Apostila Produtos Notáveis, Outro de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)
vanderclaudio
vanderclaudio23 de novembro de 2017

Apostila Produtos Notáveis, Outro de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)

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Matemática

Módulo I

Aula

Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE.

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discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente

virtual de aprendizagem UNINOVE.

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Produtos notáveis – quadrado da soma e da diferença de dois

termos

Objetivo: Desenvolver o quadrado da soma entre dois termos e o quadrado da

diferença entre dois termos.

Situação – problema 1: calcular a área da figura a seguir:

Resolução: Pode-se observar que a figura está dividida da seguinte forma:

 Um quadrado com lados medindo x, cuja área pode ser expressa por x2.

 Dois retângulos com lados medindo x e 6, cuja área pode ser expressa por 2.6.x.

 Um quadrado com lados medindo a, cuja área pode ser expressa por a2.

Note que a área total da figura é representada pela soma das áreas

anteriores, isto é:

x2 + 12x + 36

De outra maneira, poderíamos considerar a um único quadrado, conforme

indicado na figura, com lados medindo x + 6. Assim, a área desse quadrado poderia

ser representada pela expressão:

(x + 6). (x + 6) = (x + 6)2

Logo, as expressões x2 + 12x + 36 e (x + 6)2 são equivalentes. A expressão e

(x + 6)2

Comentário: alguns produtos envolvendo polinômios apresentam uma

regularidade em seus resultados (um padrão). Por essa razão são chamados de

produtos notáveis. Agora você poderia perguntar por que se deve aprender os

produtos notáveis. Algumas razões:

 Aparecem com frequência em problemas.

 Apresentam padrões que permitem economizar cálculos.

Exemplos:

Poderíamos pensar na seguinte situação: o quadrado da soma da idade de

Pedro com dois.

Matematicamente tal situação pode ser representada da seguinte maneira:

(x + 2)2

Nessa representação, x é o primeiro termo do binômio e o número 2 é o

segundo termo do binômio, que pode ser desenvolvido da seguinte maneira:

(x + 2)2 =

(x)2 + 2.x.2 + (2)2 =

x2 + 4x + 4

Outra situação: o quadrado da soma do dobro da idade de Pedro com quatro.

Tal situação pode ser assim representada:

(2x + 4)2 =

(2x)2 + 2. 2x. 4 + (4)2 =

4x2 + 16x + 16

Observe que nas duas situações anteriores há um padrão:

 O quadrado do primeiro termo.

 Duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo.

 O quadrado do segundo termo

Partindo dessa observação você pode resolver de modo prático dois produtos

notáveis: (1) quadrado da soma de dois termos; (2) quadrado da diferença de dois

termos.

(1) Quadrado da soma de dois termos

O quadrado de uma soma indicada de dois termos é igual ao quadrado do

primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo mais o

quadrado do segundo termo.

Exemplo:(3x + 5)2 . Nesse exemplo, o primeiro termo do binômio é o 3x e o

segundo termo é o número 5. Assim teremos:

 Quadrado do primeiro termo: (3x)2

 Duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo: 2. 3x .5

 Quadrado do segundo termo: (5)2

Assim, teremos:

(3x)2 + 2. 3x. 5 + (5)2 =

9x2 + 30x + 25

Outros exemplos resolvidos

Exemplo 1:

(10x + 5)2

(10x)2 + 2 .10x. 5 + (5)2 =

100x2 + 100x + 25

Exemplo 2:

(2a + 2b)2

(2a)2 + 2. 2a .2b + (2b)2=

4a2 + 8ab + 4b2

Exemplo 3:

(0,5y + 3)2

  2

21 1 2. .3 3

2 2 y y

        

    =

21 6 9 4 2

y y  =

2 1

3 9 4

y y 

(2) Quadrado da diferença de dois termos

Situação – problema 2:calcular a área da região pintada da figura a seguir:

Observando a figura podemos notar que nos interessa calcular a área da figura

pintada. Essa área é representada por um quadrado, cujos lados medem x – a e a

área pode ser expressa por (x – a). (x – a) = (x – a)2. Trata-se do quadrado da

diferença de dois termos, que podemos resolver de maneira semelhante ao

quadrado da soma de dois termos.

 O quadrado do primeiro termo x2.

 Duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo 2.a.x.

 O quadrado do segundo termo a2.

Regra prática:

O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro termo pelo

segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

Assim temos: x2 – 2ax + a2. Vejamos mais alguns exemplos resolvidos.

Exemplo 1:

(2x - 4)2

(2x)2 – 2. 2x. 4 + (4)2=

4x2 – 16x + 16

Exemplo 2:

(3a - 4b)2 =

(3a)2 – 2. 3a. 4b + (4b)2=

9a2 – 24ab + 16b2

Exemplo 3:

2 2 1

3 4 x y

   

 

2 2 2 2 1 1

2. . 3 3 4 4

x x y y    

        

=

2 24 4 1. 9 12 16

x x y y  =

2 24 1 1. 9 4 16

x x y y 

Acesse o espaço online da UNINOVE para assistir à videoaula referente ao

conteúdo assimilado.

Agora é a sua vez! Resolva os exercícios e verifique seu conhecimento.

REFERÊNCIAS

CASTRUCCI, Giovanni. A conquista da Matemática.Ensino Fundamental – 7ªsérie.

São Paulo: FTD, 2010.

DANTE, Luiz Roberto.Tudo é Matemática. Ensino Fundamental – 8º ano. São

Paulo: 3. ed. São Paulo: Ática, 2010.

GUELII, Oscar.Uma Aventura do Pensamento.Ensino Fundamental – 7ª série.São

Paulo: Ática, 2004.

MORI, Iracema; ONAGA, Satiko Dulce. Matemática Ideias e Desafios – Ensino

Fundamental – 7ª série. São Paulo: Saraiva, 2010.

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