 0

0 1 0

] .

Então (em cada caso, você pode obter a matriz diretamente e comparar os

resultados!!):

• [T + S] = [T ] + [S] = [

2 1 0

1 0 1

] .

• [3T ] = 3[T ] = [

3 3 0

3 −3 3

] .

• [2T−5S] = 2[T ]−5[S] = 2 [

1 1 0

1 −1 1

] −5 [

1 0 0

0 1 0

] =

[ −3 2 0

2 −7 2

] .

CEDERJ 58

A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23

Exemplo 38

Consideremos, novamente, as transformações dadas no exemplo 2: T : R2 → R3 e S : R3 → R4, com T (x, y) = (x+ y, 3x, x− 2y) e S(x, y, z) = (x+ y, x− y, 0, x + y + z). Vamos aplicar essas transformações aos vetores das bases

canônicas dos espaços envolvidos:

T (1, 0) = (1, 3, 1)

T (0, 1) = (1, 0,−2) S(1, 0, 0) = (1, 1, 0, 1)

S(0, 1, 0) = (1,−1, 0, 1) S(0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1).

Logo, [T ] =

 

1 1

3 0

1 −2

  e [S] =

 

1 1 0

1 −1 0 0 0 0

1 1 1

 

Dáı, [S ◦ T ] = [T ].[S] =

 

1 1 0

1 −1 0 0 0 0

1 1 1

  .

 

1 1

3 0

1 −2

  =

 

4 1

−2 1 0 0

5 −1

 .

Exemplo 39

Considere o operador linear T , definido em R2 tal que T (x, y) = (2x, x + 3y). Representamos por T 2 a composta T ◦ T . Vamos determinar a matriz (canônica) de T , a expressão de T 2 e a matriz de T 2.

Como T (1, 0) = (2, 1) e T (0, 1) = (0, 3), temos [T ] =

[ 2 0

1 3

] .

Agora, T 2(x, y) = T (T (x, y)) = T (2x, x+ 3y) = (4x, 5x+ 9y).

Temos duas maneiras de obter a matriz de T 2:

1. Pela construção da matriz associada:

T 2(1, 0) = (4, 5)

T 2(0, 1) = (0, 9)

Logo, [T 2] =

[ 4 0

5 9

] .

2. Usando o fato de que a matriz de T ◦ T é o produto da matriz de T por ela mesma:

59 CEDERJ

Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações

[T 2] = [T ].[T ] = [T ]2 =

[ 2 0

1 3

] .

[ 2 0

1 3

] =

[ 4 0

5 9

] , como já

hav́ıamos obtido.

Resumo

Nesta aula aprendemos a obter novas transformações lineares, através

de operações algébricas e de composição de transformações lineares. Vimos,

também, como as matrizes associadas das transformações lieares envolvidas

nas operações se relacionam entre si. Nas próximas aulas estudaremos, em

detalhes, as principais transformações lineares geométricas (aquelas definidas

em R2 e em R3) e exploraremos bastante a praticidade de se trabalhar com composição de transformações e suas matrizes associadas.

Exerćıcios

1. Sejam T e S transformações lineares de R3 em R2 definidas por T (x, y, z) = (3x, y − z) e S(x, y, z) = (x− z, x+ y + z). Encontre fórmulas para as transformações T + S, 4T e 3T − 2S.

2. Sejam T : R2 → R3 e S : R3 → R2 dadas por T (x, y) = (5x, x−y, 3y) e S(x, y, z) = (x+ 3z, 2y− z). Deduza fórmulas para as compostas S ◦T e T ◦ S.

3. Na aula 18, exerćıcio 5, você descreveu, geometricamente, o efeito de

cada aplicação dada, nos vetores de R2. As transformações dadas fo- ram:

T1(v) =

[ 3 0

0 3

] T2(v) =

[ −1 0

0 −1

]

T3(v) =

[ 1/2 0

0 1/2

] T4(v) =

[ 0 0

0 1

]

Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de cada trans-

formação linear abaixo, nos vetores de R2:

(a) T3 ◦ T1 (b) T1 ◦ T2 (c) T4 ◦ T2

CEDERJ 60

A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23

4. Sejam F e T operadores lineares em R2 definidos por F (x, y) = (y, x) e T (x, y) = (0, x). Estabeleça fórmulas que definam os operadores

F + T, 2F − 3T e TF ◦ T .

5. Seja C = {e1, e2, e3} a base canônica de R3. Seja T ∈ L(R3) o operador dado por T (e1) = e2;T (e2) = e3 e T (e3) = e1.

(a) Determine T (x, y, z).

(b) Mostre que T 3 = I.

(Obs.: T 3 = T ◦ T ◦ T ; I indica o operador identidade.)

6. Sejam T, F ∈ L(V ) tais que T ◦ F = F ◦ T . Mostre que:

(a) (T + F )2 = T 2 + 2(T ◦ F ) + F 2

(b) (T + F ) ◦ (T − F ) = T 2 − F 2

7. Dizemos que um operador T ∈ L(V ) é idempotente quando T 2 = T . Dizemos que um operador T ∈ L(V ) é nilpotente quando T n = 0 (operador nulo), para algum número n natural.

Determine se os seguintes operadores lineares são idempotentes, nilpo-

tentes, ou nenhuma das duas coisas:

(a) T ∈ L(R2 tal que T (x, y) = (0, x).

(b) O operador derivação D ∈ L(Pn).

(c) T ∈ L(R3 tal que T (x, y, z) = (−x,−y,−z)

(d) F ∈ L(R2 dado por F (x, y) = (x, 0)

(e) T ∈ L(R3) tal que T (x, y, z) = (z, x, y)

8. Desafio: Suponha T : V → U e S : U → W , transformações lineares. Demonstre o seguinte:

(a) Se T e S são injetoras, então S ◦ T é injetora.

(b) Se T e S são sobrejetoras, então S ◦ T é sobrejetora.

(c) Se S ◦ T é injetora, então T é injetora.

(d) Se S ◦ T é sobrejetora, então S é sobrejetora.

61 CEDERJ

Álgebra Linear 1 A Álgebra das Transformações

Auto-avaliação

Esta aula reuniu conceitos que você talvez já conhecesse, como soma

e composição de funções, e operações com matrizes. O interessante é reunir

essas idéias e verificar como as operações entre transformações lineares são

análogas ao que ocorre com as matrizes associadas. Além disso, o fato de

que o conjunto das transformações lineares seja um espaço vetorial nos dá a

visão de como podeŕıamos construir novos espaços, num processo infinito: o

próximo passo seria considerar o conjunto das transformações lineares defini-

das entre espaços de transformações lineares!! Se você tiver sentido qualquer

dificuldade na resolução dos exer-ćıcios, ou na compreensão dos exemplos,

peça ajuda do tutor da disciplina. As próximas duas aulas serão de aplicação

desses conceitos às principais transformações geométricas. Vamos a elas!!

Respostas dos exerćıcios

1. (T + S)(x, y, z) = (4x− z, x+ 2y) (4T )(x, y, z) = (12x, 4y − 4z) (3T − 2S)(x, y, z) = (7x+ 2z,−2x+ y − 5z)

2. (S ◦ T )(x, y) = S(5x, x− y, 3y) = (5x+ 9y, 2x− 5y). (T ◦ S)(x, y, z) = T (x+ 3z, 2y − z) = (5x+ 15z, x− 2y + 4z, 6y − 3z).

3. (a) Dilatação por um fator de 3 e rotação, no sentido anti-horário, de

180o.

(b) Dilatação por um fator de 3/2.

(c) Contração por um fator de 1/2 e projeção sobre o eixo y.

4. F + T )(x, y) = (y, 2x); (2F − 3T )(x, y) = (2y,−x); (F ◦ T )(x, y) = (x, 0)

5. T (x, y, z) = (z, x, y)

6. (a) Seja v ∈ V . Então (T + F )2(v) = [(T + F ) ◦ (T + F )](v) = (T + F )[(T + F )(v)] =

= (T + F )[T (v) + F (v)] =

= T [T (v) + F (v)] + F [T (v) + F (v)] =

= T (T (v)) + T (F (v)) + F (T (v)) + F (F (v)) =

= (T ◦ T )(v) + (T ◦ F )(v) + (F ◦ T )(v) + (F ◦ F )(v). Como T ◦ F = F ◦ T , temos:

CEDERJ 62

A Álgebra das Transformações MÓDULO 3 - AULA 23

(T + F )2(v) = (T ◦ T )(v) + 2(T ◦ F )(v) + (F ◦ F )(v) = T 2(v) + 2(T ◦ F )(v) + F 2(v). Como essa igualdade se verifica para qualquer v ∈ V , temos que (T + F )2 = T 2 + 2(T ◦ F ) + F 2.

(b) Seja v ∈ V . [(T + F ) ◦ (T − F )](v) = (T + F )[(T − F )(v)] =

= (T + F )[T (v)− F (v)] = = T (T (v)− F (v)) + F (T (v)− F (v)) = = T (T (v))− T (F (v)) + F (T (v))− F (F (v))

.

Como T ◦ F = F ◦ T , temos: [(T + F ) ◦ (T − F )](v) = T (T (v))− F (F (v)) = T 2(v)− F 2(v). Como essa igualdade se verifica para qualquer v ∈ V , temos que (T + F ) ◦ (T − F ) = T 2 − F 2.

7. (a) nilpotente (T 2 = 0)

(b) nilpotente (A derivada de ordem n + 1 de um polinômio de grau

menor ou igual a n é o polinômio nulo.)

(c) idempotente

(d) idempotente

(e) nenhuma das duas coisas

8. (a) Vamos supor que existem u e v em V tais que (S ◦ T )(u) = (S ◦ T )(v). Então S(T (u)) = S(T (v)). Como S é injetora, T (u) =

T (v). Como T é injetora, u = v. Logo, se (S ◦T )(u) = (S ◦T )(v), então u = v, o que prova que S ◦ T é injetora.

(b) Seja w ∈ W . Como S é sobrejetora, existe u ∈ U tal que S(u) = w. Como T é sobrejetora, existe v em V para o qual T (v) =

u. Assim, (S ◦ T )(v) = S(T (v)) = S(u) = w. Logo, S ◦ T é sobrejetora.

(c) Suponhamos T não injetora. Então, existem vetores distintos,

v1, v2, em V , para os quais T (v1) = T (v2). Assim, (S ◦ T )(v1) = S(T (v1)) = S(T (v2)) = (S ◦ T )(v2); logo, S ◦ T não é injetora, o que contraria a nossa hipótese. Portanto, T é injetora.

(d) Se v ∈ V , então (S ◦T )(v) = S(T (v)) ∈ ImS. Isto é, Im(S ◦T ) ⊂ ImS. Vamos supor que S não é sobrejetora. Então ImS está

propriamente contida em W .

Lembrando: Uma função

f : A→ B é sobrejetora quando Im(f) = B. Logo,

quando f não é sobrejetora,

sua imagem é um

subconjunto próprio do

contradomı́nio B.Logo, Im(S◦T ) está propriamente contida emW . Assim, S◦T não é sobrejetora, o que nega a nossa hipótese. Logo, S é sobrejetora.

63 CEDERJ

Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24

Aula 24 – Transformações especiais no R2

Objetivos

Estudar alguns tipos de transformações do R2: rotação, reflexão, escala e cisalhamento.

Nesta aula estudaremos algumas transformações especiais no R2. Va- mos começar pela transformação de escala.

Transformação de escala

Dado um escalar k, a transformação T : R2 → R2 definida por

T (x) = kx

é chamada transformação de escala. Também chamamos esta transformação

de contração quando 0 ≤ k < 1 e de dilatação quando k > 1. Este tipo de transformação mantém a direção e sentido de cada vetor

de R2, multiplicando o módulo do vetor pelo escalar k, como mostra a figura a seguir.

x

y

v

T(v)

w T(w)

Figura 1: Transformação de escala

Quando estudamos uma transformação linear, muitas vezes é interes-

sante observar sua ação sobre uma certa região do plano. Por exemplo,

observar como ela transforma o quadrado unitário

{(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1}

ou o ćırculo unitário

{(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} .

65 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2

Vejamos a ação da dilatação T (x) = 1, 5x nestes dois casos:

������

������

������

������

������

������

������

������

������

������

������

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     































       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

T

Figura 2: Ação de T (x) = 1, 5x em um ćırculo













   

   

   

   

   

   



















   

   

   

   

   

   

   

   

   

T

Figura 3: Ação de T (x) = 1, 5x em um quadrado

Cisalhamento

Uma transformação de cisalhamento é uma transformação T : R2 → R2,

dada pela matriz

[ 1 k

0 1

] ou pela matriz

[ 1 0

k 1

] , onde k é um número

real não-nulo.

A transformação dada por

[ 1 k

0 1

] , isto é

T (x, y) =

[ 1 k

0 1

][ x

y

] =

[ x+ ky

y

]

é chamada cisalhamento horizontal. Observe, na figura a seguir, o efeito

desta transformação dada por

[ 1 1

0 1

] sobre o quadrado unitário.

CEDERJ 66

Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24

T(x,y)=(x+y,y)

11

1 1

2

Figura 4: Cisalhamento horizontal

A transformação dada por

[ 1 0

k 1

] , ou seja

T (x, y) =

[ 1 0

k 1

][ x

y

] =

[ x

kx+ y

]

é chamada cisalhamento vertical. Observe, na figura a seguir, o efeito desta

transformação dada por

[ 1 0

1 1

] sobre o quadrado unitário.













  

  

  

  

  

  























  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

1

1 1

2

1

T(x,y) = (x,x+y)

Figura 5: Cisalhamento horizontal

Para mostrar que uma transformação de cisalhamento leva o quadrado

unitário em um paralelogramo, basta notar que uma transformação deste

tipo leva segmentos de reta em segmentos de reta. A reta ax + by = c é

levada pela transformação T (x, y) = (x+ ky, y), por exemplo, na reta

a(x+ ky) + by = c ⇒ ax+ (ak + b)y = c .

Além disso, retas paralelas ax + by = c e ax + by = c′ são claramente

levadas em retas paralelas. Portanto, os vértices do quadrado unitário são

levados em vértices de um paralelogramo.

67 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2

Rotação no plano

Seja v = (x, y) um vetor no plano. Suponha que este vetor faça um

ângulo θ com o eixo-x. Seja v′ = (x′, y′) o vetor obtido rodando v de um

ângulo φ, no sentido anti-horário, como mostra a figura abaixo.

x

y

θ

v

v′

φ

Figura 6: Rotação no plano

Vamos determinar a transformação linear que realiza a rotação de um

determinado ângulo. Se um vetor v faz um ângulo θ com o eixo-x, as

coordenadas deste vetor são (||v|| cos θ, ||v|| sin θ), como mostra a figura abaixo.

x

y

||v|| cos θ

θ

||v|| ||v|| sin θ v

Figura 7: Coordenadas do vetor v

Portanto, podemos escrever

v = (x, y) = (||v|| cos θ, ||v|| sin θ).

Observando que ||v′|| = ||v|| e que v′ faz um ângulo θ+φ com o eixo-x, podemos escrever

v′ = (x′, y′) = (||v|| cos(θ + φ), ||v|| sin(θ + φ)) .

CEDERJ 68

Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24

Logo,

As fórmulas para o cosseno e

o seno da soma de dois

ângulo são cos(a+ b) =

cos a cos b− sin a sin b e sin(a+ b) =

sin a cos b+ sin b cos a

x′ = ||v|| cos(θ + φ) = ||v||(cos θ cosφ− sin θ sinφ) = (||v|| cos θ) cosφ− (||v|| sin θ) sinφ = x cosφ− y sinφ

y′ = ||v|| sin(θ + φ) = ||v||(sin θ cosφ+ cos θ sinφ) = (||v|| sin θ) cosφ+ (||v|| cos θ) sinφ = x sinφ+ y cosφ

Isto é [ x′

y′

] =

[ x cosφ− y sinφ x sinφ+ y cosφ

] =

[ cosφ − sinφ sinφ cosφ

][ x

y

]

Assim, a transformação linear dada pela matriz

[ cosφ − sinφ sinφ cosφ

] tem,

em termos geométricos, o efeito de fazer uma rotação, no sentido anti-horário,

de um ângulo φ.

Aplicando a transformação de rotação de um ângulo φ aos vetores (1, 0)

e (0, 1), obtemos (observe a figura 8).

[ cosφ − sinφ sinφ cosφ

][ 1

0

] =

[ cosφ

sinφ

] e

[ cosφ − sinφ sinφ cosφ

][ 0

1

] =

[ − sinφ cosφ

]

69 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2

x

y

φ

φ (cosφ, sinφ)

(− sinφ, cosφ)

(1, 0)

(0, 1)

Figura 8: Rotação de um ângulo φ aplicada aos vetores (1, 0) e (0, 1)

Exemplo 1

A matriz da transformação linear que tem o efeito geométrico de uma rotação

de 450, no sentido anti-horário é a matriz

[ cos 450 − sin 450 sin 450 cos 450

] =

[ √ 2

2 − √

2 2√

2 2

√ 2

2

] .

Reflexões

A transformação T (x, y) = (−x,−y) é chamada reflexão na origem. Este nome é devido ao fato de que os pontos (x, y) e (−x,−y) são simétricos em relação à origem, isto é, a origem é ponto médio do segmento de reta

ligando estes dois pontos. Veja, na figura a seguir, a ação desta transformação

no quadrado unitário.























  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

 

 

 

 

 

  

  

  

  

  

  

(−x,−y)

(x,y)

−1

−1













  

  

  

  

  

  

T(x,y) = (−x,−y)

1

1

Figura 9: Reflexão na origem

Dois pontos são ditos simétricos em relação a uma reta quando esta

reta é a mediatriz do segmento que liga estes pontos.

A mediatriz a um segmento

AB é a reta que é

perpendicular ao segmento

AB e o corta no ponto

médio.

CEDERJ 70

Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24





































        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

A

B r

Figura 10: Os pontos A e B são simétricos em relação à reta r

Uma transformação T é uma reflexão na reta r, quando o ponto T (x, y)

é o simétrico, em relação a r, do ponto (x, y). Alguns exemplos de reflexões

em relação a retas são os seguintes.

1. A reflexão no eixo x e dada pela matriz

[ 1 0

0 −1

] , ou seja, é dada por

T (x, y) = (x,−y).

2. A reflexão no eixo y e dada pela matriz

[ −1 0 0 1

] , ou seja, é dada por

T (x, y) = (−x, y).

3. A reflexão na reta y = −x é dada pela matriz [

0 −1 −1 0

] , ou seja, é

dada por T (x, y) = (−y,−x).

As figuras a seguir ilustram estas três reflexões.













  

  

  

  

  

  

 

 

 

 

 

 

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

T(x,y) = (x,−y)

1

1

Figura 11: Reflexão no eixo x

71 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2

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$$$

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T(x,y) = (−x,y)

1

1

Figura 12: Reflexão no eixo y

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*********

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

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- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

T(x,y) = (−y,−x)

1

1

y=x

(x,y)

(−y,−x)

Figura 13: Reflexão na reta y = x

Projeção

A projeção de um ponto A sobre uma reta r é um ponto P ∈ r tal que AP é perpendicular à reta.

......

......

......

......

......

......

......

......

......

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

/ / / / / /

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A r

P

Figura 14: Projeção do ponto A sobre a reta r

A transformação de projeção na reta r leva cada ponto em sua projeção

na reta r, isto é, o ponto T (x, y) é a projeção do ponto (x, y) na reta r.

CEDERJ 72

Transformações especiais no R2 MÓDULO 3 - AULA 24

São exemplos de projeção:

1. A projeção sobre o eixo x é dada pela matriz

[ 1 0

0 0

] , ou seja, é dada

por T (x, y) = (x, 0).

2. A projeção sobre o eixo y é dada pela matriz

[ 0 0

0 1

] , ou seja, é dada

por T (x, y) = (0, y).

As figuras a seguir ilustram estas duas projeções.

222

222

222

222

222

222

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

444

5 5 5

T(x,y) = (x,0)

1

1

1

Figura 15: Projeção no eixo x

666

666

666

666

666

666

7 7 7

7 7 7

7 7 7

7 7 7

7 7 7

7 7 7

T(x,y) = (0,y)

1

1 1

Figura 16: Projeção no eixo y

Resumo

Nesta aula estudamos algumas transformações lineares T : R2 → R2 de especial importância.

Outras transformações lineares podem ser constrúıdas por composicão

de duas ou mais das transformações apresentadas nesta aula. Observe que a

composição de transformações lineares é uma transformação linear.

73 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R2

Exerćıcios

1. Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transformações dadas

pelas seguintes matrizes:

(a)

[ 2 0

0 2

]

(b)

[ 1 2

0 1

]

(c)

[ 1 0

2 1

]

2. Determine a matriz da transformação de rotação de um ângulo de 450.

3. Determine a matriz da transformação linear que leva a uma reflexão na

origem seguida de uma rotação de 300.

4. Determine a núcleo da projeção sobre o eixo x.

5. Determine a núcleo da transformação de rotação de 600, seguida de

projeção sobre o eixo y.

CEDERJ 74

Transformações especiais no R3 MÓDULO 3 - AULA 25

Aula 25 – Transformações especiais no R3

Objetivos

Ver alguns exemplos de transformações lineares no R3.

Há muito mais transformações lineares básicas no R3 do que no R2. Por exemplo, no R2 vimos as projeções nos eixos x e y. Já no R3 temos as projeções nos 3 eixos coordenados (eixos x, y e z), mais as projeções nos 3

planos coordenados (planos xy, xz e yz). Em vez de fazer um estudo completo

de todas essas transformações lineares que poderiam ser consideradas básicas,

veremos, nesta aula, uma série de exemplos de transformações lineares no R3.

Exemplo 1

Transformações de escala.

As transformações T : R3 → R3, dadas por T (x, y, z) = λ(x, y, z), onde λ ∈ R, λ ≥ 0 e λ 6= 1, são chamadas transformações de escala. Elas têm o efeito de dilatar (se λ > 1) ou contrair (se 0 ≤ λ < 1) um objeto no R3.

Exemplo 2

Projeções nos eixos coordenados.

A transformação T : R3 → R3, dada por T (x, y, z) = (x, 0, 0) é chamada projeção sobre o eixo x. As transformações dadas por T (x, y, z) = (0, y, 0) e

T (x, y, z) = (0, 0, z) são as projeções sobre os eixos y e z, respectivamente.

A

B

Figura 1: O segmento AB ′ é a projeção no eixo x do segmento AB

75 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R3

Vamos estudar agora alguns exemplos que envolvem rotações.

Exemplo 3

Determine a matriz da transformação linear que tem o efeito geométrico de

uma rotação de 300 em torno do eixo z.

P

Q

x

y

z

30

a

b b´

c

Figura 2: O ponto Q é obtido do ponto P por rotação de 300 em torno do

eixo z

Seja P = (a, b, c) e seja Q o ponto obtido por rotação de 300 em torno do

eixo z. Então Q possui a mesma coordenada em z que o ponto P . Podemos

escrever Q = (a′, b′, c).

Seja P ′ e Q′ as projeções dos pontos P e Q sobre o plano cartesiano xy.

Então

P ′ = (a, b, 0) e Q′ = (a′, b′, 0)

e temos que Q′ é obtido de P ′ por uma rotação de 300.

Lembrando que a rotação de um ângulo θ no plano é dada por

[ cos θ − sen θ sen θ cos θ

] ,

temos que

[ a′

b′

] =

[ cos 300 − sen 300 sen 300 cos 300

][ a

b

] =

[ √ 3

2 −1

2 1 2

√ 3

2

][ a

b

] .

CEDERJ 76

Transformações especiais no R3 MÓDULO 3 - AULA 25

Portanto,

Q =

  a′

b′

c

  =

 

√ 3

2 −1

2 0

1 2

√ 3

2 0

0 0 1

 

  a

b

c

  .

Assim, a matriz

 

√ 3

2 −1

2 0

1 2

√ 3

2 0

0 0 1

  é a matriz da transformação linear

rotação de 300 em torno do eixo z.

Note que a rotação em torno de uma reta qualquer passando pela origem

é uma transformação linear, mas a rotação em torno de uma reta que não

passa pela origem não é uma transformação linear. Basta notar que, neste

último caso, a origem seria levada para outro ponto que não a própria origem.

A figura abaixo representa uma rotação em torno do eixo y.

x y

z

Figura 3: Rotação em torno do eixo y

Exemplo 4

Calcule a matriz da transformação linear obtida por uma rotação de 300 em

torno do eixo z, seguido de uma rotação de 450 em torno do eixo y e de uma

dilatação de um fator √

2.

Neste exemplo, temos uma transformação composta, que é a com-

posição de 3 transformações.

77 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R3

A primeira delas, rotação de 300 em torno do eixo z, foi estudada no

exemplo anterior. Vimos que tem matriz

 

√ 3

2 −1

2 0

1 2

√ 3

2 0

0 0 1

 . Vamos agora

calcular a matriz da segunda transformação.

Uma rotação em torno do eixo y preserva a coordenada y e faz uma

rotação nas coordenadas x e z. A matriz de uma rotação no plano de 450 é

[ cos θ − sen θ sen θ cos θ

] =

[ cos 450 − sen 450 sen 450 cos 450

] =

[ √ 2

2 − √

2 2√

2 2

√ 2

2

] .

Assim, a matriz da transformação rotação de 450 em torno do eixo y é

 

√ 2

2 0 −

√ 2

2

0 1 0√ 2

2 0

√ 2

2

  .

Com relação à terceira transformação, a matriz de dilatação de um

fator de √

2 é  

√ 2 0 0

0 √

2 0

0 0 √

2

  .

Finalmente, a transformação linear que é a composta destas três trans-

formações é dada pelo produto das três matrizes (observe a ordem):

 

√ 2 0 0

0 √

2 0

0 0 √

2

 

 

√ 2

2 0 −

√ 2

2

0 1 0√ 2

2 0

√ 2

2

 

 

√ 3

2 −1

2 0

1 2

√ 3

2 0

0 0 1

 

=

 

1 0 −1 0 √

2 0

1 0 1

 

 

√ 3

2 −1

2 0

1 2

√ 3

2 0

0 0 1

 

=

 

√ 3

2 −1

2 −1√

2 2

√ 6

2 0√

3 2 −1

2 1

 

CEDERJ 78

Transformações especiais no R3 MÓDULO 3 - AULA 25

Aplicações em computação gráfica

A computação gráfica é uma área da Matemática que estuda a repre-

sentação em um computador de imagens e movimentos. É um campo que

tem inúmeras aplicações, que vão desde as simulações de carros e aviões em

túneis de vento aos efeitos especiais nos filmes de cinema e à modelagem

molecular e realidade virtual.

Basicamente, uma imagem consiste em uma certa quantidade de pontos

e retas ou curvas ligando estes pontos e, muitas vezes, em informações de

como preencher a área limitada por estas retas e curvas.

Quando o objeto é representado por segmentos de reta, algumas trans-

formações usuais em computação gráfica levam segmentos de retas em outros

segmentos de reta. Várias destas transformações podem ser representadas

por transformações lineares. Assim, a matemática envolvida na computação

gráfica muitas vezes consiste na multiplicação de matrizes representando

transformações lineares por matrizes que representam objetos.

A molécula ao lado é de uma

protéına chamada crambin,

encontrada em algumas

sementes. Ela possui 327

átomos.

Figura 4: Modelagem da molécula de uma protéına

79 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Transformações especiais no R3

Coordenadas homogêneas

Vimos anteriormente que a translação não é uma transformação linear.

Isto cria uma dificuldade pois, por exemplo, o movimento de arrastar um

objeto, que seria naturalmente uma translação, não pode ser representado

matematicamente por um produto de matrizes.

Uma maneira de evitar este problema é utilizar coordenadas homogêneas,

que definiremos a seguir. Cada ponto (x, y) ∈ R2 é identificado com o ponto (x, y, 1) ∈ R3. Dizemos que (x, y, 1) são as coordenadas homogêneas do ponto (x, y). Desta forma, identificamos o plano R2 com o plano z = 1.

Não podemos somar coordenadas homogêneas ou multiplicá-las por es-

calar, pois, por exemplo, 2 ∗ (x, y, 1) = (2x, 2y, 2). Como este último ponto não tem z−coordenada 1, foge a identificação que fizemos ((x, y)↔ (x, y, 1)).

De qualquer forma, a multiplicação de um ponto (x, y, 1) por uma ma-

triz do tipo

[ A 0

0 1

] , onde A é uma matriz 2× 2, leva a um ponto da forma

(x′, y′, 1), que pode ser identificado com (x′, y′) ∈ R2. Uma translação da forma (x, y) → (x + a, y + b) não é linear, logo

não pode ser escrita como produto por uma matriz 2 × 2. No entanto, em coordenadas homogêneas, esta mesma translação é descrita como

(x, y, 1)→ (x+ a, y + b, 1) .

Esta transformação pode ser calculada como produto de matrizes na

forma a seguir:   x+ a

y + b

1

  =

 

1 0 a

0 1 b

0 0 1

 

  x

y

1

  .

Desta forma, descrevemos a translação como produto de matrizes.

Há uma área da Matemática chamada Geometria Algébrica, onde as

coordenadas homogêneas têm um papel fundamental, mas não exatamente

pela razão exposta acima. Nela, as coordenadas homogêneas são represen-

tadas pelo śımbolo (x : y : z), onde x, y e z não podem ser todos nulos, e

fazemos a identificação

(x : y : z) = (x′ : y′ : z′)

se existe λ 6= 0 tal que

x = λx′, y = λy′, e z = λz′ .

CEDERJ 80

Transformações especiais no R3 MÓDULO 3 - AULA 25

O conjunto dos pontos dados por coordenadas homogêneos é chamado

Espaço Projetivo, que é, por assim dizer, o espaço onde atua a geometria

algébrica.

Resumo

Nesta aula vimos alguns exemplos de transformações lineares no R3, em especial a rotação em torno de um dos eixos coordenados.

Tocamos, de uma forma muito inicial, o imenso campo das aplicações

da Álgebra Linear, examinando um pouco da representação de objetos e seus

movimentos.

Por fim, falamos um pouco das coordenadas homogêneas, que têm uma

aplicação interessante na computação gráfica e um papel fundamental na

Geometria Algébrica.

Exerćıcios

1. Determine as seguintes transformações lineares:

(a) Projeção sobre o eixo z;

(b) Projeção sobre o plano yz;

2. Encontre a matriz da transformação de rotação de um ângulo de 450,

em torno do eixo x.

3. Encontre a tranformação linear que tem o efeito de uma rotação de 300

em torno do eixo y, seguido de uma projeção sobre o plano yz.

4. Determine a tranformação que leva a uma rotação de 300 em torno do

eixo z, seguida de uma rotação de 300 em torno do eixo y.

81 CEDERJ

Operadores lineares inverśıveis MÓDULO 3 - AULA 26

Aula 26 – Operadores lineares inverśıveis

Pré-requisito: Aulas 4, 18 a

25. Objetivos

Identificar operadores lineares inverśıveis;

Obter o inverso de operadores lineares inverśıveis.

Nesta aula iremos identificar operadores lineares inverśıveis. O conceito

é o mesmo de função inversa, vista em Matemática elementar, e já estudada

em pré-cálculo: uma função é inverśıvel quando existe uma outra que, com-

posta com ela, resulta na função identidade. Você também já estudou que

uma função é inverśıvel se, e somente se, é injetora e bijetora. Por outro

lado, na aula 4, Módulo 1, vimos o método de escalonamento para inverter

matrizes. Nesta aula, uniremos as duas idéias e aprenderemos a decidir se

um operador linear é ou não inverśıvel e, quando o for, obter a expressão e a

matriz associada do operador linear inverso. É claro que as matrizes asso- ciadas a operadores lineares

são quadradas.

Definição

Um operador linear T ∈ L(V ) é inverśıvel se existe T−1 ∈ L(V ) tal que T ◦ T−1 = T−1 ◦ T = I (operador identidade definido em V ).

Na aula 21, vimos o Teorema do núcleo e da imagem, válido em espaços

vetoriais de dimensões finitas. Recordando:

Dada uma transformação linear T : V → W , tem-se dimV = dimN(T )+ dim Im(T ).

Como conseqüências desse teorema, vimos, também, que:

(i) T é injetora se, e somente se, N(T ) = {oV }.

(ii) T é sobrejetora se, e somente, se dim Im(T ) = dimW .

(iii) Se dimV = dimW então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora.

Podemos concluir, então, que para que um operador linear T ∈ L(V ) seja inverśıvel, é suficiente que seja injetor (ou sobrejetor). Em outras pala-

vras: ou um operador é inverśıvel (injetor e sobrejetor) ou não é nem injetor,

nem sobrejetor. Isto é, as duas condições são satisfeitas ou nenhuma da duas

é satisfeita.

83 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operadores lineares inverśıveis

Pela observação (i), acima, para decidir se um operador linear é ou não

inverśıvel, basta determinar o seu núcleo, pois:

T é inverśıvel ⇔ N(T ) = {oV }.

Observação. Um operador linear inverśıvel, definido no espaço vetorial V ,

é chamado um automorfismo de V .

Exemplo 1

Consideremos o operador linear definido em IR3 dado por T (x, y, z) = (x − y, 2x, y + z). O núcleo de T é {(0, 0, 0)}. Logo, T é injetor e, pelo que foi dito anteriormente, inverśıvel. Vamos encontrar uma fórmula para T −1. Su-

ponhamos que T (x, y, z) = (a, b, c). Então T−1(a, b, c) = (x, y, z). Isto é:

T (x, y, z) = (x − y, 2x, y + z) = (a, b, c). Precisamos expressar x, y e z em função de a, b e c:  

x− y = a 2x = b

y + z = c

  

x = b/2

y = −a+ b/2 z = a− b/2 + c

Logo, T−1(a, b, c) = (b/2,−a+ b/2, a− b/2 + c).

Matriz associada ao operador inverso

Suponhamos que o operador T : V → V seja inverśıvel. Então existe T−1 ∈ L(V ) tal que

T ◦ T−1 = I. (1)

Sejam [T ] e [T−1] as matrizes canônicas de T e de seu operador inverso,

respectivamente. Na aula 23, vimos que a matriz associada à composta de

duas transformações lineares é o produto das matrizes associadas às trans-

formações. Então, podemos escrever

[T ◦ T−1] = [T ].[T−1]. (2)

Como a matriz canônica do operador identidade é a identidade, em (1),

temos:A letra I indica tanto o ope- rador quanto a matriz identi-

dade. [T ◦ T−1] = I. (3)

De (2) e (3), temos:

[T ].[T−1] = I. (4)

CEDERJ 84

Operadores lineares inverśıveis MÓDULO 3 - AULA 26

A expressão (4) nos diz que:

• Se o operador T é inverśıvel, então sua matriz associada também é inverśıvel.

• A matriz associada ao operador inverso de T é a inversa da matriz associada a T .

A partir disso, para verificar se um operador linear é inverśıvel, podemos

verificar se sua matriz associada é inverśıvel, pelo método do escalonamento:

se o procedimento for bem-sucedido, além de concluir que o operador é in-

verśıvel, já teremos a matriz do seu inverso. Caso contrário (a matriz não

ser inverśıvel), o operador em questão não será inverśıvel.

Além disso, se estivermos interessados apenas em saber se o operador

é ou não inverśıvel, sem a preocupação de obter uma fórmula para o seu

inverso, podemos calcular o determinante de sua matriz associada, pois:

O operador linear T é inverśıvel se, e somente se, det [T ] 6= 0.

Observação. Como dito acima, estamos nos referindo, aqui, à matriz

canônica do operador T . Veremos, na próxima aula, que o determinante

da matriz associada a um operador linear é uma constante, isto é, independe

da base escolhida para a representação do operador. Poderemos, inclusive,

nos referir ao determinante do operador. Logo, os mesmos resultados vistos

nesta aula se aplicam às matrizes de T relativas a outras bases, que não a

canônica.

Exemplo 2

Seja T ∈ L(IR3) dado por T (x, y, z) = (3x − y + 4z, x + 2z, 2x + 3y − 5z). Vamos escrever sua matriz canônica e aplicar o método de inversão por es- Esta matriz já foi analisada

no exemplo 3 da aula 4.

calonamento: [T ] =

 

3 1 2

−1 0 3 4 2 −5

 ⇒

 

3 1 2 | 1 0 0 −1 0 3 | 0 1 0

4 2 −5 | 0 0 1

  L2 ← −L2 →

 

3 1 2 | 1 0 0 1 0 −3 | 0 −1 0 4 2 −5 | 0 0 1

  L1 ↔ L2

85 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operadores lineares inverśıveis

 

1 0 −3 | 0 −1 0 3 1 2 | 1 0 0 4 2 −5 | 0 0 1

  L2 ← L2 − 3L1 L3 ← L3 − 4L1

 

1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 2 7 | 0 4 1

  L3 ← L3 − 2L2

 

1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 −15 | −2 −2 1

  L3 ← − 115L3

 

1 0 −3 | 0 −1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15

 

L1 ← L1 + 3L3 L2 ← L2 − 11L3 →

 

1 0 0 | 6/15 −9/15 −3/15 0 1 0 | −7/15 23/15 11/15 0 0 1 | 2/15 2/15 −1/15

 .

Logo, a matriz [T ] é inverśıvel e [T ]−1 = 1 15

 

6 −9 −3 −7 23 11

2 2 −1

 .

Conclúımos, então, que o operador T é inverśıvel e

T−1(x, y, z) =

( 6x− 7y + 2z

15 , −9x+ 23y + 2z

15 , −3x+ 11y − z

15

) .

Exemplo 3

Vamos verificar se o operador T ∈ L(IR4) dado por T (x, y, z, t) = (x+2y, y− 2z − t, x+ y + z, x+ 3z + t) é inverśıvel e, caso seja, encontrar seu inverso.

Vamos aplicar à matriz [T ] =

 

1 2 0 0

0 1 −2 −1 1 1 1 0

1 0 3 1

  o método de inversão por

escalonamento: 

1 2 0 0 | 1 0 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 1 1 1 0 | 0 0 1 0 1 0 3 1 | 0 0 0 1

  L3 ← L3 − L1 L4 ← L4 − L1

CEDERJ 86

Operadores lineares inverśıveis MÓDULO 3 - AULA 26

 

1 2 0 0 | 1 0 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 0 −1 1 0 | −1 0 1 0 0 −2 3 1 | −1 0 0 1

 

L1 ← L1 − 2L2

L3 ← L3 + L2 L4 ← L4 + 2L2

 

1 0 4 2 | 1 −2 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 0 0 −1 −1 | −1 1 1 0 0 0 −1 −1 | −1 2 0 1

  L3 ← −L3

 

1 0 4 2 | 1 −2 0 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 0 0 0 1 1 | 1 −1 −1 0 0 0 −1 −1 | −1 2 0 1

 

L1 ← L1 − 4L3 L2 ← L2 + 2L3

L4 ← L4 + L3

 

1 0 0 −2 | −3 2 4 0 0 1 0 1 | 2 −1 −2 0 0 0 1 1 | 1 −1 −1 0 0 0 0 0 | 0 1 −1 1

  .

Como a quarta linha se anulou, conclúımos que a matriz não é inverśıvel.

Logo, o operador T não é inverśıvel.

Uma outra propriedade importante dos operadores inverśıveis afirma

que

Um operador T ∈ L(V ), inverśıvel, transforma base em base, isto é: se B é uma base de V , então T (B) também é base de V .

Exemplo 4

Seja T o operador linear definido em IR3 tal que T (1, 1, 1) = (1, 0, 0)), T (−2, 1, 0) = (0,−1, 0) e T (1, 3, 2) = (0,−1, 1). Vamos verificar se T é inverśıvel e, caso seja, determinar T−1(x, y, z).

Notemos, primeiramente, que o conjuntoB = {(1, 1, 1), (−2, 1, 0), (1, 3, 2)} é uma base de IR3. Assim, T está bem definido. Se aplicarmos o método

do escalonamento à matriz [T ]B, obteremos, caso T seja inverśıvel, a ma-

triz [T−1]B, mas queremos a expressão de T−1 em relação à base canônica

de IR3 e ainda não sabemos como migrar de uma base para outra (veremos

como fazer isso, na próxima aula). Neste caso, então, vamos usar a de-

finição e a condição de linearidade do operador inverso. Como vimos acima,

T (B) = {(1, 0, 0), (0,−1, 0), (0,−1, 1)} também é base de IR3. Vamos expres-

87 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operadores lineares inverśıveis

sar um vetor (x, y, z), genérico, de IR3, em relação à base T (B):

(x, y, z) = a(1, 0, 0) + b(0,−1, 0)) + c(0,−1, 1)⇒

  

a = x

−b− c = y c = z

  

a = x

b = −y − z c = z

.

Assim, podemos escrever:

T−1(x, y, z) = T−1 (x(1, 0, 0) + (−y − z)(0,−1, 0)) + z(0,−1, 1)) = = xT−1(1, 0, 0) + (−y − z)T−1(0,−1, 0) + zT−1(0,−1, 1) = = x(1, 1, 1) + (−y − z)(−2, 1, 0) + z(1, 3, 2) = = (x+ 2y + 3z, x− y + 2z, x+ 2z).

Resumo

Nesta aula destacamos os operadores lineares que admitem um inverso.

Relacionamos diretamente a condição de inversibilidade dos operadores com

a inversibilidade das matrizes associadas a eles. Dado um operador linear,

aprendemos a descobrir se é ou não inverśıvel – seja pela determinação de

seu núcleo, seja pelo cálculo do determinante de uma sua matriz associada,

ou ainda pela busca de seu operador inverso, pela definição ou pela tentativa

de inversão de sua matriz associada.

CEDERJ 88

Operadores lineares inverśıveis MÓDULO 3 - AULA 26

Exerćıcios

1. Verifique, em cada caso, se o operador T ∈ L(V ) é inverśıvel. Caso seja, encontre uma fórmula para o seu inverso.

(a) V = IR2; T (x, y) = (3x+ 5y, 2x+ 3y).

(b) V = IR3; T (x, y, z) = (x, 2x− y + 3z, 4x+ y + 8z). (c) V = IR3; T (x, y, z) = (6x+ 3y − 4z,−4x+ y − 6z, x+ 2y − 5z).

2. A transformação linear T : IR3 → IR3 dada por T (1, 0, 0) = (1, 1, 0),

T (0, 1, 0) = (0, 0, 1) e

T (0, 0, 1) = (1,−1, 2) é um automorfismo?

3. Considere as seguintes transformações lineares planas:

T1: reflexão em torno da reta y = x;

T2: um cisalhamento horizontal de fator 2;

T3: uma rotação de 90 0 no sentido anti-horário.

(a) Determine a expressão e a matriz da transformação linear T =

T3 ◦ T2 ◦ T1. (b) Determine a expressão e a matriz da transformação linear inversa

de T .

4. Mostre que, se os operadores lineares T e S são inverśıveis, então o

operador linear T ◦ S também é inverśıvel e (T ◦ S)−1 = S−1 ◦ T−1.

5. Mostre que a rotação anti-horária de um ângulo θ é um operador in-

verśıvel em IR2 e que seu inverso é a rotação horária do mesmo ângulo.

89 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operadores lineares inverśıveis

Auto-avaliação

Esta aula analisou as condições para que um operador linear seja in-

verśıvel e como obter, caso exista, o operador inverso. Caso você tenha

sentido alguma dificuldade na resolução dos exerćıcios ou na compreensão

dos exemplos, faça contato com o tutor da disciplina.

Respostas dos exerćıcios

1. (a) T−1(x, y) = (−3x+ 5y, 2x− 3y) (b) T−1(x, y, z) = (−11x+ 2y + 2z,−4x+ z, 6x− y − z) (c) T não é inverśıvel

2. Sim. Pode-se verificar isso determinando o núcleo de T ou escalonando

sua matriz associada e mostrando que é inverśıvel.

3. (a) [T ] = [T3].[T2].[T1] =

[ 0 −1 1 0

][ 1 2

0 1

][ 0 1

1 0

] =

[ −1 0

2 1

] ;

T (x, y) = (−x, 2x+ y).

(b) [T−1] = [T ]−1 =

[ −1 0

2 1

] e T−1(x, y) = (−x, 2x+y). (Note que

T−1 = T .)

CEDERJ 90

Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27

Aula 27 – Mudança de base

Pré-requisito: Aulas 18 a 26.

Objetivos

Determinar a matriz de mudança de uma base para outra;

Relacionar as matrizes associadas a uma transformação linear, relativas a

diferentes bases.

Nesta aula vamos nos utilizar de um operador linear especial – o opera-

dor identidade, para obter uma matriz que irá funcionar como uma “tradu-

tora” de uma base para outra, num espaço vetorial. A idéia é poder migrar

de uma para outra base, relacionando as coordenadas de um mesmo vetor

ou as matrizes associadas a um mesmo operador linear.

Dado um espaço vetorial V , o operador identidade, I, definido em V , é

trivialmente linear. Assim, dadas duas bases, A e B, de V , e v ∈ V , a matriz de I, em relação às bases A e B (representada por [I]A,B), é tal que

[I]A,B.[v]A = [v]B .

Como vimos na aula 22, essa matriz é constrúıda de tal forma que a i-

ésima coluna é formada pelas coordenadas do i-ésimo vetor de A, em relação

à base B.

Como o operador identidade não altera o vetor, a única ação da mul-

tiplicação da matriz [I]A,B pelo vetor-coordenadas [v]A é reescrevê-lo em

relação à base B.

Definição

A matriz [I]A,B é chamada matriz mudança (ou matriz de transição)

da base A para a base B.

O papel da matriz [I]A,B é transformar as coordenadas de um vetor v

na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.

91 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Mudança de base

Exemplo 1

Em IR2, sejam as base A = {(1, 1), (0, 2)} e B = {(1,−1), (1, 0)}. Vamos construir a matriz [I]A,B.

A matriz [I]A,B é 2 × 2; sua primeira coluna é o vetor-coordenadas de I(1, 1) = (1, 1) em relação à base B; sua segunda coluna é o vetor-

coordenadas de I(0, 2) = (0, 2) em relação à base B. Vamos, então, descobrir

como a base B gera IR2, isto é, qual o vetor-coordenadas de um vetor genérico

(x, y), em relação à base B:

(x, y) = a(1,−1) + b(1, 0)⇒ { a+ b = x

−a = y ⇒ { a = −y b = x+ y

.

Logo, [(x, y)]B =

[ −y x+ y

] .

Usando essa fórmula, temos:

[(1, 1)]B =

[ −1

2

] e [(0, 2)]B =

[ −2

2

] .

Logo, [I]A,B =

[ −1 −2

2 2

] .

O operador identidade é inverśıvel; logo, a matriz mudança de base

(que nada mais é do que uma matriz associada ao operador identidade) é

inverśıvel: a inversa da matriz de transição da base A para a base B é a

matriz de transição da base B para a base A, isto é:

[I]A,B.[I]B,A = I.

Exemplo 2

Vamos obter a matriz mudança da base B para a base A, do exemplo 1. Suas

colunas são os vetores-coordenadas dos vetores da base B, em relação à base

A. Vamos, então, determinar como um vetor genérico de IR2 se escreve na

base A:

(x, y) = a(1, 1) + b(0, 2)⇒ { a = x

b = y−x 2

⇒ [(x, y)]A = [

x y−x

2

] .

Aplicando essa fórmula aos vetores da base B, temos:

[(1,−1)]A = [

1

−1

] ; [(1, 0)]A =

[ 1

−1 2

] . Logo, [I]B,A =

[ 1 1

−1 −1 2

] .

Então, vemos que:

CEDERJ 92

Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27

[I]A,B.[I]B,A =

[ −1 −2

2 2

] .

[ 1 1

−1 −1 2

] =

[ 1 0

0 1

] = I.

Exemplo 3

Consideremos as bases A e B do exemplo 1. Seja v = (3, 4) ∈ IR2. Usando as fórmulas dos vetores-coordenadas em relação às bases A e B, já obtidas,

temos:

[v]A =

[ 3 1 2

] e [v]B =

[ −4

7

] .

Notemos que

[I]A,B.[v]A =

[ −1 −2

2 2

][ 3 1 2

] =

[ −4

7

] = [v]B.

Exemplo 4

Consideremos, em IR2, as bases A = {(2,−1), (−1, 1)} e B = {(1, 0), (2, 1)}.

Seja v ∈ IR2 tal que [v]B = [

2

−4

] . Vamos obter [v]A, usando a matriz de

transição de A para B, de dois modos.

Primeiramente, aplicando o procedimento de construção da matriz mu-

dança de base, obtemos [I]A,B =

[ 4 −3 −1 1

] .

1o modo:

Sabemos que [v]B = [I]A,B.[v]A. Seja [v]A =

[ xA

yA

] . Então:

[ 4 −3 −1 1

][ xA

yA

] =

[ 2

−4

] ⇒ {

4xA − 3yA = 2 −xA + yA = −4

⇒ { xA = −10 yA = −14

.

Então [v]A =

[ −10 −14

] .

2o modo:

Vamos inverter a matriz [I]A,B, por escalonamento, obtendo [I]B,A =[ 1 3

1 4

] .

Agora, temos:

[v]A = [I]B,A.[v]B =

[ 1 3

1 4

] .

[ 2

−4

] =

[ −10 −14

] .

93 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Mudança de base

Já vimos:

• Todo operador linear pode ser representado por uma matriz, uma vez fixada uma base.

• Podemos “traduzir” o vetor-coordenadas de um vetor, de uma base para outra.

A questão, agora, é: como mudar a representação do operador, se esco-

lhemos outra base, ou:

Como traduzir a matriz de representação de um operador, de uma base

para outra?

A resposta é dada pelo seguinte teorema:

Teorema 1. Sejam T ∈ L(V ), A e B bases de V . Então

[I]A,B.[T ]A.[I]B,A = [T ]B.

Prova

Seja v ∈ V . Temos: ([I]A,B.[T ]A.[I]B,A) [v]B = ([I]A,B.[T ]A) ([I]B,A[v]B) =

= ([I]A,B[T ]A) [v]A =

= [I]A,B ([T ]A[v]A) =

= [I]A,B ([T (v)]A) =

= [T (v)]B.

.

Logo, [I]A,B.[T ]A.[I]B,A = [T ]B.

A expressão envolvendo as matrizes de T referentes a duas bases distin-

tas é uma importante relação definida no conjunto das matrizes quadradas

de uma determinada ordem. A seguir, definimos, formalmente, essa relação.

Semelhança de matrizes

Sejam A,B ∈Mn(IR). Dizemos que B é semelhante a A quando existe uma matriz P , em Mn(IR), inverśıvel, tal que

B = P−1.A.P

CEDERJ 94

Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27

Teorema 2. A relação de semelhança, definida em Mn(IR), é uma relação

de equivalência em Mn(IR).

Prova

(i) A matriz I ∈ Mn(IR) é inverśıvel, com I−1 = I. Como A = I−1AI, temos que A é semelhante a A e a relação de semelhança é reflexiva.

(ii) Sejam A,B ∈ Mn(IR), com B semelhante a A. Então existe Q ∈ Mn(IR), inverśıvel, tal que B = Q

−1AQ. Multiplicando ambos os lados,

à esquerda, por Q, temos QB = AQ. Multiplicando, agora, os dois

lados por Q−1, à direita, obtemos QBQ−1 = A. Sendo P = Q−1,

podemos escrever A = P−1BP , ou seja, A é semelhante a B e a relação

de semelhança é simétrica.

(iii) Sejam A,B,C ∈ Mn(IR), com B semelhante a A e C semelhante a B. Então existem matrizes Q e P , em Mn(IR), inverśıveis, tais que

B = Q−1AQ e C = P−1BP . Substituindo a expressão de B na se-

gunda igualdade, temos C = P−1(Q−1AQ)P = (P−1Q−1)A(QP ) =

(QP )−1A(QP ). Como a matriz QP está em Mn(IR) e é inverśıvel, con-

clúımos que C é semelhante a A e a relação de semelhança é transitiva.

De (i), (ii) e (iii) conclúımos que a relação de semelhança é uma relação

de equivalência.

Observações

1. Devido ao teorema 2, se B é semelhante a A, também podemos dizer

que A é semelhante a B ou, simplesmente, que as matrizes A e B são

semelhantes.

2. Sendo T ∈ L(V ), A e B bases de V , as matrizes [T ]A e [T ]B são semelhantes.

3. Todas as representações matriciais do operador linear T formam uma

classe de equivalência de matrizes semelhantes.

A relação de semelhança ainda implica uma igualdade de determinan-

tes, como prova o teorema a seguir.

95 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Mudança de base

Teorema 3. Matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante.

Prova

Sejam B,A ∈ Mn(IR) semelhantes. Então B = P−1AP , para alguma matriz P ∈ Mn(IR), inverśıvel. Usando a propriedade do determinante da matriz inversa, vista na aula 5, podemos escrever:

detB = det (P−1AP ) =

= det P−1.detA.det P =

= (det P )−1.detA.det P =

= [(det P )−1.det P ].detA =

= 1.detA =

= detA.

Do teorema 3, podemos concluir que todas as matrizes que representam

um mesmo operador linear T têm o mesmo determinante. Podemos, assim,

definir o determinante de um operador linear T , como sendo o determinante

de qualquer matriz associada a T . Além disso, a condição de T ser inverśıvel

pode, agora, ser dada na forma:

T é inverśıvel ⇔ det T 6= 0.

Observação Há uma outra maneira de obtermos a matriz de mudança de

base. Sendo A,B,C bases do espaço vetorial V , vale a igualdade:

[I]A,B = [I]C,B.[I]A,C .

Note que, na igualdade acima, a base C funciona como uma “inter-

mediária”entre a base inicial A e a final, B. Podemos adotar esse processo,

supondo que a base intermediária é a canônica. O exemplo a seguir ilustra

como isso se dá.

Exemplo 5

Vamos retomar as bases do exemplo 1 e escrever as matrizes de mudança da

base A para a canônica e da base canônica para a base B. Temos:Note que para construir a matriz de transição de A para

a canônica basta escrever as

coordenadas dos vetores da

base A como as colunas da

matriz.

[I]A,C =

[ 1 0

1 2

] ; [I]C,B = ([I]B,C)

−1 =

[ 1 1

−1 0

]−1 =

[ 0 −1 1 1

] .

Logo,

[I]A,B = [I]C,B.[I]A,C =

[ 0 −1 1 1

][ 1 0

1 2

] =

[ −1 −2

2 2

] .

CEDERJ 96

Mudança de base MÓDULO 3 - AULA 27

Resumo

Nesta aula estudamos uma matriz muito importante, que é a que pos-

sibilita mudar a base de representação, tanto de um vetor quanto de um

operador linear. Com o conteúdo desta aula, encerramos nosso curso de

Álgebra Linear 1. A aula 28 – a última – constará de exerćıcios relativos a

todo o segundo módulo, com resolução ao final.

Exerćıcios

1. Em IR3, considere as bases A = {(−3, 0,−3), (−3, 2,−1), (1,−6,−1)} e B = {(−6,−6, 0), (−2,−6, 4), (−2,−3, 7)}.

(a) Determine a matriz de transição da base A para a base B.

(b) Calcule [v]A, dado v = (−5, 8,−5). (c) Escreva [v]B, usando a matriz obtida no item (a).

2. Em IR2, sejam as base A = {(1, 1), (1,−1)}, B = {(2, 1), (1, 0)} e C, a canônica. Obtenha as matrizes [I]C,A, [I]B,C e [I]B,A.

3. Dada a matriz de transição [I]A,B =

 

1 0 1

0 1 1

1 1 1

 , determine a base B,

sabendo que A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}.

4. Dada a matriz de transição [I]A,B =

 

2 0 −1 1 1 2

1 3 0

 , determine a base

A, sabendo que B = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}.

5. A matriz de mudança da base A = {1 + t, 1 − t2} para uma base B,

ambas de P2(IR), é

[ 1 2

1 −1

] . Determine B.

6. Sendo B = {(1, 0), (0, 1)} e B ′ = {(1, 1), (2, 1)} bases de IR2, determine:

(a) a matriz de mudança da base B ′

para a base B;

(b) [v]B′ , sabendo que [v]B =

[ 7

2

] .

97 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Mudança de base

Auto-avaliação

Com esta aula, concluimos o conteúdo desta disciplina. Você deverá

estar familiarizado com a técnica de obtenção de matrizes de transição e com

as alicações dela em exerćıcios. A matriz de mudança de base será importante

em aulas futuras. Certifique-se de que apreendeu bem o conteúdo desta aula.

Caso tenha qualquer dúvida, contate o tutor da disciplina. A próxima aula

fecha o módulo e apresenta uma lista de exerćıcios gerais sobre a teoria

apresentada no segundo módulo. Bom término de curso, boas férias e até as

aulas de Álgebra Linear 2!!!!

Respostas/resolução dos exerćıcios

1. (a)

 

3/4 3/4 −5/12 −3/4 −17/12 25/12

0 2/3 −4/3

  (b)

 

3

−2 −2

  (c)

 

19/12

−43/12 4/3

 

2. [I]C,A = ([I]A,C) −1 =

[ 1/2 1/2

1/2 −1/2

] ; [I]B,C =

[ 2 1

1 0

] ;

[I]A,B =

[ 3/2 1/2

1/2 1/2

]

3. Solução: Seja B = {v1, v2, v3}. Pela definição da matriz de transição, os elementos da i-ésima coluna são os coeficientes da combinação linear

que representa o i-ésimo vetor da base A em relação à base B, isto é:  

(1, 0, 0) = 1v1 + 0v2 + 1v3

(0, 1, 0) = 0v1 + 1v2 + 1v3

(0, 1, 1)) = 1v1 + 0v2 + 1v3

⇒ B = {(0, 0, 1), (−1, 1, 1), (1, 0,−1)}.

4. Solução: Sendo A = {v1, v2, v3}, temos: v1 = 2(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) = (3, 4, 2)

v2 = 0(1, 1, 0) + 1(1, 1, 1) + 3(0, 1, 1) = (1, 4, 4)

v3 = −1(1, 1, 0) + 2(1, 1, 1) + 0(0, 1, 1) = (1, 1, 2)

5. B = {(2/3 + t/3− t2/3, 1/3 + 2t/3 + t2/3}

6. (a) [I]B′ ,B =

[ 1 2

1 1

] (b) [v]B =

[ −3

5

]

CEDERJ 98

Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28

Aula 28 – Exerćıcios de revisão do Módulo 2

Objetivo

Aplicar a teoria estudada no Módulo 2 em exerćıcios gerais.

Tente resolver os exerćıcios propostos nesta aula, antes de consultar a

resolução, ao final da lista. Caso sinta alguma dificuldade, recorra à aula

relativa ao assunto, releia com atenção e... tente de novo!

Exerćıcios

1. Provão - MEC - 1998

Seja P a transformação de IR3 em IR3, definida por P (x, y, z) = (x, y, 0). Se

a imagem de uma reta r, por P , é um ponto, então:

(a) esta reta r é paralela a OX

(b) esta reta r é paralela a OY

(c) esta reta r é paralela a OZ

(d) esta reta r necessariamente contém a origem

(e) não existe tal reta r

2. Provão - MEC - 1998

Chama-se núcleo de uma transformação linear T o conjunto dos pontos cuja

imagem por T é nula. O núcleo da transformação linear T : IR3 → IR3 definida por T (x, y, z) = (z, x− y,−z), é o subespaço do IR3 gerado por:

(a) {(0, 0, 0)} (b) {(0, 1, 0)} (c) {(1, 0,−1)} (d) {(1, 1, 0)} (e) {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

99 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Exerćıcios de revisão do Módulo 2

3. A seguir são dados operadores lineares em IR2 e em IR3. Verifique quais

são inverśıveis e, nos casos afirmativos, determine uma fórmula para T −1.

(a) T ∈ L(IR2); T (x, y) = (3x− 4y, x+ 3y) (b) T ∈ L(IR2); T (x, y) = (x+ y, x− y) (c) T ∈ L(IR3); T (x, y, z) = (x+ z, x+ y, 2x+ y + z) (d) T ∈ L(IR3); T (x, y, z) = (x, x− z, x− y − z)

4. Seja o operador T : IR3 → IR3 definido pela matriz

 

1 0 1

3 −2 1 0 −1 0

 .

(a) Mostre que T é um isomorfismo.Um isomorfismo é uma trans- formação linear bijetora e,

portanto, inverśıvel. (b) Determine a lei que define o operador T −1.

(c) Encontre o vetor v ∈ IR3 tal que T (v) = (−1,−5,−3)

5. Mostre que o operador linear, no IR3, com matriz canônica

 

1 2 3

2 3 4

3 5 7

 

não é inverśıvel. Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (2, 3, 5).

6. Dadas [I]A,B =

[ −1 3

2 7

] e A = {(1, 2), (1,−1)}, determine a base B.

7. Dadas [I]A,B =

[ −1 3

2 7

] e B = {(1, 2), (1,−1)}, determine a base A.

8. Se [I]A,B =

 

1 1 1

2 3 1

4 9 1

 , determine [v]A, sabendo que [v]B =

  −2

3

5

 .

9. Seja o operador linear T : IR2 → IR2 tal que T (x, y) = (x+ y, x− y). (a) Determine [T ]B, onde B = {(1, 2), (0, 1)}. (b) Use a matriz encontrada em (a) para calcular [T (v)]B, dado

v = (5, 3).

CEDERJ 100

Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28

10. Determine a matriz da transformação linear plana que equivale à seguinte

seqüência de transformações:

(1) uma rotação anti-horária de π/2 rd, seguida de

(2) uma contração de fator 1/4, seguida de

(3) uma reflexão em torno da reta y = x, seguida de

(4) um cisalhamento na direção y, de um fator 3.

11. Seja a transformação linear T : IR4 → IR3 tal que T (e1) = (0, 0, 1), T (e2) = (1, 2, 1), T (e3) = (−2, 1,−1) e T (e4) = (1, 1, 1), onde {e1, e2, e3, e4} é a base canônica de IR4. Determine:

(a) T (x, y, z, t), para (x, y, z, t) ∈ IR4. (b) Determine o núcleo de T .

(c) Determine a imagem de T .

(d) Determine u ∈ IR4 tal que T (u) = (1, 0, 1)

12. Sejam as transformações T : IR4 → IR3 e F : IR3 → IR2 dadas por T (x, y, z, t) = (x, t+ z, y) e F (x, y, z) = (x− z, 2y), determine, em relação à transformação F ◦ T :

(a) O núcleo.

(b) A imagem.

(c) A matriz de representação.

13. Provão - MEC - 1998

1

1

A transformação T : IR2 → IR2 é definida por T (x, y) = (x + 2y, y). A imagem, por T , do quadrado representado na figura acima é:

101 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Exerćıcios de revisão do Módulo 2

1 2 3

1

0 0 1 2 3

1 1

1

a) b) c)

1 1

1 22

e)d)

14. Determine T ∈ L(IR2 tal que T (1, 1) = (1, 5) e T (1, 2) = (0, 1).

15. Sejam T : IR3 → IR2 e F : IR2 → IR as transformações lineares definidas por T (x, y, z) = (z, x+ y) e F (x, y) = 3x− y. Determine uma fórmula para a transformação F ◦ T .

16. Seja v = (x, y, z, t) ∈ IR4. Quais das aplicações abaixo são operadores lineares do IR4?

(a) T (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0)

(b) T (x, y, z, t) = (1, 1, 1, 1)

(c) T (x, y, z, t) = (x, y, z, t) + (1, 2, 3, 4)

(d) T (x, y, z, t) = (x+ y, y − z, x+ t, z − t)

17. Representar graficamente a reta r : y = x e a imagem de r pela trans-

formação linear do IR2 dada por T (x, y) = (−x+ y, x+ y).

CEDERJ 102

Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28

18. Seja {e1, e2, e3} a base canônica de IR3 e T ∈ IR3 tal que T (e1) = e2; T (e2) = e1 + e3; T (e3) = e2 + e3. Determine:

(a) T (e1 + e2 + e3)

(b) T (2e1 − 3e2 + e3)

19. A matriz

 

1 −2 0 3 −1 2 −1 0 −2

  representa um operador linear T ∈ IR3.

Determine:

(a) T (1, 1, 1)

(b) T (x, y, z)

20. Dada a matriz

[ 0 1

−1 0

] de uma transformação linear T , do IR2, repre-

sentar num gráfico o vetor v = (2, 3) e sua imagem por T .

103 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Exerćıcios de revisão do Módulo 2

Resolução dos exerćıcios

1. A transformação de IR3 em IR3, definida por P (x, y, z) = (x, y, 0) é a

projeção sobre o plano xy, paralela ao eixo Oz. Se a imagem de uma reta

r, por P , é um ponto, então é porque essa reta é paralela ao eixo Oz. A

alternativa correta é a letra (c).

2. O núcleo da transformação linear T : IR3 → IR3 definida por T (x, y, z) = (z, x− y,−z), é o conjunto N(T ) = {(x, y, z) ∈ IR3;T (x, y, z) = (0, 0, 0)} = {(x, y, z) ∈ IR3; (z, x − y,−z) = (0, 0, 0)}. Isso nos leva ao sistema linear

homogêneo

  

z = 0

x− y = 0 −z = 0

, cuja solução é {(x, x, 0);x ∈ IR} = {x(1, 1, 0);x ∈

IR} = [(1, 1, 0)]. Logo, a alternativa correta é (d).

3. Neste exerćıcio também podeŕıamos verificar se o núcleo de T é ou não o

subespaço nulo.

(a) [T ] =

[ 3 −4 1 3

] ⇒ det [T ] = 9 + 4 = 13 6= 0 ⇒ [T ] é in-

verśıvel. Logo, o operador T é inverśıvel e [T−1] = [T ]−1 =

[ 3 −4 1 3

]−1 =

[ 3/13 4/13

−1/13 3/13

] . Então T−1(x, y) = (3x/13 + 4y/13,−x/13 + 3y/13).

(b) [T ] =

[ 1 1

1 −1

] ⇒ det [T ] = −1 − 1 = −2 6= 0 ⇒ [T ] é in-

verśıvel. Logo, o operador T é inverśıvel e [T−1] = [T ]−1 =

[ 1 1

1 −1

]−1 =

[ 1/2 1/2

1/2 −1/2

] . Então T−1(x, y) = (x/2 + y/2, x/2− y/2).

(c) [T ] =

 

1 0 1

1 1 0

2 1 1

  ⇒ det [T ] = 0 ⇒ [T ] não é inverśıvel. Logo, o

operador T não é inverśıvel.

(d) [T ] =

 

1 0 0

1 0 −1 1 −1 −1

  ⇒ det [T ] = −1 6= 0 ⇒ [T ] é inverśıvel.

Logo, o operador T é inverśıvel e [T−1] = [T ]−1. Invertendo a matriz [T ],

CEDERJ 104

Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28

por escalonamento, obtemos [T ]−1 =

 

1 0 0

0 1 −1 1 −1 0

  . Então T−1(x, y, z) =

(x, y − z, x− y).

4.

(a) det

 

1 0 1

3 −2 1 0 −1 0

  = −2 6= 0⇒ T é um isoformismo.

(b) [T−1] = [T ]−1 =

 

1 0 1

3 −2 1 0 −1 0

 

−1

=

  −1/2 1/2 −1

0 0 −1 3/2 −1/2 1

  ⇒

T−1(x, y, z) = (−x/2 + 3z/2, x/2− z/2,−x− y − z/2).

(c)

 

1 0 1

3 −2 1 0 −1 0

 

  x

y

z

  =

  −1 −5 −3

 ⇒

  

x+ z = −1 3x− 2y + z = −5 −y = −3

⇒ x = 1; y = 3; z = −2. Logo, v = (1, 3,−2).

5. det

 

1 2 3

2 3 4

3 5 7

  = 0. Logo, T não é inverśıvel.

Seja v = (x, y, z) tal que T (v) = (2, 3, 5).

Então

 

1 2 3

2 3 4

3 5 7

 

  x

y

z

  =

 

2

3

5

  ⇒

  

x+ 2y + 3z = 2

2x+ 3y + 4z = 3

3x+ 5y + 7z = 5

⇒ v pode ser

qualquer vetor da forma (k, 1− 2k, k), com k ∈ IR.

6. Seja B = {v1, v2}. Então{ (1, 2) = −1v1 + 2v2 (1,−1) = 3v1 + 7v2

⇒ { v1 = (−5/13,−16/13) v2 = (4/13, 5/13)

Logo, B = {(−5/13,−16/13), (4/13, 5/13)}.

7. Seja A = {v1, v2}. Então: v1 = −1(1, 2) + 2(1,−1) = (1,−4) v2 = 3(1, 2) + 7(1,−1) = (10,−1) Logo, A = {(1,−4), (10,−1)}.

105 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Exerćıcios de revisão do Módulo 2

8. [v]A = [I]B,A[v]B = ([I]A,B) −1 [v]B =

=

 

1 1 1

2 3 1

4 9 1

 

−1   −2

3

5

  =

  −3 4 −1

1 −3/2 1/2 3 −5/2 1/2

 

  −2

3

5

  =

 

13

−4 −11

 .

9.

(a) T (1, 2) = (3,−1); T (0, 1) = (1,−1)

(x, y) = a(1, 2) + b(0, 1) ⇒ a = x e b = y − 2x ⇒ [ x

y

]

B

=

[ x

y − 2x

] ⇒

[ 3

−1

]

B

=

[ 3

−7

] e

[ 1

−1

]

B

=

[ 1

−3

] . Logo, [T ]B =

[ 3 1

−7 −3

] .

(b) Primeiramente, vamos obter as coordenadas de v = (5, 3) em relação

à base B, usando a fórmula já obtida no item anterior: [v]B =

[ 5

−7

] . Então

[T (v)]B = [T ]B[v]B =

[ 3 1

−7 −3

][ 5

−7

] =

[ 8

−14

] .

10.

rotação anti-horária de π/2 rd:

[ 0 −1 1 0

] ;

contração de fator 1/4:

[ 1/4 0

0 1/4

] ;

reflexão em torno da reta y = x:

[ 0 1

1 0

] ;

cisalhamento na direção y, de um fator 3:

[ 1 0

3 1

] ;

A matriz procurada é:[ 1 0

3 1

] .

[ 0 1

1 0

] .

[ 1/4 0

0 1/4

] .

[ 0 −1 1 0

] =

[ 1/4 0

3/4 −1/4

] .

11. Seja a transformação linear T : IR4 → IR3 tal que T (e1) = (0, 0, 1), T (e2) = (1, 2, 1), T (e3) = (−2, 1,−1) e T (e4) = (1, 1, 1), onde {e1, e2, e3, e4} é a base canônica de IR4. Determine:

(a) T (x, y, z, t) = (y − 2z + t, 2y + z + t, x+ y − z + t)

(b)N(T ) = {(x, y, z, t) ∈ IR4;T (x, y, z, t) = (0, 0, 0)} ⇒

  

y − 2z + t = 0 2y + z + t = 0

x+ y − z + t = 0 .

O conjunto-solução desse sistema é {(x, y, z, t) ∈ IR4;x = −z, y = −3z, t = 5z}. Dáı, uma posśıvel maneira de caracterizar o núcleo de T é escrevendo

CEDERJ 106

Exerćıcios de revisão do Módulo 2 MÓDULO 3 - AULA 28

N(T ) = {(−k,−3k, k, 5k); k ∈ IR} = [(−1,−3, 1, 5)]. Obs.: O vetor (−1,−3, 1, 5) é um gerador do núcleo de T , mas qualquer outro múltiplo desse vetor, não nulo, também é gerador.

(c) Pelo teorema do núcleo e da imagem, dim IR4 = dimN(T ) +

dim Im(T ). No item (b), vimos que o núcleo de T é gerado por apenas

1 vetor. Logo, dimN(T ) = 1. Dáı, 4 = 1 + dim Im(T ) ⇒ dim Im(T ) = 3. Como T está definida de IR4 em IR3, concluimos que Im(T ) = IR3. (Isto é,

T é sobrejetora.)

(d) Seja u = (x, y, z, t). Então

T (u) = T (x, y, z, t) = (y − 2z + t, 2y + z + t, x + y − z + t) = (1, 0, 1) ⇒  

y − 2z + t = 1 2y + z + t = 0

x+ y − z + t = 1 ⇒ u é qualquer vetor de IR4 da forma

(−k,−1− 3k, k, 2 + 5k, k ∈ IR. 12. Vamos obter a fórmula da composta F ◦ T : (F ◦ T ) : IR4 → IR2 é dada por (F ◦ T )(x, y, z, t) = F (T (x, y, z, t) = F (x, t+ z, y) = (x− y, 2t+ 2z).

(a)N(F◦T ) = {(x, y, z, t) ∈ IR4; (x−y, 2t+2z) = (0, 0)} ⇒ { x− y = 0 2t+ 2z = 0

Então

N(F ◦ T ) = {(x, y, z, t) ∈ IR4;x = y e z = −t} = {(x, x,−t, t);x, t ∈ IR} = {x(1, 1, 0, 0) + t(0, 0,−1, 1)} = [(1, 1, 0, 0), [0, 0,−1, 1)].

(b) Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos: dim IR4 = dimN(F ◦ T )+dim Im(F ◦T ). Pelo item (b), dimN(F ◦T ) = 2. Logo, dim Im(F ◦T ) = 2, que é a dimensão do contradomı́nio (IR2). Logo, Im (F ◦ T ) = IR2 (isto é, F ◦ T é sobrejetora.)

(c) Como

(F ◦ T )(1, 0, 0, 0) = (1, 0) (F ◦ T )(0, 1, 0, 0) = (−1, 0) (F ◦ T )(0, 0, 1, 0) = (0, 2) (F ◦ T )(0, 0, 0, 1) = (0, 2),

temos que [F ◦ T ] = [

1 −1 0 0 0 0 2 2

] .

13. A transformação dada é um cisalhamento, na direção do eixo x, de

um fator 2. O gráfico que espelha a imagem do quadrado dado é o da

letra (a).

107 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Exerćıcios de revisão do Módulo 2

14. Os vetores (1, 1) e (1, 2) formam um base de IR2. Vamos expressar

(x, y) nessa base:

(x, y) = a(1, 1) + b(1, 2)⇒ { a+ b = x

a+ 2b = y ⇒ { a = 2x− y b = y − x

Então

T (x, y) = T ((2x− y)(1, 1) + (y − x)(1, 2)) = (2x−y)T (1, 1)+(y−x)T (1, 2) = (2x− y)(1, 5) + (y − x)(0, 1)⇒ T (x, y) = (2x− y, 9x− 4y).

15. (F ◦T )(x, y, z) = F (T (x, y, z)) = F (z, x+y) = 3z−(x+y) = −x−y+3z.

16. Resposta: (a), (d)

18.

(a) T (e1 + e2 + e3) = T (e1) + T (e2) + T (e3) = e2 + e1 + e3 + e2 + e3 =

e1 + 2e2 + 2e3.

(b) T (2e1−3e2+e3) = 2T (e1)−3T (e2)+T (e3 = 2e2−3e1−3e3+e2+e3 = −3e1 + 3e2 − 2e3.

19.

(a) [T (1, 1, 1)] =

 

1 −2 0 3 −1 2 −1 0 −2

  .

 

1

1

1

  =

  −1

4

−3

  ⇒ T (1, 1, 1) =

(−1, 4,−3).

(b) [T (x, y, z)] ==

 

1 −2 0 3 −1 2 −1 0 −2

  .

  x

y

z

  =

 

x− 2y 3x− y + 2z −x− 2z

  ⇒

T (x, y, z) = (x− 2y, 3x− y + 2z,−x− 2z).

CEDERJ 108

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