Apostila preparacao miltitar
raphael_silva
raphael_silva16 de Outubro de 2015

Apostila preparacao miltitar

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apostila ensino fundamental 2 matematica
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SUMÁRIO

1. Razões e Proporcões......................................................................................................2 2. Grandezas Prorporcionais...............................................................................................4 3. Divisibilidade.................................................................................................................8 4. Regra de Três Simples..................................................................................................12 5. Regra de Três Composta...............................................................................................13 6. Porcentagem..................................................................................................................14 7. Matematica Financeira..................................................................................................17 8. Problemas de Racicionio Logico com Juros, Montante................................................23 9. Equação do Primeiro Grau............................................................................................28

10. Equação do Segundo Grau.............................................................................................41 11. Geometria e ângulos.......................................................................................................45 12. Triângulo........................................................................................................................47 13. Trigonometria.................................................................................................................49

RAZÕES E PROPORÇÕES: Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a serem

trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.

Razão: Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10

alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro caso,

destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.Temos,

então: 1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão == 2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = = 3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½

Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b. Indica-se: ou a : b e lê-se a para b. O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos: 1. A razão de 3 para 12 é: = ¼ 2. A razão de 20 para 5 é: = 4 3. A razão de 5 e ½ é = 5 . = 10

Razão de duas grandezas: Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duas

grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza. - Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos:

1.A razão de 2 m para 3 m é: 2.A razão de 30 dm para 6 m = = = ½

- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo:

Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

= 80 Km/h

ATIVIDADES: 1.Calcule a razão entre as grandezas: a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de álcool f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d

2.No vestibular de 2005 da FEMA concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico?

4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre: a) o número de acertos e o número de questões b) o número de acertos e o número de erros

Proporção: Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por

razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: =

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Portanto:

Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d

A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d * Lê-se: a está para b assim como c está para d

* a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Exemplo: = 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

Transformações de uma proporção: Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a

igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.

Exemplo: Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la : • alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 • alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160 • invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160

transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160

Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla):

Exemplo: = ou ou ou

ATIVIDADES:

1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades: a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) = d)= 2.Encontrar o valor de x nas proporções: a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) = 3.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.

4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.

5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS: A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma

que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a proporção inversa.

PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui.

Então:

Exemplo 1: Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja

na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária.

Número de pessoas 1

2

4 5 10

Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00

Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e despesa diária são iguais:

1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Exemplo 2: Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porque

possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade:

3/ 6 = 10/20 = 8/16

½ = ½ = ½

PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá.

Então:

Exemplo 1: Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razão direta), a quantia gasta pelo

grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise a tabela:

Número de pessoas 1 2 4 5 10

Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2

Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de permanência: = 20 Exemplo 2:

Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem, porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na segunda sucessão são iguais. = 16

ATIVIDADES: 1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1.

2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão (4,5,6)

3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 1.

4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36.

5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por que?

DIVISÃO PROPORCIONAl: Divisão em partes diretamente proporcionais:

Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa?

Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a realização da tarefa. Portanto:

No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que são as

horas que as pessoas A e B trabalharam. Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então: x + y = 660 e x/6 = y/5 Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos resolver :

= = = Onde:

= = x = 360 y = 300

Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.

Divisão em partes inversamente proporcionais:

E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais?

Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?

O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos.

Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que são os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber.

x + y = 160 = = x = 100 = y = 60

Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.

ATIVIDADES:

1.Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)

2.Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e 60)

3.Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84 e 96)

4.A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)

5.Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)

6.Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte correspondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)

Divisão proporcional composta: Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas,

prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho?

Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que: - Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5). - Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ). Portanto:

Resolvendo o problemas, temos: = ou = = = x = 15 000

Como x + y = 29 400 y = 19 400 – 15 000 = 14 400 Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14 400,00

ATIVIDADES: 1.Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamente proporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)

2.Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamente proporcionais a 5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)

3.Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão fosse diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As moças tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser dividida entre elas era de R $ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2 184 000)

4.(BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)

5.(TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes inversamente proporcionais a 2 ¼ , e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago? (120)

6.(TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ª parte? (300)

REGRA DE SOCIEDADE:

Quando duas ou mais pessoas se juntam, formando uma sociedade numa atividade com fins lucrativos, é justo que os lucros ou prejuízos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que cada uma empregou e ao tempo que o capital esteve empregado.

Na resolução de situações-problema dessa natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, que consiste em dividir a quantia considerada em partes diretamente proporcionais ao capital empregado, ao tempo de aplicaçãoou a outrasgrandezas. É, portanto, uma das aplicações da divisão proporcional, que tem como objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre sócios que formam uma

sociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitais aplicados e dos períodos de tempo de aplicação que podem ser iguais ou diferentes para cada sócio.

REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES

1º caso: Os capitais são iguais e aplicados durante o mesmo tempo: O lucro ou o prejuízo é dividido pelo número de sócios.

Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais qual a

parte de cada um dos sócios?

Neste caso, basta dividir o lucro pelo número de sócios. = 74 200 Logo, a parte de cada sócio é de R$ 74 200,00

2º caso: Os capitais são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em parte diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.

Exemplo: Por ocasião do balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27 000. Qual a parte correspondente a cada sócio se os seus capitais são de R$ 54 000, R$ 45 000 e R$ 36 000.

= = = = =

x = 10 800 y = 9 000 z = 7 200

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000 e R $ 7 2000.

3º caso: Os capitais são iguais e empregados durante tempos diferentes: Os lucros e os prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de

tempo em que os capitais ficaram investidos.

Exemplo: Três amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital

inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os três?

= = = = = A = 48 00 B = 72 000 C = 42 000

Na prática este caso não ocorre, porque , em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o balanço.

REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

Na sociedade composta, tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes para cada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao período de investimento.

Então: Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão

divididos em parte diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos. É uma divisão proporcional composta estudada no capítulo anterior.

Exemplo: Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00

durante 5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um? = e x + y = 11 700

= 4 500 e y = 7 200

ATIVIDADES:

1.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400,00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuízo de cada um? ( 4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)

2.Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por três amigos. Sabendo que o tempo foi o mesmo e que o segundo sócio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?

3.Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$ 1,80 e Paulo R$ 1,20. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receberá cada um? (960,00 e 640,00)

4.Três pedreiros, ganhando o mesmo salário-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20 horas. Na hora do pagamento, o dono da obra tinha em mãos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi feita a divisão do dinheiro?( 1 200, 900 e 1 000)

5.Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes características:

CAPITAL TEMPO DE APLICAÇÃO SÓCIO A 2 500,00 1 ano e 6 meses SÓCIO B 3 000,00 1 ano e 9 meses

Divida o lucro de R$ 18 000,00 entre os sócios. ( 7 500 e 10 500)

6.Marcos e Antonio montaram uma locadora de vídeo empregando respectivamente, capitais de R$ 50 000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado mês, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto coube a cada um? (2 000,00 e 1 200,00)

7.Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou R$ 80 000,00, durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21 600 e 6 600)

REVISANDO:

8.Três amigos, A, B e C, saíram para comer um pizza. No final, perceberam que A comeu ¼ da pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preço da pizza era R$ 14, 10. Calcule a parte da despesa de cada um , sabendo que desejavam dividi-la em partes proporcionais ao consumo de cada um.(4,50;6,00 e 3,60)

9.Encontre os valores desconhecidos, sabendo que: a) os números das sucessões (x, 5, 2) e (3, y, 6) são diretamente proporcionais. b) os números das sucessões (x, 1, 30) e (3, 15, y) são inversamente proporcionais. c) os números da sucessão (x, y, 20) são de proporcionalidade composta, direta a (4,3,1) e também

direta a (5, 8, 4).

10.Encontre a, b e c, sabendo que os números (a, b, c) e (18, 12, 4) são inversamente proporcionais e que a + b = 5. (2, 3 e 9)

11.Num colégio há 210 alunos. A metade do número de meninas é igual a 1/5 do número de meninos. Qual é o número de meninos e meninas? (60 e 150)

12.Um supermercado fazia a seguinte promoção: “Pague 3 sabonetes e leve 5”. Aproveitando a promoção, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? (18)

REGRA DE TRÊS: Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas

proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

REGRA DE TRÊS SIMPLES:

A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo- se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:

1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x

2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: • Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se

encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. • Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x,

invertendo o sentido da seta na outra coluna.

3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das proporções. Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por9 metros do mesmo tecido? Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima:

Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x

= x = x = 144,00

ATIVIDADES:

1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3.Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?

4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5 m?

5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?

REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo:

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?

Nº de operários Nº de dias Nº de peças 3 6 400 7 9 x

Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são diretamente proporcionais. Então:

= = = 2x = 2 800 x = 1 400 peças

ATIVIDADES:

1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km, viajando 5 horas por dia?

2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?

3.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

4.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?

6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?

7.Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?

8.Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dólares conseguirá comprar?

PORCENTAGEM: Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de inverno com 30% de desconto”...

Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “.

= 0,80 = 80%

CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:

1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES: Exemplo: Quanto é 20% de 800?

20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160

ou usando taxa unitária:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou a ser o seu novo salário?

Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:

1ª). 2000 100% x 5% x = x = 100,00

Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00 2ª) 2 000 100% x 105% x =

x = 2 100,00 Salário: 2 100,00

Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

15 000 100% 1800 x x = x = 12%

Taxa de desconto: 12%

Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital?

13% 5 200 100% x x = x = 40.000

Capital: R$ 40 000,00 ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL:

Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de porcentagem:

Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P) Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p)

Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio:

Porcentagem = p = , onde P = e i =

É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25

ATIVIDADES: 1.Calcular: a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2.Qual a taxa unitária de 20%?

3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%?

5.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?

8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?

9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público com 6 500 inscritos?

10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era de R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3 092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.

11.Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?

12.Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/

13.Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

14.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem 60 500 mulheres?

15.Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.

16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?

17.Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comissões, qual o total vendido por ele?

18.Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?

19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?

20.Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS: Chamamos de operações comerciais as operações de compra, venda, permuta, etc. de

mercadorias, feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Em situações diversas, envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos: “Vendi uma mercadoria com 20% de lucro”. “Vendi uma mercadoria com 30% de prejuízo.” Frases como estas, muitas vezes, são motivo de dúvidas: 30% de prejuízo sobre o que?

A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuízo e estes podem ser “sobre o preço decusto” ou “sobre o preço de venda”.

VENDAS COM LUCRO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter um lucro de 20% sobre a compra .

Podemos considerar o preço de venda como 120% Resolvendo por regra de três temos: 4 000 100% x 120% x = 4 000 . 120 : 100 ou 1, 20 . 4 000 = 4 800

Então:

Ou

onde, V = preço de venda i = taxa unitária do lucro C = preço de compra

- Sobre o preço de venda: Exemplo: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para ganhar

20% sobre o preço de venda.

Devemos considerar o preço de venda que é desconhecido como 100% e, conseqüentemente, o preço de compra como 80%, já que o lucro será de 20%

Por regra de três temos; 4 000 80% x 100% x = 4 000 . 100 : 80 = 5 000 ou 4 000 : 0,80 = 5 000

Então:

Ou

onde, V = preço de venda C = preço de custo i = taxa unitária do lucro

VENDAS COM PREJUÍZO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra): Exemplo: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que

esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda?

Como preço de venda = preço de custo – prejuízo, consideramos o preço de venda como 60% e o preço de custo 100%.

Por regra de três temos: 300 100% x 60% x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00

Então:

Ou

Onde, V = preço de venda i = taxa unitária de prejuízo C = preço de compra

- Sobre o preço de venda: Exemplo: Calcular o preço de venda de uma casa que comprei por 30 000,00, tendo perdido 25%

do preço de venda.

Como o preço de custo = preço de venda + prejuízo, o preço de custo será de 125%, já que o prejuízo foi de 25%. A quantia desconhecida será 100%.

Por regra de três temos: 125% 30 000 100% x x = 30 000. 100 : 125 ou 30 000 : 1,25 = 24 000

Então:

Ou

ATIVIDADES:

1.Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

2.Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?

3.Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último?

4.Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la?

5.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo uma perda de 30% sobre o preço de compra.

6.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo perdido 25% do preço de venda.

7.Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuízo de 20 % sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado?

DESCONTOS E AUMENTOS: Operações envolvendo descontos (abatimentos) e aumentos (acréscimos) sobre preços de

mercadorias, salários, etc. são comuns em nosso dia a dia. Podem ser classificados em sucessivos e simultâneos.

DESCONTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS: Considera-se uma operação de desconto ou de aumento sucessivo quando cada novo desconto ou novo aumento incide sobre o valor já descontado ou aumentado anteriormente.

- DESCONTOS SUCESSIVOS: Exemplo: Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, 6 % e mais 3%. Qual o valor líquido da fatura?

Para resolver problemas como este devemos calcular os descontos sobre as quantias líquidas, já descontadas as taxas anteriores. Assim:

10% de 100 000 = 10 000 A fatura se torna 100 000 – 10 000 = 90 000 ( ou 0,90 . 100.000 =90 000) 6% de 90 000 = 5 400 A fatura se torna 90 000 – 5 400 = 84 600 ( ou 0.94 . 90 000 = 84 600)

3% de 84 600 = 2 538 A fatura final se torna 84 600 – 2 538 = 82 062 ( ou 0,97 . 84 600 = 82 062)

Examinando a solução desse problema, vemos que o valor final (valor líquido) é o resultado da diferença entre o valor inicial (valor bruto) e os descontos. Poderíamos, então, obter o mesmo resultado da seguinte forma:

Valor final = 100 000. (1 – 0.10 ) . (1 – 0,06) . (1 – 0,03), onde cada parêntese refere-se a um desconto.

Então: Valor final = 100 000 . 0,90 . 0,94. 0,97 = 100 000 . 0,820620 = 82 062 Portanto, um valor inicial submetido a descontos sucessivos de várias taxas pode ser calculado

por: Valor final = Valor inicial . (1 – 1ª taxa) . (1 – 2ª taxa) . ( 1 – 3ª taxa) . ... . ( 1 – enésima taxa)

Ou

Onde: Vf = valor final ou valor descontado (valor bruto) Vi = valor inicial (valor líquido) i , i , i ,… i = taxas de desconto

Para calcular o valor inicial ou a taxa total de descontos, tem –se:

- AUMENTOS SUCESSIVOS:

Observando a resolução do problema anterior, concluímos que para aumentos sucessivos teremos:

DESCONTOS E AUMENTOS SIMULTÂNEOS:

Considera-se uma operação de desconto ou aumento simultâneo quando os descontos ou aumentos incidem sempre sobre o valor inicial.

Exemplo: Um funcionário recebe um salário-base de R$ 1 200,00, Tem um adicional de 20% de acréscimo para responder pela chefia da seção e outro adicional de tempo de serviço correspondente a 5%. Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-base?

Como os aumentos incidem sempre sobre o valor inicial, o valor final será: 1 200 . 0,20 = 240 1 200 . 0,05 = 60

Vf = 1 200 + 240 + 60 = 1 500 ou 1 200 ( 1 + 0,25) = 1 500 A taxa total de aumentos será 0,20 + 0,05 = 0,25

Assim, um valor inicial submetido a vários aumentos simultâneos pode ser calculado por:

E se fossem descontos simultâneos:

ATIVIDADES:

1.Uma fatura de R$ 10 000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5 % e 8 %. Por quanto esta fatura será liquidada?(R$ 8 740,00)

2.Uma fatura de R$ 10 000,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? ( R$ 12 650,00)

3.Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48 000,00, qual o valor líquido da mesma? (R$ 39 398,40)

4.Sobre um artigo de R$ 2 500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual o preço final desse artigo? (R$ 2 850,00)

5.Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50 000 unidade, em 5 %. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria?(44 175)

6.O preço de uma mercadoria foi remarcada três vezes neste mês, passando a custar R$ 27 716,00. Quanto custava no mês passado se a primeira remarcação correspondeu a um acréscimo de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma?( R$ 25 000,00)

7.Um funcionário público do estado tem um salário-base de R$ 800,00 com descontos de 11% para o IPE e 2,5% de Fundo Aposentadoria, ambos calculados sobre o salário-base. Qual o valor de cada um dos descontos? Qual o líquido a receber?( 88,00+20,00 = 108,00 , 692,00)

8.Uma fábrica que têm preços tabelados para as suas mercadorias remarcou, com 30% de abatimento, as unidades que apresentavam defeitos de fabricação. Os revendedores que comprassem dez ou mais unidades teriam, ainda, 20% de abatimento sobre o preço remarcado. Um revendedor comprou doze

unidades com defeito. Qual a taxa total de desconto que lhe foi feito? Quanto pagou se o total devido era de R$ 1 852,00 e se fossem considerados os preços tabelados?( 44% - R$ 1 037,12)

9.Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente,,em 4 empresas. Na primeira, ganhou 80% e, em cada uma das outras,perdeu 10%. Que taxa ganhou sobre o capital empregado? ( 31,22%)

REVISANDO: 1.Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é 3/4. Se nessa turma existem 24 rapazes, qual é o número de moças?

2.Numa cidade, o número de funcionários públicos para o número de habitantes é, aproximadamente, de 2/45. Se a população é de 30 000 habitantes, quantos são os funcionários públicos?

3.Uma pesquisa entre indivíduos que pertencem aos dois grupos de maior risco de serem portadores do vírus da AIDS revelou que, de 80 homossexuais masculinos testados, 16 eram portadores do vírus e que, 64 viciados em drogas injetáveis, 12 eram portadores. Com base nesses dados, qual dos dois grupos é o mais propenso a transmitir a doença?

4.Durante os jogos da Copa do Mundo, os brasileiros assistiram os jogos pela televisão na razão de 5/8. Considerando que a população atual brasileira é aproximadamente 176 milhões, qual o número aproximado de brasileiros que assistiram os jogos pela televisão?

5.Três pessoas A,B e C, compraram juntas um bilhete de rifa que dá um prêmio de R$ 10 000,00. A pessoa A colaborou com R$ 10,00, a pessoa B com R$ 15,00 e a pessoa C com R$ 25,00. Caso o bilhete seja premiado, quanto receberá cada pessoa se o combinado foi que cada uma receberia uma quantia proporcional ao dinheiro gasto?

6.Numa sociedade comercial o sócio A entrou com 2/5 do capital durante ¾ do tempo e o sócio B com o restante do capital durante 2/3 do tempo. Sabendo que houve um prejuízo de 49 210,00, calcule a parte do prejuízo que toca a cada sócio.

7.Dividindo o número 380 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4, qual é a maior parte?

8.Distribua o lucro de R$ 28 200,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R $ 80 000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20 000,00 durante 11 meses.

9.Para transportar um certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões, carregados com 4 m³ de areia cada um. Adquirindo–se caminhões com capacidade para 12 m³ de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer tal serviço?

10.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?

SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO (JUROS):

Nos dias de hoje as pessoas que têm algum dinheiro disponível, procura alguma maneira de emprega-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando a terceiros. Para que essas operações financeiras sejam executadas são necessários cálculos adequados a cada situação. Iniciaremos fixando ou relembrando alguns conceitos básicos iniciais:

CAPITAL: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação financeira. Também recebe o nome de valor atual ou valor presente. Indicaremos o capital inicial por PV ( Valor presente )

JUROS: remuneração paga ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro., ou seja, o custo do capital durante determinado período de tempo. Indicaremos os juros por j.

TAXA DE JUROS: unidade de medida de juros que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital empregado num determinado período financeiro: ao dia, ao mês, ao bimestre, ao semestre, ao ano, etc. Pode apresentar-se na forma porcentual (3% ao m ) ou na forma unitária (0,03 ao m). Indicaremos a taxa por i.

PRAZO: tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira. O prazo é contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, ano...) Indicaremos o prazo por n

MONTANTE: soma do valor presente (capital) aplicado e os juros que este rendeu num certo tempo a uma determinada taxa.Indicaremos o montante por FV (valor futuro).

( FV = PV + j )

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: é a operação de adição dos juros ao capital

Existem dois regimes de capitalização: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização composta.

O regime de capitalização simples ou juros simples consiste em somar os juros ao capital uma única vez, no final do período contratado. O cálculo é feito sempre sobre o capital inicial e o montante será a soma do capital inicial com os juros, o que equivale a uma única capitalização. O saldo cresce em progressão aritmética.

No regime de capitalização compostaou juros compostos os juros são capitalizados no final de cada período e o montante assim constituído passará a render juros durante o período seguinte. O saldo cresce em progressão geométrica.

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: Os problemas envolvendo juros simples pode ser resolvidos por uma regra de três composta.

Exemplo: Calcular o juro produzido por R$ 8 000,00, à taxa de 5% ao ano, durante 2 anos.

Os 5% ao ano significam que em cada 100,00 ganhamos R$ 5,00 em 1 ano.

Montando a regra de três composta temos: Capital Juro Tempo 100 5 1 8 000 x 2

= . =

100x = 80 000 x = 800,00 O juro produzido é de R$ 800,00

Substituindo, temos:

100 i 1 PV j n

= . = j =

Usando taxa unitária temos:

Daí, podemos deduzir:

IMPORTANTE: i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diária, n deve ser calculado em dias; se a taxa for mensal, n deve ser calculado em meses, etc.

Montante: Há problemas em que é necessário trabalhar com a soma do capital mais os juros. O resultado

dessa soma , como já vimos, recebe o nome de montante, ou seja:

Como j = PV . i . n , podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira; FV = PV + PV . i . n Colocando C em evidência, temos:

ATIVIDADES:

1.Qual é o juro simples que um capital de R$ 30 000,00 produz, quando aplicado durante 5 meses, a uma taxa de 3,5% ao mês? (R$ 5 250,00)

2.Qual é o juro simples que um capital de R$ 2 500,00 rende quando aplicado durante um ano , à taxa mensal de 2%? (R$ 600,00)

3.Um capital de R$ 10 000,00,investido a juros de 13% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento, Qual foi o juro? (R$ 361,11)

4.Qual a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$ 5 000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$ 720,00? ( 3,2% ao mês)

5.Que capital inicial rende R$ 2 000,00 em 50 dias, a uma taxa de 0,2% ao dia? (R$ 20 000,00)

6.Calcular os juros simples que um capital de R$ 2 500,00 rende à taxa de 2,7 % ao m, quando aplicado de 1º de fevereiro até 14 de maio. (R$ 229,50)

7.Um banco anuncia que um investimento de R$ 9 523,80 rende em seis meses a quantia se R$ 1 047,62.De quanto será a taxa anual, calculada com base no ano comercial? ( R$ 22%)

8.Calcular em quanto tempo um capital de R$ 1 200,00 renderá R$ 144,00 de juros quando aplicado a uma taxa de 3% ao m. (4 meses)

9.Calcular os juros de R$ 1 200,00, aplicados a uma taxa de 15% ao ano, durante três meses e dez dias. (R$ 50,00)

10.Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 29 800,00, à taxa de 1,2% ao m., durante 6 meses? (R$ 31 945, 60)

11.Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei depois de 4 anos, R5 928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? ( C = R$ 627,03 e j =R$ 300,97)

12.Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$ 3 230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?(R$ 2 523,40)

13.A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique de valor? (100%)

14.Calcular o montante de uma aplicação a juros simples de um capital de R$ 250 000,00, à taxa mensal de 11 %, feita em 14 de março e resgatada em 3 de abril do mesmo ano. (R$ 268 325,00)

ATIVIDADES DE REVISÃO:

1.Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 45,00 a mais que a outra. Qual a comissão de cada uma, sabendo que há entre elas uma razão de 4/9. (36,00 e 81,00)

2. Os salários de João e José estão entre si assim como 7 está para 8. Calcule esses salários, sabendo que o triplo do salário de João menos o dobro do de José é R$ 5 000,00 (7 000,00 e 8 000,00)

3.O lucro de uma determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3, 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40 000,00 a mais que o primeiro, qual foi o lucro total e quanto coube a cada sócio? (60 000, 100 000 e 180 000)

4.Três trabalhadores receberam ao todo R$ 3 600,00. O primeiro trabalhou 10 dias à razão de 8 horas por dia; o segundo, 20 dias à razão de 6 horas por dia; e o terceiro, 25 dias à razão de 4 horas por dia. Quanto recebeu cada um?

5.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400.00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 8 meses, o segundo 10 e o terceiro 12 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?

6.Uma empresa com dois sócios lucrou R$ 6 400,00. O primeiro sócio empregou R$ 1000,00 durante 1 ano e 4 meses: e o segundo, R$ 2 000,00 durante 8 meses. Quanto recebeu cada sócio? ( 3 200,00)

7.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

8.Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operários de uma indústria automobilística produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1 200 operários produzam 450 veículos trabalhando 10 horas por dia? ( 45 dias)

9.Uma prova de Matemática,com índice de dificuldade avaliado pelo professor em 20, teve a média de 8 em uma classe. Qual seria a média da mesma classe se o índice de dificuldade fosse elevado para 25?

10 Em três dias foram construídos 3/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, quantos dias terão sido utilizados na construção total do muro?

11.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?

12.Qual é a taxa que, aplicada num capital de R$ 720 000,00, resulta numa porcentagem de R$ 21 600,00?

13.Uma mercadoria que custava R$ 2 500,00 teve um aumento, passando a custar R$ 2 700,00. Qual foi a taxa de aumento sobre o custo? Qual foi taxa de aumento sobre a venda?

14.Uma fatura sofreu abatimento de 13%, resultando num valor líquido de R$ 4 350,00. Qual era o valor inicial da fatura?

15.Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, mais 6% e mais 3%. Qual é o valor líquido da fatura?

16.Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36 394,40, perdendo nessa transação a quantia equivalente a 3% sobre o preço de custo?

17.Calcule o juro produzido por R$ 500, 00, à taxa de 64,8% ao ano, durante 45 dias?

18.Depositei certa quantia num banco e recebi o montante de R$ 6 400,00 ao fim de 40 dias. Se a aplicação foi feita à taxa de 6% ao ano, quanto recebi de juros?

19.Determine a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48 000,00 que, em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros

20.Calcule o montante do capital de R$ 75 000,00, colocado a juros simples, à taxa de 2 ¾ % ao mês, no fim de 6 meses.

21.Um empréstimo foi feito em 3 de março, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista o critério do prazo exato, qual é a data de vencimento dessa operação? E se fosse prazo comercial?

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