Apostila demo. estudantes, Notas de estudo de Matemática
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Apostila demo. estudantes, Notas de estudo de Matemática

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Apostila de matemática preparatória para o ENEM, versão demo
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1

Apostila

270 QUESTÕES DE

MATEMÁTICA

ENEM RESOLVIDAS PASSO A PASSO

Versão de demonstração (contém apenas 12

exercícios).

Todas as questões dos últimos 5 ENEMs resolvidas passo a

passo, dicas de resolução rápida, como não cometer erros

comuns, dicas de como estudar e proceder no dia das provas, e

muito mais.

Lúcio E. Ferreira

2

3

Súmário

Unidade I

5 - Sobre o autor

5 - Apresentação da apostila

6 - Como estudar

7 - Como se comportar nos dias do exame

Unidade II

10 Questões de matemática do ENEM 2017 resolvidas passo a passo

61 Questões de matemática do ENEM 2016 resolvidas passo a passo

114 Questões de matemática do ENEM 2015 resolvidas passo a passo

157 Questões de matemática do ENEM 2014 resolvidas passo a passo

196 Questões de matemática do ENEM 2013 resolvidas passo a passo

238 Questões de matemática do ENEM 2012 resolvidas passo a passo

277 Considerações finais

4

5

Unidade I

Sobre o autor

Lucio Elon Ferreira, 26 anos, nascido na cidade de Rio Pomba (MG), graduando

em engenharia pela Universidade Federal de Juiz de Fora (MG), servidor público

federal, técnico em eletrotécnica no Instituto Federal de Educação, Ciência e

Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais.

Estudante desde sempre, quando criança me interessava pela área de exatas,

em especial eletricidade, desmontando rádios, TV’s, levando choques, etc. aos

15 anos iniciei o curso de eletrotécnica no antigo Colégio Técnico Universitário,

em Juiz de Fora, segui estudando, fazendo estágios, em 2010 iniciei minha

carreira nos concursos públicos, ao longo dos últimos 7 anos obtive aprovações

em 8 concursos.

Ingressei em 2014 no curso de engenharia elétrica da Universidade Federal de

Juiz de Fora pelo ENEM, desde 2010 tenho como fonte de renda aulas

particulares as quais ministro para estudantes do ensino médio, devido a essa

experiência e a bons resultados na matemática (disciplina a qual sempre é

motivo de preocupação para cerca de 80% dos estudantes). Decidi escrever

essa apostila para transmitir uma nova forma de aprendizado baseada na

resolução de exercícios, demonstrando o passo a passo, totalmente de telhado,

de cada etapa dos exercícios.

Apresentação da apostila

Essa apostila traz um novo método de estudo, visto que os métodos atuais já

provaram sua ineficiência (basta observar a dificuldade que a população jovem

encontra ao trabalhar com números).

Nas escolas, colégios e cursinhos é muito comum o professor expor aos

estudantes um conteúdo e demonstram alguns exercícios fáceis, deixando para

os estudantes a tarefa de resolverem sozinhos os exercícios mais complicados,

muitas vezes em função do excesso de estudantes nas turmas e do desgaste

causado por estudantes inquietos, os professores acabam por não conseguirem

transmitir o conhecimento de maneira adequada.

Aqui seguiremos a seguinte metodologia: em cada uma das 225 questões que

existem nessa apostila existe, junto a ela, a indicação de qual conteúdo deve ser

aplicado para a resolução, após a leitura da questão existem algumas dicas de

como resolver a questão e também é solicitado ao estudante que tente resolver

a questão por conta própria (sem consultar a solução dada na apostila). Caso o

estudante não consiga resolver a questão é indicado um conteúdo para que ele

estude (esse conteúdo deve ser pesquisado em livros, outras apostilas ou

internet, visto que este material se dedica apenas às resoluções). Caso o

estudante, mesmo após o estudo do conteúdo sugerido, não consiga resolver a

6

questão, então haverá ali a solução da questão passo a passo, onde está

detalhado todo o raciocínio, contas (mesmo as mais triviais) e caminhos

seguidos para se resolver a questão.

As resoluções das questões seguem os seguintes passos: Inicialmente se

apresenta uma solução completa, com todos os fatores matemáticos padrões,

em seguida, quando couber, se apresenta um método simplificado para se

resolver a questão, esse método geralmente é mais rápido e fácil, porém

necessita de atenção e traquejo matemático e, caso o estudante não preste

atenção pode cometer erros. Também são apresentados vários erros que os

estudantes comumente cometem e quais as falhas que podem levar um

estudante a cometer tal erro, por fim são mostradas as pegadinhas que os

elaboradores das questões preparam para os estudantes, eles sabem quais

erros são comuns e colocam alternativas para os enganarem.

É recomendado que, mesmo quando você conseguir resolver a questão sem

necessidade de consulta à resolução da apostila, você deve estudar a resolução

pois nela se encontram formas alternativas, confiáveis e dicas para se resolver

a questão a também para fugir de erros e armadilhas.

Como estudar!

Muitos estudantes não conseguem dedicar um bom tempo ao estudo, se você

deseja ingressar em uma universidade deve saber que precisará dedicar boas

horas para se preparar para o ENEM. Inicialmente você deve saber qual o ponto

de corte do curso no qual deseja ingressar, a escolha do curso é um momento

delicado, não escolha um curso para agradar seu pai, mãe ou qualquer parente,

pois quem vai passar o resto da vida nessa profissão é você e não eles, é muito

importante escolher um curso que lhe faça feliz, porém você deve escolher um

curso que lhe dê uma boa remuneração no futuro (você não quer estudar mais

cinco ou seis anos para ganhar dois salários mínimos), também deve-se escolher

um curso no que lhe proporcione boas oportunidades de emprego ( você não

quer estudar cinco ou seis anos para depois ficar desempregado).

Outro ponto fundamental é....... (continua na versão completa)

Como se comportar nos dias do exame

Às vésperas do exame, na semana que antecede a prova, é muito comum

estudantes se matarem ao longo dos dias, na esperança de aprender em poucas

horas tudo o que não aprenderam em onze anos de estudo, este é um

comportamento quase suicida, pois é impossível se aprender muito conteúdo em

poucos dias, se essa não for a primeira vez que você irá prestar o ENEM ou um

processo seletivo, então você certamente já viu, nos dias das provas, pessoas

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estudando nos ônibus, nos locais de prova minutos antes, etc. Esse

comportamento indica certo desespero, o qual gera um estresse muito alto e

atrapalha na aprendizagem, estude durante o ano todo, de segunda a sexta, se

você não tem muito tempo disponível então estude de segunda a domingo nos

tempos que tiver disponibilidade. Na semana da prova é recomendável ...

(continua na versão completa)

Unidade II

ENEM 2017 2º dia matemática prova azul

Questão 136 (juros compostos): Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando

juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela. A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:

Para resolver essa questão será necessário subtrair das parcelas restantes o percentual de juros embutidos nelas, tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre

juros compostos e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: devemos montar uma expressão que nos dê o valor total pago na sexta prestação, veja que o devedor pretende pagar, de uma só vez, a sexta, sétima e oitava prestações, observe também que a sexta prestação terá o valor de P, pois ela está sendo paga sem antecipação, veja que o valor correspondente à sétima prestação não será P, pois ela está sendo paga com adiantamento de um mês e, portanto, terá desconto referente aos juros de um mês, observe

também que a oitava prestação está sendo paga com dois meses de antecedência e, portanto, terá um valor desconto equivalente a dois meses de juros compostos. Vamos calcular quanto será pago por cada parcela separadamente, e depois basta somarmos os resultados.

6ª parcela: será pago o valor P

8

7ª parcela: por esta parcela haverá um desconto de i%, ou seja ��

100 , caso

estivéssemos acrescentando juros a essa parcela faríamos a seguinte conta: (obs: chamemos a sétima parcela de X)

X = P + ��

100 P, ou seja X = P( 1 +

��

100 ) = P(

100+��

100 )

Porém lembre-se de que está sendo dado um desconto para o devedor, então ao invés de aplicarmos uma multiplicação, faremos uma divisão.

X = ��

100+��

100

= 100��

100+��  Podemos dividir ambos os lados da fração por 100, daí temos:

X= ��

1+ ��

100

Apliquemos agora o mesmo raciocínio para a oitava parcela, lembrando que essa teria um acréscimo de i% em relação à sétima, chamemos a oitava parcela de Y (observe que estamos acrescentando juros à parcela apenas para facilitar a compreensão, no fim inverteremos a operação e chegaremos à resposta)

Y = (P + ��

100 P) +

��

100 (P +

��

100 P) = P +

��

100 P +

��

100 P +

��²

100² P = P( 1+

2��

100 +

��²

100² ).

Observe que o termo entre parênteses no fim da expressão nada mais é do que

(1+ ��

100 )² (lembre-se do quadrado da soma de dois termos) (a+b)² = a² + 2ab + b²

Daí teríamos que Y = P(1+ ��

100 )².

Porém devemos agora inverter a operação e, ao invés de multiplicarmos P pelo fator entre parênteses, vamos dividí-lo.

Temos: Y= ��

(1+ ��

100 )²

Agora basta que somemos os valores das três parcelas, chamemos essa soma de S

S = P + ��

1+ ��

100

+ ��

(1+ ��

100 )²

Coloquemos P em evidência : S = P ( 1 +

1

1+ ��

100

+ 1

(1+ ��

100 )²

) Opção A

Obviamente esses cálculos demoraram mais de três minutos (tempo que você tem disponível para a resolução de cada questão do ENEM, o passo a passo mostrado acima foi feito para que até o estudante menos preparado fosse capaz de entender, vamos mostrar agora um método muito mais simples, rápido e totalmente sem contas. Este método deve ser aplicado por alunos com certa capacidade matemática.

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Se você tem bem afixado em mente o conceito de juros compostos, deve facilmente entender que a sexta prestação, a qual está sendo paga sem adiantamento ou atraso, terá seu valor igual a P, a prestação número 7, a qual está sendo paga com um mês de antecedência, terá um desconto de i%, a prestação número 8, que está sendo paga com dois meses de antecedência, terá um desconto de i²% (i x i %). Você deve ser capaz de perceber também que, quando falamos em desconto de juros, estamos falando em divisão, vamos agora procurar entre as cinco alternativas aquela que tenha um comportamento parecido com o qual nós prevemos. Observe que a opção A é a única que apresenta tal comportamento. Obs: lembre-se de que toda vez que você encontrar com resposta correta a alternativa A, reveja seus cálculos, pois geralmente ela é uma armadilha para pegar os desavisados que cometem algum erro previsível na resolução da questão. Questão 143 (Análise combinatória): Um brinquedo infantil caminhão cegonha é

formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura:

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado com apenas uma cor. O caminhão cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão cegonha não gera um novo modelo de brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir? A) C6,4 B) C9,3 C) C10,4 D) 64

E) 46

Esta é sem dúvida uma das questões mais complicadas de 2017, esse tipo de raciocínio raramente é ensinado no ensino médio, o caminho para se chegar à resposta é trabalhar com permutação de elementos. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre permutações com elementos repetidos e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Se você procurar na internet, encontrará várias explicações vagas e sem clareza alguma em sites muito famosos, aqui mostraremos uma técnica para a resolução dessa questão. Vamos observar o seguinte: existem 10 carros a serem pintados, e 4 cores disponíveis, temos que nos apegar ao fato de que cada carreta cegonha precisa ter, no mínimo, um carrinho de cada cor, portanto vamos pegar 4 carrinhos e pintar cada um com uma cor diferente, agora nos restaram 6 carrinhos que podem ser pintados da maneira que quisermos. Temos agora que descobrir de quantas maneiras poderemos fazer isso.

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Vamos montar abaixo uma tabela intuitiva onde representaremos os carrinhos por traços.

Amarelo Branco Laranja Verde

II + I + I + II Observe que, acima, pintamos dois carrinhos de amarelo, um carrinho de branco, um carrinho de laranja e dois carrinhos de verde, podemos padronizar a sequência de representação das cores utilizadas como sendo sempre Amarelo, Branco, Laranja, verde, vamos montar outras combinações possíveis. III+I+I+I. Nessa sequência temos três amarelos, um branco, um laranja e um verde +III++III Agora tivemos zero amarelo, três brancos, zero laranja e três verdes. Observe que precisamos apenas descobrir de quantas maneiras diferentes podemos combinar seis “pauzinhos” e três sinais de soma, poderíamos substituir os sinais de soma por barras, pontos, etc. observe que o número de sinais de soma é uma unidade a menos que o número de cores disponíveis. Agora, para calcular o número de permutações desses elementos, devemos utilizar a fórmula para a permutação de X elementos com repetição de A elementos e B elementos, onde A+B=X Chamemos de A nosso total de “pauzinhos”, então A = 6, e B nosso total de símbolos de soma, B = 3, daí temos: A+B 9

P = P = 9!

6!��3!

A,B 6,3

Se você resolver o cálculo acima encontrará como resposta o número 84 (tente), o qual não aparece em nenhuma das alternativas, devemos então identificar qual resposta corresponde ao que encontramos acima, lembre-se da combinação de elementos (combinação de “n” elementos em grupos de “P” elementos, N≤P)

CN = ��!

��!(��−��)!

P

Observe que há muitas semelhanças com a solução que encontramos, temos 9 correspondendo a n, 6 correspondendo a p e 3 correspondendo a n-p (9-6) então o que temos na permutação de 9 elementos sendo 6 de um tipo e 3 do outro nada mais é do que uma combinação do tipo C9. Opção B. 6

Observe as alternativas incorretas, veja que todas elas contêm armadilhas, tente desvenda-las como forma de se preparar para não cair em outras parecidas. Dica: esquecer dos 4 carrinhos que serão coloridos inicialmente pode levar a um erro, confundir permutação com elementos repetidos com combinação pode levar a outros erros.

Continua na versão completa.

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ENEM 2016 2º dia matemática prova amarela

QUESTÃO 136 (Análise de gráfico, função de 1º grau). Para uma feira de ciências, dois projéteis defoguetes, A e B, estão sendo construídos para seremlançados. O planejamento é que eles sejam lançadosjuntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o Aquando esse alcançar sua altura máxima. Para que issoaconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetóriaparabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar esse objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá: A) diminuir em 2 unidades. B) diminuir em 4 unidades. C) aumentar em 2 unidades. D) aumentar em 4 unidades. E) aumentar em 8 unidades.

No gráfico da questão temos a trajetória de dois foguetes, o foguete A descreve uma

trajetória parabólica enquanto o foguete B descreve uma trajetória retilínea. Os alunos

desejam fazer com que o foguete B intercepte o A no ponto mais alto de sua trajetória

(4;16), o gráfico mostra que eles não obtiveram sucesso nos testes pois a interceptação

se deu em um momento no qual o foguete A já estava caindo. Nesta questão seu

objetivo é descobrir qual deverá ser o coeficiente angular da reta do foguete B para que

o experimento seja bem-sucedido. Observe que nas alternativas o que se sugere é que

você descubra qual deve ser a variação do coeficiente angular da reta B, para conhecer

essa variação você precisará calcular o coeficiente angular da reta atual e também o

coeficiente angular da reta desejada (aquela que fará o experimento funcionar). Tente

resolver essa questão!

Não conseguiu? Estude um pouco sobre funções do 1ºgrau e tente novamente!

Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo

Solução: Vamos calcular os dois coeficientes angulares, o atual (experimento

fracassado) e o desejado (experimento bem-sucedido), lembre-se da fórmula do

coeficiente angular:

�� = ∆��

∆�� =

�� − ����

�� − ��0

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Essa fórmula é válida quando você conhece dois pontos da reta em questão, (X,Y) e

(Xo,Yo), abaixo está representada no gráfico a reta correspondente ao experimento

bem-sucedido

Chamemos de a o coeficiente

angular da reta que representa

o experimento fracassado e b o

coeficiente angular da reta que

representa o experimento bem-

sucedido. Para calcular o

coeficiente angular da reta do

experimento fracassado temos

que escolher dois pontos

quaisquer distintos dela, vamos

escolher os pontos P=(6;12) e Po=(0;0). Assim temos:

�� = ∆��

∆�� =

12 − 0

6 − 0 =

12

6 = 2

Agora tente você mesmo calcular o coeficiente angular da reta que representa o

experimento bem-sucedido, lembre-se de que para o experimento dar certo o foguete

deve passar pelo ponto (4;16) para que haja a colisão no ponto máximo do foguete A, a

reta foi desenhada no gráfico acima. Escolha dois pontos quaisquer e distintos dela,

independente da escolha feita, se você fizer os cálculos da maneira correta o resultado

será sempre o mesmo. Vamos usar os pontos P=(4;16) e Po=(0;0).

�� = ∆��

∆�� =

16 − 0

4 − 0 =

16

4 = 4

Portanto o coeficiente angular deve ser modificado de 2 para 4, ou seja, aumentar em

duas unidades. Opção C

Observe que estudantes desatentos escolherão a opção D (pergunte-se porquê).

QUESTÃO 137 (Raciocínio lógico). Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento. Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é:

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A) 500��81

����²

B) 500��

��²

C) 500��2

��

D) 500����2

81

E) 500��3��²

��

Nesta questão você terá que montar uma fórmula para descobrir o custo em função das variáveis informadas, tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco o conceito de proporcionalidade e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Quando dizemos que alguma grandeza é proporcional à outra, então estamos afirmando que há uma relação matemática entre ambas. Existe a proporcionalidade direta e a inversa (lembre-se de que o conceito de proporcionalidade está ligado às operações de multiplicação e divisão). Imaginemos duas variáveis X e Y, se X é diretamente proporcional a Y então temos: X=kY (k é uma constante real, ou seja um número fixo) ou seja, para cada aumento de X temos um aumento k vezes maior em Y. Exemplo: 2X=(2k)Y 3X=(3k)Y NX=(Nk)Y

Se dissermos que X é inversamente proporcional a Y, então temos: X= ��

��

Observe que, neste caso, um aumento em Y implica em uma diminuição em X, veja:

�� = ��

��

��

2 =

��

2��

��

3 =

��

3��

��

�� =

��

����

Resumindo: Em uma proporcionalidade direta o fator que multiplica X também multiplica Y e, em uma proporcionalidade inversa o fator que divide Y multiplica X ou o fator que divide X multiplica Y. Agora montemos uma equação para o custo C com as informações do enunciado. O custo é diretamente proporcional ao volume de material isolante usado: �� = ���� onde K é uma constante e V é o volume utilizado. Agora precisamos de uma expressão para o volume (lembre-se de que o volume de um sólido regular é o produto da área de sua base vezes a altura), a área da base do sólido em questão (revestimento) será a área da parede e a altura será a espessura do isolante.

V=(Aparede)xh, onde V=volume, A=área, h=altura Agora precisamos de uma expressão para a altura, leia o enunciado: “Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional

ao quadrado da distância até a fonte sonora”. Logo temos: ℎ = ��

��² onde h é a

espessura do material, E é uma constante de proporcionalidade (usamos E pois já usamos K anteriormente) e d é a distância entre a parede e a fonte sonora. Agora

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podemos juntar todas as fórmulas e substituir incógnitas de forma a obtermos apenas uma expressão, assim temos

�� = ����, V = Ah e, ℎ = ��

��² , logo temos que V=A

��

��² e assim temos �� =

���� ��

��²

Lembre-se que tanto k quanto E são constantes, portanto o produto de ambas também

é uma constante, então façamos KE = M assim C = M ��

��²

Agora precisamos encontrar um valor para M, o enunciado nos diz que, quando o custo é de 500 a área vale 9m² e a distância até a fonte de som é 3m, substituímos esses valores na equação do nosso custo:

500=M 9

3² mas 3²=9 e

9

9 = 1 portanto M=500

Como C=M ��

��² e M=500 temos que C=500

��

��² OPÇÃO B

Observe que qualquer distração nos cálculos ou no raciocínio pode levar o estudante a escolher uma das alternativas incorretas.

Continua na versão completa.

ENEM 2015 2º dia matemática dia prova azul

QUESTÃO 141 (Análise de dados, média e desvio padrão): O procedimento de perda

rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro. Após as três pesagens, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas A) I e III. B) I e IV. C) II e III. D) II e IV. E) III e IV. Observe que a primeira luta será entre o atleta mais regular e o menos regular no quesito peso, lembre-se do conceito de regularidade, ela tem a ver com variação, quando uma

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grandeza varia muito ela é pouco regular, ou irregular, quando essa grandeza varia pouco ela é regular, então o atleta mais regular é aquele que possui menor variação no peso, e o atleta menos regular é aquele que possui maior variação no peso. A tabela mostrada na questão nos informa os pesos medidos, a média, a mediana e o desvio padrão em cada pesagem de cada atleta, vamos entender um pouco o que significa média, mediana e desvio padrão. Média: A média aritmética é a soma total dos termos dividida pelo número total de termos Mediana: Em termos mais simples, mediana pode ser o valor do meio de um conjunto de dados. No conjunto de dados {1, 3, 3, 6, 7, 8, 9}, por exemplo, a mediana é 6. Se houver um número par de observações, não há um único valor do meio. Então, a mediana é definida como a média dos dois valores do meio, por exemplo, no conjunto

(1,3,5,9) a mediana é 3+5

2 = 4

Desvio Padrão: Indica uma medida de dispersão dos dados em torno de média amostral, ou seja, o desvio padrão nos diz o quão grande foi a variação entre as medidas realizadas e a média aritmética, quanto maior o desvio padrão, maior a variação dos valores medidos. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco o conceito de média e tente novamente, se ainda

assim não conseguiu veja abaixo a solução passo a passo Solução: O texto da questão nos diz que a luta será entre o lutador que teve maior variação no peso e o que teve menor variação, vemos na descrição acima que a medida que nos fala sobre a variação dos valores é o desvio padrão, quanto maior o desvio padrão, maior a variação dos valores medidos, logo a luta será entre os lutadores de maior e menor desvio padrão, então a luta será entre os lutadores II e III, OPÇÃO C.

QUESTÃO 175 (volumes de sólidos): A figura representa a vista superior de uma bola

de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical. Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab². O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por: A) 8b³ B) 6 b³ C) 5 b³ D) 4 b³ E) 2 b³ Observe que você deve encontrar para o volume V uma expressão que dependa apenas de b, o texto mostra o caminho para isso indicando verbalmente o valor de a em função

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de b, fica a cargo do estudante escrever essa expressão matematicamente. Tente resolver essa questão. Não conseguiu? Estude um pouco sobre volumes de sólidos e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Observe que o volume de nosso elipsoide é dado por: V = 4ab2. Onde a e b

são as medidas das distâncias do centro até os extremos da bola. Indicados no desenho. Agora busquemos uma expressão para a em função de b. Veja que o comprimento horizontal é 2a (de –a até a) e o comprimento vertical é 2b. o texto diz que a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical, ou seja:

2a – 2b = 2��

2

Agora vamos manipular essa expressão de modo a isolar a:

2a – 2b = 2��

2  2(a – b) = b  a – b =

��

2  a =

��

2 + b  a =

��

2 +

2��

2 =

3��

2

a = 3��

2

Agora podemos calcular o volume V em função apenas da variável b, veja:

V = 4ab²  V = 4( 3��

2 )b2  V = 6b³ OPÇÃO B.

Observe que você deve prestar muita atenção nos comprimentos vertical e horizontal, eles valem 2b e 2a, muitos estudantes foram confundidos ao considerar os comprimentos como sendo b e a, se você considerar metade do comprimento vertical

como sendo ��

2 então esse cálculo, mesmo que equivocado, resultará no volume correto,

porém cometer apenas um dos erros levará a um resultado errado. Se você fizer a – b

= b você encontrará como resultado a opção A, se você fizer 2a – 2b = ��

2 então

encontrará como resposta a opção C. Tome cuidado com essas pegadinhas.

Demais questões na versão completa

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ENEM 2014 2º dia matemática prova cinza

QUESTÃO 154 (Volumes de sólidos): Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br.Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é: A) 110. B) 125. C) 130. D) 220. E) 260. Para se resolver essa questão será necessário que você encontre uma maneira de calcular o volume desse silo, lembre-se do cálculo da área do trapézio, ela te fornece um caminho para calcular o volume de um prisma trapezoidal. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre volumes de sólidos e tente novamente.

Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Para calcular o volume desse prisma precisamos saber a medida da área de sua base, mas ele possui duas bases diferentes e a regra V = AbxH (área da base vezes a altura) só vale quando a base inferior e a base superior possuem a mesma área, quando temos duas áreas diferentes (a superior e a inferior) vamos calcular a média dessas bases e multiplicar pela altura. Vamos incialmente calcular o valor da área da base superior, daremos a ela o nome de Bs.

Bs = 6 x 20 = 120m² Agora vamos calcular a área da base menor, veja que um dos lados dela, assim como da base maior, mede 20, agora veja que esse fragmento do texto que nos diz como encontrar a largura da base inferior: “Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo”. Sabemos que nosso silo possui 2 metros de altura, portanto a largura da base inferior será 1m menor do que a largura da base superior, ou seja 5m. Chamemos de Bi a área da base inferior.

Bi = 5 x 20 = 100m²

18

Não é preciso fazer contas para perceber que a média entre 100 e 120 é 110 (a média de dois valores com o mesmo peso está sempre na metade do caminho entre eles) agora podemos então calcular o volume do nosso silo.

V = 110 x 2 = 220m³ Você e muitos outros estudantes ficariam tentados a terminar aqui os cálculos e marcar a opção C, porém veja que precisamos calcular quantas toneladas de silagem podem ser armazenadas nesse silo, e cada tonelada ocupa 2m³, ou seja só poderemos armazenar nesse silo 110 toneladas de silagem. OPÇÃO A.

Outro erro bastante comum é somar as duas áreas e não tirar a média, também muitos estudantes podem apenas levar em conta a área da base inferior, ou superior, o que também leva a uma resposta incorreta. QUESTÃO 160 (probabilidade): O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é: A) 0,02048. B) 0,08192. C) 0,24000. D) 0,40960. E) 0,49152. Para resolver essa questão, tente descobrir um caminho rápido para determinar a probabilidade de um candidato cometer 2 erros nas primeiras 5 perguntas, sendo que um desses erros deve ser obrigatoriamente na quinta pergunta. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre probabilidade e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Para que esse teste acabe na quinta questão, precisamos que duas coisas aconteçam: 1º- O candidato deve errar uma, e apenas uma das 4 primeiras questões, vamos calcular a probabilidade de, nas 4 primeiras questões, ele errar a primeira e acertar as 3 demais, chamemos essa probabilidade de P1. Ora, se a chance de ele errar uma questão é de 0,2, então a chance de ele acertar será 0,8

P1= 0,2x0,8x0,8x0,8 = 0,1024 Veja que, se calcularmos a chance de ele errar a segunda questão acharemos o mesmo resultado obtido acima, e veja que ele precisa errar uma das 4 primeiras questões, portanto a probabilidade de se errar uma das 4 primeiras questões será de 4 vezes P1:

4P1 = 4x0,1024= 0,4096. Agora ele deverá obrigatoriamente errar a questão 5, a chance de isso acontecer é de 0,2, portanto temos que, a chance de esse teste acabar na questão 5 é:

0,2x0,4096 = 2x0,04096 = 0,08192 OPÇÃO B.

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Muitos estudantes cometerão o erro de simplesmente multiplicar a chance de 3 acertos com a chance de dois erros, ou seja: 0,8x0,8x0,8x0,2x0,2 = 0,02048 e marcarão erroneamente a opção A, estude bastante sobre probabilidade e esteja atendo durante a realização do exame para não cair nessa e em outras pegadinhas.

Demais questões na versão completa.

ENEM 2013 2º dia matemática prova azul

QUESTÃO 137 (Média aritmética): As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é A) 0,25 ponto maior. B) 1,00 ponto maior. C) 1,00 ponto menor. D) 1,25 ponto maior. E) 2,00 pontos menor. Para resolver essa questão basta obter a média aritmética das notas desse professor, antes e depois dos descartes. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre média aritmética e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Vamos calcular a média aritmética das notas desse professor, chamemos de M1 a média inicial, sem a realização dos descartes, e M2 a média após a realização dos descartes.

M1 = 18+16+17+13+14+1+19+14+16+12

10 =

140

10 = 14

20

Agora vamos calcular a média utilizando o segundo método, descartaremos a maior nota (19) e a menor (1) e faremos novamente o cálculo, observe que agora o denominador será 8 e não 10 (pergunte-se porquê).

M2 = 18+16+17+13+14+14+16+12

8 =

120

8 = 15

Veja que, com o novo método, a nota do professor melhorou 1 ponto (OPÇÃO B). Alguns estudantes farão o novo cálculo mantendo o mesmo denominador (10) e marcarão equivocadamente a opção E. Observe que há um método bastante simples para calcular a média M2, basta na média M1 você subtrair 20 no numerador (19+1) e subtrair 2 no denominador (se não entendeu, observe os cálculos e pense um pouco).

QUESTÃO 153 (Potenciação e radiciação): Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: A) S = k x M

1

3

B) S = k x M

1

3

1

3

C) S = k x M

1

3

2

3

D) S = k x M

1

3

D) S = k x M² Para resolver essa questão é necessário que se monte, matematicamente, a expressão correspondente ao que foi dito no texto da questão. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre potenciação e radiciação e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Vamos analisar o texto e montar uma expressão que o traduza

matematicamente. Do texto, tiramos o seguinte fragmento: “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. Que pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira: S³ = k x M² onde k é uma constante Real de proporcionalidade Agora vamos isolar S, e obtemos:

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S = √k x M² 3

1

��

Lembre-se de que √�� ��

= x

1

3

1

3

1

3

2

3

Então: S = √�� 3

x√M² 3

= k x (M²) = k x M OPÇÃO D.

Veja que estudantes que se esquecerem do fator quadrático na massa M serão levados a marcar equivocadamente a opção B ou C, outros distraídos podem vir a marcar a opção E.

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ENEM 2012 2º dia matemática prova azul

QUESTÃO 147 (Unidades de medidas): Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m³, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir. Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a: A) 3 534,85. B) 3 544,20. C) 3 534 850,00. D) 3 534 859,35. E) 3 534 850,39. Para resolver essa questão, é necessário calcular, com base no que foi informado no texto, o total de água consumido. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre conversão de unidades e tente novamente.

Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: Vamos inicialmente estabelecer um método para resolução, veja que podemos escrever um número decimal como sendo a soma de suas parcelas, por exemplo 2548 (dois mil quinhentos e quarenta e oito). Pode ser escrito como 2000+500+40+8 (dois mil mais quintos mais quarenta mais oito). Podemos aplicar o mesmo raciocínio no problema acima, o consumo total em litros será o consumo em metros cúbicos (corresponde a milhares de litros) mais o consumo em centenas de litros mais o consumo em dezenas de litros, mais o consumo em unidades de litros, mais o

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consumo em décimos de unidades de litros. Chamemos de C o consumo total, em litros, então:

C = 3534x1000 + 8x100 + 5x10 + 9x1 + 3,5x0,1 = 3 534 859,35

Opção D. Observe que todas as parcelas foram convertidas para a unidade litros. Veja que existe uma maneira extremamente rápida de se resolver essa questão, observe que, mesmo que não saibamos o consumo, podemos rapidamente deduzir (observando os pequenos reloginhos) que o nosso número deve terminar em 9,35 (pense). Veja que apenas a opção D atende a essa observação. Naturalmente alguns erros são previstos nessa questão, alguns alunos apressados lerão apenas o número escrito na parte digital, desprezarão os algarismos representados nos pequenos relógios e marcarão a opção A, ou a C

QUESTÃO 179 (Análise de gráfico, média, mediana e moda): O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é: A) 212 952. B) 229 913. C) 240 621. D) 255 496. E) 298 041. Para resolver essa questão deve-se calcular a mediana dos dados do gráfico acima, lembre-se de das regras de cálculo de mediana já estudadas anteriormente. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre análise de gráficos e mediana e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo. Solução: veja que existem 10 dados no gráfico, portanto a mediana será a média do quinto e do sexto dado, porém devemos ordená-los na ordem crescente, veja: 181.419; 181.796; 204.804; 209.425; 212.952; 246.875; 266.415; 298.041; 299.415; 305.068. Lembre-se de que a mediana é o valor do meio do conjunto de dados (organizado em ordem crescente). Quando há um número par de dados deve-se tirar a média dos dois valores que estão na posição central. No nosso caso a média M será:

M = 212952 + 246875

2 =

459827

2 = 229.913,5

Opção B

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Veja que estudantes desatentos marcarão a opção A, por ela conter o dado que está na posição do meio do gráfico.

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Considerações Finais

Se você estudou sequencialmente todo esse material, então é provável que tenha ampliado bastante seu conhecimento matemático, ele será de fundamental importância não só no dia do exame, mas por toda sua vida, é um erro acharmos que, na vida adulta não precisaremos mais de conhecimentos como português, matemática, física, história, etc. O dia do exame deve estar se aproximando, agora é hora de resolver provas antigas, descansar um pouco a mente, reduzir o ritmo de estudo. Releia as dicas inseridas nas páginas iniciais dessa apostila, elas serão extremamente importantes no dia do exame, todos nós esperamos que tenha um excelente desempenho e garanta uma vaga em um bom curso de uma boa universidade pública, e lembre-se de que é só o começo de sua jornada. Boa Sorte!

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