Apostila MATLAB, Notas de estudo de Biofísica
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Apostila MATLAB, Notas de estudo de Biofísica

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Microsoft Word - Apostila Matlab.rtf

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS & UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

INTRODUÇÃO AO PROGRAMA "MATLAB"

COM APLICAÇÕES

Material elaborado por:

Prof. Dr. Antônio César Baleeiro Alves (UCG/UFG)

Prof. Dr. Enes Gonçalves Marra (UFG)

Prof. Dr. José Wilson Lima Nerys (UFG)

Goiânia – GO

2007

2

SUMÁRIO

1INTRODUÇÃO 5

2UTILIZANDO O MATLAB 9

2.1INICIAR O PROGRAMA 9

2.2PASTA DE TRABALHO 10

2.3TELA DA LINHA DE COMANDO DO MATLAB 11

2.4CRIAÇÃO DE ARQUIVOS NO MATLAB 11

2.5LIMITAÇÕES DO MATLAB 13

3OPERADORES, CONSTANTES E CARACTERES ESPECIAIS 14

3.1OPERADORES ARITMÉTICOS 14

3.2CARACTERES ESPECIAIS 16

3.3OPERADORES LÓGICOS 18

3.4OPERADORES RELACIONAIS 19

3.5CONSTANTES OU VARIÁVEIS 19

3.5.1 INF 20

3.5.2 NAN 20

3.5.3 IEEE 20

3.6RECURSOS DE APOIO DA TELA DE COMANDO DO MATLAB 20

3.6.1 MENU FILE 20

3.6.2 MENU EDIT 21

4COMANDOS DE PROPÓSITO GERAL 22

4.1COMANDOS DE INFORMAÇÃO 22

4.2COMANDOS DE OPERAÇÃO COM A MEMÓRIA DA ÁREA DE TRABALHO (WORKSPACE) 23

4.3COMANDOS DE OPERAÇÃO COM FUNÇÕES E COMANDOS 24

4.4COMANDOS DE OPERAÇÃO COM O CAMINHO DE DIRETÓRIOS 25

4.5COMANDOS DE OPERAÇÃO COM A JANELA DE COMANDO 26

4.6COMANDOS DE OPERAÇÃO COM O SISTEMA OPERACIONAL 27

5COMANDOS BÁSICOS PARA MANIPULAÇÃO DE MATRIZES 29

6FUNÇÕES MATEMÁTICAS ELEMENTARES 32

3

7COMANDOS DE CONTROLE GRÁFICO 36

7.1GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS 36

7.2GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS 38

8OUTROS COMANDOS 39

8.1FUNÇÕES LÓGICAS 39

8.2FUNÇÕES DE CONTROLE DE FLUXO DE PROGRAMAÇÃO 40

8.3FUNÇÕES DE CONTROLE DE BAIXO NÍVEL 44

8.4FUNÇÕES ESPECIALIZADAS: MATEMÁTICAS, MATRICIAIS, ÁLGEBRA LINEAR 45

8.5FUNÇÕES DE INTEGRAÇÃO, INTERPOLAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS 45

8.6FUNÇÕES DE CONTROLE DE CORES, IMAGENS E CARACTERES 45

9PROGRAMANDO EM ARQUIVOS .M 46

9.1EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE PROGRAMA '.M' 46

10MATEMÁTICA SIMBÓLICA 51

10.1USO DA MATEMÁTICA SIMBÓLICA 56

10.2GRÁFICOS EM DUAS DIMENSÕES 57

10.3GRÁFICOS EM TRÊS DIMENSÕES 58

11SIMULINK 60

12EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 69

13EXERCÍCIOS PROPOSTOS 78

14BIBLIOGRAFIA 81

4

5

1 INTRODUÇÃO

O MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory) é um programa para

desenvolvimento e implementação de algoritmos numéricos ou simbólicos que oferece

ao usuário um ambiente interativo de programação para estudo e pesquisa nas

diversas áreas das ciências exatas.

Esse sistema comporta os recursos de linguagem procedural de programação

assemelhados aos do FORTRAN, ANSI C e do Pascal, além de capacidade gráfica e a

possibilidade de operar com instruções simbólicas. Um dos aspectos mais poderosos é

o fato da linguagem MATLAB permitir construir suas próprias ferramentas reutilizáveis.

Isto é feito através da escrita de suas próprias funções e programas especiais

conhecidos como arquivos .m.

A primeira versão do MATLAB foi escrita nas Universidades do Novo México e

Stanford, na década de 1970, e destinava-se a cursos de teoria matricial, álgebra linear

e análise numérica. Os pacotes para manipulação de sub-rotinas em FORTRAN,

denominados LINPACK e EISPACK, foram os precursores do MATLAB.

O MATLAB tem evoluído continuamente, com a contribuição e sugestões de

inúmeros usuários. No meio universitário, o MATLAB tornou-se quase que uma

ferramenta padrão em cursos introdutórios e avançados de Álgebra Aplicada,

Processamento de Sinais, Sistemas de Controle, Estatística e inúmeras outras áreas

do conhecimento.

O MATLAB contempla ainda uma grande família de aplicações específicas, as

quais são denominadas Toolboxes (caixas de ferramentas), como ilustrado na Fig. 1.1.

Estes Toolboxes são conjuntos abrangentes de funções MATLAB cujo objetivo é

resolver problemas de áreas específicas, tais como: Processamento de Sinais, Projeto

de Sistemas de Controle, Simulação Dinâmica de Sistemas, Identificação de Sistemas,

Redes Neuronais, Lógica Fuzzy (nebulosa ou difusa), Otimização de Sistemas,

Wavelets, Cálculo Simbólico, e outras áreas. Os usos típicos incluem:

• Cálculos matemáticos;

• Desenvolvimento de algoritmos;

• Modelagem, simulação e confecção de protótipos;

• Análise, exploração e visualização de dados;

• Gráficos científicos e de engenharia;

6

• Desenvolvimento de aplicações, incluindo a elaboração de interfaces gráficas

com o usuário

Fig. 1.1: Diagrama de Blocos do MATLAB

A Fig. 1.1 ilustra alguns componentes do sistema MATLAB. Cabe ressaltar,

entretanto, que vários Toolboxes estão disponíveis e a cada nova versão do MATLAB

novos Toolboxes são adicionados, incluindo as contribuições de usuários espalhados

pelo mundo. O SIMULINK é um acessório que possui bibliotecas adicionais de blocos

para aplicações especiais como comunicações e simulações de circuitos elétricos e

eletrônicos. O MATLAB é disponibilizado para praticamente todos os sistemas operacionais atualmente em uso: Macintosh, Windows 95 e NT, Linux, UNIX da Sun, IBM e Open

VMS.

A empresa MathWorks é quem negocia/distribui o MATLAB. Seus endereços

são:

Internet: http://www.mathworks.com

Telefone (ligação para os EUA): 00-1-508-647-7000

Toolbox

Toolbox



SIMULINK

Biblioteca

numérica

Linguagem de

programação

Depurador Editor de textos

7

Para um contato com vistas ao uso do programa na área educacional, tente o

endereço:

A necessidade de utilizar um sistema de computação numérica, e a

familiarização com os comandos e as funções do MATLAB vão gradualmente

aumentando o potencial de quem programa em MATLAB. No entanto, a bibliografia

existente pode ser de grande auxílio. Parte desta bibliografia é editada pela The

MathWorks, como por exemplo:

• MATLAB User’s Guide (Guia do usuário do MATLAB);

• MATLAB Reference Guide (Guia de referência do MATLAB);

• External Interface Guide (Guia de comunicação externa);

• Installation Guide (Guia de Instalação);

• SIMULINK User’s Guide (Guia do usuário do SIMULINK);

• Online Help (Sistema de auxílio do programa MATLAB).

Inúmeras outras referências podem ser encontradas para o MATLAB, para isto

basta procurar nas diversas editoras disponíveis no mercado. Algumas destas

referências (em português) para a área de controle podem ser:

• Katsuhiko Ogata, Solução de Problemas de Engenharia de Controle com

MATLAB. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1997, 330p.

• Katsuhiko Ogata, Projeto de Sistemas Lineares com MATLAB. Prentice-Hall

do Brasil, Rio de Janeiro, 1996, 202p.

Na internet existem diversas listas de discussão a respeito do MATLAB.

Inscrever-se em uma destas lista pode ser uma boa fonte de informação a respeito do

MATLAB. Na página da The MathWorks Inc. é possível obter informação sobre

The MathWorks, Inc.

University Sales Department

24 Prime Park Way

Natick, Massachusetts 01760-1500

Telefone: 00-1-508-647-7000

E-mail: info@mathworks.com

8

algumas destas listas, bem como sobre o próprio MATLAB. O endereço desta página é:

http://www.mathworks.com.

Os endereços eletrônicos a seguir podem ser também utilizados para saber mais

sobre o MATLAB:

• Perguntas técnicas: tech@mathworks.com

• Sugestões de melhoria: suggest@mathworks.com

• Bug (erros) do MATLAB: bugs@mathworks.com

• Erros nos manuais: doc@mathworks.com

• Registro de produto (após a compra): register@mathoworks.com

• Renovação de licença: service@mathworks.com

• Compra, cotação e informações comerciais: info@mathworks.com

9

2 UTILIZANDO O MATLAB

O programa MATLAB pode ser executado em diversos sistemas operacionais,

tais como: MS-DOS; Windows-95 ou superior; Unix; Linux; VAX/VMS; Solaris; X-

Window System; Macintosh; e outros. Este curso está preparado para ser ministrado no

sistema MS-DOS/Windows3.1x ou superior. No entanto, apenas o início do programa

e as funções de baixo nível são afetados pelo tipo de máquina e sistema operacional

utilizados.

2.1 Iniciar o Programa

O programa MATLAB pode ser iniciado com um duplo clique no ícone do

MATLAB na área de trabalho do windows (desktop), conforme indica a Fig. 2.1.

Fig. 2.1: Ícone do MATLAB.

Outra forma de iniciar o MATLAB é através do menu INICIAR do Windows95 ou

superior. Seleciona-se: INICIAR / PROGRAMA / MATLAB.

Os arquivos executáveis do MATLAB estão no diretório de instalação do

MATLAB, no subdiretório “BIN”. O programa MATLAB é iniciado quando o arquivo

MATLAB.exe, do subdiretório “BIN” é executado.

Ao iniciar, o MATLAB invoca o arquivo “MATLABrc”, o qual é o arquivo de

configuração inicial do MATLAB. Este arquivo pode estar no subdiretório “BIN”, ou no

subdiretório “LOCAL”, ou ainda no subdiretório “...\TOOLBOX\LOCAL”. Isto dependerá

da versão do MATLAB utilizada, ou da forma como o programa foi instalado. Durante o

processo de início do programa, o arquivo “MATLABrc” estabelece o tamanho padrão

de figuras, configurações, caminhos e parâmetros de controle do MATLAB. Neste

10

arquivo pode-se incluir mensagens para os usuários, lembretes, ajustar configurações,

etc.

Ao ser executado, o arquivo “MATLABrc” verifica se existe um arquivo

denominado “startup.m” no caminho padrão do MATLAB. Este arquivo “startup.m” pode

ser empregado pelo usuário para configurar um caminho de sua preferência e executar

comandos de sua escolha, sempre que o programa MATLAB for iniciado. Todos os

arquivos de comando do MATLAB (arquivos que contém comandos) têm extensão “m”.

Portanto, daqui por diante as referências aos arquivos do MATLAB serão feitas apenas

pelo nome, fica implícito que a extensão sempre será “m”.

Todos os arquivos de comando do MATLAB têm extensão “m”

Uma sessão do programa MATLAB pode ser terminada com o comando “quit”;

com as teclas de atalho ctrl+q; selecionando-se a opção “Exit MATLAB” (“Sair do

MATLAB”) no menu “File” (“Arquivo”); ou ainda, clicando-se no botão fechar na tela da

área de trabalho do MATLAB.

Botão fechar do MATLAB:

2.2 Pasta de Trabalho

Uma boa prática de utilização do MATLAB é manter todos os arquivos criados

pelo usuário em uma pasta (ou diretório) próprio do usuário. Caso esta prática não seja

adotada todos os arquivos criados serão armazenados no diretório “BIN” do diretório de

instalação do MATLAB. Com o passar do tempo, à medida em que aumentam os

arquivos criados pelos usuários, torna-se impossível identificar-se quais arquivos são

próprios do MATLAB, e quais arquivos são arquivos do usuário. Isto pode ser ainda

mais prejudicial no caso de utilização do MATLAB em ambientes de rede LAN. Nestes

casos, a desordem causada nos arquivos do diretório “BIN” pode requerer até mesmo

uma nova instalação do programa.

Recomenda-se que o usuário crie a sua própria pasta de trabalho, fora da pasta

de instalação do MATLAB (por exemplo, “c:\fulano\MATLAB\”). Ao iniciar o MATLAB, o

usuário poderá redefinir a sua pasta de trabalho com o comando “cd”.

11

cd

Propósito: muda o diretório de trabalho

Sintaxe: cd ou cd nome_do_diretorio

Descrição: cd isoladamente imprime o caminho do diretório de trabalho na tela;

cd diretório define a cadeia de caracteres (string) nome_do_diretorio como o

novo diretório de trabalho.

cd .. sobe um nível na hierarquia da cadeia de diretórios (pasta)

Exemplo: cd c:\usuario\marisa\matab.

Se o comando cd for parte integrante do arquivo “startup”, toda vez que o MATLAB for

iniciado o diretório de trabalho será redefinido conforme a preferência do usuário.

2.3 Tela da Linha de Comando do MATLAB

A tela da linha de comando do MATLAB (ou workspace) é a tela na qual o usuário

recebe o sinal de pronto (prompt) do sistema MATLAB, podendo executar comandos

MATLAB, escrevendo-os na linha de comando (ou command line).

Na tela da linha de comando, o usuário fornece dados aos comandos do

MATLAB, executa comandos, recebe os dados de saída do programa MATLAB,

controla o fluxo de dados, inicia o modo de edição de arquivos, executa comandos

gráficos, ou seja, interage com o programa MATLAB.

Ao criar funções, comandos e variáveis no programa MATLAB é importante estar

atento para o fato de que este programa é sensível a caracteres maiúsculos e

minúsculos, portanto a variável “xqualquer” é diferente da variável “Xqualquer” para o

MATLAB.

O programa MATLAB é sensível a caracteres maiúsculos e minúsculos

2.4 Criação de Arquivos no MATLAB

Existem basicamente duas formas de trabalhar no sistema MATLAB: 1)

executando-se comando na linha de comando; ou 2) criando-se um arquivo de

comandos do MATLAB.

12

Para trabalhar na linha de comando do MATLAB basta digitar qualquer comando

válido do MATLAB na linha de comando. Assim, é possível criar variáveis, executar

comandos, visualizar gráficos, etc.

Muitas vezes é necessário executar um número grande de comandos, e repeti-los

sistematicamente. Nestes casos, utilizam-se os arquivos de lote, ou arquivos de

comandos MATLAB. Conforme já citada anteriormente, a extensão de arquivos de

comando do MATLAB é “m”. O MATLAB busca primeiramente o arquivo de comandos

no seu diretório de trabalho (pasta) e posteriormente no seu caminho (path). Portanto,

é necessário que o arquivos MATLAB esteja no diretório de trabalho ou no caminho do

MATLAB.

Os arquivos de comando do MATLAB devem estar no diretório de

trabalho ou no caminho (path) para serem reconhecidos e executados

Os arquivos do MATLAB podem ser criados através de qualquer editor que salva

textos no formato ASCII (por exemplo bloco de notas, notepad, write, word, etc). Uma

vez editados os arquivos devem ser gravados com extensão “m” antes de serem

executados.

Os arquivos MATLAB podem ser abertos ou criados através da opção arquivo

(file), escolhendo-se a opção novo (new) ou abrir (open), conforme indicado na Fig. 2.2.

Fig. 2.2: Criação de arquivos de comandos no MATLAB.

13

O MATLAB já possui uma pré-definição de qual é o editor ASCII a ser utilizado

na edição do arquivo de comandos. Esta pré-definição pode se modificada pelo próprio

usuário do programa.

As versões mais recentes do MATLAB já possuem um editor ASCII próprio do

MATALAB, desenvolvido pela The MathWorks Inc.

Exercício sugerido: criar um arquivo de comando denominado “caminho.m” que

estabelece o diretório de trabalho do MATLAB.

2.5 Limitações do MATLAB

As principais limitações do programa MATLAB são: 1) a execução de algoritmos

em MATLAB é mais lenta que em linguagens de programação (C, Fortran, LISP, etc);

2) alguns procedimentos gráficos e de interação com o usuário são restritos aos

comandos do MATLAB; 3) não é possível gerar arquivos executáveis com o MATLAB,

ou seja, um arquivo MATLAB só poderá ser executado no ambiente MATALAB; e 4) o

MATLAB é limitado para processamento de expressões matemáticas analíticas.

Os principais concorrentes do MATLAB no mercado são o MATHEMATICA, o

MATCAD e o MAPLE. Alguns destes programas apresentam melhor capacidade de

processamento matemático analítico que o MATLAB, notadamente o MATCAD e o

MATHEMATICA.

um arquivo MATLAB só poderá ser executado no ambiente MATLAB

14

3 OPERADORES, CONSTANTES E CARACTERES ESPECIAIS

3.1 Operadores aritméticos

Operador +

Propósito: executar soma de matrizes ou escalares.

Sintaxe: v1+v2 ou plus(v1,v2).

Descrição: Invoca a função PLUS. Caso seja soma de matrizes, as dimensões

das matrizes devem ser iguais. Escalares podem ser somados com qualquer tipo

de variável.

Exemplos: a+b; plus(a,b); a+2.

Operador -

Propósito: executar subtração de matrizes ou escalares.

Sintaxe: v1-v2 ou minus(v1,v2).

Descrição: Invoca a função minus. Caso seja subtração de matrizes, as

dimensões das matrizes devem ser iguais. Escalares podem ser subtraídos de

qualquer tipo de variável.

Exemplos: a-b; minus(a,b); a-2.

Operador *

Propósito: executar soma de matrizes ou escalares.

Sintaxe: v1*v2 ou mtimes(v1,v2).

Descrição: Invoca a função mtimes. Caso seja multiplicação de matrizes, o

número de colunas da matriz v1 deve ser igual ao número de linhas da matriz

v2. Escalares podem multiplicar qualquer tipo de variável.

Exemplos: a*b (neste caso, o número de colunas de a é igual ao número de

linhas de b); mtimes(a,b); a*2.

Operador ^ (circunflexo)

Propósito: executar potenciação de matrizes quadradas com expoente escalar

ou de de escalares com matriz quadrada no expoente.

Sintaxe: v1^v2 ou mpower(v1,v2).

15

Descrição: Invoca a função mpower. Caso v1 seja matriz quadrada e v2 seja um

inteiro, é realizada a multiplicação sucessiva das matrizes. Caso v1 seja matriz e

v2 seja um real, ou ainda se v1 é um escalar e v2 uma matriz, é realizado o

cálculo através dos autovalores e dos autovetores da matriz. Se v1 e v2 forem

ambos matrizes, ou ainda se v1 ou v2 forem matrizes não quadradas, então

haverá erro.

Exemplos: a^b ou mpower(a,b) (neste caso, a é escalar e b é matriz quadrada;

ou a é matriz quadrada e b é escalar; ou a e b são escalares).

Operador /

Propósito: executar divisão de escalares ou a multiplicação de uma matriz

inversa por outra matriz (importante: na matemática não existe divisão de

matrizes). É a chamada divisão direita.

Sintaxe: v1/v2 ou mrdivide(v1,v2).

Descrição: Invoca a função mrdivide. Esta operação é equivalente a v1*v2-1

(sendo v2-1 a matriz inversa da matriz v2). Para que esta operação seja possível

é necessário que v2 seja inversível, ou seja, matriz não-singular (matriz

quadrada com determinante não-nulo).

Exemplos: a/b ou mrdivide(a,b).

Operador \

Propósito: executar divisão de escalares ou a multiplicação de uma matriz

inversa por outra matriz. É a chamada divisão esquerda.

Sintaxe: v1\v2 ou mldivide(v1,v2)

Descrição: Invoca a função mldivide. Esta operação é equivalente a v1-1* (sendo

v1-1 a matriz inversa da matriz v1). Para que esta operação seja possível é

necessário que v1 seja inversível, ou seja, matriz não-singular (matriz quadrada

com determinante não-nulo). Observe que na álgebra matricial a

multiplicação não é comutativa, ou seja a*b é diferente de b*a, portanto a/b

equivale a a*b-1, que por sua vez é diferente de b\a, equivalente a b-1*a.

O operador \ executa a fatoração QR da matriz A ao resolver o sistema bAx = ,

para A de ordem nm × , para m não necessariamente igual a n .

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Exemplos: a\b ou mldivide(a,b).

Na matemática não existe operação de divisão com matrizes. Os

operadores / e \ são apenas símbolos.

A multiplicação na álgebra matricial não é comutativa, ou seja, a*b é

diferente de b*a.

Operador ‘

Propósito: executar a transposição de matrizes ou a declaração de uma cadeia

de caracteres (string).

Sintaxe: v1’ ou v2=’bom dia’

Descrição: v1’ produz a matriz v1*T (matriz transposta conjugada da matriz v1,

troca de linhas por colunas dos conjugados dos números complexos da matriz

v1). v2=’bom dia’ cria uma variável do tipo string, onde cada caractere ocupa 2

bytes na memória.

Exemplos: a’*b ou salutation=’Hello!’.

Cada caractere ocupa 2 bytes de memória RAM nas variáveis tipo string.

Cada variável real (float) ou inteira ocupa 8 bytes de memória. Em uma

matriz de strings, a área de memória ocupada em bytes, 2 vezes, o

número de caracteres. Em uma matriz de reais ou inteiros, a área de

memória ocupada, em bytes, é 8 vezes o número de elementos da matriz.

3.2 Caracteres Especiais

caracter .

Propósito: executar operações elemento-a-elemento (operações algébricas

escalares (/,\,^,*,’), não-matriciais); indexar campos em estruturas; ou ponto

decimal.

Sintaxe: a.*a; a./b; c.\f; x.^2; x.^y para operações algébricas; ou est.campo

Descrição: a.*b multiplica o elemento a(i,j) pelo elemento b(i,j). a.’.

17

v1.opv2 executa a operação op de cada elemento de v1 com seu elemento

correspondente em v2. No caso de operação entre matrizes, as matrizes devem

possuir exatamente as mesmas dimensões. A operação com escalar pode ser

realizada com matriz de qualquer dimensão.

a.’ é a matriz transposta não conjugada da matriz a.

est.camp seleciona o campo ‘camp’ da estrutura ‘est’.

Exemplos: 2.^x é diferente de 2^x; x.*x é diferente de x*x. auto.peujeot seleciona

o campo peujeot da estrutura auto.

O caractere . produz a operação elemento-a-elemento entre matrizes

com exatamente a mesma dimensão ou entre escalares e matrizes.

caracter :

Propósito: Criar varredura limitada pelos números à direita e à esquerda de :.

Sintaxe: j:k; j:d:k.

Descrição: j:k é o mesmo que [j j+1 j+2 ... k], j:k é vazio se k<j. j:d:k é o mesmo

que [j j+d j+2*d ... k], j:d:k é vazio se k<j. d pode ser negativo, mas neste caso k

deve ser menor que j.

Exemplos: 1:10; 0:5:100; 100:-5:0.

caracter =

Propósito: executa atribuições

Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5];

caracter ,

Propósito: separar elementos em uma matriz; indexar matrizes; separar

argumento de uma função; separar comando em uma linha com vários

comandos.

Exemplos: 2*a(2,3); plot(x,y); x(i,j); mat=[a, b, c]; clear, disp(‘memória limpa’).

caracter ;

Propósito: usado em declaração de matrizes para separar linhas; ou usado para

omitir a apresentação do resultado de uma operação na tela.

Exemplos: x=[1 2 3; 9 8 7]; a=2+3;

18

caracter !

Propósito: invoca comando do sistema operacional.

Exemplos: ! mkdir novo.

caracter %

Propósito: torna o texto à direta de % um comentário.

Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5]; %cria matriz x.

caracteres ..

Propósito: representa o primeiro diretório na hierarquia de diretórios.

Exemplos: cd .. sobe um diretório na hierarquia.

caracteres ... (três ou mais pontos)

Propósito: representa continuação de linha.

Exemplos: a=2+...

3 é o mesmo que a=2+3.

caracteres ( )

Propósito: indicam precedência em operações matemáticas ou indexam

matrizes.

Exemplos: (a+b)^c, a soma é realizada antes da potenciação; x(3) é o terceiro

elemento do vetor x; x([1 2 3]) são os três primeiros elementos do vetor x.

caracter { }

Propósito: são utilizadas para formar estruturas (conjunto de células), onde cada

célula pode ser outra estrutura, uma matriz ou uma string. Funciona como os [ ],

porém seus elementos podem ser outras matrizes.

Podem também ser utilizadas para indexar estruturas e dar acesso aos seus

campos.

Exemplo: l={‘isto’ ‘é’ ‘uma’ ‘matriz linha:’ [1 2 24]}, l é uma estrutura com 5

campos.

3.3 Operadores Lógicos

caracteres & | ~

19

Propósito: realizam as operações lógicas e, ou e negação com os operadores &,

| e ~, respectivamente.

Sintaxe: a&b; A|c; ~d; os operandos a,b,c,d,A podem ser números reais (float),

complexos (utiliza o módulo) ou strings (utiliza o valor da tabela ASCII). No

MATLAB, 0 é considerado falso, e qualquer outro valor não-nulo é verdadeiro. O

resultado destas operações será verdadeiro (1) ou falso (0).

Exemplos: 5&-3 resulta em 1; ~10 resulta em 0; ‘alfa’|0 resulta em [1 1 1 1].

3.4 Operadores relacionais

caracteres < <= > >= == ~=

Propósito: realizam as operações de comparação de valores lógicos do tipo

menor, menor igual, maior, maior igual, igual e diferente com os operadores < <=

> >= == ~=, respectivamente. O resultado é um valor lógico verdadeiro (1) ou

falso (0).

Sintaxe: v1opv2 testa o valor lógico v1 em relação ao valor lógico v2, com a

operação relacional op.

Exemplos: 3<4 resulta em 1; 3==4 resulta em 0; a>=b verifica se a é maior ou

igual a b, resultando verdadeiro (1) ou falso (0).

3.5 Constantes ou Variáveis

Alguns caracteres são constantes definidos pelo MATALAB. Estes valores

podem ser alterados temporariamente através de atribuição.

Constante pi

Definição: é a constante π (3,1416...)

Constantes i e j

Propósito: caracteres reservados com a unidade imaginária 1− .

Sintaxe: número seguido de i ou j, ou multiplicado por i ou j.

Exemplos: 5+3i ou 5+3*i; 5+3j ou 5+ 3*j.

ans

20

Definição: é uma variável cujo valor é o resultado da última operação aritmética

realizada pelo MATLAB. Operações de atribuição não são armazenadas em ans.

Abreviatura para answer.

3.5.1 Inf

Definição: é o resultado de uma operação aritmética cujo valor ultrapassa a

maior capacidade de representação do MATALAB. Por exemplo, divisão por

zero, ou 1.7977e+308^ 1.7977e+308. Abreviatura para infinite.

3.5.2 NaN

Definição: é o resultado de uma operação aritmética indeterminada. Por

exemplo, 0/0 Abreviatura para Not a Number.

3.5.3 ieee

Definição: verifica se o computador em que o MATLAB está sendo executado

possui aritmética padrão IEEE. Os computadores IBM-PC e compatíveis,

Macintosh, estações UNIX e Linux possuem aritmética padrão IEEE. Os

computadores VAX e Cray normalmente não utilizam aritmética IEEE. A função

retorna 1 se o computador tem aritmética IEEE; caso contrário, retorna 0.

Examine também: eps; isnan; isinf; isfinite; flops.

3.6 Recursos de Apoio da Tela de Comando do MATLAB

A tela de comando do programa MATLAB apresenta uma série de recursos que

podem auxiliar o usuário. Entre estes recursos destacam-se:

3.6.1 Menu File

21

Neste Menu é possível abrir um arquivo MATLAB já existente (open); iniciar um

novo arquivo com extensão m (new), através do editor ASCII do MATLAB; executar um

arquivo com comandos MATLAB (run script); imprimir arquivos e seleções (print e print

selection); carregar variáveis de um arquivo (load workspace); salvar variáveis do

workspace (área de trabalho) em um arquivo; monitorar a memória da área de trabalho

(show workspace); redefinir o caminho de diretórios do MATLAB (set path); alterar as

configurações da área de trabalho, tais como cor de fundo, formato de variáveis, etc

(preferences).

3.6.2 Menu Edit

Aqui é possível cortar (cut), copiar (copy), colar (pate), limpar a tela da sessão

de trabalho (clear session).

Botões de Auxílio:

1o botão da figura: Voltar - cancela a última alteração;

2o botão da figura: Workspace browser - monitora as variáveis e a memória da área de

trabalho;

3o botão da figura: Path browser - monitora e redefine os diretórios do caminho do

MATLAB;

4o botão da figura: SIMULINK - invoca o programa SIMULINK;

5o Ajuda em tempo real - fornece auxílio para todos os comandos do MATLAB (invoca

a função helpwin).

A ordem destes botões pode ser alterada pelo usuário do MATLAB.

22

4 COMANDOS DE PROPÓSITO GERAL

4.1 Comandos de Informação

help

Propósito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto é apresentado na tela da linha

de comando.

Sintaxe: help nome-da-função.

Descrição: fornece informações sobre a função especificada pelo nome-da-

função.

Exemplo: help plot.

helpwin

Propósito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto é apresentado em uma janela

de navegação separada.

Sintaxe: helpwin.

Descrição: é aberta um janela com opções para escolha do nome e categoria da

função.

ver

Propósito: informa as versões do MATLAB, SIMULINK e toolboxes.

Sintaxe: ver

version

Propósito: informa as versões do MATLAB

Sintaxe: version

demo

Propósito: executa programas de demonstração desenvolvidos em ambiente

MATLAB.

Sintaxe: demo.

whatsnew

Propósito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto é apresentado em uma janela

de navegação separada.

23

Sintaxe: whatsnew tipo-de-função.

Descrição: apresenta as atualizações dos comandos tipo-de-função na tela da

linha de comando.

Exemplo: whatsnew MATLAB; whatsnew general.

bench

Propósito: executa um conjunto de funções MATLAB com a finalidade de avaliar

o desempenho do processador atual utilizado em relação a outros

processadores.

Sintaxe: bench.

4.2 Comandos de Operação com a Memória da Área de Trabalho (workspace)

who

Propósito: lista as variáveis atuais.

Sintaxe: who.

whos

Propósito: lista as variáveis atuais, suas dimensões e memória que cada uma

ocupa.

Sintaxe: whos.

clear

Propósito: limpa completamente a memória, função ou variável.

Sintaxe: clear; clear arg.

Descrição: clear limpa toda a memória da área de trabalho; clear arg exclui a

função ou variável arg da memória da área de trabalho.

Exemplo: clear; clear x1.

pack

Propósito: desfragmenta a memória da área de trabalho.

Descrição: pack reúne todas as variáveis em um segmento ou páginas

adjacentes na memória RAM com a finalidade de otimizar o uso da memória.

Sintaxe: pack.

24

save

Propósito: salva as variáveis da memória da área de trabalho em arquivo.

Sintaxe: save fname; save fname v1 v2 ... vn.

Descrição: save fname salva todas as variáveis da área de trabalho no arquivo

cujo nome e caminho são descritos em fname. save fname v1 v2 ... vn salva

apenas as variáveis v1, v2 e vn.

Exemplo: save a:\hoje; save c:\MATLAB\arq x y.

load

Propósito: carrega as variáveis de um arquivo para a memória da área de

trabalho.

Sintaxe: load fname; load fname v1 v2 ... vn.

Descrição: load fname carrega todas as variáveis do arquivo cujo nome e

caminho são descritos em fname para a memória da área de trabalho. laod

fname v1 v2 ... vn carrega apenas as variáveis v1, v2 e vn.

Exemplo: load a:\hoje; load c:\MATLAB\arq x y.

quit

Propósito: encerra a sessão de trabalho do MATLAB

Sintaxe: quit.

4.3 Comandos de Operação com Funções e Comandos

what

Propósito: lista os nomes de arquivos de funções e comandos de um grupo

específico do MATLAB.

Sintaxe: what nome; var=what(‘nome’).

Descrição: what nome lista todos os arquivos e funções do grupo descrito por

nome. var=what(‘nome’) cria uma estrutura cujos campos descrevem os diversos

arquivos relacionados com o grupo definido por nome.

Exemplo: what general; w=what(‘signal’).

type

Propósito: lista o conteúdo de um arquivo de comandos do MATLAB.

Sintaxe: type arq.

25

Exemplo: type multi.m; type c:\MATLAB\marisa\xtudo.m.

edit

Propósito: edita arquivo do MATLAB

Sintaxe: edit; edit arq.

Descrição: somente edit inicia a edição de um novo arquivo; edit arq abre a

edição de um arquivo arq já existente.

Exemplo: edit; edit figs.m.

lookfor

Propósito: busca a palavra-chave em todos os arquivos contidos no caminho do

MATLAB.

Sintaxe: lookfor palavra.

Descrição: procura, em todos os arquivos do caminho, a palavra-chave contida

na string palavra, e lista o nome dos arquivos nos quais existe a palavra-chave.

Exemplo: lookfor matrix.

Examine também os comandos: which; pcode; inmem; mex.

4.4 Comandos de Operação com o Caminho de Diretórios

path

Propósito: verifica ou define o caminho de diretórios.

Sintaxe: path; path=caminho; v=path.

Descrição: path lista na tela da linha de comando o caminho atual.

path=caminho define o caminho atual como sendo a string contida em caminho.

v=path carrega a string correspondente ao caminho atual em v.

Exemplo: path; path=’c:\usuario\MATLAB’; p1=path.

addpath

Propósito: adiciona diretórios ao caminho.

Sintaxe: addpath nome.

Descrição: adiciona o diretório descrito na string nome ao caminho atual.

Exemplo: addpath ‘c:\user\pink’.

26

rmpath

Propósito: remove diretórios do caminho.

Sintaxe: rmpath nome.

Descrição: remove o diretório descrito na string nome ao caminho atual.

Exemplo: rmpath ‘c:\user\pink’.

Examine também os comandos: editpath.

4.5 Comandos de Operação com a Janela de Comando

echo

Propósito: habilita ou inibe a apresentação dos resultados de comando de um

arquivo MATLAB na linha de comando.

Sintaxe: echo on; echo off.

Descrição: echo on habilita a apresentação e echo off desabilita.

more

Propósito: habilita ou inibe a paginação do texto na tela de comandos.

Sintaxe: more on; more off.

Descrição: echo on habilita a paginação e echo off desabilita.

diary

Propósito: salva todo o texto da sessão de trabalho em arquivo

Sintaxe: diary on; diary off; diary(nome).

Descrição: após diary on todo texto que aparece na janela de comando é

também enviado para um arquivo nomeado automaticamente pelo MATLAB.

diary off interrompe o salvamento em arquivo. diary(nome) salva o texto da

janela de comando no arquivo cujo nome é descrito pela string nome.

Exemplo: diary on; diary off; diary(‘31-8-00’).

format

Propósito: determina o formato no qual os dados serão expressos na janela de

comando.

Sintaxe: format opção.

27

Descrição: expressa os dados conforme opção. opção: 1) short ou em branco:

formato ponto decimal com 5 dígitos; 2) long: formato ponto decimal com 15

dígitos; 3) short e: formato ponto flutuante com 5 dígitos; 4) long: formato ponto

flutuante com 15 dígitos; 5) short g: o MATALAB seleciona entre o formato ponto

decimal com 5 dígitos ou ponto flutuante com 5 dígitos; 6) long g: o MATALAB

seleciona entre o formato ponto decimal com 15 dígitos ou ponto flutuante com

15 dígitos; 7) hex: hexadecimal; 8) +: apresenta o sinal + ou – para os valores; 9)

bank: formato bancário com $ e centavos; 10) rat: aproxima para a fração mais

próxima do valor a ser expresso.

4.6 Comandos de Operação com o Sistema Operacional

cd

Propósito: altera o diretório de trabalho atual.

Sintaxe: cd diretório.

Exemplo: cd c:\MATLAB\usuario.

pwd

Propósito: exibe o diretório de trabalho atual.

Sintaxe: pwd.

dir

Propósito: lista os arquivos do diretório atual.

Sintaxe: dir.

delete

Propósito: exclui arquivo do diretório.

Sintaxe: delete arq.

Exemplo: delete tarefa.m.

dos

Propósito: executa comando do MS-DOS.

Sintaxe: dos comando.

Exemplo: dos copy a:\antigo.m a:\novo.m.

28

computer

Propósito: definir o tipo de computador em uso.

Sintaxe: computer.

Descrição: retorna uma string com o tipo do computador em uso.

web

Propósito: abrir página na internet ou arquivo html com o browser padrão do

sistema.

Sintaxe: web arquivo; web endereço.

Exemplo: web c:\paginas\info.htm; web http://www.mathworks.com.

Examine também os comandos: getenv; unix; vms; realmax;

realmin; clock; cputime; date; etime; tic; toc.

29

5 COMANDOS BÁSICOS PARA MANIPULAÇÃO DE MATRIZES

zeros

Propósito: cria uma matriz esparsa (composta de zeros).

Sintaxe: zeros(n); zeros(n,m); zeros(size(a));

Descrição: zeros(n) cria uma matriz quadrada composta de zeros; zeros(n,m)

cria uma matriz n por m composta de zeros; zeros(size(a)) cria um matriz com as

mesmas dimensões da matriz a, composta de zeros.

Exemplo: zeros(4); zeros(2,3); zeros(size(a)).

ones

Propósito: cria uma matriz com elementos iguais a 1.

Sintaxe: ones(n); ones(n,m); ones(size(a));

Descrição: ones(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos iguais a 1;

zeros(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos iguais a 1;

zeros(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões da matriz a, composta

de elementos iguais a 1.

Exemplo: ones(4); ones(2,3); ones(size(a)).

eye

Propósito: cria uma matriz identidade ou matriz com diagonal 1.

Sintaxe: eye(n); eye(n,m); ones(size(a));

Descrição: eye(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos iguais a 1

na diagonal principal e demais elementos nulos; eye(n,m) cria uma matriz n por

m composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos

nulos; eye(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões da matriz a,

composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos

nulos.

Exemplo: eye(4); eye(2,3); eye(size(a)).

rand

Propósito: cria uma matriz com elementos gerados aleatoriamente.

Sintaxe: rand(n); rand(n,m); rand(size(a));

30

Descrição: rand(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos gerados

aleatoriamente; rand(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos

gerados aleatoriamente; rand(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões

da matriz a, composta de elementos gerados aleatoriamente.

Exemplo: rand(4); rand(2,3); rand(size(a)).

randn

Propósito: o mesmo de rand, porém neste caso a distribuição segue o padrão

normal, enquanto rand segue padrão uniforme.

diag

Propósito: extrai diagonais de matrizes e cria um vetor com estes elementos.

Sintaxe: diag(m,k); diag(m);

Descrição: diag(m) cria um vetor com a diagonal principal da matriz m. diag(m,k)

cria um vetor com a k-ésima diagonal acima (k>0) ou abaixo (k<0) da diagonal

principal. diag(m) equivale a diag(m,0).

Exemplo: diag(a); diag(a,1).

linspace

Propósito: cria um vetor com elementos linearmente espaçados.

Sintaxe: linspace(x1,x2);linspace(x1,x2,N).

Descrição: linspace(x1,x2) gera um vetor com 100 pontos igualmente espaçados

entre x1 e x2. linspace(x1,x2,N) gera um vetor com N pontos igualmente

espaçados entre x1 e x2.

Exemplo: linspace(5,25); linspace(10,1000,200).

logspace

Propósito: cria um vetor com elementos logaritmicamente espaçados.

Sintaxe: logspace(x1,x2); logspace(x1,x2,N).

Descrição: logspace(x1,x2) gera um vetor com 50 pontos logaritmicamente

espaçados entre 10x1 e 10x2. logspace(x1,x2,N) gera um vetor com N pontos

logaritmicamente espaçados entre 10x1 e 10x2.

Exemplo: logspace(-1,100); logspace(10,1000,200).

31

size

Propósito: retorna a dimensão de uma matriz ou estrutura.

Sintaxe: size(a).

Descrição: retorna um vetor com as dimensões da matriz ou estrutura a.

length

Propósito: retorna o comprimento de um vetor.

Sintaxe: size(a).

Descrição: retorna o comprimento do vetor a. Se a for matriz, size(a) retorna a

mair dimensão de a.

tril ou triu

Propósito: extrai a matriz triangular inferior (tril) ou a matriz triangular superior

(triu).

Sintaxe: tril(a) ou triu(a); tril(a,k) ou triu(a,k).

Descrição: extrai a matriz triangular superior (triu) ou inferior (tril) à diagonal

principal. Extrai a matriz triangular superior (triu) ou inferior (tril) à k-ésima linha

acima (k>0) ou abaixo (k<0) da diagonal principal. tril(a) equivale a tril(a,0), e

triu(a) equivale a triu(a,0).

Exemplos: triu(x); tril(x,2).

Examine também os comandos: meshgrid; :; ndims; reshape;

find; end; sub2ind; ind2sub; fliplr; flipup; flipdim; rot90.

32

6 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ELEMENTARES

abs

Propósito: extrai o módulo (valor absoluto) de um valor algébrico real ou

complexo.

Sintaxe: abs(arg).

acos

Propósito: determina o valor inverso (arco) do cosseno em radianos.

Sintaxe: acos(arg).

acosh

Propósito: determina o valor inverso (arco) do cosseno hiperbólico em radianos.

Sintaxe: acosh(arg).

angle

Propósito: determina o ângulo em radianos de um número complexo.

Sintaxe: angle(complexo).

asin

Propósito: determina o valor inverso (arco) do seno em radianos.

Sintaxe: asin(arg).

asinh

Propósito: determina o valor inverso (arco) do asinh hiperbólico em radianos.

Sintaxe: asinh(arg).

atan

Propósito: determina o valor inverso (arco) da tangente em radianos.

Sintaxe: atan(arg).

atanh

Propósito: determina o valor inverso (arco) da tangente hiperbólico em radianos.

Sintaxe: atanh(arg).

33

atan2

Propósito: determina o valor inverso (arco) da tangente em radianos do ângulo

de número complexo, nos quatro quadrantes.

Sintaxe: atan2(parte-imag,parte-real)

ceil

Propósito: arredonda para o primeiro inteiro algebricamente superior.

Sintaxe: ceil(arg).

fix

Propósito: arredonda para o inteiro mais próximo de zero.

Sintaxe: fix(arg).

round

Propósito: arredonda para o inteiro mais próximo (arredondamento matemático

convencional).

Sintaxe: round(arg).

sign

Propósito: retorna 1 se o argumento é positivo e 0 se o argumento é negado.

Sintaxe: sign(arg).

imag

Propósito: extrai a parte imaginária de um complexo.

Sintaxe: imag(complexo).

real

Propósito: extrai a parte real de um complexo.

Sintaxe: real(complexo).

conj

Propósito: extrai o conjugado de um complexo.

Sintaxe: conj(complexo).

cos

Propósito: calcula o cosseno de um arco em radianos.

34

Sintaxe: cos(arco).

sin

Propósito: calcula o seno de um arco em radianos.

Sintaxe: sin(arco).

tan

Propósito: calcula a tangente de um arco em radianos.

Sintaxe: tan(arco).

cosh

Propósito: calcula o cosseno hiperbólico de um arco em radianos.

Sintaxe: cosh(arco).

sinh

Propósito: calcula o seno hiperbólico de um arco em radianos.

Sintaxe: sinh(arco).

tanh

Propósito: calcula a tangente hiperbólica de um arco em radianos.

Sintaxe: tanh(arco).

exp

Propósito: calcula o valor de earg.

Sintaxe: exp(arg).

pow2

Propósito: calcula o valor de 2arg.

Sintaxe: pow2(arg).

sqrt

Propósito: calcula o valor da raiz quadrada de arg.

Sintaxe: sqrt(arg).

log

Propósito: calcula o valor do logaritmo na base natural e (ln).

Sintaxe: log(arg).

35

log10

Propósito: calcula o valor do logaritmo na base 10.

Sintaxe: log10(arg).

log2

Propósito: calcula o valor do logaritmo na base 2.

Sintaxe: log2(arg).

rem

Propósito: retorna o resto inteiro de uma divisão de x por y.

Sintaxe: rem(x,y).

Examine também os comandos: sec; sech; asec; asech; csc; csch; acsc;

acsch; cot; coth; acot; acoth; nextpow2; unwrap; isreal; cplxpair; mod.

36

7 COMANDOS DE CONTROLE GRÁFICO

7.1 Gráficos Bidimensionais

plot

Propósito: imprime o vetor em gráfico bidimensional.

Sintaxe: plot(x,y,’cst’)

Descrição: imprime o vetor y na ordenada em relação ao vetor x na abcissa. x e

y devem obrigatoriamente ter as mesmas dimensões. A string ‘cst’ permite

selecionar a cor (c=ymrcrgbwk), o tipo de símbolo (s=*.ox+sdv^<>ph), e o tipo de

linha(t=--:-.--).

Exemplo: plot(x,sin(x),’m*-.) plota seno de x em cor magenta, com símbolos *

para cada ponto e linha tracejada e pontilhada.

No comando plot os vetores de ordenada e abscissa devem ter as

mesmas dimensões.

subplot

Propósito: divide uma figura em vários gráficos.

Sintaxe: subplot(n,m,p)

Descrição: subplot(n,m,p) divide a figura em uma matriz nxm de gráficos e

seleciona o p-ésimo gráfico. p é contado da esquerda para a direita, continuando

na linha de baixo.

Exemplo: subplot(3,3,5) divide a figura em 9 gráficos, distribuídos em 3 linhas e

3 colunas, e seleciona o gráfico central.

O comando subplot apenas seleciona um dos gráficos da matriz nxm,

mas o comando plot é que executa a impressão.

loglog

Propósito: o mesmo que plot, porém agora as escalas de ordenadas e abscissas

são do tipo logarítmicas.

Sintaxe: loglog(x,y,’cst’)

37

semilogx

Propósito: o mesmo que plot, porém agora a escala da abscissa é do tipo

logarítmica.

Sintaxe: semilogx(x,y,’cst’)

semilogy

Propósito: o mesmo que plot, porém agora a escala da ordenada é do tipo

logarítmica.

Sintaxe: semilogy(x,y,’cst’)

polar

Propósito: desenha gráfico em formato polar.

Sintaxe: polar(ang,raio,’cst’)

Descrição: imprime cada elemento do vetor raio em relação ao elemento

correspondente do vetor ang (ângulo). A string ‘cst’ permite selecionar a cor

(c=ymrcrgbwk), o tipo de símbolo (s=*.ox+sdv^<>ph), e o tipo de linha(t=--:-.--).

Ex.: polar((linspace(0:2*pi),4*ones(1,100)) plota uma circunferência de raio 4.

axis

Propósito: controla a aparência das escalas da abscissa e da ordenada.

Sintaxe: axis([xmin xmax ymin ymax]).

Descrição: ajusta a escala da abscissa para valores entre xmin e xmax, e a

escala da ordenada para valores entre ymin e ymax.

Exemplo: axis ([-3 4 0 10]) desenha o gráfico com escalas de –3 a 4 para o eixo

da abscissa e 0 a 10 para o eixo da ordenada.

grid

Propósito: traça uma grade sobre o plot atual.

Sintaxe: grid.

hold

Propósito: retém o estado do plot atual de modo a permitir que o próximo gráfico

seja impresso sobre o atual. hold on liga o estado do comando e hold off desliga

o estado do comando.

Sintaxe: hold; hold on; hold off.

38

title

Propósito: Cria texto de título no plot atual.

Sintaxe: title(‘texto’).

xlabel

Propósito: Cria texto para o eixo da abcissa.

Sintaxe: xlabel(‘texto’).

ylabel

Propósito: Cria texto para o eixo da ordenada.

Sintaxe: ylabel(‘texto’).

gtext

Propósito: Cria texto para ser posicionado com o mouse.

Sintaxe: gtext(‘texto’).

Examine também os comandos: plotyy; axes; box; legend; text; print;

printopt; orient.

7.2 Gráficos Tridimensionais

As funções de manipulação e controle de gráficos em três eixos e funções

gráficas mais avançadas são dadas no quadro a seguir:

Examine os comandos: plot3d; fill3; contour; contour3; clabel; contourc;

pcolor; quiver; image; mesh; meshc; meshz; surf; surfc; surfl; waterfall;

slice; view; viewmtx; hidden; shading axis; caxis; colormap; title; xlabel;

ylabel; zlabel; text; gtext; grid; cylinder; sphere; figure; gcf; clf close; gca;

caxis; hold; line; patch; text; surface; image; uicontrol; uimenu; set; ger;

reset; delete; drawnow; print; printop; moviein; getframe; movie; ginput;

ishold.

39

8 OUTROS COMANDOS

8.1 Funções Lógicas

exist

Propósito: verifica se uma variável ou função existe no caminho do MATLAB.

Sintaxe: exist(arg).

Descrição: exist(arg) retorna 1 se existir a variável ou função arg; caso contrário

retorna 0.

Exemplo: exist(var1).

any

Propósito: verifica se um vetor possui um elemento diferente de zero.

Sintaxe: any(vet).

Descrição: any(vet) retorna 1 se existir um único elemento diferente de zero no

vetor vet; caso contrário retorna 0.

Exemplo: any(nomes).

all

Propósito: verifica se um vetor possui todos elementos diferentes de zero.

Sintaxe: all(vet).

Descrição: all(vet) retorna 1 se todos os elementos de vet forem diferentes de

zero; caso contrário retorna 0.

Exemplo: all(nomes).

find

Propósito: encontra os índices dos elementos não-nulos de uma matriz.

Sintaxe: find(mat).

Exemplo: find(rand(3)).

isnan

Propósito: verifica se há elementos do tipo NaN em uma matriz.

Sintaxe: isnan(mat).

40

Descrição: isnan(vet) retorna uma matriz onde os elementos são 1 na posição

onda há um elemento NaN na matriz original e 0 nas demais posições.

Exemplo: isnan(mat).

isinf

Propósito: verifica se há elementos do tipo inf em uma matriz.

Sintaxe: isinf(mat).

Descrição: isinf(mat) retorna uma matriz onde os elementos são 1 na posição

onda há um elemento inf na matriz original e 0 nas demais posições.

Exemplo: isinf(mat).

finite

Propósito: verifica se há elementos finitos em uma matriz

Sintaxe: finite(mat).

Descrição: finite(mat) retorna uma matriz onde os elementos são 1 na posição

onda há um elemento diferente de NaN ou de Inf na matriz original e 0 nas

demais posições.

Exemplo: finite(mat).

ischar

Propósito: verifica se o argumento é uma cadeia de caracteres (string).

Sintaxe: ischar(arg).

Descrição: ischar(arg) retorna 1 se arg for uma cadeia de caracteres; caso

contrário retorna 0.

Exemplo: ischar(‘nome’) retornará 1.

Examine também os comandos: isieee; isempty; issparse.

8.2 Funções de Controle de Fluxo de Programação

if, else, elseif e end

Propósito: testar condição e determinar sentenças a serem executadas.

Sintaxe:

41

IF exp1

stat1

ELSEIF exp2

stat2

ELSE

stat3

END

Descrição: testa exp1. Se exp1 for verdadeira executa as sentenças em stat1 e

vai para end; caso contrário, testa exp2. Se exp2 for verdadeira executa as

sentenças em stat2 e vai para end; caso contrário executa stat3.

Exemplo:

if I == J

A(I,J) = 2;

elseif abs(I-J) == 1

A(I,J) = -1;

else

A(I,J) = 0;

end

for, end

Propósito: cria, incrementa e testa índice de controle para execução de

sentenças.

Sintaxe: FOR var = expr, stat1, stat2,..., statn END

Descrição: enquanto a variável var for inferior ao limite estabelecido, as

sentenças stat1, stat2 até statn serão executadas.

Exemplo:

FOR I = 1:N,

FOR J = 1:N,

A(I,J) = 1/(I+J-1);

END

END

while, end

Propósito: testa a expressão de controle para execução de outras sentenças.

42

Sintaxe:

WHILE exp

stats

END

Descrição: enquanto a expressão exp for verdadeira, as sentenças stats serão

executadas.

Exemplo:

E = 0*A; F = E + eye(size(E)); N = 1;

while norm(E+F-E,1) > 0,

E = E + F;

F = A*F/N;

N = N + 1;

end

swtch, end

Propósito: testa expressão de controle e seleciona um caso para executar.

Sintaxe:

SWITCH switch_expr

CASE case_expr,

stat1, ..., stat1n

CASE {case_expr1, case_expr2, case_expr3,...}

stat2, ..., stat2n

...

OTHERWISE,

stat3, ..., stat3n

END

Descrição: Se switch_expr for igual a case_expr, então as sentenças stat1 até

stat1n serão executadas, e terminado o comando. Se switch_expr for igual a

case_expr1 ou case_expr2 ou case_expr3 ..., então as sentenças stat2 até

stat2n serão executadas, e terminado o comando. Se switch_expr for diferente

de todos as case_expr’s anteriores, então as sentenças stat3 até stat3n serão

executadas, e terminado o comando.

43

Exemplo:

switch lower(METHOD)

case {'linear','bilinear'}, disp('Method is linear')

case 'cubic', disp('Method is cubic')

case 'nearest', disp('Method is nearest')

otherwise, disp('Unknown method.')

end

break

Propósito: encerra a execução de comandos for ou while quando são

encontrados.

Sintaxe: break.

input

Propósito: exibe mensagem na tela e dá ao usuário um prompt para entrada de

dados.

Sintaxe: input(‘texto’); input(‘texto’,’s’).

Descrição: input(‘texto’) exibe o texto na tela da linha de comando e retorna o

valor digitado até que seja pressionado enter. input(‘texto’,’s’) é utilizado para

entrada de strings.

Exemplo: id=input(‘Digite sua idade’) guarda o número digitado em id;

nom=input(‘Digite o seu nome’, ‘s’) guarda a string digitada em nom.

disp

Propósito: exibe texto na tela de comando.

Sintaxe: disp(‘texto’).

keyboard

Propósito: invoca o teclado a partir de um arquivo MATLAB.

Sintaxe: keyboard.

pause

Propósito: gera pause na execução de um arquivo MATALB.

Sintaxe: pause; pause(n); pause on; pause off.

44

Descrição: pause interrompe a execução até que o usuário aperte alguma tecla.

Pause(n) interrompe a execução por n segundos. Pause on (off) liga (desliga) o

modo de pausa dos comandos subseqüentes.

Exemplo: pause; pause(5); pause on; pause off.

Examine também os comandos: return, eval; feval; evalin; builtin;

assignin; run; script functio; global; mfilename; lists exist; isglobal;

nargchk; nargin; nargout; varargin; varargout; inputname; error;

warning; lasterr; errortrap; fprintf; sprintf; uimenu; uicontrol; dbstop.

8.3 Funções de Controle de Baixo Nível

fopen

Propósito: abrir arquivo para leitura e/ou escrita.

Sintaxe: fopen(‘nome-do-arq’,’permissão’)

Descrição: abre arquivo com o nome especificado para as operações descritas

em permissão.

Exemplo: fopen(‘novo.m’,’r’) abre o arquivo novo.m para leitura.

fclose

Propósito: fechar arquivo.

Sintaxe: fopen(‘nome-do-arq’).

fopen

Propósito: abrir arquivo para leitura e/ou escrita.

Sintaxe: fopen(‘nome-do-arq’,’permissão’)

Descrição: abre arquivo com o nome especificado para as operações descritas

em permissão.

Exemplo: fopen(‘novo.m’,’r’) abre o arquivo novo.m para leitura.

Examine também os comandos: fread; fwrite; fscanf; fprintf; fgetl;

fgets; ferror; fseek; ftell; sprintf; sscanf.

45

8.4 Funções Especializadas: Matemáticas, Matriciais, Álgebra Linear

São funções de cálculos algébricos com matrizes e cálculos de álgebra linear.

Examine os comandos: cond; norm; rcond; rand; det; trace; null; orth; rref;

chol; lu; qr; nnls; pinv; lscov; poly; hess; qz; rsf2csf; cdf2rddf; schur;

balance; svd; expm; expm1; expm2; expm3; logm; log2m; sqrtm; funm;

speye; sprandn; sprandsym; spdiags; sparse; full; spconvert; nnz;

nonzeros; nzmax; spones; spalloc; issparse; spfun; spy; gplot; colmmd;

symmmd; symrcm; colperm; tandperm; dmperm; normest; condest;

sprank; symbfact; spparms; spaugment.; compan; hadamard; hankel; hilb;

invhilb; pascal; rosser; toeplitz; vander; wilkinson.

8.5 Funções de Integração, Interpolação e Tratamento de Dados

São funções úteis para solução de equações diferenciais; interpolação de curvas

e tratamento de pontos.

Examine os comandos: roots; poly; polyval; polyvalm; residue; polyfit;

polyfit; polyder; conv; deconv; interp1; intep2; interpft; griddata; ode23;

ode45; quad; quad8; fmin; fmins; fzero; fplot.

8.6 Funções de Controle de Cores, Imagens e Caracteres

São funções úteis para o controle de cores, manipulação de imagens, animação e

controle de gráficos.

Examine os comandos: colormap; caxis; shading; hsv; gray; hot; cool;

bone; copper; pink; flag; hsv2rgb; rgb2hsv; brighten; spinmap; rgbplot;

surfl; pecular; diffuse; surfnorm; sound; saxis; auwrite; auread; mu2lin;

lin2mu; string; abs; setstr; str2mat; strcomp; upper; lower; num2str;

int2str; str2num; sprintf; sscanf; hex2num; hex2dec; dec2hex.

46

9 PROGRAMANDO EM ARQUIVOS .m

Podemos elaborar programas utilizando instruções assemelhadas aos

comandos das linguagens procedurais, lançando dos arquivos .m do MATLAB.

Para isto basta criar um arquivo com extensão .m no diretório /work ou /temp

do seu computador.

9.1 Exemplos de Aplicação de Programa '.m'

Exemplo 9.1: Programa raizes.m, que calcula as raízes de uma equação do 2º

grau.

% Objetivo: Calcular raizes de uma equação do 2o.grau

% Prof. Baleeiro

disp(' ==== Entre com a, b e c ==== '); a = input(' Coeficiente de x^2 '); b = input(' Coeficiente de x '); c = input(' Termo independente de x '); if a == 0. disp(' ==== A equacao nao e do segundo grau ==== '); a = input(' Coeficiente de x^2 - a <> 0 '); end delta = b^2-4.*a*c; delta if delta == 0. ch = 0; end if delta < 0. ch = -1; end if delta > 0. ch = 1; end x(1) = (-b + sqrt(delta))/(2.*a); x(2) = (-b - sqrt(delta))/(2.*a); x switch ch case 0, disp(' Raizes reais e iguais.') case -1, disp(' Raizes complexas conjugadas.') otherwise,disp(' Raizes reais e desiguais.') end % Fim

47

Para executar este programa é preciso apenas digitar no ambiente do MATLAB

(isto é, no prompt) o nome do programa sem a extensão: >>raizes < ENTER >

As raízes de qualquer polinômio podem ser encontradas de maneira mais direta

no ambiente de trabalho do MATLAB. O comando utilizado é denominado "roots", que

tem o formato a seguir:

>>roots([A B C]) < ENTER >

Onde A é coeficiente do termo x^2, B é o coeficiente do termo x e C é o termo

independente.

Por exemplo, as raízes da equação do 2o x^2 - 5x + 6 = 0 são:

Um outro exemplo de cálculo da raízes de um polinômio:

Ou seja, as raízes do polinômio x^3-6x^2+11x-6 = 0 são: 1, 2 e 3.

Obs.: O comando poly faz a operação inversa do comando roots, ou seja,

tendo-se as raízes, obtém-se o polinômio correspondente. Assim,

» poly([1 2 3])

ans = 1 -6 11 -6  (polinômio x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0)

» roots([1 -6 11 -6]) ans = 3.0000 2.0000 1.0000

» roots([1 -5 6])

ans = 3 2

48

Exemplo 9.2: Um outro exemplo de implementação de um código .m no MATLAB é

mostrado a seguir em que a solução de um sistema algébrico linear é obtida pela

aplicação do método iterativo de Jacobi. Denominaremos este programa de jacobi.m.

% Metodo de Jacobi para solucionar Ax = b

% Prof. Baleeiro

A = [6 -1 0;-1 4 1;0 1 6]

b = [-1; 1 ; 2]

[n,n] = size(A);

x = zeros(n,1);

r = zeros(n,1); % vetor de residuos

tol = 1e-2;

% Matriz de iteracao:

D = diag(diag(A))

L = tril(A)-D;

U = triu(A)-D;

E = -inv(D)*(L + U);

F = inv(D)*b;

% Autovalores de E

eig(E)

k = 0;

maior = inf;

while maior > tol

x = E*x + F;

r = A*x-b;

maior = norm(r,inf) % norma infinita do vetor r

pause

k = k + 1;

end;

x

k

49

Para compreender o código mostrado anteriormente, segue uma breve

descrição do método iterativo de Jacobi para solução de bAx = . O método iterativo de

Jacobi quando aplicado para resolver um sistema de equações lineares algébricas

simultâneas, do tipo bAx = baseia-se numa partição da matriz dos coeficientes, da

seguinte forma DULA ++= , onde L e U são matrizes triangulares inferior e superior

obtidas de A , respectivamente, excluindo-se os elementos da diagonal, e D é a matriz

composta apenas dos elementos da diagonal da matriz A (observe que L , U e D não

são matrizes resultantes da fatoração de A , trata-se apenas de uma partição).

Dessa forma, o sistema original pode ser reescrito como a seguir:

, )(

FExx

bxULDx

bAx

+= ++−=

=

de modo que,

bDFULDE 11 ),( −− =+−= .

Designando E com a matriz de iteração, )(1 ULDE +−= − , dado )0(x e uma

tolerância tol , o processo iterativo consiste em construir aproximações do vetor

solução x do sistema algébrico, conforme a equação de iteração mostrada a seguir:

FExx kk +=+ )()1( , para ,3,2,1,0=k .

O processo iterativo deve continuar enquanto o critério de convergência não for

alcançado. Uma forma que pode ser adequada para verificar a convergência é calcular

a norma-infinita do vetor de resíduos, bAxr kk −= ++ )1()1( , isto é, se tolr k ≤ ∞

+ )1( ,

então a )(kx é a uma aproximação aceitável para solucionar bAx = . Uma condição

para convergência do método de Jacobi é que o maior módulo dos autovalores da

matriz E seja inferior a 1.

Os passos do algoritmo do método de Jacobi para solução de sistemas bAx =

são apresentados a seguir:

50

» A = [-1, 2, 0; 1/2, 9, 3; 2, 4, 5] A = -1.0000 2.0000 0 0.5000 9.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 » b = [3; -2; 7] b = 3 -2 7 » x = A\b x = -6.1923 -1.5962 5.1538

Dados A , b , tol e )0(x

Calcule ←D diag(diag(A)), ←L , tril(A) –D, ←U triu(A)D

)(1 ULDE +−= −

bDF 1−=

Verifique se 1|)(| <imáximo λ (use o comando eig(E))

Faça 0←k , maior ← ∞

Enquanto maior > tol faça

FExx kk +←+ )()1( , maior |)(| )1( bAxmáximo k −← + , 1+← kk

Fim ‘enquanto’

Saída x e k

Exemplo 9.3: Solução de sistema de equações algébricas lineares

  





  





−=   





  





  





  



−

7 2

3

542 39 021

3

2

1

2 1

x

x

x

A solução do exemplo 9.3 é facilmente obtida informando ao MATLAB, no

próprio prompt, a matriz A e o vetor independente b . A solução x procurada para o

sistema é obtida com o comando x = A\b, como a seguir.

51

10 MATEMÁTICA SIMBÓLICA

Exemplo 10.1: Solução de integral definida

dx

x + 1

0 12 1

O exemplo 10.1, para ser resolvido, requer que seja informado ao MATLAB que

há uma variável x , que deve ser tratada como um dado simbólico. Isto é feito através

do comando:

Os comandos seguintes mostram a finalização da solução do exemplo 10.1:

Realmente, o valor resultante da integração da função 1

1 )(

2 + =

x xf entre 0 e 1

é de fato 4 π

.

Exemplo 10.2: Sistema massa-mola. Este sistema será, também, analisado usando

o Simulink, na seção 11 deste texto.

Fig. 10.1: Sistema massa-mola.

» syms x

» int(1/(x^2 + 1),0,1) ans = 1/4*pi

x

m

F m

0

52

As equações do sistema massa-mola são dadas na seção 11 e, assim, passa-se

diretamente ao programa .m desenvolvido e os resultados mais importantes.

Selecionou-se para este exemplo os gráficos de energia versus deslocamento e

velocidade versus deslocamento, que serão comparados com os resultados

equivalentes, quando da utilização do Simulink. Observar que, no presente resultado, a

velocidade mostrada é apenas no sentido do deslocamento negativo para o positivo. A

velocidade no sentido inverso (que é mostrada no modelo do Simulink) é negativa.

% Sistema massa-mola % Prof. José Wilson k =input('constante de elasticidade da mola (N/m)Ex.:700= '); xmax=input('deslocamento máximo da mola xmax (cm);Ex.: 20= '); m =input('massa do bloco ligado à mola (g); Ex.:500= '); xmax = xmax/100; m = m/1000; x = [-xmax:0.001:xmax]; Etotal = (1/2)*k*(xmax^2); % Energia total F = -k*x; % Força na mola Ep = (1/2)*k*(x.^2); % Energia potencial Ec = Etotal - Ep; % Energia cinética - Conservação de energia v = sqrt(2*Ec./m); % Velocidade da massa-Conservação de energia vmax = sqrt(2*Etotal/m); % Velocidade máxima figure(1) plot(x*100,Ep,'r') hold on plot(x*100,Ec,'k') plot(x*100,Etotal,'m') axis([-xmax*100 xmax*100 0 Etotal]) xlabel('deslocamento (cm)') ylabel('energia cinética, potencial e total (J)') grid on hold off figure(2) plot(x*100,v) axis([-xmax*100 xmax*100 0 vmax]) xlabel('deslocamento (cm)') ylabel('velocidade da massa (m/s)') grid on

53

Fig. 10.2: Energia Cinética, Potencial e Total versus Deslocamento

Fig. 10.3: Velocidade versus Deslocamento

Exemplo 10.3: Lançamento de projétil. Neste exemplo entra-se com os dados de

altura inicial, velocidade inicial, posição horizontal inicial e ângulo de lançamento. O

programa calcula o tempo transcorrido até o projétil atingir o solo, a velocidade no

momento em que toca o solo e a altura máxima atingida.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0

2

4

6

8

10

12

14

deslocamento (cm)

en er

gi a

ci né

tic a,

p ot

en ci

al e

to ta

l ( J)

Energia Potencial

Energia Cinética

Energia Total

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0

1

2

3

4

5

6

7

deslocamento (cm)

ve lo

ci da

de d

a m

as sa

(m /s

)

54

Fig. 10.4: Lançamento de projétil

VO VOY

VOX

h

d dO

hO

% Lançamento de projétil % Prof. José Wilson ho = input('Altura inicial ho (m) Ex.: 40 = '); vo = input('velocidade inicial vo (m/s) Ex.: 25 = '); alfa = input('ângulo de lançamento alfa (grau) Ex.: 45 = '); do = input('posição inicial do projétil (m) Ex.: 0 = '); alfa = alfa*pi/180; vxo = vo*cos(alfa); vyo = vo*sin(alfa); g = -9.8; % Aceleração da gravidade h = [0.5*g vyo ho]; % Para cálculo do tempo máximo tlimites = roots(h); % Cálculo do tempo limite - tem 2 valores if tlimites(1) > 0 tmax = tlimites(1); else tmax = tlimites(2); end t = [0:0.01:tmax]; vx = vxo; vy = vyo + g*t; thmax = abs(vyo/g); % tempo para atingir altura maxima d = do + vxo*t; h = ho + vyo*t + 0.5*g.*t.^2;

55

Fig. 10.5: Altura do projétil versus alcance horizontal

A altura máxima, a distância máxima e o tempo decorrido até atingir o solo são: hmax = 55,9 m dmax = 91,6 m tmax = 5,18 s

hmax = ho + vyo*thmax + 0.5*g*thmax^2; % altura maxima vmax = vyo + g*tmax; % velocidade maxima dmax = do + vxo*tmax; % distancia maxima alcancada figure(1) plot(d,h) axis([0 dmax 0 hmax]) xlabel('distância horizontal (m)') ylabel('altura (m)') grid on figure(2) plot(t,h) axis([0 tmax 0 hmax]) xlabel('tempo (s)') ylabel('altura (m)') grid on figure(3) plot(t,d) axis([0 tmax 0 dmax]) xlabel('tempo (s)') ylabel('distância horizontal (m)') grid on

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0

10

20

30

40

50

distância horizontal (m)

al tu

ra (m

)

56

10.1 Uso da Matemática Simbólica

O MATLAB possui um Toolbox que permite ao usuário operar com matemática

simbólica. Sabemos que variáveis numéricas são usadas para armazenar valores

numéricos (e.g., x = 2) e vetores de caracteres são usados para armazenar textos (e.g.,

s = ‘Jonas’). O Toolbox de Matemática Simbólica usa objetos simbólicos para

representar variáveis e operações (e.g., x = sym( ‘x’ )). Neste tipo de aplicação não é

necessário que as variáveis tenham um valor numérico predefinido.

A matemática simbólica consiste da resolução de equações simbólicas (isto é,

na forma literal) e da execução de operações de cálculo diferencial/integral e álgebra

por meio da aplicação de regras conhecidas e identidades a determinados símbolos,

exatamente como você aprendeu a resolvê-las nos cursos de cálculo e álgebra.

Exemplo 10.4: Obter, de forma literal, a derivada em relação a x da função f(x)

dada a seguir:

bxaxxf += 2)(

É necessário, em primeiro lugar, informar ao MATLAB que x, a, b e f não são

objetos simbólicos, ou seja, não possuem valores numéricos. Então:

Em seguida, define-se a função e utiliza-se o comando diff para concluir a

operação simbólica de derivação.

» syms x a b f

» f = a*x^2 + b*x

f = a*x^2+b*x » diff(f,x)

ans = 2*a*x+b

57

Exemplo 10.5: Outro exemplo (mais complexo) do uso da matemática simbólica do

MATLAB. Cálculo da área interna de uma elipse dada no sistema de coordenadas xy

pela equação:

12

2

2

2 =+

b

y

a

x

Deseja-se obter uma fórmula para calcular sua área interna A dados a e b . A

integral mostrada a seguir é usada no cálculo dessa área.

dxxa a b

A a

 −= 0

224

A solução deste problema é conhecida dos estudantes que fizeram cursos de

cálculo diferencial e integral. O resultado é A=πab. Utilize a Toolbox de Matemática

Simbólica para comprovar este resultado. No caso, você deverá lançar mão do

comando int, que calcula integral de uma função dada em intervalo definido.

10.2 Gráficos em Duas Dimensões

Embora existam várias formas para se fazer gráficos, nesta seção vamos nos ater

apenas à exemplificação do emprego do comando plot. Esse comando já foi

utilizado em alguns exemplos anteriores.

Exemplo 10.6: Gráfico em duas dimensões

Esse exemplo cria 30 pontos no intervalo 22 ≤≤− x para formar o eixo

horizontal do gráfico e cria o vetor y contendo a exponencial 2xe− dos pontos em x. O

» x = linspace(-2,2,30); » y = exp(-x.^2); » plot(x,y)

58

comando plot abre uma janela gráfica, ajusta os eixos para acomodar os dados,

marca os pontos e conecta-os a linhas retas. O resultado é ilustrado na Fig. 10.6.

Fig. 10.6: Saída gráfica obtida com os comandos indicados anteriormente.

10.3 Gráficos em Três Dimensões

Para elaborar gráficos tridimensionais o MATLAB possui diversos comandos

poderosos. Sugerimos que você tente as seqüências de comandos propostas nos

exemplos que seguem.

Exemplo 10.7: Use do comando plot3 para desenhar uma hélice, de acordo com a

seqüência:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

» t = linspace(0, 10*pi); » plot3(sin(t),cos(t),t)

59

» x = -7.5:.5:7.5; » y = x; » [X,Y] = meshgrid(x,y); » R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps; » Z = sin(R)./R; » mesh(X,Y,Z)

Exemplo 10.8: Uso do comando mesh para gráficos tridimensionais. Use a

seqüência de comandos para desenhar uma superfície.

Fig. 10.7: Saída gráfica obtida com a seqüência de comandos do exercício 3.

60

11 SIMULINK

O SIMULINIK é um Programa de Simulação dinâmica de sistemas a partir de

seu modelo no espaço de estados, do seu modelo no domínio da freqüência ou do seu

modelo no domínio do tempo.

O simulink é iniciado digitando-se simulink na linha de comando do MATLAB,

ou ainda selecionando-se o botão de início do SIMULINK. Uma vez iniciado é

apresentada a tela da figura a seguir:

Fig. 11.1: Tela Inicial do Simulink

Fig. 11.2: Funções disponíveis para a classe linear do Simulink.

61

Os diversos blocos de simulação podem ser arrastados para o arquivo, com a

finalidade de montar o modelo para simulação. Cada classe de funções possui uma

janela própria (caixa), veja por exemplo os blocos disponíveis para as funções da

classe linear na figura anterior.

A seguir são dados alguns exemplos de emprego do Simulink em problemas de

Matemática, Física, Circuitos Elétricos, Controle de Processos e Outros.

Exemplo 11.1: Equação Diferencial de Primeira Ordem

Considere .,),( RR ∈∈= tutuu Seja a equação diferencial de primeira ordem

em )(tu , com valor inicial conhecido, .1)0( =u

02 =+ ut dt du

(11.1)

Analiticamente é fácil mostrar que uma solução dessa equação diferencial é:

22

)()0()( tt etueutu −− =∴= (11.2)

Vamos resolver a equação diferencial (11.1) utilizando o Simulink e, ao final,

obteremos a resposta na forma gráfica.

Solução:

PASSO 1: Inicialmente escreve-se a equação (11.1) de uma forma mais adequada

para diagrama de blocos. Transpondo os termos, chega-se à forma indicada

em (11.3):

−= dtutu 2 (11.3)

Ao fator –2 chamamos de ganho; o integrando é resultado de um produto de duas

funções, t e u . Portanto, a resposta u é a resultante da saída de um integrador

multiplicado pelo ganho –2.

62

PASSO 2: A partir da janela mostrada na Figura 11.1, selecionamos os blocos

necessários para expressar a relação (11.3).

Fig. 11.3: Diagrama de blocos para resolver o Exemplo 11.1

A condição inicial é informada ao bloco integrador. O eixo dos tempos é

representado pelos blocos ‘Clock’ e ‘To Workspace’. Em ambos os blocos ‘To

Workspace’ é preciso definir o número de pontos e o tamanho do passo numérico

(neste exemplo, tomamos 5000 e 0.01, respectivamente).

PASSO 3: Para executar o arquivo criado, definido pelo diagrama de blocos, nos ícones

da mesma janela, pressionamos Simulation e, em seguida, Start.

Fig. 11.4: Para executar o arquivo de blocos.

PASSO 4: Para visualizar o resultado, no prompt do MATLAB, digitamos o comando:

A saída gráfica da resposta ttu ×)( é como ilustra a Fig. 11.5.

» plot(t,u)

63

Fig. 11.5: Gráfico de ttu ×)( para 0≥t .

Finalizamos, desse modo, a solução da equação diferencial (11.1), que resultou

na representação gráfica da função 2te− para 0≥t .

Exemplo 11.2: Sistema Massa-Mola

Fig. 11.6: Representação do Sistema Massa-Mola

0 2 4 6 8 10 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

m

F m

0

64

Equações básicas da Física:

Aceleração: 2

2

dt

xd dt dv

a == ( 11.4 )

Velocidade: == adtdt dx

v ( 11.5 )

Deslocamento: = vdtx ( 11.6 )

Equações básicas do Sistema massa-mola:

Força: makxF =−= ∴ 2

2

dt

xd mkx = ∴ x

m k

dt

xd a −== 2

2 ( 11.7 )

Energia potencial: 2 2 1

kxE p = ( 11.8 )

Energia cinética : 2 2 1

mvEc = ( 11.9 )

Verifica-se das equações que a aceleração, no sistema massa-mola, é

diretamente proporcional ao deslocamento 'x'. O fator de proporcionalidade é a

constante '-k/m'. Essa é a informação inicial para começar o modelo dado na Fig. 11.7.

Fig. 11.7: Modelo do Simulink para o Sistema Massa-Mola

Para a simulação do sistema é necessário fornecer um valor inicial para um dos

dois blocos de integração. Essa informação será, no caso, o limite para a variável de

saída. Por exemplo, desejando-se limitar o deslocamento 'x' entre os valores -20 cm

(-0.2 m) e 20 cm, fixa-se em 0.2 o valor inicial da segunda integral. Uma outra

x v a

v

velocidade

t

tempo

x

posição

ac

aceleração

s

1

Integrator1 s

1

Integrator

k/2

m/2

-k/m

Ep

En. Potencial

Ec

En. Cinetica

Clock

65

informação fundamental é o valor da constante de proporcionalidade 'k' e o valor da

massa 'm'. Esses valores podem ser digitados diretamente no prompt (área de trabalho

do MATLAB), como mostrado a seguir:

As figuras que seguem são resultantes do modelo da Fig. 11.7.

Fig. 11.8: Energia cinética e potencial versus deslocamento

Fig. 11.9: Energia cinética e potencial versus velocidade

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0

5

10

15

posição (m)

E ne

rg ia

C in

ét ic

a e

P ot

en ci

al (J

)

Energia Cinética

Energia Potencial

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0

5

10

15

velocidade (m/s)

E ne

rg ia

C in

ét ic

a e

P ot

en ci

al (J

)

Energia Cinética

Energia Potencial

» k = 700;

» m = 0.5;

66

Fig. 11.10: Velocidade versus deslocamento

Exemplo 11.3: Circuito RC Série

Considere o circuito elétrico da Fig. 11.11, que possui um resistor e um capacitor

em série alimentados por uma fonte constante. O capacitor possui uma tensão inicial

Vv 10)0( = e deseja-se obter a resposta ttv ×)( para .0≥t

Fig. 11.11: Circuito elétrico RC série com uma fonte de tensão contínua.

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

ve lo

ci da

de (m

/s )

posição

67

Modelagem Matemática do Circuito

A modelagem matemática do circuito é obtida aplicando-se a 2a Lei de Kirchhoff

ao percurso fechado, e usando a forma genérica e , para expressar tensão:

0=−− vve R

Por outro lado, sabemos relacionar a tensão no resistor e a tensão no capacitor

com a corrente que os atravessam, )(ti :

)(tRivR =

dt dv

Cti =)( ∴ 0)( =−− vtRie ou 0=−− v dt dv

RCe

Assim, a equação diferencial geral fica:

e RC

v RCdt

dv 11 =+

Substituindo os valores de R = 1kΩ e C = 1mF e VEe 5== na equação

anteriormente mostrada, resulta na equação mostrada a seguir:

5=+ v dt dv

onde 10)0( =v . Solução do Circuito Utilizando o Simulink

Para utilizar o Simulink devemos expressar a equação diferencial da seguinte

maneira:

 −= dtveRC v )(

1

A expressão acima é conseguida facilmente apenas isolando o termo dt dv e

depois aplicando a integração (que é a operação inversa da derivação). Essa forma é

68

ideal para a simulação usando o Simulink. Constrói-se então o modelo mostrado na

Fig. 11.12.

Fig. 11.12: Diagrama de blocos do Simulink para o circuito elétrico da Fig. 11.11

Fig. 11.13: Saída gráfica ttv ×)( para 0≥t para o circuito elétrico da Fig. 11.11.

0 2 4 6 8 10 5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

69

12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Considere a seguinte equação diferencial: )(3232122

2 tuy

dt dy

dt

yd =++ . Obter a

solução y(t) supondo todas as condições iniciais iguais a zero, usando a transformada

Laplace.

A transformada Laplace é:

s sYssYsYs

32 )(32)(12)(2 =++

A solução para )(sY é:

ssssss sY

3212

32

)3212(

32 )(

232 ++ =

++ =

Resolver a equação diferencial utilizando a função residue do MATLAB.

Solução:

>> numy = 32

>> deny = [1 12 32 0]

>> [r p k] = residue(numy,deny)

O resultado obtido é o seguinte:

r =

1

-2

1

p =

-8

-4

0

k =

[]

que se traduz em:

70

)8( 1

)4( 21

)( +

+ +

−= sss

sY

)21()( 84 tt eety −− +−= .

02) O movimento da massa, designado por )(ty , é descrito pela equação diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )trtky dt

tdy b

dt

tyd M =++

2

2

onde:

M = massa em kg,

b = forca de atrito (amortecimento viscoso),

k = constante de mola de uma mola ideal,

r = força em Newton.

A resposta dinâmica livre, )(ty , do sistema

)21( 21

)0( )( θζωζω

ζ +−−

− = tnsen

tne y

ty

onde:

ζ = relação de amortecimento = kM

b

2

ωn = freqüência natural do sistema = M k

e ζθ 1cos−= .

Fazendo-se )0(y = 0.15 m, M = 1kg, k = 2, para 1=b , simule no MATLAB para obter o

gráfico referente a resposta natural do sistema e verifique que a resposta é

subamortecida.

Solução:

>> y0 = 0.15;

>> wn = sqrt(2);

>> quisi = 1/(2*sqrt(2*1));

>> c1 = (y0/sqrt(1-quisi^2));

>> teta = acos(quisi);

>> t=[0:0.1:10];

>> c2 = exp(-quisi*wn*t);

>> c3 = sin(wn*sqrt(1-quisi^2)*t+teta);

>> y=c1*c2.*c3;

>> plot(t,y)

71

O gráfico da resposta natural do sistema obtido com o MATLAB para os parâmetros

dados é mostrado na Fig. 12.1.

Fig. 12.1: Saída gráfica tty ×)( para 0≥t .

03) Dada a função de transferência, obtenha o que se pede:

a) calcular zeros e pólos;

b) exibir a função de transferência;

c) obter o mapa dos zeros e pólos.

20030

7010 )(

2 ++ += ss

s sG

Solução:

>> numg = [10 70];

>> zeros = roots(numg)

>> deng = [1 30 200]

>> polos = roots(deng)

>> tfout(numg,deng)

>> sys = zp(zeros,polos,1);

>> pzmap(sys)

72

04) Um sistema dinâmico linear é representado no espaço de estados pelas seguintes

equações matriciais:

DuCxy

BuAxx

+= +=

Obtenha a representação no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase das

seguintes funções de transferência usando a função tf2ss do MATLAB:

97

12 )(

21 ++ += ss

s sT

Solução:

>> num=[2 1]

>> den=[1 7 9]

>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

As matrizes resultantes são:

A =

-7 -9

1 0

B =

1

0

C =

2 1

D =

0

05) Sejam as seguintes funções de transferência nos blocos em cascata:

)14)(2)(5( )4)(2(

)( −++

−−= sss

ss sGR(s)

U(s) Y(s)

2500 1

)( s

s sH

+=

Use a função series do MATLAB para transformá-las em uma só.

73

Solução;

>> n1=[1 -2]

>> n2=[1 -4]

>> ng=conv(n1,n2)

>> d1=[1 5]

>> d2=[1 2]

>> d3=[1 -14]

>> dg=conv(d1,conv(d2,d3))

>> nh=[1 1]

>> dh=[500 0 0]

>> [n,d]=series(ng,dg,nh,dh)

A função de transferência resultante dos dois blocos em cascata é a seguinte:

2345

23

70000440003500500

825

ssss

sss

−−− ++−

.

06) Analise a seqüência de comandos do MATLAB apresentada a seguir.

a) extraindo e inserindo

A = [ 1 3 4; -1 3 0; 6 -1 2]

C = [1 + i, 1 - i; 2i, 1 – i]

b = [1; 3; -1]

A(:,2)

A(1,:)

A(2,3)

M = [A,b]

M(end)

transpose(C) % diferente de C' se C for complexa

C'

A(3:6)

A(:,2) = [0; 0; 0] % insere o vetor da direita no lugar da

coluna 2

74

b) criando matrizes

>> D = ones(3)

>> Z = eye(3)

>> R = rand(3)

c) operações sobre matrizes e sobre elementos de matrizes

>> trace(A) % soma algébrica dos elementos da diagonal de A

>> [m,n] = size(A)

>> [L,U,P] = lu(A) % obtem a fatoração PLU de A

>> chol(A) % somente para matriz definida positiva

d) decomposição espectral

Y = [4+i, -1+i, -3-2i;-1+i, 3-i, -2+i;-3-2i, -2+i, 5+i]

[P,D] = eig(Y)

W = P*D*P^-1

Y-W

Z = inv(Y)

disp(' o produto tem que resultar na matriz identidade');

Z*Y

H = P^-1;

B = (D^-1)*H;

U = P*B

Z-U

07) Obtenha uma raiz da função unidimensional 1)( +−= − xexf x com estimativa inicial

8.0)0( =x .

Solução:

75

>> fzero('exp(-x)-x+1',0.8) % obtem um zero da funcao

08) Dada a função de transferência

1 1

)( )(

)( +

== ssR

sC sT ,

determine a resposta do sistema ao degrau unitário, s

sR 1)( = .

Solução:

>> clf

>> numg = [0 1];

>> deng = [1 1];

>> G = tf(numg,deng)

>> step(G)

>> title(' Amplitude versus tempo ')

pause

A resposta é como mostrada na Fig.12.2.

Fig. 12.2: Saída gráfica )(tc com entrada )()( tutr = , para 0≥t .

76

09) Obtenha 5 termos do desenvolvimento em Série de Taylor da função xxf cos)( = .

Solução:

>> syms x

>> taylor(cos(x),5)

ans =

1-1/2*x^2+1/24*x^4

10) Ao final de sua seção de trabalho no prompt salve-a com o comando save em um

arquivo com extensão .mat.

Solução:

>> save hoje.mat

Dessa forma,o comando save salva o workspace em um arquivo .mat.

Em seguida, utilize o comando clear all para limpar o conteúdo da memória. Através

do comando load hoje.mat é possível carregar o conteúdo da memória permitindo a

retomada do trabalho que estava sendo realizado.

11) Elabore um programa em arquivo .m que utilize a function do MATLAB.

Solução:

function [f] = fun2(a,b,x) % em arquivo .m separado

global f;

f = (b/a)*sqrt(a^2 - x.^2);

return;

% o conteudo a seguir em arquivo .m separado

global f;

a = input(' Valor de a: ');

b = input(' Valor de b: ');

N = input(' No. de simulacoes: ');

k = 0;

77

for j = 1:N,

x = a*rand; y = b*rand;

fun2(a,b,x);

if y <= f

k = k + 1;

end;

end;

area = 4.*a*b*k/N % o valor exato e pi*a*b

78

13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Dada a matriz 33× , simétrica e definida positiva,   





  





− −

= 610 141 016

A , e dado o vetor

de termos independentes,   





  



− =

2 1 1

b ,

a) use o comando chol(A)e obtenha a fatoração Cholesky da matriz A ;

b) verifique que CCA T= usando o comando transpose;

c) a partir dos fatores Cholesky de A , calcule a solução Txxxx ][ 321= de bAx = .

02) Dada a matriz literal 33× ,   





  





− −−

+ =

da

adaa

ada

A

0

0 , e dado o vetor de termos

independentes, também literal,   





  



 + =

0 a

da

b , utilize os recursos da matemática simbólica

para obter a solução Txxxx ][ 321= .

Primeiro aplique a função inv(A) para obter x . Em seguida, empregue as funções

simplify e pretty para melhorar a visualização da resposta.

03) Dados   





  





− −= 321 112

231 A e

  





  





= 4 5 7

b , utilize o comando rref sobre a matriz

aumentada para obter forma escalonada reduzida e mostre que o sistema bAx = é

incompatível. Para maior clareza, sugere-se que, antes de empregar o comando rref,

declare os cálculos na forma de frações usando format rat.

04) Determine o zero da função transcendental xexf x −= −4)( utilizando a função

fzero com estimativa inicial 0.1. Confira no gráfico através de

79

>> ezplot('exp(-4*x)-x',0,1).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

exp(-4*x)-x

05) Dada a equação diferencial 0)(2 )(

3 )(2 =++ tx

dt tdx

dt txd

, com 1)0( =x e 0)0( = dt

dx .

Utilize o comando dsolve para obter a solução )(tx . Em seguida, visualize o gráfico

da resposta obtida, )(tx , no intervalo 20 ≤≤ t .

06) Dados os binômios 1+x , 2−x e 4+x . Multiplique-os usando conv. A partir do

polinômio que resultou da multiplicação calcule as raízes usando roots.

07) Desejamos calcular a solução analítica do seguinte sistema de equações

=+ +=+

=+

1 )(21

1

22

2

22

ba

baxy

yx

.

Para tal, utilize o comando solve:

>> [b,x,y]=solve('x^2+y^2=1','1 +

2*x*y=(a + b)^2','a^2 + b^2=1').

As soluções esperadas são: ax = , by = ou ax −= , by −= .

80

[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);

z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);

[px,py] = gradient(z,.2,.2);

contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off

08) Sabemos que a derivada primeira da função )()( xtgxf = é )(sec1 2 x dx df += , sendo

)cos( 1)sec( xx = . Verifique este fato usando o comando diff('sin(x)/cos(x)')

seguido logo após pelo comando simplify(ans).

09) Calcule a área sobe a curva da função 21

4 )(

x xf

+ = no intervalo 10 ≤≤ x . Use o

comando int com limites de integração definidos.

10) No Curso de Cálculo Diferencial e Integral, o professor ensina que a seguinte

integral indefinida

)( 22 a

xtgarc a b

dx xa

b = +



pode ser solucionada aplicando substituição trigonométrica. Comprove o resultado

mostrado anteriormente utilizando matemática simbólica e o comando int sem limites

de integração.

11) Utilize o comando pretty(diff(1/a*atan(x/a)*b,x)) e verifique que o

resultado do exercício 10 está correto.

12) Um importante conceito associado com a derivada de funções escalares

n dimensionais é o gradiente. Digite a seqüência de instruções no prompt do

MATLAB:

Para entender melhor o que foi calculado com as instruções anteriores utilize

surf(x,y,z).

81

14 BIBLIOGRAFIA

[1] HANSELMAN, Duane e LITTLEFIELD, Bruce. "MATLAB 5 – Versão do Estudante,

Guia do Usuário”, Makron Books, São Paulo, 1999. 413 p. ISBN: 85-346-1058-4.

[2] ALVES, Antônio César Baleeiro. Notas de Aulas do Curso de Circuitos Elétricos da

EEEC/UFG.

[3] RESNICK, Robert e HALLIDAY, David, "Física 1," 3a ed., Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1981, ISBN: 85-216-0076-3.

[4] CHAPMAN, S. J. “Programação em MATLAB para engenheiros”. Thomson Pioneira.

[5] MATSUMOTO, E. Y. "MATLAB 7”, Editora Érica.

[6] UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO (UERJ). “Curso de MATLAB

5.1: Introdução à solução de problemas de engenharia”. 2ª edição. 181p.

[7] VALLE, Walkíria Nascente. Notas de Aulas do Curso de Laboratório de Controle de

Processos do CMP/UCG.

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