Apostilas sobre Números naturais_Parte2, Notas de estudo de Matemática Elementar. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval2000

Apostilas sobre Números naturais_Parte2, Notas de estudo de Matemática Elementar. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

PDF (531 KB)
10 páginas
1000+Número de visitas
Descrição
Apostilas de Matemática Básica sobre Números naturais, Grandezas representadas numericamente, Números naturais e o processo de contagem, Contagem na comparação de grandezas.
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 10
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 10 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 10 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 10 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 10 páginas
Baixar o documento
Unidade 1

Matemática Básica Unidade 1

11

a fim de não sobrecarregar a figura, é mais conveniente marcar a representação decimal

sobre a extremidade do segmento correspondente. Fazendo isto, leitor, tente obter a

seguinte representação dos números naturais sobre a sua reta graduada.

Observe como este processo de construção dos números naturais sobre a reta

reproduz a ideia que temos sobre os números naturais. Determinamos o primeiro

segmento, determinamos o sucessor do primeiro segmento, depois o sucessor do

sucessor e assim por diante. Deste modo, acabamos de descrever uma outra maneira de

representar os números naturais, a representação geométrica dos números naturais. No

desenho anterior, temos as duas representações ao mesmo tempo, a geométrica e a de

base 10.

b) No desenho a seguir, a letra a simboliza a representação geométrica de um número.

Dê a representação decimal deste mesmo número.

c) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir?

d) No desenho abaixo, a indica a representação geométrica de um número. Note que o

desenho não tem as marcas que representam os segmentos múltiplos da unidade. Você é

capaz de deduzir quantas vezes o segmento representado por a é maior do que a

unidade? Em caso afirmativo, dê a representação decimal de a.

e) No desenho deste item, temos uma situação semelhante à do item anterior. Será que

agora você consegue deduzir qual é a representação decimal de a? Agora a situação não

é tão simples. O nosso conselho é que você faça uso de um compasso ou de um pedaço

de papel ou madeira do tamanho da unidade de medida e conte o número de múltiplos.

f) Seguindo o próximo desenho, dê a representação decimal de a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

O U

Matemática Básica Unidade 1

12

g) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir?

h) Na figura a seguir, quanto mede o segmento AB?

Desafio: Leitor, você consegue construir uma reta graduada a partir de uma unidade de

medida arbitrária, escolhida por você mesmo, em uma folha sem nenhuma pauta? Dica:

Utilize uma régua para a construção da reta e um compasso para a construção dos

múltiplos da unidade (não utilize as unidades da régua).

Contagem na previsão de eventos

Até agora vimos alguns exemplos onde os números naturais foram úteis na

comparação de grandezas. Podemos aplicar o conhecimento dos números naturais em

outro tipo de problema bem interessante, a saber, o problema de previsão.

Exemplo: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um

minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja

tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a

temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este

comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura

ambiente de 20ºC?

Matemática Básica Unidade 1

13

Solução: A resposta para este problema pode ser obtida por um simples processo de

contagem. Na verdade, é uma contagem especial, pois é preciso contar de 12 em 12, a

partir do 200 e diminuindo, mas não deixa de ser uma contagem.

A sequência de valores contados pode ser acompanhada na seguinte tabela.

x min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y o C 188 176 164 152 140 128 116 104 92 80 68 56 44 32 20

Assim, contando o tempo decorrido, em minutos, e a mudança sucessiva de

temperatura, podemos antecipar que o forno vai alcançar a temperatura ambiente depois

de 15 minutos.

Leitor, veja como a contagem realizada nesta questão é interessante, não

precisamos esperar passar os 15 minutos para ficar sabendo que o forno alcançou a

temperatura ambiente. Contudo, é bom ficar claro que isto é uma previsão. Estamos

supondo que é isto que vai acontecer (sem precisar esperar os 15 minutos passarem). É

evidente que podem aparecer outros fatores capazes de alterar esta previsão. Mas, a

princípio, baseado nos dados fornecidos, o tempo de espera de 15 minutos parece ser

uma boa estimativa.

Por exemplo, se você utilizou um forno em condições semelhantes e possui uma

criança pequena em casa, já pode prever que a criança só poderá entrar na cozinha em

segurança depois de 15 minutos do forno ter sido desligado.

Atividade 7:

a) Existe uma forma bem simples de montar uma tabela como a do exemplo anterior.

As planilhas eletrônicas (por exemplo, o Excel ou BrOffice – este último é um

programa livre e você pode pedir ajuda ao seu tutor de Informática sobre mais

informações) oferecem ótimos recursos matemáticos e um destes é ajudar a montar

facilmente tabelas como a anterior. Tente realizar as etapas descritas a seguir.

1º) Em uma planilha, preencha as três primeiras células da primeira linha com os

valores 1, 2 e 3, respectivamente.

2º) Selecione as três células preenchidas, você encontrará as três células cercadas

por um retângulo com um pequeno quadrado do lado, chamado alça de

preenchimento, com o seguinte aspecto: .

3º) Clique em cima do pequeno quadrado e arraste a alça ao longo da linha, você

verá as células sendo preenchidas automaticamente.

Matemática Básica Unidade 1

14

Se você começar a preencher as células com sequências variadas, o programa irá

preencher as células seguintes de acordo com a sequência definida. Experimente criar

automaticamente a sequência dos números pares, ou a sequência dos números múltiplos

de 9, por exemplo. Tente recriar a tabela do exemplo anterior.

Se você preencher uma planilha eletrônica conforme a figura acima

e selecionar as 3 células preenchidas, basta arrastar o quadradinho para direita

para obter a sequência de valores do exemplo anterior.

b) Uma forma interessante de realizar contagens se dá através da representação

geométrica dos números naturais. Consiga uma trena com 2 m de comprimento, pelo

menos. Consiga também um pedaço de linha de 12 centímetros. Vamos representar a

temperatura do forno através dos centímetros da trena. Assim, a marca 200 cm da trena

representa a temperatura inicial do forno. Ande com o pedaço de linha a partir da marca

de 200 cm, diminuindo de 12 cm em 12 cm. Conte cada diminuição de marca, até

chegar à temperatura ambiente, isto é, até chegar à marca de 20 cm.

Exemplo: Imagine que você comece a brincar com palitos, formando quadrados, como

na figura a seguir. Quantos palitos são necessários para se montar uma sequência de 17

quadrados?

Matemática Básica Unidade 1

15

Solução: Como temos visto nesta unidade, para resolver este problema, o caminho é

fazer uma contagem. Para montar um quadrado, precisamos de quatro palitos. Para

montar dois quadrados, precisamos de 7 palitos. Para montar três quadrados, precisamos

de 10 palitos. Bom, o processo segue assim, sempre juntando mais 3 palitos para obter

um outro quadrado. Ficou com dúvida sobre o processo descrito? Monte os quadrados e

verifique os números citados.

Percebendo que a sequência de palitos necessários cresce de 3 em 3, a partir do

4, basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de

quadrados e a segunda linha representando o número de palitos usados.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

Assim, são necessários 52 palitos. (Tente montar uma tabela como esta no seu

computador, aproveite para praticar as orientações da atividade 7.)

Observação: Veja, neste último exemplo, mais um aspecto sobre a previsão matemática.

Primeiro, lembre como a contagem já ajudou a antecipar um evento, como no caso de

prever quando o forno atingiria a temperatura ambiente, sem precisar esperar o tempo

decorrer. Agora, você viu como prever a quantidade de palitos necessários para a

construção da sequência de quadrados sem precisar lançar mão de uma grande

quantidade de palitos para o experimento, sem precisar arrumar espaço para montar a

sequência de quadrados e sem perder tempo montando os quadrados. Com um simples

esquema gráfico e a contagem numérica, o problema foi rapidamente resolvido, com

grande economia de material, de espaço e de tempo.

É claro que montar sequências de palitos é só uma brincadeira, mas é o método

utilizado que importa. Veja, a seguir, uma situação semelhante, só que agora mais séria.

Exemplo: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra

100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Se o comerciante vende cada peça

por 30 reais, quantas peças ele precisa vender para começar a ter algum lucro?

Solução: Vejamos uma tabela relacionando o custo das peças e a receita na venda das

peças com a quantidade de peças.

N o de peças 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Custo 115 130 145 160 175 190 205 220 235

Receita 30 60 90 120 150 180 210 240 270

Matemática Básica Unidade 1

16

Na primeira linha, temos a contagem do número de peças. Na segunda linha,

temos o custo correspondente à quantidade de peças. Para uma peça, temos a tarifa de

100 reais pela entrega, mais 15 reais pelo custo da peça. Para duas peças, temos 115

mais o custo da segunda peça. Daí por diante, continuamos a aumentar o custo em 15

reais para cada nova peça, fazendo, assim, a contagem de 15 em 15.

Na terceira linha, temos a receita correspondente ao número de peças vendidas.

Com uma peça vendida, o comerciante recebe 30 reais. Com duas peças vendidas, ele

recebe mais 30, somando 60, então. O preenchimento da terceira linha prossegue com a

contagem de 30 em 30.

De acordo com os números obtidos, o comerciante tem que encomendar pelo

menos 7 peças, para obter algum lucro (é quando temos a receita maior do que o custo –

lembre que: lucro = receita  custo).

Observação: Novamente, leitor, veja como o processo de contagem ajuda a prever

situações e com uma série de economias. Neste último exemplo, o comerciante não

precisou comprar as peças, nem vendê-las, para só então constatar qual é a melhor

maneira de montar o seu estoque. Ele simplesmente previu isto através do processo de

contagem.

Atividade 8: Uma piscina de 1000 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante.

Como podemos estimar quando a piscina ficará cheia?

a) Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para

encher o balde, 2 minutos. Baseado nestas informações, faça a previsão de quando a

piscina ficará cheia. (Utilize os recursos de contagem que você aprendeu aqui.)

b) Suponha que a piscina, de novo vazia, esteja agora com um pequeno vazamento e

que esteja perdendo um litro de água a cada 10 minutos. Refaça a previsão de quando a

piscina ficará cheia.

O processo de contagem, em seu estado mais evoluído, é muito mais do que

associar quantidades, ou representar quantidades. O processo matemático de contagem

pode significar também a possibilidade de trabalhar com objetos, mesmo sem tê-los à

frente, ou de trabalhar com quantidades inimagináveis. Assim, podemos fazer

referências a manadas de elefantes, sem precisar juntá-los em um mesmo lugar.

Podemos contar planetas, mesmo que não possamos vê-los. Podemos até falar sobre

Matemática Básica Unidade 1

17

toda a massa do universo, algo em torno do 1 seguido de 54 zeros, sem precisar

percorrer nossa vista sobre cada átomo existente no nosso universo. Vimos, por

exemplo, que, com a contagem, podemos inclusive adiantar o tempo e estimar prováveis

resultados.

As operações básicas dos números naturais

Para os números naturais, definem-se as operações fundamentais adição e

multiplicação. É a partir destas operações que a noção de número se mostra realmente

importante. Em particular, muitas vezes temos o processo de contagem bastante

simplificado através do uso das operações fundamentais.

Exemplo: Voltemos ao problema do forno que é desligado quando a temperatura estava

a 200ºC e cuja temperatura diminui 12ºC a cada minuto. Utilizando operações

matemáticas, podemos representar o fenômeno da variação de temperatura do forno em

função do tempo pela equação

y = 12x + 200,

onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius.

Foi pedido para determinar em quanto tempo o forno atinge a temperatura 20 o C,

ou seja, quanto vale x quando y = 20. Assim, queremos resolver a equação

20 = 12x + 200.

Com habilidade matemática, é fácil encontrar a solução:

12x = 200  20 = 180  x = 180/12 = 15.

Assim, o forno chegará à temperatura ambiente após 15 minutos.

Observação: Leitor, procure pensar um pouco sobre a história completa e nos seus

detalhes. É apresentado um problema prático e este é resolvido, de modo muito

eficiente, a partir da manipulação das expressões matemáticas. A história apresentada

desta forma normalmente não é muito bem entendida, pois várias passagens ficam

suprimidas. Aliás, é por isso que a história é contada de forma tão eficiente, por ter

muitos detalhes suprimidos. Contudo, pelo que vem sendo visto ao longo do texto,

estamos aprendendo a entender o que está por trás do uso tão eficiente das expressões

Matemática Básica Unidade 1

18

matemáticas. Ficar atento para estas questões, ao longo do seus estudos matemáticos,

leitor, pode ser uma boa estratégia para melhorar o seu aprendizado.

Exemplo: Voltemos ao problema de determinar o número de palitos para a construção

de uma sequência de quadrados. Pelos dados do problema, precisamos de 4 palitos para

o primeiro quadrado e, daí por diante, mais 3 palitos para cada novo quadrado. Assim, a

quantidade de palitos, y, para cada quadrado, x, pode ser expressa matematicamente pela

fórmula

y = 1 + 3x.

No problema, foi pedido para determinar o número de palitos para se construir 17

quadrados. De posse da fórmula, precisamos calcular o valor de y quando x = 17.

Portanto,

y = 1 + 3x = 1 + 3.17 = 52.

Observação: Não foi explicado, mas no futuro (aqui, em nossas aulas, e em outras

disciplinas também) vocês verão como obter fórmulas para problemas como os

ilustrados aqui.

Exemplo: Vejamos um exemplo de determinação de perímetro de um triângulo sem o

conhecimento de um dos lados do triângulo. No triângulo a seguir, podemos determinar

imediatamente a medida de dois lados, a saber, 3 e 4.

Como o triângulo é retângulo, podemos utilizar o teorema de Pitágoras que diz que seus

lados satisfazem a relação a 2 + b

2 = c

2 , onde a e b representam os catetos (os lados

menores) e c a hipotenusa (o lado maior).

Assim, temos c 2 = 3

2 + 4

2 = 9 + 16 = 25, isto é, c

2 = 25. Se fizermos algumas

contas (1 2 , 2

2 , ...), chegamos logo a igualdade 5

2 = 25. Daí, c = 5 é a medida do lado

maior. Logo, o perímetro é 12.

Matemática Básica Unidade 1

19

Note como usamos a fórmula para a determinação do lado, sem recorrer ao

processo de contagem.

Exemplo: (Área de um retângulo) Considere um retângulo com base medindo a e altura

medindo b, com a, b  . Como podemos determinar o número de quadrados unitários

que compõem este retângulo? Ou seja, como podemos determinar a área deste

retângulo? Pelo que vimos até agora, a resposta é muito simples, é só contar a

quantidade de quadrados unitários. Entretanto, existe uma forma mais econômica de

resolver este problema, sem precisar contar todos os quadrados unitários.

Se a altura do retângulo mede b unidades é porque ela é formada por uma coluna

de b quadrados. Se a base do retângulo mede a unidades é porque ela é formada por

uma linha de a quadrados. Ou seja, o retângulo é formado por a colunas, cada uma com

b quadrados. Assim, contando ao longo da linha da base, temos uma coluna com b

quadrados, mais outra coluna com b quarados, mais outra coluna com b quadrados, e

assim por diante, até a colunas serem contadas. Logo, o número de quadrados que

compõem o retângulo é dado pela a soma sucessiva de b quadrados, a vezes, ou seja, o

número de quadrados é igual a ab.

Tente acompanhar a explicação pelo próximo desenho.

Assim, a área de um retângulo de base a e altura b, com a, b , é dada pela

fórmula, A = ab, onde A denota a área. De outro modo, o número de quadrados unitários

que compõem o retângulo dado é ab.

Aplicação: Leitor, veja como a operação multiplicação aparece como um simplificador

do processo de contagem. Suponha que você tenha uma grande quantidade de objetos a

serem contados. Então, a princípio, você terá que fazer corresponder cada objeto com

um número natural, um por um. Pelo último exemplo, uma boa estratégia é formar um

retângulo com os objetos. Aí, em vez de contar um por um, basta contar os objetos da

b

a b + b + b + ⋯ + b + b (a vezes) = ab

Matemática Básica Unidade 1

20

base e da altura do retângulo. Para encontrar o total de objetos, só é preciso fazer o

produto dos dois valores encontrados.

Veja a figura a seguir.

Olhando os objetos da forma desordenada que estão, a única maneira de contar estes

objetos é passando por cada um deles, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir,

formada com os mesmos objetos, mas organizados numa forma retangular.

Ainda podemos contar objeto por objeto. Mas, vamos apenas contar os objetos

da base e da altura. Na base, temos 12 objetos. Na altura, temos 11. Assim, o total de

objetos pode ser calculado por: total de objetos = 12×11 = 131.

Observação: (Sobre a inclusão do número 0) Com a utilização das operações, o símbolo

0 passou a ter maior importância. Por exemplo, é interessante ter um símbolo para

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 10 páginas
Baixar o documento