Apostilaeletricidade200702, Exercícios de Análise de Circuitos Elétricos. Universidade de Cruz Alta (UNICRUZ)
marcelo_carvalho
marcelo_carvalho16 de Fevereiro de 2016

Apostilaeletricidade200702, Exercícios de Análise de Circuitos Elétricos. Universidade de Cruz Alta (UNICRUZ)

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Eletricidade Aplicada - notas de aula

Carlos Kleber da Costa Arruda1 - Universidade Candido Mendes

13 de setembro de 2007

[email protected]

Sumário

1 Introdução 3 1.1 Eletricidade na prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Os caminhos da eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Revisão da teoria de circuitos elétricos de corrente contínua (CC) 7 1.4 Elementos armazenadores de energia . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Princípios de Corrente Alternada 12 2.1 Porque corrente alternada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Ondas Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Entendendo as Grandezas Elétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Representação de elementos elétricos em forma complexa . . . . 24 2.6 Análise de Circuitos de Corrente Alternada . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Potência e energia 34 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Tipos de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Medindo a potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Compensação de reativos em uma instalação . . . . . . . . . . . 41

4 Sistemas Trifásicos 42 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Transmissão e distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Tarifação de energia elétrica 48 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Estudo de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Instalações Elétricas Industriais 53 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2 Elementos de uma subestação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.3 Proteção de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1

SUMÁRIO 2

7 Máquinas elétricas - motores 56 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.2 Características de um motor elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.3 Projeto de instalações elétricas com motores em partida . . . . . 58 7.4 Partida de motores elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Resumo 60 8.1 Questionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.3 Palavras-chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A Uso de calculadores com funções de números complexos 71 A.1 Texas TI-83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

B Erros comuns 72 B.1 Omitir unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 B.2 Esquecer do múltiplo/ submúltiplo da unidade . . . . . . . . . . 72 B.3 Múltiplo da unidade ao quadrado ou ao cubo . . . . . . . . . . . 72 B.4 Confusão entre série e paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Capítulo 1

Introdução

1.1 Eletricidade na prática A eletricidade é uma das formas de aproveitar os recursos naturais para o desen- volvimento humano. Possui características únicas: seu armazenamento é dificil e caro, comparado com outras fontes como o petróleo. Pode ser transmitido com facilidade, e a entrega desta energia é instantânea. Sua extração da natureza pode ser realizada de diversas formas, mas cada uma possui uma desvantagem: seja no impacto ambiental, ou nos custos elevados da tecnologia.

Desta forma, a civilização atual depende fortemente da energia elétrica, aonde não é possível imaginar um desenvolvimento sem eletricidade. A en- genharia, de todos os campos, deve saber usar da eletricidade para a realização de seus projetos.

1.1.1 Uma ordem de grandeza Abaixo são ilustrados alguns números de algumas grandezas, em potências de 10, e algumas aplicações no qual são observadas estas grandezas. Esta parte é interessante para ilustrar o tamanho das grandezas elétricas. Um leigo em eletricidade sabe, pelo menos, a diferença entre um metro, um quilômetro e um milímetro. Assim como o metro, todas as grandezas elétricas podem ser expressas com o auxílio dos múltiplos e submúltiplos do sistema internacional1.

1Os múltiplos não são os mesmos usados em informática, como em quilobyte, megabyte. Neste caso, quilo = 210 = 1024, mega = 220 = 1024× 1024.

3

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4

p pico 10−12 = 0, 000.000.000.001 n nano 10−9 = 0, 000.000.001 µ micro 10−6 = 0, 000.001 m mili 10−3 = 0, 001 - - 100 = 1 k quilo 103 = 1.000 M mega 106 = 1.000.000 G giga 109 = 1.000.000.000 T tera 1012 = 1.000.000.000.000 P penta 1015 = 1.000.000.000.000.000

Tabela 1.1: alguns múltiplos e submúltiplos do Sistema Internacional (SI)

Os múltiplos e submúltiplos podem ser usados com qualquer unidade. Você também pode imaginar um exemplo mais palpável, como a diferença entre um Real, um “quiloreal" e um “megareal".

A seguir são ilustrados múltiplos de unidades típicas em eletricidade, seguido por um exemplo comum.

1.1.1.1 Potência

Os exemplos incluem potência em geral, seja de dispositivos elétricos ou mecâni- cos, geradores ou consumidores.

1 W Rádio 10 W Aparelho de DVD, lâmpada fluorescente 100 W Lâmpada incadescente, microcomputador 1 kW Ar condicionado residencial 10 kW Motor elétrico industrial 100 kW Automóvel 1 MW Locomotiva a diesel 10 MW Demanda média de um pequeno país 100 MW Usina termelétrica de grande porte 1 GW Grandes usinas hidrelétricas (5 GW) 10 GW Usina de Itaipu (12,6 GW) 100 GW Demanda média de eletricidade do Brasil 1 TW Demanda média mundial de eletricidade (1,7 TW em 2001)

Tabela 1.2: Ordem de grandeza de potência.

1.1.1.2 Energia

São ilustradas duas unidades de energia: joule (SI) e watt-hora (usada em en- genharia elétrica).

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5

SI watt-hora Descrição 1 kJ 1 Watt-hora (3,6 kJ) 10 kJ Consumo de 1 g de gasolina 100 kJ Energia cinética de um carro em alta velocidade 1 MJ 1 kWh Média nutricional diária de uma pessoa (8,4 MJ = 2000 kcal) 10 MJ 10 kWh 100 MJ 100 kWh 1 GJ 1 MWh Descarga atmosférica, explosão de 1 ton de TNT 10 GJ 10 MWh Consumo de um automóvel durante 1 ano

... 1 GWh 1 TWh Bomba nuclear 10 TWh Impacto de meteoro 100 TWh Consumo anual do Brasil (374,9 TWh em 2005) 1 PWh Consumo anual dos Estados Unidos (3,656 PWh em 2003)

Tabela 1.3: Ordem de grandeza de energia.

1.1.1.3 Tensão

100 mV Diodo (0,6 V) 1 V Pilha (1,5 V) 10 V Bateria de carro (12 V) 100 V Tomada residencial (127 ou 220 V) 1 kV Nível de isolamento de equipamentos elétricos residenciais (600 V) 10 kV Linha de distribuição urbana (13,8 kV) 100 kV Linha de transmissão típica (138 kV) 1 MV Linhas de transmissão de Itaipu (800 kV) 10 MV Geradores de impulso (6 MV)

Tabela 1.4: Ordem de grandeza de tensão elétrica.

1.1.1.4 Corrente

10 mA Transistor 100 mA Aparelho celular 1 A Televisão 10 A Chuveiro elétrico 100 A Partida de motor elétrico 1 kA Linhas de transmissão (2 kA) 10 kA Curto-circuito 100 kA Descarga atmosférica

Tabela 1.5: Ordem de grandeza de corrente elétrica.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6

1.2 Os caminhos da eletricidade Podemos dividir a utilização da energia elétrica em diversos campos.

1.2.1 Geração A captação dos recursos naturais e sua transformação em energia eletrica. A forma tradicional é o gerador, no qual seu eixo pode ser acoplado a uma força mecânica, como uma turbina hidráulica ou uma turbina térmica, movida a gás, gasolina ou energia nuclear.

O desenvolvimento de novas formas de geração destina-se a um futuro no qual as fontes hidráulicas e térmicas tornam-se escassas, e ao mesmo tempo procurando fontes limpas, com baixo impacto ambiental.

1.2.2 Transmissão Os blocos de energia das usinas devem ser transmitidos para os núcleos con- sumidores. O Brasil, pelo seu tamanho continental, depende de longas linhas de transmissão, no qual são necessários longos caminhos desimpedidos para pas- sagem, ou seja, com uma grande impacto ambiental. O sistema de transmissão necessita também de um número suficiente de interligações para assegurar a continuidade do serviço.

1.2.3 Distribuição Os blocos de energia chegam em subestações, no qual reduz a tensão e são transmitidos para os consumidores comerciais e residenciais nas malhas urbanas. Esta malha deve conter medidas de segurança de forma a suportar alterações no sistema, como mudanca de carga, tempestades ou falta de energia.

1.2.4 Máquinas Elétricas Uma grande utilização da energia elétrica, em termos de potência, é na sua con- versão para energia mecânica. O uso de motores de diversos tipos é evidente em diversos segmentos da indústria. Ao mesmo tempo, procura-se realizar projetos de máquinas eficientes e com alta confiabilidade.

1.2.5 Eletrônica Com a invenção da válvula e do transistor, desenvolveu-se um novo campo da eletricidade envolvendo pequenos circuitos. A TV e o rádio são os principais exemplos da eletrônica, no qual atualmente desmembrou-se pela computação e pelas telecomunicações.

1.2.6 Controle Destinado ao estudo da dinâmica de sistemas, não necessariamente elétricos. A engenharia de controle busca a estabilidade frente a qualquer distúrbio.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 7

1.2.7 Telecomunicações Ramo da eletrônica relativo a transmissão de dados através de ondas eletromag- néticas. Suas aplicações são o rádio, TV, telefonia celular e redes de computa- dores.

1.2.8 Computação Segmento especializado da eletrônica destinado ao projeto de computadores e programas. Atualmente não é restrito a computadores de mesa, mas engloba notebooks, PDAs e celulares.

1.2.9 Instrumentação Campo específico da eletrônica no qual destina-se a medir as grandezas físicas. Alguns exemplos são o multímetro, radares, termopares e sensores em geral.

1.2.10 Automação A crescente complexidade dos processos industriais permitiu o desenvolvimento de uma eletrônica especializada, que trata-se da aplicação da engenharia de controle na prática. Atualmente existe uma grande variedade de aplicações em automação, desde indústrias até prédios comerciais.

1.2.11 Comercialização A energia eletrica é elemento determinante nos custos de produtos e serviços. Empresas geradoras, transmissoras e distribuidoras podem negociar a energia que é lançada no sistema. As indústrias podem adquirir energia a longo prazo e revender as suas sobras. Outras firmas podem atuar como comercializadoras, mesmo não possuindo geração, através de especulação no mercado atacadista de energia.

1.3 Revisão da teoria de circuitos elétricos de corrente contínua (CC)

Antes de iniciar o próximo capítulo, faz-se necessária uma revisão dos conceitos de circuitos elétricos de corrente contínua. Será visto que a análise de circuitos CA seguirá esta mesma base.

1.3.1 Noção fundamental de circuito Um circuito elétrico é uma série de caminhos no qual a carga elétrica é trans- portada. Uma fonte provocará a separação de cargas, quanto maior esta sep- aração, maior será a diferença de potencial. Para haver uma separação de cargas, é necessária uma energia, que pode ser obtida através de diversos fenô- menos (reações químicas, transformações eletromagnéticas, efeitos fotovoltaicos, efeitos termoelétricos, etc).

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 8

Entre as cargas haverá um campo elétrico, que indicará a tendência de atração entre as cargas. A fonte estará forçando as cargas a se separarem, logo deverá haver um caminho para que as cargas realizem a atração.

Ao se formar o caminho, estará formado um circuito elétrico. Este circuito poderá ser do mais simples e curtos, até os mais elaborados e extensos. A carga elétrica começará a fluir pelo circuito, formando a corrente elétrica.

Ao longo do circuito, a carga elétrica pederá energia da forma de um “atrito" com os materiais. Este atrito fornecerá energia aos componentes, essencialmente na forma de calor. Este é o conceito de resistência elétrica. Outras formas de troca de energia são através dos campos elétricos e magnéticos, o que será visto mais adiante.

Após as cargas terminarem de circular, no outro lado do pólo da fonte, esta continuará a fornecer potencial elétrico, “bombeando” novamente as cargas de volta ao circuito. Isto se repete até ser interrompido o circuito, ou cessar a fonte de energia.

Em um mesmo circuito podem haver várias fontes de energia, interagindo entre si.

1.3.2 Tensão Definido pela relação entre a energia potencial e a carga elétrica, resumido pela equação 1.1. Pode ser expresso por v (quando se tratar de uma função) ou V (quando se tratar de uma tensão contínua)2. Sua unidade é o volt (V).

v(t) = dw

dq (1.1)

É usual, mas errado, falar da tensão de um elemento elétrico (um gerador, pilha, resistor, etc). Na verdade teremos uma diferença de potencial, que é a diferença entre as tensões dos terminais. Você pode atribuir que um terminal encontra-se a tensão de 0 V, logo a diferença de potencial do elemento ficará igual à tensão do segundo terminal.

1.3.3 Corrente Definida pela variação de carga que atravessa um condutor, ao longo do tempo. Pode ser expressa por i ou I. Sua unidade é o ampere (A).

i(t) = dq

dt (1.2)

1.3.4 Resistência A definição formal de resistência é a relação entre a corrente que atravessa um elemento e a queda de tensão entre entrada e saída.

R = V

I (1.3)

Em geral tratamos esta relação como um número, cuja grandeza é medida em ohm (Ω), mas esta relação pode ser não-linear, expressa por uma função qualquer.

2em alguns livros pode ser referenciado como u ou U .

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 9

1.3.5 Queda de tensão (q.d.t.) Fazendo o caminho inverso, temos

V = RI (1.4)

Quando tratamos de um elemento “fechado", a queda de tensão aparenta ser abrupta, mas na verdade não ocorre desta forma. Vendo o exemplo de um fio condutor. Sua resistência, que em geral é desprezada, varia linearmente. Logo, a queda de tensão ao longo do fio será uma rampa descendente.

1.3.6 Associação série Dois elementos ligados em série compartilham a mesma corrente.

Req = R1 +R2 + ...+Rn (1.5)

A resistência equivalente deverá ser maior que o maior elemento. Uma associação em série divide a tensão entre seus componentes. O compo-

nente com a menor resistência ficará com a menor tensão, e vice-versa.

1.3.7 Associação paralela Dois elementos ligados em paralelo compartilham a mesma tensão. A resistência equivalente é expressa por3

1 Req

= 1 R1

+ 1 R2

+ ...+ 1 Rn

(1.6)

Para somente dois elementos em paralelo, a seguinte fórmula também pode ser usada. Nada mais é que uma manipulação da equação 1.6.

Req = R1R2 R1 +R2

(1.7)

A resistência equivalente, para qualquer número de elementos, deverá ser menor que o menor elemento.

Uma associação em paralelo divide a corrente entre seus componentes. O componente com a menor resistência ficará com a maior corrente, e vice-versa.

1.3.8 Resistência de fios A resistência de um fio pode ser calculada por

R = ρ l

A (1.8)

No qual l é o comprimento, A a área da seção transversal e ρ a resistividade do material (por exemplo, para o cobre, ρ = 1, 69 · 10−8Ω m). Algumas seções típicas de fios são de 1, 5 mm2 a 120 mm2.

3Ao longo desta apostila será usada a notação "‖", que corresponderá à equação 1.6.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 10

1.3.9 Resolução de circuitos A análise de um circuito elétrico é metódica, e em geral trata dos seguintes aspectos:

• Encontrar a corrente fornecida por uma fonte de tensão,

• Encontrar a corrente que atravessa um elemento,

• Encontrar a queda de tensão em um elemento,

• Calcular um elemento que atenda uma condição de corrente, queda de tensão, potência, etc.

O procedimento mais simples é o cálculo de resistências equivalentes, agregando elementos até encontrar um único elemento que represente todo o circuito, no ponto de vista da fonte. Este procedimento é eficaz quando existe somente uma fonte no circuito.

Outro método de análise são as leis de Kirchoff, essenciais para a resolução de circuitos complexos:

• Lei dos nós: a soma das correntes que entram é igual a soma das correntes que saem do nó.

• Lei das malhas: a soma das diferenças de potencial (ddp) em torno de um laço é igual a zero. Supõe-se neste caso que fontes, voltadas para um mesmo sentido, tenham uma ddp positiva e as cargas uma queda de tensão (ddp negativa).

1.3.10 Potência e energia Potência é definida como a variação de energia ao longo do tempo. Pode ser expresso por p ou P , e sua unidade é watt (W). Lembrando que potência é um conceito mais amplo, podendo ser de origem elétrica, mecânica, etc.

Se multiplicarmos tensão e corrente, teremos a potência consumida ou pro- duzida pelo elemento:

v(t) i(t) = dw

dq

dq

dt = dw

dt = p(t) (1.9)

Logo, quando tensão e corrente são grandezas contínuas, a potência também será:

P = V I (1.10) A energia elétrica será a integral da potência ao longo do tempo.

w(t) = ∫ p(t) dt (1.11)

Para um circuito de corrente contínua, se não houver nenhuma pertubação, a integral torna-se

W = P t (1.12) Será visto mais adiante que, a partir de algumas considerações, será possível

calcular circuitos de corrente alternada de forma muito similar aos circuitos de corrente contínua.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 11

1.4 Elementos armazenadores de energia O resistor é um elemento de saída da energia elétrica, transformando-a em calor, movimento, luz, etc. Podemos ter elementos que armazenam provisoriamente a energia. Assim como o resistor relaciona tensão e corrente pela sua resistência, estes elementos possuem suas relações, que são essenciais para a resolução de circuitos.

1.4.1 Indutor Armazena a energia em seu campo magnético. Sua relação tensão-corrente é

vL = L diL dt

(1.13)

O efeito do indutor é agir como um “amortecedor” de corrente, captando a energia e “carregando” o campo magnético. Na falta de corrente, o indutor “descarregará” esta energia de volta ao circuito.

A equação 1.13 pode ser interpretada da seguinte forma:

• Variação muito pequena de corrente (contínua): tensão nula.

• Variação muito grande de corrente (degrau): tensão “infinita".

1.4.2 Capacitor Armazena a energia em seu campo elétrico. Sua relação tensão-corrente é

iC = C dvC dt

(1.14)

O efeito do capacitor é agir como um “amortecedor” de tensão, o que pode ser visto, a grosso modo, a uma bateria de carro. O capacitor irá “carregar” a partir da tensão do circuito, armazenando a energia no campo elétrico. Na falta de tensão, o capacitor “descarregará” este energia de volta ao circuito.

A equação 1.14 pode ser interpretada da seguinte forma:

• Variação muito pequena de tensão (contínua): corrente nula.

• Variação muito grande de tensão (degrau): corrente “infinita”.

Capítulo 2

Princípios de Corrente Alternada

2.1 Porque corrente alternada? No final do séc. XIX com o crescimento econômico e as novas invenções em máquinas elétricas, foram propostas duas formas de distribuição de eletricidade: corrente contínua e corrente alternada.

O uso de corrente contínua foi proposto por Thomas Edison, contra a dis- tribuição de corrente alternada de Nikola Tesla. Ganhou a corrente alternada, por se mostrar mais eficiente, basicamente pela possibilidade do uso de trans- formadores.

Após as discussões iniciais, estabeleceu-se um paradigma baseado em cor- rente alternada, no qual o sistema é baseado nas principais máquinas elétricas. Este é o sistema que persiste até hoje, em todos os países.

2.1.1 O Transformador O transformador permite a transferência de energia entre dois circuitos através de um acoplamento magnético. São duas bobinas enroladas sobre um núcleo fer- romagnético em comum, aonde a primeira bobina produz o fluxo magnético, que atravessará a segunda bobina. Pela Lei de Faraday (equação 2.3), haverá uma tensão induzida na segunda bobina proporcional à variação do fluxo magnético e o número de espiras (voltas) da bobina.

12

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 13

Figura 2.1: Esquema de um transformador (fonte: Wikipedia)

Esta transferência de energia pode ser manipulada, de forma que se altere tensões e correntes, sem alterar a potência total.

Procura-se usar os transformadores para elevar a tensão, possibilitando a transmissão de energia por longas distâncias, enquanto a baixa corrente permite diminuir as perdas nos condutores. A relação é dada por

N1 N2

= V1 V2

= I2 I1

(2.1)

Sendo N1eN2o número de espiras no primário e no secundário, respectiva- mente.

A principal vantagem neste sistema é evitar as perdas nos condutores, que variam com o quadrado da corrente:

P = RI2 (2.2)

O transformador pode ser visto como uma engrenagem, que também trans- mite energia através de uma relação entre as rodas.

2.1.2 O Gerador O gerador de corrente alternada também funciona pelo princípio descrito pela Lei de Faraday: uma força eletromotriz (tensão) é induzida pela variação do fluxo magnético:

e = −N dΦB dt

(2.3)

No qual o fluxo magnético ΦB torna-se variável pela rotação do eixo. As bobinas captam uma tensão senoidal, no qual é fornecida ao sistema. A rotação do eixo é o que determina a freqüência da onda.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 14

ΦB = BA (2.4)

Seja a e b as dimensões do pólo do gerador, que determina a área do fluxo magnético. O rotor em um dado instante estará a um ângulo θ em relação ao campo magnético produzido pelo estator1. Este ângulo será determinado pela frequência angular de rotação da máquina ω:

A = a b cos θ (2.5)

θ = ωt (2.6)

A = a b cosωt (2.7)

BA = B a b cosωt (2.8) 1Pode também haver a montagem inversa: o rotor produz o campo magnético e o estator

capta a energia.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 15

Figura 2.2: O rotor recebe um fluxo magnético de acordo com seu ângulo em relação ao eixo dos pólos. Na figura acima, o fluxo é máximo quando o ângulo é zero, visto pela largura a. Na figura abaixo, o fluxo é menor pois a bobina do rotor está recebendo uma parcela a′. Quando o rotor girar 180o, a tensão induzida será no sentido contrário.

A variação do fluxo será a variação desta área.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 16

dΦB dt

= −ωB a b sinωt (2.9)

e(t) = N ωBA sinωt (2.10)

Logo a tensão induzida dependerá diretamente de

1. Rotação da máquina

2. Fluxo magnético produzido

3. Número de espiras

A frequência do sistema também é determinada pelos geradores, que no nosso caso é igual a 60 Hz, ou aproximadamente 377 radianos por segundo.

Os geradores CA são em geral mais econômicos que seus equivalentes em corrente contínua. Mais a frente será visto que os geradores CA podem ser trifásicos (capítulo 4), o que aumenta o rendimento deste tipo de máquina.

2.1.3 O Motor Os motores em corrente alternada possuem uma construção mais simples, o que também os torna mais econômicos que os motores de corrente contínua. Sua desvantagem é, em geral, não ter um controle de velocidade. Mesmo assim, a maioria das aplicações justifica o uso de corrente alternada.

2.1.4 Outras aplicações Eventualmente, outras aplicações demandam o uso de corrente contínua, o que pode ser realizado a partir de conversores CA-CC (também chamados de retifi- cadores). A área de eletrônica de potência é responsável para a conversão entre sistemas e controle de potência.

2.1.5 O sistema elétrico Com os equipamentos descritos anteriormente, pode-se vislumbrar um sistema elétrico de grande porte. Seguindo o sentido do fluxo de energia, temos:

1. A geração, captando energia de diversas fontes, realizada com tensões relativamente baixas, devido à limitações das máquinas.

2. O transformador elevador, instalados próximos dos geradores, aonde consegue- se tensões que podem chegar a 750 kV, como é o caso do Brasil, e pro- porcionalmente reduzindo as correntes, possibilitando a transmissão da eletricidade.

3. A rede de transmissão, que interliga os diversos núcleos geradores e con- sumidores.

4. O transformador abaixador, instalados próximos as centros consumidores, permite reduzir as tensões para níveis de utilização urbanos.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 17

5. A rede de distribuição, que adentra os centros urbanos, em geral da ordem de 13,8 kV.

6. Os transformadores abaixadores dos consumidores, reduzindo as tensões para 127 ou 220 V.

7. As cargas dos consumidores.

O sistema elétrico pressupõe o uso de dispositivos de proteção, controle e tari- fação, entre outros, que permitem assegurar a qualidade do serviço.

2.2 Ondas Senoidais A corrente alternada, devido à construção dos geradores, origina aproximada- mente uma senóide. A onda senoidal2 é expressa pela função

f(t) = F sin(ωt+ φ) (2.11)

Aonde F é o valor máximo da senóide, ou amplitude, ω a freqüência angular e φ o ângulo de fase.

Figura 2.3: Função senoidal

2A abreviatura de seno pode ser “sen” de senoidal ou “sin” de sinusoidal. A forma “sin” é também usada na língua inglesa.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 18

Figura 2.4: Ondas com diferentes ângulos de fase

Figura 2.5: Ondas com diferentes frequências

O ângulo de fase é importante quando começamos a realizar operações entre senóides. Ao somarmos duas ondas com o mesmo ângulo de fase (ou simples- mente, “em fase”) teremos o valor máximo. Se somarmos duas ondas com ângulos de fase opostos (diferença de 180o) teremos o valor mínimo.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 19

A operação entre senóides é realizada ponto-a-ponto: para cada valor das funções, em um mesmo instante de tempo, é feita a operação.

Figura 2.6: Operações com duas ondas em fase

Figura 2.7: Operações com duas ondas defasadas

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 20

2.3 Entendendo as Grandezas Elétricas

2.3.1 O sentido do fluxo de energia Teremos as grandezas em formal senoidal, não só a corrente mas tensão. Como a energia é transmitida, se tanto a corrente como a tensão “vai e volta”?

Para responder esta dúvida comum, basta lembrar que o que importa é a potência, que é expressa por P = V I . Se multiplicarmos as ondas de ten- são e corrente, se estiverem em fase, teremos sempre valores positivos. Logo, percebemos que a potência transmitida é pulsante.

Conforme vamos deixando a onda de tensão defasada da onda de corrente, o que é comum de ocorrer, pode-se perceber que a potência deixa de ser totalmente transmitida. Experimente calcular a onda de potência para uma onda de tensão defasada em 180o da onda de corrente.

2.3.2 Valor efetivo Esta forma de onda pulsante indica que a potência não é transmitida de forma constante, como é feita em corrente contínua.

De fato. Com a definição de energia é a integral da potência ao longo do tempo, vemos que podemos chegar a um valor médio (considerando que as ondas de tensão e corrente são senoidais).

Logo, falamos de valores efetivos em grandezas de tensão e corrente os valores no qual teremos a mesma energia em um circuito de corrente contínua, como por exemplo, para aquecer um resistor de um chuveiro.

Figura 2.8: Valor efetivo e comparação com corrente contínua. [1]

Este valor, para ondas senoidais, é expresso por

Vef = Vmax√

2 (2.12)

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 21

ou Vef = 0, 707Vmax (2.13)

O valor efetivo é também chamado de valor RMS pela sua abreviatura em inglês (root mean square - valor médio quadrático). A rigor, o valor efetivo de uma função é a média da integral do quadrado da função.

Quando falamos que a tomada de nossas casas é de 127 V, estamos falando no seu valor RMS. Na verdade o valor de pico é igual a

Vmax = Vef · √

2 = 127 · 1, 414 = 179, 6V (2.14)

E se a freqüência na rede elétrica do Brasil é de 60 Hz:

ω = 2πf = 2 · 3, 14159 · 60 ≈ 377 rad/s (2.15)

Logo, a função da onda de tensão residencial é igual a

v(t) = 179, 6 sin(377t− φ) (2.16)

Lembrando que a razão √

2 é válida somente para ondas senoidais3.

2.4 Fasores Realizar operações entre senóides pode se tornar um processo muito cansativo. Uma forma alternativa e que demanda muito menos tempo é o chamado método fasorial. O fasor é um número complexo que representa uma onda senoidal.

2.4.1 Base teórica Uma onda senoidal também pode ser expressa pela seguinte forma:

f(t) = A sinωt+B cosωt (2.17)

No qual dependendo dos valores de A e B a onda possuirá um ângulo de fase. Sendo a freqüência igual para ambas as parcelas, a onda pode ser expressa somente por A e B.

Estes dois números podem ser interpretados como coordenadas de um ve- tor. De fato, se visualizarmos este vetor em rotação, ele descreverá um círculo. Deste círculo podemos extrair o seno e cosseno, que correspondem exatamente à funçãof(t).

Este vetor em rotação é chamado de fasor. Sua notação matemática é

Ż = a+ j b (2.18)

No qual trata-se de um número complexo. Sendo que

j = √ −1 (2.19)

3Esta dúvida não assola somente o estudante. Existam para vender multímetros que su- postamente medem o valor RMS, mas que somente usavam a razão

√ 2. Atualmente existem

medidores chamados “true RMS”, que realizam o cálculo exato do valor RMS através de inte- gração.

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 22

A figura ?? ilustra que o complexo, assim como um vetor, também possui uma representação polar, indicada pela forma

Ż = r/φ (2.20)

Esta representação, não por acaso, corresponde à forma da função senoidal

f(t) = r sin(ωt+ φ) (2.21)

A freqüência angular ω não é explicitada na notação complexa pois se pressupôe- se que o sistema inteiro encontra-se na mesma freqüência.

Figura 2.9: Rotação do fasor descrevendo uma circunferência.

Ocasionalmente pode ser usada a notação Ż = Z/φ, no qual Z corresponde ao módulo de Ż.

2.4.2 Alguns números complexos Todos os números reais, em notação complexa, possuem ângulo zero, por exem- plo:

1 = 1/0o (2.22)

Os imaginários puros possuem ângulo de 90 graus, por exemplo:

j = 1/90o (2.23)

Um número real negativo também pode ser expresso por um módulo positivo e um ângulo de 180 graus:

−1 = 1/180o (2.24)

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 23

2.4.3 Conversão entre notação polar e retangular

r = √ a2 + b2 (2.25)

φ = tan−1 b

a (2.26)

a = r sinφ (2.27)

b = r cosφ (2.28)

2.4.4 Funções típicas • Parte real:

<(Ż) = a (2.29)

• Parte imaginária: =(Ż) = b (2.30)

• Módulo: mod(Ż) =

∣∣∣Ż∣∣∣ = r (2.31) • Argumento (ou ângulo):

arg(Ż) = φ (2.32)

• Conjugado:

conj(Ż) = a− j b (2.33)

2.4.5 Operações entre números complexos Soma e subtração: realizar na forma retangular.

Sendo Ẏ = a+ j b e Ż = c− j d :

Ẏ + Ż = (a+ c) + j(b+ d) (2.34)

Ẏ − Ż = (a− c) + j(b− d) (2.35) Multiplicação e divisão: realizar na forma polar. Sendo Ẏ = r/φ e Ż = s/θ :

Ẏ · Ż = (r · s)/φ+ θ (2.36)

Ż = r

s /φ− θ (2.37)

Curiosamente, o imaginário negativo é igual ao inverso do imaginário:

−j = 1/− 90o = 1/270o = 1 j

(2.38)

1/360o = 1/0o (2.39)

j2 = −1

CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 24

2.5 Representação de elementos elétricos em forma complexa

2.5.1 Fontes de tensão As fontes produzirão tensão de forma complexa. Estas fontes podem estar ou não defasadas. Caso exista somente uma fonte no circuito, por convenção, seu ângulo de fase será zero.

2.5.2 Impedância Em uma análise de circuitos CA, a grande facilidade no método fasorial é em unir resistências, capacitâncias e indutâncias em um único elemento “genérico”, no qual chamamos de impedância. A impedância é um valor em número com- plexo, no qual também relaciona as tensões e correntes de um circuito. Logo, a impedância também pode ser expressa em ohms.

O símbolo usual de impedância é Ż, incluindo o indicador de número com- plexo. A Lei de Ohm em forma complexa torna-se

V̇ = Ż İ (2.40)

2.5.3 Resistência A resistência não altera a fase de tensões e correntes. Logo, possuirá somente a parte real, o que indica que o resistor consome energia.

V̇ = ŻR İ = R İ (2.41)

Figura 2.10: Relação entre tensão e corrente em um resistor.

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