Apostilas sobre Função Afim_Parte1, Notas de estudo de Matemática Elementar. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Apostilas sobre Função Afim_Parte1, Notas de estudo de Matemática Elementar. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas de Matemática Básica sobre Função Afim, Taxa de variação de uma função afim, Funções Partidas.
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Matemática Básica Unidade 10

1

Unidade 10

Função afim

Metas

Esta unidade é sobre a noção particular de função, conhecida como função afim.

Objetivos

Ao final desta unidade você deve:

 conhecer a noção de função afim;

 saber esboçar o gráfico de uma função afim a partir de sua expressão;

 saber determinar a expressão de uma função afim a partir de uma representação do

seu gráfico.

Matemática Básica Unidade 10

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Função Afim

Uma função afim é uma função do tipo f :  , com f(x) = ax + b, onde a, b

 são constantes pré fixadas. Apesar da simplicidade desta função, ela é bastante

importante no estudo geral das funções, além de modelar vários problemas práticos.

Podemos começar o estudo de uma função afim pela descrição do seu gráfico. A

representação gráfica no plano cartesiano 2 da função afim coincide com a

representação de uma reta no plano. Isto é, o conjunto {(x, y)  2 | y = ax + b}

marcado no plano R 2 forma uma reta.

y = ax + b

O aluno pode verificar esta afirmação sobre o gráfico da função afim estudando

algumas equações e representando-as numa folha quadriculada. Ou, pode verificar em

algum programa matemático como fica o gráfico de alguns exemplos. Um programa

bom para isto é o GeoGebra. Veja, por exemplo, a figura obtida neste programa para o

gráfico da função dada por y = 3x + 1.

Matemática Básica Unidade 10

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Atividade 1: Esta atividade é referente à função dada pela relação y = 3x + 1, cujo

gráfico está ilustrado na figura anterior.

a) Um ponto notável do gráfico de uma função ocorre quando fazemos x = 0. Este ponto

indica o ponto de interseção do gráfico da função com o eixo y. A figura anterior indica

que este ponto de interseção é (0, 1). Verifique se este ponto pertence de fato ao gráfico

da função, isto é, verifique se f(0) = 1.

b) O desenho não indica explicitamente o ponto do eixo x por onde passa a reta. Você

consegue encontra-lo? Lembre-se que um ponto sobre o eixo x tem a segunda

coordenada igual a zero. Vejo se o valor encontrado está de acordo com o aspecto do

desenho.

Na análise gráfica de uma função afim, podemos verificar que os coeficientes a

e b têm um papel importante na determinação do aspecto do gráfico. A saber, o

coeficiente a mede a inclinação da reta com relação ao eixo x, enquanto que o

coeficiente b marca o ponto onde a reta corta o eixo y.

a > 0 a < 0 a = 0

b

Observação: O coeficiente a é chamado coeficiente angular e b é chamado coeficiente

linear.

Atividade 2:

a) Faça uma representação gráfica da função afim dada. Compare o aspecto do gráfico

com os respectivos valores dos coeficientes.

1) y = x + 1 2) y = 2x + 1 3) y = – x 4) y = 2

1 x + 1

5) y = x – 3 6) y = 2 7) y = x 8) y = 2x 9) y = x + 1

Matemática Básica Unidade 10

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b) Nos gráficos obtidos no item anterior, marque, para cada item, a raiz da função, isto

é, o x tal que f(x) = 0.

c) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, o gráfico das funções dadas por f(x)

= 2

1 x, g(x) = 2x e h(x) = 3x.

d) Diga se é verdadeiro ou falso.

ii) A reta y = 2x tem uma inclinação maior do que a reta y = 3x.

iii) As retas y = 4x, y = 4x  2 e y = 4x + 15 são paralelas.

iiii) As retas y = 2x + 1 e y = 5x  2 são concorrentes.

A primeira aplicação do esboço de gráfico de funções afins se dá na resolução de

inequações envolvendo expressões polinomiais do 1º grau. A saber, o fato do valor da

expressão y = ax + b ser positivo, nulo ou negativo pode ser imediatamente reconhecido

pelo desenho do gráfico da função f(x) = ax + b. Vejamos, como exemplo, a figura a

seguir que representa uma parte do gráfico da função f :  , com f(x) = 3x  6.

Desenho obtido no GeoGebra

Pela figura do gráfico, é imediato a avaliação do sinal do valor de y = 3x  6,

qualquer que seja o ponto x. Temos que, para pontos x maiores do que 2, y = 3x  6 é

um número positivo. Para pontos x menores de 2, y = 3x  6 é um número negativo. E

quando x = 2, y = 3x  6 = 0. Note que a avaliação foi feita sem nos preocuparmos com

o valor exato da expressão y = 3x  6. Por exemplo, podemos verificar, no desenho, que

o valor de y = 3x  6 para x = 3 é 3, um número positivo, e podemos verificar que o

valor de y = 3x  6 para x = 1 é 3, um número negativo. Mas, para a resolução da

Matemática Básica Unidade 10

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inequação, não precisamos saber o valor de y = 3x  6, só precisamos saber se este é

positivo, negativo ou nulo. Isto é imediato do desenho do gráfico da função.

Outro aspecto desta abordagem geométrica é evitar a manipulação algébrica. Por

exemplo, o aluno deve ter aprendido na unidade 4 a resolver a inequação 3x  6 > 0

procedendo da seguinte maneira: 3x  6 > 0  3x > 6  x > 6/3  x > 2. Esta mesma

resposta pode ser obtida imediatamente da representação gráfica da função.

Vejamos outro exemplo. Agora, os coeficientes não são dados, só um esboço do

gráfico de uma função que tem como expressão y = ax + b, onde a < 0. Note, leitor, que

o desenho é só um esboço, mesmo. Não existe graduação na reta nem marcação de

valores, com exceção da raiz da função, x0. Ainda assim, este desenho rústico é

suficiente para o estudo das inequações ax + b > 0 ou ax + b < 0.

Pelo desenho, para x < x0, os valores y = ax + b são positivos e, para x > x0, os

valores y = ax + b são negativos. Temos que ax + b = 0 quando x = x0.

Atividade 3: Resolva as inequações. Para analisar o sinal de cada expressão polinomial

do 1º grau, faça um esboço bem simples do gráfico.

a) 2x  1 > 0 b) x + 3  0 c) x + 1 < 3 d) 3x  2 < 5x +1

e)   





023

012

x

x f)

  





022,0

01

x

x g)

  





02

0

x

x

Exemplo: Vejamos uma inequação envolvendo produto de duas expressões polinomiais

do 1º grau, (2x + 4)(3x + 7) > 0. A solução deste problema é baseada na regra de sinais

para a multiplicação, positivo com positivo é positivo, positivo com negativo, ou

Matemática Básica Unidade 10

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negativo com positivo, é negativo e negativo com negativo. Para que a expressão (2x +

4)(3x + 7) > 0 seja verificada, é preciso que os fatores estejam de acordo com a regra

de sinais para multiplicação. No caso, é preciso que os dois fatores sejam positivos ao

mesmo tempo, ou que sejam negativos ao mesmo tempo. Para termos estas

informações, podemos fazer um estudo de sinais dos dois fatores.

2x + 4 3x + 7

Vamos chamar o primeiro fator de P1, isto é, P1 = 2x + 4 e seja P2 = 3x + 7.

Precisamos analisar o sinal de P1. P2. Podemos fazer isto com o auxílio de uma tabela.

O aluno deve comparar os sinais das duas primeiras linhas com os esboços de gráficos

acima. A terceira linha é preenchida com a regra de sinais para a multiplicação.

No final da tabela, o pedaço da linha mais escuro indica os pontos que satisfazem a

inequação. Assim, o conjunto solução é dado por S = (2, 7/3)

Atividade 4: Resolva as inequações.

a) (x  1)(2x + 6) < 0 b) x(3x + 1)  0 c) (x 3)(2x + 5)(5x + 15) >0

d) 0 12

31 

x

x e) 0

)1)(5( 



x

xx

Para se determinar a equação de uma função afim, f(x) = ax + b, basta conhecer

seus valores em dois pontos, y1 = f(x1) e y2 = f(x2). Neste caso, as constantes a e b são

determinadas pela solução do sistema

  





baxy

baxy

22

11 .

2 7/3 

+ +

2 7/3

+

+ +

+

+

 

P1

P2

P1P2

Matemática Básica Unidade 10

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Exemplo: A relação entre y e x é uma função afim. Sabendo que y = 1, se x = 1, e y =

3, se x = 1, determinar a equação da função.

Solução: Se a expressão relacionando y com x é uma função afim então y = ax + b. Para

resolver esta questão, é preciso encontrar os valores a e b. Para isto, usando as

informações fornecidas, basta determinar a solução do sistema

  





ba

ba

3

1

Resposta: y = –2x – 1.

Atividade 5:

a) Encontre a equação da reta que contém os pontos:

i) (0, 1) e (1, 0);

ii) (4, 1) e (2, 1);

iii) (0, 1) e (1, 2);

iv) (0, 2) e (1, 3);

v) (2, 1) e (2, 3).

b) Encontre a equação da reta a partir dos dados fornecidos.

i) a = 2 e a reta passa por (2, 7);

ii) b = 1 e a reta passa por (1, 0);

iii) a = 3 e y = 3 quando x = 1;

iv) a = 3 e y tem valor 8 no ponto x = 1;

v) a reta corta o eixo y em 2 e y = 1 se x = 1;

vi) a reta intercepta o eixo x em 5 e (1, 2) pertence à reta;

vii) a reta é paralela ao eixo x e (1, 3) pertence à reta;

viii) b = 2 e y = 2 quando x = 33.

c) Suponha que custa $15 para fabricar um determinado produto, além de uma despesa

fixa diária de $400. Se x unidades forem produzidas por dia e y Reais for o custo

total diário para o fabricante, determine a expressão de y como função de x.

d) Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo

retângulo, de catetos medindo 10m e 20m. Determinar a fórmula da área do galpão

em função de x dado no desenho (é preciso expressar y em função de x).

e) Determine a imagem da função f : [0, 5)  , f(x) = 3x  1.

f) Observe o gráfico da f a seguir e determine sua expressão.

x

y

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