Apostila Maple, Manual de Aplicações de Ciências da Computação. Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN)
Paulo_Alcantara
Paulo_Alcantara26 de junho de 2016

Apostila Maple, Manual de Aplicações de Ciências da Computação. Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN)

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Maple 13

MAPLE 13

Lívia Braga Sydrião de Alencar

Bergson da Silva Matias

PET Civil

Sumário

1.INTRODUÇÃO.............................................................................................................................. 3

1.1. Histórico ...................................................................................................................................... 3

1.2. Interface ...................................................................................................................................... 3

1.3. Comandos Básicos ...................................................................................................................... 7

1.3.1.Operações básicas ................................................................................................................................ 7

1.4. Alguns detalhes ........................................................................................................................... 8

1.4.1.Casas decimais ..................................................................................................................................... 8

1.4.2.Ajuda .................................................................................................................................................... 9

1.4.3.Erro ....................................................................................................................................................... 9

1.4.4.Comentários ....................................................................................................................................... 10

2.EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ...................................................................................................... 11

2.1. Atribuições ................................................................................................................................ 11

2.2. Outros comandos ..................................................................................................................... 11

2.3. Resolução de Equações Algébricas ........................................................................................... 13

2.4. Funções Elementares ................................................................................................................ 14

3.CÁLCULO ................................................................................................................................... 18

3.1. Limite ........................................................................................................................................ 18

3.2. Derivada .................................................................................................................................... 20

3.3. Integral ...................................................................................................................................... 22

4.EDO’S .......................................................................................................................................... 25

4.1. Declarando uma EDO ................................................................................................................ 25

4.2. Resolvendo uma EDO ............................................................................................................... 26

5.GRÁFICOS .................................................................................................................................. 29

5.1. Gráficos em duas dimensões .................................................................................................... 29

5.1.1.Funções .............................................................................................................................................. 29

5.1.2.Limites ................................................................................................................................................ 35

5.1.3.Derivadas ........................................................................................................................................... 35

5.1.4.Integrais ............................................................................................................................................. 36

5.2. Gráficos em três dimensões ...................................................................................................... 36

5.3. Gráficos de EDO’s ...................................................................................................................... 38

3 Introdução

1. Introdução

1.1. Histórico

Maple é um sistema algébrico computacional comercial de uso genérico. Constitui

um ambiente informático para a computação de expressões algébricas, simbólicas (pode-se

usar essa capacidade simbólica para obter-se soluções analíticas exatas para muitos

problemas matemáticos como diferenciação, integração e etc), permitindo o desenho de

gráficos a duas ou a três dimensões. O seu desenvolvimento começou em 1981 pelo Grupo

de Computação Simbólica na Universidade de Waterloo em Waterloo, no Canadá, província

de Ontário.

Desde 1988, o Maple tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft, uma

companhia canadense também baseada em Waterloo, Ontário.

1.2. Interface

A versão mais atual é o Maple 15. Porém, nessa apostila, será utilizado o Maple 13.

Ao abrir-se o software, essa é a interface que se encontra:

4 Maple 13

Conhecendo os botões do Maple:

1 – Configura a cor de um intervalo de caracteres selecionado.

2 – Configura a cor da fonte para caracteres selecionados.

3 – Indica quando o usuário está utilizando uma animação.

4 – Indica quando o usuário está utilizando um gráfico.

5 – Indica quando o usuário está utilizando um desenho.

6 – Indica quando o usuário está utilizando uma operação matemática (ao se utilizar

números por exemplo).

7 – Indica quando o usuário está utilizando um texto.

8 – Abre o sistema de ajuda.

9 – Desfaz um comando.

10 – Zoom 200%.

11 – Zoom 150%.

12 – Zoom 100%.

13 – Editar código de iniciação.

1 2 3

4 5 6 7

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5 Introdução

14 – Reinicia o servidor Maple.

15 – Depura a operação atual.

16 – Interrompe a operação atual.

17 – Executa todos os grupos selecionados.

18 – Executa todo o conteúdo da folha de trabalho.

19 – Avança para a próxima folha de trabalho.

20 – Volta para a folha de trabalho anterior.

21 – Remove qualquer seção incluída na seleção.

22 – Inclui a seleção em uma subseção.

23 – Insere entrada do Maple depois do grupo de execução atual.

24 – Inserir texto sem formatação após o grupo de execução atual.

25 – Refaz a última operação feita.

26 – Desfaz a última operação feita.

6 Maple 13

27 – Salva expressões matemáticas elaboradas pelo usuário.

28 – Permite que o usuário escolha a caligrafia de sua preferência.

29 – Expressões já consagradas pelo uso.

30 – Unidades no Sistema Internacional (SI).

31 – Unidades no sistema americano.

32 – Símbolos de uso recorrente na matemática.

33 – Elaboração de matriz.

34 – Componentes como caixa de texto, termômetro e etc.

35 – Caracteres gregos.

36 – Uso de setas.

37 – Símbolos de relação.

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7 Introdução

38 – Símbolos de relação aproximada.

39 – Símbolos de diferença.

40 – Alguns operadores como o somatório.

41 – Outros operadores.

42 – Caracteres vazados.

43 – Caracteres alternativos.

44 – Caracteres.

45 – Formas.

1.3. Comandos Básicos

A partir do Maple 12, não é mais necessário colocar “;” ao final de cada sentença

para que o seu comando possa ser rodado, apesar de que se for colocado, a sentença será

lida normalmente.Ao se colocar o “:” o resultado não será mostrado mas será salvo na

memória.

1.3.1. Operações básicas

Fatorial !

Potenciação ^

Divisão /

Multiplicação *

Adição +

Subtração -

A ordem de preferência é a descrita acima, começando do fatorial até a subtração.

8 Maple 13

Um detalhe importante quando se deseja escrever uma potenciação é que primeiro

coloca-se o símbolo “^” depois o expoente e logo em seguida deve-se apagar o símbolo para

que a sentença forneça uma resposta.

Para modificar a ordem de preferência basta utilizar parêntese “( )”.

Exercícios:

Resolva as seguintes sentenças matemáticas:

 Onze elevado a quarta mais nove fatorial vezes cinco; Resp: 1829041;

 Sete vezes quinze virgula três divididos por menos seis; Resp:

 Nove mais 5 dividido por sete ao cubo. Deve-se dar preferência à soma neste caso.

Resp:0.04081632653.

1.4. Alguns detalhes

1.4.1. Casas decimais

No caso de se desejar obter resultados de divisões com casas decimais, deve-se

colocar um ponto após o número que está no numerador. Caso não se coloque o ponto, o

9 Introdução

Maple sempre retorna o resultado na forma simbólica.

Uma forma mais geral de se obter as casas decimais é utilizar o comando evalf. O

Maple retorna um número com até dez casas decimais. Em combinação com o “%”, o

comando retorna o último valor.

Vários comandos podem ser escritos na mesma linha, desde que sejam separados

por “;”.

1.4.2. Ajuda

O Maple tem uma ferramenta de ajuda relativamente completa. Pode-se evocá-la

pelo botão Ajuda.

1.4.3. Erro

Ao encontrar uma falha, o Maple retorna uma mensagem de erro, especificando o

seu tipo. Erros comuns são associados a falhas na digitação, erro no domínio de funções e

etc.

10 Maple 13

1.4.4. Comentários

Quando se deseja fazer um comentário acerca de alguma passagem, utiliza-se o

comando “#”. O Maple desconsidera o comentário, ficando apenas para futuras consultas

dos usuários.

Simplify: Simplifica uma expressão que tem um fator em comum entre seu

numerador e denominador.

11 Equações Algébricas

2. Equações Algébricas

2.1. Atribuições

Quando se deseja atribuir um valor a alguma letra, uma função a alguma variável,

enfim, atribuir alguma identidade a algo, usa-se o símbolo “:=”. Portanto, no exemplo

abaixo, o valor de B é atribuído a A, x tem o valor de cinco e quando a expressão em função

de x é atribuída a y, automaticamente o valor de x é substituído à função e o valor final é

dado.

2.2. Outros comandos

Simplify: Simplifica uma expressão que tem um fator em comum entre seu

numerador e denominador.

Factor: Fatora uma expressão.

Expand: Expande uma expressão que está fatorada.

12 Maple 13

13 Equações Algébricas

Exercícios:

 Expandir (x+y)4. Resp:

 Fatorar xy-x2y+y3x2-x. Resp:

 Simplificar

. Resp:

2.3. Resolução de Equações Algébricas

Para se resolver uma equação, utiliza-se o comando solve.

Quando se tem uma função de mais de uma variável, deve-se especificar em função

de que variável se deseja ter a resolução.

Para se construir uma função, deve-se primeiro “batizá-la” com um nome ou letra

que a represente, em seguida, usa-se o símbolo da atribuição “:=”, o nome da variável , o

comando de transformação “->” e a expressão da própria função.

14 Maple 13

Depois de declaradas, as funções ficam gravadas na memória do programa e basta

escrevê-las pelo “nome de batismo” para chamá-las novamente. Podem-se especificar os

pontos nos quais se deseja saber o valor da função. Vale a pena ressaltar que se o mesmo

nome for dado a diferentes funções, a mais atual será mantida e a antiga será apagada da

memória do Maple.

Exercícios:

Resolva as seguintes equações:

 Y = x2 -10x-24. Resp:

 Encontre o valor de y para x=233455,2323. Resp:

 Y = xy-x2y+y3x2-x , em função de x. Resp:

2.4. Funções Elementares

1. Função exponencial:

2. Função seno:

3. Função cosseno:

4. Função tangente:

5. Função secante:

6. Função cossecante:

7. Função cotangente:

8. Função arcoseno:

9. Função arcocosseno:

10. Função logarítma:

11. Função logaritmo neperiano:

15 Equações Algébricas

Alguns exemplos:

16 Maple 13

17 Equações Algébricas

Exercícios:

Resolva as seguintes equações de funções elementares:

 Y=sen(x)+cos(x). Resp:

 Y = .Resp:

 Y = log10(x)+e 2 .Resp:

18 Maple 13

3. Cálculo

Agora veremos alguns tópicos de cálculo diferencial e integral, começando por Limite

e depois Derivada e Integral. O Maple possui comandos pré-estabelecidos que facilitam a

resolução dessas funções.

3.1. Limite

Para a resolução de limites, podemos usar dois comandos bem parecidos: o limit e o

Limit.

O comando limit(L minúsculo) retorna o limite de uma função f(x) quando x tende ao

valor “a”.

Onde:

f(x) é uma função de x

x = a é o mesmo que x → a, ou seja, x tende a “a”

OBS: se o limite não existir o Maple dá como resposta undefined.

Exemplo: Calcular o limite da função abaixo, quando x tende a 1:

Usando o comando limit, temos:

Também é possível obter os valores do limite de função pela direita e pela esquerda

19 Cálculo

(limites laterais). Para isso, basta acrescentar mais um parâmetro ao comando anterior:

leftou right.

Onde:

right significa que o limite é pela direita

leftsignifica que o limite é pela esquerda

Exemplo: Calcular o limite da função abaixo, quando x tende a 3 pela direita:

Usando o comando limit, temos:

Podemos também definir limites no infinito.

Exemplo:

O comando Limit(L maiúsculo) mostra a expressão de limites que é utilizada

usualmente sem calculá-lo.

20 Maple 13

Exemplo:

Exercício:

Calcule os seguintes limites, utilizando o comando limit.

a.

b.

c.

d.

3.2. Derivada

Para a resolução de derivadas, o Maple oferece os comandos diffe Diff.

O comando diff(F minúsculo) retorna a derivada da função f em relação a x.

Onde:

f(x) é uma função de x

x é a variável a que se deseja derivar

Exemplo: Calcular a derivada da função abaixo:

Usando o comando diff, temos:

Outros exemplos de derivadas:

21 Cálculo

Derivada de uma função trigonométrica

Derivada parcial

>

Também podemos calcular derivadas de ordem superior. Para isso se usa a seguinte

sintaxe:

Onde:

f(x) é a função que se deseja derivar

x é a variável a ser derivada

$n é a ordem da derivada

Exemplos:

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