Apostila Topografia I, Notas de estudo de Topografia
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Apostila Topografia I, Notas de estudo de Topografia

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DEPARTAMENTO DE GEODÉSIA

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

TOPOGRAFIA I

Profa. Dra. Andréa Ritter Jelinek

JULHO, 2009

Cap. I – Generalidades 1

Cap. II – Planimetria 8

Cap. III – Altimetria 45

Cap IV – Taqueometria 62

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

1

Capítulo I

GENERALIDADES

1. Conceitos Fundamentais

Definição: a palavra “Topografia” deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen

(descrever), que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar.

Diferença entre Geodésia e Topografia: A Topografia está inserida na Geodésia, utilizam

métodos e instrumentos semelhantes, porém, a Geodésia se preocupa com a forma e dimensões da

Terra, enquanto a Topografia se limita a descrição de área restritas da superfície terrestre.

Apesar de a superfície terrestre ser bastante irregular, formada de depressões e elevações, é

possível considerá-la regular em face da reduzida dimensão destes acidentes em relação ao raio da

Terra, uma vez que a máxima depressão ou elevação é inferior a 10 km, desprezível ante a extensão

do raio médio da Terra, aproximadamente igual a 6.371 km. Nestas condições, em primeira

aproximação, a superfície terrestre pode ser considerada como a superfície de nível médio dos

mares - supostamente prolongada sob os continentes e normais em todos os seus pontos à direção

da gravidade - superfície esta denominada de GEÓIDE.

Tendo em vista a impossibilidade de ser determinada a equação analítica representativa

desta superfície, adotou-se como forma da Terra a de um elipsóide de revolução girando em torno do

seu eixo menor, dito ELIPSÓIDE TERRESTRE, que é definido por:

SEMI-EIXO MAIOR = a

ACHATAMENTO: A = (a – b) / a

Figura 1.2

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

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Elipsóide internacional de referência (Hayford, 1924):

a = 6.378.388 m

b = 6.356.912 m

A = 1 / 297

R = (2a + b) / 3 = 6.371.220 m

É sob este conceito de forma da Terra que a GEODÉSIA trabalha nos estudos que exigem

maior rigor matemático.

A TOPOGRAFIA por sua vez, que considera trechos de dimensões limitadas, admite a

superfície terrestre como plana, o que corresponde a desprezar a curvatura da Terra.

Assim sendo, a GEODÉSIA e a TOPOGRAFIA têm os mesmos objetivos, diferindo nos

fundamentos matemáticos em que se baseiam: a geodésia apoiada na trigonometria esférica e a

topografia, na trigonometria plana.

2. Objetivos da Topografia

A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma

porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando

a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia a locação no terreno de

projetos elaborados de Engenharia.

Divisões da Topografia:

• PLANIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano horizontal;

• ALTIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano vertical

3. Influência da forma e dimensões da Terra nos levantamentos topográficos

3.1. Introdução

Por levantamento topográfico pode-se entender como sendo o conjunto de operações que

tem por objetivo a determinação da posição relativa de pontos na superfície da Terra ou a pouca

altura da mesma. Essas operações consistem, essencialmente, em medir distâncias verticais e

horizontais entre diversos pontos, determinar ângulos entre alinhamentos e achar a orientação destes

alinhamentos. Complementando essas operações tem-se o cálculo das observações permitindo

determinar distâncias, ângulos, orientações, posições, alturas, áreas e volumes. Com os dados de

campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis

longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução de um levantamento topográfico,

além da necessidade de se conhecer os instrumentos utilizados nas medições requer conhecimentos

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

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de geometria, trigonometria plana e esférica, física, astronomia e teoria dos erros e sua

compensação.

Nos levantamentos topográficos parte-se do princípio que a Terra é plana e, por isso, os

cálculos são essencialmente fundamentados na geometria Euclidiana e na trigonometria plana. Como

a Terra não é plana, torna-se necessário verificar a sua influência nos levantamentos topográficos.

3.2. Forma e dimensão da Terra

Geodésia é a ciência que estuda a forma e dimensão da Terra. Em termos de geometria, a

atual superfície do Planeta é complexa. Vastas áreas (71% de sua superfície total) são tomadas

pelos oceanos e depressões marítimas que podem atingir até 11.000 m de profundidade. A Terra

pode caracterizar cordilheiras, montanhas, gargantas sinuosas e profundas, planícies, vales de rios e

desfiladeiros. Algumas montanhas são muito altas, por exemplo, a altitude do Monte Everest é de

8.848 m. A elevação média da Terra sobre o nível do mar é de 875 m.

Uma idéia generalizada da forma da Terra pode ser obtida pelo uso do conceito de uma

“superfície de nível”. O fio de prumo oscilante assumirá a posição da vertical verdadeira devido à

força da gravidade. Pela mesma razão uma superfície de água é horizontal e a linha de prumo

verdadeira será perpendicular a esta superfície. Uma grande quantidade de superfícies de nível pode

ser imaginada. Em topografia, especial importância é atribuída para a superfície de nível que coincide

com o nível médio do mar, o nível de uma superfície de água inanimada dos oceanos do mundo. Esta

superfície fechada e supostamente contínua, inclusive penetrando nos continentes, é perpendicular à

direção da gravidade em qualquer ponto e é chamada de Superfície Datum ou simplesmente Datum.

As direções da gravidade são função da distribuição das densidades das rochas que formam

a crosta terrestre. As rochas estão distribuídas de forma variável na crosta terrestre. Por esta razão, a

superfície Datum (geóide) que é ortogonal em qualquer ponto à linha de prumo verdadeira apresenta

uma forma complexa e irregular.

Quando se determina a forma geométrica de objetos procura-se, usualmente, compará-los

com sólidos geometricamente regulares. A mesma analogia é seguida na geodésia para determinar a

forma e tamanho da Terra. A partir de premissas teóricas e observações atuais, a Terra tem, em

geral, uma forma que pode ser aproximada a um elipsóide de revolução cuja superfície pode ser

calculada usando fórmulas exatas e é matematicamente bem conhecida.

A União Geodésica e Geofísica Internacional já definiu o Sistema de Referência GRS80

(Geodetic Reference System, 1980), o qual adota o elipsóide de parâmetros:

a (semi-eixo maior) = 6.378.137 m

e

α (achatamento) = 1 / 298,257

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, responsável pela geodésia do Brasil, ao

estabelecer o Sistema Geodésico Brasileiro, adotou a partir de 2005, como sistema de referência

geocêntrico para as Américas, o SIRGAS 2000.

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3.3. Influência das medidas lineares nos levantamentos topográficos

A topografia é o conjunto dos princípios, métodos, aparelhos e convenções utilizados para a

determinação do contorno, das dimensões e da posição relativa de uma porção limitada da superfície

da Terra, do fundo dos mares ou do interior das minas. Compete, ainda, à topografia a locação no

terreno de projetos elaborados. O topógrafo no desempenho de suas funções deve ter presente as

seguintes superfícies:

(a) a superfície da Terra ao longo da qual são realizadas as operações de medição;

(b) o geóide que é simplesmente uma determinada superfície equipotencial do campo da

gravidade; ao qual estão referidas as altitudes ortométricas. Nos continentes e ilhas acha-se no

interior da crosta; e

(c) a superfície do modelo geométrico, às vezes denominado de superfície de referência e

sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos; na esmagadora maioria das vezes é o elipsóide

de revolução. Na topografia, essa superfície é o plano sobre o qual o topógrafo faz os cálculos

usando em essência, a geometria Euclidiana e a trigonometria plana.

Não sendo a Terra plana, torna-se necessário avaliar o erro que se comete quando na

topografia se faz uso do plano para os cálculos geométricos e trigonométricos dos levantamentos

topográficos.

Nas medidas lineares, deve-se considerar o caso de redução dessa distância para a

superfície elipsoidal e, depois, a redução da distância elipsoidal para o plano de projeção topográfica.

A redução da medida da distância para a superfície elipsoidal é dada por:

So = S.R / R + H

onde:

So é a distância reduzida à superfície elipsoidal;

S é a distância horizontal medida entre dois pontos do terreno;

R é o raio da Terra, admitida esférica (na ordem de 6.371 km); e

H é a altitude geométrica média da distância medida.

Alguns autores nacionais apresentam a redução de distância ao geóide. Não é a forma mais

correta, visto que, o geóide não é uma superfície de cálculo, mas sim, o elipsóide. Por outro lado,

talvez se deva ao fato da dificuldade em obter-se as altitudes geométricas, pois, o Instituto Brasileiro

de Geografia e Estatística fornece as altitudes ortométricas. Entretanto, existe uma carta geoidal do

Brasil, da qual se poderia obter a ondulação geoidal por interpolação gráfica e calcular a altitude

geométrica.

3.3.1. Planimetria

Pretende-se avaliar agora a diferença que existe quando se faz a redução da distância

elipsoidal (para o plano de projeção topográfico).

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Figura 1.2

Da Fig. 1.2 do triângulo retângulo A1OB1, tira-se:

tg α = do / R (1.1)

onde:

do é a distância no plano de projeção topográfico; e

α é um ângulo central.

Como α é muito pequeno, podemos desenvolver em série de potência tg α e desprezando as

parcelas superiores às de 3ª ordem, tem-se:

tg α ≈ α + α3 / 3 + ...

que substituindo na equação (1.1), obtém-se:

α + α3 / 3 = do / R (1.2)

mas α = So / R quando α for expresso em radianos, portanto, substituindo na equação (1.2), obtém-

se:

So / R + So3 / 3.R3 = do / R

ou

do - So = So3 / 3.R2 (1.3)

em que do - So representa exatamente a diferença que existe quando se faz a redução da distância

elipsoidal para o plano de projeção topográfico.

Torna-se necessário avaliar até onde se pode realizar um levantamento planimétrico de

maneira que a influência da curvatura terrestre possa ser desconsiderada.

Reescrevendo a equação (1.3), tem-se:

do - So = ∆S = So3 / 3.R2 (1.4)

ou, ainda,

∆S / So = So2 / 3.R2 (1.5)

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Considerando R ≈ 6.371 km e alguns valores para So, então, com as expressões (1.4) e (1.5)

pode-se calcular os valores da diferença ∆S e do erro relativo ∆S / So conforme se pode ver na Tab.

1.1:

Tabela 1.1:

So (km) S (m) S / So 10 0,01 1:1.000.000 50 1,03 1:48.500

100 8,21 1:12.000

Com a expressão (1.5) pode-se determinar o erro relativo da influência da curvatura terrestre

nas distâncias medidas na superfície terrestre e depois reduzidas ao elipsóide. Assim, conhecendo-

se a exatidão que se deseja no levantamento topográfico, pode-se estabelecer como sendo 10 km,

50 km, 100 km ou outro valor qualquer a extensão máxima do levantamento planimétrico sem levar

em consideração a curvatura terrestre.

3.3.2. Altimetria

Considerando-se, ainda, a Fig. 1.2 pode-se dizer:

___ ∆h = BoB - B1B (1.6)

Por outro lado, considerando o triângulo retângulo A1OB1 da Fig. 1.2 e aplicando a este o

teorema de Pitágoras, obtém-se:

(R + ∆h)2 = R2 + do2 (1.7)

que desenvolvendo chega-se a:

R2 + 2.∆h.R + ∆h2 = R2 + do2

ou,

∆h2 + 2.∆h.R = do2

∆h.(∆h + 2.R) = do2

∆h = do2 / ∆h + 2.R

∆h ≈ do2 / 2.R (1.8)

À semelhança do que foi feito no item 3.3.1 pode-se considerar R ≈ 6.371 km e para alguns

valores de do calcular o valor de ∆h obtendo-se:

Tabela 1.2:

do (m) h (m) 0,1 0,0008 0,3 0,0071 0,5 0,0196 0,7 0,038 1 0,078 2 0,314

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Pela análise da Tab. 1.2 e comparando com os resultados obtidos na planimetria e

anteriormente inseridos na Tab. 1.1, pode-se constatar que o efeito da curvatura da Terra na

altimetria é muito mais acentuado do que na planimetria. Desta forma, dependendo da precisão

interna que se deseja no levantamento topográfico altimétrico pode não ser aconselhável deixar-se

de considerar o efeito da curvatura da Terra.

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Capítulo II

PLANIMETRIA

1. Introdução

Um alinhamento topográfico é um segmento de reta materializado por dois pontos nos seus

extremos. Tem extensão, sentido e orientação.

Por exemplo:

Figura 2.1

Orientação: 45°

Sentido: de A para B.

Extensão: x metros.

2. Definição de Rumo, Azimute e Ângulo interno

Rumo é o menor ângulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questão. O

Rumo varia de 0º a 90º e necessita a indicação do quadrante em que se encontra o alinhamento (Fig.

2.2).

Figura 2.2

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Considerando-se a Fig. 2.3, por exemplo:

Figura 2.3

ROA = 35º NE

ROB = 35º SE

ROC = 70º SW

ROD = 20º NW

Azimute é o ângulo formado entre o Norte e o alinhamento em questão. É medido a partir do

Norte, no sentido horário, podendo variar de 0º a 360º.

Considerando-se a Fig. 2.4, por exemplo:

Figura 2.4

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AzOA = 35º

AzOB = 145º

AzOC = 250º

AzOD = 340º

Conversão de Rumo em Azimute e vice-versa

Quadrante NE: Az = 180º R = Az

Quadrante SE: Az = 180º - R R = 180º - Az

Quadrante SW: Az = 180º + R R = Az - 180º

Quadrante NW: Az = 360º - R R = 360º - Az

A seqüência apresentada na Fig. 2.5, mostra o rumo e o azimute nos diversos quadrantes.

Figura 2.5

Rumos e azimutes, magnéticos e verdadeiros

Até o momento, ao falar em rumos e azimutes não foi especificado a sua referência, a partir

do Norte verdadeiro ou magnético. Quando o azimute é medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira

ou geográfica, o azimute é verdadeiro; quando é medido a partir da linha Norte-Sul magnética, o

azimute é magnético. O mesmo se dá para os rumos.

A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a Declinação magnética

local. A declinação magnética é sempre medida do Norte verdadeiro para o magnético.

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As agulhas imantadas colocadas em bússolas fornecem os azimutes magnéticos; para

transformá-los em verdadeiros é necessário que se conheça a declinação magnética local e fazer a

transformação adequada.

A posição do Norte verdadeiro pode ser conhecida, diretamente, através de observações aos

astros (sol e estrelas), obtendo-se assim o azimute verdadeiro.

A declinação magnética pode variar em função dos fatores tempo e lugar. Os tipos de

variação são:

Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um determinado valor para a

declinação. Os pontos da Terra que, num dado instante, tem o mesmo valor de declinação,

quando ligados por linhas imaginárias, formam as linhas isogônicas.

Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha em torno do

pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um lugar,

mudando inclusive de sentido (de E para W, por ex.).

Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é uniforme pelos

meses do ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos topográficos comuns. As linhas

que unem locais de mesma varaiação annual da declinação são ditas isopóricas.

Sabendo-se disto, quando se vão utilizar azimutes magnéticos de antigos levantamentos,

devem-se reajustar os seus valores para a época atual. Este procedimento é chamado de

reaviventação de rumos e azimutes.

Figura 2.6

AzBC = AzAB + DAbd (2.1)

AzCD = AzBC – DBce (2.2)

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Azn = Azn-1 ± Dde (2.3)

Ângulo Internoé o ângulo formado por dois alinhamentos consecutivos de um polígono, é sempre medido no sentido horário e tomado internamente.

POLIGONAL FECHADA:

Figura 2.7

ΣAi = (n – 2).180° (2.4)

POLIGONAL ABERTA:

Caminhamento à esquerda ou no sentido horário

Figura 2.8

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Az23 = Az12 – Ai2 + 180°

Az34 = Az23 – Ai3 + 180°

• Caminhamento à direita ou no sentido anti-horário

Figura 2.9

Az23 = Az12 + Ai2 - 180°

Az34 = Az23 + Ai3 - 180°

Generalizando tem-se a Fórmula geral dos azimutes:

Azn = Azn -1 ± Ai ± 180º (2.5)

onde:

Azn é o azimute do alinhamento;

Azn-1 é o azimute do alinhamento anterior; e

Ai é o ângulo horizontal interno.

Se o caminhamento na poligonal for à direita ou no sentido anti-horário, soma-se o valor do

ângulo interno ao azimute do alinhamento anterior (Azn -1 + Ai); se o caminhamento na poligonal for à

esquerda ou no sentido horário, subtrai-se o valor do ângulo interno do azimute do alinhamento

anterior (Azn -1 - Ai).

Se (Azn-1 ± Ai) > 180º , subtrai-se 180º; se (Azn-1 ± Ai) < 180º , soma-se 180º.

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3. Medidas de distâncias: métodos e instrumentos (analógicos e eletrônicos)

A medida entre dois pontos, em topografia, corresponde à medida da distância horizontal

entre esses dois pontos, mesmo que o terreno seja inclinado.

A medição de uma distância pode ser efetuada por processo direto, por processo indireto ou,

por processos eletrônicos, sendo este último o mais moderno e mais preciso.

3.1. Medida direta de distâncias

A determinação da extensão de um alinhamento pode ser feita por medida direta quando o

instrumento é aplicado no terreno ao longo do alinhamento.

Instrumentos

Os instrumentos destinados para a medida direta são genericamente denominados de

diastímetros. Entre os principais têm-se:

(a) Corrente de agrimensor: é composta de barras de ferro ligadas por elos, dois em cada

extremidade, para facilitar a articulação; cada barra, com um elo de cada lado, mede 20 cm e a

corrente toda é de 20 m. De metro em metro, encontra-se presa uma medalha onde se acha gravado

o nº de metros desde o início da corrente. Nas extremidades da corrente existem as manoplas, as

quais permitem a extensão para eliminar a catenária (curvatura que o peso da própria corrente

ocasiona).

Atualmente se encontra em desuso devido à pouca precisão e praticidade.

(b) Trena de aço: é uma fita de aço graduada em centímetros, enrolada no interior de uma

caixa através de uma manivela. Geralmente o primeiro decímetro é milimetrado, para medidas de

maior precisão. Ocorrem em comprimentos variados, até 50 m, sendo mais comuns as de 20 e 30 m.

Apesar de apresentar boa precisão nas medidas, a trena de aço é muito pouco prática no uso

comum. Pode sofrer influência da variação de temperatura (dilatação e contração do aço); parte-se

facilmente; pode enferrujar-se rapidamente, necessitando ao final de cada dia de trabalho, limpá-la

com querosene e besuntá-la com vaselina; e não pode ser arrastada pelo solo, pois gastará a

gravação dos números e dos traços que constituem sua marcação.

(c) Fita de aço: são também trenas de aço, porém são enroladas em círculos descobertos

munidos de um cabo de madeira. Não são gravadas de ponta a ponta, apenas o primeiro e o último

decímetro são milimetrados, a parte intermediária é marcada a cada 50 cm, tendo nos metros inteiros

uma chapinha com o número.

São mais rústicas que as trenas, permitindo serem arrastadas pelo solo sem maiores

prejuízos.

(d) Trena plástica: são fitas plásticas reforçadas com fibra de vidro. Tem diversos

comprimentos, sendo que a mais utilizada é a de 20 m. São normalmente práticas e apresentam uma

precisão razoável, o que as torna intensamente utilizadas.

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Acessórios

Existe uma série de acessórios utilizados na medida direta de distância, dentre os quais se

apresentam os principais:

(a) Baliza: vara de ferro ou madeira, de 2 m de comprimento, pintadas geralmente de branco

e vermelho. Tem a função de destacar o ponto sobre o terreno. A sua extremidade inferior tem forma

cônica, para facilitar sua fixação no terreno.

A verticalidade da baliza é muito importante, podendo vir acompanhada de um nível de bolha.

(b) Fichas: pequenas barras de ferro (≅ 30 cm), pontiagudas em uma das extremidades e

com alças na outra, para serem cravadas no solo. São utilizadas para controle do número de vezes

que o diastímetro é aplicado para a obtenção da medida de uma grandeza.

São normalmente compostas por grupos de 10 fichas, presas a uma argola.

(c) Piquetes e estacas: peças de madeira que são cravadas no terreno para a determinação

dos pontos. O piquete, geralmente com 20 cm, é cravado na posição do ponto visado, enquanto que

a estaca, com aproximadamente 40 cm, é cravada a aproximadamente 50 cm do piquete, para

facilitar a localização deste.

(d) Dinamômetro: aparelho destinado a medir as tensões aplicadas às trenas, para correção

dos valores obtidos, nas medidas de maior precisão.

(e) Termômetro: para medir a temperatura no momento da medição, para efetuar correções

nas medidas de precisão.

Execução da medida

Seja, por exemplo, medir o comprimento horizontal do alinhamento AB, com um diastímetro e

cujo perfil está representado na Fig. 2.10.

Figura 2.10

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Com o teodolito instalado e calado no ponto A (o teodolito é opcional, pode ser posta apenas

uma baliza), colima-se uma baliza posta sobre o ponto B. O balizeiro de ré segura a graduação zero

da trena sobre o ponto A e o balizeiro de vante caminha segurando a outra extremidade da trena e

uma baliza, até que a trena fique estendida. Neste momento, o operador do instrumento indica se o

balizeiro de vante deve deslocar a baliza para a esquerda ou direita, a fim da linha de visada coincidir

com o eixo da baliza. Estabelecida a posição correta da baliza na direção AB, a graduação zero da

trena é mantida firme no ponto A e a graduação 20 m é encostada na baliza, estando a trena na

horizontal e bem esticada, para diminuir ao máximo a catenária; e assinala-se no terreno o ponto 1,

com uma ficha; deste modo estará medido um trecho de 20 m.

O balizeiro de ré segue para o ponto 1 com o zero da graduação da trena, e o balizeiro de

vante, caminha na direção do ponto B, com a outra extremidade da trena e a baliza, para efetuar a

medida do trecho 12, de modo idêntico ao anterior. Procede-se da mesma forma na medida do trecho

23, com uma trenada de 20 m.

Quando o terreno é fortemente inclinado, como no trecho 35, reduz-se a extensão da trena e

completa-se a medição.

A DHAB será: 3.20 + 2.10 + 8,2 = 88,2 m.

3.2. Medida indireta de distâncias

O processo de medida é indireto quando a distância é obtida em função da medida de outras

grandezas, não havendo, portanto, necessidade de percorrer a distância.

A medida indireta das distâncias é baseada na resolução de triângulos isósceles ou

retângulos.

A taqueometria, do grego “takhys” (rápido), “metren” (medição), compreende uma série de

operações que constituem um processo rápido e econômico para a obtenção indireta da distância

horizontal e diferença de nível.

Instrumentos

O instrumento utilizado são os teodolitos providos de fios estadimétricos, que além de medir

ângulos, acumulam também a propriedade de medir óticamente as distâncias horizontais e verticais.

O instrumento empregado fornece os dados referentes às leituras processadas na mira com

auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de inclinação do terreno lido, no limbo vertical do

aparelho.

Se observarmos um teodolito, através da ocular, veremos uma série de fios paralelos e

perpendiculares entre si, como pode ser visto na Fig. 2.11.

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Figura 2.11

As miras são réguas de madeira ou metal usadas no nivelamento para determinação de

distâncias verticais, medidas entre a projeção do traço do retículo horizontal da luneta na mira e o

ponto do terreno onde a mira está instalada.

As miras mais utilizadas são as “miras falantes”. Geralmente apresentam 4 metros de

comprimento, sendo graduadas em centímetros. Os centímetros são pintados alternadamente em

preto e branco, os decímetros numerados em preto e os metros assinalados por círculos pintados em

preto ou vermelho.

As miras normalmente são de encaixe. São constituídas de três peças, encaixadas a primeira

dentro da segunda e esta na terceira. Um dispositivo com mola fixa uma peça na outra quando a

mira está completamente distendida, de maneira que a graduação de uma seja a continuação de

outra.

Existem miras com graduação direta e graduação indireta, para leitura com instrumentos de

luneta de imagem direta ou indireta, respectivamente.

Algumas miras vêm acompanhadas de nível esférico, que auxiliam na tarefa de mantê-las

verticalizadas (Fig. 2.12).

A leitura na mira é constituída de um número de quatro casas decimais (metro, decímetro,

centímetro e milímetro por estimativa). O ponto indica o número de metros; o algarismo o número de

decímetros; os traços pretos e brancos alternados, o número de centímetros e o número de

milímetros são estimados.

Princípio da estadimetria

Pode-se analisar o que se passa na luneta com as linhas de vista inicialmente com a luneta

em posição horizontal, conforme pode ser visto na Fig. 2.13.

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Figura 2.12

Figura 2.13

onde:

P é a vista do observador;

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C é o eixo vertical do instrumento;

F é o foco do sistema;

O-O é a ocular da luneta;

O’ -O’ é a objetiva da luneta;

A é o ponto estação;

B é o ponto onde está a mira;

c é a distância entre o eixo vertical do instrumento e a objetiva;

f é a distância focal;

S é distância entre o foco e a mira; e

D é a distância entre os pontos A e B.

Baseando-se na semelhança dos triângulos O’O’I e LsLiF:

S / f = LsLi / O’O’ (2.6)

Podendo-se dizer:

O’O’ = ab = distância entre os dois retículos, que chamamos de intervalo i. Em Ls é feita a

leitura superior da mira e em Li é feita a leitura inferior. A diferença de leitura Ls - Li nos dá o intervalo

de leitura de mira ou número gerador (I), portanto:

S / f = I / i ∴ S = I.(f / i) (2.7)

Mas quer-se obter D; a distância entre as estacas A e B, sendo D = S + f + C, portanto:

D = I.(f / i) + (f + C) (2.8)

a relação f / i é chamada de constante multiplicativa e (f + C) é chamada de constante aditiva.

Nos teodolitos atuais a constante multiplicativa é igual a 100, para facilitar os cálculos.

Nos teodolitos antigos, as medidas eram efetuadas a partir da objetiva (teodolitos não

analáticos). Para se obter a medida a partir do centro ótico da luneta era necessário adicionar a

distância entre a objetiva e o centro ótico da luneta, denominada constante aditiva. Nos teodolitos

atuais (teodolitos analáticos) o ângulo diastimométrico (ângulo formado entre o foco da objetiva e os

fios estadimétricos) forma-se no centro ótico da luneta, fazendo com que a constante aditiva seja

igual a zero.

Então, a fórmula para o cálculo da distância entre os dois pontos, isto é, o ponto onde está o

teodolito e o ponto onde está a mira verticalizada, desde que a luneta esteja em posição horizontal, é

igual ao intervalo de leituras da mira (I) multiplicado pela constante multiplicativa:

D = I.100 (2.9)

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

20

Na Fig. 2.14 observa-se linha de vista central inclinanda com um ângulo qualquer (α).

Ainda, por semelhança de triângulos tem-se:

S / f = Ls’Li’ / I (2.10)

Portanto,

S = Ls’Li’.(f / i) (2.11)

A distância D = S + f + C, portanto,

D = Ls’Li’ .(f / i) + (f + C) (2.12)

Figura 2.14

Porém, não se conhece a distância Ls’Li’ já que a mira é colocada na posição vertical e Ls’Li’,

imaginariamente, seria obtida se a mira fosse colocada inclinada perpendicularmente a linha de vista

central CM. Relacionando Ls’Li’ com LsLi, pode-se dizer que a reta Ls’Li’ é perpendicular à linha de

vista central e logicamente os ângulos β e γ são diferentes do ângulo reto, já que as linhas de vista

superior e inferior não são paralelas à linha de vista central.

Mas suponha-se que β e γ = 90º, tem-se:

Ls’M = LsM.cos α (2.13)

e

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

21

Li’M = LiM.cos α (2.14)

Resolvendo:

Ls’M + Li’M = (LsM + LiM).cos α (2.15)

Portanto, Ls’Li’ = LsLi .cos α , mas LsLi = I que é o intervalo de leituras de mira, assim:

Ls’Li’ = I.cos α ; logo,

D = I.(f / i).cos α + (f + C) (2.16)

Assim, a distância horizontal, DH = D . cos α , substituindo, tem-se:

DH = I.(f / i).cos2 α + (f + C) .cos α (2.17)

Voltando-se, agora, a analisar a suposição de β e γ serem igualados a 90º. Realmente não

são, porém a diferença é desprezível. β é um pouco maior que 90º e γ é um pouco menor. Faz-se β =

90º + e e γ = 90º - e , sendo “e” a diferença para 90º. Dos triângulos Ls’LsM e Li’LiM:

LsM / Ls’M = sen 90º + e / sen [90º - (α + e)] (2.18)

LiM / Li’M = sen 90º - e / sen [90º - (α - e)] (2.19)

Portanto,

LsM + LiM = (Ls’M + Li’M).[cos e / cos (α + e)] + [cos e / cos (α - e)] (2.20)

LsB = Ls’ Li’ .[(cos e / cos (α + e)) + (cos e / cos (α - e))] (2.21)

Por transformações trigonométricas, tem-se:

Ls’ Li ’ = Ls Li .cos α - Ls Li .(sen2 α / cos α).tg2e (2.22)

Sendo a constante multiplicativa igual a 100, o valor de “e” será:

tg e = 0,5 / 100 = 0,005 , portanto e = 0º 17’ 11” .

Simplificando a fórmula do cálculo da distância horizontal, tem-se:

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

22

DH = 100.I.cos2 α (2.23)

ou

DH = 100.I.sen2 Z (2.24)

no caso do teodolito ter o limbo vertical zerado no zênite.

3.3. Medida eletrônica de distâncias

Instrumentos

O distanciômetro eletrônico (DE) é o instrumento utilizado na medição eletrônica de

distâncias. O primeiro distanciômetro eletrônico surgiu em 1943, graças ao cientista sueco E.

Bergstran, que projetou o primeiro DE, que recebeu o nome de Geodimiter NASM-2.

O aparecimento dos DEs facilitou muito a medição de distâncias, além de aumentar a

qualidade das medidas. A precisão das medidas de distâncias saltou da ordem do milímetro para

décimos de milímetros.

O DE, que inicialmente, devido às suas dimensões, era utilizado sozinho, com o avanço da

tecnologia, passou a ser montado sobre um teodolito. Essa combinação, evidentemente aumentou a

eficiência da coleta de dados nos trabalhos topográficos. A combinação de um teodolito eletrônico

com um distanciômetro eletrônico em um único instrumento denomina-se “estação total” (do inglês

total station”). A estação total tem a facilidade de um controle central único.

Princípio de medida de distâncias utilizando ondas eletromagnéticas

O princípio de funcionamento de um distanciômetro eletrônico é baseado na medida da

diferença de fase, isto é, a medida de tempo que uma onda eletromagnética leva para percorrer duas

vezes a distância entre o aparelho receptor e um refletor instalado em outro extremo.

Pode-se dividir as ondas eletromagnéticas usadas na medida precisa de distâncias, de

acordo com o seu comprimento de onda, nas seguintes classes:

(a) micro-ondas, com comprimento de onda entre 1 e 10 cm;

(b) luz visível, com comprimento de onda médio de 0,5 µm; e

(c) infravermelho, com comprimento de onda entre 0,72 e 0,94 µm.

Quase todos os equipamentos de medição eletrônica de distâncias usados em

levantamentos são baseados em métodos que utilizam a medida da diferença de fase, considerada

como parte de um ciclo expresso em unidades de tempo ou de comprimento.

Um sinal modulado é transmitido de uma das extremidades da linha a ser medida. Na outra

extremidade, esse sinal é refletido para a estação origem e o sinal modulado de retorno é então

analisado.

Na Fig. 2.15 tem-se o esquema do percurso de uma onda eletromagnética numa distância D.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

23

Figura 2.15

A distância D, entre o sinal transmitido e o sinal refletido, pode ser expressa da seguinte

forma:

D = m. λ / 2 + U (2.26)

onde:

m representa o número de meio-comprimento de onda;

λ representa o comprimento da onda de modulação básica; e

U representa a tração do meio-comprimento de onda.

O instrumento obtém eletronicamente os valores de m e de U. Geralmente m é obtido pela

combinação apropriada de ondas com frequências diferentes. U é resultado da transformação do

valor obtido eletronicamente para a diferença de fase, e para a obtenção deste valor, diferentes

distanciômetros podem utilizar diferentes componentes eletrônicos.

O comprimento de onda λ é uma função da frequência de modulação f e da velocidade v de

propagação das ondas eletromagnéticas:

λ = v / f (2.26)

No vácuo, a velocidade de propagação é constante para todas as ondas eletromagnéticas,

sendo igual a: c = 299.792,5 km/s; conforme recomendação da União Geodésica e Geofísica

Internacional (1957).

Na atmosfera, a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas (v) é sempre menor

que a velocidade de propagação no vácuo e pode ser calculada por:

v = c / n (2.27)

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

24

onde n é o índice de refração do ar, que é uma função da densidade do ar e do comprimento da onda

portadora.

O valor de n pode ser determinado com base em medidas meteorológicas da temperatura,

pressão e umidade do ar ao longo da linha que liga os dois pontos cuja distância é desejada. Por esta

razão, o valor do comprimento do sinal modulado é desconhecido durante a medição, a menos que o

índice de refração seja conhecido, então:

λ = c / n.f (2.28)

pode ser calculado. A frequência f de modulação pode ser estabilizada e é usualmente conhecida

com alto grau de precisão.

O fabricante usualmente dá o valor de λ = λ1 para condições atmosféricas específicas, isto é,

para um certo valor de n = n1. Então:

λ1 = c / n1.f (2.29)

Por esta razão, a distância que é registrada pelo medidor eletrônico de distâncias é igual a:

D1 = U1 + m. λ1 / 2 (2.30)

onde U1 é uma fração de λ1 / 2.

Se durante as medidas o índice de refração é diferente do valor padrão do fabricante, então,

o valor do comprimento de onda será:

λ2 = c / n2.f (2.31)

e a distância medida é:

D = m. λ2 / 2 + u2 (2.32)

Das equações (2.31) e (2.32) tira-se:

λ2 = λ1 .n1 / n2 (2.33)

e, finalmente, a distância correta pode ser igual a:

D = u1.n1 / n2 + m. λ1.n1 / 2.n2 = D1.n1 / n2 (2.34)

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

25

A equação (2.34) corresponde a fórmula básica para a correção da distância medida de

acordo com as condições atmosféricas no instante em que foi efetuada a medição.

O centro eletrônico do instrumento medidor eletrônico de distâncias geralmente não coincide

exatamente com o centro geométrico de centragem, logo, tem-se que acrescentar (ou subtrair) à

distância uma constante denominada “erro de zero” ou “constante aditiva” (Zo). Devem-se realizar

correções adicionais para reduzir a distância medida na superfície ao elipsóide ou ao plano de

referêcia de trabalho.

A distância final reduzida Do é calculada da seguinte forma:

Do = D1.n1 / n2 + Zo + ∆D (2.35)

onde:

D1 é a distância medida;

n1 é o índice de refração aceito pelo laboratório de calibração;

n2 é o índice de refração durante a medida de campo (a ser determinado pelo observador);

Zo é o erro de zero; e

∆D é uma composição de correções devido às reduções da medida efetuada na superfície terrestre

até atingir o elipsóide ou o plano de referência de trabalho.

Instrumentos que usam micro-ondas:

Os instrumentos que usam micro-ondas tem comprimentos de onda da ordem de alguns centímetros. Nos equipamentos telurômetros, os primeiros modelos tinham comprimentos de onda de

3 a 10 cm, e o modelo mais recente, o MRA-4, tem um valor de λ em torno de 9 mm.

Devido ao curto comprimento de onda, a propagação é direta, podendo em certas

circunstâncias haver reflexões no solo.

Os sinais são irradiados de dipolos de meia onda, colocados no ponto focal do refletor

parabólico, com isso obtém-se uma propagação bastante direcional, sendo o ângulo do cone de

divergência uma função das dimensões do refletor e comprimento de onda usado.

Como o sinal é direto, o alcance do instrumento é limitado à linha de visada, o que implica em

distâncias normalmente menores que 100 km.

O equipamento pode ser utilizado de dia ou à noite, e mesmo a fraca visibilidade não impede

as operações de medida. No caso de chuva o alcance diminui, principalmente com o uso de

comprimentos de onda menores, como é o caso do MRA-4.

Os equipamentos com micro-ondas utilizam a modulação em frequência da onda portadora, e

utilizam diversas frequências para a eliminação de ambiguidades.

A frequência mais alta define o limite de precisão possível, sendo que os instrumentos mais

recentes utilizam uma frequência em torno de 7,5 MHz. A medida é o dobro deste valor, o que

corresponde a um meio de comprimento de onda de 10 m. Como é possível medir 1 / 1.000 partes do

ciclo, tem-se uma resolução de 1 cm. Como há a possibilidade de medir longas distâncias e

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

26

considerando-se a resolução de 1 cm, as condições atmosféricas tem grande influência, e

normalmente são feitas medidas meteorológicas nas extremidades da linha. As experiências têm

indicado que uma precisão da ordem de 3 ppm (partes por milhão) pode ser obtida com cuidadosas

observações meteorológicas.

Na realidade, é da definição aproximadamente precisa do índice de refração do percurso no

instante da medição, que se pode obter uma maior ou menor precisão.

Nas pequenas distâncias, da ordem de 1 km, os erros instrumentais têm maior peso,

bastando efetuar as medidas em uma das extremidades da linha.

Os equipamentos com micro-ondas foram concebidos para medidas geodésicas, isto é,

bases de triangulações, poligonações de precisão ou trilaterações de lados curtos, mas a segurança

nas medidas, facilidade de operação, preço relativamente baixo, permitiu uma utilização mais ampla,

de maneira que qualquer distância superior a 100 m pode, com grandes vantagens, ser medida com

equipamento eletrônico, havendo necessidade de obtenção de uma precisão acima de 1/10.000 ou

1/20.000.

Somente os últimos modelos permitem sua utilização em túneis, pois os feixes dos primeiros

era muito grande, produzindo problemas com reflexões.

Instrumentos que usam luz visível:

Nos instrumentos que usam luz visível, uma lâmpada emite luz que passa por um primeiro prisma de Nicol (ou filtro polaroide) que produz uma polarização segundo um plano, e se a célula

Kerr não estiver funcionando, a luz não passa pelo segundo prisma de Nicol, por estar o mesmo

cruzado em relação ao primeiro.

Porém, a célula Kerr sob a influência da voltagem aplicada pelo oscilador controlado por

cristal, gira o plano de polarização em função da diferença de potencial em cada instante, portanto,

uma parte do feixe pode atravessar o segundo prisma de Nicol. Em outras palavras, a quantidade de

luz transmitida é proporcional à voltagem e, portanto, à rotação produzida pela célula Kerr, e o feixe

agora modulado em intensidade na frequência de modulação, é transmitido por um espelho côncavo

para o refletor. O feixe de luz que retorna para o instrumento é recebido por um outro espelho que

focaliza o feixe no foco do primeiro cátodo da válvula fotomultiplicadora.

A corrente que flui da válvula fotomultiplicadora varia com a intensidade da luz que incide no

segundo espelho e com a voltagem aplicada a ela, de acordo com o segundo gerador controlado por

cristal.

O primeiro gerador funciona na frequência de aproximadamente 30 MHz e o segundo em

aproximadamente 30,0015 MHz, ou seja, 1,5 KHz acima do primeiro.

O sinal de saída do fotomultiplicador tem um valor de 1,5 KHz e fase φ2 relacionada com o

sinal de saída de 30 MHz.

Por outro lado, os sinais dos dois geradores controlados por cristal são levados para um

misturador que determina a diferença dos sinais de 1,5 KHz, com a fase φ1 da onda emitida que é a

referência de medida de fase.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

27

Portanto, pode ser medida a diferença de fase φ2 e φ1 utilizando um resolvedor, isto é, a fase

de referência φ1 é retardada até que os dois valores, φ1 e φ2, se igualem dando um valor de zero no

indicador de nulo, sendo o seu valor indicado no dial de leitura digital.

Nestes instrumentos a propagação da luz é direta e dificilmente ocorrem reflexões

secundárias, pois a maior parte das superfícies encontradas na natureza não produz fortes reflexões

para esse comprimento de onda. Por outro lado, durante o dia sempre existe a entrada de outras

luzes no sistema ótico, reduzindo, assim, sua potencialidade de medida.

O feixe é altamente colimado com uma divergência de apenas frações do grau, razão pela

qual o receptor ótico tem um diâmetro bastante pequeno e, portanto, pequeno ângulo de aceitação.

Com exceção dos equipamentos providos com laser, o alcance em geral é bem menor do

que os instrumentos que usam micro-ondas, sendo que à noite o alcance aumenta. Por outro lado, o

chuvisco ou neblina diminuem bastante o alcance.

O índice de refração afetado pelas condições atmosféricas é pouco influenciável para o curto

comprimento de onda usado, e a umidade que tem grande importância nas medidas com micro-

ondas é de pequena influência no geodímetro, principalmente devido a essas razões, o erro externo

agora é considerado com um valor de 1 ppm. Para linhas curtas basta tomar as medidas

meteorológicas em uma extremidade da linha. A curvatura do percurso somente é levada em conta

para as maiores distâncias e o seu valor é bastante pequeno.

Com luz visível, as leis da ótica geométrica podem ser aplicadas com maior precisão aos

transmissores e refletores dos sinais, pois o percurso da onda é mais bem definido e também é mais

estável.

Em geral, os equipamentos eletro-ópticos são mais apropriados para medir distâncias

menores para a obtenção de alta precisão, sendo o erro de zero o mais importante fator de sua

limitação em precisão.

O uso do equipamento é bastante aplicado na engenharia civil, podendo ser usado na

abertura de túneis ou minas, barragens, pontes, instalação de máquinas, etc.; e no levantamento de

campo, medidas de bases de triangulações, poligonais de precisão ou trilaterações de lados curtos.

Instrumentos que usam infravermelho:

Os instrumentos que usam infravermelho como onda portadora têm um comprimento de onda

em torno de 0,9 µm.

O índice de refração padrão usados para os instrumentos a infravermelho é tomado

geralmente como 1,00028 e para uma precisão de 1 ppm a temperatura deve ser obtida com erro

inferior a 3 mm Hg.

Na região do infravermelho a atmosfera tem uma forte absorção, com exceção da região

entre 0,72 µm e 0,94 µm, que é chamado de “janela do infravermelho”, que implica no uso desta

região em todos os instrumentos.

Todos os equipamentos que funcionam na região do infravermelho são limitados pela

potência de saída da fonte, que é um diodo luminescente de arseniato de gálio, que emite radiação

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

28

incoerente de aproximadamente 0,9 µm e que tem como principal característica a de poder ser

modulado diretamente em intensidade.

O diodo consiste em dois extratos semicondutores, um dos quais é um condutor positivo

(falta de elétrons) e o outro negativo (excesso de elétrons). Na zona de depleção, os elétrons podem

ser levados a um estado de maior energia com a aplicação de uma corrente de excitação, e a energia

se desprende sob a forma de radiação luminosa espontânea. A radiação emitida pelo diodo é

proporcional à corrente de excitação, ou corrente aplicada.

Outros instrumentos

Outro instrumento utilizado para a medição eletrônica de distâncias é a trena laser DISTO,

fabricada exclusivamente pela empresa Leica (Wild do Brasil S.A.). A trena laser não possui a

precisão de um distanciômetro eletrônico, porém possui uma precisão razoável e é muito prática, por

ser de reduzido tamanho.

A trena laser é um instrumento eletro-ótico de medição de pequenas distâncias. Utiliza o raio

laser visível.

O raio laser projeta um ponto luminoso que indica exatamente o lugar medido.

Com o refletor a trena laser tem um alcance de até 100 m, e sem, de até 30 m.

A trena laser pode ser conectada no teodolito e, ainda, pode-se acoplar à trena um telescópio

para medidas mais longas.

A trena laser é bastante utilizada para efetuar medidas em minas subterrâneas, onde muitas

vezes o acesso a um ponto é difícil. Como o instrumento calcula rapidamente a área e o volume de

superfícies medidas, a partir de valores memorizados, se torna muito útil para cálculos preliminares

de custos e mão-de-obra.

4. Medidas de ângulos: métodos e instrumentos (analógicos e eletrônicos)

4.1. Instrumentos

Teodolito ótico (Mecânico)

0 Teodolito é um instrumento capaz de medir tanto ângulos horizontais como verticais.

O teodolito consta essencialmente das seguintes partes: uma base provida de três ou quatro

parafusos niveladores (parafusos calantes), contendo um limbo graduado destinado à leitura dos

ângulos horizontais. Em torno do eixo concêntrico com o círculo horizontal giram os montantes da

luneta e o limbo vertical do instrumento. O eixo YY’ é denominado eixo vertical de rotaçãooueixo

principal. O eixo XX’ é denominado de eixo horizontalou eixo secundário (Fig. 2.16).

Para a leitura dos ângulos horizontais, os montantes arrastam consigo a alidade do

instrumento, que possui dois índices de referência diametralmente opostos; estes índices podem ser

de vernier ou micrômetro e permitem apreciar frações dos ângulos menores que cada divisão do

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

29

limbo horizontal. Para a leitura dos ângulos verticais a luneta gira em torno do eixo horizontal XX’,

levando em seu movimento índices de leitura, também por vernier ou por micrômetro, podendo-se

apreciar as frações da divisão do círculo vertical.

São, então, em número de três os eixos fundamentais do instrumento: eixo principal (YY’),

eixo secundário (XX’) e o eixo de colimação (LL’). O eixo principal passa pelo centro do aparelho e

pelo centro do limbo horizontal; o eixo secundário é o eixo de rotação da luneta, e o eixo de

colimação passa pelo centro do aparelho e pelo cruzamento dos fios do retículo. Estes três eixos,

portanto, cruzam-se no centro do instrumento.

Figura 2.16

Componentes de um Teodolito

A seguir serão apresentadas as componentes de um teodolito e as suas funções:

(a) Elementos de visada:

• Luneta astronômica: fornece imagem invertida; e

• Luneta terrestre: fornecem imagem direta.

A luneta do teodolito é constituída de um tubo em cujas extremidades se situam a objetiva e a

ocular. A objetiva é um sistema de lentes com a função de fornecer a imagem do objeto visado, e a

ocular é uma lente cuja função é aumentar as dimensões do objeto. Na extremidade da ocular estão

alojados os fios de retículo, formados por dois fios ortogonais: um é o fio colimador (vertical) e o outro

é o fio nivelador (horizontal).

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

30

(b) Elementos de leitura de ângulos:

Nos teodolitos, as leituras de ângulos são feitas nos limbos graduados. Geralmente, quando

se mede um determinado ângulo, o índice de leitura do visor cai entre duas divisões do limbo, de

maneira que é preciso medir esta fração do limbo, para se ter o ângulo determinado com a

aproximação do instrumento. Assim, torna-se necessário adaptar ao limbo dispositivos capazes de

medir frações da menor divisão. Tais dispositivos são:

• nônio ou vernier;

• microscópio de estima;

• microscópio de escala;

• microscópio de vernier; e

• microscópio micrométrico.

(c) Elementos de sustentação:

• tripé;

• plataforma ou prato do tripé; e

• parafuso de fixação (fio de prumo).

(d) Elementos de manobra:

• parafusos calantes ou niveladores;

• parafuso do movimento geral (controla o movimento da alidade);

• parafuso do movimento particular (controla o movimento do limbo); e

• fixação do eixo horizontal de rotação da luneta.

(e) Elementos de ajuste:

• parafuso de chamada do limbo horizontal;

• parafuso de chamada do limbo vertical; e

• parafuso de chamada do movimento geral.

Os elementos de ajuste são elementos indispensáveis para a obtenção de uma coincidência

perfeita da linha de colimação com o objeto visado.

(f) Elementos acessórios:

• níveis de bolha de ar: destinados ao nivelamento do aparelho;

• fio de prumo ou prumo ótico: permite a coincidência do centro do instrumento com o ponto

da estação;

• lupas ou microscópios: para facilitar a leitura do limbo;

• bússola; e

• alça de mira.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

31

Teodolito eletrônico

Os teodolitos eletrônicos são instrumentos que permitem a medição eletrônica dos ângulos

verticais e horizontais.

Os teodolitos eletrônicos surgiram na década de 70. A diferença essencial em relação aos

teodolitos clássicos se dá na substituição do leitor ótico de um círculo graduado por um sistema de

captores eletrônicos.

Os teodolitos eletrônicos possuem as mesmas características construtivas de um teodolito

clássico, sendo um aparelho de alta precisão, composto por partes mecânicas e eletrônicas.

A medida eletrônica dos ângulos é baseada na leitura digital de um círculo graduado em

forma binária.

Além da leitura automática de ângulos, uma outra característica importante dos teodolitos

eletrônicos é a existência de um compensador eletrônico. O compensador eletrônico permite corrigir,

automaticamente, os possíveis erros de calagem do eixo vertical do teodolito e corrigir, desta forma,

os valores das direções horizontais e verticais lidas.

Em termos de eficiência, o teodolito eletrônico apresenta fundamentalmente três vantagens

com relação aos teodolitos mecânicos:

(a) os ângulos medidos passaram a ser exibidos diretamente em um visor de cristal líquido;

(b) os distanciômetros eletrônicos passaram a ser conectados diretamente ao teodolito; o

processador central do teodolito passou a controlar também o distanciômetro; e

(c) a leitura automática dos ângulos e das distâncias, na composição teodolito

eletrônico/distanciômetro, permitiu a adição de uma caderneta eletrônica ao conjunto.

4.2. Métodos de medições de ângulos

Em geral, nos levantamentos topográficos são empregados 4 processos de medição de

ângulos horizontais:

(a) medida simples;

(b) ângulo duplo;

(c) repetição; e

(d) reiteração.

Medida simples

É o processo mais simples de medição de um ângulo, pois o valor do ângulo é medido uma

única vez.

Considerando-se a Fig. 2.17, seja medir o ângulo α entre dois alinhamentos OA e OB.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

32

Procedimento:

1) instalar e nivelar o teodolito no ponto O;

2) soltar os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo;

3) acertar, aproximadamente, o zero do vernier e o do limbo horizontal e fixar o parafuso de

movimento do limbo;

4) acertar, exatamente, zero a zero, usando o parafuso micrométrico do movimento do limbo;

5) girar a alidade, visar o ponto A com o auxílio da alça de mira e fixar o movimento da alidade;

6) fazer a colimação perfeita do ponto A com o parafuso micrométrico do movimento da alidade;

7) soltar os parafusos de movimento do limbo e da alidade e visar o ponto B, com a alça de mira;

8) fixar o parafuso do movimento da alidade e fazer a colimação perfeita do ponto B com o auxílio do

parafuso micrométrico;

9) fixar o parafuso do movimento do limbo e fazer a leitura do ângulo α.

A realização da medida de ângulos horizontais é sempre feita no sentido horário, ou seja, da

esquerda para a direita.

Zerar o vernier com o limbo horizontal é opcional: pode-se visar o ponto A e anota-se a leitura

do limbo horizontal (LA). O zero do limbo horizontal está em uma posição qualquer, e em seguida

visa-se o ponto B, anotando-se a leitura do limbo (LB); então α = LB - LA.

Figura 2.17

Ângulo duplo

O procedimento é o mesmo efetuado na medição simples, do ítem 1 ao 9, com acréscimo:

10) depois de obter a leitura do ângulo α; solta-se o parafuso do movimento da alidade e mantém-se

fixo o parafuso do movimento do limbo;

11) visa-se novamente o ponto A e fixa-se o movimento da alidade;

12) faz-se a perfeita colimação com o parafuso micrométrico;

13) soltam-se os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo e torna-se a visar o ponto B;

fixando-se então, o movimento da alidade;

14) faz-se a colimação perfeita do ponto B com o parafuso micrométrico e então fixa-se o limbo;

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

33

15) o ângulo lido no limbo representa o duplo valor do ângulo procurado = 2α; podendo haver apenas

o erro de precisão do instrumento.

5. Levantamento planimétrico por Caminhamento Perimétrico Por levantamento planimétrico se entende como sendo o conjunto de operações que tem por

objeto a determinação da posição relativa de feições naturais ou artificiais na superfície terrestre

destinada à determinação da projeção horizontal. Nos levantamentos planimétricos pode-se

considerar duas fases distintas. A inicial é constituída pelos trabalhos de campo. A outra é formada

pelos trabalhos de escritório incluindo entre outras operações o planejamento do trabalho a realizar,

os cálculos, plantas e a elaboração de relatórios.

Na fase dos trabalhos de campo, nos levantamentos planimétricos, deve-se considerar o

instrumental a ser utilizado no levantamento, os métodos existentes de levantamento e o problema da

orientação do trabalho.

Os levantamentos planimétricos, geralmente, têm por objetivo:

a) determinar a situação de determinados detalhes na configuração do terreno; e

b) a sinalização ou a locação de pontos ou de distâncias e azimutes de alinhamentos dados,

que haverão de servir de base para o projeto de certas obras.

Pode ser que um mesmo levantamento planimétrico satisfaça aos dois objetivos anteriores.

O método do caminhamento perimétrico consiste em percorrer o polígono efetuando-se a medida de cada um dos lados, e dos ângulos horizontais em cada um dos vértices. Os ângulos

horizontais podem ser medidos pelos processos das deflexões ou ângulos internos, sendo mais

comum o processo dos ângulos internos.

Mede-se, ainda, a orientação de um dos lados do polígono.

Costuma-se percorrer a poligonal no sentido anti-horário.

Quanto à forma as poligonais podem ser classificadas em: (a) poligonais fechadas, que

iniciam e terminam no mesmo ponto. Estas poligonais são controladas com erro angular e linear,

podendo ter as coordenadas dos vértices ajustadas; (b) poligonais apoiadas ou fechadas em bases

diferentes, partem de pontos com coordenadas conhecidas e chegam em pontos com coordenadas

também conhecidas; e (c) poligonais abertas, aquelas que partem de pontos conhecidos por suas

coordenadas e terminam em pontos de coordenadas não conhecidas.

Ainda, quanto à precisão, as poligonais são classificadas como principais ou secundárias. A

poligonal principal é a que constitui o arcabouço do levantamento, geralmente posicionada nos limites

da área a ser levantada. A poligonal secundária são poligonais apoiadas ou que se desenvolvem

entre dois vértices da poligonal principal.

É o método de levantamento de poligonais mais utilizado na prática, por ser o mais preciso.

Quando a poligonal é eletrônica, ou seja, a medição das distâncias é feita pelo distanciômetro

eletrônico, a precisão do levantamento aumenta consideravelmente.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

34

Procedimentos de campo

Para realizar um caminhamento perimétrico com medição dos ângulos internos, deve-se

orientar o caminhamento da poligonal no sentido contrário à graduação do limbo, a fim de se ter a

leitura direta dos ângulos.

A medida dos ângulos, geralmente é feita pelo método do ângulo duplo ou da reiteração,

sempre no sentido horário.

A medida das distâncias é normalmente feita de forma direta, com a trena, ou então com

distanciômetro eletrônico.

É necessário, ainda, orientar um dos alinhamentos da poligonal. Orientar um alinhamento é

assegurar sua posição em respeito a alguma direção inicial. As linhas que representam a direção

inicial em topografia são as linhas do meridiano verdadeiro e do meridiano magnético, assim como a

imagem de um meridiano central de um fuso.

Um meridiano verdadeiro é a linha traçada sobre a superfície da Terra por um plano

passando ao longo de um ponto dado e o eixo de rotação da Terra.

Um meridiano magnético é dado por um plano vertical através dos pólos da agulha

magnética em um ponto dado.

Um meridiano central é o que passa através do meio do fuso.

A linha do meridiano verdadeiro é estabelecida a partir de observações astronômicas.

Alternativamente pode ser encontrada fazendo-se uso de teodolitos giroscópios, desde que se

conheçam suas constantes de calibração.

A linha do meridiano magnético é estabelecida pelo eixo da agulha de uma bússola.

Os meridianos verdadeiros e magnéticos em um mesmo ponto da superfície terrestre

dificilmente coincidem, e formam entre si um ângulo δ denominado de declinação magnética.

A declinação magnética será negativa se o meridiano magnético deflete a oeste do

verdadeiro e será positiva em caso contrário.

Para que um trabalho fique orientado, torna-se necessário determinar o azimute de um alinhamento. O azimute pode ser medido em relação ao meridiano verdadeiro ou magnético, devendo

ser acrescido esses termos à palavra azimute. Assim, pode-se ter azimute verdadeiro ou azimute

magnético.

Exemplo: Seja o levantamento planimétrico pelo método do caminhamento perimétrico da poligonal fechada

ABCD:

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35

Planilha de Campo: Estação Ponto

Visado Angulo horizontal DH(m)

Simples Duplo A

D 0°00’ 90°14’30” 27,83 B 90°14’30” 180°29’ 137,42

B

A 0°00’ 89°44’ 137,42 C 89°44’ 179°29’ 28,17

C

B 0°00’ 90°05’ 28,17 D 90°05’ 180°09’ 137,36

D

C 0°00’ 89°55’ 137,86 A 89°55’ 179°49’ 27,83

Observações e croqui: AzAB = 159º15’

Figura 2.18

Cálculo do Erro angular de fechamento da poligonal: ΣAi = (n–2)180° Onde: Ai = ângulo lido = ângulo duplo/2 n = n° de vértices Portanto: ΣAi = (4-2)180° = 360° ΣAi lidos =359°58’00” EA=ΣAi lidos–ΣAi Onde: EA = erro angular

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36

Portanto: EA=359°58’00” – 360°= – 0°02’ EAT = ± 1’ √ n Onde: EAT = erro angular tolerável n = n° de vértices Portanto: EAT = ± 1’ √ 4 = ± 2’

5.1. Distribuição dos erros Vamos demonstrar este item através de um exemplo prático de um levantamento planimétrico através do método do Caminhamento perimétrico. Seja o polígono abcd, levantado através de uma poligonal de apoio ABCD. Croqui:

Figura 2.19

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37

Planilha de campo:

Estação Ponto visado

Ângulo horizontal DH (m) Simples Duplo

A

D 0°00’00” 90°49’50” 31,00 B 90°49’50” 181°39’40” 65,62 a 19°23’40” – – – 8,07

B

A 0°00’00” 88°35’00” 65,02 C 88°35’00” 177°10’00” 31,61 b 73°04’20” – – – 8,46

C

B 0°00’00” 90°45’10” 31,61 D 90°45’10” 181°30’20” 65,28 c 16°08’10” – – – 5,83

D

C 0°00’00” 89°49’20” 65,28 A 89°49’20” 179°38’40” 31,00 d 62°02’00’ – – – 6,00

Planilha de calculo analítico:

Est P.V. Ai Lido

Ai comp. Az. DH (m)

Proj. Calc. Correções Proj. Comp. Coordenadas X Y Cx Cy X’ Y’ X Y

A B 90°49’50” 90°50’00” 313°12’50” 65,62 -47,82 44,93 0,03 00,4 -47,85 44,89 0,00 0,00 B C 88°35’00” 88°35’10” 221°48’00” 31,61 -21,07 -23,56 0,02 0,02 -21,09 -23,58 -47,85 44,89 C D 90°45’10” 90°45’20” 132°33’20” 65,28 48,09 -44,15 0,03 0,04 48,06 -44,19 -68,94 21,31 D A 89°49’20” 89°49’30” 42°22’50” 31,00 20,90 22,90 0,02 0,02 20,88 22,88 -20,88 -22,88 Σ 359°59’20” 360° — — — 193,51 ∆X=0,10 ∆Y=0,12 0,10 0,12 0,00 0,00 — — — —

a) Erro angular: Angulo lido = ang. Duplo/2 O erro angular é determinado pela fórmula: EA =ΣAi – [(n-2) . 180°] Onde: EA = erro angular; ΣAi = somatório dos ângulos internos lidos; e n = número de vértices da poligonal. Neste caso: ∑AiLIDOS = 90º49’50” + 88º35’00” + 90º45’10” + 89º49’20” = 359º59’20” Portanto, o EA = 0°00’40” O erro angular tolerável é dado pela fórmula:

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38

EAT = P. √ n Onde: EAT = erro angular tolerável; e P = precisão do instrumento. b) Distribuição do erro angular: Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais, embora a prática tem demonstrado que nas maiores distâncias os erros angulares são menores. Ai comp.=EA/n c) Ângulo compensado: O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no ângulo lido. O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. O sinal da correção deverá ser contrário ao do erro. d) Azimutes: A partir do primeiro azimute, medido no campo, são calculados os azimutes dos demais alinhamentos. Azn =(Azn-1 + Ai ) +180° Onde: Azn = azimute do alinhamento; Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e Ai = ângulo interno do vértice comum aos dois alinhamentos. Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) +180° , porém, se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário a fórmula fica: Azn =(Azn-1 - Ai ) +180°. Se Azn-1 + Ai < 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180°, porém, se Azn-1 + Ai > 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) - 180°. Neste caso, AzBC = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 88º35’10”) - 180º = 221º48’00” AzCD = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 90º45’20”) - 180º = 132º33’20” AzDA = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 89º49’30”) - 180º = 42º22’50” e) Projeções: As projeções são calculadas da seguinte forma: x =DH . sem Az y =DH . cos Az Onde: x = projeção no eixo x; y = projeção no eixo y; DH = distância horizontal do alinhamento; e Az = azimute do alinhamento.

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Neste caso: xAB = DHAB . sen AzAB = 65,62 . sen 313º12’50” = - 47,82 yAB = DHAB . cos AzAB = 65,62 . cos 313º12’50” = 44,93 xBC = DHBC . sen AzBC = 31,61 . sen 221º48’00” = - 21,07 yBC = DHBC . cos AzBC = 31,61 . cos 221º48’00” = - 23,56 xCD = DHCD . sen AzCD = 65,28 . sen 132º33’20” = 48,09 yCD = DHCD . cos AzCD = 65,28 . cos 132º33’20” = - 44,15 xDA = DHDA . sen AzDA = 31,00 . sen 42º22’50” = 20,90 yDA = DHDA . cos AzDA = 31,00 . cos 42º22’50” = 22,90 f) Erro linear: O erro linear é determinado pela fórmula: EL = √ (∆x)2 + (∆y)2 Onde: EL = erro linear; ∆x = somatório das projeções do eixo x; e ∆y = somatório das projeções do eixo y. Neste caso, EL = 0,16 m O erro linear tolerável é dado pela fórmula: ELT = 0,8 . √ PERÍMETRO (km) Onde: ELT = erro linear tolerável. Neste caso, ELT = 0,35 m g) Correção das projeções: A correção do erro linear, nos eixos x e y, é dada pela fórmula: Cx = ∆x . DH/perim. Cy = ∆y . DH/perim. Onde: Cx = correção da projeção no eixo x; Cy = correção da projeção no eixo y; DH = distância horizontal do alinhamento; ∆x = somatório das projeções do eixo x; e ∆y = somatório das projeções do eixo y. Atenção, o sinal da correção é contrário ao sinal do erro. Neste caso:

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40

CxAB = ∆x . DHAB / PERÍMETRO = 0,10 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,03 CyAB = ∆y . DHAB / PERÍMETRO = 0,12 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,04 CxBC = ∆x . DHBC / PERÍMETRO = 0,10 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02 CyBC = ∆y . DHBC / PERÍMETRO = 0,12 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02 CxCD = ∆x . DHCD / PERÍMETRO = 0,10 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,03 CyCD = ∆y . DHCD / PERÍMETRO = 0,12 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,04 CxDA = ∆x . DHDA / PERÍMETRO = 0,10 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02 CyDA = ∆y . DHDA / PERÍMETRO = 0,12 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02 h) Projeções compensadas: A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeção calculada:

X’= x + |Cx| Y’= y + |Cy| Onde: X’ e Y’ = projeções compensadas nos eixos X e Y, respectivamente; X e y = projeções calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e Cx e Cy = correções das projeções nos eixos x e y, respectivamente. Neste caso: X’AB = xAB ± ⏐CxAB ⏐= - 47,82 - 0,03 = - 47,85 Y’AB = yAB ± ⏐CyAB ⏐= 44,93 - 0,04 = 44,89 X’BC = xBC ± ⏐CxBC ⏐= - 21,07 - 0,02 = - 21,09 Y’BC = yBC ± ⏐CyBC ⏐= - 23,56 - 0,02 = - 23,58 X’CD = xCD ± ⏐CxCD ⏐= 48,09 - 0,03 = 48,06 Y’CD = yCD ± ⏐CyCD ⏐= - 44,15 - 0,04 = - 44,19 X’DA = xDA ± ⏐CxDA ⏐= 20,90 - 0,02 = 20,88 Y’DA = yDA ± ⏐CyDA ⏐= 22,90 - 0,02 = 22,88 Obs: Se a correção está correta, o somatório das projeções deverá ser igual a zero. 5.2. Cálculo de Coordenadas a) Coordenadas dos vértices da poligonal de apoio: As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções compensadas, partindo das coordenadas do ponto inicial: Xn= Xn-1+X’ Yn= Yn-1+Y’ Onde: Xn= abcissa do ponto; Yn= Ordenada do ponto; Xn-1= abcissa do ponto anterior;

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41

Yn-1 = ordenada do ponto anterior; X’ = projeção compensada no eixo x; e Y’ = projeção compensada no eixo y. OBS: ponto conhecido é colocado na origem. Neste caso: Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00. XB = XA + X’AB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85 YB = YA + Y’AB = 0,00 + 44,89 = 44,89 XC = XB + X’BC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94 YC = YB + Y’BC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31 XD = XC + X’CD = - 68,94 + 48,06 = - 20,88 YD = YC + Y’CD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88 b) Cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal de interesse: Est P V Ai DH(m) Az Projeções Coordenadas

X Y X Y A a 19°23’40” 8,07 241°46’30” -7,11 -3,82 -7,11 -3,82 B b 73°04’20” 8,46 206°17’10” -3,75 -7,59 -51,60 37,31 C c 16°08’10” 5,83 57°56’10” 4,94 3,09 -64,00 24,40 D d 62°02’00” 6,00 14°35’20” 1,51 5,81 -19,37 -17,07

Vértice a:

AzAa = (AzDA + Ai) ± 180º = (42º22’50” + 19º23’40”) + 180º = 241º46’30” X’Aa = DHAa . sen AzAa = 8,07 . sen 241º46’30” = - 7,11 Y’Aa = DHAa . cos AzAa = 8,07 . cos 241º46’30” = - 3,82 Xa = XA + X’Aa = 0,00 + (- 7,11) = - 7,11 Ya = YA + Y’Aa = 0,00 + (- 3,82) = - 3,82

Vértice b: AzBb = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 73º04’20”) - 180º = 206º17’10” X’Bb = DHBb . sen AzBb = 8,46 . sen 206º17’10” = - 3,75 Y’Bb = DHBb . cos AzBb = 8,46 . cos 206º17’10” = - 7,58 Xb = XB + X’Bb = - 47,85 + (- 3,75) = - 51,60 Yb = YB + Y’Bb = 44,89 + (- 7,58) = 37,31

Vértice c:

AzCc = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 16º08’10”) - 180º = 57º56’10” X’Cc = DHCc . sen AzCc = 5,83 . sen 57º56’10” = 4,94

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42

Y’Cc = DHCc . cos AzCc = 5,83 . cos 57º56’10” = 3,09 Xc = XC + X’Cc = - 68,94 + 4,94 = - 64,00 Yc = YC + Y’Cc = 21,31 + 3,09 = 24,40

Vértice d:

AzDd = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 62º02’00”) - 180º = 14º35’20” X’Dd = DHDd . sen AzDd = 6,00 . sen 14º35’20” = 1,51 Y’Dd = DHDd . cos AzDd = 6,00 . cos 14º35’20” = 5,81 Xd = XD + X’Dd = - 20,88 + 1,51 = - 19,37 Yd = YD + Y’Dd = - 22,88 + 5,81 = - 17,07

5.3. Reconstituição de poligonais

É possível, a partir das coordenadas dos vértices de uma poligonal, calcular os seus

elementos:

a) Cálculo da distância horizontal:

_________________ DH12 = √ (X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2

b) Cálculo de azimutes:

arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1)

Definição do quadrante:

+/+ → NE Az = R

+/- → SE Az = 180º - R

-/- → SW Az = 180º + R

-/+ → NW Az = 360º - R

Após a definição do quadrante, transforma-se o rumo em azimute.

c) Cálculo dos ângulos internos:

Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º

Ai = Azn - Azn-1 ± 180º

5.4. Cálculo da área

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43

A área de uma superfície plana limitada por uma poligonal fechada pode ser determinada analiticamente quando são conhecidas as coordenadas ortogonais dos seus vértices. É um método deduzido para áreas formadas de lados retos. Para se calcular a área interna a uma poligonal, pode-se considerar os trapézios formados por cada lado da poligonal. Da poligonal 0123, tem-se

Figura 2.20

S = S0123 + SF12G + SG23H - SE03H A fórmula para cálculo da área do trapézio é Strapézio = (B + b) . h / 2 Onde: B = base maior; B = base menor; e H = altura. Portanto: S0123 = (Y1 + Y0) . (X1 - X0) = X1Y1 - X0Y1 + X1Y0 - X0Y0

2 2 SF12G = (Y2 + Y1) . (X2 - X1) = X2Y2 - X1Y2 + X2Y1 - X1Y1

2 2 SG23H = (Y2 + Y3) . (X3 - X2) = X3Y2 - X2Y2 + X3Y3 - X2Y3

2 2 SE03H = (Y3 + Y0) . (X3 - X0) = X3Y3 - X0Y3 + X3Y0 - X0Y0

2 2 2 . S0123 = X1Y1 - X0Y1 + X1Y0 - X0Y0 + X2Y2 - X1Y2 + X2Y1 - X1Y1 + + X3Y2 - X2Y2 + X3Y3 - X2Y3 - X3Y3 + X0Y3 - X3Y0 + X0Y0

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44

2 . S0123 = - X0Y1 + X1Y0 - X1Y0 + X2Y1 + X3Y2 - X2Y3 + X0Y3 - X3Y0 Isolando X0, X1, X2 e X3: 2 . S0123 = X0 (Y3 - Y1) + X1 (Y0 - Y2) + X2 (Y1 - Y3) + X3 (Y2 - Y0) Multiplicando por (-1): -2 . S0123 = X0 (Y1 - Y3) + X1 (Y2 - Y0) + X2 (Y3 - Y1) + X3 (Y0 - Y2) Generalizando: m 2 . S0123 = ΣXi (Yi+1 - Yi-1) i=1 Já isolando Y0, Y1, Y2 e Y3: 2 . S0123 = Y0 (X1 - X3) + Y1 (X2 - X0) + Y2 (X3 - X1) + Y3 (X0 - X2) Generalizando: m 2 . S0123 = ΣYi (Xi+1 - Xi-1) i=1 No nosso caso: 2 . S = {- 7,11 . [37,31 - (-17,07]} + {- 51,60 . [24,40 - (- 3,82)]} + + [64,00 . (- 17,07 - 37,31)] + [- 19,37 . (- 3,82 - 24,40)] 2 . A = - 386,6418 + (- 1456,1520) + 3480,3200 + 546,6214 = 2184,1476 S = 1092,0738 m2 ou 2 . S = {- 3,82 . [- 51,60 - (-19,37)]} + {37,31 . [- 64,00 - (- 7,11)]} + + {24,40 . [- 19,37 - (- 51,60)]} + {- 17,07 . [- 7,11 - (- 64,00)]} 2. S = - 2184,1476 S = 1092,0738 m2 6. Normas técnicas para desenho de plantas A planta deve ser feita com escala entre 1:200 e 1:300 (a que for mais conveniente para o

Papel A2), através do método das COORDENADAS TOTAIS. O trabalho deve ser desenhado com

auxílio do software AutoCad, obedecendo as especificações acima.

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45

Capítulo III

ALTIMETRIA

1. Introdução

A altimetria ou nivelamento tem por finalidade determinar a distância vertical ou diferença de nível entre diversos pontos. A diferença de altura entre dois pontos é a diferença

de nível entre estes pontos. A determinação das diferenças de nível entre dois pontos é possível com os seguintes

métodos:

(a) nivelamento geométrico; e (b) nivelamento trigonométrico.

Influência da Curvatura da Terra e da Refração Atmosférica

Na fig. 3.1, querendo-se determinar a diferença de nível entre os pontos A e B, coloca-

se em B uma mira em posição vertical e em A um instrumento devidamente nivelado, dando a

horizontal AH, correspondente a superfície de nível aparente, que irá interceptar a mira em um

ponto C, e não em B, pois o arco AB não pode ser determinado pelos aparelhos de topografia.

É evidente que a substituição do nível verdadeiro pelo nível aparente provoca um erro

na determinação da altura de um ponto do terreno, o qual é denominado erro devido à

curvatura da terra.

O erro cometido, ao se admitir que os pontos A e C estão em nível (nível aparente), é o

erro EC = BC, denominado erro devido à curvatura da terra.

Este erro pode ser calculado, desde que seja medida a extensão do alinhamento AC =

D, uma vez que o raio da terra é conhecido.

Assim:

D2 = (OB + BC)2 - OA2

ou:

D2 = (R + EC)2 - R2

desenvolvendo:

D2 = EC (EC + 2.R)

e:

EC = D2 / (EC + 2.R)

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46 Como o erro é uma quantidade muito pequena em relação ao raio da Terra, pode-se,

sem cometer erro sensível, desprezar EC no denominador, e a fórmula para o cálculo do erro

devido à curvatura da terra é:

EC = D2 / 2.R

Figura 3.1

Na prática das operações altimétricas, o erro devido à curvatura da Terra, apresenta-se

diminuído, em razão do efeito da refração atmosférica sobre o raio visual.

Quando se faz uma visada de um ponto para outro, o raio visual ao atravessar as

camadas atmosféricas de densidades diferentes se refrata, seguindo uma trajetória curva,

situada sobre o plano vertical visual, cuja concavidade é dirigida sobre a superfície do solo.

Como conseqüência, o ponto C, quando visado de A é visto em C’, originando o erro de

refração: ER = CC’. A superfície AC’ é dita superfície de nível ótico.

Este erro é dependente da temperatura e do estado higrométrico do ar, além de outras

circunstâncias locais. Em condições normais, a equação do erro de refração é a seguinte:

ER = 0,1306.EC

sendo que 0,1306 representa o raio de curvatura de refração médio diário.

A correção a ser feita na determinação da altura do ponto B, visto de A, será:

C = EC - ER

C = D2 / 2R - 0,1306.D2 / 2R = D2 / 2.R.(1 - 0,1306)

C = 0,43.D2 / R ou C = 6,8.10-8.DH2 (m)

C = 0,068.DH2(Km)

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47

Conhecendo-se o valor de R (aproximadamente 6.370 Km), pode-se determinar o erro

devido à curvatura da terra e à refração atmosférica, para qualquer visada efetuada, por

exemplo: para uma visada de 100 m, o erro será igual a 0,0007 m; para uma visada de 120 m,

o erro será igual a 0,0010 m; já para uma visada de 1000 m, o erro será igual a 0,068 m.

Assim, para distâncias menores que 120 m o erro devido à curvatura da terra e à refração

atmosférica pode ser desprezado, por ser inferior ao milímetro.

2. Nivelamento Geométrico

O nivelamento geométrico é baseado na diferença de leituras em miras verticais

graduadas. A precisão obtida é bastante grande, da ordem de milímetros nos trabalhos

especiais de 1ª ordem, até apenas alguns centímetros nos topográficos comuns.

De modo geral, os instrumentos empregados nos trabalhos de nivelamento geométrico

são denominados níveis. Utilizam-se, também, nas operações de nivelamento, associadas aos

níveis, as miras.

O objetivo dos níveis é fornecer um plano horizontal, para as operações topográficas.

O fio central do retículo da luneta define um plano horizontal de referência.

Os níveis podem ser óticos, digitais e laser.

O nível ótico constitui o equipamento clássico de nivelamento. Consiste basicamente

em uma luneta montada sobre um tripé, com possibilidade de ser nivelada com precisão,

através de parafusos calantes e bolhas.

A precisão destes equipamentos depende do sistema de nivelamento, da sensibilidade

das bolhas e da precisão das miras.

Alguns níveis óticos possuem um compensador ou nivelador automático, que permite o

posicionamento horizontal automatizado em frações de segundo, desde que o nivelamento

“grosseiro” esteja dentro da margem de tolerância.

O princípio de funcionamento de um nível eletrônico é o processamento unidimensional

de imagens, a partir de uma mira codificada em código de barras. A leitura da mira codificada é

feita através de uma rede de sensores óticos, a qual reconhece a codificação da mira através

de um processo de correlação de imagens entre a imagem da mira e uma imagem padrão

gravada na memória do instrumento. Em termos de precisão, os níveis eletrônicos possuem

precisões que variam de 0,4 mm a 0,9 mm em nivelamento duplo e com miras de invar.

Os níveis a laser consistem em um novo tipo de equipamento, projetado para definir

planos horizontais, verticais ou com certa inclinação. São compostos por duas unidades, a

unidade projetora, que é um aparelho emissor de um feixe de raio laser que passa através de

um prisma rotatório definindo assim um plano horizontal materializado pela radiação; e a

unidade detectora, que pode ser afixada numa baliza e movida para cima e para baixo, com

relação ao plano previamente materializado. O feixe de laser incide verticalmente num prisma

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

48 pentagonal e após duas reflexões nas faces, emerge na direção horizontal. A horizontalidade

do equipamento é condição crítica para o bom funcionamento e costuma ser conseguida por

um dos três métodos: normalmente com três parafusos calantes de nível tubular; através de

um compensador ótico baseado no efeito da gravidade sobre um pêndulo interno ou um

compensador eletrônico. Tem um alcance de até 450 m, com precisão de 1 mm para distâncias

de até 100 m , e de 3 mm para distâncias maiores.

As miras são réguas de madeira ou metal usadas no nivelamento para determinação

de distâncias verticais, medidas entre a projeção do traço do retículo horizontal da luneta na

mira e o ponto do terreno onde a mira está instalada.

As miras mais utilizadas são as “miras falantes”. Estas, geralmente apresentam o

comprimento de 4 metros, sendo graduadas em centímetros. Os centímetros são pintados

alternadamente em preto e branco, os decímetros numerados em preto e os metros

assinalados por círculos pintados em preto ou vermelho.

As miras normalmente são de encaixe. São constituídas de três peças, encaixadas a

primeira dentro da segunda e esta na terceira. Um dispositivo com mola fixa uma peça na outra

quando a mira está completamente distendida, de maneira que a graduação de uma seja a

continuação de outra.

Existem miras com graduação direta e graduação indireta, para leitura com

instrumentos de luneta de imagem direta ou indireta, respectivamente.

A leitura na mira é constituída por quatro algarismos e um número de três casas

decimais: metro, decímetro, centímetro e milímetro. O ponto indica o número de metros; o

algarismo o número de decímetros; os traços pretos e brancos alternados, o número de

centímetros e o número de milímetros são estimados.

Nivelamento Geométrico Simples

Nivelamento Geométrico Simples é aquele em que de uma única estação do nível é

possível visar a mira colocada sucessivamente em todos os pontos do terreno a nivelar.

Assim, considerando-se a fig. 3.2, desejando-se determinar a diferença de nível entre

os pontos A e B, instala-se o nível, em uma posição qualquer do terreno, preferencialmente

eqüidistante dos pontos a nivelar. Determina-se a leitura da mira em A e B. A diferença de nível

entre A e B será calculada pela diferença entre as leituras processadas nos pontos A e B.

No nivelamento geométrico, o perfil do terreno a ser estudado é piqueteado de 10 em

10 metros ou de 20 em 20 metros, conforme a natureza do trabalho. Em seguida, o nível é

estacionado em um ponto conveniente, sobre a linha a nivelar ou fora dela. Desta única

posição do instrumento são determinadas as leituras na mira colocada, primeiramente num

ponto de cota conhecida e, depois, sucessivamente, nos demais pontos.

A visada na primeira estaca, geralmente de cota conhecida, é por convenção chamada

de “visada de ré”. Todas as visadas a partir da visada de ré são chamadas “visadas de vante”.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

49 Desta forma, para cada estação de nivelamento, tem-se uma visada de ré e uma ou mais

visadas de vante.

Para o cálculo das cotas dos pontos nivelados é necessário ainda, realizar a medição

da altura do instrumento, ou seja, a altura do eixo ótico acima do plano de referência. Para

determinar a altura do instrumento, faz-se uma leitura inicial num ponto de cota conhecida.

Para que as leituras do levantamento tenham significado, é necessário que elas sejam

referenciadas a um plano, chamado referência de nível.

Figura 3.2

Quando se usa o nível médio do mar, a referência de nível é igual a zero. Quando a

referência de nível é arbitrária, atribui-se um valor inicial elevado, de modo que no decorrer do

levantamento não ocorram cotas negativas.

Portanto, duas são as regras para nivelar:

(i) a altura do instrumento (Ai) é igual à soma da visada de ré (RÉ) com a cota do ponto

(C) onde a mesma foi feita:

Ai = C + RÉ

(ii) a cota de um ponto (C), em função da altura do instrumento (Ai), é a diferença entre

tal altura e a visada a vante (VANTE) lida no mesmo ponto:

C = Ai - VANTE

Nivelamento Geométrico Composto

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

50 O nivelamento geométrico composto consiste em uma série de nivelamentos

geométricos simples, devidamente amarrados uns aos outros. Este processo é empregado

quando se trata de nivelamento em terreno de desnível acentuado, em que a determinação da

diferença de nível total exige mais de uma estação do aparelho.

Desejando-se determinar a diferença de nível de A para B e, tratando-se de terreno

acidentado, por melhor que seja posicionado o aparelho no terreno, não se consegue visar

simultaneamente, os pontos considerados, pois a diferença de nível entre os pontos A e B é

superior a altura da mira, conforme mostra a fig. 3.3.

Figura 3.3

Assim, com o nível na estação 1, visa-se a mira colocada no ponto A, que representará

a leitura de ré. Em seguida faz-se a leitura de vante no ponto M; como esta será a última

visada de vante com o nível na estação 1, será chamada de “vante de mudança”. Muda-se

depois o nível para a estação 2, de onde se fará uma visada de ré no ponto M e,

posteriormente uma visada de vante no ponto B.

Desta forma, concluiu-se que para atingir o objetivo foi necessário proceder a dois

nivelamentos geométricos simples, devidamente ligados pela estaca de mudança M, em que

se procedeu a visada de vante de mudança na estação 1, e a visada de ré da estação 2; tem-

se deste modo, o nivelamento geométrico composto.

Para proceder à compensação de erros em um nivelamento, é necessário iniciar e

terminar o levantamento no mesmo ponto. Como, normalmente procede-se ao nivelamento de

perfis, ou poligonais abertas, após o nivelamento de cada um dos pontos piqueteados em um

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51 perfil, é realizado outro nivelamento em sentido contrário, denominado de “contra-nivelamento”,

quando são nivelados apenas alguns dos pontos; e “renivelamento”, quando o retorno se dá

nivelando todos os pontos.

2.1. Cálculo do Nivelamento Geométrico

As grandezas medidas em um nivelamento geométrico são registradas em uma

planilha, para depois efetuarem-se os cálculos. O exemplo da fig. 3.4 é o nivelamento e contra-

nivelamento de um perfil, onde a cota do ponto A é conhecida, igual a 50,000 m, e o

espaçamento entre os piquetes é de 20 m.

Planilha:

EST PN LEITURAS NA MIRA (m) Ai COTAS CORREÇÃO COTAS RÉ VI VM (m)(m)(m) CORRIGIDAS (m) A 1,820 51,820 50,000 --- ---

1 B 3,725 48,095 0,001 48,094 C 3,749 48,071 0,001 48,070 C 0,833 48,904 D 2,501 46,403 0,002 46,401

2 E 2,034 46,870 0,002 46,868 F 3,686 45,218 0,002 45,216 G 3,990 44,914 0,002 44,912

3 G 3,458 48,372 C 0,301 48,071 0,003 48,068

4 C 2,867 50,938 A 0,934 50,004 0,004 50,000

∑ 8,978 8,974

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52

Figura 3.4

Cálculo do Nivelamento:

Ai1 = CA + RÉA = 50,000 + 1,820 ∴ Ai1 = 51,820

CB = Ai1 - VB = 51,820 - 3,725 ∴ CB = 48,095

CC = Ai1 - VC = 51,820 - 3,749 ∴ CC = 48,071

Ai2 = CC + RÉC = 48,071 + 0,833 ∴ Ai2 = 48,904

CD = Ai2 - VD = 48,904 - 2,501 ∴ CD = 46,403

CE = Ai2 - VE = 48,904 - 2,034 ∴ CE = 46,870

CF = Ai2 - VF = 48,904 - 3,686 ∴ CF = 45,218

CG = Ai2 - VG = 48,904 - 3,990 ∴ CG = 44,914

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53

Cálculo do Contra-nivelamento:

Ai3 = CG + RÉG = 44,914 + 3,458 ∴ Ai3 = 48,372

CC = Ai3 - VC = 48,372 - 0,301 ∴ CC = 48,071

Ai4 = CC + RÉC = 48,071 + 2,863 ∴ Ai4 = 50,938

CA = Ai4 - VA = 50,938 - 0,934 ∴ CA = 50,004

Verificação do cálculo:

A fórmula geral para verificação da correção do cálculo do nivelamento geométrico

considera que a diferença entre as cotas extremas de um nivelamento é igual à soma das

visadas de ré menos a soma das visadas de vante de mudança:

CF - Ci = ∑ RÉ - ∑ VM

Para o nosso exemplo: 50,004 - 50,000 = 8,978 - 8,974; então 0,004 = 0,004, o que

comprova a correção dos cálculos.

Quando a igualdade acima não é satisfeita, é porque ocorreu um erro altimétrico de

fechamento da poligonal.

No nosso exemplo o erro altimétrico de fechamento foi de 0,004 m ou 4 mm.

O erro tolerável de fechamento é determinada por:

____________ ET = 2.C.√ perímetro(Km) em que C representa o erro, por quilômetro. No nosso exemplo foi adotado o limite de 5 mm

por quilômetro, sendo que o erro máximo tolerável em 0,24 Km nivelados será de :

____ ET = 2.5 mm.√ 0,24 = 4,8 mm

Ou seja, o erro obtido está dentro do erro tolerável.

Desde que admissível, o erro total é distribuído uniformemente ao longo da poligonal,

por meio da correção, em cada visada de ré, do erro total dividido pelo número de estações do

nível.

Correção:

Para estação 1 : 1/4.E = 1/4.0,004 = 0,001

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54 Para estação 2 : 2/4.E = 2/4.0,004 = 0,002

Para estação 3 : 3/4.E = 3/4.0,004 = 0,003

Para estação 4 : 4/4.E = 4/4.0,004 = 0,004

Finalmente, calculam-se as cotas compensadas, pela seguinte fórmula:

COTA CORRIGIDA = COTA ± (CORREÇÃO)

2.2. Perfis longitudinais

O Perfil longitudinal com exagero de 10 vezes é a maneira de realizar a representação

gráfica de um levantamento altimétrico, como se pode observar na fig. 3.5.

Figura 3.5

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

55

2.3. Cálculo do greide em um perfil de nivelamento

Greide é a linha que acompanha o perfil, dotada de uma certa declividade, e que

mostra o quanto o solo deve ser cortado ou aterrado.

Cota vermelha (CV): distância vertical entre um ponto qualquer do greide e um ponto

correspondente no terreno. Pode ser positiva (aterro) ou negativa (corte).

Ponto de passagem: quando o ponto do greide coincide com o ponto do terreno, não

havendo corte ou aterro (ponto C).

Declividade do Greide: d = COTA MAIOR – COTA MENOR

DH

d(%) = DN . 100

DH

Figura 3.6

2.4. Vinculação à rede altimétrica

Superfície de nível ou equipotencial é a superfície ao longo da qual a força da

gravidade realiza um trabalho nulo; as superfícies equipotenciais da Terra são, em todos os

seus pontos, normais à vertical do lugar. A superfície equipotencial de nível zero, considerada

como superfície de referência, é a superfície equipotencial do nível médio dos mares,

prolongada através dos continentes, ou seja, é a superfície geoidal.

Designa-se por altitude a altura de um ponto do terreno em relação à superfície de

nível médio dos mares e por cota a altura do ponto em relação a um plano horizontal arbitrário.

Sendo assim, quando a referência de nível é uma superfície qualquer, diz-se que o nível é

aparente. O nível é dito verdadeiro, quando o nível médio do mar é a referência.

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56

3. Nivelamento Trigonométrico

O nivelamento trigonométrico é baseado na resolução de um triângulo retângulo. Neste

nivelamento, a diferença de nível é determinada de forma indireta, por meio de resoluções de

triângulos situados em planos verticais, que passam pelos pontos cuja diferença de nível se

calcula. A precisão é menor quando comparado ao nivelamento geométrico, da ordem de

alguns decímetros, em contrapartida, tem um rendimento maior, ou seja, um avanço rápido.

Os ângulos de inclinação do terreno são medidos com o emprego do teodolito.

O nivelamento trigonométrico é empregado quando se trata de determinar a diferença

de nível entre dois pontos acessíveis, separados por grande distância, ou quando se tem um

ponto acessível e outros inacessíveis. Nestes casos, aplica-se o processo de interseção

conjugado com resoluções trigonométricas. Neste caso, para medir as distâncias verticais,

conta-se com o auxílio da mira.

Determinação da diferença de nível

O nivelamento trigonométrico baseia-se no valor da tangente do ângulo de inclinação

do terreno, pois o valor desta função trigonométrica representa sempre a diferença de nível por

metro de distância horizontal medida no terreno, entre os pontos considerados.

Assim, determinando a distância horizontal (DH) entre os pontos em estudo e o ângulo

de inclinação do terreno entre eles (α), a diferença de nível (DN) é calculada aplicando-se a

seguinte fórmula:

DN = DH.tg α, deduzida da figura 3.7.

tg α = BB’ / AB’ ∴ tg α = DN / DH ∴ DN = DH.tg α

Desejando-se determinar a diferença de nível existente entre os pontos topográficos A

e B do perfil do terreno representado na figura 3.8, procede-se da seguinte maneira:

onde:

Z é o ângulo zenital;

i é o ângulo vertical;

hi é a medida do centro geométrico da luneta até o ponto topográfico;

FM é a leitura na mira;

DN é a diferença de nível entre os pontos A e B; e

DH é a distância horizontal entre os pontos A e B.

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57 Com o teodolito estacionado em A, visa-se a mira colocada verticalmente em B, mede-

se a altura onde o retículo horizontal da luneta intercepta a mira e o ângulo vertical da linha de

visada.

Figura 3.7

Figura 3.8

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58 O ângulo vertical pode ser a partir do zênite até a linha de visada, quando o teodolito

tiver o seu limbo vertical zerado no zênite; ou então do horizonte até a linha de visada, quando

o teodolito tiver o seu limbo vertical zerado no horizonte.

Os teodolitos mais modernos, em sua maioria, são zerados no zênite, e a medida dos

ângulos verticais é dita “ângulo zenital”.

Da fig. 3.8 deduz-se:

DNAB + FM = hi + DH.tg i

ou

DNAB = DH.tg i + hi - FM

no caso do teodolito medir ângulos zenitais:

DNAB = DH.cotg Z + hi - FM, sendo que i = 90º - Z.

Devido à substituição do nível verdadeiro pelo nível aparente, quando se realiza um

nivelamento, conforme já foi visto, ocorre um erro devido à curvatura da Terra e refração

atmosférica. A correção a ser feita nas medidas realizadas, conforme já foi mostrado, é de:

C = 0,068.DH2(Km)

Sendo assim, a fórmula do cálculo da diferença de nível entre dois pontos no

nivelamento trigonométrico passa a ser a seguinte:

DNAB = DH.cotg Z + hi - FM + C

Porém, nas visadas curtas, até 250 metros, podemos desprezar as correções da

curvatura e refração.

Nivelamento Trigonométrico de poligonais e outras aplicações

A planilha abaixo contém as observações de campo de um nivelamento trigonométrico

efetuado na poligonal aberta ABCD. As cotas de A e D são conhecidas, sendo 150 m e 135,28

m, respectivamente. O objetivo é calcular as cotas compensadas dos vértices B e C.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

59

Planilha:

EST PV Z DH (m)

hi (m)

FM (m)

C (m)

DN (m)

DNMED COTA (m)

COR. (m)

COTA COM. (m)

A B 92º14’00” 524,35 1,48 1,000 0,02 -19,94 -20,01 150,00 B A 87º52’00” 524,35 1,52 1,000 0,02 20,07 129,99 -0,05 129,94 C 91º54’00” 732,46 1,52 1,000 0,04 -23,73 -23,71

C B 88º16’00” 732,46 1,50 0,000 0,04 23,70 106,28 -0,13 106,15 D 87º23’00” 631,24 1,50 1,000 0,03 29,37 29,20

D C 92º41’00” 631,24 1,52 1,000 0,03 -29,03 135,48 -0,20 135,28

Cálculo da correção devido ao erro de curvatura e refração:

C (m) = 0,068.DH2 (Km)

C = 0,068.(0,52435)2 = 0,01869 ≅ 0,02

C = 0,068.(0,73246)2 = 0,036 ≅ 0,04

C = 0,068.(0,63124)2 = 0,027 ≅ 0,03

Cálculo da diferença de nível:

DNAB = DHAB.cotg Z + hi - FM + C

DNAB = 524,35.(1 / tg 92º 14’) + 1,48 - 1,000 + 0,02 = -19,94

DNBA = 524,35.(1 / tg 87º 52’) + 1,52 - 1,000 + 0,02 = 20,07

DNBC = 732,46.(1 / tg 91º 54’) + 1,52 - 1,000 + 0,04 = -23,73

DNCB = 732,46.(1 / tg 88º 16’) + 1,50 - 0,000 + 0,04 = 23,70

DNCD = 631,24.(1 / tg 87º 23’) + 1,50 - 1,000 + 0,03 = 29,37

DNDC = 631,24.(1 / tg 92º 41’) + 1,52 - 1,000 + 0,03 = -29,03

Cálculo da diferença de nível média:

DNAB = -19,94 e DNBA = 20,07; então DNm = -20,01

DNBC = -23,73 e DNCB = 23,70; então DNm = -23,71

DNCD = 29,37 e DNDC = -29,03; então DNm = 29,20

Observa-se que o sinal é resultante das visadas das diferenças de nível em um mesmo

sentido, ou seja, adotam-se os sinais das DNAB, DNBC e DNCD; e é feita a média aritmética dos

valores.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

60

Cálculo das cotas:

CB = CA + DNAB = 150,00 + (-20,01) ∴ CB = 129,99

CC = CB + DNBC = 129,99 + (-23,71) ∴ CC = 106,28

CD = CC + DNCD = 106,28 + 29,20 ∴ CD = 135,48

Cálculo do erro e correção:

ε = cota calculada - cota conhecida

ε = 135,48 - 135,28 = 0,20

n i C = (-ε / ∑ Li ) .∑ Li

i=1 i=1

onde:

Li é a soma dos lados; e

n é o número de vértices.

C1 = [-(0,20) / 1888,05].524,35 = -0,05

C2 = [-(0,20) / 1888,05].(524,35 + 732,46) = -0,13

C3 = [-(0,20) / 1888,05].(524,35 + 732,46 + 631,24) = -0,20

Cálculo das cotas compensadas:

COTA COMPENSADA = COTA + CORREÇÃO

CB = 129,99 - 0,05 = 129,94

CC = 106,28 - 0,13 = 106, 15

CD = 135,48 - 0,20 = 135,28

Determinação da cota de um ponto inacessível

Considerando-se a figura 3.9, seja P o ponto cuja cota queremos determinar, com o auxílio de uma base AB. Com o teodolito medimos os ângulos horizontais a e b e os ângulos

zenitais Z1, Z2 e Z3.

Os comprimentos D1 e D2 são obtidos das relações:

DHAB DHAP DHBP sen γ sen β sen α = =

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61

As diferenças de nível serão obtidas pelas seguintes fórmulas:

DN = DH.cotg Z – FM + hi

DNAB = DHAB.cotg Z3 – FM + hi

DNAP = DHAP.cotg Z1 – FM + hi (FM = 0,000)

DNBP = DHBP.cotg Z2 – FM + hi (FM = 0,000)

Figura 3.9

Correções a serem feitas:

DNAB inferida = DNmaior – DNmenor

ERRO = │DNAB inferida│ - │DNAB calculada│

CORREÇÃO = erro / 2 = x

DNmaior – x DNmenor – x

O cálculo das cotas dos pontos B e P, em função da cota de A, que é conhecida, é feito

da seguinte maneira:

CB = CA + DNAB

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

62

CP = CA + DNAP

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62

Capítulo IV

TAQUEOMETRIA

1. Princípios Gerais

A taqueometria, do grego “takhys” (rápido), “metren” (medição),

compreende uma série de operações que constituem um processo rápido e

econômico para a obtenção indireta da distância horizontal e diferença de nível.

O instrumento utilizado é o teodolito provido de fios estadimétricos, que

além de medir ângulos, acumula, também, a função de medir óticamente as

distâncias horizontais e verticais. São feitas as leituras processadas na mira

com auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de inclinação do

terreno, lido no limbo vertical do aparelho.

2. Cálculo da Distância Horizontal e Diferença de nível

A determinação indireta de uma distância está detalhadamente descrita

no capítulo de Planimetria, procedendo-se de forma idêntica neste caso.

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

63

Figura 4.1

Recordando, a fórmula de determinação indireta da distância horizontal,

deduzida da figura 4.1 é a seguinte:

DH = 100.I.cos2 α

ou

DH = 100.I.sen2 Z

onde:

DH é a distância horizontal;

I é o intervalo de leituras na mira;

α é o ângulo vertical; e

Z é o ângulo zenital.

Determinação da diferença de nível

A diferença de nível obtém-se de forma idêntica aquela descrita no

capítulo de Altimetria, no item referente ao nivelamento trigonométrico.

Sendo assim, a fórmula do cálculo da diferença de nível entre dois

pontos pelo nivelamento trigonométrico, deduzida no item acima especificado,

é a seguinte:

DN = DH.tg α - FM + Ai

onde:

DH = distância horizontal entre os dois pontos;

α = ângulo de inclinação;

FM = leitura Lc, realizada na mira com a linha de vista central; e

Ai = altura do centro ótico da luneta até o ponto topográfico.

ou

DN = DH.cotg Z - FM + Ai

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

64

sendo que Z é o ângulo zenital.

Substituindo a fórmula da distância horizontal anteriormente vista:

DN = 100.I.cos2 α.tg α - FM + Ai

sendo:

tg α = sen α / cos α

temos:

DN = 100.I.cos2 α.(sen α / cos α) - FM + Ai

DN = 100.I.cos α.sen α - FM + Ai

sendo:

cos α.sen α = ½ .sen (2.α)

temos:

DN = 100.I.½ .sen (2.α) - FM + Ai

DN = 50.I.sen (2.α) - FM + Ai

ou

DN = 50.I.sen (2.Z) - FM + Ai

Técnicas de Levantamento Taqueométrico pelo processo da Irradiação

O levantamento taqueométrico é usado principalmente para definição

planialtimétrica de parcelas do terreno, realizado através de poligonais e de

irradiações a partir dos vértices das poligonais. A poligonal, desenvolvida em

geral ao longo do contorno da área considerada, serve de arcabouço, base de

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

65 todo levantamento, enquanto as irradiações têm por finalidade a determinação

dos pontos capazes de definirem os acidentes aí existentes e de

caracterizarem o relevo do terreno.

O método correntemente empregado é o de num vértice de coordenadas

conhecidas, obtidas através da poligonação, ou mesmo de uma triangulação,

levantar os pontos em todas as direções que definam nitidamente as feições da

superfície terrestre necessárias ao trabalho que se está realizando.

Para a boa prática das operações é essencial que o vértice onde o

instrumento é estacionado seja nivelado com precisão, pois um vértice mal

nivelado afetará, naturalmente, o cálculo de todas as cotas ou altitudes dos

pontos e, consequentemente, o traçado das curvas de nível.

O exemplo a seguir é de um levantamento taqueométrico pelo processo

da irradiação. O teodolito foi estacionado na estaca A e irradiaram visadas para

três pontos. Sabe-se que: AzA1 = 330º00’00”, CA = 20,00 m e Ai = 1,60 m.

Croqui:

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

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Figura 4.2

Planilha:

EST PV ANG. Z LEITURAS MIRA I DH DN COTA

HOR. FS FM FI (FS - Fi) (m) (m) (m) 1 0º 00’ 63º26’ 1,725 1,600 1,475 0,250 19,99 10,00 30,00

A 2 50º 00’ 70º04’ 1,196 1,008 1,000 0,196 17,32 6,78 26,78 3 100º43’ 78º22’ 2,198 2,099 2,000 0,198 18,99 3,41 23,41

Verificação das leituras na mira:

FM = (FS + FI) / 2 ± 1mm

Cálculo da distância horizontal:

DH = 100.I.sen2 Z

DHA1 = 100.0,250.sen2 63º 26’ ∴ DHA1 = 19,99

DHA2 = 100.0,196.sen2 70º 04’ ∴ DHA2 = 17,32

DHA3 = 100.0,198.sen2 78º 22’ ∴ DHA3 = 18,99

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67 Cálculo da diferença de nível:

DN = 50.I.sen (2.Z) + Ai - FM

DNA1 = 50.0,250.sen (2.63º 26’ ) + 1,60 - 1,600 ∴ DNA1 = 10,00

DNA2 = 50.0,196.sen (2.70º 04’ ) + 1,60 - 1,098 ∴ DNA2 = 6,78

DNA3 = 50.0,198.sen (2.78º 22’ ) + 1,60 - 2,099 ∴ DNA3 = 3,41

Cálculo das cotas:

C1 = CA + DNA1

C1 = 20,00 + 10,00 ∴ C1 = 30,00

C2 = 20,00 + 6,78 ∴ C2 = 26,78

C3 = 20,00 + 3,41 ∴ C3 = 23,41

3. Traçado de curvas de nível e Noções de topologia

Noções de topologia

Dentre os vários métodos de representação do relevo de um terreno, o

mais utilizado é o das curvas de nível.

Curva de nível é uma linha que liga pontos do terreno de mesma cota ou

de mesma altitude. Esta linha é dada pela intersecção de planos horizontais

com a superfície do terreno.

A projeção do conjunto de linhas horizontais sobre o plano horizontal dá-

se em verdadeira grandeza, isto é, conserva as formas e as dimensões das

linhas projetadas.

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Figura 4.3

A distância vertical entre os planos horizontais sucessivos se mantém

constante, ou seja, estes planos horizontais que representam as curvas de

nível são eqüidistantes. A eqüidistância corresponde, na planta, à diferença de

nível entre as curvas.

A eqüidistância das curvas de nível varia com a escala do desenho e

com o rigor com que se deseja representar o relevo. Quanto menor a

eqüidistância, maior o rigor, ou seja, melhor a representação do relevo do

terreno.

As cartas geográficas com curvas de nível, que recebem o nome de

cartas hipsométricas, mantêm eqüidistância entre 100 e 200 m. As cartas

batimétricas, aquelas que apresentam o relevo submarino, tem eqüidistância

variando de 1a 2 m perto da costa, até valores que atingem 200 m.

Para maior facilidade de leitura, representamos com traços mais fortes

as curvas mestras, geralmente aquelas múltiplas de 5 ou de 10 m. E, somente

nestas curvas são assinaladas as cotas altimétricas.

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69 Nos desenhos a cores, as curvas de nível são representadas na cor

terra de siena (sépia ou marrom), enquanto as cotas são representadas em

preto.

A interpretação do terreno, representado por curvas de nível na planta, é

feita pelas distâncias horizontais que separam as curvas de nível. Curvas de

nível muito afastadas umas das outras indicam que a topografia do terreno é

suave; se estiverem muito próximas, trata-se de topografia acidentada e,

portanto, de terreno fortemente inclinado. Sendo assim, o maior declive de um

terreno ocorre no local em que aparece a menor distância horizontal entre duas

curvas de nível.

As elevações e depressões isoladas do terreno distinguem-se,

graficamente, pelo envolvimento das curvas de nível. Quando as curvas de

nível de menor valor envolvem as de maior valor, trata-se de uma elevação; em

caso contrário, de uma depressão.

Para possibilitar o traçado da planta planialtimétrica o levantamento deve

obter dados que permitam marcar no desenho um número de pontos cotados

notáveis capaz de caracterizar o relevo da superfície topográfica através das

curvas de nível que melhor o representem. Estes pontos são aqueles em que o

terreno apresenta uma mudança acentuada de declividade em relação a suas

proximidades. Os pontos notáveis podem ser classificados, sempre em relação

a suas proximidades, em mais altos, mais baixos e intermediários. A união de

pontos notáveis da mesma categoria dá origem às linhas notáveis, que são os

elementos do relevo, ou seja, caracterizam a forma da superfície topográfica.

Os principais elementos do relevo são os seguintes:

(a) linha de cumiata: é o lugar geométrico dos pontos de altitudes mais altas,

materializa a linha divisora das águas;

(b) linha de talvegue: é o lugar geométrico dos pontos de altitudes mais baixas,

materializa a linha de junção das águas;

(c) vertente: é a superfície compreendida entre a linha de cumiata e a linha de

talvegue;

(d) espigão: é o ponto de altitude mais alta da linha de cumiata; e

(e) garganta: é o ponto de altitude mais baixa da linha de talvegue.

Os erros mais comuns de ocorrerem durante a interpretação gráfica das

curvas de nível encontram-se abaixo listados:

Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek

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(a) Duas curvas de nível jamais se cruzam, porque disto resultaria um

único ponto com duas elevações diferentes;

(b) Duas curvas de nível não podem se encontrar e continuar numa só.

Neste caso elas estariam superpostas, e, para isto acontecer, deveria haver um

plano vertical, o que não ocorre na natureza;

(c) Nenhuma curva de nível pode desaparecer ou aparecer

repentinamente; e

(d) Não se pode ter uma linha única compreendida por uma curva de

nível.

Traçado das curvas de nível

Ao final do levantamento planialtimétrico, tem-se o desenho cotado. Para

obter os pontos de passagem das curvas de nível de cotas inteiras nas plantas

deve-se empregar o método da interpolação.

Trata-se de uma atividade simples, pois se considera o terreno como

uma linha reta entre os dois pontos de cota conhecida, determinando assim os

pontos de cota inteira existentes entre eles. A interpolação pode ser feita pelo

método gráfico ou pelo método analítico.

Do desenho com pontos cotados, parte-se da suposição de que as

declividades entre os pontos topográficos sejam constantes.

Interpolação gráfica

Na figura 4.4, têm-se os pontos de cotas conhecidas A e B,

distantes entre si de 10 m. Pelos pontos A e B foram traçadas duas retas

paralelas, não necessariamente perpendiculares a AB. Nelas foram marcadas

as distâncias 0,3 e 0,6 em qualquer escala, contanto que iguais. São os valores

para chegar de 10,7 a 11 (0,3) e de 11,6 a 11 (0,6). Obtemos os pontos C e D.

Traçando a reta CD, ela cruza AB em E, que é justamente o ponto de cota 11

na reta AB.

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Figura 4.4

Interpolação analítica

Considerando a figura 4.4, a interpolação analítica é baseada na

semelhança dos triângulos ACE e BDE:

AE / AB = AC / (AC + BD)

no caso, AE = 10.0,3 / (0,3 + 0,6) = 3,33 m.

Conhecendo-se AE (3,33), o ponto E será marcado na reta AB usando-

se a mesma escala.

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