Apostila Sistemas de Controle, Notas de aula de Controle de Processo. Instituto Federal do Espírito Santo (IFES)
wlganda
wlganda14 de Maio de 2015

Apostila Sistemas de Controle, Notas de aula de Controle de Processo. Instituto Federal do Espírito Santo (IFES)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPT°. DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO

Prof. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo Fevereiro de 2007 Natal - RN

SISTEMAS DE

CONTROLE

Sistemas de Controle i

Índice

1PROBLEMA DE CONTROLE ___________________________________________________ 1 1.1 DEFINIÇÕES __________________________________________________________________ 1

Planta ____________________________________________________________________ 1Processo __________________________________________________________________ 1Sistema ___________________________________________________________________ 1Sistema Físico _____________________________________________________________ 1Especificações de Desempenho ________________________________________________ 1Modelo ___________________________________________________________________ 1Controle __________________________________________________________________ 1Controlador _______________________________________________________________ 1Sistema de Controle _________________________________________________________ 1Sistema de Controle em Malha Aberta___________________________________________ 2Sistema de Controle em Malha Fechada _________________________________________ 2

1.2 EXEMPLOS ___________________________________________________________________ 2 1.3 FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA DE CONTROLE ___________________________________ 3

2MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)_________________________ 4 2.1 INTRODUÇÃO _________________________________________________________________ 4 2.2 PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DO LGR _____________________________________________ 6

Exemplo 1: Sistema com 2 pólos e 1 zero reais ____________________________________ 7Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reais ____________________________________ 8Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexos _________________________ 10

2.3 LGR PARA FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA TÍPICAS ___________________________________ 12 2.4 LOCALIZANDO RAÍZES NO LGR__________________________________________________ 16

Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordem ___________ 17 2.5 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 18

3AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS ______________________________________________ 19 3.1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________________ 19

Controladores Série ________________________________________________________ 19Controladores por Realimentação _____________________________________________ 19

3.2 AÇÕES PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVA (P-I-D) _____________________________ 20 • Controle Proporcional (P) ___________________________________________________ 20Controlador Proporcional + Integral (PI)_______________________________________ 21Controlador Proporcional + Derivativo (PD)____________________________________ 22Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID) __________________________ 23

3.3 AÇÕES DE CONTROLE AVANÇO-ATRASO___________________________________________ 23 • Controlador Avanço de Fase (Lead) ___________________________________________ 23Controlador Atraso de Fase(Lag) _____________________________________________ 24Controlador Avanço-Atraso de Fase(Lead-Lag) __________________________________ 24

3.4 MODIFICAÇÕES DAS AÇÕES DE CONTROLE PID______________________________________ 25 • PID Original _____________________________________________________________ 25Parte Derivativa -Filtro _____________________________________________________ 25PI-D ____________________________________________________________________ 25I-PD ____________________________________________________________________ 25

3.5 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 26 4PROJETO DE CONTROLADORES PELO MÉTODO DO LGR______________________ 27

4.1 ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO________________________________________________ 27 4.2 PROJETO DE CONTROLADORES PD________________________________________________ 28

Passos para o projeto de controladores PD _____________________________________ 28 4.3 PROJETO DE CONTROLADORES PI ________________________________________________ 30

Passos para o projeto de controladores PI ______________________________________ 30 4.4 PROJETO DE CONTROLADORES PID _______________________________________________ 32

Passos para o projeto de controladores PID_____________________________________ 32

ii Sistemas de Controle

4.4.1Regras de Zigler-Nichols para o Ajuste dos Parâmetros do PID ___________________ 33Primeiro Método de Ziegler-Nichols ___________________________________________ 34Segundo Método de Ziegler-Nichols ___________________________________________ 37

4.5 PROJETO DE CONTROLADORES AVANÇO DE FASE ____________________________________ 40 • Passos para o projeto de controladores Avanço de Fase ___________________________ 40

4.6 PROJETO DE CONTROLADORES ATRASO DE FASE_____________________________________ 42 • Passos para o projeto de controladores Atraso de Fase ____________________________ 42

4.7 PROJETO DE CONTROLADORES ATRASO-AVANÇO DE FASE _____________________________ 44 • Passos para o projeto de controladores atraso-avanço_____________________________ 44

4.8 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 49 5APROXIMAÇÃO DISCRETA DE FUNÇÕES DE TRANSF. CONTÍNUAS_____________ 50

5.1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________________ 50 5.2 APROXIMAÇÕES POR INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ______________________________________ 50

Método de Euler ou Forward_________________________________________________ 50Método Backward _________________________________________________________ 51Método Trapezoidal, Tustim ou Aproximação Bilinear _____________________________ 52

5.3 INVARIÂNCIA AO DEGRAU ______________________________________________________ 52 5.4 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 53

6IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES DIGITAIS ___________________________ 54 6.1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________________ 54 6.2 PRÉ-FILTRAGEM E ATRASO COMPUTACIONAL_______________________________________ 54

Pré-Filtragem_____________________________________________________________ 54Atraso Computacional ______________________________________________________ 55

6.3 ATUADORES NÃO-LINEARES ____________________________________________________ 56 6.4 ASPECTOS OPERACIONAIS ______________________________________________________ 56 6.5 MUDANÇAS DE PARÂMETROS ___________________________________________________ 57 6.6 ASPECTOS NUMÉRICOS ________________________________________________________ 59 6.7 PROJETO DE CONTROLADORES DIGITAIS ___________________________________________ 60

6.7.1Controladores Deadbeat __________________________________________________ 607PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO O ESPAÇO DE ESTADOS ______ 63

7.1 DESCRIÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO ___________________________________________ 63 7.2 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO ______________________________________________ 64

Caso Escalar _____________________________________________________________ 64Caso Vetorial _____________________________________________________________ 64

7.3 ESTABILIDADE _______________________________________________________________ 64 7.4 CONTROLABILIDADE __________________________________________________________ 65 7.5 OBSERVABILIDADE ___________________________________________________________ 66 7.6 REALIZAÇÕES DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA _____________________________________ 66

7.6.1Realização na Forma Canônica Observável___________________________________ 677.6.2Realização na Forma Canônica Controlável __________________________________ 67

7.7 REALIMENTAÇÃO DE ESTADO ___________________________________________________ 68 • Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K __________________ 69

7.8 OBSERVADORES DE ESTADO ____________________________________________________ 71 • Erro de Estimação _________________________________________________________ 71Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos do Observador L _____ 72

7.9 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS OBSERVADOS _______________________________________ 74 7.10 SEGUIDORES DE REFERÊNCIA (OU SERVOSISTEMAS) ________________________________ 77

Princípio do modelo interno para referência do tipo degrau unitário _________________ 77Princípio do modelo interno para referência do tipo rampa unitária __________________ 80

7.11 DESCRIÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ____________ 81 7.11.1Discretização da Equação de Estado ______________________________________ 82

7.12 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO _______________ 84 7.13 ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ________________________________ 84 7.14 CONTROLABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ___________________________ 84 7.15 OBSERVABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ____________________________ 85 7.16 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ___________________ 85 7.17 OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO _____________________ 85 7.18 SEGUIDOR DE REFERÊNCIA PARA SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ____________________ 86

Sistemas de Controle iii

Entrada do Tipo Degrau ____________________________________________________ 86 7.19 EXERCÍCIOS_______________________________________________________________ 87

8INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE ÓTIMO _________________________ 90 8.1 CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO _________________________________________________ 90 8.2 CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO DISCRETO ________________________________________ 93

Equação de Riccati de Regime Permanente______________________________________ 94REFERÊNCIAS____________________________________________________________________ 96

iv Sistemas de Controle

Agradecimentos

Agradecemos ao Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

(www.dca.ufrn.br/~maitelli) por ter, gentilmente, cedido o material

didático que serviu de fonte para elaboração deste texto. Agradecemos

ainda, a todos os demais professores do Departamento de Engenharia

de Computação e Automação (DCA / UFRN) que, de alguma forma,

também contribuíram com o conteúdo deste material. Por fim, agradecemos

a todos os alunos que têm contribuído para o aprimoramento deste texto

com suas importantes sugestões.

Sistemas de Controle 1

1 PROBLEMA DE CONTROLE

O objetivo principal do estudo dos sistemas de controle e resolver o que se costuma denominar por “Problema de Controle”. Para que se possa apresentar uma formulação geral do que seja o problema de controle, são necessárias algumas definições iniciais.

1.1 Definições

Planta

É uma parte de um equipamento ou instalação industrial, eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma dada operação.

Processo

Pode ser definido como uma operação ou desenvolvimento natural que evolui progressivamente, caracterizado por uma série de mudanças graduais que se sucedem de modo relativamente fixo, conduzindo a um resultado ou finalidade particular.

Sistema

É uma disposição, conjunto ou coleção de partes, dentro de um universo, que estão conectadas ou relacionadas de tal maneira a formarem um todo.

Sistema Físico

É uma parte do universo que foi delimitada para estudo.

Especificações de Desempenho

São descrições do comportamento a ser apresentado pelo sistema físico, conforme solicitação do usuário.

Modelo

Consiste na representação de certas características do sistema físico que são relevantes para seu estudo.

Controle

É a ação de fazer com que um sistema físico atenda as especificações de desempenho determinadas a priori.

Controlador

Dispositivo utilizado para a obtenção do controle de um sistema físico.

Sistema de Controle

Conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador.

2 Sistemas de Controle

Sistema de Controle em Malha Aberta

É aquele em que a saída ou resposta não possui nenhuma influência sobre a entrada.

Controlador

Resposta Desejada (Referência ou Set-Point)

SP

Saída (Variável de Processo)

PVPlanta

Sinal de Controle (Variável Manipulada)

MV

Sistema de Controle em Malha Fechada

É aquele em que a saída ou resposta influencia a entrada do sistema.

Controlador+ -

Resposta Desejada (Referência ou Set-Point)

SP

Saída (Variável de Processo)

PVPlanta

Sensor + Transmissor

Comparação Sinal de Controle

(Variável Manipulada) MV

1.2 Exemplos

Ser humano tentando pegar um objeto

Cérebro+ -

Posição do Objeto

Posição da MãoBraço

e Mão

Olhos

Controlador Sistema

Controle de temperatura de uma sala

Ar Condicionado

+ -

Temperatura Desejada

Temperatura Ambiente

Sala Termostato

Controlador Sistema

Controle do nível de um reservatório

Bomba+ -

Nivel Desejado

Nível de Água

Reservatório

Sensor

Bóia

Controlador Sistema

Sistemas de Controle 3

1.3 Formulação Geral do Problema de Controle

Um problema de controle consiste em determinar uma forma de afetar um dado sistema físico de modo que seu comportamento atenda às especificações de desempenho previamente estabelecidas.

Como, normalmente, não é possível alterar a estrutura funcional do sistema físico em questão, a satisfação das especificações de desempenho é atingida mediante o projeto e implementação de controladores (compensadores).

U = Universo

Entradas Manipuladas u t( )

Entradas Exógenas

w t( )

Saídas Observadas y t( )

Saídas de Interesse z t( )

Meio Ambiente

Sistema Físico

Modelos ||

Quantitativos (Ex.: Modelos Matemáticos) ou

Qualitativos (Ex.: Modelos em Escala)

Especificações de Desempenho

|| Velocidade Segurança Conforto

Custo Durabilidade

.

.

.

Análise Projeto Implementação

4 Sistemas de Controle

2 MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)

2.1 Introdução

O diagrama do LGR consiste em um conjunto de curvas no plano complexo s, onde estas curvas representam as posições admissíveis para os pólos de malha fechada de um dado sistema quando o seu ganho varia de zero a infinito.

Considere o seguinte sistema:

G(s) R(s) C(s)+

-

G(s)H(s)1 G(s)

R(s) C(s)(s)G MF +

==

Os pólos de malha fechada são as raízes do polinômio característico:

1 + G(s)H(s) = 0

1G(s)H(s) −=

Como G(s)H(s) representa uma quantidade complexa, a igualdade acima precisa ser desmembrada em duas equações, as quais nos fornecem as seguintes condição para a localização dos pólos no plano s:

Condição de Módulo:

1G(s)H(s) = ( 2.1 )

Condição de ângulo:

0,1,...= )12(180 G(s)H(s) kk +±=∠ ( 2.2 )

Re

Imp1

p2

z1

Ponto de Teste

si

Sistemas de Controle 5

Ex:

K

s ( s + 4 ) R(s) C(s)+

-

K4ss K

R(s) C(s)

2 ++ =

Os pólos de malha fechada são as raízes da eq. característica ⇒ 0K4ss2 =++

 

 

−−−=

−+−= −±−=

−±− =

K42p

K42p K42

2 4K164s

2

1

Variando K temos a seguinte tabela de pólos de malha fechada:

K p1 p2

0 0 -4

1 -0,27 -3,73

2 -0,59 -3,41

4 -2,00 -2,00

5 -2,00 + j 1,00 -2,00 - j 1,00

8 -2,00 + j 2,00 -2,00 - j 2,00

Re

Im

1 τ1

- 12τ1-

K = 0K = 0

K → ∞

K → ∞

Re

Im

1 τ1

- 12τ1-

Ponto de Teste

si

1 AA

K

1G(s)H(s)

21

=

⇒=

o 21

o

180θθ

)12(180 G(s)H(s)

=+

⇒+±=∠ k

6 Sistemas de Controle

2.2 Passos para a Construção do LGR

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente:

p.ex.: 1 + G(s)H(s) = 1 + KP(s)

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros.

( )

( )∏

=

=

+

+ +=+

P

Z

n

j j

n

i i

ps

zs

1

1K1G(s)H(s)1

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes.

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros

5. Determinar o número de lugares separados, LS (seguimentos de curva que compõe o LGR).

LS = nP, quando np ≥ nZ; nP = Número de pólos finitos nZ = Número de zeros finitos

6. O LGR é simétrico com relação ao eixo real (eixo horizontal)

Basta desenhar a parte acima do eixo real e depois espelhar o esboço.

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

zP

ij A nn

zp

−−− = ∑ ∑ )()(σ

( ) ( )1,...,2,1,0,18012 o −−= − +

= zP zP

A nnqnn qφ

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0 ds

)s(dp = .

9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determinar o ponto no qual o eixo imaginário é cruzado (se isso ocorrer).

Ver critério de estabilidade de Routh-Hurwirtz.

10. Usando a condição de ângulo, determinar o ângulo de partida para os pólos complexos e o ângulo de chegada para os zeros complexos.

oo 360180 P(s) q±=∠ em s = pj ou zi.

Ângulo de Partida = 180° - (∑θi) + (∑φj)

Ângulo de Chegada = 180° - (∑φi) + (∑θj)

onde: θi = ângulos de vetores partindo dos demais pólos até o pólo em questão. φj = ângulos de vetores partindo dos demais zeros até o pólo em questão

Sistemas de Controle 7

Exemplo 1: Sistema com 2 pólos e 1 zero reais

Considere o seguinte sistema:

K R(s) C(s)+

-

s + 2

s ( s + 4 )

s4s )2s(K1G(s)H(s)1 2 +

+ +=+

1. Escrever o polinômio característico do

modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente:

KP(s)1 s4s )2s(K1G(s)H(s)1 2 +=+

+ +=+

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. ( )fatorada forma

)4s(s )2s(P(s)

s4s )2s(KG(s)H(s)1 2

+ +

=⇒

⇒ + +

=+

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Re -5 -4 -3 -2 -1

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Im

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Re -5 -4 -3 -2 -1

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Im

Total de 1 pólos e zeros

(nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros

(nº Par)

Total de 3 pólos e zeros

(nº Impar)

8 Sistemas de Controle

Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reais

Considere agora o seguinte sistema:

R(s) C(s)+

-

K

( s + 4 )( s + 2 )

(

( s + 4 )

s + 1 )

s

s32s 32s 10s )1s(K1G(s)H(s)1 234 +++

+ +=+

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente: s32s 32s 10s

1sK1KP(s)1 234 +++ +

+=+

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. 2)4s)(2s(s

)1s(P(s) ++

+ =

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

Pólo com multiplicidade 2

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

Total de 1 pólos e zeros

(nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros

(nº Par)

Total de 3 pólos e zeros

(nº Impar)

Pólo com multiplicidade 2

Trecho entre 2 pólos

5. Determinar o nº de lugares separados,

LS = nP, quando np ≥ nZ; LS = nP = 4

6. LGR é simétrico em relação ao eixo real .

Sistemas de Controle 9

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

zP

ij A nn

zp

−−− = ∑ ∑ )()(σ

( ) ( )1,...,2,1,0,18012 o −−= − +

= zP zP

A nnqnn qφ

3 3 9

14 )1()4(2)2(

−= −

= −

−−−+− =Aσ

( )

( ) 

 

==

==

==

=−−

− +

=

2;300 1;180

0;60

21

180 14 12

o

o

oo

q q

q

nn

q

A

A

A

zP

A

φ

φ

φφ

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

σA=

60º

180º

300º

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0 ds

dp(s) = .

( )2 234

234

234

1s 32s 64s 62s 243s

ds )s(dp

1s s 32s 32s 10sK)s(p

s 32s 32s 10s 1sK1KP(s)1

+ ++++

−=⇒

⇒ +

+++ −==⇒

⇒ +++

+ +=+

logo:

5994,2s0 ds

)s(dp −=⇒=

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

dp(s) ds = 0 ⇒ s = -2,5994

(Pto. de saída sobre Re)

10 Sistemas de Controle

Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexos

Ex.: Considere agora o seguinte sistema:

R(s) C(s)+

-

K

( s + 8s + 32 )s 2

1

( s + 4 )

s128s 64s 12s K1G(s)H(s)1 234 +++

+=+

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente: s 128s 64s 12s

1K1KP(s)1 234 +++

+=+

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. )44s)(44s)(4s(s

1P(s) ii −++++

=

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 Re

Im

Total de 1 pólos e zeros

(nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros

(nº Par)

5. Determinar o nº de lugares separados, LS = nP = 4

6. LGR é simétrico em relação ao eixo real .

Sistemas de Controle 11

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

3 4 12

4 )4()4()4()0(

−= −

= −+−+−+

=Aσ

( )

( )  

 

==

==

==

==

=−−

+ =

3;315

2;225

1;135

0;45

31

180 4

12

o

o

o

o

o

q

q

q

q

nn

q

A

A

A

A

zP

A

φ

φ

φ

φ φ

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-3 ||

σA

225º 45º

315º

135º

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0 ds

dp(s) = .

128-s 128s 36s 4 ds

)s(dp s 128s 64s 12sK)s(p

s 128s 64s 12s 1K1KP(s)1

23

234

234

−−−=⇒

⇒+++−==⇒

⇒ +++

+=+

logo:

5767,1s0 ds

)s(dp −=⇒=

-4 -3 -2 -1 0 s

p(s)

20

40

60

80 (-1,5767; 83,5704)

9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determinar o ponto no qual o eixo real é cruzado (se isso ocorrer).

O polinômio característico é:

0Ks 128s 64s 12s 234 =++++

A partir do critério de Routh-Hurwirtz, determinamos o polinômio auxiliar:

08889,568s 3334,53 2 =+

cujo as raízes determinam os pontos onde o LGR cruza o eixo imaginário.

s1,2 = ± 3,2660 i

s4 1 64 K s3 12 128 s2 b1 K s1 c1 s0 K

3333,53 12

128)64(12b1 = −

=

K2250,0128 b

)K(12)128(bc 1

1 1 −=

− =

Logo, o limite de ganho para estabilidade é:

8889,568 0,2250

128K ==

12 Sistemas de Controle

10. Usando a condição de ângulo, determinar o ângulo de partida para os pólos complexos e o ângulo de chegada para os zeros complexos.

oo 360180 P(s) q±=∠ em s = pj ou zi.

Logo:

ooooo 1 225)1359090(180 θ =++−=

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 Re

Im

90º

90º θ3 = 135º

θ1 = 225º

Por simetria

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

dp(s) ds = 0 ⇒ s = -1,5767

(Pto. de saída sobre Re)

±3,2660 i

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

2.3 LGR para Funções de Transferência Típicas

G(s) LGR

1. 1 τs

K

1 +

Re

Im

1 τ1

-

Sistemas de Controle 13

2. )1 τ(s)1 τ(s

K

21 ++

Re

Im

1 τ2

-1τ1-

3. )1 τ(s)1 τ(s)1 τ(s

K

321 +++

Re

Im

1 τ1

-1τ2- 1 τ3

-

4. s

K Re

Im

5. )1 τs(s

K

1 +

Re

Im

1 τ1

-

14 Sistemas de Controle

6. )1 τ(s)1 τs(s

K

21 ++

Re

Im

1 τ1

-1τ2-

7. )1 τ(s)1 τs(s

)1 τK(s

21 ++ +a

Re

Im

1 τ2

- 1τ1- 1 τa

-

8. s

K 2 Re

Im Pólo com

multiplicidade 2

9. )1 τ(ss

K

1 2 +

Re

Im

1 τ1

-

Pólo com multiplicidade 2

Sistemas de Controle 15

10. )1 τ(ss )1 τK(s

1 2 +

+a ; 1ττ >a Re

Im

1 τa

-1 τ1

-

11. s

K 3 Re

Im Pólo com

multiplicidade 3

12. 3s )1 τK(s +a

Re

Im Pólo com

multiplicidade 3

1 τa

-

13. 3s )1 τ(s)1 τK(s ++ ba

Im

Pólo com multiplicidade 3

Re1 τa

-1τb-

16 Sistemas de Controle

14. )1 τ(s)1 τ(ss

)1 τK(s

21 2 ++

+a Re

Im

1 τ1

-1τ2- 1 τa

-

Pólo com multiplicidade 2

15. )1 τ(s)1 τ(s)1 τ(s)1 τs(s

)1 τ(s)1 τK(s

4321 ++++ ++ ba

Re

Im

2.4 Localizando Raízes no LGR

Um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um sistema, ou seja, é raiz deste sistema, se forem satisfeitos os critérios de módulo e ângulo de fase (eqs. ( 2.1 ) e ( 2.2 )). Desta forma, uma vez traçado o LGR, é possível, através de dois passos adicionais, verificar se um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um dado sistema.

11. Determinar a localização das raízes que satisfazem o critério do ângulo de fase. °±°=

 

   

 −

⇒°±°=∠

=

=

∑∑ 360180

360180)s(P

q

q

i zp

i

ss n

j n

i

ss

φθ

12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si.

( )

( ) i

i

ss1

1 iss

K1KP(s)

==

=

=

+

+ =⇒=

Z

P

n

k k

n

j j

zs

ps

Sistemas de Controle 17

Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordem

Considere o seguinte sistema de segunda ordem:

K

s ( s + 4 ) R(s) C(s)+

-

( ) Ks4s4ss K1GH(s)1 2 ++= +

+=+

Dado um ponto s1 no plano s, é possível verificar se ele pertence ao LGR do sistema em questão através do critério do ângulo de fase:

11. Determinar a localização das raízes que satisfazem o critério do ângulo de fase.

oo ss

360180 P(s) i

q±=∠ =

( ) ( )

( )[ ] oo ii

ss

180180

4s -s - 4ss

K i

−=+−−=

=+∠∠= +

∠ =

θθ

12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si.

( )

( ) iss

1

1 iK

==

=

+

+ =

Z

P

n

k k

n

j j

zs

ps

( )

( ) ( )4ssKK iii

ss1

1 i

i

+=⇒ +

+ =

==

=

Z

P

n

k k

n

j j

zs

ps

onde: |si| é a magnitude do vetor que vai da origem até si.

|(si + 4)| é a magnitude do vetor que vai de -4 até si.

Re

Im

18 Sistemas de Controle

2.5 Exercícios

1. Traçar o LGR para os seguintes sistemas (com K>0), e, testar se o ponto dado pertence ao LGR do sistema:

a) 25)6ss(s

KG(s)H(s) 2 ++ = ; i3,9950 -1,0066si += .

b) 1H(s) ; 2)1)(ss(s

KG(s) = ++

= ; i,57800 -0,3337si −= .

c) 32ss

2)K(sG(s)H(s) 2 ++ +

= ; i0,2995 -0,7660si += .

d) s 1H(s) ;

54ss 1G(s) 2 =++

= ; i1,3290 + -0,4968si = .

e) ( ) 1s 1H(s) ;

134sss 1G(s) 2 +

= ++

= ; i4,1649 - 2,5509si = .

f) 2s 1sH(s) ;

6,3s 1G(s) +=

+ = ; i4,3290 + -0,2968si = .

2. Dadas as seguintes funções de transferência de malha fechada. Considerando que estes sistemas têm realimentação unitária, traçar o LGR, e, testar se o ponto dado pertence ao LGR:

a) )1s22s

1s R(s) C(s)

2

2

++ +

= ; i0,5000 -0,5000si += .

b) 11s14s11s4s

1 R(s) C(s)

234 ++++ = ; i1,5811 - -1,0000si = .

Sistemas de Controle 19

3 AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS

3.1 Introdução

A introdução de um controlador em um determinado sistema visa a modificação de sua dinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da atuação sobre um ou mais dos seus parâmetros, com o objetivo de satisfazer certas especificações com relação a sua resposta (Ogata, 1993). Os parâmetros do sistema que sofrem uma ação direta do controlador, são denominadas de variáveis manipuladas, enquanto que os parâmetros no qual se deseja obter as mudanças que satisfaçam as dadas especificações, denominam-se variáveis controladas.

O controlador é um dispositivo físico, podendo ser: eletrônico, elétrico, mecânico, pneumático, hidráulico ou combinações destes. No projeto real de um sistema de controle, o projetista deverá decidir pela utilização de um ou mais controladores. Esta escolha depende de vários fatores. O tipo de controlador mais comumente usado, mesmo em plantas das mais diversas naturezas, é o controlador eletrônico. De fato, os sinais não elétricos são, normalmente, transformados em sinais elétricos, através de transdutores, e, devido a simplicidade de transmissão, aumento da performance, aumento da confiabilidade e principalmente, facilidade de compensação. Geralmente controladores eletrônicos são circuitos simples, formados basicamente por amplificadores operacionais, sendo assim de fácil implementação prática e baixos custos (Ogata, 1993).

Uma vez determinada a necessidade de se projetar um controlador, existem algumas configurações possíveis, com respeito ao posicionamento do mesmo no sistema a ser controlado. Algumas das configurações mais usadas em sistemas de controle, são:

Controladores Série

Em geral, o projeto de controladores série é mais simples que o de controladores por realimentação. Entretanto, normalmente exige amplificadores adicionais para aumentar o ganho do sistema. Consiste em colocar o controlador no ramo direto de alimentação, ou seja, em série com a planta

Controladores por Realimentação

Em geral, o número de componentes necessários na compensação por realimentação será menor que o número de componentes na compensação série. Esta configuração recebe este nome pois, neste caso, o compensador é inserido num ramo de realimentação.

Comp.+ -

R(s) C(s)U(s)E(s) Planta

+ -

R(s) C(s)U(s) Planta

Comp.

20 Sistemas de Controle

3.2 Ações Proporcional, Integral e Derivativa (P-I-D)

Controle Proporcional (P)

A razão entre a saída e a entrada do compensador é chamada de ganho proporcional ‘K’, quanto maior for o ganho do compensador, menor será o erro de estado estacionário ‘ess’, contudo, o tempo de acomodação aumenta, tendendo, em certos casos, a desestabilizar o sistema. O inverso acontece quando se reduz (atenua) o ganho. Um compensador deste tipo, como não acrescenta pólos nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste no seu ganho original.

)t(Ke)t(u = ; )s(KE)s(U =

onde: e(t)= r(t) - y(t)

Resumo

• É um amplificador com ganho ajustável (K).

• O aumento de K diminui o erro de regime.

• Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatório, podendo instabilizá-lo.

• Melhora o regime e piora o transitório, sendo bastante limitado.

Ex:

K R(s) C(s)+

-

1

( s + 1 )τ

Para entrada degrau unitário ⇒ K

ess + =

1 1

O erro será nulo somente para K → ∞, o que nem sempre é possível.

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