Apostila Probabilidade, Ensaios de Estatística. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
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COMBINATÓRIA

S É R I E : P r o b a b i l i d a d e I N T R O D U Ç Ã O

Prof. Lorí Viali - viali@mat.pucrs.br - http://www.mat.pucrs.br/~lori/ 3

SUMÁRIO 1. COMBINATÓRIA............................................................................................................................................................. 5

1.1. CONJUNTOS................................................................................................................................................................... 5 1.2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ....................................................................................................................................... 5 1.3. APLICAÇÕES DOS DIAGRAMAS DE VENN ....................................................................................................................... 6 1.4. FATORIAL...................................................................................................................................................................... 6 1.5. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO) ....................................................................... 6 1.6. PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) ......................................................................................................................................... 7

1.6.1. Permutações (arranjos) com itens duplicados ..................................................................................................... 8 1.6.2. Permutações (arranjos) com repetição ................................................................................................................ 8

1.7. COMBINAÇÕES. ............................................................................................................................................................. 8 1.8. O TEOREMA BINOMIAL. ................................................................................................................................................ 9

2. PROBABILIDADE.......................................................................................................................................................... 11

2.1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................. 11 2.2. MODELOS.................................................................................................................................................................... 11

2.2.1. Modelo determínistico ........................................................................................................................................ 11 2.2.2. Modelo não-determinístico ou probabilístico .................................................................................................... 11

2.3. EXPERIMENTO ALEATÓRIO (NÃO-DETERMINÍSTICO) .................................................................................................... 11 2.4. O ESPAÇO AMOSTRAL.................................................................................................................................................. 12

2.4.1. Definição ............................................................................................................................................................ 12 2.4.2. Classificação de um espaço amostra.................................................................................................................. 13

2.5. EVENTOS..................................................................................................................................................................... 13 2.5.1. Combinação de eventos...................................................................................................................................... 13 2.5.2. Eventos mutuamente excludentes ....................................................................................................................... 14

2.6. CONCEITOS DE PROBABILIDADE .................................................................................................................................. 14 2.6.1. Definição clássica de probabilidade .................................................................................................................. 14 2.6.2. A definição de probabilidade como freqüência relativa .................................................................................... 15 2.6.3. Definição axiomática de probabilidade ............................................................................................................. 16

2.7. PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA ................................................................................................... 17 2.7.1. Definição ............................................................................................................................................................ 17 2.7.2. Teorema da multiplicação.................................................................................................................................. 18 2.7.3. Independência de dois eventos ........................................................................................................................... 18 2.7.4. Teoremas da probabilidade total e de Bayes ..................................................................................................... 19

3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .......................................................................................................................................... 21

3.1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................. 21 3.2. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA ................................................................................................................................ 21

3.2.1. A função de probabilidade ................................................................................................................................. 21 3.2.2. Representação da função de probabilidade ....................................................................................................... 23 3.2.3. A função de distribuição acumulada.................................................................................................................. 23 3.2.4. Variável aleatória discreta (caracterização) ..................................................................................................... 24

3.3. DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS .......................................................................................... 25 3.3.1. A distribuição binomial ...................................................................................................................................... 26 3.3.2. Propriedades da distribuição binomial .............................................................................................................. 27 3.3.3. A distribuição Hipergeométrica ......................................................................................................................... 28 3.3.4. Propriedades da distribuição Hipergeométrica ................................................................................................. 28 3.3.5. A distribuição de Poisson................................................................................................................................... 30 3.3.6. Propriedades da distribuição de Poisson........................................................................................................... 32 3.3.7. Relação entre as distribuições Binomial e Poisson............................................................................................ 33

3.4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS........................................................................................................................... 33 3.4.1. Cálculo de probabilidade com uma VAC........................................................................................................... 33 3.4.2. A função de distribuição acumulada.................................................................................................................. 34 3.4.3. Variável aleatória contínua (caracterização) .................................................................................................... 35

3.5. DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS ......................................................................................... 36

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3.5.1. A distribuição uniforme...................................................................................................................................... 36 3.5.2. Propriedades da distribuição uniforme.............................................................................................................. 36 3.5.3. A distribuição exponencial ................................................................................................................................. 37 3.5.4. Propriedades da distribuição Exponencial ........................................................................................................ 38 3.5.5. A distribuição normal......................................................................................................................................... 39 3.5.6. Propriedades da distribuição normal................................................................................................................. 39 3.5.7. Tabelas ............................................................................................................................................................... 40 3.5.8. Relação entre as distribuições Binomial e Normal ............................................................................................ 41

3.6. PROPRIEDADES DA MÉDIA E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ........................................................................... 42 3.6.1. Média.................................................................................................................................................................. 42 3.6.2. Variância ............................................................................................................................................................ 43 3.6.3. A mediana e a moda ........................................................................................................................................... 43 3.6.4. Desigualdades de Tchebycheff e Camp-Meidell................................................................................................. 43

4. EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................................. 45

5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ................................................................................................................................. 54

6. REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................................... 58

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1. COMBINATÓRIA

1.1. CONJUNTOS As idéias básicas da teoria dos conjuntos foram desenvolvidas pelo Matemático Alemão Ge-

org Cantor (1845-1918) em 1875 mais ou menos. A palavra conjunto é indefinida. Para escrever um conjunto usam-se chaves. Os elementos de

um conjunto são escritos separados por vírgula e a ordem em que são escritos é irrelevante. Se o con- junto é infinito usa-se três pontos para indicar o fato. O nome de um conjunto é escrito com letra mai- úscula, enquanto os dos seus elementos com letra minúscula. Alguns conjuntos tem representação es- pecial como, por exemplo, o conjunto dos números naturais: ℵ.

O número de elementos de um conjunto é denominado de número cardinal ou simplesmente cardinal do conjunto. Representa-se por n(A) e lê-se “ene de A”.

Em muitas situações existe a idéia declarada ou implícita de um universode discurso. Este universo inclui todas as coisas em discussão a um dado tempo. Com conjuntos, o universo do discurso é denominado de conjunto universal ou conjunto universo. Este conjunto é normalmente representa- do pela letra U. O conjunto universo pode variar de situação para situação.

A idéia de conjunto universal foi dada pelo logicista John Venn (1834-1923) que desenvol- veu diagramas de conjuntos conhecidos como Diagramas de Venn. Venn comparou o conjunto uni- verso ao nosso campo de visão. Ele mantém as coisas que focamos e ignora tudo o resto.

1.2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS O complemento de um conjunto A, representado por A ou A’, é o conjunto de todos os ele-

mentos de U que não são elementos de A, ou A’ = { x | x ∈ U e x ∉ A } A interseção dos conjuntos A e B, representada por A∩B, é o conjunto formado pelos ele-

mentos comuns a A e a B, ou A∩B = { x | x ∈ A e x ∈ B } Dois conjuntos A e B que não possuem elementos em comum, isto é, tais que A∩B = ∅ são

denominados conjuntos disjuntos. A união de dois conjuntos A e B, representada por AUB, é o conjunto de todos os elementos

pertencentes tanto a A quanto a B, ou AUB = { x | x ∈ A ou x ∈ B } A diferença entre os conjuntos A e B, escrita A - B, é o conjunto de todos os elementos que

pertencem ao conjunto A e não ao B, ou A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B } Observação: Ao escrever um conjunto que contém vários elementos, a ordem em que os ele-

mentos aparecem não é relevante. Por exemplo, { 5, 1 } = { 1, 5 }. No entanto, existem muitas situa- ções na Matemática onde a ordem de dois ou mais objetos é importante. Isto leva a idéia de par orde- nado. Quando escrever um par ordenado use parênteses ao invés de chaves que são reservadas para es- crever conjuntos.

No par ordenado (a, b), “a” é denominado de primeira componente e “b” é chamada de se- gunda componente. Em geral (a, b) ≠ (b, a).

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Assim AxB = { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B }. Note-se que AxB não é igual a BxA, embora a ordem em que os pares são escritos dentro de

cada conjunto não seja importante, o que importa é a ordem dentro do par e não entre pares. Se n(A) = a e n(B) = b então n(AxB) = ab.

1.3. APLICAÇÕES DOS DIAGRAMAS DE VENN Os diagramas de Venn podem ser usados para ilustrar propriedades das operações entre con-

juntos. Por exemplo, verificar que a operação entre conjuntos A - B é igual a A∩B’ Outras propriedades que podem ser verificadas através dos diagramas são: As leis de De Morgan (em homenagem ao lógico Britânico Augustus de Morgan (1805-

1871)): (A∩B)’ = A’UB’ (AUB)’ = A’∩B’ Propriedade comutativa: AUB = BUA A∩B = B∩A Propriedade associativa: (AUB)UC = AU(BUC) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Propriedade distributiva: A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) AU(B∩C) = (AUB) ∩(AUC) Propriedades da identidade: AU∅ = A A∩U = A

1.4. FATORIAL Um professor comprou 5 novos livros e quer colocá-los lado a lado em uma estante. Quantos

maneiras diferentes existem de colocar os 5 livros? Para o primeiro espaço, existem 5 escolhas possíveis, uma para cada livro. Uma vez colocado

o primeiro livro, restam 4 escolhas para o segundo espaço e assim por diante. Então o número de es- colhas diferentes é: 5.4.3.2.1 = 120. Este tipo especial de multiplicação tem um símbolo próprio: 5!. De um modo geral se dispomos de um número n, então o produto acima é representado por n! e é lido “ene fatorial”, isto é:

n! = n(n - 1)(n - 2) ... 3.2.1 e têm-se também que 0! = 1 A relação n! = n(n -1)! poderá ser útil em algumas situações.

1.5. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO) Suponha que se possa fazer “n” escolhas independentes com:

U A B

C

Figura 1.1- Exemplo de um diagrama de Venn

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m1 maneiras de fazer a escolha 1, • m2 maneiras de fazer a escolha 2, • ...................................................., • mn maneiras de fazer a escolha n. Então existem m1.m2. ... .mn maneiras diferentes de fazer a seqüência inteira de escolhas.

Exemplo 1.1 Um antigo trabalho da filosofia chinesa conhecido como I Ching (Livro das Mutações) é às

vezes usada como um oráculo do qual as pessoas podem procurar e obter conselhos. A filosofia des- creve a dualidade do universo em termos de duas forças primárias: yin (passiva, escura, receptiva) e yang (ativa, brilhante, criativa). A energia yin é representada por uma linha pontilhada (---) e a yang por uma linha sólida (). Estas linhas são escritas uma sobre as outras em grupos de três, denomina- das de triagramas. Por exemplo, o triagrama é chamado de Tui, o “Joyous”, e é a imagem de um lago.

(a) Quantos triagramas diferentes existem? (b) Os triagramas são agrupados juntos, um sobre o outro, em pares conhecidos como, hexa-

gramas. Cada hexagrama representa um aspecto da filosofia I Ching. Quantos hexagramas existem?

Solução: (a) A escolha reside entre duas linhas para cada uma das 3 posições do triagrama. Existem du-

as escolhas para cada posição e como são 3 posições, existem então: 2.2.2 = 8 triagramas diferentes. (b) Para cada posição no hexagrama, existem 8 possíveis triagramas, dando então: 8.8 = 64

hexagramas.

1.6. PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) Uma permutação consiste do número de possíveis maneiras de arranjar, ou ordenar, certos

conjuntos de objetos. Embora o princípio fundamental da contagem pode ser aplicado a questões de ar- ranjar, é possível desenvolver uma abordagem mais eficiente.

O número de permutações de “n” objetos distintos tomados em grupos de “r”, onde “r” é me- nor que “n” é representado por P(n, r). Aplicando o princípio fundamental da contagem a agrupamen- tos deste tipo, tem-se:

P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... [n - (r - 1)]. Simplificando o último fator acima vem: O número de permutações , ou arranjos, de “n” objetos distintos, tomados “r” a cada

vez, onde r n, é dado por: P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1).

Exemplo 1.2 Calcular cada permutação: P(4, 2) = 4.3 = 12 P(7, 3) = 7.6.5 = 210 P(5, 5) = 5.4.3.2.1 = 120 = 5! O número de permutações pode ser expresso em função do fatorial da seguinte forma: P(n, r) = n! / (n - r)!

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1.6.1. PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) COM ITENS DUPLICADOS Permutações também podem ser realizadas com itens duplicados. Por exemplo, de quantas

maneiras diferentes pode-se arranjar a palavra zoo? (A idéia aqui é que o conjunto, das letras, da pala- vra zoo, contém dois elementos “o” indistingüíveis, não que um único “o” é repetido. Desta forma, se está lidando com itens duplicados e não com repetições. Uma vez que, dois “o” podem ser arranjados em 2! diferentes maneiras, o número de arranjos diferentes (ou distinguíveis) é:

3! / 2! = 3 (zoo, ozo, ooz) Desta forma, pode-se definir: Se uma coleção de “n” objetos contém n1 que são idênticos, outros, n2 que são idênticos

entre si, mas diferentes dos primeiros n1 e assim sucessivamente , até nk, então o número de ar- ranjos distinguíveis de todos os “n” objetos é dado por:

n! / (n1!n2!...nk!)

Exemplo 1.3 Quantos arranjos distintos podem ser feitos com as letras da palavra “estatística”?

Solução: Neste caso tem-se um total de 11 letras, das quais n1 = 2 (o “s” ocorre duas vezes), n2 = 3 ( o

“t” ocorre 3 vezes), n3 = 2 ( o “a” ocorre duas vezes) e n4 = 2 ( a letra “i” ocorre duas vezes). Então, existem:

11! / 2! 3! 2! 2! = 831 600 arranjos distintos de letras da palavra “estatística”.

1.6.2. PERMUTAÇÕES (ARRANJOS) COM REPETIÇÃO Considere-se “n” elementos tomados “r” a “r”, onde são permitidas as repetições, isto é, o

mesmo elemento pode ocorrer mais de uma vez. Então o número de permutações (arranjos), não neces- sariamente distintos, é dado por: nr, isto é:

P(n, r) = nr

Exemplo 1.4 Uma urna contém bolas vermelhas, brancas e pretas. Uma bola é extraída e após anotada a sua

cor volta para a urna. Então uma segunda bola é extraída e anotada igualmente a cor. Quantas são as possíveis seqüências de cores observadas?

Solução: Como cada extração fornece uma cor entre { V, B, P } o número de seqüências possíveis é,

pelo princípio fundamental da contagem: 3.3 = 32 = 9.

1.7. COMBINAÇÕES. Existem certos arranjos onde a ordem entre os elementos não é importante, por exemplo, para

calcular a probabilidade de acertar a sena, a quina, etc. não é necessário saber a ordem em que os nú- meros foram sorteados, mas apenas a combinação de números. Permutações (arranjos) onde a ordem não interessa são denominadas de combinações.

O número de combinações de “n” objetos tomados em grupos de “r” é representado por C(n,

r) ou por: n r 

  

  .

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O número de combinações, ou subconjuntos, de “n” objetos tomados em grupos de “r”, onde r n é dado por:

C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / r!(n - r)!

Exemplo 1.5 Uma forma comum de pôquer consiste em mãos (conjuntos) de cinco cartas cada, retiradas de

um baralho padrão de 52 cartas. Quantas mãos diferentes são possíveis?

Solução: Neste caso a ordem não é importante, pois uma dada mão de cartas depende apenas das cartas

que ela contém e não da ordem específica que elas foram dadas. Neste caso, então, aplica-se o conceito de combinação:

Assim C(52, 5) = 52! / 5!.47! = 2 598 960.

1.8. O TEOREMA BINOMIAL. Avaliar a expressão (x + y)n para vários valores de “n” fornece uma família de expressões, de-

nominadas de expansão binomial, que são importantes na Matemática, principalmente na teoria pro- babilística. Algumas expansões de (x + y)n estão listadas abaixo.

(x + y)1 = x + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

...........................................................................

Examinando estas expressões pode-se identificar um padrão, que pode ser escrito como:

(x + y)n = n n 

  

  xn +

n n - 1 

 



  xn-1y +

n n - 2 

 



  xn-2y2 + ... +

n 2 

  

  x2yn-2 +

n 1 

  

  xyn-1 +

n 0 

 



  yn

Um outro método de encontrar os coeficientes dos termos da expansão binomial é dado pelo triângulo de Pascal (ou Tartaglia, de acordo com NOG75), onde cada número no triângulo pode ser encontrado somando-se os dois números imediatamente superiores a ele. Veja-se o exemplo, abaixo, mostrando uma parte do triângulo.

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 ............................................

Pode-se observar que a soma de cada linha do triângulo acima é 2n onde n é o número da li- nha. Assim para a primeira linha tem-se 1 = 20, para a segunda: 1 + 1 = 21, para a terceira 1 + 2 + 1 = 22 e assim por diante.

Este triângulo expresso como coeficientes fica:

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0 0

 

  



0 1

 

  



1 1

 

  



0 2

 

  



1 2

 

  



2 2

 

  



0 3

 

  



1 3

 

  



2 3

 

  



3 3

 

  



0 4

 

  



1 4

 

  



2 4

 

  



3 4

 

  



4 4

....................................... Note que a primeira linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)0.

A segunda linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)1. A terceira linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)2 e assim por diante.

Pelo triângulo fica fácil verificar a validade da relação de Stiefel: n r 

  

  =

n −  



 

1 r

+ n −  



 

1 r - 1

, para

n ≥ 2.

E também que: n r 

  

  =

n n - r 

 



  .

A propriedade vista de que a soma das linhas é igual a 2n pode então ser expressa como:

  

  

n

0= r r n

= 2n.

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2. PROBABILIDADE

2.1. INTRODUÇÃO A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da “causa e efeito”.

Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a uma falha na experiência ou a uma falha na identificação da causa. Não poderia haver quebra da cadeia lógica. Segundo Laplace (Pi- erre Simon) uma vez conhecidas a vizinhança, a velocidade e a direção de cada átomo no universo, poder-se-ia, a partir daí, predizer com certeza, o futuro até a eternidade.

Sabe-se hoje, através do princípio da incerteza , que não é bem assim. Que não existem meios que permitam determinar os movimentos dos elétrons individuais se conhecido a sua velocidade, con- forme o estabelecido em 1927, pelo físico alemão W. Heinsenberg.

2.2. MODELOS Conforme J. Neymann, toda a vez que se emprega Matemática com a finalidade de estudar

algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático. Este modelo pode ser: deter- minístico ou então probabilístico.

2.2.1. MODELO DETERMÍNISTICO Neste modelo as condições sob as quais o experimento é executado, determinam o resultado

do experimento. Tome-se, por exemplo, a lei de Ohm, V = I.R. Se R e I forem conhecidos, então V estará precisamente determinado.

2.2.2. MODELO NÃO-DETERMINÍSTICO OU PROBABILÍSTICO É um modelo em que de antemão não é possível explicitar ou definir um resultado particular.

Este modelo é especificado através de uma distribuição de probabilidade. É utilizado quando se tem um grande número de variáveis influenciando o resultado e estas variáveis não podem ser controladas. Tome-se por exemplo, o lançamento de um dado onde se tenta prever o número da face que irá sair, a retirada de uma carta de um baralho, etc.

O modelo estocástico é caracterizado como um modelo probabilístico que depende ou varia com o tempo.

2.3. EXPERIMENTO ALEATÓRIO (NÃO-DETERMINÍSTICO) Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Por isto é necessário ilustrar

o conceito um grande número de vezes para que a idéia fique bem clara. Convém lembrar que os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos são adequados e que por sim- plicidade, são denominados de experimentos aleatórios, quando, de fato, o que deveria ser dito é “mo- delo não-determinístico aplicado a um experimento”.

Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ou pro- cedimento deva ser realizado, mas também o que é que deverá ser observado. Note-se a diferença entre E2 e E3.

E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas.

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E4: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposi- ção) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas.

E5: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos

necessários. E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. E8: Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido.

Características dos Experimentos Aleatórios Observando-se os exemplos acima pode-se destacar algumas características comuns: 1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os resultados possíveis 3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de freqüência de re- sultados.

2.4. O ESPAÇO AMOSTRAL

2.4.1. DEFINIÇÃO É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Anota-se por S, E

ou Ω.

Exemplo 2.1 Determinar o espaço amostra dos experimentos anteriores. Si refere-se ao experimento Ei. S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S2 = { 0, 1, 2, 3, 4 } S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck,

kkkc, kkkk } S4 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 } S5 = { t ∈ℜ / t ≥ 0 } S6 = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } S7 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } S8 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

Ao descrever um espaço amostra de um experimento, deve-se ficar atento para o que se está observando ou mensurando. Deve-se falar em “um” espaço amostral associado a um experimento e não de “o” espaço amostral. Deve-se observar ainda que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números.

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2.4.2. CLASSIFICAÇÃO DE UM ESPAÇO AMOSTRA Um espaço amostral, conforme exemplos anteriores pode ser classificado em: (a) Finito. São os espaços: S1, S2, S3, S4, S7 e S8 (b) Infinitos. (i) Enumeráveis (ou contáveis): S6

(ii) Não-enumeráveis (ou não contáveis): S5

2.5. EVENTOS DEFINIÇÃO: Qualquer subconjunto se um espaço amostra S é denominado evento. Assim tem-se que: S é o evento certo; { a } é o evento elementar e ∅ é o evento impossível. Convém observar que tecnicamente todo subconjunto de um espaço amostra é um evento ape-

nas quando ele for finito ou, então, infinito enumerável. Se o espaço amostra é infinito não-enumerável é possível construir subconjuntos que não são eventos. Se S é finito, isto é, #(S) = n então o número de eventos possíveis é #P(A) = 2n.

2.5.1. COMBINAÇÃO DE EVENTOS Pode-se realizar operações entre eventos da mesma forma que elas são realizadas entre con-

juntos. Antes de definir as operações é conveniente conceituar o que se entende por ocorrência de um evento.

Seja E um experimento com um espaço amostra associado S. Seja A um evento de S. É dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto é, se executado E, o resultado for um elemento de A.

Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostra S. Diz-se que ocorre o evento: 1. A união B ou A soma B, anotado por A∪B, se e somente se A ocorre ou B ocorre.

2. A produto B ou A interseção B, anotado por A∩B ou AB, se e somente A ocorre e B ocor- re.

3. A menos B ou A diferença B, anota-se A - B, se e somente se A ocorre e B não ocorre.

AB

AB

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4. O complementar de A, anotado por A , AC ou ainda A’ se e somente se A não ocorre.

2.5.2. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES Dois eventos A e B, são denominados mutuamente exclusivos ou excludentes, se eles não pu-

derem ocorrer juntos, isto é, se A∩B = ∅.

2.6. CONCEITOS DE PROBABILIDADE Existem três formas de se definir probabilidade. A definição clássica, a definição freqüencial e

a definição axiomática.

2.6.1. DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostra associado formado por “n” resultados

igualmente prováveis. Seja A ⊆ S um evento com “m” elementos. A probabilidade de A, anotada por P(A), lê-se pe de A, é definida como sendo:

P(A) = m / n Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “m” de casos favoráveis e o

número “n” de casos possíveis.

Exemplo 2.2 Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se: (a) Um resultado igual a 4. (b) Um resultado ímpar.

Solução: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = #(S) = 6

(a) A = { 4 } m = #(A) = 1 então P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67% (b) B = { 1, 3, 5 } m = #(B) = 3 então P(B) = m / n = 3 / 6 = 50%

A - B

A'

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Crítica à definição clássica (i) A definição clássica é dúbia, já que a idéia de “igualmente provável” é a mesma de “com

probabilidade igual”, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a probabilida- de com seus próprios termos.

(ii) A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito.

2.6.2. A DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE COMO FREQÜÊNCIA RELATIVA Na prática acontece que nem sempre é possível determinar a probabilidade de um evento.

Neste caso é necessário ter um método de aproximação desta probabilidade. Um dos métodos utiliza- dos é a experimentação que objetiva estimar o valor da probabilidade de um evento A com base em valores reais. A probabilidade avaliada através deste processo é denominada de probabilidade empíri- ca.

Freqüência relativa de um evento Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostra associado ao experimento E.

Suponha-se que E seja repetido “n” vezes e seja “m” o número de vezes que A ocorre nas “n” repeti- ções de E. Então a freqüência relativa do evento A, anotada por frA, é o quociente:

frA = m / n = (número de vezes que A ocorre) / (número de vezes que E é repetido)

Exemplo 2.3 (i) Uma moeda foi lançada 200 vezes e forneceu 102 caras. Então a freqüência relativa de “ca-

ras” é: frA = 102 / 200 = 0,51 = 51% (ii) Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Então a freqüência relativa

do evento A = { face 6 } é: frA = 18 / 100 = 0,18 = 18%

Propriedades da freqüência relativa Seja E um experimento e A e B dois eventos de um espaço amostra associado S. Sejam frA e

frB as freqüências relativas de A e B respectivamente. Então. (i) 0 ≤ frA ≤ 1, isto é, a freqüência relativa do evento A é um número que varia entre 0 e 1. (ii) frA = 1 se e somente se, A ocorre em todas as “n” repetições de E. (iii) frA = 0, se e somente se, A nunca ocorre nas “n” repetições de E. (iv) frAUB = frA + frB se A e B forem eventos mutuamente excludentes.

Definição Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostra associado S. Suponhamos que E

é repetido “n” vezes e seja frA a freqüência relativa do evento. Então a probabilidade de A é definida como sendo o limite de frA quando “n” tende ao infinito. Ou seja:

P(A) = n

Afr →∞

lim

Deve-se notar que a freqüência relativa do evento A é uma aproximação da probabilidade de A. As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n, razoavelmente grande a frA é uma boa aproximação de P(A).

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Crítica à definição freqüencial Esta definição, embora útil na prática, apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode

não existir. Em virtude dos problemas apresentados pela definição clássica e pela definição freqüenci- al, foi desenvolvida uma teoria moderna, na qual a probabilidade é um conceito indefinido, como o ponto e a reta o são na geometria.

2.6.3. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE Seja E um experimento aleatório com um espaço amostra associado S. A cada evento A ⊆ S

associa-se um número real, representado por P(A) e denominado “probabilidade de A”, que satisfaz as seguintes propriedades (axiomas):

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (ii) P(S) = 1; (iii) P(AUB) = P(A) + P(B) se A e B forem eventos mutuamente excludentes.

(iv) Se A1, A2, ..., An, ..., forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então:

P A P Ai i

n i

i

n ( ) ( ) = =

=  1 1 

Conseqüências dos axiomas (propriedades) (i) P(∅) = 0 Prova Seja A ⊆ S então tem-se que A∩∅ = ∅, isto é, A e ∅ são mutuamente excludentes. Então:

P(A) = P(A∪∅) = P(A) + P(∅), pela propriedade 3. Cancelando P(A) em ambos os lados da igualdade segue que P(∅) = 0.

(ii) Se A e A são eventos complementares então: P(A) + P( A ) = 1 ou P( A ) = 1 - P(A) Prova Tem-se que A∩A = ∅ e A∪A = S. Então: 1 = P(S) = P(A∪A ) = P(A) + P( A ), pela propriedade 3.

(iii) Se A ⊆ B então P(A) ≤ P(B) Prova Tem-se: B = A∪(B - A) e A∩(B - A) = ∅ Assim P(B) = P(A∪(B - A)) = P(A) + P(B - A) e como P(B - A) ≥ 0 segue que: P(B) ≥ P(A)

(iv) Se A e B são dois eventos quaisquer então: P(A - B) = P(A) - P(A∩B) Prova A = (A - B)∪(A∩B) e (A - B) ∩(A∩B) = ∅ Logo P(A) = P((A - B)∪(A∩B)) = P(A - B) + P(A∩B). Do que segue: P(A - B ) = P(A) - P(A∩B).

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(v) Se A e B são dois eventos quaisquer de S, então: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Prova A∪B = (A - B)∪B e (A - B)∩B= ∅ Tem-se então: P(A∪B) = P((A - B)∪B) = P(A - B) + P(B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), pela propriedade (iv).

(vi) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) Prova Faz-se B∪C = D e aplica-se a propriedade (v) duas vezes.

(vii) Se A1, A2, ..., An são eventos de um espaço amostra S, então: P(A1∪A2∪...∪An) =

P Pi i

n i

i

n A A( ) ( )

= = = 

1 1  + P i j

i j

n A A( )∩

< = 

2 + P i j r

i j r

n A A A( )∩ ∩

< < = 

3 + ... + (-1)k+1P(A1∩A2∩...∩An)

2.7. PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA Suponha-se que se quer extrair duas peças ao acaso de um lote que contém 100 peças das

quais 80 peças são boas e 20 defeituosas, de acordo com os critérios (a) com reposição e (b) sem repo- sição. Define-se os seguintes eventos:

A = { A primeira peça é defeituosa } e B = { A segunda peça é defeituosa }. Então, se a extração for com reposição P(A) = P(B) = 20 / 100 = 1 / 5 = 20%, porque existem

20 peças defeituosas num total de 100. Agora se a extração for sem reposição tem-se ainda que P(A) = 20 / 100 = 20%, mas o mesmo

não é verdadeiro para P(B). Neste caso, é necessário conhecer a composição do lote no momento da extração da segunda peça, isto é, é preciso saber se a primeira peça retirada foi ou não defeituosa. Neste caso é necessário saber se A ocorreu ou não. O que mostra a necessidade do conceito de proba- bilidade condicionada.

2.7.1. DEFINIÇÃO Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S, associado a um experimento E, onde

P(A) > 0. A probabilidade de B ocorrer condicionada a A ter ocorrido, será representada por P(B/A), e lida como: “probabilidade de B dado A” ou “probabilidade de B condicionada a A”, e calculada por:

P(B/A) = P(AB) / P(A) No exemplo acima, então P(B/A) = 19 / 99, pois se A ocorreu (isto é, se saiu peça defeituosa

na primeira retirada) existirão na urna apenas 99 peças das quais 19 defeituosas. Sempre que se calcular P(B/A) está se calculando a probabilidade de ocorrência do evento B

em relação ao espaço amostra reduzido A, ao invés de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S.

Quando se calcula P(B) está se calculando a probabilidade de estar em B, sabendo-se que se está em S, mas quando se calcula P(B/A) está calculando a probabilidade de B, sabendo-se que se está em A agora e não mais em S, isto é, o espaço amostra fica reduzido de S para A.

É simples verificar as seguintes propriedades de P(B/A) para A fixado: (i) 0 ≤ P(B/A) ≤ 1, (ii) P(S/A) = 1, (iii) P(B1∪B2/A) = P(B1 / A) + P(B2 / A) se B1 ∩B2 = ∅

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(iv) P(B1∪B2 ..../A) = P(B1/A) + P(B2/A) + ... se Bi ∩Bj = ∅ para i ≠ j. Observe-se que estas propriedades são idênticas aos axiomas de probabilidade. Pode-se também comparar P(A/B) e P(A). Para tanto considere-se os quatro casos ilustrados

nos diagramas abaixo: Tem-se: (a) P(A/B) = 0, porque A não poderá ocorrer se B tiver ocorrido. (b) P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = [P(A) / P(B)] ≥ P(A), já que P(A) ≤ P(B), pois A ⊆ B. (c) P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = [P(B) / P(B)] = 1 ≥ P(A). (d) Neste caso nada se pode afirmar sobre o relacionamento entre P(A/B) e P(A).

a) A∩B = ∅ (b) A ⊂ B (c) B ⊂ A (d) Caso geral

2.7.2. TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de se cal-

cular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Esta expressão é denominada de teorema da multiplicação. P(A∩B) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B)

2.7.3. INDEPENDÊNCIA DE DOIS EVENTOS Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a pro-

babilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se: P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B) ou ainda se P(AB) = P(A).P(B) Qualquer uma das 3 relações acima pode ser usada como definição de independência.

Exemplo 2.4 [MEY78] Três componentes C1, C2, e C3, de um mecanismo são postos em série (em linha

reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento { C2 está à direita de C1 }, e seja S o evento { C3 está à direita de C1 }. Os eventos R e S são independentes? Por quê?

Solução: Para que R e S sejam independentes deve-se ter: P(R∩S) = P(R).P(S). O espaço amostra para este caso é: S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3, C2C3C1, C3C1C2, C3C2C1 } As seqüências em que C2 está à direita de C1 são: R = { C1C2C3, C1C3C2, C3C1C2 }. Logo: P(R) = 3/6 = 50% As seqüências em que C3 está à direita de C1 são:

A B B A

A B A B

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S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3 }. Logo P(S) = 3/6 = 50% As seqüências em que C2 está à direita de C1 e C3 está também à direita de C1 são: R∩S = { C1C2C3, C1C3C2 }. Logo P(R∩S ) = 2/6 = 1/3 = 33,33% ≠ P(R).P(S) = 0.5.0,5 = 0,25 = 25% Portanto os eventos R e S não são independentes.

2.7.4. TEOREMAS DA PROBABILIDADE TOTAL E DE BAYES O conceito de probabilidade condicionada pode ser utilizado para calcular a probabilidade de

um evento simples A ao invés da probabilidade da interseção de dois eventos A e B. Para tanto é ne- cessário o conceito de partição de um espaço amostra.

Definição Diz-se que os conjuntos A1, A2, ..., An eventos de um mesmo espaço amostra S, formam uma

partição deste espaço se: (a) Ai ∩Aj = ∅, para todo i ≠ j. (b) A1 ∪ A2 ... ∪ An = S (c) P(Ai) > 0, para todo i

Exemplo 2.5 Considere-se o espaço amostra obtido pelos números das faces no lançamento de um dado

equilibrado e sejam os eventos: A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 4, 5 } e A3 = { 6 } Então, pode-se verificar facilmente que, os eventos acima formam um partição do espaço

amostra S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Teorema da probabilidade total Considere-se um espaço amostra S e A1, A2, ..., An uma partição deste espaço amostra. Seja B

um evento de S. Então B, pode ser escrito como (A figura acima ilustra a partição com n = 8): B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An) É claro que, alguns destes conjuntos B ∩ Aj, poderão ser vazios, mas isto não representa ne-

nhum problema na decomposição de B. O importante é que todos os conjuntos B ∩ A1, B ∩ A2, ..., B ∩ An são dois a dois mutuamente excludentes. E por isto, pode-se aplicar a propriedade da adição de eventos mutuamente excludentes e escrever.

P(B) = P[(B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)] = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An) Mas cada um dos termos P(B ∩ Aj) pode ser escrito na forma:

P(B ∩ Aj) = P(Aj).P(B/Aj), pela definição de probabilidade condicionada, obtém-se então o denominado teorema da probabilidade total:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An)

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Exemplo 2.6

Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o do- bro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. To- das as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

Solução: Considerem-se os seguintes eventos: D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça provém da fábrica A }, B = { A peça provém da

máquina B } e C = { A peça provém da máquina C }. Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vez que só existem as 3 fábricas e

que A produz o dobro de B e esta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-se também que P(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.

Pela teorema da probabilidade total pode-se escrever que: P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04 =

2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaço amostra S.

Teorema de Bayes Suponha-se que no exemplo acima, uma peça é retirada do depósito e se verifica que é defei-

tuosa. Qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela fábrica A? ou B? ou ainda C? Neste caso, o que se quer calcular é a probabilidade condicionada P(A/D). Pela notação já vista acima, e generalizando a questão o que se está interessado em obter é a

probabilidade de ocorrência de um dos Ai dado que B ocorreu, isto é, o que se quer é saber o valor de P(Ai / B), onde os eventos A1, A2, ..., An formam uma partição de S e B é um evento qualquer de S.

Aplicando a definição de probabilidade condicionada segue que: P(Ai / B) = P(Ai ∩ B) / P(B) = P(Ai).P(B / Ai) / P(B), onde P(B) é avaliado pelo teorema da

probabilidade total. Este resultado é conhecido como teorema de Bayes. Assim:

P(Ai / B) = P(Ai).P(B / Ai) / [P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An)]

Exemplo 2.7 Considerando a pergunta acima vem então: P(A / D), isto é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A dado que a peça é de-

feituosa é: P(A / D) = P(A). P(D / A) / P(D) = 0,02.0,50 / (0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04) = 0,40 =

40%

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3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

3.1. INTRODUÇÃO Ao se descrever o espaço amostra de um experimento nota-se que os elementos não são ne-

cessariamente números. Assim, por exemplo, no lançamento de duas moedas pode-se ter o seguinte es- paço amostra:

S = { cc, ck, kc, kk }

Contudo, na maior parte das vezes, se está interessado num resultado numérico, isto é, deseja- se associar aos elementos do espaço amostra S um número real x = X(s). Desta forma formula-se a de- finição:

Seja E um experimento com um espaço amostra associado S. Uma função X que associe a cada elemento de S (s ∈ S) um número real x = X(s) é denominada variável aleatória.

O conjunto formado por todos os valores “x”, isto é, a imagem da variável aleatória X, é de- nominado de conjunto de valores de X e anotado por X(S). Desta forma:

X(S) = { x ∈ ℜ / X(s) = x }

Exemplo 3.1 Seja S o espaço amostra formado pelas seqüências obtidas no lançamento de 3 moedas equili-

bradas. Seja X a variável aleatória definida como sendo o número de caras da seqüência, isto é, X(s) = x = números de caras. O conjunto de valores da variável X é X(S) = { 0, 1, 2, 3 }, pois, neste caso, tem-se:

X(ccc) = 0 X(ckk) = 1, etc. Ou então:

s kkk ckk, kck, kkc cck, ckc, kcc ccc

X(s) 0 1 2 3

Conforme o conjunto de valores uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta.

Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.

3.2. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Uma variável aleatória X é dita discreta se o seu conjunto de valores X(S) é finito ou então in-

finito contável ou enumerável.

3.2.1. A FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Seja X uma variável aleatória discreta (VAD), isto é, com X(S) finito ou infinito enumerável,

definida num espaço amostral S. A cada resultado xi de X(S) associa-se um número f(xi) = P(X = xi) denominado probabilidade de xi e tal que satisfaz as seguintes propriedades:

f(xi) ≥ 0, para todo “i”. f(xi) = 1

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A função “f” assim definida é denominada de função de probabilidade de X A coleção dos pares (xi, f(xi)) para i = 1, 2, 3, ... é denominada de distribuição de probabili-

dade da VAD X. Note-se que f(x) = P(X = x) = P({ s ∈ S / X(s) = x }) Desta forma quando se calcula f(x) está

se calculando, na realidade, a probabilidade do evento { s ∈ S / X(s) = x } ⊆ S.

Exemplo 3.2 Dois dados são lançados e observa-se o par obtido. O espaço amostra é formado por 36 resul-

tados eqüiprováveis. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas da seguinte forma: X = soma do par obtido Y = maior valor do par Tem-se então: X(S) = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } Y(S) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Para X tem-se: f(2) = P( X = 2) = P({ (1, 1) }) = 1/36 f(3) = P( X = 3) = P({ (2, 1), (1, 2) }) = 2/36 f(4) = P( X = 4) = P({ (1, 3), (2, 2), (3, 1) }) = 3/36 f(5) = P( X = 5) = P({ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }) = 4/36 f(6) = P( X = 6) = P({ (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) }) = 5/36 f(7) = P( X = 7) = P({ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) }) = 6/36 f(8) = P( X = 8) = P({ (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) }) = 5/36 f(9) = P( X = 9) = P({ (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) }) = 4/36 f(10) = P( X = 10) = P({ (4, 6), (5, 5), (6, 4) }) = 3/36 f(11) = P( X = 11) = P({ (5, 6), (6, 5) }) = 2/36 f(12) = P( X = 12) = P({ (6, 6)}) = 1/36 Em resumo:

x 2 3 4 5 6 7 8 8 10 11 12 f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Para Y tem-se: f(1) = P( Y = 1) = P({ (1, 1) }) = 1/36 f(2) = P( Y = 2) = P({ (2, 1), (2, 2), (1, 2) }) = 3/36 f(3) = P( Y = 3) = P({ (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3,2), (3, 1) }) = 5/36 f(4) = P( Y = 4) = P({ (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1) }) = 7/36 f(5) = P( Y = 5) = P({ (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1) }) = 9/36 f(6) = P( Y = 6) = P({ (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2),

(6, 1 }) = 11/36

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Em resumo:

x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

3.2.2. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Existem três maneiras de representar a função de probabilidade de uma VAD X: (i) Através de uma tabela. (ii) Através de uma expressão analítica para f(x) (fórmula). (iii) Através de um diagrama, onde os valores da variável são registrados no eixo das abcissas

e as probabilidades no eixo das ordenadas.

Exemplo 3.3 (i) As duas tabelas acima. (ii) Considere-se a variável Y, do exemplo acima, onde Y(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:

f: Y(S) → ℜ y → (2y - 1)/36

Deste modo: f(1) = (2.1 - 1) / 36 = 1 / 36 f(6) = (6.2 - 1) / 36 = 11/ 36

(iii) Veja o diagrama abaixo.

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

1 2 3 4 5 6

Figura 3.1 - Diagrama de barras da distribuição de Y

3.2.3. A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA Seja X uma VAD com função densidade f(x). Então a função de distribuição acumulada -

FDA, ou simplesmente função de distribuição de X é a função F “em escada” definida por: F(x) = P(X ≤ x) = f i

x xi ( )x

≤ 

Exemplo 3.4 Seja X uma VAD com a distribuição da tabela abaixo:

x -2 1 2 4 f(x) 1/4 1/8 1/2 1/8

Então a função de distribuição de X é dada por:

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F(x) = 0 se x < -2 = 1/4 se -2 ≤ x 1 = 3/8 se 1 ≤ x ≤ 2 = 7/8 se 2 ≤ x < 4 = 1 se x ≥ 4

3.2.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA (CARACTERIZAÇÃO) Considere X uma variável aleatória discreta assumindo os valores: x1, x2, ..., xi, ..., com proba-

bilidades f(x1), f(x2), .... , f(xi), ....

Expectância, esperança, média ou valor esperado de X A média, expectância, valor esperado ou esperança matemática da variável aleatória X é re-

presentada por µ ou E(X) e calculada por: µ = E(X) = x1f(x1) + x2f(x2) +... + xnf(xn) + ... = i ix xf . ( )

Exemplo 3.5 Calcular o número esperado de faces caras no lançamento de duas moedas equilibradas.

Solução: Seja X = Número de caras. Então a distribuição de X é dada por:

x 0 1 2 f(x) 1/4 2/4 1/4

Logo a média ou expectância de X será: E(X) = 0.(1/4) + 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1/2 + 1/2 = 1 cara.

A variância de X Seja X uma variável aleatória discreta com média µ = E(X). Então a variância de X, anotada

por σ2 ou V(X) é definida por: σ2 = V(X) = f(x1) (x1 - µ)2 + f(x2) (x2 - µ)2 + ... + f(xn) (xn - µ)2 + ... = f x xi i( ) ( ) − 2µ Pode-se demonstrar que a expressão da variância, acima, pode ser transformada na seguinte

expressão: σ2 = V(X) = f i ix x( )( ) −

2µ = f x xi i( ) −2 2µ = E(X2) - [E(X)]2 = E(X2) - µ2

Exemplo 3.6 Calcular a variância da distribuição do exemplo anterior.

Solução: Tem-se que: E(X) = 1, então: σ2 = V(X) = f i ix x( )( ) −

2µ = (1/4)(0 - 1)2 + (2/4)( 1 - 1)2 + (1/4)(2 - 1)2 = 1/2 Ou ainda: E(X2) = (1/4).02 + (2/4).12 + (1/4).22 = 3/2 σ2 = V(X) = E(X2) - µ2 = 3/2 - 12 = 1/2

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O desvio padrão O desvio padrão da variável X, anotado por σ, é a raiz quadrada da variância.

A variância relativa e o coeficiente de variação Seja X uma variável aleatória discreta com média µ = E(X) e variância σ2 = V(X). Então a va-

riância relativa de X, anotada por: γ2, e definida por: γ2 = σ2 / µ2

O coeficiente de variação de X é definido como a raiz quadrada da variância relativa: γ = σ / µ

Exemplo 3.7 Um vendedor recebe uma comissão de R$ 50,00 por uma venda. Baseado em suas experiênci-

as anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das vendas semanais:

x 0 1 2 3 4 f(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10

(a) Qual é o valor esperado de vendas por semana? (b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 150,00 por semana? (c) Qual o desvio padrão das vendas semanais? (d) Qual o coeficiente de variação das vendas semanais?

Solução: (a) E(X) = 0.0,10 + 1.0,20 + 2.0,40 + 3.0,20 + 4.0,10 = 2 vendas por semana. Logo, como ele

recebe R$ 50,00 por venda a renda esperada semanal é: R$ 100,00. (b) Para ganhar pelo menos R$ 150,00 por semana ele deve realizar 3 ou 4 vendas por sema-

na. Esta probabilidade é: P(X ≥ 3) = 0,20 + 0,10 = 0,30 = 30% (c) Deve-se inicialmente avaliar o valor da variância e para tanto calcula-se antes a média dos

quadrados: E(X2) = 02.0,10 + 12.0,20 + 22.0,40 + 32.0,20 + 42.0,10 = 5,20. A variância é então: V(X) = E(X2) - µ2 = 5,20 - 22 = 5,20 - 4 = 1,20 O desvio padrão será: σ = 120, = 1, 10 (d) O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média, isto é: γ = σ / µ = 1,10 / 2 = 0,55 = 55%

3.3. DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS Existem algumas distribuições de probabilidade para variáveis discretas que pela sua freqüên-

cia de uso vale a pena estudar mais detalhadamente. Estas distribuições apresentam expressões para o cálculo das probabilidades, isto é, as probabilidades f(x) podem ser avaliadas através de um modelo matemático conhecido. Duas destas distribuições são a Binomial e a distribuição de Poisson.

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3.3.1. A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostra associado. Seja A ⊆ S um evento de

S. Seja “n” o número de vezes que o experimento E é repetido e seja “p” a probabilidade de A ocorrer em cada uma das “n” repetições de E, de modo que, “p“ permaneça constante durante as “n” repetições de E. Como existem apenas duas situações: A ocorre ou A não ocorre, pode-se determinar a probabili- dade de A não ocorrer como sendo q = 1 - p. Em certas situações a probabilidade “p” é denominada de probabilidade de “sucesso” e a probabilidade “q” de probabilidade de fracasso.

Definição: Seja X uma VAD definida por X = número de vezes que A ocorreu nas “n” repetições de E. A

variável aleatória X é denominada de variável aleatória Binomial. O conjunto de valores de X, isto é, X(S) é:

X(S) = { 0, 1, 2, 3, ..., n }

Figura 3.2 – Distribuição B(50; 0,20)

Teorema: Se X é uma variável aleatória com um comportamento Binomial, então a probabilidade de X

assumir um dos valores do conjunto X(S) é calculada por:

f(x) = P(X = x) = n x

x n xp q   

 

−. . , para x = 0, 1, 2, ..., n.

Demonstração: Considere-se um elemento particular do espaço amostra S, satisfazendo à condição X = x.

Como todas as repetições são independentes a probabilidade desta seqüência particular é dada por: pk(1 - p)n - k, mas esta mesma probabilidade está associada a qualquer outro resultado em que X = k. O nú- mero de resultados em que isto ocorre é dado por n

k 

  

  , porque se deve escolher exatamente “k” casos

dentre “n” possibilidades para o evento A. Como estes resultados são todos mutuamente excludentes, então o valor de P(X = k) é o da fórmula acima.

Representação: Se X tem um comportamento Binomial de parâmetros “n” e “p” então representa-se X por

B(n, p).

Exemplo 3.8

0,00

3,00

6,00

9,00

12,00

15,00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

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