Apostilas sobre Função_Parte2, Notas de estudo de Matemática Elementar. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval2000

Apostilas sobre Função_Parte2, Notas de estudo de Matemática Elementar. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

7 páginas
728Número de visitas
Descrição
Apostilas de Matemática Básica sobre a Função, Introdução ao conceito de função, A noção de função, Gráfico, Taxa de variação, Gabarito das atividades.
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 7
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 7 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 7 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 7 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 7 páginas
Baixar o documento

Matemática Básica Unidade 9

8

d) Uma empresa tem gasto mensal de 1100 reais com cada funcionário contratado.

Usando as variáveis x e y para representar as grandezas funcionários e gasto mensal,

respectivamente,escreva a função matemática que modela este fenômeno.

Exemplo: A função f : [0,1]  , f(x) = x2, é a função que associa cada ponto x entre 0

e 1 ao valor f(x) = x 2 . Já a função g : [1,1]  , f(x) = x2, é a função que associa cada

ponto x entre 1 e 1 ao valor f(x) = x 2 . A função g é bem diferente da função f, apesar de

as duas terem a mesma relação de função. Por exemplo, se for pedido para se

determinar o ponto x do domínio cujo valor associado é 1, a resposta para a função f é

única, pois f(1) = 1. Já para a função g, o problema não é tão simples, uma vez que

temos g(1) = 1 e g(1) = 1, ou seja, a resposta não é única.

As funções podem ser classificadas nos mais variados tipos. Alguns exemplos de

classificação são: crescente, decrescente, constante, injetiva (ou injetora), sobrejetiva

(ou sobrejetora), bijetiva (ou bijetora) e limitada.

Como este é um primeiro estudo sobre o assunto, não vamos nos deter neste tipo

de classificação de funções. Mas, este conteúdo será muito importante para o curso de

Cálculo. Numa segunda oportunidade, na disciplina de Pré-Cálculo ou de Cálculo, é

importante estudar esta parte também.

O Plano Cartesiano 2

Um recurso importantíssimo em um estudo de funções é a noção de gráfico de

função, conceito definido a partir do conjunto 2. O 2 é definido pelo conjunto

2 = {(x, y) | x, y  }.

Exemplos de elementos de 2 são: (1, 0), (0, 0), (3, 6), ( 2 , 2) e (, 1).

O 2 possui uma representação gráfica muito útil. Numa folha, desenhamos

duas retas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical. A horizontal é chamada

eixo x. A vertical eixoy. O ponto de interseção é chamado centro ou origem, e denotado

por O.

Matemática Básica Unidade 9

9

y

x

O

A representação geométrica dos elementos de 2 se dá da seguinte forma: dado

(a, b)  2, a partir da origem O, andamos a unidades na direção do eixo x, e depois b

unidades na direção do eixo y. Aí, marcamos o elemento no papel. Por exemplo, os

elementos A = (1, 1), B = (2, 1) e C = (0, 2) podem ser visualizados como

C

B A

Atividade 8:

a) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y) 2 | y = 1}.

b) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y)  2 | x = y}.

c) Tente identificar, numa representação gráfica do 2, o conjunto {(x, y) 2 | x = 2}.

d) Numa representação gráfica do 2, identifique que objetos os seguintes elementos

representam: (0,0); {(x, y)  2 | y = 0}; e {(x, y)  2 | x = 0}.

Gráfico

O gráfico de uma função f : X  , y = f(x), é o conjunto dos pontos do plano

cartesiano 2 formado por

Graf(f) = {(x, f(x)) ; x  Dom(f)}

O gráfico de uma função permite uma interpretação geométrica e, portanto,

facilita a análise da relação entre as grandezas envolvidas na função.

Matemática Básica Unidade 9

10

Exemplo: Considere a função f : X  , y = x2  x + 4. A figura a seguir foi obtida do

programa GeoGebra e representa o gráfico desta função. O aluno pode verificar que

alguns pontos (x, y) do desenho satisfazem a condição y = f(x), que é a condição que

determina o gráfico de f. Por exemplo, vemos que o ponto (0, 4) pertence à curva do

desenho e, de fato, (4, 0) é um ponto do gráfico de f, pois f(0) = 0 2  0 + 4 = 4.

Atividade 9: Verifique se os outros 5 pontos indicados no desenho pertencem ao

gráfico de f, isto é, se satisfazem a condição y = f(x).

Observação: Em matemática Básica, o aluno não vai aprender a construir gráfico de

funções. Não é este o objetivo. Agora, a única preocupação deve ser aprender a

compreender o gráfico dado. A única exceção é o gráfico de uma função afim, dada por

uma relação do tipo y = ax + b, que será estudado na próxima unidade.

Exemplo: Um dono de loja quer vender uma determinada mercadoria. Ele tem duas

opções de fornecedores. O fornecedor A cobra por mês para entregar suas mercadorias

um custo fixo de R$ 25 mais R$ 5 por mercadoria. O fornecedor B cobra por mês um

custo fixo de R$ 60 e R$ 2 por mercadoria. Se a demanda pelo produto for bastante,

com qual fornecedor o dono deve negociar? Exatamente a partir de quantas mercadorias

encomendadas é mais vantagem trabalhar com este fornecedor?

Temos as relações de preços por fornecedores dadas pelas funções

PA = 5m + 25 e PB = 2m + 60,

Matemática Básica Unidade 9

11

cujos gráficos são dados a seguir (na próxima unidade, falaremos sobre gráfico deste

tipo de função).

Só pelo aspecto do gráfico, vemos que, inicialmente, PA tem o preço menor.

Contudo, vemos que PB passa a ter um preço menor quando o número de

mercadorias é grande. Os dois fornecedores cobram o mesmo preço quando

PA = PB, isto é, quando 5m + 25 = 2m + 60, donde m0 = 35/3 = 11 + 2/3.

Outro termo relacionado com função é o seguinte. Seja f uma função. O conjunto

dos valores de f é denominado imagem de f:

Im(f) = {y  | x  Dom(f) e f(x) = y} = {f(x)  | x  Dom(f)}

Exemplo: Para a função f :  , f(x) = x2, temos Im(f) = [0, +), pois todo número

real positivo, ou igual a 0, possui uma raiz e os números negativos não possuem raiz

real.

Uma ótima maneira de se analisar o conjunto imagem de uma função é pelo seu

gráfico. Ainda falaremos melhor sobre isto.

Atividade 10:

a) Determine a imagem da função a partir de seu gráfico.

i)

Preço PA PB

60

25

m0 Mercadorias

Matemática Básica Unidade 9

12

ii)

iii)

b) Para cada item de (a), determine, caso exista, o valor máximo e mínimo que a função

atinge.

c) O desenho a seguir representa o gráfico de uma função f :  . Baseando-se na

figura, resolva a inequação f(x) ≤ 0.

Taxa de variação

Um conceito importante na análise entre duas variáveis é o de taxa de variação

média. Esta ideia é naturalmente usada para se avaliar velocidade média. Por exemplo,

um carro que fez um percurso de 15 km em 3 h (talvez por causa do trânsito), o fez com

uma velocidade média de

Matemática Básica Unidade 9

13

3

15 

t

d = 5 km/h,

onde usamos o  como um símbolo para indicar variação. Ou seja, este quociente

representa que, em média, o carro percorria 5 quilômetros por hora. Observe que esta

ainda é uma análise limitada, pois não indica exatamente como o carro percorreu todo o

trajeto; de repente, ele ficou preso um longo tempo num determinado sinal, ou num

momento do percurso entrou numa via expressa e imprimiu uma velocidade maior, de

40, 60 ou até 80 km/h. Mesmo assim, esta análise pode ser interessante para, por

exemplo, se decidir que é mais vantagem fazer o percurso de bicicleta (e, às vezes, até a

pé).

Definição: Se y está em função de x, y = f(x), o quociente

12

12

12

12 )()(

xx

yy

xx

xfxf

x

y

 

 

é chamado a taxa de variação média de y com relação a x no intervalo de x1 a x2.

Observação: Note o significado dos termos envolvidos. A expressão y = y2  y1 mede a

variação de y entre y1 e y2, e analogamente para x. O quociente mede, então, a taxa

entre estas duas variações.

Exemplo: Considere a relação de função, y = x 3  2x. A taxa de variação média de y

com relação a x de 0 a 2 é

.2 2

4

02

)0.20()2.22( 33 

 

x

y

Ou seja, no intervalo de 0 a 2, para cada variação unitária de x, y varia em média 2

unidades.

Exemplo: Suponha que um objeto é largado de uma torre de altura de 125m. Segundo

as leis de Newton, o movimento do objeto é descrito pela equação

d = v0t + 1/2gt 2  d = 5t

2 ( g  10 m/s

2 ).

Matemática Básica Unidade 9

14

Então, o objeto atinge o solo em 5 segundos e a distância percorrida a cada segundo é

t = 0  d = 0

t = 1  d = 5

t = 2  d = 20

t = 3  d = 45

t = 4  d = 80

t = 5  d = 125

Pelos resultados acima, vemos que, de segundo para segundo, a variação da

distância percorrida aumenta cada vez mais (no 1 o segundo: y = 5m; no 2

o segundo: y

= 15m; no 3 o segundo: y = 25m; etc.). Intuitivamente, vê-se que o objeto cai com uma

velocidade cada vez maior. Em função destes dados, podemos ver que a velocidade

média, que coincide com a noção de taxa variação média entre d e t, é dada por

vmed = 05

0125

12

12

 

 

tt

dd

t

d = 25.

Atividade 11:

a) Dada a relação de função, y = 5x2, calcule a taxa de variação média de y com relação

a x entre 1 e 4, e depois entre 4 e 7.

b) Calcule a taxa de variação média de y = ax2 + bx + c com relação a x entre x1 e x2.

c) Calcule a taxa de variação média de y = b com relação a x entre x1 e x2. Você já

esperava este resultado?

d) Numa relação de função, o valor de y é 5 quando x = 2 e a taxa de variação média de

y com relação a x entre 2 e 7 é igual a 3. Determine o valor de y quando x = 7.

Funções Partidas

Como já foi registrado aqui, uma função é um objeto complexo. Um destes

elementos é uma regra que determina a relação de dependência, y = f(x). Contudo, a

expressão matemática que define a expressão f(x) não precisa ser única. Ela pode variar

ao longo do domínio da função. Quando isto acontece, dizemos que a função é uma

função partida.

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 7 páginas
Baixar o documento