Apostila de Potenciação, Slides de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)
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Apostila de Potenciação, Slides de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)

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Matemática

Módulo I

Aula

Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE.

O acesso às atividades, conteúdos multimídia e interativo, encontros virtuais, fóruns de

discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente

virtual de aprendizagem UNINOVE.

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Potenciação

Objetivo: Exibir uma forma de compreender as propriedades de potências.

Situação-problema: Como representar a área de um quadrado de lado 7?

Resposta: A área de um quadrado de lado 7 é 7.7 e uma forma de

representar seu valor, além de 49, é 72.

Quando escrevemos a área de um quadrado ou o volume de um cubo

utilizamos x2, x3. Essa notação é utilizada para indicar que x será multiplicado 2

vezes ou 3 vezes, isto é, x2=x.x e x3 = x.x.x.

Em 72 que vale 49, o 7 é chamado de base e o 2 é o expoente. O resultado 49

é a potência.

O número que fica “em cima” do número ou da letra é a quantidade de vezes

que o número ou a letra aparece multiplicando.

Por exemplo: 32 = 3.3, 42 = 4.4, 53 = 5.5.5, x4 = x.x.x.x.

Observe que se fizer x.x.x (=x3) multiplicado por x.x (=x2), terá 5 fatores x, isto

é, x.x.x.x.x = x5. Dessa forma, somamos a quantidade de x que apareceu na

multiplicação, isto é, o resultado da multiplicação de duas potências com a mesma

base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo:

32 . 35 = (3.3) . (3.3.3.3.3) = 3.3.3.3.3.3.3 =37.

ou, simplesmente,

32 . 35 = 32+5 =37.

Observe que há uma simplificação de operações, o que é multiplicação vira

soma.

Há o correspondente também para a operação de divisão. Na divisão de

potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes, como

pode ser visto no seguinte exemplo:

Calculemos

de duas formas diferentes. Então

.

Agora, usando a “regra”, obtemos o mesmo valor:

.

Outra regra de potenciação que é muito utilizada ocorre quando temos de

elevar um produto (ou divisão) a um determinado expoente. Por exemplo:

(2.3)4= 64 = 1296, que é o mesmo que 24. 34 = 16.81 = 1296.

Observe que o 4 do expoente do produto “distribuiu-se” entre cada um dos

fatores, 2 e 3. Isso não ocorre por acaso, é uma propriedade importante da

potenciação que pode ser utilizada sempre que necessário, como será visto em

equações exponenciais. Algo semelhante ocorre com a divisão, por exemplo:

(

)

, enquanto (

)

.

Nessa situação, o que ocorreu foi simplesmente a distribuição do expoente

entre o numerador e o denominador da fração.

Observe que introduzimos as operações de soma e subtração nos expoentes

e que isso corresponde à multiplicação e à divisão dos resultados das potências.

Vamos ver agora um caso bastante interessante, quando a base de uma

potência é uma potência.

Por exemplo: 9² = 91

Observe que . Assim, temos .

Assim, podemos resumir o que sabemos a respeito das operações com

potenciação:

1- Produtos de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os

expoentes.

2- Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se

os expoentes.

3- A potência de um produto é igual ao produto das potências.

4- A potência de uma divisão é igual à divisão das potências.

5- Potência de potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Por exemplo, é possível mostrar que qualquer número não nulo elevado a 0 é

igual a 1, pois um número não nulo x, dividido por x, é igual a

, como

, então .

Essas propriedades são mais gerais que o que foi ilustrado aqui, isto é, essas

propriedades valem para expoentes formados por números reais e não apenas

números inteiros.

Agora, em relação à precedência, isto é, a ordem que deve ser resolvida

primeiro é a seguinte:

1- Primeiro resolver todas as potenciações.

2- Depois resolver os produtos e divisões.

3- Por último, as somas e subtrações.

Claro que essa precedência deve ser usada caso não haja nenhum uso de

parênteses, colchetes ou chaves, pois esses devem ser resolvidos antes de

qualquer outra expressão, por exemplo, observe o exercício resolvido.

Simplifique a seguinte expressão:

[ ]

[ ]

[ ]

Observe que, na primeira passagem, foram feitas as somas dos parênteses,

obtendo os valores 5 e 7 dentro dos colchetes. Depois foi feito o produto de 5 por 7.

A partir da terceira linha, foi utilizada a precedência natural das operações:

potenciação (352), depois o produto (1225.4), para só então fazer a soma (4900 + 5).

Agora é a sua vez!Resolva os exercícios e verifique seu conhecimento.

Acesse o espaço online da UNINOVE para assistir à videoaula referente ao

conteúdo assimilado.

REFERÊNCIAS

BONJORNO, J. R.; GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI Jr., J. R.Matemática – uma nova

abordagem. v. 1. Ensino Médio. 1ª série.2. ed.São Paulo: FTP, 2011.

BONJORNO, J. R.; GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI Jr., J. R.Matemática – uma nova

abordagem. v. 2. Ensino Médio. 2ª série.2. ed.São Paulo: FTP, 2011.

DOLCE, O. et al. Tópicos de matemática.v. 1.São Paulo: Atual, 1999.

IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar. v. 1. São Paulo: Atual, 2005.

NERY, C.; TROTTA, F. Matemática – Curso Completo. São Paulo: Editora Moderna,

2001.

IEZZI, G; DOLCE, O. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2004.

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