apostila de isostática, Manual de Mecânica. Università di Parma
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ana-paula-de-paula12 de maio de 2017

apostila de isostática, Manual de Mecânica. Università di Parma

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apostila de isostática vigas isostáticas
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Microsoft Word - Análise Estrutural I - 2009-1

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil

Apostila de

Análise Estrutural I

Agosto de 2009

Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX

Programa de Educação Tutorial – PET

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil

Apostila de

Análise Estrutural I

Ângela do Valle

Henriette Lebre La Rovere

Nora Maria De Patta Pillar

Colaboração dos Bolsistas PET:

Alex Willian Buttchevitz

Alexandre Garghetti

André Ricardo Hadlich

Helen Berwanger

Stephanie Thiesen

Talita Campos Kumm

Valmir Cominara Júnior

Vanessa Pfleger

Colaboração dos Monitores:

Artur Dal Prá (2006-1)

Willian Pescador (2007-1)

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................

1.1 Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais .......................... 1.2 Classificação das peças estruturais quanto à geometria ........................................... 1.3 Tipos de Vínculos ...................................................................................................

1.3.1 Vínculos no plano ........................................................................................ 1.4 Estaticidade e Estabilidade ..................................................................................... 1.5 Reações de apoio em estruturas planas ...................................................................

1.5.1 Estrutura Aporticada .................................................................................... 1.5.2 Pórtico Isostático .......................................................................................... 1.5.3 Treliça Isostática .......................................................................................... 1.5.4 Pórtico Triarticulado Isostático .................................................................... 1.6 Reações de Apoio no Espaço ..................................................................................

1.6.1 Treliça Espacial ........................................................................................... 1.6.2 Pórtico Espacial ...........................................................................................

2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ................................. 2.1 Treliças ...................................................................................................................

2.1.1 Método de Ritter ............................................................................................... 2.1.2 Método Cremona ..............................................................................................

2.2 Vigas ....................................................................................................................... 2.2.1 Vigas Simples – Método Direto para Diagramas ............................................. 2.2.2 Vigas Gerber .................................................................................................... 2.2.3 Vigas Inclinadas ...............................................................................................

2.3 Pórticos ................................................................................................................... 2.3.1 Estruturas Aporticadas ..................................................................................... 2.3.2 Pórticos Simples ............................................................................................... 2.3.3 Pórtico com Articulação e Tirante .................................................................... 2.3.4 Pórticos Compostos ..........................................................................................

2.4 Cabos ...................................................................................................................... 2.4.1 Reações de Apoio para Cabos .......................................................................... 2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos ............................................ 2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo .........................................................

2.5 Arcos ....................................................................................................................... 2.5.1 Arcos Biapoiados .............................................................................................. 2.5.2 Pórticos com Arcos (ou Barras Curvas) ............................................................ 2.5.3 Arcos Triarticulados .........................................................................................

2.6 Grelhas ..................................................................................................................... 3. ESTUDO DE CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ..................

3.1 Cargas Móveis – Trem-Tipo .................................................................................. 3.2 O Problema a Resolver ........................................................................................... 3.3 Linhas de Influência – Definição ........................................................................... 3.4 Obtenção dos Efeitos, Conhecidas as L.I. .............................................................. 3.5 Exemplos em Estruturas Isostáticas Simples ......................................................... 3.5.1 Viga Engastada e Livre ..................................................................................... 3.5. 2 Viga Biapoiada ................................................................................................. 3.6 Análise de Efeitos ................................................................................................... 3.6.1 Teorema Geral .................................................................................................. 3.6.2 Obtenção de Momento Fletor Máximo em uma Seção S de uma

Viga Biapoiada ................................................................................................. LISTAS DE EXERCÍCIOS ................................................................................................

Graus de estaticidade .................................................................................................... Treliças ......................................................................................................................... Vigas ............................................................................................................................ Cabos ............................................................................................................................ Arcos ............................................................................................................................ Grelhas .........................................................................................................................

1 1 1 3 3 8

13 13 14 14 15 19 19 20 21 21 27 33 42 42 48 54 61 61 68 75 77 81 86 91 96

105 108 111 113 123 128 128 128 130 134 135 135 137 140 140

140 159 160 162 170 174 176 179

ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)

Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET

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1. INTRODUÇÃO

1.1. Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um

objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do

comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a

modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma

determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são:

• Projeto arquitetônico:

-Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço

exterior, etc.);

-Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes).

• Carregamento atuante:

-Permanente;

-Variável Acidental;

Efeito do vento.

• Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento);

• Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas

peculiares): o material deve estar adequado aos tipos de esforços solicitantes pelas

estruturas.

Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se:

1º) Identificar as possíveis opções; 2º) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um.

1.2. Classificação das peças estruturais quanto à geometria Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e

análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta

convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto

denominado sistema estrutural.

Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que

definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças

estruturais:

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Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.

Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de

grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da

seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são

tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à

solicitação por torção.

Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira

dimensão. Subdividem-se em:

Placas: carregamento perpendicular ao plano médio.

Chapas: carregamento contido no plano médio.

Cascas: superfície média curva.

Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

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1.3. Tipos de Vínculos Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo

esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem

ser de translação ou de rotação.

1.3.1 Vínculos no plano: No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento:

deslocamento em duas direções e rotação.

a) Apoio simples ou de primeiro gênero:

Reação na direção do movimento impedido.

Exemplo de movimento: rolete do skate.

b) Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero:

Exemplo de movimento: dobradiça.

c) Engaste: ou apoio de terceiro gênero:

Exemplo de movimento: poste enterrado no solo.

y

x

y

x

z

y

x

Mz=0 Rx=0

Ry=0

RxRy

Rx

Ry

y

x

Mz=0

Rx

Ry

Mz

y

x

z

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Vínculos no Plano Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____ Cabo

Ligação esbelta

Roletes

Rótula

Luva com articulação

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Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____ Articulação

Apoio deslizante

Luva rígida

Apoio rígido (engaste)

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θ =

MK

Rigidez de uma Ligação Rigidez à Rotação geometria indeformada

geometria deformada

Ligação Articulada K 0 Ligação Rígida K → ∞ θ ≈ 0 o

Ligação Semi-Rígida 0 < K < ∞

K=

M

M

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Exemplos de Vínculos

Apoio rotulado em viga de ponte. Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes.

Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma ponte rodoviária.

Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares.

A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio.

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1.4. Estaticidade e Estabilidade:

a) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de

equilíbrio: ISOSTÁTICA.

b) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de

equilíbrio: HIPERESTÁTICA.

c) A estrutura não é restringida ou o número de incógnitas é menor que o número de

equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA.

Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos

possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido.

Número de incógnitas:

- Externas: reações de apoio ou vinculares;

- Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as

reações de apoio) – estruturas fechadas.

Número de equações de equilíbrio:

- Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no

espaço e três no plano);

- Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais

esforços internos (ex.: rótula).

g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações.

Critério apresentado por Sussekind: g = ge + gi, sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno

e gi = número de incógnitas internas, ou também: ge = grau de hiperestaticidade externa;

gi = grau de hiperestaticidade interna.

Tipos de Equilíbrio:

Estável Instável Indiferente

i.

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Exemplos: Estruturas Planas Vigas:

ISOSTÁTICA ISOSTÁTICA HIPOSTÁTICA r = 3 r = 3 r = 2 g = 0 g = 0 g < 0

HIPOSTÁTICA HIPERESTÁTICA r = 3 r = 4 g = 0 g = 1 (não restringida)

HIPOSTÁTICA HIPERESTÁTICA HIPERESTÁTICA r = 2 r = 4 r = 4

g < 0 g = 1 g = 1

Nº de equações equilíbrio externo = 3 Nº de equações equilíbrio interno = 1 (Momento fletor em C = 0)

. Nº de incógnitas = r = 4

g = número de incógnitas – número de equações (ext. e int.) = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 ou g = ge + gi ge = 4 – 4 = 0

gi = 0

Como resolver: 4 incógnitas: VA, HA, VB, VD .

i) ∑ FX = 0 HA + ... = 0

∑ FY = 0 VA + VB + VD = 0 3 Equações

∑ MA = 0 d1.VB + d2.VD - ... - ... = 0

(qualquer ponto)

Uma equação adicional (devido à rótula):

ABC D

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MC = 0 (Partindo da direita ou da esquerda da viga)

Ex.: À Direita

∑ MC = 0

MC + R.(d/2) + F1Y.d - VD.d = 0 VD= 0

ii)Separar em diversas vigas isostáticas

Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1

g = 0;

Estrutura Isostática Restringida a movimentação de corpo rígido.

VDVC

HC

F1

VBVA

HA VC

HC

Resolve-se esta primeiro Esta viga se apoia sobre a outra

(não tem estabilidade própria) 3 incógnitas e 3 equações Determinar H C, VC, VD

Emseguida resolve-se esta, que tem estabilidade própria e é isostática também; 3 incógnitas e 3 equações Determinar HA, VA, VB

+ 1 Equação + 2 Equações + 1 Equação

N

MC V

dF1

VD

o R

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Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros.

Pórticos:

(Triarticulado) g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – (3 + 1) = 0

(Triarticulado) Hiperestática Hiperestática g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 g = ge = 4 – 3 = 1 g = ge = 4 – 3 = 1

4 Incóg.: VA, HA, VB (Ext) Incog(Ext) = 3 g = ge + gi

NF10 (Int) Incog(Int) = 1 ge = 3 – 4 = -1

ge = 3 – 3 = 0 Eq(Ext) = 3 gi = 1

gi = 1 Eq(Int) = 1 g = 0

g = ge + gi = 1 g =(3+1)-(3+1)=0 Isostática

Hiperestática g =0 ge = 3 - 4= -1 Restringida

gi = 1

Isostática

Restringida

MC = 0 (à direita ou à esquerda)

MCD = MCE = 0

AB

C

Atirantado

Tirante(fio)

Tirante

C

A B

A B

C

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g = 1 g = 2

Momento fletor é nulo

Arcos:

g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4– 3 = 1 ge = 4 – (3 + 1) = 0

Isostática Restringida Hiperestática Isostática Restringida

g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2 ge = 3 – 3 = 0 ge = 4 – 3 = 1

gi = 1 gi = 1

Hiperestática Hiperestática Hiperestática

Quadros:

Conhecidos N1, V1 e M1 obtêm-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção.

ge = 3 – 3 = 0 gi = 3

Não é possível traçar os g = ge + gi = 0 + 3 = 3

diagramas, só conhecidas Hiperestática internamente

as reações de apoio HA, VA, VB.

g = ge + gi = 0 + 6 = 6

Hiperestática internamente

Tirante Tirante

A B

V1 N1 V1

M1

N2 V2V2

M2

A BBA A B

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1.5. Reações de apoio em estruturas planas:

1.5.1. Estrutura Aporticada

Cos α =4/5

Sen α =3/5

Decompor a força de 10kN nas direções x e y:

i) ∑FX = 0 HA + 6kN = 0 ∴HA = - 6kN

ii) ∑FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN

iii) ∑MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0

∴7VB = 190 ∴ VB = 27,14kN

Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN

Outra maneira seria:

∑MA = 0

7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0

∴7VB = 165+25 = 190

∴VB = 27,14kN

Verificação: ∑MB = 0

(10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) – (6x1,5) = 0

76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0

Y

X

α

10x(3/5)=6kN

10x(4/5)=8kN10kN

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1.5.2. Pórtico Isostático

i) ∑FX = 0 -HA + 40 = 0 ∴HA = 40kN

ii) ∑FY = 0 VA + VB = 60kN

iii) ∑MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0

∴8VB = 400 ∴ VB = 50kN

∴VA = 60 – 50 = 10kN

Verificação: ∑MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0

120 + 120 – 240 = 0

1.5.3. Treliça Isostática

i) ∑FX = 0 HB + 4 -12 = 0 ∴HB = 8kN

ii) ∑FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN

iii) ∑MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0

∴3VA = 16 + 12 – 24 = 4

∴VA = (4/3) = 1,33kN

∴VB = 12,67kN

Verificação: ∑MA = 0

r=3; b=5; n=4. r + b = 2n

5 + 3= 2x4

VA

HA VB

B

A

80kNm

60kN

40kN

4.00m 4.00m

3.00m

3.00m

VA VB

HB

4kN

1.50m 1.50m

2.00m

2.00m

6kN

8kN

12kN

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1.5.4. Pórtico Triarticulado Isostático

i) ∑FX = 0 (→+ ) HA + HB +20 -12 = 0 ∴HA+ HB = -8kN

ii) ∑FY = 0 (↑+ ) VA + VB = 10x4 = 40kN

iii) ∑MA = 0 4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0

∴4VB = 80 – 24 + 80 ∴ VB = 34kN

∴VA = 40 – 34 = 6kN

iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.)

Análise da Estrutura à Esquerda da Rótula:

Verif. ∑MD = 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0

32 + 24 +24 – 80 = 0

• 4 Incógnitas (Reações) • 3 Equações Estáticas (Plano) • 1 Equação interna (Rótula)

MCD = MCE = 0

Isostática

MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0

ou MC = (6x2) – (20x1) – (4HA)

mas MC = 0 → 4HA= 12 – 20 = -8

∴HA = – 2kN

∴HB = –8 + 2 = -6kN

2.00m

A B

BVA

HA HB

12kN4.00m

C D

20kN

2.00m 2.00m

HA

VC

MC

NC 20kN

2.00m

4.00m

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Exercícios: Determinar a reação de apoio.

i) ∑FX = 0 (→+ ) RAX - RBX = 0 ∴ RAX = RBX (I)

ii) ∑FY = 0 (↑+ ) RAY - RBY - 20 - 112= 0 ∴ RAY + RBY = 132 (II)

iii)∑MA = 0 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0

RBX = 160 + 448 ∴ RBX=101,33kN 6

RAX = RBX (I) ∴ RAX=101,33kN

RAX = RAY (45º) ∴ RAY=101,33kN

RBY = 132 - RAY (II) ∴ RBY=30,67kN

RA = RAX/cos 45º ∴ RA= (RAX)x 2 = 143,30kN 2

Conferindo

∑MC = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0

40 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0

-184 + 184 – 608 + 608 =0

184 – 184 = 0

a)

4 RA

RA

C

20kN

A

B

112kN RBY

RBX

RAX

RAY

14kN/m

20kN

C B

A

6.00m

6.00m2.00m

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i) ∑FX = 0 (→+ ) RAX = RBX

ii) ∑FY = 0 (↑+ ) RAY – 12(12) – 30 ∴RAY = 174kN

iii) ∑MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0

RBX = 600 + 864 ∴RBX = 122kN ∴RAX = 122kN 12 Conferindo

∑MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0

1464 – 864 – 600 = 0

∑MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0

122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0

732 + 2016 + 732 – 3480 = 0

c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo :

BA

3.00m 6.00m 3.00m 3.00m

16kN/m

8kN

45°45°

10 2kN 10 2kN

b) 12kN/m

A

B

C C

B

A

144kN

30kNRAX

RAY

RBX

6.00m

6.00m

8.00m12.00m

30kN

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8144 3434

111,33108,67 5454kN.m A B

9.00m Balanço

d) Determinar as reações de apoio para a viga:

72 ↑ ↑ (144/2) = 72

34 ↑ ↑ 10 + 24 = 34

(8x3)/9 = 2,67 ↑ ↑ (8x6)/9 = 5,33

108,67 ↑ ↑ 111,33

6 ↑ ↑ (12/2) = 6

6 ↑ ↑ 6 + 8 = 14

2,67 ↑ ↑ (20-12)/3=2,67

10kN

10kN

3x(16/2)=24kN 10 2kN

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3 incógnitas N1, N2, N3 3 equações: ∑FX = 0, ∑FY = 0, ∑FZ = 0

1.6. Reações de apoio no espaço: 6 Equações de Equilíbrio:

∑FX = 0; ∑FY = 0; ∑FZ = 0; ∑MX = 0; ∑MY = 0; ∑MZ = 0

1.6.1. Treliça Espacial Isostáticar + b = 3n

Restringida

n=4

r+b=3n

9+3 = 3x4

12=12

Inicia-se pelo equilíbrio do nó D:

Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada

nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio.

D

C

BA

1 2 3

4tf

2tf

RAZ

RAX

RAY RBY

RBX

RBZ RCY

RCX RCZ

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1.6.2. Pórtico Espacial

5.00m

4.00m

RAZ

MAZ RAY

MAY

RAX MAX

2tf

1tf 4tf

3.00m

Y

X

Z

6 reações

Isostática6 equações de equilíbrio

Restringida

i) ∑FX = 0 RAX – 2tf = 0 ∴RAX = 2tf

ii) ∑FY = 0 RAY – 4tf = 0 ∴RAY = 4tf

iii) ∑FZ = 0 RAZ – 1tf = 0 ∴RAZ = 1tf

iv) ∑MX = 0 MAX – (4x3) – (1x5) = 0 ∴MAX = 17tfm

v) ∑MY = 0 MAY + (2x3) + (1x4) = 0 ∴MAY = -10tfm

vi) ∑MZ = 0 MAZ + (2x5) – (4x4) = 0 ∴MAZ = 6tfm

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2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

2.1. Treliças

Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direção é

predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós).

Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas

somente a esforços axiais.

Estaticidade e Estabilidade:

Condições para obtenção de uma treliça isostática:

1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis);

2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de

equilíbrio da estática (**).

* O número de incógnitas é dados por:

número de reações (r) + número de barras (b).

(Incógnitas Externas) (Incógnitas Internas)

** Número de equações de equilíbrio é o resultado do:

- número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência

de uma equação no eixo x e outra no y).

Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira:

1a. Condição 2a. Condição Classificação

indeslocável e r + b = 2n Isostática

indeslocável e r + b > 2n Hiperestática

deslocável ou r + b < 2n Hipostática

Os métodos de obtenção de esforços em treliças são:

1. Equilíbrio dos Nós;

2. Ritter;

3. Cremona (Maxwell).

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Treliças Planas

Fonte: Engel, Heino, 1981

Sentido dos Esforços

Treliça com diagonais comprimidas

Treliça com diagonais tracionadas

Fonte: Salvadori, Heller, 1975

AI E O' B F M

N HDOCG

L

W4W2 W1 W3 W5

W4W2 W1 W3 W5

AIE O' B F M

N HDOCD

L

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