APOSTILA FENOMENOS DOS TRANSPORTES, Ensaios de Mecânica. Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC)
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APOSTILA FENOMENOS DOS TRANSPORTES, Ensaios de Mecânica. Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC)

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CAPÍTULO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

HSN002 – Mecânica dos Fluidos Faculdade de Engenharia Profª Maria Helena Rodrigues Gomes Universidade Federal de Juiz de Fora

1

APOSTILA DE MECÂNICA DOS

FLUIDOS

Autora: Maria Helena Rodrigues Gomes Professora do Dep. Eng. Sanitária e Ambiental

da Faculdade de Engenharia da UFJF

HSN002 – Mecânica dos Fluidos Faculdade de Engenharia Profª Maria Helena Rodrigues Gomes Universidade Federal de Juiz de Fora

1

CAPÍTULO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1.1 – Mecânica dos Fluidos

A mecânica dos fluidos trata do comportamento dos fluidos em repouso ou em

movimento e das leis que regem este comportamento. São áreas de atuação da mecânica

dos fluidos:

 Ação de fluidos sobre superfícies submersas, ex.: barragens;

 Equilíbrio de corpos flutuantes, ex.: embarcações;

 Ação do vento sobre construções civis;

 Estudos de lubrificação;

 Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica, ex.: elevadores

hidráulicos;

 Cálculo de instalações hidráulicas, ex.: instalação de recalque;

 Cálculo de máquinas hidráulicas, ex.: bombas e turbinas;

 Instalações de vapor, ex.: caldeiras;

 Ação de fluidos sobre veículos – Aerodinâmica.

1.2 - Fluido

Pode-se definir fluido como uma substância que se deforma continuamente, isto é,

escoa, sob ação de uma força tangencial por menor que ele seja.

Figura 1.1: Força tangencial agindo sobre um fluido

O conceito de fluidos envolve líquidos e gases, logo, é necessário distinguir estas

duas classes: “Líquidos é aquela substância que adquire a forma do recipiente que a

contém possuindo volume definido e, é praticamente, incompressível. Já o gás é uma

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2

substância que ao preencher o recipiente não formar superfície livre e não tem volume

definido, além de serem compressíveis.

Figura 1.2: Fluido: gás e líquido

1.2.1 – Propriedade dos Fluidos

a) massa específica : a massa de um fluido em uma unidade de volume é denominada

densidade absoluta, também conhecida como massa específica (kg/m 3 ) (“density”)

volumeV

massam sendo

V

m ρ

  

 

(1.1)

b) peso específico : é o peso da unidade de volume desse fluido (N/m 3 ) (“unit weight”)

- para os líquidos

volumeV

pesoG sendo

V

G

  

 

(1.2)

- para os gases

 

 

C)(º absoluta ra temperatu- T

gás do constantel - R

)(kgf/m absoluta pressão - P

sendo RT

P γ

2

(1.3)

O peso específico pode ser expresso nos diferentes sistemas de unidades, como

segue:

 

 

 

cm

d :C.G.S. Sistema

(S.I.) m

N :MKS Sistema

m

kgf :S*MK Sistema

3

3

3

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3

Como exemplo de valores de peso específico para alguns fluidos tem-se:

Água:  = 1000 kgf/m³ ≈ 10000 N/m³

Mercúrio:  = 13600 kgf/m³ ≈ 136000 N/m³

Ar:  = 1,2 kgf/m³ ≈ 12 N/m³

OBS: Relação entre e

ρgγg V

m

V

G γ  (1.4)

c) peso específico relativo r

(1.5) ρ

ρ γ

ρg γ:daí

gργ

ρgγ

sendo γ

γ γ

γV γ

doSubstituin

VγG V

G γ

γVG V

G γ

sendo G

G γ

O2H

r

O2H

r

O2HO2H O2H

r

O2HO2H

r

O2HO2HO2H

O2H

O2H

O2H

O2H

r



 

 



  

 





Exemplo de valores de peso específico relativo para alguns fluidos tem-se:

Água: r = 1

Mercúrio: r = 13,6

Ar: r = 0,0012

d) volume específico Vs

volumeV

pesoG sendo

1

G

V V

s

  

  

(1.6)

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O volume específico pode ser expresso nos diferentes sistemas de unidades, como

segue:

 

 

 

d

cm :C.G.S. Sistema

(S.I.) N

m :MKS Sistema

kgf

m :S*MK Sistema

3

3

3

e) compressibilidade

A compressibilidade de um fluido depende do módulo de compressibilidade

volumétrico vol. Um fluido será mais ou menos compressível de pendendo do valor de

vol, nunca incompressível. Pode-se também usar o conceito de escoamento

incompressível, isto é, um escoamento de um fluido no qual a massa específica tem

variação desprezível devido às pequenas variações na pressão atmosférica.

Sempre que se tratar de um escoamento incompressível, ou, idealmente, de um

sistema com fluido incompressível, a massa específica será considerada constante.

A compressibilidade volumétrica de um fluido é definida pela relação entre o

acréscimo de pressão dP e o decréscimo do volume –dV. Como a variação dV de pende

do volume V, o módulo de compressibilidade volumétrica é definido por:

2vol m

kgf :nidade U

dV

dP Vε  (1.7)

O módulo de compressibilidade varia muito pouco com a pressão, entretanto, varia

apreciavelmente com a temperatura. Os gases têm vol muito variável coma pressão e

com a temperatura.

g) elasticidade

É a propriedade dos fluidos de aumentar o seu volume quando se diminui a

pressão, Berthelot, em 1850, descobriu essa propriedade também para os líquidos pois

para os gases, a propriedade já era bem conhecida:

2inicialfinal kgf/m :unidade ; 0dV

0PPdP VdP

E

1 dV

  

  (1.8)

Onde: E é o módulo de elasticidade volumétrico (kgf/m 2 ) →

E

1 R

gás 

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1.3 - Equação Geral dos Gases Perfeitos

É a forma simplificada de relacionar o volume de um gás e a variáveis como

temperatura e pressão. Por meio da hipótese de gás perfeito, a teoria cinética dos gases

permite estabelecer uma constante universal dos gases R, que no SI, possui o seguinte

valor:

K.mol

m.N 314510,8R

  (1.9)

A equação dos gases perfeitos é uma relação entre a pressão absoluta, o volume

específico molar e a constante universal dos gases:

nRTPV  (1.10)

Onde: n é uma forma de quantificação da matéria em número de moles. O número de

moles n pode ser obtido como:

M

m n  (1.11)

Onde m é a massa total; M é a massa molecular do gás (kg/mol).

Substituindo a equação (1.11) em (1.10):

M

R R sendo TmRPV

gasgás  (1.12)

Sendo Rgás a constante particular do gás, nas unidades K.kg

m.N

Para uma mesma massa de gás sujeita às condições diferentes:

tetanconsR T

P

T

P

1

w

V R

wT

VP

wT

VP

tetanconswR T

VP

T

VP

2

2

1

1

2

22

1

11

2

22

1

11

  

 



(1.13)

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Para condições isotérmicas, ou seja, para uma mesma temperatura (T1=T2):

2211

2

22

1

11 VPVP T

VP

T

VP  (1.14)

Para condições adiabáticas, ou seja, não ocorre troca de calor:

gasR

1

2

1

2

gasR

1

2

gasR

22

gasR

11

P

P

T

T

V

V

2P

1P

VPVP

 

  

 

 

  

 

(1.15)

1.4 - Atmosfera Padrão

A atmosfera terrestre é constituída de uma mistura de gases com alta predominância

de nitrogênio e oxigênio que formam o que denominados de ar. Nas condições próximas

ao nível do mar tem-se:

 

 

ldesprezíve mporcentage gases demais

oxigênio de %21

nitrogênio de %79

ar

As condições físicas atmosféricas são variáveis em função da localização

geográfica e do tempo. A pressão e a temperatura dependem da altura em relação ao

nível do mar, além de apresentarem forte característica sazonal.

Para uniformizar os estudos que dependem das condições atmosféricas adota-se

um valor-padrão para as condições normais e pressão e temperatura que se aproximam

dos valores encontrados na atmosfera real e constituem a atmosfera-padrão. Os valores

da atmosfera-padrão, no nível do mar (NM) são:

PNM = 760 mmHg = 102,325 KPa

TNM=15°C=288°C

 = 1,2232 kg/m 3

 = 11,99N/m 3

 = 1,777 x 10 -5

N.s/m 2

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A temperatura do ar, na atmosfera, decresce com a altura. A relação entre a

temperatura (T) em graus Kelvin (°K) e a altura (z) em metros

T(°K) = 288 - 0,006507z (1.16)

1.5 - Pressão

A pressão, uma das grandezas mais importantes, é definida como a relação entre

a força aplicada, perpendicularmente, sobre uma superfície e a área dessa superfície.

Uma força tangencial agindo sobre uma superfície provoca uma tensão tangencial τ na

superfície. Portanto, uma força normal agindo sobre uma superfície também provoca

tensão normal denominada pressão e indicada pela letra

Figura 1.3: Esquema representativo da definição de pressão

Para melhor entendermos o conceito consideremos: Um cilindro no vácuo cheio de

fluido, fechado em uma extremidade e munido de um pistão em outra, mantendo o fluido

confinado no cilindro.

Figura 1.4: Esquema do cilindro para definição do conceito de pressão

O fluido age sobre toda a face do pistão, a reação é distribuída ao longo da face,

gerando uma tensão normal que é uma medida da pressão do fluido sobre o pistão. A

pressão é uma grandeza escalar não tendo direção e sentido associados. A força que a

pressão causa no pistão é sempre de compressão e perpendicular à área onde age. A força de

pressão é calculada por:

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 

 

  ssãoforçadepreF

rfícieáreadasupeA

aconsiderad superfície àlar perpendicu direção à associadovetor a

dAaPF

P

A

P

 (1.17)

A unidade de pressão é definida pela relação entre as unidades de força e área e,

no SI é dada por

     

Pa m

N

A

F P

2 

(1.18)

1.6 – Tensão Superficial e Capilaridade

Tensão superficial é a propriedade de a camada superficial exercer tensão e é a

força necessária para manter o comprimento unitário do filme em equilíbrio. Logo, sua

unidade é formada pela relação entre força e comprimento.

A tensão superficial também é importante no fenômeno da capilaridade, no qual

intervém em conjunto com a capacidade de molhamento e adesão do líquido. Em um

líquido que molha a superfície, a adesão é maior que a coesão e a ação da tensão

superficial faz aparecer uma força que eleva o nível do líquido nas imediações de uma

parede vertical. Se o líquido não molha a superfície, a tensão superficial é

preponderante e força o nível a abaixar junto à parede vertical. Em tubos verticais de

pequeno diâmetro imersos em água a superfície assume forma esférica e é denominada

menisco. Para a água a forma do menisco é côncava e a tensão superficial força o

líquido a se elevar no tubo, já para o mercúrio, que não molha a parede, o líquido é

forçado a descer e essa variação do nível é denominada depressão ou elevação capilar e

este fenômeno é denominado de capilaridade. (ROMA, 2003)

Figura 1.5: Capilaridade em tubos de diâmetros diferentes

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1.7 – Escoamento de um Fluido em um Tubo

Existem várias camadas que se deslocam com velocidades diferentes, sendo a

velocidade igual a zero junto à parede do tubo e máxima na parte central. Surgem,

então, dois tipos de atrito:

a) Atrito externo: resistência ao deslizamento do fluido ao longo de superfícies sólidas;

b) Atrito interno ou viscosidade: resistência ao deslocamento mútuo das partículas do

fluido.

1.8 – Viscosidade ou Atrito Interno

Durante o escoamento de um fluido observam-se um relativo movimento ente

suas partículas, resultando um atrito entre as mesmas. Viscosidade ou Atrito Internoé a

propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força cisalhante, ou seja,

resistir à deformação. Sejam duas placas largas e paralelas separadas por uma película

de um fluido com espessura y.

Figura 1.6: Esquema representativo da ação da viscosidade

Lei de Newton → força de atrito: y

V AF

 ..  (1.19)

Onde: F é a força tangencial; A é a área; y é a espessura do fluido; ΔV é a velocidade e μ é

o coeficiente de viscosidade dinâmica ou absoluta, característica de cada fluido. DEPENDE

DA TEMPERATURA.

Mas a resistência à deformação, chamada de resistência viscosa, é dada por:

y

V

A

F   (1.20)

1.9 – Viscosidade Específica

É a relação entre a viscosidade do fluido e da água a 20°C e 1 atm.

atm1,Cº20

água

fluido

esp 

  (1.21)

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1.10 – Viscosidade Cinética ou Cinemática

É a relação entre a viscosidade absoluta ou dinâmica e a massa específica do fluido.



 

 

específica massaρ

absoluta eviscosidadμ cinemática eviscosidadυ

onde 

  (1.22)

1.11 – Medidas de Viscosidade

a) Viscosímetro de Michael (cilindros concêntricos): mede a viscosidade absoluta ou

dinâmica. Para os líquidos, quanto mais elevada for a temperatura, menor será a

viscosidade e para os gases, temperaturas elevadas fornecem maiores valores para a

viscosidade.

Figura 1.7 – Viscosímetro de Michael

L ocompriment umpercorrer para leva massa a que tempo-t

corda da ocompriment - L

absoluta eviscosidadμ

aparelho do constante -k

L

kMt

 

 

 

(1.23)

b) Viscosímetro de Saybott: mede a viscosidade cinemática

Figura 1.8: Viscosímetro de

Saybott

) t

798,1 t002197,0(10)s/m( 42  

t

798,1 t002197,0)s/cm( 2  (1.24)

32s t,escoamento de tempoo ét 

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1.12 – Classificação de fluidos – Newtonianos ou não - Newtonianos

Os fluidos que obedecem à equação de proporcionalidade (eq.1.20), ou seja,

ocorre uma relação linear entre o valor da tensão de cisalhamento aplicada e a

velocidade de deformação resultante, quer dizer, o coeficiente de viscosidade dinâmica

µ constante, são denominados fluidos newtonianos, incluindo-se a água, líquidos finos

assemelhados e os gases de maneira geral. Os fluidos que não seguem esta equação de

proporcionalidade são denominados fluidos não-newtonianos e são muito encontrados

nos problemas reais de engenharia civil, como exemplos citam-se: lamas e lodos em

geral. Neste tipo de fluido não ocorre uma relação linear entre o valor da tensão de

cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular (AZEVEDO

NETTO, 2007). Encontram-se divididos em três tipos: (i) a viscosidade não varia com o

estado de agitação, obedecem a uma lei semelhante e neste caso o coeficiente de

viscosidade cinemática µ está elevado a uma potência; (ii) os tixotrópicos em que a

viscosidade cai com o aumento da agitação. Quando em bombeamento podem ser

tratados como fluidos newtonianos, ex: lodos adensados de estações de tratamento de

esgoto, e (iii) os dilatantes, em que a viscosidade aumenta com o aumento da agitação,

ex: melado da cana de açúcar.

1.13 - Fluidos Perfeitos

É definido como aquele fluido que em repouso goza da propriedade de isotropia,

isto é, em torno de um ponto os esforços são iguais em todas as direções. São

considerados fluidos sem viscosidade e incompressíveis, características essas que

reforçam o conceito de fluido perfeito, no qual a densidade é uma constante e existe o

estado isotrópico de tensões em condições de movimento. Na prática, o fluido perfeito

não existe, ou seja, na natureza, sendo, portanto, uma abstração teórica, mas em um

grande número de casos tal consideração torna-se prática quando, por exemplo,

assumimos a água como fluido perfeito para efeito de cálculos expeditos.

1.14 – Unidade Técnica de Massa

Suponha que um corpo seja submetido a uma força de 1 kgf e adquira a

aceleração de 1 m/s 2 , então, a sua massa é igual a 1 unidade neste sistema, ou seja, 1

Unidade Técnica de Massa (1 kgf = 1 (unidade de massa) x 1 m/s 2 ).

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No MKS, neste sistema a força é uma unidade derivada então a unidade Newton

pode ser definida como a força atuante sobre uma massa de 1kg quando esta adquire

uma aceleração de 1m/s 2 (1(unidade de força) = 1kg X 1m/s

2 ).

Comparando a unidade Newton com a UTM:

Dado 1 litro de água a 4ºC, para o sistema MKS este terá massa igual a 1kg e

peso igual a 9,8N e para o sistema MKS* terá massa igual a 1/9,8UTM e peso igual a

1kgf.

Figura 1.9: Esquema ilustrativo para comparação das unidades de medida no MKS e no MKS*

A massa de 1kg no MKS pesa 9,8N mas no MKS* pesa 1kgf porque:

No MKS: o peso de 1kg = 1kg X9,8m/s 2 = 9,8N

No MKS*: o peso de 1kgf = mX9,8 m/s 2 m = 1/9,8utm.

1.15 - Conversão de Unidades

Pa 6,9x103 pol

lb 1 Pa 0,1

cm

dyna 1

mca100 cm

kgf 10

m

kgf 10

m

N 10Pa10MPa1

Pa 1,1013x10 m

kgf 1000

cm

kgf 1mca33,10atm1

cm

kgf 1

m

N 1Pa1

22

22

5

2

66

5

22

22









dyna 10N 1

kg 8,9UTM 1 N 81,9kgf 1

s.cm

g 1P1centipoise100

m

s.N 1,0P1 Poise P sendo , P 10

s.cm10

g10

s.m

kg 1

mm 1000cm 100m 1 3m 1litro 1

5

22

3









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CAPÍTULO 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS

2.1 – Estática dos Fluidos

Considera-se um fluido em repouso quando não há velocidade diferente de zero

em nenhum dos seus pontos e, neste caso, esta condição de repouso é conhecida por

Hidrostática. Os princípios da Hidrostática ou Estática dos Fluidos envolvem o

estudo dos fluidos em repouso e das forças sobre objetos submersos.

2.1.1 – Lei de Stevin

O equacionamento matemático se dá através da Equação Fundamental da

Hidrostática - Lei de Stevin. Este equacionamento consiste no equilíbrio das forças

sobre um elemento de volume infinitesimal em forma cúbica, definido no plano

cartesiano de coordenadas obtendo-se a distribuição das forças de pressão e as forças de

ação a distância agindo sobre o elemento. Como o elemento está em repouso, o

somatório das forças de pressão e das forças de ação a distância é igual a zero

(Figura 2.1). (ROMA, 2003)

Figura 2.1 – Forças de pressão em um elemento de volume (ROMA, 2003)

Da figura, tem-se:

s.coordenada direções trêsnas versoresos são e e e ,e que em

0emgedxdydz z

p ppedxdzdy

y

p ppedydzdx

x

p pp

zyx

zzyx



 

  

  

  

 

  

  

  

 

  

  

  

 

(2.1)

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Simplificando a equação (2.3), chega-se a:

:a se-chega comuns, fatores os ndosimplifica e dxdydzpor m dosubstituin

0emgedzdxdy z

p edydxdz

y

p edxdydz

x

p zzyx

 

 

 

 



0ege z

p e

y

p e

x

p zzyx 

 

 

 

 (2.2)

De forma compacta, pode-se expressar a eq. 2.1 empregando o conceito de gradiente de um

escalar e do operador Nabla  

  0gzp  

(2.3)

A equação 2.1 (ou 2.3) é conhecida como Equação Geral da Estática dos Fluidos.

Dessas equações infere-se que a pressão não depende de x e de y, ou seja, a pressão em

um plano horizontal é constante. Logo:

g z

p ;0

y

p ;0

x

p 

 

 

 (2.4)

Sendo a pressão constante em xe de y, ela é função apenas de z, logo a eq. 2.4 pode ser escrita

na forma:

;g dz

dp  (2.5)

Conclusões:

1 – A diferença de pressões entre 2 pontos de uma massa líquida em equilíbrio é

igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso específico.

2 – No interior de um fluido em repouso, pontos de uma mesma profundidade

suportam a mesma pressão.

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2.1.2 - Aplicações da Equação Fundamental da Hidrostática (AZEVEDO NETO, 1985)

a) Vasos Comunicantes: “A altura de um líquido

incompressível em equilíbrio estático preenchendo

diversos vasos comunicantes independe da forma dos

mesmos.”

Figura 2.2: Princípio dos

Vasos Comunicantes

b) Pressão Contra o Fundo do Recipiente:

Considerando somente a pressão exercida pelo fluido

no fundo do recipiente.

hAFh A

F hP  (2.6)

Onde F é a força que atua no fundo do recipiente e A é

a área do fundo do recipiente onde atua a força.

Figura 2.3: Pressão contra

o fundo do recipiente

c) Equilíbrio de dois líquidos de densidades

diferentes:

Figura 2.4: Tanque com fluidos de densidades diferentes

       

'

B

'

A

'

B

'

A

BABA

'

B

'

A2BA1

'

A

'

B2BA1

'

B2B1

'

A2A1

hhhh

hh0hh

:donde

0hhhh

hhhh

hhhh

2P1P











(2.7)

Conclusões: As camadas se superpõem na ordem crescente de suas densidades sendo

plana e horizontal a superfície de separação. Os fluidos de densidades menores ficam

acima dos fluidos de densidades maiores.

d) Vasos comunicantes com líquidos de densidades

diferentes

Figura 2.5 – Vasos comunicantes com líquidos de

densidades diferentes

1

2

2

1

2211

h

h

hh

2P1P

 



(2.8)

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2.2 - Altura Piezométrica

Altura piezométrica h representa a altura de uma coluna de um fluido que

produzirá uma dada pressão (AZEVEDO NETO, 1985):

 

  

 

 

  

3

2

m

kgf

m

kgf P

)f.c.m(h (2.9)

2.3 – Pressão absoluta, atmosférica e manométrica.

Segundo FOX (1988), considerando P 0

a pressão correspondente ao nível de

referência z 0 , a pressão P em uma posição z qualquer é encontrada pela integração da

eq. (2.5):

)zz(g)zz(gPP 000  (2.10)

Para os líquidos, adota-se a superfície livre como nível de referência. Dessa

forma, medem-se as distâncias de cima para baixo como distâncias positivas, uma vez

que para fluidos z está em geral abaixo de z 0 . Com h positivo no sentido de cima para

baixo conforme a Figura 2.6, h = z 0

– z resultando no Princípio de Stevin:

Da equação 2.10:

a) Pressão absoluta ou total P decomposta em P 0

no nível de referência z 0

e ρghem

função da massa líquida acima do ponto onde se deseja conhecer o valor da pressão.

Quando acima de z0 , tem-se o ar ambiente, então P

0 = P

atmque é a pressão atmosférica.

A pressão absoluta é medida a partir do vácuo absoluto. Seu valor é sempre positivo e

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sempre se considera a pressão atmosférica.

Patm = 760 – 0,0081h (2.11)

Onde h(m) é a altitude do local em metros e P atm

é a pressão atmosférica em mmHg.

b)Pressão manométrica: É medida a partir da pressão atmosférica e seu valor tanto

pode ser negativo quanto positivo. Não se leva em consideração a pressão atmosférica.

b.1) Medidores de pressão

Barômetro de mercúrio

2.8 – Barômetro de

mercúrio

- Um dos primeiros instrumentos de medida de pressão com

base em coluna de fluido desenvolvido por Torricelli;

- Consta de um tubo de vidro com 1,0 m de comprimento,

fechado em uma das extremidades que após ser preenchido com

mercúrio, é emborcado em uma cuba do mesmo elemento. A

coluna de mercúrio no tubo vertical, inicialmente com um

metro de comprimento, sofre redução de altura em razão da

fuga do fluido pela abertura inferior, diminuindo o

comprimento indicado por H. Esse fenômeno provoca o

aparecimento de um espaço sobre a coluna de mercúrio, que é

ocupado por seu vapor. Da eq. (2.10) pode-se determinar a

pressão atmosférica P atm

em termos da altura H da coluna de

mercúrio: H

g H

Patm  (2.12)

Manômetro de tubo aberto

2.9 – Manômetro de tubo aberto

Usado para medir pressões manométricas.

Possui um tubo em forma de U contendo

um fluido de densidade ρ 2

conhecida.

Numa extremidade do tubo é conectado

um recipiente de fluido de densidade ρ 1

conhecida e cuja pressão deseja-se medir.

A outra extremidade é aberta para a

atmosfera.

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Utilizando a equação (2.10), tem-se:

(2.13) gH)zz(gPP

(2.12) gH)zz(gPP

22

'

BC2C

'

B

11BA1BA





Os pontos B e B’ se encontram na mesma elevação em trecho contínuo de fluido, logo

P B’

=P B

(Princípio dos Vasos Comunicantes). Como o ramo da direita está aberto para a

atmosfera, tem-se que P C =P

atm . Substituindo esses resultados nas eq. (2.12) e (2.13) e

subtraindo a primeira equação da segunda, tem-se:

1122atmA gHgHPP  (2.14)

Se ρ 1 for desprezível comparada com ρ

2 (ρ

1 <<ρ

2 ), a expressão (2.11)

22manA gHP  (2.15)

Piezômetro

2.10 - Piezômetro

O cálculo da pressão no piezômetro é feito pela

aplicação da equação da estática dos fluidos entre

a pressão a ser obtida no centro do tubo e da

pressão no topo da coluna fluida, que é a pressão

atmosférica P atm

. Assim, a pressão é dada por:

HP f1  (2.16)

2.4 – Princípio de Pascoal

“A pressão exercida sobre a superfície da massa líquida é transmitida no seu interior,

integralmente e em todas as direções.”

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2.11 – Prensa hidráulica

A figura mostra como este princípio é aproveitado

através do funcionamento de uma prensa hidráulica.

Quando uma força F 1

é exercida para baixo sobre o

pistão menor de área A 1

(ramo da esquerda), o líquido

(incompressível) contido no dispositivo exerce uma

força para cima de módulo F 2

sobre o pistão maior de área A 2

(ramo da direita). A fim de

manter o sistema em equilíbrio, uma carga externa (não mostrada) deve exercer uma força

para baixo no valor de F 2

sobre o pistão menor. A variação de pressão ΔPproduzida

pela força de entrada F1exercida pelo pistão menor é transferida ao pistão maior, sobre

o qual passa a atuar uma força de saída F2. A equação que segue relaciona estas

grandezas:

1

1

22

2

2

1

1

A

F AF

A

F

A

F P  (2.17)

Como A2 > A1, pela relação acima fica claro que a força de saída F 2

exercida sobre

a carga é maior que a força de entrada F 1

2.5 – Princípio de Arquimedes

“Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido em equilíbrio recebe uma

força vertical para cima denominada empuxo, de intensidade igual, mas de sentido

contrário ao peso da porção deslocada de fluido e aplicada no ponto onde estava

localizado o centro de massa desta porção de fluido.”

Figura 2.12 – Corpo imerso em um fluido estático

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Esta força denominada empuxo será tanto maior quanto mais denso for o líquido e

sua origem está relacionada com o fato da pressão no líquido aumentar com a profundidade

(Princípio de Stevin). Considere um objeto totalmente imerso em um fluido estático, como

na Figura 2.12. Considere, também, elementos finitos de volume que serão utilizados para

determinação da força vertical sobre o corpo em função da pressão hidrostática. Da

eq. (2.10) tem-se:

ghPP e ghPP 2liq021liq01

 (2.18)

A força vertical dF E

resultante sobre o volume elementar é igual a:

dA)1hh(gdFdA)ghP(dA)ghP(dF 2liqB1liq02liq0B  (2.19)

Observe que (h2-h1)dA = dV é volume do elemento cilíndrico. A força total FB

denominada força de empuxo é obtida por integração sobre todo o volume do objeto,

ou seja:

VgFBgVdVggdVdFF liqliq

V

liq

V

liqBB   (2.20)

Onde V é o volume do objeto. Como liq é a densidade do líquido (e não do objeto),

temos que liqV corresponde à massa do líquido deslocado pela imersão do objeto e

então pode-se anunciar o resultado anterior (equação 2.20) como Princípio de

Arquimedes.

2.6 - Empuxo Exercido por um Líquido sobre Superfície Plana Imersa

Frequentemente, os engenheiros encontram problemas relacionados a estruturas

que devem resistir às pressões exercidas por líquidos como, por exemplo: barragens,

comportas, registros, etc. E, neste caso, deseja-se calcular o módulo, a direção, o sentido

e o ponto de aplicação da força denominada empuxo.

2.6.1 – Grandeza e direção do empuxo

“O empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa é uma força

perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao

centro de gravidade CG.”

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Figura 2.13: Esquema da força de empuxo sobre a face submersa de uma superfície plana.

Tem-se da figura acima uma superfície irregular de área A, localizada em um

plano inclinado que faz ângulo θ com a superfície livre do fluido de densidade . O

centro de massa da superfície ou centroide (se for homogênea), está localizado a uma

profundidade hC Para determinar o empuxo total F sobre a superfície, vamos considerar

um elemento de área dA sobre a mesma, localizado a uma profundidade h, abaixo da

superfície livre do líquido. Lembrando-se que o líquido recobre apenas um dos lados, a

força dF sobre este elemento é dada por:

 dAh g PdAdF (2.21)

Sendo:

g

ysenθh y

h senθ



 (2.22)

Substituindo a eq.(2.21) na eq.(2.22):

dA senθy γdF  (2.23)

Onde a distância y é medida a partir da intersecção O do plano com a superfície livre do

líquido. A força total é obtida por integração sobre toda a superfície:

O empuxo: 



dAy senθ γEdA seny F

dFF (2.24)

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A integral  dAy é o momento da área em relação à linha O-O’. Esta integral

equivale ao produto (ver figura): AydAy CA

 . Substituindo este resultado na

eq.(2.24) e observando que senθ yh CC

 , tem-se a seguinte expressão para a força

resultante sobre um lado de uma superfície submersa plana:

A h γF

dA sen y F

C

C

  (2.25)

2.6.2 – Centro de Pressão – CP

Não havendo tensão de cisalhamento, pois o fluido é estático, a direção desta força

(eq.2.25) é normal ao plano da superfície. A posição do yCP do ponto de aplicação do

empuxo é denominado centro de pressão. A posição do CP será determinada

aplicando-se o teorema de Varignon: O momento da resultante em relação ao ponto

O deve ser igual à soma dos momentos das forças elementares dF.

F yM CPF

 (2.26)

Sendo MF o momento (torque) total da força F em relação ao eixo O-O’. Considerando-

se o elemento de área dA, o momento dM da força dF é igual a:

dA senθ y g ρdFy dM 2 F

 (2.27)

Integrando a eq.(2.27), tem-se o momento total:

I senθ g ρdA y senθ g ρdA senθ y g ρMM A

2

A

2

FF   (2.28)

A integral  A

2 dA y é uma integral de segunda ordem I da área A, em relação ao eixo

O-O’. Neste caso, o centro de massa e o centro de pressão coincidem. Aplicando-se o

teorema dos eixos paralelos para este momento de inércia, tem-se:

A yI A yII 2 CC

2

CMCM  (2.29)

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Sendo I o momento de inércia em relação ao eixo O e o IC momento de inércia em

relação ao eixo que passa pelo CG.

Substituindo as equações (2.25), (2.27) e (2.28) na equação (2.26), tem-se:

Ay

I yyA y senθ g ρ yA) y(I senθ g ρ

C

C

CCPCCP

2

CC  (2.30)

2.6.2.1 – Momentos de Inércia para Algumas Figuras Geométricas

Tabela 2.1: Momentos de Inércia e Área para algumas figuras geométricas

Figura Área Momento de Inércia IC

bdA  12

bd I

3

C 

2

bd A 

36

bd I

3

C 

4

D A

2 

64

D I

4

C

 

2.7 – Forças Exercidas sobre Superfícies Curvas Submersas

Segundo ROMA (2003), quando o esforço hidrostático atua sobre uma

superfície curva, a determinação do módulo resultante, pelo método citado no item 6,

leva a formulações complexas, o que torna necessário um artifício para simplificar o

cálculo. O artifício consiste em obter a força por meio de suas componentes, assim, a

componente horizontal é obtida como se estivesse agindo sobre uma projeção da placa.

A força é obtida pela soma vetorial dessas componentes.

Considere a componente horizontal sobre uma superfície curva, um elemento de

área dA na superfície curva submersa, mostrada na Figura 2.14, localizado a uma

distância vertical h da superfície livre. A força elementar dF sobre esse elemento vale

dF = pdA e é perpendicular à superfície curva.

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Figura 2.14 – Projeção horizontal da superfície curva sobre um plano vertical

2.7.1 – Determinação da componente horizontal da força F:

A componente horizontal de dF é:

cosθdA pcosθ dFdF h

 (2.31)

Sendo a projeção da área dA em um plano perpendicular à direção horizontal igual a

cosθdA e em um plano vertical, cosθdA p é a força elementar exercida sobre a área

projetada, isto é, dA pdF projh

 . Essa relação pode ser integrada sobre toda a área

projetada, obtendo:

  projA

proj

projA

proj A dh γdA pFh (2.32)

Definindo hC como a distância vertical da superfície livre até o centro de gravidade da

área projetada e lembrando que a posição do centro de gravidade é definida por:

 projA

proj

proj

C A dh

A

1 h (2.33)

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