Apostila ECV5645, Notas de aula de Mecatrônica
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Universidade Federal de Santa Catarina

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Civil

Disciplina ECV 5645 – Resistência dos Sólidos Turma 0331 – Arquitetura e Urbanismo

RESISTÊNCIA DOS SÓLIDOS PARA ESTUDANTES DE ARQUITETURA

Prof. Enedir Ghisi, PhD

Florianópolis, Março de 2005

ECV5645 – Resistência dos Sólidos 2

Sumário Agradecimentos.......................................................................................................................................... 3 1. Introdução à Resistência dos Materiais............................................................................................... 4

1.1. Estrutura............................................................................................................................................ 4 1.1.1. Tipos de estrutura ...................................................................................................................... 4 1.1.2. Ações externas (cargas)............................................................................................................ 5 1.1.3. Vínculos (ou apoios) .................................................................................................................. 6

1.2. Equações de equilíbrio estático ........................................................................................................ 7 1.2.1. Condições de equilíbrio ............................................................................................................. 8

1.3. Exercícios - Reações de apoio ......................................................................................................... 9 2. Esforços internos ................................................................................................................................. 11

2.1. Método das seções ......................................................................................................................... 12 2.1.1. Exercícios ................................................................................................................................ 12

2.2. Diagramas de esforços internos ..................................................................................................... 14 2.2.1. Exercícios ................................................................................................................................ 18

2.3. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 19 3. Diagramas tensão x deformação ........................................................................................................ 21

3.1. Esforços internos............................................................................................................................. 21 3.2. Barra carregada axialmente............................................................................................................ 21

3.2.1. Distribuição dos esforços internos........................................................................................... 21 3.2.2. Tensão normal ......................................................................................................................... 21

3.3. Corpos de prova.............................................................................................................................. 22 3.4. Deformação linear ........................................................................................................................... 22 3.5. Diagrama tensão x deformação ...................................................................................................... 22

3.5.1. Materiais dúcteis e frágeis ....................................................................................................... 22 3.5.2. Lei de Hooke............................................................................................................................ 23 3.5.3. Módulo de elasticidade ............................................................................................................ 23 3.5.4. Propriedades mecânicas ......................................................................................................... 23 3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke .................................................................................................. 24

3.6. Análise elástica e análise plástica................................................................................................... 25 3.7. Classificação dos materiais............................................................................................................. 25 3.8. Exercícios........................................................................................................................................ 25

4. Treliças .................................................................................................................................................. 26 4.1. Treliças planas ................................................................................................................................ 26 4.2. Esforços primários e secundários ................................................................................................... 26 4.3. Treliças isostáticas .......................................................................................................................... 26 4.4. Método dos nós............................................................................................................................... 27

4.4.1. Exercícios ................................................................................................................................ 27 4.5. Método de Ritter.............................................................................................................................. 28

4.5.1. Exercícios ................................................................................................................................ 28 4.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 28

5. Cisalhamento simples.......................................................................................................................... 30 5.1. Deformação no cisalhamento ......................................................................................................... 30 5.2. Módulo transversal de elasticidade................................................................................................. 30 5.3. Exercícios........................................................................................................................................ 31 5.4. Ligações soldadas........................................................................................................................... 31 5.5. Ligações rebitadas .......................................................................................................................... 31

5.5.1. Ligação com simples superposição......................................................................................... 31 5.5.2. Ligação com uma chapa de cobertura .................................................................................... 32 5.5.3. Ligação com duas chapas de cobertura.................................................................................. 32

5.6. Ruptura de ligações rebitadas ........................................................................................................ 32 5.6.1. Cisalhamento nos rebites ........................................................................................................ 32 5.6.2. Compressão nas paredes dos furos........................................................................................ 32 5.6.3. Espaçamento mínimo entre rebites ......................................................................................... 33 5.6.4. Tração nas chapas .................................................................................................................. 33

5.7. Exercícios........................................................................................................................................ 34 5.8. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 35

6. Propriedades geométricas de superfícies planas............................................................................. 37 6.1. Momento estático e baricentro........................................................................................................ 37

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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 3

6.1.1. Exercício .................................................................................................................................. 37 6.2. Centro de gravidade (baricentro) .................................................................................................... 37

6.2.1. Propriedades do centro de gravidade...................................................................................... 38 6.2.2. Exercícios ................................................................................................................................ 38

6.3. Momento estático e centro de gravidade de áreas compostas ...................................................... 38 6.3.1. Exercícios ................................................................................................................................ 39

6.4. Momento de inércia......................................................................................................................... 39 6.4.1. Momento de inércia de um elemento ...................................................................................... 39 6.4.2. Momento de inércia de uma superfície.................................................................................... 39 6.4.3. Raio de giração........................................................................................................................ 40 6.4.4. Propriedades............................................................................................................................ 40 6.4.5. Exercícios ................................................................................................................................ 40 6.4.6. Teorema de Steiner ................................................................................................................. 41 6.4.7. Exercícios ................................................................................................................................ 42 6.4.8. Momento de inércia de áreas compostas................................................................................ 42 6.4.9. Exercícios ................................................................................................................................ 42

6.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 43 7. Flexão simples...................................................................................................................................... 44

7.1. Projeto de vigas............................................................................................................................... 46 7.2. Verificação de vigas ........................................................................................................................ 46 7.3. Exercícios........................................................................................................................................ 46 7.4. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 48

8. Flexão composta .................................................................................................................................. 49 8.1. Esforço normal excêntrico............................................................................................................... 50

8.1.1. Exercício .................................................................................................................................. 51 8.2. Linha neutra .................................................................................................................................... 52

8.2.1. Linha neutra oblíqua ................................................................................................................ 52 8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y................................................................................................ 52 8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z................................................................................................ 52

8.3. Núcleo central ................................................................................................................................. 52 8.4. Exercícios........................................................................................................................................ 53 8.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 54

9. Tensões de cisalhamento em vigas ................................................................................................... 55 9.1. Teorema da reciprocidade .............................................................................................................. 55 9.2. Fluxo de cisalhamento .................................................................................................................... 55 9.3. Variação das tensões de cisalhamento .......................................................................................... 58 9.4. Exercícios........................................................................................................................................ 59

10. Torção.................................................................................................................................................. 61 10.1. Torção de barras circulares .......................................................................................................... 61 10.2. Relação entre torque e ângulo de torção...................................................................................... 62 10.3. Torção de barras circulares vazadas............................................................................................ 62 10.4. Torção de seções vazadas com paredes delgadas...................................................................... 63

10.4.1. Relação entre torque e fluxo de cisalhamento ...................................................................... 64 10.5. Exercícios...................................................................................................................................... 65 10.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................. 66

11. Flambagem de colunas...................................................................................................................... 67 11.1. Tensão crítica................................................................................................................................ 68 11.2. Comprimento de flambagem......................................................................................................... 69 11.3. Carga admissível........................................................................................................................... 69 11.4. Exercícios...................................................................................................................................... 69 11.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................. 71

Referências bibliográficas....................................................................................................................... 72

Agradecimentos À arquiteta e mestranda do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Marina Vasconcelos Santana, pelas ilustrações. Ao acadêmico do curso de Arquitetura e Urbanismo, Olavo Avalone Neto, pela digitação de parte do conteúdo.

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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 4

1. Introdução à Resistência dos Materiais Cronologicamente o desenvolvimento da resistência dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento das leis da estática. A estática considera os efeitos externos das forças que atuam num corpo, isto é, o fato de as forças tenderem a alterar o estado de movimento do corpo. A resistência dos materiais considera os efeitos internos, ou seja, o estado de tensões e deformações que se origina no corpo.

O estudo da resistência dos materiais constitui-se na determinação das reações vinculares externas e na caracterização das solicitações fundamentais, bem como na obtenção da configuração deformada de um dado corpo sólido deformável submetido à ações externas e certas condições de vínculos.

Após o cálculo das ações vinculares externas, penetra-se no interior da estrutura para, em suas diversas seções, analisar os esforços internos: esforços normais de tração ou compressão, esforços cortantes, momentos fletores e torçores, que provocam a mudança da forma original do corpo, ou seja, provocam a deformação e o conseqüente aparecimento de tensões. Os problemas de resistência dos materiais constituem a verificação e o projeto de estruturas.

No problema de verificação, conhece-se a estrutura, suas dimensões, carregamento e material utilizado. A resolução do problema consiste em calcular o menor coeficiente de segurança para a estrutura, ou seja, calcular o coeficiente de segurança no ponto mais solicitado de toda a estrutura.

No problema de projeto ou dimensionamento, conhece-se a estrutura, o carregamento e o coeficiente de segurança mínimo prescrito por norma conforme o material. A resolução do problema consiste em escolher o material, a forma e as dimensões da seção transversal da peça de modo que ela não venha a falhar devido ao carregamento esperado.

Qualquer um dos problemas é resolvido por condições matemáticas que comparem as maiores tensões que ocorram na estrutura com as tensões limites que caracterizam a capacidade resistente do material utilizado na estrutura.

A fim de responder a estas questões matemáticas, deve ser respondida uma pergunta fundamental: “Em que condições uma peça submetida a esforços entra em colapso estrutural?”

• “Quando, em um ponto, a deformação for elevada?” • “Quando, em um ponto, a tensão for elevada?”

O colapso de um material é determinado por critérios de ruptura definidos de acordo com a natureza do material. Portanto, é necessário conhecer as tensões e as deformações máximas atuantes na estrutura, bem como o critério de ruptura que o material obedece.

O projeto de uma estrutura deve ser iniciado pela determinação das seções críticas das vigas, onde ocorrem os valores máximos da força cortante, da força normal e do momento fletor. Esses cálculos se simplificam bastante pela construção dos diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal. 1.1. Estrutura A estrutura é a parte da construção responsável pela resistência às ações externas e é o objeto de estudo da resistência dos materiais. 1.1.1. Tipos de estrutura As estruturas podem ser classificadas de diversas formas: - quanto às dimensões - quanto à vinculação

Quanto às dimensões: - Reticulares: - uma dimensão predomina sobre as outras duas (ex.: vigas, treliças, pórticos planos, etc.)

- Laminares: - duas dimensões predominam sobre a terceira (ex.: cortinas, lajes, etc.)

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- Tridimensionais: - as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza (ex.: barragens)

Nesta disciplina será dado ênfase no estudo das estruturas reticulares planas. 1.1.2. Ações externas (cargas) Uma estrutura pode estar sujeita à ação de diferentes tipos de carga, tais como pressão do vento, reação de um pilar ou viga, as rodas de um veículo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser classificadas quanto à ocorrência em relação ao tempo e quanto às leis de distribuição. Quanto à ocorrência em relação ao tempo: Cargas Permanentes:

Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao seu peso próprio e dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posição e valor conhecidos e invariáveis.

Cargas Acidentais:

São aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxo de terra ou água, impactos laterais, frenagem ou aceleração de veículos, sobrecargas em edifícios, peso de materiais que preencherão a estrutura no caso de reservatórios de água e silos, efeitos de terremotos, peso de neve acumulada (regiões frias), etc.

Quanto às leis de distribuição: Cargas concentradas:

São cargas distribuídas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, podendo-se afirmar que são áreas tão pequenas em presença da dimensão da estrutura que podem ser consideradas pontualmente (ex.: a carga em cima de uma viga, a roda de um automóvel, etc.).

Cargas distribuídas: Podem ser classificadas em uniformemente distribuídas e uniformemente variáveis.

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Uniformemente distribuídas: São cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso próprio, peso de uma parede sobre uma viga, pressão do vento em uma mesma altura da edificação, etc.).

Hh

Vento

Uniformemente variáveis:

São cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatório de líquido, carga de grãos a granel, empuxo de terra ou água, vento ao longo da altura da edificação, etc.).

1.1.3. Vínculos (ou apoios) A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendências de movimento de uma estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos que compõem a estrutura, além da função estática de transmitir as cargas ou forças.

Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos impedidos. Para estruturas planas existem três tipos de vínculos: Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples):

São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, produzindo reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita.

Oou

V V V

Oou

O deslocamento na posição y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V. Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana):

São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida equivale a uma

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força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reação.

Oou

V V V

OouH H H

Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente.

V

M H

Engaste

Estrutura

Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1a, 2a e 3a ordem ou classe ou gênero ou tipo. Classificação da estrutura quanto à vinculação: Isostática: tem o número necessário de vínculos para impedir o deslocamento. Bastam as equações fundamentais da estática para determinar as suas reações de apoio. Hipostática: tem menos vínculos do que o necessário. Hiperstática: tem número de vínculos maior que o necessário. O número de reações de apoio excede o das equações fundamentais da estática. Exemplo: Determinar, qualitativamente, as reações de apoio resultantes na estrutura abaixo:

1.5 2.5 2.0

500N 100N 200N

A B

1.2. Equações de equilíbrio estático Força: é tudo que altera o estado de repouso ou o movimento de um corpo. Sua unidade no S.I. é N (Newton). As forças são quantidades vetoriais com direção, sentido e intensidade. Direção

Sentido

Intensidade Observação: 1 kgf = 10 N

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Kk

Kj

Y

X

Z

Ki

zyx FkFjFiF ++= Momento: se chama momento de uma força F em relação ao ponto zero ao produto vetorial M = om x F (m é um ponto situado sobre a linha de ação de F). Sua unidade no S.I. é Nm (Newton x metro).

F

0 m

Os momentos também são quantidades vetoriais com direção, sentido e intensidade. Direção

Sentido

Intensidade

Kk

Kj

Y

X

Z

Ki

zyx MkMjMiM ++= 1.2.1. Condições de equilíbrio Para um corpo, submetido a diferentes forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças não provoquem tendência à rotação e translação. Translação depende das forças resultantes: ∑ F = 0 Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M = 0 Logo, tem-se as seis equações fundamentais da estática: ∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0

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1.3. Exercícios - Reações de apoio Determinar as reações de apoio para as estruturas dadas abaixo. Exercícios a serem resolvidos em sala de aula. 1. Viga biapoiada com carga concentrada:

400N

A B

2,0m 2,0m

2. Viga biapoiada com carga concentrada:

400N

3,0m 1,0m

BA

3. Viga biapoiada com carga concentrada:

400N

45ºBA

3,0m 1,0m

4. Viga engastada com carga concentrada:

200N

2,0m BA

5. Viga biapoiada com momento aplicado:

2,0m 2,0m

100Nm

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6. Pórtico com carga concentrada e momento aplicado:

6t 8tm 4t

3,0m

3,0m

4,0m 4,0m

A

B

C

D

7. Viga biapoiada com cargas concentradas na direção horizontal:

A B 1kN

1kN 0,5

0,5

2,0m 2,0m

8. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:

BA Ll

Lq[N/m]

9. Viga engastada com carga uniformemente variável e uniformemente distribuída:

2,0m3,0m

1,01,01,02,0

10kNm

2kN/m 1kN/m

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2. Esforços internos Viu-se, anteriormente, os esforços que atuam numa estrutura em equilíbrio. Veremos agora os esforços que atuam numa seção qualquer da estrutura, provocados por forças ativas e reativas. Numa seção qualquer, para manter o equilíbrio, as forças da esquerda devem ser iguais às da direita.

E D

R R

M M Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças R e –R e um par de momentos M e –M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes das forças atuantes à direita e à esquerda da seção.

M R

R M

Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra paralela à seção, teremos:

N

RQ

M0

T

M

Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes: N = força normal (força perpendicular à seção S); Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); M = momento fletor (momento pertencente à seção S). Esforço Normal (N): é a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção, de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo quando determina tração e negativo quando determina compressão.

N N

NN

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Esforço Cortante (Q): é a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas.

Z

Y

CG Q z

Q yQ

Z

Y

CG

Q y

Q z

Q

Momento Fletor (M): é a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção, situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade.

M z

M

Z

Y

Tração

Compressão

M

No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é determinar o seu módulo e verificar onde ocorre compressão e tração.

Tração Compressão

M y

Tração

Compressão

M z

2.1. Método das seções Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes do corpo têm de estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte da viga. Em geral, na seção de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um momento para manter a parte da viga em equilíbrio.

A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, representados em função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se dá através dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio desses diagramas é possível a determinação dos valores máximos absolutos do esforço cortante, do momento fletor e do esforço normal. 2.1.1. Exercícios Determinar os esforços simples atuantes nas seções indicadas nas estruturas dadas abaixo. Exercícios a serem resolvidos em sala de aula.

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1. Viga biapoiada com carga concentrada:

1,0m 1,0m 2,0m

10kN S

2. Pórtico com cargas concentradas:

2,0m

3,0m 3,0m3,0m

9t

S2

9t

S1

A

B C

D

2,0m

2,0m

3. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:

4,0m

1,0t/m

1,5m S

4. Pórtico com cargas diversas:

6,0m

1t

1,0t/m

S

A B

2,0m

2,0m

5. Viga biapoiada com carga concentrada e trecho em balanço:

S1

1,0

10kN

S2 S3

2,0m

1,0 0,5

3,0m 1,0m

5kN

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2.2. Diagramas de esforços internos Viga biapoiada com carga concentrada:

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Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:

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Balanço com carga uniformemente distribuída:

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Viga biapoiada com carga triangular:

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2.2.1. Exercícios Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal para as estruturas dadas abaixo. Exercícios a serem resolvidos em sala de aula. 1)

2)

3)

4)

5)

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2.3. Lista de exercícios (atividade extra-classe) Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal para as estruturas dadas abaixo. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

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11)

12)

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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 21

3. Diagramas tensão x deformação 3.1. Esforços internos O objetivo principal deste módulo é estudar os esforços ou efeitos internos de forças que agem sobre um corpo. Os corpos considerados não são supostos perfeitamente rígidos; são corpos deformáveis de diferentes formas e submetidos a diferentes carregamentos. 3.2. Barra carregada axialmente Considerando-se uma barra prismática (de eixo reto e seção transversal constante) sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo, a barra é tracionada quando as forças são direcionadas para fora da barra. Em caso contrário, a barra é comprimida.

P P

TRAÇÃO

P

COMPRESSÃO

P

Sob a ação dessas forças externas surgem esforços internos na barra; para o seu estudo, imagina-se a barra cortada ao longo de uma seção transversal qualquer. Removendo-se a parte do corpo situada à direita do corte, tem-se a situação onde está apresentada a ação que a parte suprimida exercia sobre o restante. P P

Pa

P P

Pa

Através deste artifício, os esforços internos na seção considerada transformam-se em externos. Para que não se altere o equilíbrio, estes estorços devem ser equivalentes à resultante, também axial de intensidade P, e devem ser perpendiculares à seção transversal considerada. 3.2.1. Distribuição dos esforços internos A distribuição dos esforços resistentes ao longo de todos os pontos da seção transversal é considerada uniforme embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforço que atua em cada ponto é função da natureza cristalina do material e da orientação dos cristais no ponto. 3.2.2. Tensão normal Quando o esforço interno resistente atuando em cada ponto da seção transversal for perpendicular à esta seção, recebe o nome de tensão normal. A tensão normal tem a mesma unidade de pressão, ou seja, força por unidade de área. No exemplo em questão, a intensidade da tensão normal em qualquer ponto da seção transversal é obtida dividindo-se a força P pela área A da seção transversal. σ = P/A Onde: σ é a tensão normal (N/m2); P é a força aplicada na seção transversal (N); A é a área da seção transversal (m2). Se a força P é de tração, a tensão normal é de tração. Se a força P é de compressão, a tensão normal é de compressão.

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3.3. Corpos de prova Para a análise de tensões e deformações, corpos de prova são ensaiados em laboratório. Os ensaios são padronizados: a forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material a ser ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar. 3.4. Deformação linear Ensaiando-se um corpo de prova à tração, com forças axiais gradualmente crescentes e medindo-se os acréscimos sofridos pelo comprimento inicial, pode-se obter a deformação linear.

PP

L

P’ P’

LL

ε = ∆L/L Onde: ε é a deformação linear (adimensional); ∆L é o acréscimo do comprimento do corpo de prova devido à aplicação da carga (m); L é o comprimento inicial do corpo de prova (m). 3.5. Diagrama tensão x deformação Pode-se então medir os diversos ∆Ls correspondentes aos acréscimos da carga axial aplicada à barra e realizar o ensaio até a ruptura do corpo de prova. Chamando de A a área da seção transversal inicial do corpo de prova, a tensão normal σ pode ser determinada para qualquer valor de P, com a fórmula σ = P/A. Obtêm-se, assim, diversos pares de valores σ e ε. A representação gráfica da função que os relaciona recebe o nome de diagrama tensão x deformação. Exemplos de diagrama tensão x deformação:

σ

ε

0 ε

σ

O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga podem ocorrer resultados diferentes para um mesmo material. Entre os diagramas tensão x deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis. 3.5.1. Materiais dúcteis e frágeis Material dúctil é aquele que apresenta grandes deformações antes de se romper (aço e alumínio, por exemplo), enquanto que o frágil é aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper (ferro

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fundido e concreto, por exemplo).

3.5.2. Lei de Hooke Para os materiais dúcteis, observa-se que a função tensão x deformação, no trecho OP, é linear. Esta relação linear entre os deslocamentos e as cargas axiais foi apresentada por Robert Hooke em 1678 e é conhecida como Lei de Hooke. Logo, o trecho OP do diagrama é representado por: σ = E ε Onde: σ é a tensão normal (N/m2); E é o módulo de elasticidade do material (N/m2) e representa a tangente do ângulo que a reta OP forma com o eixo ε; ε é a deformação linear (adimensional).

σ

ε

P

3.5.3. Módulo de elasticidade A constante E representa o módulo de elasticidade do material sob tração e também pode ser chamada de Módulo de Young. Tabelas com os módulos de elasticidade de diferentes materiais podem ser obtidas em manuais ou livros de engenharia. 3.5.4. Propriedades mecânicas A análise dos diagramas tensão x deformação permite caracterizar diversas propriedades do material: Limite de proporcionalidade: A tensão correspondente ao ponto P recebe o nome de limite de proporcionalidade e representa o valor máximo da tensão abaixo da qual o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frágil, não existe limite de proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte reta). Limite de elasticidade: Muito próximo a P, existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais, sendo usados como sinônimos. Região elástica: O trecho da curva compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade recebe o nome de região elástica. Região plástica: O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do material; é chamado de região plástica.

ε

σ

Região Elástica

Região Plástica

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Limite de escoamento: A tensão correspondente ao ponto Y tem o nome de limite de escoamento. A partir deste ponto, aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. Limite de resistência (ou resistência à tração): A tensão correspondente ao ponto U recebe o nome de limite de resistência. Limite de ruptura: A tensão correspondente ao ponto R recebe o nome de limite de ruptura (ocorre a ruptura do corpo de prova).

σ

ε

P Y

U R

Tensão admissível: Obtém-se a tensão admissível dividindo-se a tensão correspondente ao limite de resistência ou a tensão correspondente ao limite de escoamento por um número, maior do que a unidade (1), denominado coeficiente de segurança. A fixação do coeficiente de segurança é feita nas normas de cálculo ou, às vezes, pelo próprio calculista, baseado em experiência própria. σadm = σres/s σadm = σesc/s Limite de escoamento de materiais frágeis: Denomina-se agora o limite de escoamento como a tensão que corresponde a uma deformação permanente, pré-fixada, depois do descarregamento do corpo de prova. Fixa-se ε1, traça-se a reta tangente à curva partindo da origem, traça-se uma reta paralela à tangente passando por O’; sua interseção com a curva determina o ponto Y que corresponde ao limite de escoamento procurado.

0 0’

Y

ε ε1

σ

Coeficiente de Poisson: a relação entre a deformação transversal e a longitudinal verificada em barras tracionadas recebe o nome de coeficiente de Poisson (ν). Para diversos metais, o coeficiente de Poisson varia entre 0,25 e 0,35. ν = deformação específica transversal / deformação específica longitudinal ν = εy / εx ou ν = εz / εx

Yx

Yy

Yz

P

3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke Considerou-se, anteriormente, o caso particular da Lei de Hooke aplicável ao caso simples de solicitação axial. No caso mais geral, em que um elemento do material está solicitado por três tensões normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem, respectivamente, as deformações εx, εy e εz, a Lei de Hooke se escreve da seguinte forma: εx = (1/E) [σx – ν (σy + σz)]

εy = (1/E) [σy – ν (σx + σz)]

εz = (1/E) [σz – ν (σx + σy)]

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3.6. Análise elástica e análise plástica Tensões e deformações nas regiões plásticas dos materiais são freqüentemente permitidas em certas estruturas. Algumas normas construtivas permitem que certos membros estruturais sofram deformações plásticas e certos componentes de aviões e mísseis são projetados deliberadamente para agir na região plástica de modo a se obter menores pesos. Para pequenas deformações plásticas de aços estruturais de baixo e médio carbono, a curva de tensão x deformação é normalmente representada por duas linhas retas, uma com inclinação definida por E, representando a região elástica, outra horizontal, representando a região plástica. Tal curva de tensão x deformação representa um, assim chamado, material elástico e perfeitamente plástico; não levando em consideração deformações plásticas ainda menores que ocorrem na região mostrada na porção à direita da curva tensão x deformação.

ε

σ

3.7. Classificação dos materiais O conteúdo que foi apresentado neste capítulo 3 baseia-se na hipótese de que o material satisfaça a duas condições, isto é, que seja: Material homogêneo: Com as mesmas propriedades (mesmos E e ν), em todos os seus pontos. Material isótropo: Com as mesmas propriedades, qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado. Nem todos os materiais são isótropos. Se um material não possui qualquer espécie de simetria elástica, ele é chamado anisótropo e, à vezes, aelótropo. Em lugar de dias constantes elásticas (E e ν), que definem o sólido isótropo que obedece à Lei de Hooke, tal substância terá 21 constantes elásticas. Se o material possui três planos de simetria elástica, perpendiculares entre si, ele recebe o nome de ortótropo. Nesse caso, o número de constantes independentes é 9. Aqui se consideram somente os materiais isótropos e homogêneos que obedecem à Lei de Hooke. 3.8. Exercícios 1) Uma barra de 3 metros de comprimento tem seção transversal retangular de 3 cm x 1 cm. Determinar o alongamento produzido pela carga axial de 60N. O módulo de elasticidade do material é de 200000 N/mm2.

60N 60N

2) Uma barra de 30 cm de comprimento e diâmetro de 1 cm sofre um alongamento produzido por uma carga de 5 toneladas. O módulo de elasticidade do material é de 150000 N/mm2. Determinar o alongamento da barra.

5t 5t

3) Uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro é tracionada por uma carga axial de 12 kN. O seu comprimento aumenta em 0,3 mm e o seu diâmetro se reduz em 0,0024 mm. Determinar o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.

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4. Treliças

As treliças são um tipo de estrutura usado em engenharia normalmente em projetos de pontes e edifícios. Uma treliça é uma estrutura composta de barras retas articuladas nas juntas.

Em geral as barras de uma treliça são finas e podem suportar pequena carga lateral. Todas as cargas são, portanto, aplicadas às juntas e não às barras.

Embora as barras sejam unidas por meio de conexões pivotadas ou soldadas, costuma-se considerar que as barras são unidas através de pinos; logo, as forças que atuam em cada extremidade de uma barra reduzem-se a uma única força sem nenhum momento.

Cada barra pode então, ser tratada como uma barra sob a ação de duas forças; e a treliça pode ser considerada como um grupo de pinos e barras com duas forças. A ação das forças sobre uma barra individual pode provocar esforços de tração ou compressão. 4.1. Treliças planas São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas apenas por forças normais. Hipóteses de Cálculo: 1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito. 2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça. 3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades. 4) As barras são solicitadas somente por esforço normal. 4.2. Esforços primários e secundários Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um único ponto, os esforços secundários são desprezíveis (por exemplo: a flexão que surge nas barras devido à rigidez dos nós). 4.3. Treliças isostáticas Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática, pode-se determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras. Condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça seja isostática:

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2n = b + v Onde: n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos; b = número de barras da treliça; v = número total de reações dos vínculos externos; b + v indica o número de incógnitas do problema. Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas. Exemplo:

Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é deformável (hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob carregamentos particulares). O trecho ABED é hiperestático.

Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente, pois além de verificada esta condição é preciso que as malhas sejam triangulares. 4.4. Método dos nós Consiste em determinar as forças atuantes em cada nó da treliça. 4.4.1. Exercícios Determinar o esforço normal em cada barra das treliças abaixo indicadas: 1)

2)

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4.5. Método de Ritter Consiste em cortar a treliça de modo a evidenciar os esforços internos (solicitantes) das barras em que se quer determiná-los. O corte deve seccionar no máximo três barras da treliça (número de incógnitas a determinar). 4.5.1. Exercícios 1) Determinar o esforço normal em cada barra da treliça abaixo indicada:

2) Determinar o diâmetro das barras da treliça do exercício anterior. A tensão admissível do material à tração é de 210 N/mm² e à compressão é de 120 N/mm². O módulo de elasticidade do material é de 210.000 N/mm². 4.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) Determinar o esforço normal em cada barra das treliças abaixo indicadas, especificando se o esforço é de compressão ou tração. 1)

2)

3

4)

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5)

6)

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5. Cisalhamento simples Força cortante Q é uma força que atua no plano de uma seção transversal. A força cortante provoca, em cada ponto da seção, o aparecimento de uma tensão tangencial denominada tensão de cisalhamento, representada pela letra grega τ (tau). τ = Q/A Onde: τ é a tensão de cisalhamento (N/m2); Q é a força cortante aplicada na seção transversal (N); A é a área da seção transversal (m2). Com relação à distribuição das tensões de cisalhamento, admite-se, com precisão satisfatória, para os fins da prática, a hipótese da distribuição uniforme, segundo a qual, em todos os pontos da seção se tenha a mesma tensão média τ. 5.1. Deformação no cisalhamento Considere-se a deformação de um elemento plano retangular, cortado em um corpo onde as forças que nele atuam dão origem somente à tensões de cisalhamento. Como não existem tensões normais atuando no elemento, os comprimentos das arestas não se alteram com a aplicação das tensões de cisalhamento. No entanto, aparece uma distorção dos ângulos inicialmente retos. A variação γ do ângulo A, inicialmente reto, denomina-se distorção e é expressa em radianos (adimensional).

γ

τ

5.2. Módulo transversal de elasticidade Desde que o material obedeça à Lei de Hooke, há proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a distorção. A constante de proporcionalidade é chamada de módulo transversal de elasticidade e designada pela letra G. Na tração tínhamos que E = σ/ε No cisalhamento teremos: G = τ/γ A determinação experimental de G pela região de proporcionalidade entre τ e γ é feita através de diagramas tensão x deformação para cisalhamento. Esses diagramas são semelhantes àqueles obtidos em ensaios de tração. Todavia, valores tais como tensão de escoamento, limite de resistência, etc para um determinado material, dão em torno da metade dos valores obtidos no ensaio de tração desse mesmo material.

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5.3. Exercícios 1) Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de elasticidade transversal de 600 MPa. O bloco é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a superior é submetida à uma força P. Sabendo-se que a placa superior se move 0,8 mm sob a ação da força, determine: (a) a deformação de cisalhamento no material, (b) a força P que atua na placa superior.

2) Na ligação rebitada abaixo atua um carregamento axial de 20 kN. Determine a tensão de cisalhamento no pino, sabendo-se que o mesmo tem um diâmetro de 1 cm.

5.4. Ligações soldadas Para o caso da ligação soldada indicada na figura abaixo, a área que resiste ao cisalhamento é dada por

A = 2.b.l (pois tem-se solda nos dois lados); b = 2

e (a ser deduzido em aula).

5.5. Ligações rebitadas A união de duas chapas por meio de rebites pode ser feita de três maneiras. 5.5.1. Ligação com simples superposição Cada rebite proporciona uma seção resistente.

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5.5.2. Ligação com uma chapa de cobertura Cada rebite proporciona uma seção resistente.

5.5.3. Ligação com duas chapas de cobertura Cada rebite proporciona duas seções resistentes.

5.6. Ruptura de ligações rebitadas Os fenômenos que podem provocar o colapso de estruturas rebitadas são os seguintes: 5.6.1. Cisalhamento nos rebites Para que não ocorra ruptura, a tensão de cisalhamento nos rebites deve ser inferior à tensão admissível ao cisalhamento nos rebites (τ ≤ τadm). A tensão de cisalhamento nos rebites é dada por: τ = Q/A onde a força cortante Q é igual à carga P e a área A é dada pela área total de seções resistentes dos rebites. 5.6.2. Compressão nas paredes dos furos Para que não ocorra ruptura, a tensão de compressão nas paredes dos furos deve ser inferior à tensão admissível à compressão (σc ≤ σadmc). A compressão exercida pelo rebite na parede tem distribuição não uniforme e atua num semicírculo de altura “e” e diâmetro “d”. A tensão de compressão nas paredes dos furos é dada por:

σc = A.n P

onde: n é o número de rebites; A é a área resistente à compressão; Para ficar a favor da segurança, normas recomendam que se adote A = d.e, sendo “e” a espessura da chapa em condições mais desfavoráveis.

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5.6.3. Espaçamento mínimo entre rebites Para evitar a possibilidade de ruptura da chapa entre os furos, a ABNT recomenda que sejam adotados os espaçamentos indicados na figura abaixo (“d” representa o diâmetro dos furos).

5.6.4. Tração nas chapas Ao se fazerem furos para colocação dos rebites, a área resistente à tração fica reduzida. Logo, para que não ocorra ruptura por tração, a tensão de tração deve ser inferior à tensão admissível à tração (σt ≤ σadmt). A tensão de tração nas chapas será dada por:

σt = A P

A representa a área da seção transversal da chapa descontadas as áreas dos furos.

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5.7. Exercícios 1) Projetar a ligação com duas chapas de cobertura com rebites de diâmetro de 1,6cm e carga P de 300 kN.

2) As chapas soldadas da figura abaixo têm espessura de 1,60cm. Qual o valor máximo de P se na solda usada a máxima tensão admissível ao cisalhamento da solda usada é de 80 MPa.

3) As chapas soldadas da figura abaixo têm espessura de 2,50 cm. Qual a tensão máxima de cisalhamento quando a carga P for de 480 kN.

4) Dimensionar as ligações em A e em B, colocando um parafuso por ligação com uma seção resistente. A tensão admissível ao cisalhamento é de 80 MPa.

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5) Verificar se a ligação rebitada abaixo foi dimensionada corretamente. Dados: τadm = 120 MPa σadmc = 250 MPa σadmt = 180 MPa P = 100 kN d = 1,27 cm

5.8. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 1. Considere um pino de aço de 10 mm de diâmetro sujeito à força de tração de 10 kN. Calcule a tensão de cisalhamento na cabeça do pino admitindo que a seção resistente seja uma superfície cilíndrica de mesmo diâmetro que o pino. (Resposta: 40 MPa).

2. Emprega-se um rebite de 20 mm de diâmetro para ligar duas chapas de aço sujeitas a uma carga P de 20 kN. Determine a tensão de cisalhamento no rebite. (Resposta: 64 MPa).

3. Determine a força de tração admissível P para a ligação soldada abaixo, sabendo-se que a tensão admissível ao cisalhamento é de 80 MPa. (Resposta: 265 kN).

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4. Determine a tensão de cisalhamento nos 2 rebites da estrutura abaixo sabendo-se que o diâmetro dos mesmos é de 20 mm. (Resposta: 80 MPa).

5. Calcular a tensão de cisalhamento da junta colada abaixo. (Resposta: 7,5 MPa).

6. Verifique se a ligação rebitada abaixo foi projetada corretamente. Dados: τadm = 100 MPa σadm comp = 180 MPa σadm trac = 150 MPa P = 40 kN drebites = 1,27 cm (Resposta: Sim)

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6. Propriedades geométricas de superfícies planas 6.1. Momento estático e baricentro

Momento estático de um elemento de uma superfície plana em relação a um eixo é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo considerado. Logo: O momento estático do elemento em relação ao eixo x será: Q’x = y dA O momento estático do elemento em relação ao eixo y será: Q’y = x dA

Momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos estáticos, em relação ao mesmo eixo, dos elementos que a constituem. Logo: O momento estático da superfície em relação ao eixo x será:

∫∫ == AA xx ydA'QQ O momento estático da superfície em relação ao eixo y será:

∫∫ == AA yy xdA'QQ Momento estático é uma grandeza escalar com dimensão Q = l³, podendo ser positivo, negativo ou nulo. 6.1.1. Exercício 1) Determinar os momentos estáticos do retângulo abaixo em relação aos eixos x e y.

6.2. Centro de gravidade (baricentro)

Sendo CG o centro de gravidade de uma superfície plana de área A definido pelo par ordenado ( x , y ) tem-se as seguintes expressões:

AyQx = e Axy =Q que exprimem o chamado teorema dos momentos estáticos e possibilitam determinar o centro de gravidade da superfície plana, ou seja:

A Q

x y= e A

Qy x=

Logo: A

xdA x A∫= e

A

ydA y A∫=

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6.2.1. Propriedades do centro de gravidade

• O momento estático de uma superfície em relação a qualquer eixo baricêntrico (que passe pelo CG) é nulo.

• Se existe um eixo de simetria na peça, então o CG está contido neste eixo. 6.2.2. Exercícios 1) Determinar as coordenadas do CG do retângulo abaixo.

2) Determinar as coordenadas do CG do triângulo abaixo.

6.3. Momento estático e centro de gravidade de áreas compostas Qualquer polígono pode ser decomposto em retângulos ou triângulos, cujos CGs podem ser facilmente determinados.

=

Para a figura acima, os momentos estáticos em relação aos eixos x e y poderão ser determinados da seguinte forma:

∑ =

=++= n

0i ii332211x AyAyAyAyQ

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∑ =

=++= n

0i ii332211y AxAxAxAxQ

6.3.1. Exercícios Determinar as coordenadas do CG das figuras abaixo: 1)

2)

3)

6.4. Momento de inércia Momento de inércia (ou inércia rotacional) é uma medida da resistência que um corpo oferece a uma mudança em seu movimento de rotação em torno de um dado eixo. 6.4.1. Momento de inércia de um elemento

O momento de inércia de um elemento de uma superfície plana em relação a um eixo qualquer é o produto da área do elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado. O momento de inércia do elemento em relação ao eixo x será: I’x = y2 dA O momento de inércia do elemento em relação ao eixo y será: I’y = x2 dA

Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de eixos) será: I’o = r2 dA Como r2 = x2 + y2, tem-se: I’o = (x2 + y2) dA = x2 dA + y2 dA = I’x + I’y O produto de inércia de um elemento em relação a um par de eixos é o produto da área do elemento pelos eixos considerados. I’xy = x y dA 6.4.2. Momento de inércia de uma superfície O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia dos elementos que a constituem, em relação ao mesmo eixo. O momento de inércia da superfície em relação ao eixo x será:

∫∫ == A 2

A xx dAy'II

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O momento de inércia da superfície em relação ao eixo y será:

∫∫ == A 2

A yy dAx'II

Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de eixos) será:

xy A

2

A

222

A

2

A oo IIdAydAxdA)yx(dAr'II +=+=+=== ∫∫∫∫∫

Por analogia, o produto de inércia de uma superfície em relação a um par de eixos x e y será:

∫∫ == AA xyxy xydA'II 6.4.3. Raio de giração O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza rx que satisfaz a relação:

ArI 2xx = Portanto:

A Ir xx =

De maneira análoga, tem-se

A I

r yy =

A Ir oo =

6.4.4. Propriedades

• Momentos de inércia são grandezas escalares com dimensão I = l4 e são positivos. • Produtos de inércia são grandezas escalares com dimensão I = l4 e podem ser positivos,

negativos ou nulos. • Se o produto de inércia em relação a um par de eixos for nulo, os eixos serão chamados

conjugados. • Sempre que existir pelo menos um eixo de simetria o produto de inércia em relação a este par de

eixos será 0 (zero). 6.4.5. Exercícios 1) Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação a um eixo que passe pela sua base.

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2) Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação a um eixo que passe pelo CG.

3) Determinar o produto de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação aos eixos x e y e também em relação aos eixos que passam pelo CG.

6.4.6. Teorema de Steiner

O teorema de Steiner, também conhecido como teorema dos eixos paralelos, é utilizado para determinar o momento de inércia de superfícies em relação a eixos que não tocam a mesma. Já sabemos que:

∫∫ == A 2

A xx dAy'II

Portanto, o momento de inércia da superfície plana de área A em relação ao eixo x’ será:

∫∫∫∫∫ ++=++=+= A 2

AA

2

A

22

A

2 'x dAyydAy2dAydA)yyy2y(dA)yy(I

Analisando-se as três integrais, temos que: 1) A primeira integral pode ser facilmente resolvida:

AydAydAy 2 A

2

A

2 == ∫∫ 2) A segunda integral representa o momento estático Qx da área A em relação ao eixo x. Este momento estático é nulo, uma vez que o eixo x passa pelo CG.

0Qy2ydAy2dAyy2 x AA

=== ∫∫ 3) A terceira integral representa Ix. Logo: AyI 2x'x +=I Por analogia:

AxII 2y'y +=

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xyAII xy'y'x += Exemplo: Sabendo-se que para um retângulo Ix = b.h³ / 12 (eixo passando pelo eixo de gravidade – x é o eixo que passa pelo C.G.) determine o seu momento de inércia em relação a um eixo que passe pela sua base. 6.4.7. Exercícios 1) Determinar o momento de inércia de um triângulo de base b e altura h em relação a um eixo que passa pela sua base.

2) Aplicando o teorema de Steiner, determine o momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico para o triângulo do exercício anterior.

6.4.8. Momento de inércia de áreas compostas O momento de inércia de uma superfície complexa é a soma dos momentos de inércia das diversas superfícies que a compõe. 6.4.9. Exercícios Calcular o momento de inércia das seções abaixo em relação ao eixo baricêntrico. 1)

2)

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6.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 1)

2)

3)

4)

5)

6)

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7. Flexão simples No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de momentos fletores. Para isso, analisemos as seguintes imagens:

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Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx conhecido na seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se:

Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de gravidade). Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana após a atuação deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição S’ após a atuação de Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte inferior da viga, observa-se que o seu alongamento é proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as tensões normais causadas por Mx nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o diagrama de tensões será:

σ σ

σ De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos diversos pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as tensões normais são provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo x deve ser o próprio Mx. Logo: M = F d = σ A d No nosso caso temos:

dAyccyydAydAσM

A

2

AA x ∫∫∫ ===

Como já sabemos que , teremos: x

A

2 IdAy =∫

x A

2 x cIdAycM == ∫

Portanto, a constante c será dada por:

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x

x

I Mc =

Assim, a tensão normal será dada por:

y I Mσ

x

x= [N/m2]

Pode-se fazer também:

w Mσ x=

onde y Iw x= é chamado de módulo de resistência à flexão [m3].

7.1. Projeto de vigas O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor máximo; b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento; c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material; d) Calcular as dimensões da seção transversal. 7.2. Verificação de vigas Em um problema de verificação deve-se calcular o coeficiente de segurança seguindo os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor máximo; b) Calcular o coeficiente de segurança no ponto em pior situação na seção mais solicitada. 7.3. Exercícios 1) Tem-se uma seção quadrada de lado ‘a’ e uma seção circular de raio R, ambas com mesma área. Qual possui maior resistência à flexão?

2) Uma viga de madeira, com seção transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e suporta uma carga concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo para cima. Determinar as máximas tensões de flexão numa seção a 2 m da extremidade livre.

3) Para o exercício anterior considere L = 6m e determine as tensões de flexão no engaste. 4) Calcule a altura da viga abaixo sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de 5 kN/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2.

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5) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 N/cm², verifique a sua resistência à flexão.

6) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão admissível é de 150 MPa e Ix = 5140 cm4.

7) Determinar a seção transversal da viga abaixo (h = 2b). A viga será construída com material dúctil com tensão de escoamento igual a 4000 kgf/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2,5.

8) Considerando que no exercício anterior se adote uma seção transversal triangular, determine a dimensão ‘b’ sabendo-se que a tensão de ruptura do material à tração é de 800 kgf/cm2 e à compressão é de 1600 kgf/cm2. Adote coeficiente de segurança igual a 3.

9) Determinar a dimensão ‘b’ da seção transversal da viga abaixo de forma a resistir ao carregamento indicado. A tensão de ruptura do material à tração é de 800 kgf/cm2 e à compressão é de 1600 kgf/cm2. Adote coeficiente de segurança igual a 3.

10) Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de escoamento de 25 kN/cm².

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11) Verificar a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de escoamento de 4000 Kgf/cm². O peso próprio do perfil duplo T é 26,3 kgf/m.

7.4. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 1) Utilizando seção transversal retangular com altura igual ao dobro da base (h=2b), determine b e h para todas as vigas da lista de exercícios do item 2.2.2. A tensão de ruptura à tração é de 70MPa e à compressão é de 90MPa. Utilize coeficiente de segurança 2 para tração e 3,5 para compressão. 2) Utilizando a seção transversal do tipo I dada abaixo, verifique todas as vigas da lista de exercícios do item 2.2.2. Material dúctil com tensão de escoamento de 8kN/cm2.

3) Utilizando a seção transversal do tipo T dada abaixo, verifique todas as vigas da lista de exercícios do item 2.2.2. Material frágil com tensão de ruptura à tração de 10kN/cm2 e à compressão de 20kN/cm2.

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8. Flexão composta No estudo de flexão composta são estudadas colunas submetidas a esforços excêntricos, ou seja, aplicados fora do centro de gravidade da seção transversal da estrutura. Para isso, analisemos as seguintes imagens:

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8.1. Esforço normal excêntrico Seja o pilar abaixo, submetido a uma carga P cuja direção é a mesma do eixo do pilar. A seção transversal é constante e seus eixos principais de inércia são y e z.

A posição do ponto de aplicação da carga P (ponto A) é determinada pelas distâncias Ly e Lz. Transladando P ao baricentro tem-se: My = P Ly Mz = P Lz

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Tem-se então dois sistemas vetorialmente equivalentes. a) Carga P aplicada no ponto A. b) Carga P aplicada no CG mais o momento My atuando em torno do eixo y e mais o momento Mz atuando em torno do eixo z. Analisando-se a distribuição de tensões através do segundo sistema tem-se: Seção transversal submetida à carga P: tem-se compressão normal simples.

A P'σ −=

Seção transversal submetida ao momento Mz: O momento fletor Mz provoca tensões normais de tração na zona do semi-eixo y negativo e compressão na zona do semi-eixo y positivo. A linha neutra é o eixo z.

y I M''σ

z

z±=

Seção transversal submetida ao momento My: O momento fletor My provoca tensões normais de tração na zona do semi-eixo z positivo e compressão na zona do semi-eixo z negativo. A linha neutra é o eixo y.

z I M

'''σ y

y±=

Por superposição de efeitos tem-se: σ = σ’ + σ’’ + σ’’’ σ é a tensão em qualquer ponto da seção transversal. 8.1.1. Exercício 1) Verificar as tensões provocadas nos pontos indicados na seção transversal quando uma carga P é posicionada em A.

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8.2. Linha neutra

A linha neutra é caracterizada por tensões nulas (σ = 0) 8.2.1. Linha neutra oblíqua Para Lz ≠ 0 e Ly ≠ 0, a linha neutra é oblíqua em relação aos eixos y e z. Neste caso tem-se flexão composta oblíqua.

8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y Para Lz = 0 e Ly ≠ 0, a carga é aplicada em um ponto sobre o eixo z e a linha neutra é paralela ao eixo y. Neste caso tem-se flexão composta normal.

8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z Para Lz ≠ 0 e Ly = 0, a carga é aplicada em um ponto sobre o eixo y e a linha neutra é paralela ao eixo z. Neste caso também tem-se flexão composta normal.

8.3. Núcleo central Seja uma seção qualquer submetida a um esforço normal excêntrico. Os eixos y e z são eixos principais de inércia.

Para a carga aplicada em P1 a linha neutra é LN1, que neste caso não corta a seção. Só ocorrem tensões do mesmo tipo da carga. Para a carga aplicada em P3 a linha neutra é LN3 e corta a seção. Neste caso, ocorrerão tensões de tração e compressão. Para a carga aplicada em P2, entre P1 e P3, a linha neutra LN2 é tangente à seção transversal. Nesta situação todas as tensões são do mesmo tipo da carga. Portanto, pode-se concluir:

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Para Ly < z a linha neutra não corta a seção e ocorrem tensões somente de um tipo. Para Ly > z a linha neutra corta a seção e ocorrem tensões de dois tipos. Para Ly = z a linha neutra é tangente a seção e ocorrem tensões somente de um tipo. Logo diz-se que P2 é um ponto do contorno do núcleo central da seção. Deslocando-se o ponto de aplicação da carga sobre qualquer reta baricêntrica chega-se a uma infinidade de pontos que caracterizam o núcleo central.

Propriedade: se a carga está aplicada no interior ou no contorno do núcleo central, só ocorrerão, na seção, tensões normais de um tipo. 8.4. Exercícios 1) Um pilar de seção circular é carregado excentricamente com 2000 kN. Calcular o coeficiente de segurança. A tensão de ruptura do material por compressão é de 25 MPa e por tração é de 5 MPa.

2) Determinar a posição da linha neutra para o pilar do exercício 1. 3) Determinar o núcleo central para o pilar do exercício 1. 4) Determinar as tensões máximas de tração e compressão que ocorrem na seção transversal do pilar abaixo. Resposta em MPa. Determinar a posição da linha neutra.

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5) Determinar o núcleo central de uma seção retangular de dimensões a x b.

8.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 1) Calcule o coeficiente de segurança para o pilar abaixo. Material frágil com tensão de ruptura à tração de 10 MPa e à compressão de 40 MPa.

2) Determinar a posição da linha neutra para o pilar comprimido excentricamente.

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9. Tensões de cisalhamento em vigas 9.1. Teorema da reciprocidade As tensões de cisalhamento são recíprocas.

Fazendo Σ MS = 0 teremos τxy ∆A a - τyx ∆A a = 0 logo τxy = τyx 9.2. Fluxo de cisalhamento Supõe-se uma viga sujeita à flexão simples, ou seja, com esforços combinados de momento fletor e força cortante.

Sempre que existir uma força cortante diferente de zero, os momentos fletores que ocorrem nas diferentes faces de um segmento de viga com comprimento ∆x serão diferentes.

∆ Logo: MB = MA + ∆M Fazendo Σ MA = 0, tem-se:

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MB - MA - V ∆x = 0, ou seja, ∆M - V ∆x = 0

x∆ M∆V =

V x∆ M∆lim

ox∆ =

Logo:

V dx dM

=

No estudo do problema de cisalhamento causado pela flexão admite-se:

• A distribuição de tensões causada pela flexão; • Vigas com seção transversal simétrica; • Cargas aplicadas no eixo de simetria da viga; • Requisitos de equilíbrio de força e de momento.

A existência de tensões horizontais de cisalhamento pode ser demonstrada através de um ensaio com duas barras retangulares iguais, sobrepostas e submetidas à flexão. Se não existir atrito entre as barras haverá deslizamento de uma em relação à outra. Para viga com h = 2 c deverão ocorrer tensões de cisalhamento ao longo de plano neutro para impedir o deslizamento.

Para se obter a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da altura da viga, verifica-se o equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga. Consideremos uma seção transversal retangular constituída de várias pranchas e sujeita a uma força cortante.

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A

B

As tensões normais variam linearmente com y, ou seja:

y I Mσ =

Na área elementar dA da face B, a força FB será:

∫∫∫ === abcd

B

abcd

B

abcd B ydAI

MydA I

MdAσF

Já sabemos que representa o momento estático da superfície abcd, portanto, teremos: ∫

abcd

ydA

abcd B

B QI MF =

Para a face A, teremos:

abcd A

abcd

A

abcd

A

abcd A QI

MydA I

MydA I

MdAσF ==== ∫∫∫ Fazendo a diferença entre as duas forças, obtemos:

( ) I

QMMQ I

MQ I

MFF abcdABabcdAabcdBAB −=−=−

Também podemos escrever:

I QdMdF abcd=

Dividindo-se a equação acima por dx, tem-se:

I QV

I Q

dx dM

dx dF abcdabcd ==

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Chamando == q dx dF fluxo de cisalhamento, tem-se:

I VQq = [N/m]

onde: q é o fluxo de cisalhamento (N/m); V é o esforço cortante (N); Q é o momento estático (m3); I é o momento de inércia (m4). 9.3. Variação das tensões de cisalhamento

Se q dx dF

= ou q x∆ F∆

= então x∆qF∆ =

∆ σ

Assim

τmed b q

x∆b x∆q

x∆b F∆

A∆ F∆

====

τmed Ib VQ

= [N/m2]

Para verificar a variação da tensão de cisalhamento (τ) com y1 deve-se analisar a variação do momento estático (Q) com y1, pois o esforço constante (V), o momento de inércia (I) e a base da viga b são constantes.

  

   

 −=

  

  

  

 −+ 

  

 −=== 21 2

111abcd y4 h

2 by

2 h

2 1yy

2 hbyAyAQ

Logo τ  

   

 −=

 

   

 −= 21

2 2 1

2 y

4 h

I2 Vy

4 h

2 b

Ib V

Para 2 hy1 ±= teremos τ = 0

Para teremos τ 0y1 = A2 V3

3 bh2 V

12 bh8

Vh I8

Vh 3

22 ==== = máxima tensão de cisalhamento.

Também pode-se fazer essa verificação sabendo-se que a tensão de cisalhamento (τ) será máxima

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quando o momento estático (Qabcd) for máximo, ou seja, na seção sobre a linha neutra (y1 = 0).

8 bh

4 h

2 hbyAQ

2 ===

τ A2 V3

b 12 bh

8 bhV

Ib VQ

3

2

===

τ τ

τ τ τ

τ

A forma de distribuição das tensões de cisalhamento dependerá da forma da seção transversal. Para uma seção duplo T, teremos:

Na prática, considera-se que todo esforço cortante em seções I ou T é absorvido pela alma, e que uma boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento é dado pela divisão do esforço cortante (V) pela área da seção transversal da alma (A). 9.4. Exercícios 1) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na seção transversal para uma força cortante de 10 tf, sendo a seção constante ao longo da peça. Resposta em kgf/cm2.

2) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na viga T. Força cortante igual a 10 tf. Resposta em kgf/cm2.

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3) Sabendo-se que as peças da viga de madeira abaixo são unidas por pregos espaçados a cada 2,5 cm e que a viga está submetida a uma força cortante de 500 N, determine a força cortante em cada prego.

4) Sabendo-se que na seção transversal dada abaixo atua uma força cortante de 3 kN e que a mesa é unida à alma através de pregos que suportam 700 N (carga admissível ao cisalhamento), pede-se o espaçamento entre os pregos.

5) Sabendo-se que os parafusos usados na viga abaixo apresentam uma força admissível ao cisalhamento de 2250 N, pede-se o espaçamento entre os parafusos.

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10. Torção 10.1. Torção de barras circulares Considere-se uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por meio de momentos torçores (torque) atuando em suas extremidades.

φ τ τ

τ τ

Durante a torção haverá rotação em torno do eixo longitudinal. Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo ϕ em relação à primeira. A linha nn gira num pequeno ângulo para nn’. Tomando-se um elemento retangular sobre a superfície da barra, entre duas seções transversais afastadas de dx, tem-se:

γ

Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. Logo, o elemento está em estado de cisalhamento puro e portanto a deformação de cisalhamento γ será:

dx φRd

ab 'bb

==γ

Quando uma barra circular sofre torção pura, a taxa de variação dϕ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Essa constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento e será designado por θ.

L φθ = logo

L φRθR ==γ

As tensões de cisalhamento que agem nos lados do elemento, como visto anteriormente na disciplina, para material elástico, serão dadas por: τ = G γ = G R θ G é o módulo de elasticidade transversal. O estado de tensões no interior do eixo (barra circular) pode ser determinado de forma análoga.

τ

γ = r θ τ = G γ = G r θ

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10.2. Relação entre torque e ângulo de torção Uma vez que o momento de torção causa o aparecimento de tensões de cisalhamento, deveremos ter que o momento resultante das tensões tangenciais em relação ao eixo 0 deve ser igual ao momento de torção. Logo:

∫∫∫ θ=θ=τ== A

2

AA T dA.rGr.dA..r.Gr.dA.FdM

Como representa o momento de inércia polar (I) da seção transversal circular, teremos: ∫

A

2 dA.r

MT = G θ I Ou

GI MT=θ

Como visto anteriormente, τ = G r θ, logo pode-se escrever que Gr τ

Dessa forma, igualando as duas equações de θ, teremos:

GrGI MT τ=

Portanto,

I r.MT=τ

Para r = R, τ = τmax Para r = 0, τ = 0 Observação: para um círculo de raio R, o momento de inércia polar (I) da seção transversal é dado por:

32 D

2 RI

44 ππ ==

O ângulo de torção por unidade de comprimento é GI MT=θ e o ângulo total de torção é ϕ = θ L, logo:

GI LMT=ϕ

10.3. Torção de barras circulares vazadas Como visto, a tensão de cisalhamento em barras circulares é máxima na superfície e nula no centro. Em conseqüência, grande parte do material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a economia de material forem fatores importantes é preferível usar eixos vazados. A análise de torção de barras circulares vazadas baseia-se nas mesmas hipóteses levantadas na análise de barras circulares cheias (vista na seção anterior). Portanto, as expressões para as tensões e deformações de cisalhamento deduzidas anteriormente podem ser utilizadas observando-se que a distância radial fica limitada ao intervalo entre R1 e R2.

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Observação: o momento de inércia polar (I) da seção transversal vazada é dado por:

( ) ( )41424142 DD32RR2I −=−= ππ

10.4. Torção de seções vazadas com paredes delgadas Seja um tubo com parede fina e seção transversal constante, cuja espessura da parede pode variar ao longo da seção transversal, mas é considerada pequena em relação a largura total da seção.

O tubo está sujeito a um momento torçor em cada extremidade. Em conseqüência aparecem tensões de cisalhamento em todas as seções transversais do tubo. Tais tensões são consideradas uniformes na pequena espessura da parede do tubo, porém podem variar ao redor da seção. Tomando-se um elemento infinitesimal dx, teremos:

τ τ

Para haver equilíbrio, teremos F1 = F2 Como F = τ A, teremos: F1 = τ1 e1 dx F2 = τ2 e2 dx Logo τ1 e1 dx = τ2 e2 dx. Portanto τ1 e1 = τ2 e2 Ou seja, o produto da tensão de cisalhamento pela espessura da parede é o mesmo em qualquer ponto da seção transversal. Tínhamos, no módulo anterior, que τ = q / b onde q é igual ao fluxo de cisalhamento e b é igual a base da viga. Logo, ao produto τ e (tensão vezes espessura) chama-se fluxo de cisalhamento q. Logo q = τ e = constante

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Assim a maior tensão de cisalhamento ocorre no ponto de espessura mínima e vice-versa. Se a espessura for uniforme a tensão será constante ao redor do tubo. 10.4.1. Relação entre torque e fluxo de cisalhamento

A força de cisalhamento que atua no elemento ds será: F = τ A = τ e ds = q ds E o momento desta força em torno de qualquer elemento será: dMT = F R= q ds R Logo:

∫∫ == mm L

0

L

0 T ds.Rqds.R.qM

Lm é o comprimento total da linha média da seção transversal. Como a quantidade R ds representa o dobro da área do triângulo, a integral representa o dobro da área limitada pela linha média da parede do tubo. Chamando-se essa área de Am, tem-se:

MT = q 2 Am

Portanto, m

T

A2 Mq =

Integrando-se ao longo do contorno ds, obtém-se:

m

m

GA2 Lτ

Observação: para tubos circulares de parede delgada, espessura constante e raio r na linha média da seção, teremos Lm = 2 π r e Am = π r2 Logo, para tubos circulares de parede delgada, teremos:

2 T

r2 Mq π

= e também: er2

M e q

2 T

π ==τ

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10.5. Exercícios 1. Dada a barra circular abaixo, determine a máxima tensão de cisalhamento (resposta em N/cm2).

2. Determine as tensões de cisalhamento na parte interna e externa de um tubo vazado quando submetido a um torque de 4 kgf.m. O diâmetro interno do tubo é de 15mm e o externo, de 25mm (resposta em kN/cm2).

3. Sabendo-se que o tubo da questão anterior tem comprimento de 2m e que o seu módulo de elasticidade transversal é de 8000 kN/cm2, determine o ângulo total de torção. 4. Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo circular vazado abaixo para que as tensões de cisalhamento não excedam a 120 MPa? Qual o valor mínimo da tensão de cisalhamento para este caso?

5. Determine a tensão de cisalhamento para um tubo de parede delgada sujeito a um torque de 3000 kgf.m. O diâmetro interno do tubo é de 20cm, o diâmetro externo é de 24cm e a espessura da parede é de 2cm. 6. Dada uma barra circular maciça com diferentes diâmetros e diferentes torques aplicados conforme a figura abaixo, pede-se:

(a) A máxima tensão de cisalhamento; (b) O ângulo de torção (em graus) entre as duas extremidades sabendo-se que o módulo de

elasticidade transversal do material é de 8500 kgf/mm2.

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10.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 1. Determine a máxima tensão de cisalhamento e o ângulo de torção entre as duas extremidades da barra circular abaixo (Diâmetro = 10 cm). O módulo de elasticidade transversal do material é 10000 kgf/mm2.

2. Determine a máxima tensão de cisalhamento e o ângulo de torção entre as duas extremidades da barra circular vazada representada abaixo (Diâmetro externo = 10 cm, Diâmetro interno = 3 cm). O módulo de elasticidade transversal do material é 9000 kgf/mm2.

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11. Flambagem de colunas Neste último módulo da disciplina (aleluia!) estuda-se a estabilidade da estrutura, ou seja, sua capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudança brusca em sua configuração. O estudo será voltado para colunas suportando cargas axiais. Vejamos as seguintes imagens:

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Uma coluna qualquer de comprimento L que vai suportar uma carga qualquer P estará bem dimensionada se a área A da seção transversal for escolhida de modo que a tensão normal em qualquer ponto da seção transversal fique abaixo da tensão admissível à tração ou compressão do material usado; e se a deformação se mantiver dentro de especificações recomendadas. No entanto, pode ocorrer o fenômeno da flambagem quando a carga P é aplicada; em vez de permanecer com seu eixo retilíneo, a coluna se torna encurvada. A coluna que flamba sob o carregamento especificado no cálculo não está dimensionada corretamente.

Se a condição de equilíbrio é perturbada, o sistema retornará à sua posição original de equilíbrio desde que a carga P não exceda a um certo valor Pcr, denominado carga crítica. Se P < Pcr então o sistema é estável. A carga crítica é determinada através da Fórmula de Euler (Leonhard Euler, matemático suíço, 1707- 1783), dada abaixo:

2 f

2

cr L EIP π=

onde: Pcr = carga crítica; E = módulo de elasticidade; I = momento de inércia; Lf = comprimento de flambagem. No caso de colunas com seção transversal quadrada ou circular, o momento de inércia da seção transversal em relação a qualquer eixo baricêntrico é o mesmo, de modo que a coluna pode flambar em qualquer plano. Para seções transversais de outras formas, a carga crítica deve ser calculada para I = Imin. Se a flambagem ocorrer, ela acontecerá em um plano perpendicular ao eixo principal de inércia correspondente. 11.1. Tensão crítica A tensão crítica é dada por:

2 f

2 cr

cr AL

EI A

P π ==σ

Do estudo de propriedades geométricas de superfícies planas, temos que I = r2 A, onde r é o raio de giração e A, a área da seção transversal. Logo:

2 f

22

2 f

22

cr L Er

AL EAr π

= π

Esta equação pode ser reescrita na forma:

2 f

2

cr

r L

E

 

  

π =σ

A parcela r

L f é chamada de índice de esbeltez e representada pela letra λ. Assim, teremos:

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2

2

cr E

λ

π =σ

Observação: o raio de giração deve ser aquele correspondente ao momento de inércia mínimo. 11.2. Comprimento de flambagem O comprimento de flambagem é dado pela seguinte fórmula: Lf = k L Onde: Lf = comprimento de flambagem; k = coeficiente que depende dos tipos de vínculo da coluna; L = comprimento real da coluna. O coeficiente k é dado abaixo para quatro diferentes situações:

11.3. Carga admissível Para garantir que não ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurança e calcula-se a carga admissível, da seguinte forma:

s P

P cradm =

onde: Padm = carga admissível; Pcr = carga crítica; s = coeficiente de segurança. 11.4. Exercícios 1. Determinar a carga crítica de flambagem de um pilar de 2 m com extremidades articuladas sabendo- se que o módulo de elasticidade do material é de 200.000 kgf/cm². A seção transversal mede 10 x 15 cm.

2. Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão anterior é de 500 kgf/cm², verifique se a peça está sujeita à flambagem.

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3. Determine a carga crítica de flambagem para um pilar engastado com 2 m de altura. O módulo de elasticidade é de 200.000 kgf/cm².

4. Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão anterior é de 500 kgf/cm², verifique se a peça está sujeita à flambagem. 5. Determine a carga crítica de flambagem para o pilar de seção transversal tipo T dado abaixo. O módulo de elasticidade é de 250.000 kgf/cm².

6. Determine a carga admissível para o pilar da questão anterior adotando coeficiente de segurança igual a 2.

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11.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) 1. Caso ocorra flambagem nos pilares cujas seções transversais estão abaixo representadas, em relação a qual plano esta ocorrerá?

2. Determine a carga crítica de flambagem para os pilares abaixo sendo dada a seção transversal e o módulo de elasticidade do material (2,5x105 kgf/cm2).

3. Determine a carga crítica de flambagem para os pilares abaixo sendo dada a seção transversal e o módulo de elasticidade do material (2,4x105 kgf/cm2).

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ECV5645 – Resistência dos Sólidos 72

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