Apostila de Estatística - Apostilas - Estatística_Parte2, Notas de estudo de Estatística. Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)
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Apostila de Estatística - Apostilas - Estatística_Parte2, Notas de estudo de Estatística. Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)

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Apostilas de Matemática sobre o studo da Estatística, mediana, separatrizes, cálculo do quartil.
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IFRJ – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – Rio de Janeiro Professora: Janaina Pereira

23

2)

X fi Fi 12 1 1 14 2 3 15 1 4 16 2 6 17 1 7 20 1 8

Total 8 A mediana será a média entre o 4º e o 5º elemento da série => 5,15

2 1615 

 Md

Exercícios: Calcule a mediana. Resposta: 8

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

* *

* 2 h f

Fn

lMd ant

   

    

Onde:

mediana a contém que classe de intervalo do amplitude a é h mediana classe da simples freqüência a é f

mediana classe àanterior classe da acumulada freqüência a é F

série na mediana da posição a é 2

mediana classe dainferior limite o é

*

* ant

*

n l

Exemplo:

idade fi Fi 3 |--- 6 2 2 6 |--- 9 5 7 9 |--- 12 7 14 12 |--- 15 3 17 15 |--- 18 2 19

total 19

* *

* 2 h f

Fn

lMd ant

   

     =

  3 7

75,99  =10,1

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Exercício: Calcule a mediana para o caso da distribuição de freqüência abaixo:

Salário fi Fi 450 |--- 550 8 550 |--- 650 10 650 |--- 750 11 750 |--- 850 16 850 |--- 950 13 950 |--- 1.050 5 1.050 |-- 1.150 1

total 64 Observação:

No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a 2 n , a Mediana será o

limite superior da classe correspondente. Por exemplo:

* *

* 2 h f

Fn

lMd ant

   

     =

  10 9

41320  =30

Nota:

1) A mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Vimos que, quando

tivermos um número de elementos ímpar na série de dados, há coincidência.

Quanto o número de elementos de uma série é par, na há coincidência.

2) A mediana depende da posição e não dos valores centrais na série ordenada.

3) Usamos a mediana quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em

partes iguais e quando há valores extremos afetando de uma maneira acentuada a

média.

Classes fi Fi 0 |---10 1 1 10 |---20 3 4 20 |---30 9 13 30 |---40 7 20 40 |---50 4 24 50 |---60 2 26

total 26

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26

(3) SEPARATRIZES

As separatrizes, como o próprio nome sugere são medidas que separam a série em partes iguais. QUARTIS: São valores de uma série que a dividem em 4 partes iguais. Assim temos:

1Q = 1º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 25% dos valores a sua esquerda e 75% dos valores a sua direita.

2Q = 2º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 50% dos valores a sua esquerda e 50% dos valores a sua direita.

3Q = 3º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 75% dos valores a sua esquerda e 25% dos valores a sua direita.

Pode-se observar que o 2º quartil e a mediana tem os mesmos valores, pois ambos dividem uma série ordenada em duas partes iguais.

!---------!---------!---------!---------! Q1 Q2 Q3

!-------------------!-------------------! Md Cálculo do QUARTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que 2 n deve ser substituído por

4  ifk , onde k é o

número de ordem do quartil.

*

*

*

. 4

f

hF fk

lQ ant

i

k   

  

 



Exemplo:

1. Calcule o Q1 da seqüência X: 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15. Ordenar a série: X: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 13, 15

3 4

121 4

 ifk Q1 = 5

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Calcule o Q1 e Q3

ALTURA (cm)

150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3

Total 40 Fonte: MEC

ALTURA DOS ALUNOS

if

10 4

401 4

 ifk (classe 2) 30 4

403 4

 ifk (classe4)   67,1564

9 .4101541 

 Q

  1654 8

.24301623  

Q

Exercício: Para os dados agrupados em freqüência, encontre o primeiro e segundo quartil. Resposta: 4 e 6

QUINTIS: Quando dividimos uma série em 5 partes iguais, cada parte ficará com 20% dos elementos da série. Assim temos:

1K = 1º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 20% dos valores a sua esquerda e

80% dos valores a sua direita.

2K = 2º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 40% dos valores a sua esquerda e 60% dos valores a sua direita.

3K = 3º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 60% dos valores a sua esquerda e 40% dos valores a sua direita.

4K = 4º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 80% dos valores a sua esquerda e 20% dos valores a sua direita.

!---------!---------!---------!---------!---------!

1K 2K 3K 4K

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Cálculo do QUINTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que 2 n deve ser substituído por

5  ifk , onde k é o

número de ordem do quintil.

*

*

*

. 5

f

hF fk

lK ant

i

k   

  

 



Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule K2.

ALTURA (cm)

150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3

Total 40 Fonte: MEC

ALTURA DOS ALUNOS

if

16 5 402

5  ifk (classe 3)   1594

11 .13161582 

 k

Exercício: A distribuição de freqüência abaixo representa o consumo por nota de 54 notas fiscais emitidas durante um dia em uma loja de departamentos. Calcule o quintil de ordem 2.

Resposta: 70,71

Consumo por nota (R$) Nº de notas 0 |---- 50 10 50 |---- 100 28 100 |---- 150 12 150 |---- 200 2 200 |---- 250 1 250 |---- 300 1 Total 54

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DECIS: Quando dividimos uma série em 10 partes iguais, cada parte ficará com 10% dos elementos da série. Assim temos:

1D = 1º decil – separa a seqüência ordenada deixando 10% dos valores a sua esquerda e

90% dos valores a sua direita.

2D = 2º decil – separa a seqüência ordenada deixando 20% dos valores a sua esquerda e 80% dos valores a sua direita.

3D = 3º decil – separa a seqüência ordenada deixando 30% dos valores a sua esquerda e 70% dos valores a sua direita. . . .

8D = 8º decil – separa a seqüência ordenada deixando 80% dos valores a sua esquerda e 20% dos valores a sua direita.

9D = 9º decil – separa a seqüência ordenada deixando 90% dos valores a sua esquerda e 10% dos valores a sua direita.

!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Cálculo do DECIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que 2 n deve ser substituído por

10  ifk , onde k é o

número de ordem do decil.

*

*

*

. 10

f

hF fk

lD ant

i

k   

  

 



Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule D3. ALTURA (cm)

150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3

Total 40 Fonte: MEC

ALTURA DOS ALUNOS

if

12 10 403

10  ifk (classe 2)   55,157555,31544

9 .4121542 

 D

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Exercício: Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato. O seguinte quadro foi obtido. Calcule o decil de ordem 3. Resposta: 9,44

Classe Tempo de mão-de-obra (horas) Nº de motores 1 0I------------4 1 2 4I------------8 5 3 8I-----------12 10 4 12I-----------16 12 5 16I-----------20 4

PERCENTIS ou CENTIL: São valores de uma série que a dividem em 100 partes iguais. Cada parte ficará com 1% dos elementos da série. Assim temos:

1P = 1º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 1% dos valores a sua esquerda e 99% dos valores a sua direita.

2P = 2º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 2% dos valores a sua esquerda e 98% dos valores a sua direita.

3P = 3º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 3% dos valores a sua esquerda e 97% dos valores a sua direita. . .

98P = 98º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 98% dos valores a sua esquerda e 2% dos valores a sua direita.

99P = 99º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 99% dos valores a sua esquerda e 1% dos valores a sua direita.

!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 Cálculo do PERCENTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que 2 n deve ser substituído por

100  ifk , onde k é o

número de ordem do percentil.

*

*

*

. 100

f

hF fk

lP ant

i

k   

  

 



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Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule P8. ALTURA (cm)

150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3

Total 40 Fonte: MEC

ALTURA DOS ALUNOS

if

2,3 100 408

100  ifk (classe 1)   2,1534

4 .02,31508 

 P

Podemos notar que os quartis, quintis e decis podem ser expressos em termos dos precentis.

Q1=P25 K1=P20 D1=P10 Q2=P50 K2=P40 D2=P20 Q3=P75 K3=P60 D3=P30 K4=P80 D4=P40 D5=P50 D6=P60 D7=P70 D8=P80 D9=P90

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CAPITULO 5: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

As medidas de dispersão ou variabilidade servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Dessas medidas, estudaremos as seguintes:

- Medidas de variação absoluta: Amplitude total, Variância e o Desvio Padrão.

- Medidas de variação relativa: Coeficiente de Variação.

(1) MEDIDAS DE VARIAÇÃO ABSOLUTA Amplitude Total: É a diferença entre o maior e o menor valor observado. Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, não levando em consideração os valores intermediários. Ela é apenas uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.

AT = L (Max) – l (min) Variância e Desvio Padrão: A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

Cálculo da Variância ( 2x): A variância é a média aritmética do quadrado dos desvios

(em relação à média).

)(

ou )(

1

1

2

2 )(

1

2

2 )(





 

  n

i i

i

n

i i

x

n

i i

x

f

fxx

n

xx 

Etapas do cálculo da Variância: 1. - Calcular a média aritmética X 2. - Subtrair a média X de cada valor ix do conjunto xxi  , o que chamamos de

desvio; 3. - Elevar cada desvio ao quadrado 2)( xxi

4. - Somar os quadrados dos desvios   2

1  

n

i i xx

5. - Dividir a soma por (n-1) quando se tratar de dados amostrais, ou simplesmente por n se os dados representam todos os valores de uma população.

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Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em

unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é

um inconveniente.

Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem a interpretação prática,

denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância.

Desvio Padrão: 2)( xx   Observação:

(1) O desvio padrão sempre será positivo!

(2) O desvio padrão de uma série indica o quanto os dados estão afastados da média e,

que se os dados são iguais, o valor da medida é zero. Exemplo 7: Em uma turma de aluno, verificaram-se através da análise das notas de 15 alunos (amostra), os seguintes desempenhos:

Alunos Conceito na Prova 1 4,3 9,1204 2 4,5 7,9524 3 9 2,8224 4 6 1,7424 5 8 0,4624 6 6,7 0,3844 7 7,5 0,0324 8 10 7,1824 9 7,5 0,0324 10 6,3 1,0404 11 8 0,4624 12 5,5 3,3124 13 9,7 5,6644 14 9,3 3,9204 15 7,5 0,0324

Total 109,8 44,16 Média 7,32 3,155 Variância

Desvio Padrão 1,77

 2XXi

  2n

1i XXi

 

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Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.

Exercício: Calcular a média aritmética e o desvio padrão dos seguintes dados relativos à

dosagem de hemoglobina verificada numa amostra de 12 animais bovinos (mg).

15 14 13 11 13 14 13,5 12 16 14,5 12 9

Resp.: Média = 13,083mg Variância = 3,583mg2 Desvio padrão = 1,892mg

(2) MEDIDAS DE VARIAÇÃO RELATIVA

O coeficiente de variação: x xxCV )()(  . É a razão entre o desvio padrão e a média

aritmética da série dos dados. Pode ser expresso em percentual . Usado

para comparar a variabilidade de diferentes grupos de dados.

Exercício: Os dados abaixo referem-se as medidas da altura de parafusos e do diâmetro de rolamentos. Determine o coeficiente de variação, para verificar em relação a qual medida (parafuso ou rolamento) a variabilidade é maior, sabendo-se que o desvio padrão dos parafusos é de 0,46 cm e dos rolamentos é de 0,27 cm?

Parafusos (cm) 10,2 10,6 9,8 10,0 9,8 10,4 9,2

Rolamentos (cm) 2,2 2,5 1,8 1,9 2,0 1,7 1,9 Resposta: CVp = 4,6 e CVr = 13,5. Os rolamentos apresentam maior variabilidade.

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CAPITÚLO 6: EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTOS E PROBABILIDADE.

DEFINIÇÕES:

EXPERIMENTO ALEATÓRIO: São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob

condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Ex.: Em uma jogada de futebol, é provável que seu time: perca; que ele ganha; que ele

empate.

ESPAÇO AMOSTRAL (S): Cada experimento aleatório corresponde, em geral, a vários

resultados possíveis. O conjunto desses resultados possíveis recebe o nome de espaço

amostral ou conjunto universo, representado por S.

Exemplo: Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}

Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada um dos elementos de “S” que correspondem a um resultado recebe o nome de

PONTO AMOSTRAL, por exemplo, 2  a S => 2 é um ponto amostral de S (no caso do

lançamento do dado).

EVENTOS (A): Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um

experimento aleatório.

Exemplo: Lançamento de um dado:

Espaço amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

a) Obter um número par na face superior:

A={2, 4, 6} => SA  , logo, A é um evento de S.

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Seja S o seu espaço amostral. Se todos os elementos de S tem a mesma chance de

acontecer, então, chamamos de PROBABILIDADE DE UM EVENTO A, SA  , o

número real P(A), tal que:

)( )()(

Sn AnAP  , onde n(A) é o número de elementos de A e n(S) é o número de elementos

de S.

Exemplos: Considere o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.

S= {Ca, Co} n(S) = 2 A = {Ca} n(A) = 1 P(A) = 2 1

EVENTOS COMPLEMENTARES

Exemplo: Pesquisa afirma que de um grupo de 100 pacientes fumantes aparecem as seguintes evidências1. Eventos (evidências): e1 = Normal; e2 = Bronquite; e3 = Câncer no Pulmão;

e4 = Tuberculose Espaço Amostral: = {Normal; Bronquite; Câncer no Pulmão; Tuberculose}

Evidências Normal Bronquite Câncer no Pulmão Tuberculose Nº de Pacientes 25 60 10 5 Se a probabilidade de um paciente apresentar tuberculose é de 0,05. Então se abordarmos

um paciente, ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha tuberculose ausente.

Resolução:

“e4”: paciente tem tuberculose: 05,0 100

5)( 4 eP

Como: 1)()( 44  ePeP Então, 95,005,01)(1)( 44  ePeP onde 4e significa:

paciente tem tuberculose ausente.

Assim, a chance de abordarmos um paciente que tem tuberculose ausente é 95%.

1 Considere estas evidências as mais comuns entre pacientes. Suponha também que as evidências acima sejam exclusivas.

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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Se os mesmos elementos não podem ocorrer simultaneamente.

P(AB) = P(A) + P(B), a probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das

probabilidades.

Exemplo: Considerando os dados do exemplo (1).

Evidências Normal Bronquite Câncer no Pulmão Tuberculose Nº de Pacientes 25 60 10 5 Se abordarmos um paciente, ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha câncer de pulmão ou tuberculose?

Resolução: 15,0 100 15

100 5

100 10)()()( 4343  ePePeeP

EVENTOS QUE NÃO SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) De um grupo de 80 pessoas considere:

SITUAÇÃO EMPREGATÍCIA

SITUAÇÃO ESCOLAR Total

Até o Nível Médio Nível Superior Empregada 10 35 45

Desempregada 15 20 35 Total 25 55 80

A probabilidade de uma pessoa estar desempregada ou ter nível superior. Resolução:

8750,0 80 70

80 20

80 55

80 35)()()()(  SDPSPDPSDP

EVENTOS INDEPENDENTES

Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento

não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Quando lançamos

dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B)

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Exemplo: Se dois por cento da população apresenta esquizofrenia. A probabilidade de se encontrar duas pessoas com esquizofrenia ausente é: Resolução:

9604,098,098,0)()()(  niaEsquizofrePniaEsquizofrePniaEsquizofreniaEsquizofreP Ou seja, a chance de ambos apresentarem esquizofrenia é de 96,04%.

EVENTOS DEPENDENTES

Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade condicional é

empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A

expressão P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido

o evento A. Note que “B/A” não é uma fração.

P(B/A) = )(

)( AP

BeAP = )(

)( AP

ABP

Exemplo: Em um grupo de 50 turistas temos as seguintes variáveis descritas abaixo:

NACIONALIDADE SEXO Total M F Brasileiro (B) 20 15 35

Estrangeiro (E) 5 10 15 Total 25 25 50

Calcule as seguintes probabilidades:

a) O turista ser masculino se é brasileiro.

 35 20)B/M(P 0,5714

b) O turista ser masculino se é estrangeiro. )/( EMP (0,3333)

c) O turista ser feminino se é brasileiro.

 35 15)B/F(P 0,4286

d) O turista ser feminino se é estrangeiro. )/( EFP (0,6667)

e) O turista ser brasileiro se é masculino.

 25 20)M/B(P 0,80

f) O turista ser estrangeiro se é masculino. )/( MEP (0,20)

g) O turista ser brasileiro se é feminino.

 25 15)F/B(P 0,60

h) O turista ser estrangeiro se é feminino. )/( FEP (0,40)

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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) Qual a probabilidade de sair ás de ouros quanto retiramos uma carta de um

baralho de 52 cartas?

2) Qual a probabilidade de sair um rei quanto retiramos uma carta de um baralho de

52 cartas?

3) Um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule?

a- A probabilidade de essa peça ser defeituosa:

b- A probabilidade de essa peça não ser defeituosa:

4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro

baralho e uma carta do segundo baralho. Qual a probabilidade de a carta do

primeiro baralho ser um rei e a do segundo baralho ser o 5 de paus?

6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B contém: 5

bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4

verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as 3 bolas

retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca,

preta e verde?

7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual

a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?

8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um

baralho de 52 cartas?

9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos

uma carta de um baralho de 52 cartas?

10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não

inferior a 5?

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GABARITO 1. A = sair ás de ouros P(A)=1/52

2. A = sair rei P(A)=4/52

3.

a) A= a peça ser defeituosa P(A)=4/12

b) B=a peça ser perfeita P(B)=8/12

4. A= a soma ser 5 A={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} P(A) = 4/36

5. A= sair rei

B= sair 5 de paus

P(A E B) = P(A)x P(B) = 4/52 x 1/52 = 4/2704

6.

A= 3 bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde

P(A)= 3/9 x 2/8 x 4/9 = 24/648

7. C= sair ás de paus e reis de paus

P(C1 e C2)= P(C1). P(C2/C1) = 1/52 x 1/51 = 1/2652

8.

Figuras = valete, dama e rei

A= sair uma figura

P(A) = 12/52

9. A= sair copas ou ouros P(A)=13/52 + 13/52 = 26/52

10. A= número maior que 5 P(A)=1/6

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CAPÍTULO 07 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas probabilidade, temos uma distribuição de probabilidade. Exemplo: Distribuição de probabilidade no número de acidentes aéreos com a GOL, dentre sete acidentes.

X p(x) 0 0,210 1 0,367 2 0,275 3 0,115 4 0,029 5 0,004 6 0+ 7 0+

A representação gráfica de uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES é feita através do HISTOGRAMA DE PROBABILIDADES, semelhantes ao HISTOGRAMA DE FREQÜÊNCIA, sendo que a escala vertical apresenta probabilidades, em lugar das correspondentes freqüências. Condições para uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE: 1) A soma de todas as probabilidades individuais é 1:   1 xp 2) Para qualquer evento A implica que p(x) deve estar entre 0 e 1 para qualquer valor de x: 1)(0  xP MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

    

 n

i ii xpxXE

1 

VARIÂNCIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

       

 n

i ii xpXExXVAR

1

22

 A probabilidade de 0 acidentes com a GOL (dentre sete acidentes) é 0,210;

 Os valores denotados 0+

representam probabilidades muito pequenas;

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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1) Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Nos casos em que não é descrita uma distribuição de probabilidade, identifique a condição que não é satisfeita. E quando for descrita uma distribuição de probabilidade, determine sua média e desvio padrão.

a) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do número x de mulheres contratadas.

X p(x) 0 0,0625 1 0,2500 2 0,3750 3 0,2500 4 0,0625 Resposta: 2 e 1

b) Ao avaliar riscos de crédito, Jefferson investiga o número de cartões de crédito

que a pessoa tem. Com x sendo o número de cartões de crédito que os adultos possuem a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade para um conjunto de solicitantes.

X p(x) 0 0,26 1 0,16 2 0,12 3 0,09 4 0,07 5 0,09 6 0,07 7 0,14 Resposta: 2,8 e 2,52

2)Seja X uma variável aleatória discreta assumido valores no conjunto {1, 2, 3} e com distribuição de probabilidade dada por:

x 1 2 3

P(X=x) 1/3 1/6 1/2

a. Calcule a média de X. (resposta: 2,165) b. Calcule a (  2xP (resposta: 0,666) c. Calcule a (  2xP (resposta: 0,5)

3)O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

T 2 3 4 5 6 7

P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 Calcule o tempo médio de processamento. Resposta: 4,6 minutos

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DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS: DISCRETA E CONTÍNUA (1) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (discreta) Vimos que uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um

experimento aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a

cada valor de uma variável aleatória.

Veremos agora como determinar as probabilidades para uma categoria importante de

distribuição de probabilidades: OS EXPERIMENTOS BINOMIAIS.

Os experimentos binomiais têm a característica de apresentarem exatamente dois

resultados complementares: SUCESSO E FRACASSO.

Exemplo: Em processos industriais: as peças falham ou não falham. Na medicina: um paciente sobrevive ou morre.

Em propaganda, um consumidor reconhece um produto ou não.

Definição: Um experimento binomial é um experimento que satisfaz as seguintes condições:

1. O experimento deve comportar um número fixo de provas (n).

2. As provas devem ser independentes (o resultado de qualquer prova não afeta

as probabilidades das outras provas.)

3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias

(sucesso e fracasso).

4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.

Quando fazemos um experimento binomial, a distribuição da variável aleatória x é

chamada uma DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.

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Notação:

p => probabilidade de sucesso

q => probabilidade de fracasso

x => denota um número específico de sucessos em n provas, podendo ser qualquer inteiro

entre 0 e n, inclusive.

P(x) => denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas.

Parâmetros da Distribuição Binomial: ),(~ pnBX

Cálculo da Probabilidade de uma Distribuição Binomial:   xnxnx ppxXP  )1.().(   xnxxnxxnxnxnx qpxxn

nppCppxXP  

 .. !)!(

!)1.(.)1.().( ,

Para x = 0, 1, 2, .....,n Média de uma Distribuição Binomial: E(x) = np Variância da Distribuição Binomial: V(x) = npq Obs.: lembrando que 0! = 1 (por definição) Exercício:

1) Aplicando a fórmula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dado que 10% da população são canhotos. Isto é determine P(3), se n=15, x=3, p=0,1 e 1=0,9. Resposta: 0,1285

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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) Suponha que em um experimento binomial, uma prova se repita n vezes. Determine a probabilidade de x sucessos, dada a probabilidade p de sucesso em uma prova: Respostas:

a) n = 3, x= 2, p=0,9 (0,243) b) n=8, x=7, p=0,99 (0,0745) c) n=10, x=4, p=0,30 (0,2001) d) n=6, x=1, p=0,05 (0,2321)

2) Uma firma afirma que 20% de suas pastilhas de chocolate M&M são vermelhas.

Determine a probabilidade de que, em 15 pastilhas M&M escolhidas aleatoriamente, exatamente 20%, ou seja, 3 pastilhas sejam vermelhas.

Resposta: 0,250 3) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria

siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Resposta: 0,252 4) Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar

vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que: Respostas

a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? (0,6302) b) No máximo 13 tenham feito cursinho? (0,8029) c) Exatamente 12 tenham feito cursinho? (0,2252)

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