Apostila de Probabilidade, Ensaios de Probabilidade. Universidade de Taubaté (Unitau)
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Apostila de Probabilidade, Ensaios de Probabilidade. Universidade de Taubaté (Unitau)

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Apostila de probabilidade elaborada pelo Professor Carlinhos
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apostila probabilidade

Apostila Introdução a Probabilidades - Elaborada pelo Prof. Carlinhos

1

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI

UNITAU

APOSTILA

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADES

PROF. CARLINHOS

NOME: NO:

Apostila Introdução a Probabilidades - Elaborada pelo Prof. Carlinhos

2

PROBABILIDADES Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades: Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições. Ex: No lançamento de um dado honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4 ,5 e 6, ou seja, o resultado é incerto. Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. Indicaremos por U. Vejamos alguns exemplos Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa} Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino} Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório. Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vejamos agora os seguintes eventos: A : Um número par , A = {2, 4, 6} B : Um número par e primo, B = {2} ( evento simples ou elementar) C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível) D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U E : Um número menor ou igual 4 e F: um número maior ou igual a 4. Então: E = { 1,2,3,4} e F = { 4,5,6}, observe que E U F = U , logo, E e F são chamados de eventos complementares. Indicaremos o complementar de um evento A por Ā G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G ={1,2} e H = {4,5,6}, observe que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos. PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS: Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então: P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B) Se A ∩ B = ø , teremos: P(A U B) = P( A ) + P( B ) PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR: Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então: P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)

Uamostral espaço do elementos de nº n(U)

A evento do elementos de nº n(A) :onde ,

)(

)( )(

= =

= Un

An AP

Apostila Introdução a Probabilidades - Elaborada pelo Prof. Carlinhos

3

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES: Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que: - O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A); - O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B); - O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C); - O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B, C e N ocorram nessa ordem é: P = P( A ). P( B ). P( C )...P(N) PROBABILIDADE CONDICIONAL: Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por: P(A/B) = n( A ∩ B ) / n ( B) EXEMPLOS 1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3. SOLUÇÃO: O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6 A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6}, portanto n(A) = 2

2) Numa urna existem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se 1 bola ao acaso, qual probabilidade de que seu número múltiplo de 4 ou de 5. SOLUÇÃO: O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, ..., 30}, portanto n(U) = 30 A ocorrência de um múltiplo de 4 é A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}, portanto n(A) = 7 A ocorrência de um múltiplo de 5 é B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, portanto n(B) = 6 A ∩ B = { 20 }, portanto n ( A ∩ B ) = 1 P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B) =

33,33%ou 3

1

6

2

)(

)( )( ===

Un

An AP

30

7

)(

)( )( ==

Un

An AP

30

6

)(

)( )( ==

Un

Bn BP

30

1

)(

)( )( ==

Un

BAn BAP

I I

40%ou 5

2

30

12

30

1

30

6

30

7 ==−+

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4

3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de 1/5. Qual a probabilidade desse piloto não ganhar essa corrida ? SOLUÇÃO: Seja P(A) = 1/5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida, então: P(A) + P(Ā) = 1 → 1/5 + P(Ā) = 1 → P(Ā) = 1 – 1/5 = 4/5 ou 80% 4) De um baralho de 52 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem ?

5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.

0,60%ou 663

4

51

4 .

13

1 P(A).P(B) P

:por dada é reposição, sem retirada 2ª na valetee retirada 1ª na ásocorrer de adeprobabilid a 51

4 P(B) então retirada, 2ª na valeteumsair :

13

1

52

4 P(A) então retirada, 1ª na ás umsair :A

:eventos os Considere

:

===

=

==

Logo

B

SOLUÇÃO

40%ou 5

2

)(

)( P(A/B)

:é Bocorreu que dadoA ocorrer de adeprobabilid a

2 B)n(A então 3)}, (5, 5), {(3, B A

5 n(B)

:logo 4)}, (4, 3), (5, 5), (3, 2), (6, 6), {(2, B então 8, a igual pontos dos somaA :

9 n(A)

: logo 5)}, (5, 4), (5, 5), (4, 3), (5, 5), (3, 2), (5, 5), (2, 1), (5, 5), (1, {A então faces, das uma em 5 O :A

:eventos os Considere

:

==

== =

= =

=

Bn

BAn

Logo

B

SOLUÇÃO

I

II

Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

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