Apostila de Potenciação, Outro de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)
usuário desconhecido
usuário desconhecido23 de novembro de 2017

Apostila de Potenciação, Outro de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)

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Matemática

Módulo I

Aula

Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE.

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discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente

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Potenciação

Objetivo: Exibir uma forma de compreender as propriedades de potências.

Situação-problema: Como representar a área de um quadrado de lado 7?

Resposta: A área de um quadrado de lado 7 é 7.7 e uma forma de

representar seu valor, além de 49, é 72.

Quando escrevemos a área de um quadrado ou o volume de um cubo

utilizamos x2, x3. Essa notação é utilizada para indicar que x será multiplicado 2

vezes ou 3 vezes, isto é, x2=x.x e x3 = x.x.x.

Em 72 que vale 49, o 7 é chamado de base e o 2 é o expoente. O resultado 49

é a potência.

O número que fica “em cima” do número ou da letra é a quantidade de vezes

que o número ou a letra aparece multiplicando.

Por exemplo: 32 = 3.3, 42 = 4.4, 53 = 5.5.5, x4 = x.x.x.x.

Observe que se fizer x.x.x (=x3) multiplicado por x.x (=x2), terá 5 fatores x, isto

é, x.x.x.x.x = x5. Dessa forma, somamos a quantidade de x que apareceu na

multiplicação, isto é, o resultado da multiplicação de duas potências com a mesma

base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo:

32 . 35 = (3.3) . (3.3.3.3.3) = 3.3.3.3.3.3.3 =37.

ou, simplesmente,

32 . 35 = 32+5 =37.

Observe que há uma simplificação de operações, o que é multiplicação vira

soma.

Há o correspondente também para a operação de divisão. Na divisão de

potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes, como

pode ser visto no seguinte exemplo:

Calculemos

de duas formas diferentes. Então

.

Agora, usando a “regra”, obtemos o mesmo valor:

.

Outra regra de potenciação que é muito utilizada ocorre quando temos de

elevar um produto (ou divisão) a um determinado expoente. Por exemplo:

(2.3)4= 64 = 1296, que é o mesmo que 24. 34 = 16.81 = 1296.

Observe que o 4 do expoente do produto “distribuiu-se” entre cada um dos

fatores, 2 e 3. Isso não ocorre por acaso, é uma propriedade importante da

potenciação que pode ser utilizada sempre que necessário, como será visto em

equações exponenciais. Algo semelhante ocorre com a divisão, por exemplo:

(

)

, enquanto (

)

.

Nessa situação, o que ocorreu foi simplesmente a distribuição do expoente

entre o numerador e o denominador da fração.

Observe que introduzimos as operações de soma e subtração nos expoentes

e que isso corresponde à multiplicação e à divisão dos resultados das potências.

Vamos ver agora um caso bastante interessante, quando a base de uma

potência é uma potência.

Por exemplo: 9² = 91

Observe que . Assim, temos .

Assim, podemos resumir o que sabemos a respeito das operações com

potenciação:

1- Produtos de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os

expoentes.

2- Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se

os expoentes.

3- A potência de um produto é igual ao produto das potências.

4- A potência de uma divisão é igual à divisão das potências.

5- Potência de potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Por exemplo, é possível mostrar que qualquer número não nulo elevado a 0 é

igual a 1, pois um número não nulo x, dividido por x, é igual a

, como

, então .

Essas propriedades são mais gerais que o que foi ilustrado aqui, isto é, essas

propriedades valem para expoentes formados por números reais e não apenas

números inteiros.

Agora, em relação à precedência, isto é, a ordem que deve ser resolvida

primeiro é a seguinte:

1- Primeiro resolver todas as potenciações.

2- Depois resolver os produtos e divisões.

3- Por último, as somas e subtrações.

Claro que essa precedência deve ser usada caso não haja nenhum uso de

parênteses, colchetes ou chaves, pois esses devem ser resolvidos antes de

qualquer outra expressão, por exemplo, observe o exercício resolvido.

Simplifique a seguinte expressão:

[ ]

[ ]

[ ]

Observe que, na primeira passagem, foram feitas as somas dos parênteses,

obtendo os valores 5 e 7 dentro dos colchetes. Depois foi feito o produto de 5 por 7.

A partir da terceira linha, foi utilizada a precedência natural das operações:

potenciação (352), depois o produto (1225.4), para só então fazer a soma (4900 + 5).

Agora é a sua vez!Resolva os exercícios e verifique seu conhecimento.

Acesse o espaço online da UNINOVE para assistir à videoaula referente ao

conteúdo assimilado.

REFERÊNCIAS

BONJORNO, J. R.; GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI Jr., J. R.Matemática – uma nova

abordagem. v. 1. Ensino Médio. 1ª série.2. ed.São Paulo: FTP, 2011.

BONJORNO, J. R.; GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI Jr., J. R.Matemática – uma nova

abordagem. v. 2. Ensino Médio. 2ª série.2. ed.São Paulo: FTP, 2011.

DOLCE, O. et al. Tópicos de matemática.v. 1.São Paulo: Atual, 1999.

IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar. v. 1. São Paulo: Atual, 2005.

NERY, C.; TROTTA, F. Matemática – Curso Completo. São Paulo: Editora Moderna,

2001.

IEZZI, G; DOLCE, O. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2004.

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