Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca, Notas de estudo de Física
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Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca, Notas de estudo de Física

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Muito bom, fala sobre o centro de gravidade, bem interresante!
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Archimedes Portuguese Cover Layout1.pub

André Koch Torres Assis Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca

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Sobre o Autor André Koch Torres Assis nasceu no Brasil em 1962. Formou-se no Instituto de Física da Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, obtendo o bacharelado em 1983 e o doutorado em 1987. Passou o ano de 1988 na Inglaterra realizando um pós-doutorado no Culham Laboratory (United Kingdom Atomic Energy Authority). Passou um ano entre 1991-92 como Visiting Scholar no Center for Electromagnetics Research da Northeastern University (Boston, EUA). De Agosto de 2001 a Novembro de 2002 trabalhou no Institut für Geschichte der Naturwissenschaften da Universidade de Hamburg, Alemanha, com uma bolsa de pesquisa concedida pela Fundação Alexander von Humboldt da Alemanha. É autor de diversos livros em português e inglês,

dentro os quais se destacam Eletrodinâmica de Weber (1995), Cálculo de Indutância e de Força em Circuitos Elétricos (juntamente com M. Bueno, 1998), Mecânica Relacional (1998), Uma Nova Física (1999) e The Electric Force of a Current (juntamente com J. A. Hernandes, 2007). Traduziu para o português o livro Óptica, de Isaac Newton (1996), assim como O Universo Vermelho, de Halton Arp (juntamente com D. Soares, 2001). É professor do Instituto de Física da UNICAMP desde 1989 trabalhando com os fundamentos do eletromagnetismo, da gravitação e da cosmologia.

Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca é um livro que lida com os aspectos fundamentais da física. Descreve os principais eventos na vida de Arquimedes e o conteúdo de suas obras. Discute um grande número de experiências relacionadas com o equilíbrio de corpos suspensos que estão sob a ação gravitacional terrestre. Todas as experiências são descritas com clareza e realizadas com materiais simples, baratos e facilmente acessíveis. Estas experiências levam a uma definição conceitual precisa do centro de gravidade e ilustram procedimentos práticos para encontrá-lo com precisão. São analisadas as condições de equilíbrio estável, neutro e instável. São descritos e explicados muitos brinquedos de equilíbrio. Aspectos históricos relacionados a este conceito são apresentados, juntamente com os valores teóricos do centro de gravidade de diversos corpos obtidos por Arquimedes. O livro também explica como construir e calibrar

balanças e alavancas precisas e sensíveis. São realizadas diversas experiências com estes instrumentos até se chegar a uma definição matemática do centro de gravidade e à lei da alavanca, também chamada de primeira lei da mecânica. São descritas diversas conseqüências desta lei, assim como diferentes demonstrações de como se chegar nela. É feita uma análise detalhada das obras de Euclides e de Arquimedes, assim como uma tradução de duas obras destes autores. Uma ampla bibliografia é incluída no final da obra.

ISBN 978-0-9732911-7-9

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Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei

da Alavanca

André Koch Torres Assis

Apeiron Montreal

Publicado por C. Roy Keys Inc. 4405, rue St-Dominique Montreal, Quebec H2W 2B2 Canada http://redshift.vif.com

© André Koch Torres Assis 2008 Primeira Edição, 2008

Library and Archives Canada Cataloguing in Publication Assis, André Koch Torres, 1962- Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca / Andre K.T. Assis. Translation of: Archimedes, the center of gravity and the first law of mechanics. Includes bibliographical references. ISBN 978-0-9732911-7-9 1. Center of mass--Experiments. 2. Center of mass--Textbooks. 3. Mechanics--Experiments. 4. Mechanics--Textbooks. I. Title. QA839.A87167 2008 531'.14 C2008-904613-7 Capa da frente: Gravura de 1740 com Arquimedes planejando a defesa de Siracusa. Texto em grego que aparece em sua touca: Arquimedes o geômetra. Capa de trás: Fotografias de algumas experiências descritas neste livro. Um triângulo de papel cartão em um plano horizontal apoiado por uma vareta verti- cal colocada sob seu baricentro. Um retângulo e um fio de prumo suspensos por uma agulha. Um equilibrista de cabeça para baixo apoiado em sua cabeça, com massa de modelar nas mãos. Uma alavanca em equilíbrio com pesos diferentes em cada braço.

Este livro é dedicado a todos que têm trabalhado pela preservação, tradução, interpretação e di- vulgação da obra de Arquimedes ao longo dos séculos.

Sumário

Agradecimentos 7

I Introdução 9

1 Vida de Arquimedes 13

2 Obras de Arquimedes 23 2.1 Obras Conhecidas de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 O Método de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II O Centro de Gravidade 37

3 Geometria 39 3.1 Obtendo os Centros de Círculos, Retângulos e Paralelogramos . . 39 3.2 Os Quatro Pontos Notáveis de um Triângulo . . . . . . . . . . . 40

4 Experiências de Equilíbrio e Definição do Centro de Gravidade 45 4.1 Primeiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro

de Gravidade: Experiências com Figuras Planas . . . . . . . . . . 45 4.2 Experiências com Figuras Côncavas ou com Buracos . . . . . . . 56 4.3 Experiências com Corpos Volumétricos . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4 Fio de Prumo, Vertical e Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.5 Segundo Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro

de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.6 Terceiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro

de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.7 Condições de Equilíbrio de Corpos Apoiados . . . . . . . . . . . 76

4.7.1 Equilíbrio Estável, Instável e Indiferente . . . . . . . . . . 80 4.7.2 Estabilidade de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.8 Condições de Equilíbrio de Corpos Suspensos . . . . . . . . . . . 85 4.8.1 Equilíbrio Estável e Indiferente . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.9 Caso em que o Centro de Gravidade Coincide com o Ponto de Suspensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3

4.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Explorando as Propriedades do Centro de Gravidade 99 5.1 Atividades Lúdicas com o Equilibrista . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Brinquedos de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.3 Equilíbrio de Botequim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4 Equilíbrio do Corpo Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5 O ET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 Alguns Aspectos Históricos sobre o Conceito do Centro de Gra- vidade 121 6.1 Comentários de Arquimedes, Heron, Papus, Eutócius e Simplício

sobre o Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.2 Resultados Teóricos sobre o Centro de Gravidade Obtidos por

Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

III Balanças, Alavancas e a Primeira Lei da Mecânica133

7 Balanças e a Medida do Peso 137 7.1 Construção de uma Balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.2 Medida do Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.3 Melhorando a Sensibilidade de uma Balança . . . . . . . . . . . . 148 7.4 Alguns Situações Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.4.1 Condição de Equilíbrio de um Corpo Suspenso . . . . . . 156 7.4.2 Balanças com o Centro de Gravidade Acima do Fulcro . . 159 7.4.3 Outros Tipos de Balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.5 Usando o Peso como Padrão de Força . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 A Lei da Alavanca 165 8.1 Construção e Calibração de Alavancas . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.2 Experiências com Alavancas e a Primeira Lei da Mecânica . . . . 167 8.3 Tipos de Alavanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.4 Definição Matemática do Centro de Gravidade . . . . . . . . . . 178

9 Explicações e Deduções da Lei da Alavanca 183 9.1 Lei da Alavanca como um Resultado Experimental . . . . . . . . 183 9.2 Lei da Alavanca Derivada a partir do Conceito de Torque . . . . 185 9.3 Lei da Alavanca Derivada a partir do Resultado Experimental de

que um Peso 2P Atuando à Distância d do Fulcro é Equivalente a um Peso P Atuando à Distância d − x do Fulcro, Juntamente com um Peso P Atuando à Distância d+ x do Fulcro . . . . . . 188

9.4 Lei da Alavanca como Derivada por Duhem a partir de uma Mo- dificação de um Trabalho Atribuído a Euclides . . . . . . . . . . 191

9.5 Demonstração da Lei da Alavanca a partir de um Procedimento Experimental Atribuído a Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4

9.6 Demonstração Teórica da Lei da Alavanca Atribuída a Euclides . 198 9.7 A Demonstração da Lei da Alavanca Apresentada por Arquime-

des e o Cálculo do Centro de Gravidade de um Triângulo . . . . 200 9.7.1 A Demonstração da Lei da Alavanca por Arquimedes . . 200 9.7.2 Cálculo do CG de um Triângulo por Arquimedes . . . . . 205

Apêndices 208

A Tradução Comentada do Livro sobre a Balança, Atribuído a Eu- clides 209 A.1 Comentários Gerais sobre esta Obra Atribuída a Euclides . . . . 209 A.2 Tradução do Livro sobre a Balança, Atribuído a Euclides . . . . 209

B Tradução Comentada da Primeira Parte do Trabalho de Arqui- medes Intitulado Sobre o Equilíbrio das Figuras Planas ou Sobre os Centros de Gravidade das Figuras Planas 215 B.1 Comentários Gerais sobre esta Obra de Arquimedes . . . . . . . 215 B.2 Tradução da Obra de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Referências Bibliográficas 241

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6

Agradecimentos

A motivação para escrevermos este livro surgiu de cursos para aperfeiçoamento de professores de ensino fundamental e médio que ministramos nos últimos anos, dentro do projeto Teia do Saber da Secretaria de Educação do Governo do Es- tado de São Paulo. Foi um privilégio muito grande termos sido convidados a atuar neste programa. O apoio que recebemos por parte da Secretaria de Edu- cação e do Grupo Gestor de Projetos Educacionais da Unicamp, assim como o contato com os alunos que participaram de nossas aulas, foram extremamente enriquecedores para nós. Também foram muito proveitosas as trocas de experi- ências com os colegas da Unicamp que participaram deste projeto.

A inspiração para a maior parte das experiências relacionadas com o equilí- brio e o centro de gravidade dos corpos veio dos excelentes trabalhos de Norberto Ferreira e Alberto Gaspar, [Fer], [Fer06] e [Gas03]. Foram extremamente valio- sas as trocas de idéias com eles e com seus alunos, dentre os quais Rui Vieira e Emerson Santos.

Agradecemos ainda por sugestões e referências a Norberto Ferreira, Alberto Gaspar, Rui Vieira, Emerson Santos, Dicesar Lass Fernandez, Silvio Seno Chi- beni, César José Calderon Filho, Pedro Leopoldo e Silva Lopes, Fábio Miguel de Matos Ravanelli, Juliano Camillo, Lucas Angioni, Hugo Bonette de Carvalho, Ceno P. Magnaghi, Caio Ferrari de Oliveira, J. Len Berggren, Henry Mendell e Steve Hutcheon, assim como aos meus alunos do Instituto de Física com quem trabalhei este tema. Minha filha e Eduardo Meirelles ajudaram com as figuras da versão em inglês, [Ass08]. Todas as figuras desta versão em português foram feitas por Daniel Robson Pinto, através de uma Bolsa Trabalho concedida pelo Serviço de Apoio ao Estudante da Unicamp, ao qual agradecemos.

Agradeço ainda ao Instituto de Física e ao Fundo de Apoio ao Ensino, à Pesquisa e à Extensão da Unicamp, que forneceram as condições necessárias para a realização deste trabalho.

André Koch Torres Assis Instituto de Física

Universidade Estadual de Campinas — UNICAMP 13083-970 Campinas, SP, Brasil E-mail: assis@ifi.unicamp.br

Homepage: http://www.ifi.unicamp.br/˜assis

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8

Parte I

Introdução

9

Um dos objetivos deste livro é o de apresentar os fenômenos básicos da me- cânica através de experiências simples realizadas com materiais de baixo custo. São apresentadas as experiências elementares sobre queda de corpos, sobre equi- líbrio estático e sobre oscilações ao redor das posições de equilíbrio. Além disso, chama-se atenção de como os conceitos teóricos vão sendo formados e modifica- dos neste processo, o mesmo ocorrendo com a formulação das leis fundamentais da mecânica.

Em seguida se ilustram como fenômenos mais complexos podem ser expli- cados e esclarecidos em termos das experiências elementares. São apresentadas também experiências lúdicas e curiosas que estimulam a criatividade, o pensa- mento crítico e o senso de brincadeira na ciência. Elas também buscam relaci- onar fenômenos do dia a dia das pessoas com as leis básicas da física.

A ênfase é colocada em atividades experimentais. A partir delas se formu- lam as definições, os conceitos, postulados, princípios e leis que descrevem os fenômenos. Os materiais utilizados são bem simples, facilmente encontráveis em casa ou no comércio, sendo todos de baixo custo. Apesar disto, são rea- lizadas experiências bem precisas e construídos equipamentos científicos muito sensíveis. Com isto o leitor não vai depender de qualquer laboratório escolar ou de pesquisa, já que ele próprio construirá seus instrumentos e realizará as me- didas. Para que este objetivo seja alcançado, apresentam-se várias montagens diferentes para cada aparelho e mais de uma maneira para serem realizadas as medidas.

Caso as experiências apresentadas aqui sejam feitas em sala de aula ou em cursos de aperfeiçoamento de professores, o ideal é que sejam realizadas indi- vidualmente por cada aluno, mesmo que as atividades sejam em grupo. Isto é, na medida do possível cada aluno deve construir seus próprios equipamentos (suporte, fio de prumo, alavancas etc.), recortar suas figuras e depois levar o material para casa. Este procedimento é bem mais enriquecedor do que a sim- ples demonstração das experiências pelo professor, quando então o aluno apenas assiste aos fenômenos sem colocar a mão na massa.

Além da parte experimental, o livro é rico em informações históricas que for- necem o contexto do surgimento de algumas leis e também os diferentes enfoques ou pontos de vista relacionados a estas leis. Toma-se um cuidado especial sobre a formação dos conceitos e princípios físicos, assim como sobre a apresentação e formulação destes conceitos e princípios. Mostra-se, por exemplo, como é difícil expressar em palavras uma definição precisa do centro de gravidade englobando o conjunto das experiências realizadas. Nesta obra toma-se um cuidado especial com as palavras que vão sendo utilizadas ao longo do texto, distinguindo-se cla- ramente o que são definições, postulados e resultados experimentais, a diferença entre a explicação e a descrição de um fenômeno etc. Estes cuidados ilustram os aspectos humanos e sociológicos embutidos nas formulações das leis da física.

O livro é voltado para professores e alunos dos cursos de física, de matemática e de ciências. É escrito de tal forma a poder ser utilizado no ensino médio e no ensino universitário, dependendo do grau de aprofundamento com que se vê cada fenômeno ou lei da natureza. Ele tem material experimental e teórico que pode ser desenvolvido em todos os níveis de ensino. Cada professor deve escolher

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o material contido aqui para adaptá-lo à sua realidade escolar. Várias das atividades podem ser utilizadas em cursos de formação ou de aperfeiçoamento de professores. Devido ao aprofundamento que o livro apresenta de diversos conceitos e princípios físicos, pode também ser utilizado com proveito em cursos de história e filosofia da ciência.

A melhor maneira de ler o livro é realizando em paralelo a maior parte das experiências aqui descritas. Não se deve simplesmente ler o relato destas montagens e atividades, mas sim tentar reproduzí-las e aperfeiçoá-las. Apesar da física conter aspectos filosóficos, teóricos e matemáticos, ela é essencialmente uma ciência experimental. É a junção de todos estes aspectos que a torna tão fascinante. Esperamos que o leitor tenha o mesmo prazer ao realizar as experiências aqui descritas que nós próprios tivemos ao implementá-las.

Caso você, leitor, goste deste material, ficaria contente se recomendasse o livro a seus colegas e alunos. Gostaria de saber como foi a realização destas atividades, a reação dos alunos etc.

Uma versão em inglês deste livro foi publicada em 2008 com o título: Archi- medes, the Center of Gravity, and the First Law of Mechanics, [Ass08].

Quando necessário usamos no texto o sinal ≡ como símbolo de definição. Utilizamos o sistema internacional de unidades SI.

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Capítulo 1

Vida de Arquimedes

As principais informações que vão aqui foram tiradas essencialmente de Plu- tarco, [Plu], Heath, [Arc02] e [Hea21], Dijksterhuis, [Dij87], assim como de Netz e Noel, [NN07]. Todas as traduções são de nossa autoria.

Arquimedes viveu de 287 a 212 a.C., tendo nascido e vivido a maior parte de sua vida na cidade de Siracusa, na costa da Sicília, atual Itália, que naquela época era parte do mundo Grego. Era filho do astrônomo Fídias, que obteve uma estimativa para a razão dos diâmetros do Sol e da Lua. A palavra “Arqui- medes” é composta de duas partes: arché, que significa princípio, domínio ou causa original; e mêdos, que significa mente, pensamento ou intelecto. Se inter- pretarmos seu nome da esquerda para a direita ele poderia significar algo como “a mente principal.” Mas na Grécia antiga era mais comum interpretarmos o nome da direita para a esquerda. Neste caso seu nome significaria “a mente do princípio,” assim como o nome Diomedes significaria “a mente de Deus,” [NN07, págs. 59-60].

Arquimedes passou algum tempo no Egito. É provável que tenha estudado na cidade de Alexandria, que era então o centro da ciência grega, com os sucessores do matemático Euclides, que viveu ao redor de 300 a.C.. Euclides publicou o famoso livro de geometria Os Elementos, entre outras obras, [Euc56]. Vários dos trabalhos de Arquimedes eram enviados a matemáticos que viviam ou que estiveram em Alexandria. O famoso museu de Alexandria, que incluía uma enorme biblioteca, uma das maiores da Antiguidade, havia sido fundado ao redor de 300 a.C. Algumas estimativas afirmam que em seu auge esta biblioteca chegou a ter mais de 500 mil rolos de papiro (com umas 20.000 palavras, na média, em cada rolo). A cidade de Alexandria ficou sobre o domínio romano de 30 a.C. até 400 d.C. Quando César ficou sitiado no palácio de Alexandria houve um incêndio que atingiu um depósito de livros. Em 391 da nossa era houve um grande incêndio nesta biblioteca e não se houve falar mais do museu e da biblioteca a partir do século V. O Império Romano foi fragmentado em duas partes, ocidental e oriental, em 395. Muitas obras de Arquimedes devem ter sido irremediavelmente perdidas neste período.

Arquimedes é considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos e o

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maior matemático da antiguidade. É comparável nos tempos modernos apenas a Isaac Newton (1642-1727) não apenas por desenvolver trabalhos experimentais e teóricos de grande alcance, mas pelo brilhantismo e influência de sua obra. Utilizando o método da exaustão, que é um método de se fazer integrações, Arquimedes conseguiu determinar a área, o volume e o centro de gravidade, CG, de muitos corpos importantes, resultados que nunca haviam sido obtidos antes dele. É considerado um dos fundadores da estática e da hidrostática.

A capacidade de concentração de Arquimedes é bem descrita nesta passagem de Plutarco (c. 46-122), [Plu]:

“Muitas vezes os servos de Arquimedes o levavam contra sua vontade para os banhos, para lavá-lo e untá-lo. Contudo, estando lá, ele ficava sempre desenhando figuras geométricas, mesmo nas cinzas da chaminé. E enquanto estavam untando-o com óleos e perfumes, ele desenhava figuras sobre seu corpo nu, de tanto que se afastava das preocupações consigo próprio, e entrava em êxtase ou em transe, com o prazer que sentia no estudo da geometria.”

Esta preocupação de Arquimedes com assuntos científicos em todos os mo- mentos de sua vida também aparece em uma história muito famosa contada por Vitrúvio (c. 90-20 a.C.) em seu livro sobre arquitetura. Ela está relacionada ao princípio fundamental da hidrostática, que lida com a força de empuxo exercida por um fluido sobre um corpo imerso total ou parcialmente no fluido. Ela ilustra a maneira como Arquimedes chegou a este princípio ou ao menos como teve a intuição inicial que desencadeou a descoberta. Citamos de [Mac60, pág. 107] e [Ass96]:

“Embora Arquimedes tenha descoberto muitas coisas curiosas que demonstram grande inteligência, aquela que vou mencionar é a mais extraordinária. Quando obteve o poder real em Siracusa, Hierão mandou, devido a uma afortunada mudança em sua situação, que uma coroa votiva de ouro fosse colocada em um certo templo para os deuses imortais, que fosse feita de grande valor, e designou para este fim um peso apropriado do metal para o fabricante. Este, em tempo devido, apresentou o trabalho ao rei, lindamente forjado; e o peso parecia corresponder com aquele do ouro que havia sido designado para isto. Mas ao circular um rumor de que parte do ouro havia sido retirada, e que a quantidade que faltava havia sido completada com prata, Hierão ficou indignado com a fraude e, sem saber o método pelo qual o roubo poderia ser detectado, solicitou que Arquimedes desse sua atenção ao problema. Encarregado deste assunto, ele foi por acaso a um banho, e ao entrar na banheira percebeu que na mesma proporção em que seu corpo afundava, saía água do reci- piente. De onde, compreendendo o método a ser adotado para a solução da proposição, ele o perseguiu persistentemente no mesmo instante, saiu alegre do banho e, retornando nu para casa, gritou

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em voz alta que havia encontrado o que estava procurando, pois continuou exclamando, eureca, eureca (encontrei, encontrei)!”

Os trabalhos de Arquimedes que sobreviveram eram endereçados ao astrô- nomo Conon de Samos (na época vivendo em Alexandria), ao discípulo de Conon depois de sua morte, Dositeu de Pelúsia, ao rei Gelon, filho do rei Hierão de Siracusa, assim como a Eratóstenes, bibliotecário do museu de Alexandria e famoso por sua estimativa precisa do raio da Terra.

Arquimedes tinha o costume de mandar seus trabalhos juntamente com al- guns textos introdutórios. Através destes textos conseguimos descobrir a ordem de algumas de suas descobertas, assim como um pouco de sua personalidade. Por exemplo, na introdução de seu famoso trabalho O Método, ele afirma, [Arc02, Suplemento, págs. 12-13]:

“Arquimedes para Eratóstenes, saudações.

Enviei a você em uma ocasião anterior alguns dos teoremas que descobri, apresentando simplesmente os enunciados e convidando-o a descobrir as demonstrações, as quais não forneci naquela época. (...) Escrevi as demonstrações destes teoremas neste livro e agora o envio a você. (...)”

Este hábito que tinha de enviar inicialmente apenas os enunciados de alguns teoremas, mas sem as demonstrações, pode ter levado alguns matemáticos a roubar os resultados de Arquimedes, afirmando que eram seus. Talvez por isso Arquimedes tenha enviado dois resultados falsos em uma ocasião, como afirma no prefácio de seu trabalho Sobre as Espirais, [Arc02, pág. 151]:

“Arquimedes para Dositeu, saudações.

As demonstrações da maior parte dos teoremas que enviei a Conon, e dos quais você me pede de tempos em tempos para lhe enviar as demonstrações, já estão com você nos livros que lhe enviei por He- racleides; e [as demonstrações] de alguns outros estão contidas no livro que lhe envio agora. Não fique surpreso por eu levar um tempo considerável antes de publicar estas demonstrações. Isto aconteceu devido ao meu desejo de comunicá-las primeiro a pessoas engajadas em estudos matemáticos e ansiosas de investigá-las. De fato, quan- tos teoremas em geometria que inicialmente pareciam impraticáveis, no tempo devido foram solucionados! Mas Conon morreu antes que tivesse tempo suficiente para investigar os teoremas acima; caso con- trário teria descoberto e demonstrado todas estas coisas, e além disso teria enriquecido a geometria com muitas outras descobertas. Pois sei bem que ele possuía uma habilidade incomum em matemática, e que sua capacidade de trabalho era extraordinária. Mas, embora te- nham passado muitos anos desde a morte de Conon, não vi qualquer um dos problemas ter sido resolvido por uma única pessoa. Desejo agora resolvê-los um por um, particularmente por haver dois dentre

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eles que são de realização impossível [errados], [o que pode servir como um aviso] para aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem demonstrações de suas afirmações, pois podem ser refu- tados como tendo de fato tentado descobrir o impossível.”

Muitas vezes Arquimedes passava anos até conseguir demonstrar algum te- orema difícil. Ao expressar as dificuldades que encontrou podemos ver outra característica sua, a grande perseverança até conseguir alcançar seu objetivo. Por exemplo, na introdução de Sobre Conóides e Esferóides, afirma, [Arc02, pág. 99]:

“Arquimedes para Dositeu, saudações.

Neste livro apresentei e enviei para você as demonstrações dos teore- mas restantes não incluídas no que havia lhe enviado anteriormente, e também [as demonstrações] de alguns outros [teoremas] descober- tas mais tarde as quais, embora eu tivesse muitas vezes tentado investigá-los anteriormente, havia falhado em resolvê-los pois tive dificuldade em encontrar suas soluções. E este é o motivo pelo qual as próprias proposições não foram publicadas com o restante. Mas depois disto, quando os estudei com um cuidado maior, descobri as soluções onde antes havia falhado.”

Embora estes trabalhos que chegaram até nós sejam de matemática e de física teórica, a fama de Arquimedes na antiguidade deve-se aos seus trabalhos como engenheiro e como construtor de máquinas de guerra (catapulta, guin- daste, espelhos ardentes etc.). Entre as invenções atribuídas a ele encontra-se um sistema de bombeamento de água conhecido como cóclea, ou parafuso de Arquimedes, usado até os dias de hoje. A palavra cóclea tem origem grega, significando caracol. Acredita-se que ele inventou este sistema de bombeamento durante sua estadia no Egito. Eram tubos em hélice presos a um eixo inclinado, acoplado a uma manivela para fazê-lo girar. Era usado na irrigação dos campos e como bomba de água.

Também construiu um planetário que ficou famoso já que com um único me- canismo hidráulico movimentava simultaneamente vários globos reproduzindo os movimentos de rotação das estrelas, do Sol, da Lua e dos planetas ao redor da Terra. Também construiu um órgão hidráulico no qual o ar dentro dos tubos era comprimido sobre a água em uma câmara de ar. Atribui-se a ele a inven- ção da polia composta, do elevador hidráulico e de alguns outros instrumentos mecânicos como a balança romana, com braços de comprimentos diferentes.

Diversos autores mencionam uma frase famosa de Arquimedes em conexão com suas invenções mecânicas e sua capacidade de mover grandes pesos reali- zando pouca força: “Dê-me um ponto de apoio e moverei a Terra,” [Dij87, pág. 15]. Esta frase foi dita quando ele conseguiu realizar uma tarefa solicitada pelo rei Hierão de lançar ao mar um navio de muitas toneladas, movendo-o apenas com a força das mãos ao utilizar uma engrenagem composta de um sistema de polias e alavancas. Vamos ver o que Plutarco nos diz a respeito, [Plu]:

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“Arquimedes escreveu ao rei Hierão, de quem era amigo próximo, informando que dada uma força, qualquer peso podia ser movido. E até mesmo se gabou, somos informados, de que se houvesse uma outra Terra, indo para ela ele poderia mover a nossa Terra. Hierão ficou admirado e lhe solicitou que demonstrasse isto com uma ex- periência real, mostrando um grande peso sendo movido por uma pequena máquina. De acordo com este desejo Arquimedes tomou um dos navios de carga da frota do rei, o qual não podia ser retirado das docas exceto com grande esforço e empregando muitos homens. Além disso, carregou o navio com muitos passageiros e com carga total. Sentando-se distante do navio, sem fazer esforço, mas apenas segurando uma polia em suas mãos e movendo as cordas lentamente, moveu o navio em linha reta, de maneira tão suave e uniforme como se o navio estivesse no mar.”

Hierão ficou tão admirado com este feito que afirmou: “A partir deste dia deve-se acreditar em tudo que Arquimedes disser,” [Arc02, pág. xix].

Plutarco continua, [Plu]:

“O rei, admirado com o feito e convencido do poder desta arte, soli- citou que Arquimedes lhe construísse armas apropriadas para todos os fins de um cerco, ofensivas e defensivas. O rei nunca usou estas armas, pois passou quase toda sua vida em paz e em grande abun- dância. Mas toda a aparelhagem estava pronta para uso na época mais apropriada, e juntamente com ela o próprio engenheiro.”

Durante a Segunda Guerra Púnica entre Roma e Cartago, a cidade de Si- racusa associou-se a Cartago. Siracusa foi atacada pelos romanos em 214 a.C., comandados pelo general Marcelo. Muitas informações sobre Arquimedes so- breviveram na famosa biografia sobre Marcelo escrita por Plutarco. Marcelo atacou Siracusa por terra e pelo mar, fortemente armado. De acordo com Plu- tarco, [Plu]:

“[Todos os armamentos de Marcelo] eram bagatelas para Arquimedes e suas máquinas. Ele havia projetado e construído estas máquinas não como assunto de qualquer importância, mas como meras diver- sões em geometria. Havia seguido o desejo e o pedido do rei Hierão, feito pouco tempo antes, tal que pudesse colocar em prática parte de suas especulações admiráveis em ciência, e para que, acomodando a verdade teórica para a percepção e o uso comum, pudesse trazê-la para a apreciação das pessoas em geral.”

Em outro trecho ele afirma, [Plu]:

“Portanto, quando os romanos assaltaram os muros de Siracusa em dois lugares simultaneamente, os habitantes ficaram paralisados de medo e de pavor, acreditando que nada era capaz de resistir a esta

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violência e a estas forças. Mas quando Arquimedes começou a ma- nejar suas máquinas, ele lançou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis e rochas imensas que caíam com grande estrondo e violência, contra as quais nenhum homem conseguia resistir em pé, pois elas derrubavam aqueles sobre quem caíam em grande quanti- dade, quebrando suas fileiras e batalhões. Ao mesmo tempo, mastros imensos colocados para fora das muralhas sobre os navios afunda- vam alguns deles pelos grandes pesos que deixavam cair sobre eles. Outros navios eram levantados no ar pelos mastros com uma mão de ferro ou com um bico de um guindaste e, quando os tinha levan- tado pela proa, colocando-a sobre a popa, os mastros os lançavam ao fundo do mar. Ou ainda os navios, movidos por máquinas e colocados a girar, eram jogados contra rochas salientes sob as mu- ralhas, com grande destruição dos soldados que estavam a bordo. (...) Os soldados romanos ficaram com um pavor tão grande que, se vissem uma pequena corda ou pedaço de madeira saindo dos muros, começavam imediatamente a gritar, que lá vinha de novo, Arquime- des estava para lançar alguma máquina contra eles, então viravam as costas e fugiam. Marcelo então desistiu dos conflitos e assaltos, colocando toda sua esperança em um longo cerco.”

Também relacionado à defesa de Siracusa é a famosa história dos espelhos queimando os navios romanos. Arquimedes teria usado um grande espelho ou então um sistema de pequenos espelhos para atear fogo nos navios romanos ao concentrar os raios solares. Os dois relatos mais conhecidos são devidos a Johannes Tzetzes, sábio bizantino, e John Zonaras, ambas do século XII:

“Quando Marcelo afastou seus navios do alcance dos mísseis e fle- chas, o velho homem [Arquimedes] construiu um tipo de espelho hexagonal, e em um intervalo proporcional ao tamanho do espelho colocou espelhos pequenos semelhantes com quatro cantos, movidos por articulações e por um tipo de dobradiça, e fez com que o espe- lho fosse o centro dos feixes do Sol — seu feixe de meio dia, seja no verão ou no meio do inverno. Depois disso, quando os feixes fo- ram refletidos no espelho, ateou-se um fogo medonho nos navios, e à distância do alcance de uma flecha ele os transformou em cinzas. Desta maneira predominou o velho homem sobre Marcelo com suas armas,” J. Tzetzes, citado em [Ror].

“Finalmente, de maneira incrível, Arquimedes ateou fogo em toda a frota romana. Ao girar uma espécie de espelho para o Sol ele concentrou os raios do Sol sobre ela. E devido à espessura e lisura do espelho ele inflamou o ar a partir deste feixe a ateou um grande fogo, que direcionou totalmente sobre os navios que estavam ancorados no caminho do fogo, até que consumiu a todos eles,” J. Zonaras, citado em [Ror].

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Marcelo só conseguiu conquistar Siracusa depois de um cerco que durou três anos. Arquimedes foi morto por um soldado romano em 212 a.C., durante a captura da cidade pelos romanos. Marcelo havia dado ordens expressas de que a vida de Arquimedes devia ser poupada, em reconhecimento ao gênio do inimigo que tantas baixas e dificuldades lhe causou durante esta guerra. Apesar disto, um soldado acabou matando-o enquanto Arquimedes tentava proteger um diagrama contendo algumas descobertas matemáticas. A última frase de Arquimedes parece ter sido direcionada a este soldado: “Fique longe do meu diagrama,” [Dij87, pág. 31]. Plutarco relata três versões diferentes que ouviu sobre sua morte, [Plu]:

“Mas nada afligiu tanto Marcelo quanto a morte de Arquimedes, que estava então, como quis o destino, concentrado trabalhando em um problema por meio de um diagrama e, tendo fixado sua mente e seus olhos no tema de sua especulação, não percebeu a incursão dos roma- nos, nem que a cidade havia sido tomada. Neste estado de estudo e contemplação, um soldado, chegando até ele de maneira inesperada, mandou que o seguisse até Marcelo; o que ele se recusou a fazer até que tivesse terminado seu problema e chegado a uma demons- tração. O soldado então, enfurecido, tirou sua espada e o matou. Outros escrevem que um soldado romano, correndo até ele com uma espada levantada, disse que ia matá-lo. Arquimedes, olhando para trás, implorou-lhe seriamente para esperar um pouco, para que ele não deixasse de forma inconclusa e imperfeita o trabalho que estava fazendo. Mas o soldado, não sensibilizado pelo seu pedido, matou-o instantaneamente. Outros relatam ainda que quando Arquimedes estava levando para Marcelo instrumentos matemáticos, relógios de Sol, esferas e ângulos ajustados para medir com a vista o tamanho aparente do Sol, alguns soldados, vendo-o e pensando que transpor- tava ouro em um recipiente, o assassinaram. O certo é que sua morte muito afligiu a Marcelo; e que Marcelo sempre considerou aquele que o matou como um assassino; e que ele procurou pelos parentes [de Arquimedes] e os honrou com muitos favores.”

Arquimedes expressou em vida o desejo de que em seu túmulo fosse colocado um cilindro circunscrito a uma esfera dentro dele, Figura 1.1, juntamente com uma inscrição dando a razão entre os volumes destes corpos. Podemos inferir que ele considerava a descoberta desta razão como sendo seu maior feito. Ela aparece nas Proposições 33 e 34 da primeira parte do seu trabalho Sobre a Esfera e o Cilindro, dois resultados extremamente importantes obtidos pela primeira vez por Arquimedes: “Proposição 33: A superfície de qualquer esfera é quatro vezes seu círculo máximo,” [Arc02, pág. 39]. Isto é, em linguagem moderna, com A sendo a área da esfera e r seu raio: A = 4(πr2). “Proposição 34: Qualquer esfera é igual a quatro vezes o cone que tem sua base igual ao círculo máximo da esfera e sua altura igual ao raio da esfera,” [Arc02, pág. 41]. Vamos expressar este resultado em linguagem moderna. Seja VE o volume da

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esfera e VC = πr2 · (r/3) o volume do cone de altura r e área da base dada por πr2. O resultado de Arquimedes é então dado por VE = 4VC = 4(πr3/3). A inscrição desejada por Arquimedes em seu túmulo parece estar relacionada a um corolário que apresentou ao fim desta proposição: “Do que foi demonstrado segue-se que todo cilindro cuja base é o círculo máximo de uma esfera e cuja altura é igual ao diâmetro da esfera é 3/2 da esfera, e sua superfície juntamente com suas bases vale 3/2 da superfície da esfera,” [Arc02, pág. 43].

Figura 1.1: Uma esfera e o cilindro circunscrito.

Neste trabalho Sobre a Esfera e o Cilindro Arquimedes encontra inicial- mente a área de uma esfera de forma independente na Proposição 33. Depois disso encontra o volume da esfera na Proposição 34. Em seu outro trabalho O Método há uma citação a partir da qual se descobre que originalmente ele obteve o volume da esfera e então, a partir deste resultado, resolveu o problema de encontrar a área da esfera. A Proposição 2 de O Método afirma o seguinte, [Arc02, Suplemento, pág. 18]:

“(1) Qualquer esfera é (em relação ao volume) quatro vezes o cone com base igual a um círculo máximo da esfera e com altura igual ao seu raio; e

(2) o cilindro com base igual a um círculo máximo da esfera e altura igual ao diâmetro é 1 1

2 vezes a esfera.”

Após demonstrar que o volume do cilindro circunscrito a uma esfera é igual a 3/2 o volume da esfera, Arquimedes afirma o seguinte, [Arc02, Suplemento, pág. 20]:

“A partir deste teorema, com o resultado de que [o volume de] uma esfera é quatro vezes tão grande quanto [o volume] do cone tendo como base um círculo máximo da esfera e com uma altura igual ao raio da esfera, concebi a noção de que a superfície de qualquer esfera é quatro vezes tão grande quanto um círculo máximo da esfera; pois, julgando a partir do fato de que [a área de] qualquer círculo é igual a

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um triângulo com base igual à circunferência e altura igual ao raio do círculo, compreendi que, da mesma maneira, [o volume de] qualquer esfera é igual a um cone com base igual à superfície da esfera e altura igual ao raio.”

Ou seja, a demonstração destes teoremas como aparece em seu trabalho Sobre a Esfera e o Cilindro não segue a ordem em que foram descobertos.

O general Marcelo ordenou que o túmulo de Arquimedes fosse construído de acordo com seu desejo. Cícero (106-43 a.C.), o orador romano, quando foi magistrado encarregado da gestão dos bens públicos (questor) na Sicília, chegou a ver este túmulo em 75 a.C. Desde então ele nunca mais foi encontrado. Palavras de Cícero, citadas em [Ror]:

“Mas da própria cidade Siracusa de Dionísio vou levantar da poeira — onde seu bastão traçava suas linhas — um homem obscuro que viveu muitos anos mais tarde, Arquimedes. Quando fui questor na Sicília consegui descobrir seu túmulo. Os habitantes de Siracusa não sabiam nada sobre ele e chegavam mesmo a afirmar que não existia. Mas lá estava ele, completamente cercado e escondido por galhos de arbustos e espinheiros. Me lembrei de ter ouvido algumas linhas de verso que haviam sido inscritos em seu túmulo, referindo-se a uma esfera e um cilindro modelados em pedra no topo da sepultura. E assim dei uma boa olhada ao redor dos numerosos túmulos que es- tavam ao lado do Portão de Agrigentino. Finalmente percebi uma pequena coluna pouco visível sobre os arbustos. Em cima dela havia uma esfera e um cilindro. Disse imediatamente aos principais habi- tantes de Siracusa que estavam comigo na ocasião, que acreditava que este era o túmulo que estava procurando. Foram enviados ho- mens com foices para limpar o local e quando foi aberto um caminho até o monumento fomos até ele. E os versos ainda estavam visíveis, embora aproximadamente a segunda metade de cada linha estivesse gasta.”

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Capítulo 2

Obras de Arquimedes

2.1 Obras Conhecidas de Arquimedes

As obras conhecidas atualmente de Arquimedes podem ser encontradas no ori- ginal em grego, assim como em latim, em [Hei15]. Uma tradução para o inglês em notação moderna encontra-se em [Arc02]. Uma outra versão encontra-se em [Dij87]. Uma tradução literal do grego para o francês encontra-se em [Mug70], [Mug71a], [Mug71b] e [Mug72]. Os trabalhos de Arquimedes já traduzidos para o português encontram-se em [Ass96], [Ass97] e [Arq04]. No Apêndice B ao final deste livro apresentamos uma nova tradução para o português da primeira parte de seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos.

Até cem anos atrás, os manuscritos mais antigos e importantes ainda exis- tentes contendo a obra de Arquimedes em grego (com exceção de O Método, que não aparecia em nenhum manuscrito) eram principalmente dos séculos XV e XVI, encontrando-se em bibliotecas européias. Eles foram copiados de dois ou- tros manuscritos do século IX ou X, em grego. Um destes manuscritos do século IX ou X pertenceu ao humanista George Valla, que ensinou em Veneza entre 1486 e 1499. Este manuscrito desapareceu entre 1544 e 1564, não se sabendo atualmente se ainda existe. Ele continha as seguintes obras, nesta ordem: Sobre a Esfera e o Cilindro, Medida do Círculo, Sobre Conóides e Esferóides, Sobre as Espirais, Sobre o Equilíbrio dos Planos, O Contador de Areia, Quadratura da Parábola, comentários de Eutócius em relação às obras Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre a Medida do Círculo, e Sobre o Equilíbrio dos Planos.

Os últimos registros do segundo manuscrito do século IX ou X foram na Biblioteca do Vaticano nos anos de 1295 e 1311. Não se sabe se ele ainda existe. Ele continha as seguintes obras, nesta ordem: Sobre as Espirais, Sobre o Equilíbrio dos Planos, Quadratura da Parábola, Medida do Círculo, Sobre a Esfera e o Cilindro, comentários de Eutócius em relação à obra Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre Conóides e Esferóides, comentários de Eutócius em relação à obra Sobre o Equilíbrio dos Planos, e Sobre os Corpos Flutuantes. Este trabalho de Arquimedes sobre os corpos flutuantes, em duas partes, não estava contido

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no manuscrito anterior. O trabalho Sobre os Corpos Flutuantes só era conhecido até 1906 por uma

tradução para o latim feita por Willen von Mörbeke em 1269 a partir deste se- gundo manuscrito do século IX ou X. Ele realizou uma tradução para o latim de todas as obras de Arquimedes a que teve acesso, sendo isto muito importante para a divulgação de seu trabalho. O manuscrito original contendo a tradu- ção de Mörbeke foi encontrado novamente em Roma em 1884, encontrando-se atualmente na Biblioteca do Vaticano.

Arquimedes escrevia no dialeto dórico. Nos manuscritos que sobreviveram sua linguagem original foi em alguns livros totalmente, em outros parcialmente, transformada para o dialeto ático comum da Grécia. A partir do século IX surgiram traduções de algumas obras de Arquimedes para o árabe. As primeiras traduções para o latim das obras de Arquimedes e de vários cientistas e filósofos gregos foram feitas a partir dos séculos XII e XIII. A imprensa de caracteres móveis foi inventada no ocidente por Gutenberg em meados do século XV. As obras de Arquimedes começaram a ser impressas no século XVI, a mais antiga sendo de 1503, contendo a Medida do Círculo e a Quadratura da Parábola. Em 1544 foi impressa a obra Editio Princeps, contendo a maior parte das obras conhecidas de Arquimedes, em grego e latim, com exceção de Sobre os Corpos Flutuantes. A invenção da imprensa deu um grande impulso para a divulgação de suas obras. As primeiras traduções de algumas obras de Arquimedes para um idioma vivo foram publicadas em 1667 e 1670 por J. C. Sturm, traduzidas para o alemão. Em 1807 surgiu a primeira tradução para o francês do conjunto de suas obras feita por F. Peyrard. Em 1897 e em 1912 foi publicada a primeira tradução para o inglês por T. L. Heath.

Apresentamos aqui as obras de Arquimedes que chegaram até nós, na ordem em que Heath supõe que foram escritas, [Hea21, págs. 22-23]. Mas existem muitas controvérsias em relação a este ordenamento. Knorr, por exemplo, coloca O Método como uma das últimas obras de Arquimedes, [Kno79].

• Sobre o Equilíbrio dos Planos, ou Sobre o Centro de Gravidade das Figuras Planas. Livro I.

Arquimedes deriva teoricamente usando o método axiomático a lei da ala- vanca e os centros de gravidade de paralelogramos, triângulos e trapézios. No Apêndice B ao final deste livro apresentamos uma tradução desta obra.

• Quadratura da Parábola. Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer. Proposição 24: “Todo segmento limitado por uma parábola e por uma corda Qq é igual a quatro terços do triângulo que tem a mesma base que o segmento e a mesma altura,” [Arc02, pág. 251]. Ele apresenta duas demonstrações para este resultado. Na primeira faz uma quadratura mecânica, utilizando a lei da alavanca. Na segunda faz uma quadratura geométrica.

• Sobre o Equilíbrio dos Planos, ou Sobre o Centro de Gravidade das Figuras Planas. Livro II.

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Arquimedes obtém o centro de gravidade de um segmento de parábola.

• O Método dos Teoremas Mecânicos, endereçado a Eratóstenes. Usualmente conhecido como O Método. Arquimedes apresenta um método mecânico utilizando a lei da alavanca e conceitos da teoria do centro de gravidade para obter resultados geométricos. Apresenta vários exemplos deste método heurístico que seguiu, ilustrando como aplicá-lo. Com isto obtém a quadratura da parábola, o volume e o CG de qualquer segmento de uma esfera, o CG de um semi-círculo, o CG de um parabolóide de revolução e vários outros resultados. Na Seção 2.2 discutimos em mais detalhes este trabalho.

• Sobre a Esfera e o Cilindro, Livros I e II. Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é igual a quatro vezes a área do círculo maior passando pelo centro da esfera, encontra a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera vale dois terços do volume do cilindro circunscrito e que a superfície da esfera vale dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases, Fig. 1.1. Na segunda parte deste livro o resultado mais importante de Arquimedes é mostrar como cortar uma esfera por um plano, tal que a razão dos volumes dos dois segmentos da esfera tenha um valor desejado.

• Sobre as Espirais. Arquimedes define uma espiral através do movimento uniforme de um ponto ao longo de uma reta que gira com velocidade angular constante no plano. Estabelece as propriedades fundamentais da espiral relacionando o comprimento do raio vetor com os ângulos de revolução que geram as espirais. Apresenta resultados sobre tangentes às espirais. Demonstra como calcular áreas de partes da espiral. A espiral é utilizada para obter uma retificação da circunferência.

Como curiosidade citamos aqui as duas primeiras proposições e a defini- ção principal apresentada por Arquimedes neste trabalho. Esta espiral é representada hoje em dia em coordenadas polares pela relação ρ = kϕ, onde k é uma constante, ρ é a distância até o eixo z (ou até a origem considerando o movimento no plano xy) e ϕ é o ângulo do raio vetor em relação ao eixo x. Nesta representação moderna não aparece o tempo. Por outro lado, a importância histórica da definição original de espiral feita por Arquimedes é a introdução do conceito de tempo na geometria, algo crucial para todo o desenvolvimento posterior da mecânica clássica:

“Proposição 1: Se um ponto desloca-se com uma velocidade uni- forme ao longo de qualquer linha, e são considerados dois com- primentos sobre a linha, eles serão proporcionais aos tempos para descrevê-los,” [Arc02, pág. 155].

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“Proposição 2: Se dois pontos sobre linhas diferentes deslocam- se, respectivamente, ao longo de cada uma delas com uma ve- locidade uniforme, e se são considerados comprimentos, um em cada linha, formando pares, tal que cada par seja descrito em tempos iguais, os comprimentos serão proporcionais,” [Arc02, pág. 155].

“Definição: Se uma linha reta traçada em um plano gira com uma velocidade constante ao redor de uma extremidade que permanece fixa e retorna à posição de onde começou e se, no mesmo tempo em que a linha gira, um ponto desloca-se com uma velocidade constante ao longo da linha reta começando da extremidade que permanece fixa, o ponto vai descrever uma espiral no plano,” [Arc02, pág. 165].

• Sobre Conóides e Esferóides. Arquimedes estuda os parabolóides de revolução, os hiperbolóides de re- volução (conóides) e os elipsóides (esferóides) obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos. O principal objetivo do trabalho é investigar o volume de segmentos destas figuras tridimensionais. Demons- tra, por exemplo, nas Proposições 21 e 22, que o volume do parabolóide de revolução vale 3/2 do volume do cone que tem a mesma base e a mesma altura. Resultados análogos, mas mais complexos, são obtidos para o hiperbolóide de revolução e para o elipsóide.

• Sobre os Corpos Flutuantes. Livros I e II. Arquimedes estabelece os princípios fundamentais da hidrostática com a lei do empuxo, dando o peso de um corpo imerso em um fluido. Estuda também a estabilidade de um segmento esférico flutuante e de um para- bolóide de revolução imerso em um fluido.

Na primeira parte deste trabalho Arquimedes cria toda a ciência da hi- drostática, não se conhecendo nenhum autor que tenha trabalhado sobre este tema antes dele. Seu postulado fundamental diz o seguinte, [Mug71b, pág. 6], ver também [Dij87, pág. 373]:

“Supomos como princípio que o fluido possui uma natureza tal que, estando suas partes dispostas de modo uniforme e sendo contínuas, a parte que é menos pressionada é impelida de seu lugar pela parte que é mais pressionada; e que cada uma de suas partes é pressionada pelo fluido que está verticalmente acima dela, a menos que este fluido esteja encerrado em qualquer [re- cipiente] ou que seja comprimido por qualquer outra coisa.”

A tradução de Heath deste postulado, publicada originalmente em 1897, diz o seguinte, [Arc02, pág. 253] e [Ass96].

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“Postulado 1: Vai-se supor que um fluido tem tal propriedade que, suas partes estando situadas uniformemente e sendo con- tínuas, aquela parte que é menos pressionada é impelida pela parte que é mais pressionada; e que cada uma de suas par- tes é pressionada pelo fluido que está acima dela numa direção perpendicular se o fluido for afundado em qualquer coisa e com- primido por qualquer outra coisa.”

Esta versão de Heath que havíamos traduzido para o português em 1996, está baseada na tradução para o latim publicada por Mörbeke em 1269, não se conhecendo então o texto original de Arquimedes em grego. Em 1906 Heiberg localizou um outro manuscrito contendo a versão original em grego deste trabalho. O manuscrito ainda tem algumas partes que estão faltando ou que estão indecifráveis. De qualquer forma, a parte legível contém este postulado. Com isto foi possível clarificar o significado da úl- tima passagem. Em vez da expressão do Heath, “e que cada uma de suas partes é pressionada pelo fluido que está acima dela numa direção per- pendicular se o fluido for afundado em qualquer coisa e comprimido por qualquer outra coisa,” o significado correto é aquele de Mugler e Dijks- terhuis, a saber, “e que cada uma de suas partes é pressionada pelo fluido que está verticalmente acima dela, a menos que este fluido esteja encer- rado em qualquer [recipiente] ou que seja comprimido por qualquer outra coisa.” Ou seja, há uma expressão negativa (enfatizada em itálico) que mostra as condições que limitam a validade do postulado.

A partir deste postulado Arquimedes chega a uma explicação para o for- mato esférico da Terra, supondo-a composta apenas de água. Depois de- monstra um teorema fundamental da hidrostática, chamado hoje em dia de princípio de Arquimedes (ou de princípio fundamental da hidrostática), em suas Proposições 5 a 7. Deve-se observar que para o próprio Arquime- des estes resultados são proposições ou teoremas derivados a partir de seu postulado fundamental que acabamos de apresentar. Ou seja, para ele as Proposições 5 a 7 não são princípios fundamentais nem postulados, mas sim resultados secundários demonstrados a partir de seu princípio funda- mental. Ao afirmar que um sólido é mais pesado ou mais leve do que um fluido, ele está se referindo ao peso relativo ou específico, isto é, se o sólido é mais ou menos denso do que o fluido:

“Proposição 5: Qualquer sólido mais leve do que um fluido ficará, caso colocado no fluido, submerso de tal forma que o peso do sólido será igual ao peso do fluido deslocado,” traduzido em [Ass96].

“Proposição 6: Se um sólido mais leve do que um fluido for forçadamente submerso nele, o sólido será impelido para cima com uma força igual à diferença entre seu peso e o peso do fluido deslocado,” traduzido em [Ass96].

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“Proposição 7: Um sólido mais pesado do que um fluido descerá, se colocado nele, ao fundo do fluido, e o sólido será, quando pesado no fluido, mais leve do que seu peso real pelo peso do fluido deslocado,” traduzido em [Ass96].

Baseado nestas proposições, Arquimedes determina no final do primeiro livro as condições do equilíbrio de um segmento esférico flutuante. Na se- gunda parte deste trabalho Arquimedes apresenta uma investigação com- pleta das posições de repouso e de estabilidade de um segmento de um parabolóide de revolução flutuando em um fluido. Seu interesse aqui pa- rece bem claro, estudar a estabilidade de navios de forma teórica, embora isto não seja mencionado explicitamente. É como se fosse um trabalho de matemática aplicada ou de engenharia teórica.

Este é um trabalho monumental que por quase dois mil anos foi uma das únicas obras sobre o assunto, até ser retomado no renascimento, influen- ciando a Stevin (1548-1620) e Galileu (1564-1642).

• Medida do Círculo. Este trabalho não chegou em sua forma original até nós sendo, prova- velmente, apenas um fragmento de um trabalho maior. Arquimedes de- monstra que a área do círculo é igual à área do triângulo retângulo tendo por catetos o raio e a circunferência retificada: “Proposição 1: A área de qualquer círculo é igual a um triângulo retângulo no qual um dos lados ao redor do ângulo reto é igual ao raio, e o outro [lado é igual] à circunfe- rência do círculo,” [Arc02, pág. 91]. Em notação moderna este resultado pode ser expresso da seguinte maneira. Se chamamos de AC à área do círculo de raio r tendo circunferência C = 2πr, e se chamamos de AT à área do triângulo descrito por Arquimedes (dada por sua base vezes sua altura dividido por 2), então AC = AT = r · C/2 = πr2. Arquimedes mostra ainda que o valor exato de π situa-se entre 3 10

71 ≈

3, 1408 e 3 1 7 ≈ 3, 1429. Obteve este resultado circunscrevendo e inscre-

vendo um círculo com polígonos regulares de 96 lados. Este resultado é expresso por Arquimedes com as seguintes palavras na Proposição 3, [Arc02, pág. 93]: “A razão da circunferência de qualquer círculo para seu diâmetro é menor do que 3 1

7 mas maior do que 3 10

71 .” No meio da

demonstração desta proposição Arquimedes apresenta também aproxima- ções muito precisas para as raízes quadradas de diversos números, sem es- pecificar como chegou a elas. Utiliza, por exemplo, o seguinte resultado em notação moderna: 265

153 <

√ 3 < 1351

780 , isto é, 1, 7320261 <

√ 3 < 1, 7320513.

• O Contador de Areia. Arquimedes lida com o problema de contar os grãos de areia contidos na esfera das estrelas fixas, usando resultados de Eudoxo, de seu pai Fídias e de Aristarco. Propõe um sistema numérico capaz de expressar números até o equivalente moderno de 8× 1063. É neste trabalho que Arquimedes

28

menciona que a adição das ordens dos números (o equivalente de seus ex- poentes quando a base é 108) corresponde a achar o produto dos números. Este é o princípio que levou à invenção dos logaritmos, muitos séculos depois.

É também neste trabalho que Arquimedes menciona o sistema heliocên- trico de Aristarco de Samos (c. 310-230 a.C.). O trabalho de Aristarco descrevendo seu sistema heliocêntrico não chegou aos nossos dias. Por isto apresentamos aqui a introdução ao Contador de Areia de Arquime- des. Esta introdução é o testemunho mais antigo e mais importante da existência de um sistema heliocêntrico na antiguidade. Devido à sua idéia extremamente importante, Aristarco é chamado hoje em dia de o Copér- nico da antiguidade (embora o mais correto fosse chamar Copérnico de o Aristarco da modernidade). No final da introdução Arquimedes refere-se a um trabalho de nome Princípios, sendo provavelmente o título do seu trabalho contendo um sistema de numeração que havia enviado a Zeuxi- pus, citado na própria introdução. Este trabalho está perdido atualmente. Vamos ao texto de Arquimedes, [Dij87, págs. 362-363] e [Arc02, págs. 221-222]:

“Existem alguns, rei Gelon, que pensam que o número de grãos de areia é infinito. Quero dizer não apenas da areia que existe em Siracusa e no restante da Sicília, mas também aquela que existe em toda região, seja habitada ou desabitada. Outros já não assumem que este número seja infinito, mas pensam que ainda não foi nomeado nenhum número que seja grande o suficiente para ultrapassar o número imenso de grãos de areia. É claro que se aqueles que têm este ponto de vista imaginassem um volume de areia tão grande quanto seria o volume da Terra, incluindo neste volume todos os mares e buracos na Terra preenchidos até uma altura igual à das maiores montanhas, eles estariam ainda menos inclinados a acreditar que qualquer número pudesse ser expresso que excedesse o número imenso de grãos desta areia. Mas tentarei mostrar por meio de demonstrações geométricas que você será capaz de seguir, que os números que nomeamos, como publicados no trabalho destinado a Zeuxipus, incluem al- guns números que excedem não apenas o número de grãos de areia ocupando um volume igual ao da Terra preenchida da ma- neira descrita, mas também o da areia que tem um volume igual ao do cosmo. Você sabe que ‘cosmo’ é o nome dado pela mai- oria dos astrônomos à esfera cujo centro é o centro da Terra e cujo raio é igual à distância entre o centro do Sol e o centro da Terra. Esta é a explicação comum, como você já ouviu dos astrônomos. Mas Aristarco de Samos enunciou certas hipóteses nas quais resulta das premissas que o universo é muito maior do que o que acabou de ser mencionado. De fato, ele supõe que as estrelas fixas e o Sol não se movem, mas que a Terra gira na

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circunferência de um círculo ao redor do Sol, que está no centro da órbita, e que a esfera das estrelas fixas, situada ao redor do mesmo centro que o Sol, é tão grande que o círculo no qual se supõe que a Terra gira tem a mesma razão para a distância até as estrelas fixas que o centro de uma esfera tem para sua super- fície. Mas é óbvio que isto é impossível; pois como o centro de uma esfera não tem magnitude, não pode ser concebido que ele tenha qualquer razão para a superfície da esfera. É provável, contudo, que Aristarco tenha querido dizer o seguinte: já que concebemos a Terra sendo, por assim dizer, o centro do universo, ele supõe que a razão que a Terra possui para o que chamamos de cosmo é igual à razão que a esfera contendo o círculo no qual se concebe que a Terra gira possui para a esfera das estrelas fixas. Pois suas demonstrações dos fenômenos concordam com esta suposição e, em particular, ele parece supor a magnitude da esfera na qual representa a Terra em movimento como sendo igual ao que chamamos de cosmo.

Digo então que, mesmo se uma esfera fosse feita de areia, com uma magnitude como a que Aristarco supõe que tenha a esfera das estrelas fixas, os números nomeados nos Princípios ainda incluiriam alguns que ultrapassariam o número de grãos de areia que existem em um volume igual ao da esfera mencionada, desde que sejam feitas as seguintes suposições: (...)”

Além destes trabalhos, sabe-se ainda que Arquimedes escreveu outras obras que atualmente existem apenas em fragmentos ou menções sobre elas escritas por outros autores. Estas obras são as seguintes (títulos ou assuntos de que tratam):

• O Problema Bovino. (É contido em um epigrama comunicado por Arqui- medes aos matemáticos de Alexandria em uma carta para Eratóstenes. É um problema de álgebra com 8 incógnitas. A solução completa do pro- blema leva a um número com 206.545 dígitos.)

• Livro de Lemas. (Coleção de lemas importantes relacionados com figuras planimétricas.)

• Poliedros Semi-Regulares. (Os sólidos regulares já eram conhecidos por Platão e são descritos por Euclides em seu livro Os Elementos, [Euc56]. Suas faces são compostas por polígonos iguais regulares, eqüiláteros e eqüi- ângulos. Só existem 5 sólidos regulares: o tetraedro, o cubo, o dodecaedro, o octaedro e o icosaedro.

Neste trabalho Arquimedes descreve a construção dos sólidos semi-regula- res que descobriu. Suas faces são polígonos regulares mas tendo diferentes números de lados, como quadrados e triângulos eqüiláteros. Só existem 13 destes sólidos, todos descobertos por Arquimedes.)

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• Stomachion. (Só sobraram fragmentos deste trabalho. Aparentemente ele é um jogo tipo tangram mas com 14 partes que se juntam para formar um quadrado. Ver alguns exemplos na Figura 2.1. Provavelmente Arquimedes se preocupou em resolver o problema de quantas formas estas 14 partes podem ser juntadas para formar novamente o quadrado. Para Netz e Noel este trabalho dá início ao cálculo combinatório, [NN07, págs. 329-366]. De acordo com estimativas modernas existem 17.152 maneiras diferentes de combinar as peças do Stomachion formando o quadrado, [NN07, pág. 363].)

Figura 2.1: Duas configurações possíveis para o Stomachion de Arquimedes.

• Área do Triângulo. (Alguns autores consideram que Arquimedes descobriu a expressão atribuída usualmente a Heron, século I d.C., da área de um triângulo em termos de seus lados.)

• Sobre o Heptágono em um Círculo. (Apresenta a construção do heptágono inscrito em um círculo.)

Existem ainda algumas obras de Arquimedes mencionadas por ele ou por outros autores mas que encontram-se perdidas atualmente. Muitas vezes são mencionados por Arquimedes ou por outros autores antigos apenas os títulos e algumas vezes alguns resultados ou teoremas demonstrados nestes trabalhos. A lista a seguir pode conter o mesmo trabalho citado às vezes por nomes diferentes.

• Princípios. (Sobre como expressar números grandes.)

• Sobre os Centros de Gravidade.

• Elementos de Mecânica. (Sobre o CG e a lei da alavanca. Provavelmente o trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos é uma parte deste tratado maior.)

• Equilíbrios. (Sobre o CG de sólidos.)

• Livro das Colunas ou Livro dos Suportes. (De acordo com Heron, Arqui- medes tratou aqui de corpos apoiados em duas ou mais colunas e resolveu o problema de saber qual parte do peso total do corpo é suportada em cada pilar.)

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• Sobre Balanças ou Sobre Alavancas. (Sobre o CG e a lei da alavanca.)

• Um trabalho sobre Óptica. (Inclui a lei de reflexão e estudos sobre a refração.)

• Sobre a Construção de Esferas. (Um trabalho mecânico descrevendo a construção de uma esfera representando os movimentos dos corpos ce- lestes, provavelmente uma descrição do famoso planetário construído por Arquimedes.)

• Calendário. (Sobre a duração do ano.)

• Sobre os Círculos que se Tocam.

• Sobre Linhas Paralelas.

• Sobre Triângulos.

• Sobre as Propriedades dos Triângulos Retângulos.

• Sobre as Suposições dos Elementos de Geometria.

• Livro dos Dados ou Definições.

2.2 O Método de Arquimedes

Entre as obras atualmente conhecidas de Arquimedes, nenhuma tem chamado tanta atenção quanto O Método. A única informação que se tinha sobre este trabalho até 1906 era seu título. Entre 1880 e 1881 o erudito dinamarquês J. L. Heiberg (1854-1928), professor de filologia clássica na Universidade de Cope- nhagem, publicou a obra completa de Arquimedes então conhecida, em grego e latim, em três volumes. Esta obra serviu como base para a tradução com- pleta recente das obras de Arquimedes para vários idiomas, como o inglês feita por T. L. Heath (1861-1940) publicada em 1897. Ao descrever as obras per- didas de Arquimedes, Heath cita O Método em uma única frase, [Arc02, pág. xxxviii]: “ ǫ̀φóδιoν, um Método, mencionado por Suidas, que afirma que Theodo- sius escreveu um comentário sobre ele, mas não fornece informações adicionais.” Suidas foi um dicionarista grego que viveu no século X, enquanto que Theo- dosius (c. 160-90 a.C.) foi um matemático da Anatólia, atual Turquia. Mas em 1899 Heiberg leu uma informação sobre um palimpsesto de conteúdo mate- mático localizado em Constantinopla. A palavra palimpsesto significa “raspado novamente.” Em geral trata-se de um pergaminho (pele de animal raspada e polida para servir de escrita) usado duas ou três vezes, por meio de raspagem do texto anterior, devido à escassez do material ou ao seu alto preço. Este pa- limpsesto específico continha uma coleção de orações usadas na igreja ortodoxa oriental escritas por volta do século XIII, redigida sobre um texto manuscrito matemático do século X. Por algumas poucas linhas a que teve acesso, Hei- berg suspeitou que se tratava de um texto de Arquimedes. Conseguiu viajar

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a Constantinopla e examinou o manuscrito por duas vezes, em 1906 e 1908. Felizmente o texto original não tinha sido totalmente apagado com sucesso e Heiberg conseguiu ler a maior parte com o auxílio de lupas e fotografias. O manuscrito continha 185 folhas com obras de Arquimedes em grego. Além dos textos já conhecidos, continha três tesouros: (I) Fragmentos do Stomachion, (II) A única versão ainda existente em grego de partes importantes da obra Sobre os Corpos Flutuantes. Anteriormente só se conhecia a tradução para o latim feita por Willem von Mörbeke em 1269 a partir de um outro manuscrito grego atualmente perdido. (III) A maior parte do trabalho O Método de Arquimedes! Uma obra que estava perdida por dois mil anos (o último a estudá-la parece ter sido Theodosius), não se conhecendo nem mesmo seu conteúdo, surgiu de repente ampliando enormemente nosso conhecimento sobre Arquimedes. Até os comentários de Theodosius sobre esta obra não são conhecidos. Este manuscrito continha as seguintes obras, nesta ordem: a segunda parte de Sobre o Equilíbrio dos Planos, Sobre os Corpos Flutuantes, O Método, Sobre as Espirais, Sobre a Esfera e o Cilindro, Medida do Círculo, e Stomachion.

Em 1907 Heiberg publicou o texto da obra O Método em grego e uma tradu- ção para o alemão, com comentários de Zeuthen. Em 1912 Heath publicou um complemento à sua tradução para o inglês das obras completas de Arquimedes, incluindo agora O Método. Entre 1910 e 1915 Heiberg publicou uma segunda edição das obras completas de Arquimedes, em grego e latim, em três volumes. Esta segunda edição é bem melhor do que a primeira e foi reeditada em 1972, [Hei15]. A descoberta de Heiberg foi manchete do New York Times em 1907.

Mas a história não termina aqui. No período entre 1908 e 1930 o manuscrito desaparece, acreditando-se que tenha sido roubado. Ao redor de 1930 um cole- cionador de antiguidades francês compra o manuscrito, sem o conhecimento do mundo exterior. Em 1991 a família deste francês coloca o manuscrito para ser leiloado e só então todos ficam sabendo que se tratava do manuscrito descoberto por Heiberg em 1906 e que se considerava novamente perdido. Em 1998 ele foi leiloado pela Christie’s, em Nova York. Foi comprado por cerca de 2 milhões de dólares por um bilionário anônimo e emprestado para o Walters Arts Gallery, de Baltimore, EUA. Um grupo de eruditos, dirigido por Nigel Wilson e Reviel Netz, da Universidade de Stanford, está trabalhando para a restauração, digi- talização e publicação do manuscrito, que contém a única cópia existente de O Método, um trabalho que se considerava perdido por aproximadamente 2.000 anos!

A importância deste trabalho é que ele contém praticamente o único relato de um matemático da antiguidade apresentando o método que o levou à desco- berta dos seus teoremas. Em todos os outros trabalhos só temos os teoremas apresentados em sua forma final, deduzidos com rigor lógico e com demonstra- ções cientificamente precisas, a partir de axiomas e de outros teoremas, sem que se saiba qual foi o caminho ou a intuição que levou ao resultado final. O Método alterou tudo isto. Neste caso Arquimedes apresenta o caminho que utilizou para chegar a diversos resultados importantes e difíceis de quadratura e de cubatura (obtenção de áreas e de volumes por integração), assim como ao centro de gra- vidade de diversas figuras geométricas. Nada melhor agora do que dar a palavra

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a Arquimedes na descrição do seu trabalho, [Arc02, Suplemento, págs. 12-14]:

“Arquimedes para Eratóstenes, saudações.

Enviei a você em uma ocasião anterior alguns dos teoremas que descobri, apresentando apenas os enunciados e convidando-o a des- cobrir as demonstrações, que não havia fornecido naquela ocasião. Os enunciados dos teoremas que enviei naquela ocasião são como segue.

(...)

Além disso, vendo em você, como digo, um estudante sério, um ho- mem de eminência considerável em filosofia, e um admirador [da pesquisa matemática], achei apropriado apresentar e explicar para você detalhadamente no mesmo livro a peculiaridade de um certo método, através do qual será possível a você ter um começo para capacitá-lo a investigar alguns dos problemas em matemática por meio da mecânica. Estou persuadido de que este procedimento não é menos útil até mesmo para a demonstração dos próprios teoremas; pois algumas coisas tornaram-se claras para mim por um método mecânico, embora tivessem de ser demonstradas depois pela geome- tria, pois a investigação destas coisas por este método não forneceu uma demonstração real. Mas obviamente é mais fácil fornecer uma demonstração quando já adquirimos anteriormente, pelo método, al- gum conhecimento das questões, do que encontrar a demonstração sem qualquer conhecimento. Este é o motivo pelo qual, no caso dos teoremas que Eudoxo foi o primeiro a descobrir as demonstrações, a saber, que o [volume do] cone é a terça parte do cilindro [circuns- crito], e [o volume] da pirâmide [a terça parte] do prisma [circuns- crito], tendo a mesma base e a mesma altura, devemos dar uma parte importante do crédito a Demócrito que foi o primeiro a afirmar isto com relação a esta figura, embora ele não tenha demonstrado isto. Eu próprio estou na posição de ter feito inicialmente a descoberta do teorema a ser publicado agora [pelo método indicado], e considero necessário expor o método, parcialmente por já ter falado sobre ele e não quero que se pense que proferi palavras em vão, mas também porque estou persuadido de que o método será bem útil para a ma- temática. Pois entendo que alguns dos meus contemporâneos ou dos meus sucessores serão capazes, por meio do método uma vez que ele esteja estabelecido, de descobrir outros teoremas adicionais, os quais ainda não ocorreram para mim.

Em primeiro lugar vou apresentar o primeiro teorema que descobri por meio da mecânica:

Qualquer segmento de uma parábola é igual a quatro terços do triân- gulo que tem a mesma base e a mesma altura. Após isto apresentarei cada um dos teoremas investigados pelo mesmo método. Então, no

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final do livro, apresentarei as [demonstrações] geométricas [das pro- posições]...

[Apresento as seguintes proposições que usarei ao longo do trabalho.] (...)”

Após esta introdução sobre a vida e a obra de Arquimedes, descreveremos agora diversas experiências que levam a uma definição conceitual precisa do que vem a ser este famoso centro de gravidade dos corpos.

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Parte II

O Centro de Gravidade

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Capítulo 3

Geometria

Começamos nosso trabalho com um pouco de matemática. Vamos recortar algu- mas figuras planas e obter suas propriedades geométricas principais. Mais tarde elas serão utilizadas em algumas experiências. As dimensões que apresentamos aqui são adequadas para atividades individuais, sendo que os tamanhos devem ser maiores no caso de serem feitas experiências de demonstração em sala de aula ou em palestras e seminários.

Material Empregado - Cartolina, papelão, cartão duro ou papel cartão plano (o papel cartão é

melhor que a cartolina pois é um pouco mais espesso e, portanto, mais firme). Também pode ser usada a espuma EVA, lâminas de madeira (tipo madeira de balsa), folhas de isopor, chapas planas e finas de plástico rígido ou de alumínio etc.

- Folhas de papel em branco. - Régua, caneta, esquadro, compasso e transferidor.

3.1 Obtendo os Centros de Círculos, Retângulos

e Paralelogramos

Traçamos e recortamos no papel cartão um círculo com 7 ou 8 cm de diâmetro. Caso o círculo tenha sido traçado utilizando um compasso, marca-se depois o centro do círculo (ponto furado pelo compasso) com uma caneta, indicando-o pela letra X .

Caso o círculo tenha sido traçado utilizando um copo colocado em cima do papel cartão, pode-se encontrar o centro pelo cruzamento de dois diâmetros. Os diâmetros podem ser traçados com uma régua. Mas é difícil ter certeza se a régua está passando exatamente pelo centro, caso este centro não tenha sido localizado anteriormente.

Um procedimento alternativo para se encontrar os diâmetros e o centro do círculo utiliza dobraduras. Nas experiências que serão feitas em seguida é melhor

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utilizar as figuras planas de papel cartão plano sem dobras. Todas as dobraduras devem então ser feitas com figuras análogas feitas de folha de caderno ou de papel sulfite. Coloca-se o círculo de papel cartão em cima de uma folha de papel e corta-se nesta folha um círculo igual ao que havia sido feito com o papel cartão. Depois dobra-se o círculo de papel em duas metades iguais. Faz-se então mais uma dobra para que o círculo fique dividido em quatro partes iguais, ver a Figura 3.1. Pode-se então traçar com caneta os diâmetros no círculo de papel. O centro do círculo será o cruzamento destes diâmetros. Furando-se o centro do círculo de papel e colocando-o novamente sobre o círculo de papel cartão, pode-se marcar no papel cartão com uma caneta o centro do círculo.

X X

Figura 3.1: Achando o centro de um círculo com dobraduras.

Recorta-se de um papel cartão a figura de um retângulo com lados de 6 cm e de 12 cm. No caso do retângulo existem duas maneiras alternativas de se encontrar o centro. A mais simples é ligando os vértices opostos. O centro do retângulo é o cruzamento destas diagonais, que deve ser marcado pela letra X .

A outra maneira é encontrando (com uma régua ou com dobradura) inicial- mente o ponto médio de cada lado. Liga-se então os pontos médios dos lados opostos. O centro do retângulo é o cruzamento destas duas retas.

O paralelogramo é um quadrilátero plano cujos lados opostos são paralelos. Recorta-se de um papel cartão uma figura na forma de um paralelogramo com lados de 6 cm e de 12 cm, com o menor ângulo interno sendo de 30o (ou de 45o). Pode-se encontrar o centro de um paralelogramo utilizando os dois métodos empregados no caso do retângulo, como na Figura 3.2.

X X

Figura 3.2: Achando o centro de um paralelogramo com dobraduras.

3.2 Os Quatro Pontos Notáveis de um Triângulo

Existem três tipos de triângulo: eqüilátero (três lados iguais), isósceles (apenas dois lados de mesmo comprimento) e escaleno (três lados diferentes). Todo

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triângulo possui quatro pontos notáveis que são chamados de circuncentro (C), baricentro (B), ortocentro (O) e incentro (I). Vamos encontrar estes quatro pontos notáveis no caso de um triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de 12 cm. Com estas dimensões cada um dos lados iguais terá um comprimento de 12,37 cm, Figura 3.3.

6 cm

1 2

c m

1 2 ,3

7 c

m

1 2 ,3

7 cm

Figura 3.3: Triângulo isósceles.

Este triângulo será traçado e recortado em um papel cartão. Recortam-se também outros quatro triângulos iguais de uma folha de papel. Cada um destes triângulos de papel será utilizado para que se tracem sobre eles as retas para encontrar os pontos notáveis. Quando necessário, também as dobraduras devem ser feitas com estes triângulos de papel, para evitar que se amassem as figuras de papel cartão que serão utilizadas em experiências posteriores.

O circuncentro é o encontro das mediatrizes, que são as retas cortando cada lado no ponto médio, perpendicularmente. Para achar o ponto médio de cada lado pode-se utilizar uma régua. Com um esquadro ou utilizando o retângulo de papel cartão traça-se então uma reta perpendicular a cada lado passando por seu ponto médio. O cruzamento destas retas é o circuncentro (C), Figura 3.4.

Outra maneira de se encontrar o ponto médio de cada lado é com dobradura. Neste caso basta que se juntem os vértices dois a dois. A dobra do papel já será a reta ortogonal ao lado entre os vértices e passando pelo centro de cada lado, o que facilita o trabalho.

Uma propriedade importante do circuncentro é que ele é eqüidistante dos vértices. Por este motivo ele é o centro da circunferência circunscrita ao triân- gulo, chamada de circuncírculo, Figura 3.4.

Em todo triângulo acutângulo (que possui os três ângulos agudos, ou seja, menores do que 90o), o circuncentro estará localizado no região interna do tri- ângulo. No triângulo obtusângulo (que possui um ângulo obtuso, ou seja, maior

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C C

Figura 3.4: O circuncentro e o circuncírculo.

do que 90o), o circuncentro estará localizado na região externa ao triângulo. No triângulo retângulo, o circuncentro estará localizado no ponto médio da hipote- nusa.

O baricentro é o encontro das medianas, que são as retas que ligam os vértices aos pontos médios dos lados opostos. Como vimos no caso do circuncentro, os pontos médios de cada lado podem ser facilmente obtidos com uma régua ou com dobraduras. Após encontrar estes pontos médios, basta que eles sejam ligados aos vértices opostos. O cruzamento destas retas é o baricentro (B), ver a Figura 3.5. O baricentro está sempre dentro do triângulo e possui uma propriedade importante: A distância do vértice ao baricentro é sempre o dobro da distância do baricentro ao ponto médio do lado oposto ao vértice.

B

Figura 3.5: O baricentro de um triângulo.

O ortocentro é o encontro das alturas, que são as retas que ligam os vérti- ces perpendicularmente aos lados opostos. A maneira mais fácil de encontrar estas retas é utilizando um esquadro ou o retângulo de papel cartão. Vai-se escorregando com a base do esquadro ou do retângulo por um dos lados do triângulo (com a base do esquadro ou do retângulo coincidindo com o lado do triângulo) até que o lado perpendicular do esquadro ou do retângulo encontre

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o vértice oposto do triângulo. Neste momento traçam-se estas retas que vão dos vértices até os lados opostos, sendo perpendiculares a estes lados, Figura 3.6. O cruzamento das alturas é o ortocentro (O). As alturas representam tam- bém as menores distâncias entre os vértices e os lados opostos. Dependendo das dimensões do triângulo, o ortocentro pode se localizar dentro ou fora do triângulo.

O

Figura 3.6: O ortocentro.

O incentro é o encontro das bissetrizes, que são as retas que dividem os vérti- ces em dois ângulos iguais. Estas retas podem ser encontradas com o auxílio de um transferidor. Mas a maneira mais prática de localizá-las é com dobraduras. Basta que se encontrem pelos vértices os lados vizinhos do triângulo, Figura 3.7. As dobras do papel dividem cada vértice em dois ângulos iguais. O cruzamento destas retas é o incentro (I).

II

Figura 3.7: O incentro e o incírculo.

O incentro sempre localiza-se dentro do triângulo. O incentro é eqüidistante dos lados. Por este motivo ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo, também chamada de incírculo, Figura 3.7.

Depois que estes quatro pontos foram localizados nos triângulos de papel,

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fura-se os papéis nestes pontos e colocam-se os triângulos de papel sobre o triângulo de papel cartão. Em seguida marcam-se sobre o triângulo de papel cartão os quatro pontos notáveis. O resultado no caso deste triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de 12 cm é mostrado na Figura 3.8. Vemos que os quatro pontos são distintos entre si, com o ortocentro mais próximo da base, depois o incentro, depois o baricentro e por último o circuncentro. Estes quatro pontos estão sobre uma reta que é ao mesmo tempo mediatriz, mediana, altura e bissetriz.

I

C B

O 6 cm

1 2 c

m

1 2 ,3

7 c

m

1 2 ,3

7 cm

Figura 3.8: Um triângulo isósceles e seus quatro pontos notáveis.

No caso de um triângulo eqüilátero estes quatro pontos se sobrepõem, Figura 3.9a.

I

C

B

O 10 cm

7 c

m14 cm

I

C B

O

12 cm

7 cm

Figura 3.9: Os quatro pontos notáveis em alguns casos particulares.

No caso de um triângulo isósceles com base de 12 cm e altura de 7 cm a ordem dos pontos em relação à base é invertida quando comparada com os pontos do triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de 12 cm, Figura 3.9b.

No caso de um triângulo escaleno estes quatro pontos não estão ao longo de uma reta e também não estão necessariamente todos dentro do triângulo, como pode ser visto pela Figura 3.9c, baseada em um triângulo obtusângulo com lados de 7 cm, 10 cm e 14 cm. Vemos que o baricentro e o incentro estão dentro do triângulo, enquanto que o circuncentro e o ortocentro estão fora dele.

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Capítulo 4

Experiências de Equilíbrio e

Definição do Centro de

Gravidade

4.1 Primeiro Procedimento Experimental para se

Encontrar o Centro de Gravidade: Experiên-

cias com Figuras Planas

Até o momento lidamos apenas com geometria. A partir de agora começamos a realizar experiências. A maior parte das experiências descritas aqui foram inspiradas nos excelentes trabalhos de Ferreira e Gaspar, que recomendamos fortemente: [Fer], [Fer06] e [Gas03].

Vamos precisar de alguns conceitos primitivos, isto é, conceitos que não podemos definir sem cair em círculos viciosos. Os conceitos primitivos que vamos usar são o de corpo, disposição relativa de corpos (corpo B localizado entre os corpos A e C, por exemplo), distância entre corpos, mudança da disposição relativa entre os corpos e tempo entre eventos físicos.

Experiência 4.1

Seguramos uma moeda e a soltamos do repouso em uma certa altura do solo. Observa-se que a moeda cai em direção à Terra, 4.1. O mesmo ocorre com qualquer uma das figuras de papel cartão (círculo, retângulo ou triângulo).

Esta é uma das experiências mais simples e mais importantes de toda a mecânica. Nem todos os corpos caem ao serem soltos no ar. Uma bexiga cheia de hélio ou um balão cheio de ar quente, por exemplo, sobem ao serem soltos no ar, afastando-se da Terra. Porém, caso fossem soltos no vácuo, também cairiam em direção à Terra. Neste livro vamos realizar todas as experiências ao ar livre e todos os corpos que consideraremos serão aqueles que caem ao serem soltos.

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V

Figura 4.1: A vertical (V) é definida como a direção de queda dos corpos em direção ao centro da Terra.

Definições Definimos agora alguns conceitos que usaremos em todo este trabalho. Estes

conceitos já estão implícitos na descrição da experiência anterior e também surgem na descrição de diversas outras experiências que realizaremos ao longo deste trabalho.

• Corpo rígido: Qualquer corpo cujas partes não mudam de posição re- lativa entre si enquanto o corpo está parado ou enquanto se desloca em relação a outros corpos. O triângulo de papel cartão, por exemplo, pode ser considerado um corpo rígido para os propósitos deste livro. Mesmo enquanto o triângulo cai girando em relação à Terra, as partes do triân- gulo permanecem fixas entre si (a distância entre dois pontos quaisquer do triângulo permanece constante no tempo etc.). Já um gato andando no solo ou caindo em direção à Terra não pode ser considerado um corpo rígido, pois suas patas e seu rabo deslocam-se entre si durante estes movi- mentos. Na maior parte das experiências deste livro lidaremos com corpos rígidos, mas em alguns casos lidaremos com corpos compostos (como no caso da balança, do ET etc.). Quando nos referirmos a um “corpo,” em geral queremos dizer “corpo rígido,” a menos que seja especificado algo diferente.

• Movimento e repouso: Dizemos que dois corpos A e B estão em movi- mento (repouso) relativo entre si, quando a distância entre eles varia (não varia) com a passagem do tempo. Aqui estamos supondo corpos pontuais tais que se possa desprezar seus tamanhos ou diâmetros em comparação com a distância entre eles. No caso de corpos tridimensionais reais vão existir várias distâncias entre suas partículas diferentes. Neste caso dize- mos que A e B estão em movimento (repouso) relativo entre si quando a distância entre uma partícula i qualquer do corpo A e uma partícula j qualquer do corpo B varia (não varia) com a passagem do tempo. Neste livro vamos em geral falar do movimento ou do repouso de um corpo em

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relação à Terra. Quando dizemos que um corpo está em repouso (mo- vimento), em geral queremos dizer que ele está parado (em movimento) em relação à Terra. O mesmo deve ser entendido para todas as partes do corpo em relação a todas as partes da Terra.

• Equilíbrio: Em geral vamos nos referir ao equilíbrio como sendo a falta de movimento em relação à Terra. Isto é, ao dizer que um corpo está em equilíbrio, queremos dizer que todas as suas partes permanecem em repouso em relação à Terra com a passagem do tempo. Ou seja, todas as partes de um corpo dito em equilíbrio permanecem paradas em relação à Terra, não se aproximando nem se afastando dela, nem deslocando-se horizontalmente em relação à Terra. Enquanto o triângulo está parado em nossas mãos, dizemos que ele está em equilíbrio. Enquanto está caindo, deixa de estar em equilíbrio.

• Gravidade: Nome que se dá à propriedade que faz com que os corpos caiam em direção à Terra ao serem soltos do repouso. Outra maneira de expressar isto é dizer que a gravidade é a tendência dos corpos em serem atraídos em direção ao centro da Terra.

• Descer e subir: Quando dizemos que um corpo desce (sobe), queremos dizer que ele está se aproximando (se afastando) da superfície da Terra com a passagem do tempo. Em vez de descer, podemos usar também verbos análogos como cair, tombar, se aproximar da Terra ou se inclinar em direção à Terra, por exemplo. Da mesma maneira, em vez de subir, podemos usar verbos análogos como levantar ou se afastar da Terra, por exemplo.

• Em cima e embaixo, superior e inferior: Quando dizemos que um corpo A está em cima de um corpo B, queremos dizer que o corpo B está entre a Terra e o corpo A. Quando dizemos que um corpo A está abaixo de um corpo B, queremos dizer que o corpo A está entre a Terra e o corpo B. Quando nos referimos à parte superior (inferior) de um corpo, queremos dizer sua parte mais (menos) afastada da superfície da Terra.

• Vertical: Linha reta definida pela direção seguida por um pequeno corpo (como uma moeda metálica) ao cair em direção à Terra pela ação da gravidade, partindo do repouso. É também a linha seguida por um corpo que sobe em relação à Terra ao ser solto do repouso (como uma bexiga cheia de hélio, em uma região sem vento). Ou seja, a vertical (V) não é uma linha reta qualquer. É uma linha reta bem específica que está ligada com a gravidade da Terra. Para diminuir a influência do ar e do vento o ideal é realizar esta experiência com corpos pequenos e densos como moedas, Figura 4.1.

• Horizontal: Qualquer reta ou plano ortogonal à reta vertical.

Deve ser ressaltado que todos estes conceitos estão ligados à Terra, indicando propriedades físicas relacionadas à interação gravitacional dos corpos com a

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Terra. Ou seja, não são conceitos abstratos ou puramente matemáticos. São conceitos definidos a partir de experiências mecânicas realizadas na Terra.

É importante apresentar explicitamente todos estes conceitos pois serão uti- lizados ao longo deste trabalho. Apesar disto, deve ser enfatizado que estas são idealizações que não se encontram exatamente assim na natureza. Por exem- plo, nenhum corpo é verdadeiramente rígido. Mesmo quando um livro está parado em cima de uma mesa, suas moléculas estão vibrando. Neste sentido, nenhum corpo está verdadeiramente em equilíbrio, já que sempre existirão par- tes deste corpo deslocando-se em relação à superfície da Terra, mesmo quando o corpo como um todo, macroscopicamente, não esteja se deslocando em relação à Terra. Ao ser apoiado sobre um pequeno suporte como será descrito a seguir, todo corpo sempre vai se curvar um pouco, mesmo que seja uma chapa metálica. Apesar disto, para fenômenos em escala macroscópica estes detalhes (como as vibrações das moléculas, ou a pequena curvatura sofrida pelo corpo) nem sempre são observáveis ou nem sempre são relevantes para o que está sendo analisado. Logo, os conceitos definidos anteriormente fazem sentido a nível macroscópico e devem ser entendidos assim.

Suporte para as experiências Após estas definições podemos prosseguir com as experiências concentrando-

nos nos fenômenos que levam à definição do centro de gravidade. Para isto vamos precisar de um suporte para apoiar as figuras planas de papel cartão já recortadas. Apresentamos aqui diversas possibilidades de construí-lo.

• Suporte de palito de churrasco: Usamos um pouco de massa de mo- delar como base e fincamos o palito de churrasco de madeira na vertical, com a ponta para baixo, ver a Figura 4.2. É importante ressaltar que a ponta deve ficar para baixo, caso contrário fica muito difícil realizar as ex- periências de equilíbrio que serão apresentadas a seguir. Em vez da massa de modelar pode-se fincar o palito em uma borracha ou em alguma outra base apropriada.

• Suporte de lápis: Coloca-se um lápis com a ponta para baixo em um apontador, tal que o lápis fique parado na vertical.

• Suporte de garrafa pet: Caso as figuras de papel cartão sejam grandes (dimensões típicas da ordem de 20 cm ou de 40 cm, tamanho apropriado para que o professor faça demonstrações em sala de aula), pode-se utilizar uma garrafa de refrigerante como suporte, com a figura apoiada sobre a tampa, ver a Figura 4.2. Se a garrafa for de plástico, é bom enchê- la com um pouco de água para que não tombe enquanto realizamos as experiências.

• Suporte de arame: Uma outra possibilidade interessante é utilizar um arame vertical com a base de sustentação em espiral, ver a Figura 4.2. Caso o arame seja rígido mas muito fino, fica muito difícil conseguir equilibrar

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as figuras na horizontal (ele também pode furar as folhas de isopor etc.). O ideal é utilizar uma arame mais grosso.

• Suporte de prego: Basta um prego na vertical fincado em uma rolha, borracha, tábua de madeira ou outra base apropriada. A cabeça do prego deve estar para cima, com a ponta fincada na base.

Figura 4.2: Suportes para as experiências.

Existem infinitas outras possibilidades. Os aspectos importantes a ressaltar são que o suporte fique firme na base de sustentação, que o suporte fique na ver- tical, que sua extremidade superior seja plana (ficando na horizontal) e pequena comparada com as dimensões das figuras que serão equilibradas sobre ele. Mas a extremidade superior não pode ser muito pequena, análoga a um ponto (como os casos do palito de churrasco, alfinete, agulha ou prego com as pontas para cima). Caso isto ocorra, fica muito difícil de conseguir equilibrar as figuras e as experiências podem falhar. A extremidade superior deve ser pequena para que o ponto de equilíbrio do corpo fique bem localizado, mas não deve ser pequena demais senão inviabiliza boa parte das experiências. Com um pouco de prática é possível encontrar facilmente as dimensões apropriadas.

Primeiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro de Gravidade

Apresentamos agora o primeiro procedimento experimental para se encontrar o centro de gravidade de figuras planas.

Experiência 4.2

Pegamos o círculo, o retângulo e o paralelogramo de papel cartão já recorta- dos e tentamos equilibrá-los na horizontal apoiando-os sobre o suporte vertical.

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No caso do círculo, por exemplo, o colocamos deitado sobre o suporte e o solta- mos do repouso. Observamos que ele sempre cai, exceto quando o suporte está sob o centro do círculo. Ou seja, quando o centro do círculo está apoiado sobre o suporte, podemos soltar o círculo que ele não cairá em direção à Terra (como havia acontecido na experiência anterior com a moeda), mas permanecerá em repouso equilibrado pelo suporte. Em todas as figuras planas que já analisamos, observa-se que existe um único ponto que deve ficar sobre o suporte para que a figura permaneça parada horizontalmente ao ser solta do repouso. Da experi- ência vem que no caso do retângulo e do paralelogramo este ponto também é o centro destas figuras, como ocorreu com o círculo, Figura 4.3.

X X X

Figura 4.3: O círculo, o retângulo e o paralelogramo só permanecem em repouso quando os suportes estão sob seus centros.

Como curiosidade histórica vale informar que Arquimedes foi o primeiro a demonstrar teoricamente que o centro de gravidade dos círculos coincide com o centro dos círculos, e que o centro de gravidade dos paralelogramos (retângulos e quadrados são casos particulares de paralelogramos) é o ponto de cruzamento de suas diagonais. No Lema 7 de O Método, por exemplo, afirma: “O centro de gravidade de um círculo é o ponto que também é o centro [do círculo],” [Arc02, Suplemento, pág. 15]. Proposição 9 de seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos: “Em todo paralelogramo o centro de gravidade está situado sobre a reta ligando os pontos médios dos lados opostos do paralelogramo,” ver o Apêndice B. Proposição 10 deste trabalho: “Em todo paralelogramo o centro de gravidade é o ponto de encontro das diagonais.”

Estes corpos ficaram equilibrados apenas quando o suporte estava sob seus centros, sendo que o equilíbrio está ligado com a gravidade terrestre. Uma primeira idéia seria a de chamar os centros dos corpos de seus “centros de gra- vidade.” A partir do resultado da próxima experiência e de sua análise veremos que vai ser necessário alterar esta definição. Mas por hora pode-se dizer destas experiências que apenas quando os corpos são apoiados por seus centros eles permanecerão em equilíbrio ao serem soltos do repouso. Fazemos então uma primeira definição provisória:

Definição Provisória CG1: Chamamos de centro de gravidade de um corpo ao seu centro geométrico. Ele ponto será representado nas figuras pelas

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letras CG.

Experiência 4.3

Equilibramos agora um triângulo qualquer sobre o suporte. Pode ser um triângulo eqüilátero, isósceles ou escaleno. Como exemplo concreto vamos con- siderar o triângulo isósceles de base a e altura b que já foi recortado em papel cartão (a = 6 cm e b = 12 cm). Este triângulo possui seus quatro pontos notáveis bem separados. Utilizamos agora um apoio de palito de churrasco como suporte inferior. Assim podemos verificar claramente onde fica o ponto de equilíbrio do triângulo quando ele é solto do repouso, colocado em um plano horizontal, apoiado apenas em uma pequena região pelo suporte. Vemos que os triângulos sempre caem, exceto quando são apoiados pelo baricentro, ver a Figura 4.4. Mesmo quando são apoiados pelo circuncentro, pelo ortocentro, pelo incentro ou por qualquer outro ponto (que não seja o baricentro), vem da experiência que os triângulos caem.

IC B O

Figura 4.4: Só podemos equilibrar um triângulo horizontal ao apoiá-lo pelo baricentro.

Novamente, Arquimedes foi o primeiro a demonstrar teoricamente que o centro de gravidade de qualquer triângulo coincide com a intersecção das medi- anas. Vejamos a Proposição 13 de seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos: “Em todo triângulo, o centro de gravidade está situado sobre a reta ligando um vértice ao ponto médio do lado oposto,” ver o Apêndice B ao final deste livro. Proposição 14: “Em todo triângulo o centro de gravidade é o ponto de encontro das linhas retas ligando os vértices do triângulo aos pontos médios dos lados [opostos].”

Será que podemos dizer que o baricentro de um triângulo é seu centro geo- métrico? Todo triângulo possui um centro geométrico? Para responder a esta pergunta precisamos saber o que entendemos por centro geométrico. Intuitiva- mente pensamos no centro geométrico como sendo algum ponto de simetria do

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corpo. Para quantificar esta idéia qualitativa de simetria, podemos pensar no centro X de um retângulo. Vamos pensar em uma reta AXB passando por X , inclinada de um ângulo θ em relação à base e dividindo o retângulo em duas partes de áreas A1 e A2, Figura 4.5.

A2A1

A

B

X

θ

Figura 4.5: O centro geométrico X de um retângulo: Igualdade entre os seg- mento AX e XB, assim como igualdade entre as áreas A1 e A2, para qualquer ângulo θ.

Existem dois critérios pelos quais podemos dizer que X é o centro geométrico do retângulo. (I) A reta AXB é sempre dividida em dois segmentos iguais pelo ponto X . Ou seja, AX = XB, para todo ângulo θ. (II) A reta AXB sempre divide o retângulo em duas áreas iguais. Isto é, A1 = A2, para todo ângulo θ. Estas duas propriedades não vão ocorrer para qualquer outro ponto do retângulo, somente para seu centro X . Representemos por P um outro ponto qualquer do retângulo, diferente do seu centro X . Um segmento de reta APB pode ser dividido ao meio pelo ponto P quando esta reta está inclinada de um certo ângulo θI em relação à base do retângulo, mas isto deixará de ser válido quando alteramos a inclinação da reta. Um outro segmento reta CPD pode dividir o retângulo em duas áreas iguais quando esta reta está inclinada de um certo ângulo θII em relação à base do retângulo mas, novamente, isto deixará de ser válido quando alteramos a inclinação desta reta. Concluímos então que o retângulo possui um único centro, o mesmo ocorrendo com um círculo e com algumas outras figuras simétricas como um paralelogramo ou uma elipse.

Por outro lado, os critérios (I) e (II) do parágrafo anterior não são verificados para qualquer ponto P de um triângulo dado. Ou seja, dado um triângulo qualquer, não vai existir nenhum ponto PI pertencente a ele tal que todas as retas passando por PI satisfaçam ao critério (I). Também não vai existir nenhum ponto PII pertencente ao triângulo tal que todas as retas passando por PII satisfaçam ao critério (II). Neste sentido pode-se dizer que nenhum triângulo possui um centro geométrico, sendo que todo triângulo possui apenas quatro pontos notáveis.

Para ilustrar isto vamos considerar o triângulo isósceles V1V2V3 de base a e altura b. A área deste triângulo vale ab/2. A mediana ligando o centro da base ao vértice superior V2 é dividida ao meio por um ponto P localizado a uma distância b/2 da base e do vértice superior. Um segmento de reta paralelo à

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base passando por P e limitado pelos lados do triângulo também é dividido ao meio por P . Por outro lado, o segmento de reta V1PQ (onde Q é o ponto sobre a reta V2V3 cortada pela reta que passa por V1 e por P ) não é dividido ao meio por P , ver a Figura 4.6. Ou seja, o critério (I) não é satisfeito por P .

Também o critério (II) não é satisfeito por P . Embora a reta passando por V2 e por P divida o triângulo em duas partes de áreas iguais, a reta paralela à base passando por P não divide o triângulo em duas partes de áreas iguais. O triângulo superior possui apenas um quarto da área total, enquanto que o trapézio inferior possui três quartos da área total, Figura 4.6.

Q

V1 V3

V2

P

a

P Aa/2

Aa/2 Aa/2

Figura 4.6: Os critérios (I) e (II) não são válidos para qualquer ponto P de um triângulo.

O baricentro B está localizado a uma distância b/3 do ponto médio da base e a uma distância de 2b/3 do vértice superior. Logo de cara observa-se que ele não satisfaz ao critério (I) dado anteriormente. As retas ligando B a qualquer um dos vértices dividem o triângulo em duas partes de áreas iguais. Mas isto já não vai ocorrer, por exemplo, para uma reta paralela à base passando por B, Figura 4.7.

B

B

Figura 4.7: O segmento paralelo à base e passando pelo baricentro divide o triângulo em duas figuras que possuem áreas diferentes.

Neste caso a área do triângulo superior tem o valor de quatro nonos da área total, enquanto que a área do trapézio inferior possui uma área de cinco nonos

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da área total. Para confirmar isto utilizando as propriedades dos triângulos sem fazer as contas, basta recortar nove triângulos isósceles iguais, cada um com uma base de comprimento a/3 e altura b/3 (área de ab/18). Com quatro destes pequenos triângulos conseguimos preencher o triângulo superior e com cinco destes pequenos triângulos conseguimos preencher o trapézio inferior, Figura 4.7.

Mesmo o triângulo mais simétrico de todos, o eqüilátero, não possui um centro geométrico que satisfaça ao critério (I) ou ao critério (II) dados anteri- ormente. Neste caso os quatro pontos notáveis coincidem no baricentro B do triângulo. Já vimos no parágrafo anterior que o baricentro de um triângulo isósceles não satisfaz a nenhum destes critérios. Como o triângulo eqüilátero é um caso particular de um triângulo isósceles, vem automaticamente que o baricentro de um triângulo eqüilátero também não satisfará a nenhum destes critérios. Apesar disto, pode-se dizer que o triângulo eqüilátero possui um cen- tro de simetria dado por C = B = O = I. Embora este ponto não satisfaça aos dois critérios apresentados anteriormente, há uma simetria de rotação (qual- quer característica do triângulo repete-se a cada 120o) ao redor deste ponto. Logo, pode-se dizer que o baricentro de um triângulo eqüilátero é seu centro de simetria.

Concluímos então que um triângulo não possui um centro geométrico de- finido de acordo com os critérios apresentados anteriormente. Apesar disto, vem da experiência que todo triângulo fica equilibrado horizontalmente ao ser apoiado colocando um pequeno suporte sob o baricentro. Isto não ocorre ao colocarmos o suporte sob nenhum outro ponto do triângulo com seu plano na horizontal. Isto sugere que alteremos nossa definição anterior de centro de gra- vidade. Apresentamos a seguir uma segunda definição provisória do centro de gravidade. Ela é mais precisa do que a idéia apresentada anteriormente, de que o CG seria o centro geométrico do corpo.

Definição Provisória CG2: O centro de gravidade é o ponto no corpo tal que se o corpo for apoiado por este ponto e solto do repouso, vai permanecer em equilíbrio em relação à Terra.

Mais adiante teremos de alterar novamente esta definição por um conceito mais geral. Mas por hora ela serve aos nossos propósitos. Das experiências realizadas até aqui vem que todo corpo possui um único ponto tal que se o corpo for colocado sobre um pequeno suporte colocado embaixo deste ponto e solto do repouso, o corpo vai permanecer em equilíbrio, ponto este chamado de centro de gravidade do corpo. Caso o corpo seja solto apoiado por qualquer outro ponto ele não permanecerá em repouso, mas tombará em direção à Terra. Das experiências vem que no caso de círculos, retângulos e paralelogramos este ponto coincide com o centro destes corpos, enquanto que para os triângulos ele coincide com o baricentro.

Uma outra maneira de pensar no centro de gravidade está relacionada ao seu peso. Apenas em uma parte posterior deste livro vamos quantificar esta

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grandeza e mostrar como ela é medida. Mas todos temos uma noção intuitiva do peso de um corpo como sendo uma medida quantitativa da força gravitacional. Dizemos que um corpo A é mais pesado do que um corpo B quando é mais difícil manter A em uma certa altura do solo do que manter B à mesma altura. Esta dificuldade pode ser indicada pelo nosso suor, pelo cansaço que sentimos no braço esticado segurando o corpo, ou na deformação que o corpo A ou B exercem sobre o suporte que os apóia (no caso do suporte ser um corpo flexível como uma mola, por exemplo).

Nas Figuras anteriores vemos que todo o peso do círculo, retângulo, parale- logramo ou do triângulo estão suportados pelo palito de churrasco colocado sob um único ponto debaixo destes corpos. Podemos então apresentar uma nova definição provisória de CG.

Definição Provisória CG3: Chamamos de centro de gravidade de um corpo ao ponto de aplicação da força gravitacional. Ou seja, é o ponto neste corpo onde atua toda a gravidade, o ponto onde se localiza o peso do corpo. Ele também pode ser chamado de centro do peso deste corpo.

O fato de um triângulo não possuir um centro geométrico leva a uma con- clusão importante que será explorada na próxima experiência.

Experiência 4.4

Vimos que nem toda reta que passa pelo baricentro de um triângulo o divide em duas áreas iguais. Como estamos lidando com figuras planas homogêneas, o peso de qualquer parte desta figura é proporcional a sua área. Este fato sugere então uma experiência curiosa. Recortamos em papel cartão um triângulo isósceles de base a e altura b (por exemplo, com a = 6 cm e b = 12 cm). O baricentro está localizado sobre a mediana que liga o vértice superior ao ponto médio da base, a uma distância de 2b/3 do vértice superior. Podemos então cortar este triângulo por uma reta paralela à base passando pelo baricentro, ligando as duas partes apenas pela parte central ao redor do antigo baricentro com um pequeno pedaço de papel cartão. Ou então, podemos retirar duas faixas estreitas paralelas à base de cada lado do baricentro, deixando apenas uma pequena região ao redor do baricentro, Figura 4.8.

Tentamos então equilibrar esta figura com um suporte. O que se observa é que apenas quando o suporte é colocado sob o baricentro o corpo fica em equilíbrio na horizontal. Ou seja, embora a área e o peso do trapézio sejam maiores do que a área e o peso do pequeno triângulo que vai do vértice superior à reta passando pelo baricentro, sendo que cada uma destas duas partes tenderia a cair em direção à Terra se não estivessem ligadas rigidamente, o conjunto permanece em equilíbrio. Concluímos então que o centro de gravidade não é, necessariamente, o ponto que divide o corpo em duas áreas iguais ou em dois pesos iguais. Discutiremos este aspecto com uma profundidade bem maior em outras partes deste livro.

Experiência 4.5

55

B

Figura 4.8: O triângulo horizontal continua equilibrado por uma vareta verti- cal colocada sob seu baricentro quando retiramos duas faixas paralelas à base, embora a área do triângulo menor seja menor do que a área do trapézio.

Existe outra maneira de fazer esta experiência sem cortar o triângulo. Pega- se o triângulo original de papel cartão de base a e altura b, e ele é equilibrado na horizontal ao apoiá-lo sobre a borda de uma régua que está em um plano vertical, com a borda paralela à base do triângulo, passando pelo seu baricentro, Figura 4.9. O plano vertical passando pela régua divide o triângulo em duas áreas diferentes e, portanto, em dois pesos diferentes. Apesar disso, o triângulo permanece em equilíbrio apoiado pela régua, embora tenha liberdade para girar ao redor da borda da régua.

B B

Figura 4.9: O triângulo horizontal fica equilibrado sobre uma reta vertical co- locada sob seu baricentro.

4.2 Experiências com Figuras Côncavas ou com

Buracos

Recortamos agora no papel cartão algumas figuras côncavas como a letra C, uma Lua em quarto crescente, um boomerang etc. Também devem ser recortadas

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algumas figuras com buracos como uma arruela de papel cartão (também pode ser facilmente adquirida uma arruela metálica). Para facilitar o corte do círculo interno da arruela feita de papel cartão, pode-se fazer um corte radial entre o círculo externo e o círculo interno. Mas se utilizarmos uma tesoura pontuda este último procedimento é desnecessário. Os diâmetros externos de todas estas figuras podem ser de 8 cm ou de 10 cm, por exemplo, com os diâmetros internos da ordem de 4 cm ou de 6 cm. Mas estes tamanhos não são tão relevantes. Para as experiências seguintes é bom que sejam recortadas no papel cartão pelo menos duas figuras iguais de cada modelo (duas letras C do mesmo formato e tamanho, duas Luas, duas arruelas etc.). Um conjunto destas figuras será utilizado na Experiência 4.6, enquanto que o outro conjunto composto de figuras iguais será utilizado nas experiências posteriores, quando serão prendidas linhas sobre estas figuras com o auxílio de fitas adesivas.

Experiência 4.6

Tenta-se agora equilibrar estas figuras (colocadas com seus planos na hori- zontal) colocando-as sobre o suporte, como foi feito com o retângulo ou com o triângulo. Observa-se que não conseguimos equilibrar nenhuma delas. Ou seja, elas sempre caem, não importando o ponto sob o qual colocamos o suporte. Isto está exemplificado na Figura 4.10a no caso da arruela. Ela também cai ao ser solta em um plano horizontal com o palito vertical do suporte ao longo do seu eixo de simetria, ou seja, passando ao longo da parte oca da arruela e de seu centro geométrico.

Figura 4.10: (a) A arruela cai quando tentamos suportá-la horizontalmente, ou (b) verticalmente pela borda inferior. (c) Mas podemos mantê-la verticalmente em equilíbrio apoiando-a por uma vareta horizontal que a suporta pelo diâmetro menor da arruela.

Mesmo se tentarmos equilibrar estas figuras sobre uma borda, deixando-as em um plano vertical, não temos sucesso, elas continuam caindo do suporte. Isto está ilustrado na Figura 4.10b no caso de uma arruela. Ou seja, a arruela vai tombar para um lado ou para outro, já que é muito fina e não fica parada em um plano vertical apoiada apenas pela borda inferior.

A única maneira de conseguir deixá-las equilibradas a uma certa altura do solo é mantendo o palito na horizontal, apoiando as figuras em um plano ver- tical, com o palito atravessando um buraco nos corpos, ou apoiando alguma

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parte côncava das figuras. Na Figura 4.10c ilustramos como a arruela pode ser equilibrada em um plano vertical por um palito horizontal.

Diante desta experiência a primeira possibilidade é afirmar que existem al- guns corpos ocos ou com buracos que não possuem um centro específico de gravidade, mas sim toda uma linha de gravidade. No caso da arruela, por exemplo, ela fica apoiada em qualquer ponto de sua circunferência interior, mas não fica apoiada quando o palito é colocado exatamente no centro vazio (que é o centro geométrico da arruela). Se formos seguir a definição CG2 rigorosamente, deveríamos dizer que a arruela possui uma linha de gravidade, sua circunferência interior, mas que não possui um centro de gravidade.

O mesmo pode ser dito em relação à definição CG3. Afinal de contas, o palito na Figura 4.10c está mantendo ou suportando todo o peso da arruela quando a apóia por algum ponto da circunferência interna. Mas o palito não consegue suportar a arruela quando a ponta do palito está sobre o centro vazio da arruela, estando a arruela na horizontal ou na vertical, sem que nenhuma parte do palito toque em qualquer parte material da arruela. Vemos então que se formos seguir a definição CG3 rigorosamente, deveríamos dizer que a arruela possui uma linha de peso ou de gravidade (ou seja, sua circunferência interna), mas não um centro de gravidade.

A outra possibilidade é afirmar que nem sempre o centro de gravidade está “no corpo,” ou seja, nem sempre ele está localizado em alguma parte material do corpo. Nestes casos o centro de gravidade poderia estar localizado no es- paço vazio em algum ponto que guarda uma certa relação espacial com o corpo (como o centro geométrico da arruela, por exemplo), mesmo sem estar ligado fisicamente ao corpo.

Se seguirmos esta última possibilidade teremos de alterar nossa definição CG2 de centro de gravidade e também teremos de encontrar alguma outra maneira de encontrar experimentalmente o centro de gravidade nestes casos especiais. Um procedimento para isto é apresentado na próxima experiência.

Experiência 4.7

Prendemos com pequenas fitas adesivas duas linhas de costura na arruela, esticadas, como se fossem dois diâmetros cruzando-se no centro. Neste caso conseguimos equilibrar a arruela quando o suporte é colocado sob o cruzamento das linhas, como na Figura 4.11. Também no caso da Lua ou da letra C é possível encontrar, por tentativa e erro, um ponto tal que quando duas linhas esticadas, presas por fitas adesivas, se cruzam neste ponto, o corpo fica equilibrado na horizontal com o suporte colocado sob o cruzamento das linhas.

Se seguirmos a segunda possibilidade, temos de generalizar nossa definição CG2 de centro de gravidade para incluir estes casos especiais. Uma definição mais geral é apresentada a seguir.

Definição Provisória CG4: Chamamos de centro de gravidade ao ponto no corpo ou fora dele tal que se o corpo for apoiado por este ponto e solto do repouso, vai permanecer em equilíbrio em relação à Terra. Nos casos em

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Figura 4.11: A arruela pode ser equilibrada por seu centro utilizando duas linhas de costura esticadas.

que este ponto está localizado fora do corpo, é necessário que seja estabelecida alguma ligação material entre este ponto e o corpo, para que o corpo permaneça em equilíbrio ao ser solto do repouso apoiado sob este ponto.

Esta definição não deixa de ser problemática já que quando fazemos esta ligação material rígida (como as linhas presas com fitas adesivas) estamos al- terando o corpo original. Mas desde que o peso desta ligação material seja pequeno comparado com o peso do corpo, é razoável adotar este procedimento. No caso anterior, por exemplo, poderíamos ter o peso conjunto das duas linhas e dos quatro pedaços de fita adesiva sendo muito menor do que o peso da arruela de papel cartão ou de metal.

Mesmo assim ainda surge um outro problema com esta definição, como ve- remos nas próximas experiências.

Experiência 4.8

Colocamos agora duas linhas bambas, de mesmo comprimento, presas à ar- ruela por fitas adesivas. O comprimento das linhas deve ser maior do que o diâmetro externo da arruela. Elas estão presas do mesmo jeito e nos mesmos locais que na experiência anterior. Ou seja, a reta ligando as duas fitas adesi- vas que prendem cada linha passa pelo centro geométrico da arruela. A única diferença é o comprimento das linhas, que são bem maiores nesta experiência. Neste caso também conseguimos equilibrar o conjunto com o suporte, só que agora o ponto de encontro entre o cruzamento das linhas e a parte superior do suporte está ao longo do eixo de simetria da arruela e não mais no seu centro geométrico, Figura 4.12.

Caso sigamos a segunda possibilidade descrita anteriormente (ou seja, de que o CG não precisa estar no corpo, podendo localizar-se no espaço vazio), temos de concluir que a arruela não possui apenas um centro de gravidade, mas um conjunto infinito deles localizados ao longo do seu eixo de simetria. Ou seja,

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Figura 4.12: A arruela também pode ser equilibrada por um ponto ao longo do seu eixo de simetria utilizando linhas compridas.

todo o eixo de simetria da arruela poderia ser chamado de seu “eixo ou linha de gravidade.” E isto tanto de acordo com a definição CG3 quanto de acordo com a definição CG4.

Experiência 4.9

A definição CG3 também apresenta problemas com corpos côncavos, ocos ou com buracos. De acordo com esta definição o centro de gravidade é o ponto de aplicação da força gravitacional, ou seja, o ponto neste corpo onde atua toda a gravidade. A gravidade sempre atua na matéria, está ligada a uma interação entre os corpos materiais e a Terra. Sabemos que o CG de uma arruela é seu centro geométrico (isto será visto em mais detalhes a seguir). Seria difícil dizer que o ponto de aplicação da força gravitacional no caso de uma arruela estaria atuando no vazio onde está seu centro. O peso não pode estar atuando no vazio, sendo esta uma dificuldade conceitual com esta definição.

Uma maneira de ilustrar isto aparece na Figura 4.13. Neste caso a arruela está apoiada por cima. Podemos passar um palito por seu centro que nenhuma força será exercida sobre o palito. Isto é, não haverá força sobre ele ao chegar ao centro da arruela, nem ao passar pelo centro. Em vez do palito pode-se também passar uma mola fina pelo centro da arruela que nenhuma força será exercida sobre a mola. Isto é, ela não será comprimida nem esticada ao passar pelo centro da arruela apoiada por cima. Fica então difícil defender a idéia de que todo o peso da arruela está atuando em seu centro geométrico.

Um outro problema com a definição CG3 aparece na próxima experiência.

Experiência 4.10

Como veremos adiante, o centro de gravidade de uma arruela é seu centro geométrico. Agora deixamos cair a arruela em um plano horizontal, sendo que colocamos abaixo do ponto de partida da arruela um palito vertical alinhado com o eixo de simetria da arruela. Mesmo quando o plano da arruela passa pela extremidade superior do palito vem que nenhuma força é exercida sobre o palito. Isto é, mesmo quando o CG da arruela passa pelo palito vem que ele não é pressionado nem sofre nenhuma compressão, Figura 4.14. O mesmo vai

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Figura 4.13: Um palito não sofre força alguma ao passar pelo centro de uma arruela apoiada por cima.

ocorrer com uma mola vertical colocada em repouso no lugar do palito vertical. Isto é, a mola não vai ser comprimida quando a arruela passa por ela.

v

Figura 4.14: Um palito não é comprimido quando o centro da arruela passa pela extremidade superior do palito.

Por outro lado, vamos agora supor que temos 3 palitos verticais cujas pro- jeções verticais vão coincidir com a parte material da arruela, como na Figura 4.15. Ao soltarmos a arruela em um plano horizontal acima dos palitos vem que eles vão ser pressionados quando a arruela é freada por eles, continuando pressionados enquanto a arruela estiver parada sobre eles. O mesmo vai ocorrer com um sistema de 3 molas verticais no lugar dos 3 palitos verticais. Isto é, as molas vão ser comprimidas quando a arruela horizontal em queda livre tocar ne- las e for sendo freada pelas molas. E elas vão continuar comprimidas enquanto a arruela estiver parada em repouso sobre elas.

Uma das interpretações destas experiências é que não há de fato nenhum peso efetivo atuando no centro vazio de uma arruela em queda livre, embora este centro vazio seja seu centro de gravidade, como veremos adiante. Isto de certa forma contraria a definição CG3. O peso só estaria atuando efetivamente na parte material da arruela.

Por estes motivos a definição CG3 deveria ser alterada. Por exemplo, para algo como:

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Figura 4.15: Os 3 palitos são comprimidos quando a arruela em queda é freada por eles, continuando a ser pressionados enquanto ela permanecer em repouso sobre eles.

Definição Provisória CG5: O centro de gravidade é um ponto no corpo ou fora dele que se comporta como se toda a força gravitacional estivesse atuando neste ponto. Nos casos em que este ponto está localizado fora do corpo, é necessário que seja estabelecida alguma ligação material entre este ponto e o corpo para que se perceba ou se meça toda a força gravitacional atuando neste ponto.

Esta é uma definição bem razoável. A dificuldade maior está na localização deste ponto a partir desta definição. Vamos analisar, por exemplo, o caso da arruela com linhas compridas, Figura 4.12. Ela é suportada pelas quatro fitas adesivas. Já estas fitas adesivas são suportadas pelas duas linhas esticadas que, por sua vez, são apoiadas no cruzamento entre elas pelo palito de churrasco ou pelo gancho acima do cruzamento das linhas. Ou seja, é como se todo o peso da arruela estivesse sendo suportado, indiretamente, por pontos localizados ao longo do eixo de simetria da arruela (isto é, no cruzamento das duas linhas esticadas), mas não necessariamente no centro da arruela, desde que se utilizem linhas presas ao corpo. Neste caso deveria ser falado em linha de gravidade ou linha do peso, em vez de centro de gravidade ou centro do peso.

Dificuldades análogas com a definição CG5 ocorrem nas Experiências 4.9 e 4.10.

Nas próximas experiências veremos um outro problema que surge mesmo com as definições mais gerais do centro de gravidade representadas por CG4 e por CG5.

4.3 Experiências com Corpos Volumétricos

Até o momento temos feito experiências com figuras “planas.” Na verdade todo corpo material é tridimensional. Quando afirmamos que a figura é plana, o que queremos dizer é que sua espessura é muito menor do que as outras dimen- sões envolvidas no problema (a espessura d do retângulo de papel cartão, por

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exemplo, é muito menor do que os comprimentos a e b de seus lados). Vamos agora realizar experiências com corpos cujas três dimensões espaciais possuem tamanhos da mesma ordem de grandeza.

Os corpos que vamos utilizar são um cubo ou dado de faces planas, uma esfera, uma porca metálica e um ovo. Quando os corpos são leves usaremos a massa de modelar e o palito de churrasco como suporte. No caso do ovo (ou de esferas pesadas) pode-se usar a própria mesa como suporte já que o corpo sempre vai ficar apoiado apenas por uma pequena região devido à sua forma convexa em todos os pontos.

Experiência 4.11

Apóiam-se estes corpos sobre um suporte e observam-se em quais pontos eles ficam em equilíbrio. No caso do cubo de faces planas encontram-se seis pontos de equilíbrio, a saber, os centros das seis faces, Figura 4.16.

Figura 4.16: Um cubo pode ser apoiado pelos centros de suas 6 faces, enquanto que um ovo pode ser apoiado sobre uma mesa por qualquer ponto da circunfe- rência representada nesta Figura.

Também no caso da porca metálica encontram-se seis pontos de equilíbrio, os centros dos seis lados exteriores. Além disso, utilizando o procedimento das linhas de costura que se cruzam (método empregado no caso da arruela), mostra-se que todos os pontos ao longo do eixo de simetria da porca também são pontos de equilíbrio. Ela também fica equilibrada em qualquer ponto ao longo da circunferência interna, ou da superfície cilíndrica interna, se o palito de churrasco estiver na horizontal.

Já a esfera fica equilibrada em todos os pontos de sua superfície. A esfera possui, portanto, um número infinito de pontos de equilíbrio.

O caso mais interessante é o do ovo, que possui toda uma linha de equilí- brio. Esta linha é uma circunferência sobre a casca, sendo que o plano desta circunferência é perpendicular ao eixo de simetria do ovo, Figura 4.16.

Desta experiência conclui-se que muitos corpos geométricos possuem mais de um centro de gravidade, tanto se seguirmos a definição CG2 quanto as definições CG3, CG4 ou CG5. O cubo, por exemplo, possuiria seis destes centros, o ovo toda uma linha e a esfera toda sua superfície. A porca oca possuiria seis destes centros, mais sua circunferência interna, além de todos os pontos de seu eixo de simetria. Para sermos coerentes com esta descoberta, deveríamos falar de

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pontos, linhas ou superfícies de gravidade, em vez de falarmos de um “centro” de gravidade para cada corpo.

4.4 Fio de Prumo, Vertical e Horizontal

Felizmente existe um outro procedimento experimental ligado à gravidade que nos permite encontrar um único ponto específico ligado ao equilíbrio de cada corpo rígido. A partir deste segundo procedimento experimental pode-se chegar a uma outra definição do centro de gravidade que evita os problemas anteriores e que ainda mantém um significado físico importante. Como este procedimento utiliza um fio de prumo, apresentamos inicialmente este instrumento e os con- ceitos de pontos de apoio e de suspensão.

Antes algumas definições.

• Fio de Prumo: Qualquer fio ou linha dependurados pela extremidade superior, que fica fixa em relação à Terra, e que possui um corpo preso na extremidade inferior. O fio de prumo tem de ser livre para oscilar ao redor da extremidade superior, Figura 4.17.

• Ponto de apoio, representado em algumas Figuras pelas letras PA: Ponto sobre o qual o corpo se apóia, como a extremidade superior do palito de churrasco utilizado nos suportes das experiências descritas anteriormente.

• Ponto de suspensão ou de sustentação, representado em algumas Figuras pelas letras PS: Ponto por onde o corpo é suspenso ou depen- durado, como veremos nas próximas experiências (muitas vezes coincidirá com a posição do alfinete que sustentará o corpo e o fio de prumo).

A parte superior do fio de prumo pode ser segurada pelos dedos, pode ser amarrada a uma barra ou a um gancho etc. Nas nossas experiências vamos prendê-la ao suporte. Espetamos um alfinete na parte superior do palito de churrasco usado como suporte nas experiências iniciais. Poderíamos então sim- plesmente amarrar no alfinete uma linha de costura com um peso na ponta. Mas como vamos ter de colocar e tirar o fio de prumo diversas vezes do alfi- nete, o ideal é fazer um pequeno laço na parte superior da linha. Na parte inferior amarramos um chumbo de pesca ou um pedaço de massa de modelar. O instrumento a ser usado nas experiências é indicado na Figura 4.17.

Uma das vantagens desta montagem é que ela ainda permite que se repitam as experiências anteriores em que apoiamos figuras planas na parte superior do palito de churrasco. Para que o alfinete não atrapalhe a repetição das experi- ências iniciais, ele não deve ficar bem no topo do palito de churrasco, mas um pouco abaixo de sua extremidade superior. Além disso, para que as figuras de papel cartão não fiquem escorregando do alfinete, é recomendável que ele fique um pouco inclinado, com sua cabeça um pouco mais alta do que sua ponta espetada no palito.

64

Figura 4.17: Fio de prumo.

Caso se deseje realizar separadamente experiências apenas com o fio de prumo, pode-se também simplesmente amarrar o fio de prumo a um palito de churrasco na horizontal. Neste caso evita-se a utilização do alfinete, que pode ser perigoso no caso de se realizar estas experiências com crianças. O palito de churrasco fica na horizontal apoiado sobre uma mesa, com metade dele sobre a mesa e a outra metade para fora dela. A parte que fica sobre a mesa é apoiada por cima com um livro ou com outro corpo. O fio de prumo fica dependurado na parte do palito que está para fora da mesa, livre para oscilar, como na Fi- gura 4.18. A figura geométrica é então apoiada pelo próprio palito de churrasco, quando o palito atravessa um furo feito na figura, em vez de ser apoiada pelo alfinete.

Figura 4.18: Fio de prumo.

Uma outra possibilidade muito prática é usar como suporte uma linha ou barbante preso na parte superior a uma barra ou cabo de vassoura fixado na horizontal, [Gas03, pág. 138]. Na parte inferior da linha coloca-se um anzol ou gancho no qual será dependurada a figura plana (passando o gancho pelo furo feito na figura de papel cartão) e o fio de prumo, Figura 4.19.

Experiência 4.12

Pendura-se o fio de prumo no suporte pelo seu laço superior e espera-se que

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Figura 4.19: Fio de prumo.

ele atinja o repouso em relação à Terra. Depois deixa-se cair ao solo a partir do repouso um pequeno corpo como uma moeda, solta próxima ao fio de prumo. Com isto pode-se observar que a direção de queda do corpo é paralela à direção indicada pelo fio de prumo, Figura 4.20.

Esta é então a principal utilidade do fio de prumo. Ou seja, quando ele está parado em relação à Terra ele indica a direção vertical. Neste sentido ele é melhor do que um corpo em queda livre para indicar a direção vertical, pois o fio de prumo é uma reta visível e permanentemente estável (exceto quando há correntes de vento etc.). Os pedreiros utilizam bastante um fio de prumo (um pequeno peso amarrado a um barbante) para saber se uma parede sendo levantada está ou não na vertical. Para isto colocam o fio de prumo ao lado da parede e verificam se o plano da parede é ou não paralelo ao fio de prumo.

Para encontrar a direção horizontal utilizam-se três métodos principais. É comum ver os pedreiros, por exemplo, empregarem qualquer uma das três ma- neiras descritas a seguir.

A) Inicialmente obtém-se a vertical, V , com o auxílio de um fio de prumo. Depois coloca-se um esquadro grande encostado e paralelo ao fio de prumo. A direção ortogonal ao fio indicada pelo esquadro é então, por definição, a direção horizontal, H , Figura 4.20.

V H

V

Figura 4.20: Encontrando a vertical (V) e a horizontal (H) com a queda de um corpo e com o fio de prumo.

B) Utiliza-se um nível de bolhas. Usualmente ele é constituído na forma de um paralelepípedo com um pequeno recipiente cilíndrico transparente cheio de líquido e com uma bolha. Há duas marcações ao longo do eixo do cilindro, colocadas simetricamente em relação ao centro. Coloca-se o nível de bolhas

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sobre uma superfície. Quando a bolha fica no meio da marcação que existe no recipiente com líquido, a superfície está na horizontal, Figura 4.21.

H

Figura 4.21: Encontrando a horizontal com um nível de bolha.

Quando a bolha fica em uma das extremidades do recipiente, a superfície não está na horizontal, sendo que o lado onde se localiza a extremidade da bolha está mais levantado em relação à Terra do que a extremidade oposta do nível, como na Figura 4.21. O funcionamento do nível de bolhas é baseado na ação da gravidade e no princípio do empuxo devido a Arquimedes, [Ass96].

C) Utiliza-se uma grande mangueira transparente aberta nas duas extre- midades e preenchida parcialmente com um líquido como água. Mantém-se a mangueira parada em relação à Terra e aguarda-se que o líquido também atinja o repouso. A reta unindo as duas superfícies livres do líquido indica a direção horizontal, como na Figura 4.22. O funcionamento desta mangueira é baseado no equilíbrio de líquidos sob a ação da gravidade.

H

Figura 4.22: Encontrando a horizontal com uma mangueira transparente aberta nas duas extremidades.

Apenas como curiosidade vale mencionar aqui a maneira como os pedreiros constroem paredes ortogonais ou, como afirmam, paredes que estejam no esqua- dro. Depois de construída uma parede, marcam sobre ela dois pontos separados horizontalmente de quatro metros, A e B. O primeiro ponto, A, está na extre- midade da parede a partir da qual se quer construir a outra parede. Feito isto tentam encontrar um terceiro ponto C tal que a distância entre A e C seja de 3 m e a distância entre B e C seja de 5 m. Quando encontram este ponto, a reta ligando AC é então ortogonal à reta AB, como na Figura 4.23. Em vez de uti- lizarem estas distâncias específicas, podem usar qualquer múltiplo delas (como 30 cm, 40 cm e 50 cm). Por trás deste método está o teorema de Pitágoras. Ou seja, em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. E um triângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m satisfaz a este

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teorema, assim como qualquer triângulo cujos lados sejam proporcionais a estes valores.

CA

B

Figura 4.23: Maneira prática de traçar retas ortogonais.

4.5 Segundo Procedimento Experimental para se

Encontrar o Centro de Gravidade

O primeiro método para encontrar o centro de gravidade foi descrito nas ex- periências anteriores. Isto é, equilibra-se círculos, paralelogramos e triângulos horizontalmente em cima de um palito de churrasco na vertical. Esta é a maneira mais simples e intuitiva de entender o que é o centro de gravidade. Com este procedimento também se pode perceber que ele é um ponto único no corpo. A experiência mostra que estes corpos só permanecem em equilíbrio na horizontal quando apoiados por um único ponto chamado de CG. Mas haviam problemas conceituais com este enfoque, como vimos anteriormente. Voltamos agora a estas figuras planas e realizamos outro conjunto de experiências.

Apresentamos agora o segundo método para encontrar o centro de gravidade que evita os problemas apresentados anteriormente. Vamos usar figuras planas iguais às anteriores, de mesmo formato e tamanho. Vamos fazer em cada figura dois ou três furos circulares. As figuras podem ser perfuradas com pregos ou com furadores de papel. Os diâmetros dos furos devem ser pequenos comparados com as dimensões das figuras para que não alterem muito os pesos nem as distribuições de matéria das figuras, mas grandes o suficiente para que possamos dependurar com folga estas figuras no alfinete ou no gancho onde também será dependurado o fio de prumo. Ou seja, não deve haver muito atrito entre o alfinete e as figuras. A figura deve poder girar livremente ao redor do alfinete e neste sentido o furo não pode ser muito apertado, devendo ser maior do que o diâmetro do alfinete. Furadores de papel funcionam muito bem para fazer os furos circulares em figuras de papel cartão com dimensões maiores do que 5 cm. Estes furos permitem um movimento livre tanto quando se passa um alfinete por eles, quanto no caso em que são atravessados por um palito de churrasco. Outra vantagem dos furadores de papel é que os furos saem bem circulares, evitando imperfeições e diminuindo o atrito com o suporte. Existem alguns furadores

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de papel com um único furo que são extremamente úteis e práticos, como o apresentado na Figura 4.24.

Figura 4.24: Furador de papel com um único furo.

Experiência 4.13

Pega-se um círculo de papel cartão igual ao utilizado nas experiências an- teriores e faz-se um pequeno furo circular em uma posição qualquer do círculo que não coincida com seu centro. Dependura-se este círculo no alfinete que está fincado no suporte, com o alfinete passando pelo furo. Ou seja, com o alfinete na horizontal, o plano do círculo ficará na vertical. Coloca-se o fio de prumo no alfinete e espera-se que ele atinja o equilíbrio. Solta-se o círculo a partir do repouso e espera-se que ele atinja o equilíbrio. Observa-se que ele não fica parado em todas as posições em que é solto, a não ser que seja liberado em uma posição preferencial na qual o centro X está verticalmente abaixo do alfinete, Figura 4.25a.

Caso seja solto do repouso com o centro fora da vertical passando pelo alfi- nete, observa-se que o centro vai oscilar ao redor desta vertical até parar devido ao atrito, Figura 4.25b.

Quando o círculo pára de oscilar, observa-se que seu centro X fica vertical- mente abaixo do alfinete.

Em vez de pendurar o círculo no alfinete, pode-se também amarrar o círculo com uma linha passando pelo furo. A parte superior da linha é então presa a um suporte fixo que fica acima do círculo. Também neste caso observam-se os mesmos fenômenos que no caso anterior, desde que o círculo tenha a liberdade de girar em qualquer sentido ao redor do ponto onde está amarrado.

Podemos agora apresentar o segundo procedimento experimental para se encontrar o centro de gravidade

Dependura-se o círculo pelo furo, soltando-o do repouso. Depois que o círculo oscilou e atingiu o repouso, dependura-se no mesmo alfinete o fio de prumo junto ao círculo e novamente espera-se que o sistema atinja o equilíbrio. Traça-se então com um lápis sobre o círculo a reta vertical que coincide com a direção indicada pelo fio de prumo. Vamos chamá-la de PS1E1 onde PS1 é o ponto de

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X

PS X

PS

Figura 4.25: O círculo permanece em repouso após ser solto do repouso depen- durado pelo ponto de suspensão PS apenas na posição preferencial na qual o centro X está verticalmente abaixo do PS. Caso seja solto com seu centro fora da vertical passando pelo PS, o centro vai oscilar ao redor desta vertical.

X

PS1

E1

X

PS2

E2

E1

PS1

Figura 4.26: Segundo procedimento experimental para achar o CG de um cír- culo.

suspensão indicado pelo alfinete e E1 é a extremidade inferior do corpo ao longo desta vertical, Figura 4.26.

Retira-se o fio de prumo e o círculo do alfinete e faz-se agora um segundo furo no círculo. Este segundo furo deve estar fora da reta PS1E1. Vamos chamá-lo de PS2. Dependura-se o círculo no alfinete passando por PS2, coloca-se no alfinete o fio de prumo junto ao círculo, espera-se o sistema entrar em equilíbrio, e traça- se uma nova reta sobre o círculo coincidindo com a direção indicada agora pelo fio de prumo. Vamos chamá-la de PS2E2, onde E2 é a extremidade inferior do círculo ao longo desta nova vertical, Figura 4.26b.

Observa-se que as duas retas PS1E1 e PS2E2 cruzam-se em um ponto que coincide com o centro do círculo. Caso seja feito um terceiro furo que não esteja ao longo destas duas retas e o procedimento for repetido, vai se verificar que também a terceira vertical PS3E3 vai passar pelo centro do círculo. Na prática é bom que sejam de fato traçadas três ou mais retas pois isto permite que

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se encontre o ponto de cruzamento com maior precisão. E este procedimento também vai mostrar que todas as retas se cruzam em um único ponto.

Nem sempre a coincidência é perfeita. Uma parte pequena dessa imperfeição é devida ao fato de que os dois ou três furos feitos no círculo alteram um pouco seu peso e sua distribuição de matéria. Outro motivo mais relevante é o atrito que surge entre o círculo e o fio de prumo enquanto o sistema está oscilando, antes de atingir o repouso. Às vezes este atrito impede que o fio de prumo fique exatamente na vertical quando se atinge o repouso, pois o fio de prumo pode agarrar em alguma irregularidade da figura. Mas o motivo principal da imperfeição está na dificuldade de se traçar sobre a figura as linhas paralelas à vertical. Temos de prender a linha com os dedos para poder traçar estas retas e neste momento podemos alterar um pouco a direção real indicada pelo fio de prumo.

Mas com um pouco de prática e paciência consegue-se melhorar este pro- cesso. E com isto pode-se afirmar com segurança que o cruzamento das verticais obtidas assim coincide com o centro do círculo.

Experiência 4.14

Repete-se o procedimento da experiência anterior com um retângulo e com um paralelogramo, fazendo-se dois ou três furos em cada figura. Traçam-se as verticais e observa-se que coincidem com os centros geométricos das figuras, Figura 4.27.

B PS1 E1

E2

PS2 X

PS1

E1 E2

PS2

X

PS1

E1 E2

PS2 X

PS2

E2

E1

PS1

Figura 4.27: Segundo procedimento experimental para achar o CG de um re- tângulo, de um paralelogramo, de um triângulo e de uma arruela.

Fazendo o mesmo com um triângulo qualquer se obtém que o cruzamento das verticais coincide com o baricentro do triângulo, Figura 4.27.

Experiência 4.15

Também pode-se obter o CG de uma arruela feita de papel cartão utilizando este procedimento, Figura 4.27d. Observa-se que o cruzamento das verticais coincide com o centro da arruela.

No caso da arruela de papel cartão pode-se repetir o procedimento de fa- zer dois ou três furos e dependurá-la pelo alfinete. Ou então se aproveita que a arruela já é naturalmente oca e pode ser dependurada apoiando a arruela pelo alfinete encostado em algum ponto do diâmetro interno. As verticais são

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traçadas agora sobre a arruela de papel cartão. Novamente, observa-se que os prolongamentos de duas ou três verticais que partem de pontos diferentes da arruela cruzam-se no centro da arruela. Como a figura é oca, os prolongamentos das verticais têm de ser determinados geometricamente. O importante é que se observa que este ponto coincide com o centro de gravidade que havia sido obtido pelas linhas esticadas na Exp. 4.7.

No caso da arruela com as linhas compridas, Exp. 4.8, a vertical que passava pelo cruzamento das linhas no equilíbrio coincidia com a direção do palito de churrasco (ou do fio de prumo) e também com a direção do eixo de simetria da arruela. E este eixo de simetria também passa pelo centro geométrico da arruela.

Experiência 4.16

Repete-se o procedimento com o fio de prumo no caso do papel cartão na forma de Lua em quarto crescente, ou na forma da letra C. Ou seja, neste caso as figuras de papel cartão ficam equilibradas em um plano vertical.

Novamente observa-se que o cruzamento das verticais nestes casos coincide com o resultado da Exp. 4.7 feita com estas figuras equilibradas em um plano horizontal. Na Exp. 4.7 eram utilizadas linhas esticadas horizontais apoia- das por um suporte vertical colocado sob o cruzamento das linhas horizontais esticadas.

Experiência 4.17

Recorta-se agora no papel cartão uma figura plana de forma arbitrária que não tenha qualquer simetria. São feitos dois ou três furos nesta figura. Depois se localiza seu centro de gravidade procurando-se o ponto sob o qual tem de ser colocada a parte superior do palito de churrasco na vertical tal que a figura permaneça em equilíbrio na horizontal ao ser solta do repouso. Marca-se este ponto.

Utiliza-se agora o segundo procedimento de encontrar o centro de gravidade. Ou seja, dependura-se a figura na vertical por um alfinete horizontal que passa por cada um dos furos da figura, aguarda-se que ela atinja o equilíbrio em cada caso, traçam-se as verticais pelos pontos de suspensão e marca-se o encontro destas verticais. Observa-se que o cruzamento destas verticais coincide com o centro de gravidade obtido anteriormente, embora a figura não possua qualquer simetria.

Podemos resumir estas experiências da seguinte maneira. Suspende-se um corpo rígido por um ponto de suspensão PS1, tal que o corpo seja livre para girar em todos os sentidos ao redor deste ponto. Para cada ponto PS vai existir uma posição preferencial tal que o corpo vai permanecer em equilíbrio ao ser solto do repouso. Caso ele não seja solto nesta posição preferencial, ao ser solto do repouso o corpo vai executar um movimento oscilatório ao redor da vertical passando por PS, até parar devido ao atrito. Depois que o corpo atingiu o equilíbrio, traça-se uma vertical passando por PS1. Escolhe-se então

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um segundo ponto PS2 que não esteja ao longo da primeira vertical e repete- se o procedimento. Vem da experiência que estas duas verticais obtidas desta maneira se encontram em um ponto. O mesmo vai ocorrer quando o corpo é suspenso por qualquer outro ponto PS. Ou seja, todas as verticais que passam pelos pontos de sustentação quando o corpo está em equilíbrio se cruzam em um único ponto.

Estes fatos permitem uma definição bem geral apresentada a seguir.

Definição Prática CG6: Centro de gravidade de um corpo é o ponto de encontro de todas as verticais passando pelos pontos de suspensão do corpo quando ele está em equilíbrio e tem liberdade para girar ao redor destes pontos.

O procedimento detalhado para se encontrar o centro de gravidade traçando as verticais passando por cada ponto de suspensão já foi apresentado anterior- mente. Ele está ilustrado na Figura 4.28 para um corpo de forma arbitrária.

CG

PS2

E2

E1

PS1

Figura 4.28: Segundo procedimento experimental para achar o CG de uma figura de forma arbitrária.

Vem da experiência que o centro de gravidade é único para cada corpo. Além disso, ele não precisa coincidir com nenhum ponto material do corpo, como vimos no caso de figuras côncavas ou com buracos. É importante enfatizar nesta definição que o corpo tem de ter liberdade para girar ao redor do ponto de suspensão. Podemos manter uma régua homogênea em equilíbrio com seu lado mais comprido na horizontal, por exemplo, segurando-a por uma de suas extremidades, desde que a prendamos com força nesta extremidade, impedindo- a de girar. Neste caso não podemos traçar a vertical pelo ponto de suspensão já que ela não está livre para girar. Caso lhe seja dada liberdade para girar, ela não vai permanecer nesta posição ao ser solta do repouso, mas vai girar até ficar com seu eixo maior na vertical. Outro aspecto relevante a enfatizar é que as verticais que vão ser utilizadas para encontrar o CG só devem ser traçadas depois que o corpo estiver em equilíbrio, ou seja, com todas as suas partes paradas em relação à Terra. Não se deve traçar nenhuma vertical enquanto ele estiver oscilando ao redor da posição de equilíbrio. Tudo isto está explícito na definição anterior, mas quisemos chamar atenção para estes pontos.

Esta última definição do centro de gravidade é bem mais abstrata do que a

73

definição CG2. A definição CG2 é mais intuitiva e indica de maneira clara a existência de um ponto único e específico em cada corpo tal que ele pode ficar em equilíbrio sob a ação da gravidade quando apoiado por este ponto. Mas a definição CG2 apresenta problemas ao lidar com corpos ocos ou volumétricos, como vimos anteriormente. A definição CG6 é mais geral e se aplica a todos os casos encontrados até agora.

No caso de corpos volumétricos é necessário suspender o corpo por um fio ligado a um dos pontos externos do corpo, PS1. Esperamos até que o corpo atinja o equilíbrio. Depois temos de imaginar a vertical passando por PS1 sendo estendida para baixo até atingir a extremidade E1 do corpo. Então suspendemos o corpo pelo fio ligado a um outro ponto externo do corpo, PS2. Esperamos até que o corpo atinja o equilíbrio e imaginamos a vertical que passa por PS2 sendo estendida para baixo até atingir um outro ponto externo E2 do corpo. A intersecção destas duas verticais é o CG do corpo. Este procedimento está ilustrado na Figura 4.29 no caso de um cubo.

PS1E1

E2

PS2 CG

Figura 4.29: Segundo procedimento experimental para achar o CG de um cubo.

Agora que já temos uma definição clara e geral do centro de gravidade, podemos clarificar os conceitos relacionados ao apoio ou à suspensão de um corpo apresentando duas definições.

• Ponto de apoio: Dizemos que um corpo em equilíbrio está apoiado por um ponto (ou por uma pequena superfície ou região) quando este ponto de apoio está abaixo do centro de gravidade do corpo. Este ponto de apoio será representado pelas letras PA.

• Ponto de suspensão: Dizemos que um corpo em equilíbrio está suspenso por um ponto (ou por uma pequena superfície ou região) quando este ponto de suspensão está acima do centro de gravidade do corpo. Este ponto de suspensão ou de sustentação será representado pelas letras PS.

Após estas definições podemos prosseguir com as experiências.

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4.6 Terceiro Procedimento Experimental para se

Encontrar o Centro de Gravidade

Vamos analisar agora as experiências já realizadas de equilíbrio com corpos vo- lumétricos. O cubo ou dado liso ficou equilibrado quando o palito de churrasco era colocado sob o centro de cada um de seus lados. Prolongando-se estas seis verticais para cima a partir dos pontos de apoio PA (os centros de cada face), observa-se que elas vão se cruzar no centro de simetria do cubo. O mesmo acon- tece com as verticais prolongadas para cima passando pelos centros das seis faces externas da porca metálica. Ou seja, elas se cruzam no centro de simetria da porca. A esfera fica apoiada em equilíbrio por qualquer ponto quando colocada em repouso sobre uma mesa plana. Os prolongamentos verticais para cima de todas as retas que passam pelos pontos de apoio se cruzam no centro da esfera. No caso do ovo, ele conseguia ficar em equilíbrio ao ser solto do repouso quando apoiado por qualquer ponto de sua casca que estava ao longo de uma circunfe- rência situada em um plano perpendicular ao eixo do ovo. Apoiando o ovo por dois ou por três pontos distintos ao longo desta circunferência e prolongando verticalmente para cima as retas que passam por estes pontos verifica-se que elas vão se cruzar em um ponto único no interior do ovo.

Inicialmente apoiamos o corpo por um ponto de apoio PA1. Imaginamos a vertical passando por PA1 ser prolongada para cima até E1, onde E1 é a extremidade superior do corpo ao longo desta vertical. Depois apoiamos o corpo por um outro ponto de apoio PA2. Prolongamos a vertical passando por PA2 até E2, onde E2 é a extremidade superior do corpo ao longo desta segunda vertical. A intersecção das duas verticais é o CG do corpo, como mostrado na Figura 4.30.

E1

E2

A2

CG

P

A1P PA1E2

CG

E1

PA2

Figura 4.30: Terceiro procedimento experimental para achar o CG de um cubo e de um ovo.

Ou seja, é possível encontrar o CG de um corpo não apenas achando o encontro das verticais traçadas para baixo a partir dos pontos de suspensão, mas também achando o encontro das verticais traçadas para cima a partir dos pontos de apoio. Isto sugere uma nova maneira prática de se encontrar o CG

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de qualquer corpo:

Definição Prática CG7: Centro de gravidade de um corpo é o ponto de encontro de todas as verticais passando pelos pontos de apoio do corpo quando ele está em equilíbrio e tem liberdade para girar ao redor destes pontos.

O centro de gravidade obtido pela maneira prática CG6 sempre coincide com o obtido pela maneira prática CG7. Isto pode ser visto, por exemplo, dependurando qualquer um destes corpos volumétricos por linhas presas a um suporte. A linha pode ser amarrada aos corpos, se tiverem buracos, ou presa a eles com um pedaço de chicletes ou de massa de modelar.

Vamos supor que amarramos a extremidade superior da linha a um suporte e grudamos sua extremidade inferior com massa de modelar a uma esfera. Sol- tamos o sistema e aguardamos que ele atinja o equilíbrio. Neste caso o ponto de suspensão (onde a massa de modelar toca a esfera) vai ficar verticalmente acima do centro da esfera. O mesmo ocorre nos outros casos.

4.7 Condições de Equilíbrio de Corpos Apoiados

Vamos agora concluir esta parte inicial realizando mais algumas experiências muito simples mas extremamente importantes. Vamos trabalhar com corpos cujos centros de gravidade já estejam localizados. Algumas destas experiências (ou partes delas) já foram realizadas anteriormente. Mas agora vamos rever as principais experiências que estabelecem as condições de equilíbrio e de movi- mento de corpos apoiados por baixo.

Experiência 4.18

Vamos trabalhar aqui com um triângulo, mas a experiência pode ser repro- duzida com qualquer figura plana cujo centro de gravidade pertence ao corpo. Marcamos com uma caneta de forma precisa o centro de gravidade (baricen- tro) de um triângulo. Depois tentamos equilibrá-lo na horizontal apoiando-o em diversos suportes e soltando-o do repouso. Inicialmente usamos uma gar- rafa pet na vertical, com tampa. Sempre que o centro de gravidade está sobre a tampa ocorre equilíbrio. Caso a vertical passando pelo centro de gravidade do triângulo não passe sobre a tampa, o triângulo cai com o centro de gravi- dade aproximando-se da Terra. Depois se utiliza um lápis na vertical com a ponta para baixo dentro de um apontador. Observamos novamente que pode- mos equilibrar o triângulo sempre que o centro de gravidade está sobre uma parte qualquer da extremidade superior plana do lápis. Usamos então um pa- lito de churrasco na vertical com a ponta para baixo. Novamente é possível equilibrar o triângulo nas mesmas condições anteriores, mas agora não há muita liberdade para isto. Isto é, qualquer pequeno movimento horizontal do centro de gravidade que o afasta da extremidade superior do palito faz com que o tri- ângulo caia. Quando usamos como suporte um palito de churrasco na vertical

76

com a ponta para cima, fica bem mais difícil equilibrar o triângulo. Qualquer tremida de nossas mãos enquanto soltamos o triângulo é suficiente para dese- quilibrar o triângulo e fazê-lo cair. O mesmo ocorre com qualquer inclinação ou trepidação do palito de churrasco ocasionada por ventos ou por trepidações no solo. Por último, é extremamente difícil conseguir equilibrar o triângulo sobre a ponta de um alfinete ou de uma agulha, mesmo que tentemos colocar o centro de gravidade exatamente sobre a ponta do alfinete, a não ser que furemos ou deformemos o papel cartão. Muitas pessoas não conseguem equilibrar a figura deste jeito por mais que tentem.

Outros exemplos deste fato encontram-se em uma das experiências anteri- ores, na qual um cubo e uma porca metálica ficavam em equilíbrio apoiadas sobre a parte superior de um palito de churrasco apenas quando seus centros de gravidade (o centro de simetria do cubo e da porca) ficavam verticalmente acima da superfície superior do palito.

Concluímos então que um corpo só fica apoiado em equilíbrio quando o CG está verticalmente acima da região de apoio. Além disso, é extremamente difícil equilibrar um corpo quando o centro de gravidade está verticalmente acima do suporte nos casos em que a área do suporte tende a zero, aproximando-se de um ponto matemático. Isto fica ainda mais evidente na experiência a seguir.

Experiência 4.19

Pegamos o triângulo da experiência anterior, o furamos e o dependuramos em um alfinete fincado em um suporte vertical. O alfinete horizontal passa pelo furo do triângulo e o plano do triângulo é vertical. Giramos o triângulo tal que seu centro de gravidade e o alfinete estejam ao longo de uma vertical, com o centro de gravidade do triângulo acima do alfinete. Soltamos então o triângulo desta posição a partir do repouso, firmando a base do palito de churrasco. Observa- se que o triângulo não permanece nesta posição. Em vez disso, o centro de gravidade começa a realizar oscilações de grande amplitude ao redor da vertical inferior que parte do alfinete, até que finalmente pára de oscilar, Figura 4.31. Na posição final de equilíbrio temos o alfinete e o centro de gravidade ao longo de uma vertical, com o centro de gravidade do triângulo estando localizado abaixo do alfinete.

Experiência 4.20

Consideramos agora uma esfera homogênea sobre uma mesa horizontal. Po- demos soltá-la em repouso em qualquer posição sobre a mesa que ela vai con- tinuar parada. Caso seja dado um pequeno movimento horizontal ao centro da esfera, ela vai continuar girando até parar devido ao atrito.

Experiência 4.21

Uma experiência análoga pode ser feita com qualquer recipiente cilíndrico homogêneo que tenha o centro de gravidade ao longo do seu eixo de simetria (lata de refrigerante ou de óleo, vidro de conserva etc.). Ele permanece em

77

CG

PS

Figura 4.31: Quando o triângulo é solto em um plano vertical com seu CG acima do alfinete ele não permanece em repouso, mas oscila ao redor da vertical passando pelo alfinete, até parar com o CG abaixo do alfinete.

repouso se for colocado parado deitado sobre uma mesa horizontal, a partir de qualquer posição. Se receber um pequeno impulso horizontal tal que comece a girar ao redor da linha de apoio, vai continuar girando até parar devido ao atrito.

Vamos fazer agora uma seqüência de três experiências de certa forma aná- logas ao que foi feito com o ovo anteriormente, só que agora com uma simetria um pouco diferente que permite analisar com mais clareza o que está ocorrendo. Vamos lidar com um recipiente cilíndrico de xampu cuja seção reta seja elíptica (semi-eixos maior e menor dados por b e por a, respectivamente, com b > a). O centro de gravidade está ao longo do eixo de simetria do recipiente, passando pelo centro das duas bases elípticas.

Experiência 4.22

O recipiente de xampu é deitado sobre uma superfície horizontal e solto do repouso. Observa-se que ele permanece em equilíbrio somente ao ser colocado deitado sobre a superfície com a linha de apoio ao longo da extremidade do semi-eixo menor a, ver a Figura 4.32a. Nesta posição o CG está verticalmente acima desta linha de apoio. Por definição esta configuração será chamada de posição preferencial do recipiente.

Experiência 4.23

Se girarmos ligeiramente o recipiente ao redor desta linha e o soltarmos, ele não permanecerá em repouso. Em vez disso, o centro da elipse começará a oscilar ao redor da vertical anterior, como mostrado na Figura 4.32b, até que o recipiente entre em repouso devido ao atrito. A posição final em que ele fica parado é aquela posição preferencial em que o centro da elipse está verticalmente

78

CG b

a

PA

CG

Figura 4.32: O CG oscila ao redor da vertical passando por PA.

acima da linha de apoio passando pela extremidade inferior do semi-eixo menor a. Esta experiência é análoga ao que acontece em uma cadeira de balanço.

Podemos ver pela Figura 4.33 que ao girarmos o recipiente ao redor da linha inferior na posição preferencial, o CG deixa de estar ao longo da vertical que passa pelo novo ponto de apoio ou pela nova linha de apoio. Além disso, o CG sobe em relação à altura que ocupava na posição preferencial. Quando o recipiente é solto do repouso, o sentido inicial do movimento (ou seja, para que lado o recipiente vai girar) é tal que o CG se aproxima da Terra. A posição final atingida pelo recipiente, que coincide com sua posição preferencial, é aquela na qual o CG está no ponto mais baixo possível.

CGCG CG

V V V

Figura 4.33: Quando um corpo é solto do repouso, sua direção de movimento é tal que o CG desce. A posição central nesta Figura é de equilíbrio estável.

Experiência 4.24

O recipiente é agora solto do repouso a partir da posição em que o CG está verticalmente acima da extremidade inferior do semi-eixo maior b. É pratica- mente impossível deixá-lo equilibrado nesta posição se o solo for plano e liso. Em vez disso, ele acaba tombando para um lado ou para outro. Para saber de que lado ele tomba, basta soltá-lo do repouso com o CG ligeiramente afastado da vertical anterior. Neste caso o sentido inicial do movimento é sempre tal que o CG se aproxime da Terra, como na Figura 4.34. A posição final de equilí- brio é mais uma vez a posição preferencial com o CG verticalmente acima da extremidade inferior do semi-eixo menor a.

Estas experiências e outras análogas podem ser resumidas da seguinte ma- neira. Seja um corpo apoiado sobre uma superfície horizontal firme e solto do repouso. Ele permanecerá em equilíbrio somente se o CG estiver verticalmente

79

CG CG CG

Figura 4.34: A posição central nesta Figura é de equilíbrio instável.

acima desta superfície. Caso o CG esteja verticalmente fora da região limi- tada pela superfície de contato, o corpo começará a se deslocar ao ser solto do repouso. O movimento inicial do corpo será tal que o CG se aproxime da Terra.

4.7.1 Equilíbrio Estável, Instável e Indiferente

As experiências apresentadas anteriormente também sugerem as seguintes defi- nições:

• Equilíbrio estável: Casos em que o centro de gravidade está vertical- mente acima da região de apoio e, além disso, quando qualquer pertur- bação no estado do corpo faz com que o CG suba. Vamos chamar esta configuração de posição preferencial do corpo.

Observa-se experimentalmente nestes casos que qualquer perturbação fará com que o centro de gravidade oscile ao redor da vertical que passa pela re- gião de apoio na posição preferencial, vibrando até parar devido ao atrito. Por este motivo dá-se o nome de equilíbrio estável a esta configuração.

• Equilíbrio indiferente: Casos em que o centro de gravidade está verti- calmente acima da região de apoio e, além disso, quando qualquer pertur- bação no estado do corpo mantém inalterável a altura do CG em relação à Terra.

Nestes casos observa-se que o corpo fica em equilíbrio em qualquer posição na qual seja solto. Por este motivo este tipo de equilíbrio é chamado de indiferente. Caso o corpo receba um pequeno impulso e comece a se deslocar, continuará deslocando-se neste sentido até parar devido ao atrito.

• Equilíbrio instável: Casos em que o centro de gravidade está vertical- mente acima da região de apoio e, além disso, quando qualquer perturba- ção no estado do corpo faz com que o CG desça.

Observa-se que qualquer perturbação na posição do corpo fará com que o centro de gravidade se afaste da posição inicial, sem voltar a ela. Por este motivo esta situação recebe o nome de equilíbrio instável.

80

4.7.2 Estabilidade de um Sistema

Existe ainda uma outra propriedade ligada ao equilíbrio de um corpo apoiado por baixo que pode ser derivada a partir destas condições de equilíbrio estável e instável. Esta propriedade também pode ser verificada experimentalmente. Para isto usamos um paralelepípedo retângulo de lados a, b e c. Ele pode ser um tijolo, um bloco homogêneo de madeira, uma caixa de sapatos ou de fósforos etc. Trabalharemos sempre com o plano bc na vertical. Tanto pela simetria do corpo quanto experimentalmente é fácil verificar que o centro de gravidade estará no centro do paralelepípedo. Colocamos agora um fio de prumo no centro da face bc. Se o corpo for um bloco homogêneo de madeira, o mais simples é pregar um prego no centro desta face, amarrando nele uma linha com uma chumbada na ponta. No caso da caixa de sapato pode-se utilizar um palito de churrasco atravessando o centro das duas faces paralelas de lados b e c. Amarra-se então no palito uma linha com um pequeno peso na ponta. No caso da caixa de fósforos pode-se atravessar um alfinete pelo centro das duas faces bc, pendurando nele uma linha de costura com um pequeno peso. Para evitar que o paralelepípedo tombe para frente na direção do fio de prumo, é importante que o peso do fio de prumo seja pequeno comparado ao peso do paralelepípedo. A experiência também não funciona se o paralelepípedo for muito fino, ou seja, com lado a sendo muito menor do que b e c, aproximando-se a uma linha (como ocorre com um retângulo de papel cartão, ou com uma carta de baralho, onde a espessura do papel cartão ou do baralho é muito menor do que os lados do retângulo). Nestes casos fica difícil equilibrar o corpo com a face bc na vertical. Com tudo preparado, partimos para as experiências.

Experiência 4.25

Começamos com o paralelepípedo parado sobre uma mesa horizontal, com o lado c na vertical e o lado b ha horizontal. A face ab está na horizontal, juntamente com seus quatro vértices V1, V2, V3 e V4, Figura 4.35a.

θ

+

θc

CG

a

c

V1 V4

V3

V7V6 V5

V8

b θ

Figura 4.35: (a) Um tijolo; (b) rotação de um ângulo θ; e (c) o ângulo crítico θc para o qual o CG está na posição mais alta possível.

81

Vamos escolher o sentido de rotação anti-horária no plano vertical como indicando um ângulo positivo, Figura 4.35b.

Se girarmos o paralelepípedo ao redor do eixo V1V2 de um ângulo θ e o soltarmos do repouso, seu movimento inicial será no sentido de abaixar seu CG, como vimos nas condições de equilíbrio estável e instável anteriormente. É fácil ver que existirá um ângulo crítico θc no qual a reta passando pelo eixo V1V2 e pelo centro de gravidade estará vertical, coincidindo com a direção do fio de prumo. Nesta situação o CG estará na posição mais alta possível. Caso o paralelepípedo parta do repouso em um ângulo inicial menor do que o ângulo crítico, tenderá a voltar à posição inicial com o lado c na vertical e o lado b na horizontal, já que neste sentido de movimento o CG estará baixando. Caso o ângulo inicial seja maior do que o ângulo crítico, o corpo tenderá a se afastar da posição inicial, caindo para o lado tal que o lado c se aproxime da horizontal enquanto que o lado b tenda à vertical. A posição do ângulo crítico é de equilíbrio instável, Figura 4.35c.

Da Figura 4.36 podemos ver que a tangente do ângulo α entre a base V1V4 e a reta ligando o vértice V1 ao CG é dada por c/b.

θ

CG

αhCG r

CG

b/2

r c/2

α

Figura 4.36: Propriedades geométricas de um paralelepípedo.

Das Figuras 4.35 e 4.36 vemos que o ângulo crítico θc é dado por 90o − α. Isto significa que tanα = tan(90o − θc) = c/b.

Da Figura 4.36 vemos que em geral o valor da altura do CG é dado por hCG = r sen (α+ θ), onde r = (c2 + b2)1/2/2. Quando θ = 0o temos hCG = c/2, quando θ = 90o temos hCG = b/2. O valor mais alto atingido pelo CG em relação à superfície horizontal da Terra ocorre quando α + θ = 90o, quando então hCG = r.

Quando c = b temos α = θc = 45o. Neste caso os valores mais baixos da altura do CG são dados por hCG = b/2 = c/2 = 0, 5c. O valor mais alto é dado por hCG = 21/2c/2 ≈ 0, 7c. Se c = 4b temos α = 71, 6o e θc = 18, 4o. Neste caso temos hCG = c/2 = 0, 50c quando θ = 0o, hCG = 101/2c/6 ≈ 0, 53c quando θ = θc, e hCG = c/6 ≈ 0, 17c quando θ = 90o. No caso em que c = b/3 temos α = 18, 4o, θc = 71, 6o, hCG = c/2 = 0, 50c quando θ = 0o, hCG = 10

1/2c/2 ≈ 1, 6c quando θ = θc e hCG = 3c/2 = 1, 5c quando θ = 90o.

82

Destas condições vemos então que quanto mais baixo está o CG de um corpo apoiado por baixo em uma situação de equilíbrio estável, maior será a estabilidade de sua situação. Ou seja, quanto mais baixo estiver seu CG, maior será o ângulo crítico do corpo.

Pode ser feita uma experiência mais controlada do que a anterior ao lidarmos sempre com um corpo de mesmo peso e de mesma forma externa, mas tal que podemos controlar a posição de seu CG. A idéia aqui é usar uma caixa oca homogênea de lados a, b e c, cujo CG esteja no centro da caixa. Vamos supor que o lado bc fique sempre na vertical. Coloca-se então um outro peso dentro da caixa, ocupando uma faixa estreita situada a uma altura h da base, Figura 4.37.

CG

b/2

h hCG

Figura 4.37: Uma caixa com um peso dentro.

O importante é que esta altura possa ser controlada por nós. No caso de uma caixa de fósforos, por exemplo, pode-se prender um conjunto de chumbos de pesca na parte inferior ou superior da caixa. Pode-se verificar que o CG do sistema caixa-chumbo estará localizado em algum ponto entre o centro da caixa e o centro do conjunto de chumbos. Vamos supor que ele esteja a uma altura hCG da base da caixa colocada em uma superfície horizontal, situado ao longo do eixo de simetria da base inferior b da caixa, como na Figura 4.37.

Experiência 4.26

Coloca-se uma base de chumbos internamente a uma caixa de fósforos, ape- nas sobre o lado inferior. Apóia-se a caixa de fósforos sobre uma superfície horizontal com os chumbos na parte inferior da caixa. Gira-se então o sistema ao redor de um dos eixos da base, soltando-o do repouso. Observa-se que para alguns ângulos o sistema volta à posição inicial ao ser solto do repouso, enquanto que para ângulos maiores que um certo valor crítico a caixa tomba para o outro lado. Isto permite que se determine o ângulo crítico para esta situação, θcI , o qual separa os dois comportamentos. Inverte-se agora a posição dos chumbos tal que fiquem na parte superior da caixa. Repete-se o procedimento anterior e obtém-se um novo ângulo crítico, θcS . Observa-se que este novo ângulo crítico é bem menor do que o ângulo crítico anterior, θcS < θcI .

83

Pela definição anterior temos que tanto com o peso embaixo, quanto com o peso em cima, a caixa de fósforos fica em equilíbrio estável. Isto ocorre devido ao fato de que qualquer pequena perturbação desta posição, seja rotação no sentido horário ou anti-horário, faz com que ela volte à posição original ao ser solta do repouso. Apesar disto, pode-se dizer que a caixa com o peso embaixo possui uma estabilidade maior do que a caixa com o peso em cima. O motivo para isto é que o ângulo crítico no primeiro caso é bem maior do que o ângulo crítico no segundo caso. Isto sugere então a definição de estabilidade de um sistema.

Definição: A medida ou o valor deste ângulo crítico pode então ser con- siderado como o grau de estabilidade do sistema. Isto é, para dois sistemas em equilíbrio estável, define-se que tem maior estabilidade aquele sistema que possui maior ângulo crítico.

A pergunta agora é saber qual será o ângulo crítico θc deste sistema. Quando a caixa gira ao redor do eixo V1V2 de um ângulo θ, como na experiência anterior, ela vai voltar para a posição inicial ao ser solta do repouso se θ < θc. Caso θ > θc, a caixa não voltará à posição inicial ao ser solta do repouso, mas tombará para o lado oposto. Seja α o ângulo entre a base horizontal b e a reta ligando o eixo V1V2 ao CG. Temos então o resultado dado pela Eq. (4.1), ver a Figura 4.38.

tanα = hCG (b/2)

= 2hCG b

, (4.1)

θc

CG

α hCG

Figura 4.38: Condições de estabilidade para um corpo.

No ângulo crítico temos α+ θc = 90o. Logo,

θc = 90 o − α = 90o − arctan 2hCG

b . (4.2)

84

Se a altura do centro de gravidade hCG for muito baixa, o ângulo crítico será muito alto, perto de 90o, o que indica uma alta estabilidade para o corpo. Caso hCG seja muito maior do que b, o ângulo crítico será muito baixo, perto de 0o. Qualquer perturbação no sistema fará com que ele caia sem voltar à posição inicial. Desta última fórmula concluímos que para aumentar a estabilidade do sistema é necessário diminuir a razão hCG/b. Há duas possibilidades básicas para isto: (A) diminuindo a altura do centro de gravidade (como vimos no caso da caixa de fósforos com os pesos na parte inferior), e (B) aumentando a base ao redor da qual o sistema está girando.

Existe ainda um outro critério para definir a estabilidade de um sistema que não será considerado neste livro. Consideremos uma lata de refrigerante vazia e outra de mesmo tamanho mas totalmente cheia. O centro de gravidade destes dois sistemas possui a mesma altura em relação ao solo. Como elas possuem a mesma forma e tamanho, isto indica que o ângulo crítico é o mesmo para estas duas latas. Pela definição anterior viria que elas possuem a mesma estabilidade. Por outro lado, é necessário uma energia maior para fazer a lata cheia tombar do que para fazer uma lata vazia tombar, já que esta última é bem mais leve. Perturbações externas (como o chão passar a tremer) tombam mais facilmente uma lata vazia do que uma lata cheia de mesmo formato e tamanho. Neste sentido uma lata completamente cheia é mais estável a perturbações externas do que uma lata vazia, [Wal08, pág. 73]. Estes aspectos dinâmicos não serão considerados aqui.

4.8 Condições de Equilíbrio de Corpos Suspensos

Agora vamos ver as principais condições de equilíbrio e de movimento de corpos suspensos por cima. Isto é, quando o ponto de suspensão PS está acima do CG do corpo. Vamos supor corpos convexos ou que possuam um ou mais furos tal que possam ser suspensos por um alfinete atravessando um furo ou por uma linha amarrada em um furo. Novamente vamos supor que estes corpos já tiveram seus centros de gravidade determinados e que os furos não coincidem com a posição do CG das figuras. Algumas destas experiências, ou parte delas, já foram realizadas anteriormente. Mas elas são apresentadas novamente aqui para que se estabeleçam com clareza as condições de equilíbrio e de movimento dos corpos suspensos. Vamos trabalhar com um triângulo, mas experiências análogas podem ser feitas com qualquer corpo suspenso.

Experiência 4.27

Dependura-se o triângulo com o alfinete do suporte passando por um dos furos. Ele é então solto do repouso. Observa-se que ele só permanece em equilíbrio ao ser solto se o CG estiver verticalmente abaixo do PS. Vamos chamar esta configuração de posição preferencial do corpo suspenso.

Experiência 4.28

85

Afastamos agora o triângulo para um dos lados, tal que o centro de gravi- dade e o alfinete não estejam mais ao longo de uma vertical. Soltamos então o triângulo a partir do repouso. Observa-se que o centro de gravidade vai oscilar ao redor da vertical inicial, como mostra a Figura 4.39, diminuindo gradativa- mente sua amplitude de oscilação até parar. Quando o triângulo pára de oscilar, ele volta à situação inicial com o alfinete e o centro de gravidade ao longo de uma vertical. Além disso, no equilíbrio o centro de gravidade fica verticalmente abaixo do ponto de suspensão.

CG

PS

CG

PS

Figura 4.39: Condições de estabilidade para um corpo.

Da Figura 4.39 se percebe que a posição preferencial é aquela na qual o CG (que no caso do triângulo coincide com a posição B do baricentro) está na posição mais baixa possível. Qualquer perturbação desta posição faz com que o CG suba em relação à sua colocação na posição preferencial.

Experiência 4.29

Começamos com uma roda de bicicleta simétrica (isto é, com o centro de gravidade no centro da roda), em repouso, suspensa por um eixo horizontal. A roda é presa ao eixo por uma rolimã, tal que não haja uma folga no eixo. Também pode-se utilizar um papel cartão na forma de um disco e perfurado no centro. Pelo furo passa-se um arame ou um prego com um diâmetro um pouco menor do que o diâmetro do furo, tal que a folga entre os dois seja apenas suficiente para que o disco gire ao redor do eixo. O plano do disco deve ser vertical e a direção do arame ou do prego horizontal. Quando giramos a roda ou o disco lentamente para um lado ao redor do eixo, observa-se que o corpo continua a girar neste sentido até parar devido ao atrito.

Nestes casos a roda e o disco são suspensos pela parte superior do eixo, que está acima do CG dos corpos (localizado no centro da roda ou do disco). Porém, qualquer movimento de rotação da roda ou do disco ao redor do eixo não altera a altura do CG.

4.8.1 Equilíbrio Estável e Indiferente

Estas experiências sugerem as seguintes definições:

86

• Equilíbrio estável: É a posição na qual o CG está verticalmente abaixo do PS e, além disso, quando qualquer perturbação nesta posição faz com que o CG suba. Chama-se de posição preferencial do corpo à configuração em que o CG está verticalmente abaixo do PS.

Observa-se que caso o corpo seja solto do repouso na posição preferencial, ele vai permanecer em equilíbrio. Caso ele sofra alguma perturbação, vai oscilar ao redor da posição preferencial, diminuindo sua amplitude de oscilação devido ao atrito, até retornar à posição preferencial. Por este motivo esta situação é chamada de equilíbrio estável.

• Equilíbrio indiferente: Casos em que o centro de gravidade está ver- ticalmente abaixo do ponto de suspensão e, além disso, quando qualquer perturbação nesta posição não altera a altura do CG em relação à Terra.

Nestes casos observa-se que o corpo fica em equilíbrio em qualquer posição na qual seja solto. Por este motivo esta situação é chamada de equilíbrio indiferente. Caso o corpo receba um pequeno impulso e comece a girar ao redor do PS, continuará deslocando-se neste sentido até parar devido ao atrito.

Experiência 4.30

Antes de prosseguir vale à pena realizar mais uma experiência. Recorta-se uma figura em papel cartão na forma da letra T . O comprimento da ponta de um braço do T à ponta do outro braço pode ser de 15 cm. A altura do T pode ser de 15 cm ou de 20 cm. A largura dos braços e do corpo do T pode ser de 2 cm. São feitos 11 furos ao longo do eixo de simetria do T . Vamos chamá-los em seqüência de F1 a F11, com o furo F1 ficando na junção dos braços e o furo F11 na extremidade do corpo do T . Pode-se também fazer um furo na ponta de cada braço, Figura 4.40.

F1

F11

Figura 4.40: Um papel cartão cortado na forma da letra T , com vários furos.

Inicialmente localiza-se o CG do T . Isto pode ser feito, por exemplo, de- pendurando-o pelos furos nas pontas de cada braço e traçando as verticais res-

87

pectivas. O CG será o cruzamento destas verticais, que deve estar ao longo do eixo de simetria do T , mais próximo de F1 do que de F10. Em seguida o T será solto sempre do repouso dependurado por um furo ao longo do seu eixo de simetria, com os braços na horizontal e com seu corpo abaixo do braço (ou seja, com F1 acima de F11). Quando ele é dependurado por furos que estão acima do CG, como F1 ou F2, por exemplo, ele permanece equilibrado na posição em que é solto. Já quando é dependurado por pontos que estão situados abaixo do CG, como F10 ou F11, por exemplo, ao ser solto do repouso ele acaba girando para um lado ou para outro, oscila algumas vezes, até parar com os braços na horizontal situados abaixo de F11. Ou seja, o T acaba invertendo sua situação inicial, ficando em repouso na posição final com F11 verticalmente acima de F1. Esta experiência ilustra mais uma vez que é instável a situação de equilíbrio na qual o CG está acima do PS, sendo estável quando ocorre o inverso. Apesar da explicação desta experiência ser baseada em princípios já vistos, ela é bem interessante. Afinal de contas, todos os furos são iguais, permitindo o mesmo movimento de rotação do corpo ao redor do PS. Só que apenas em alguns casos o corpo vai girar ao ser solto do repouso, invertendo a altura dos braços em relação ao corpo do T .

4.9 Caso em que o Centro de Gravidade Coincide

com o Ponto de Suspensão

Talvez seja impossível realizar na prática uma experiência em que o corpo esteja suspenso ou apoiado por um ponto que passa exatamente em seu CG, sendo livre para girar ao redor deste ponto. Mesmo quando tentamos nos aproximar desta situação por baixo, o CG sempre vai estar um pouco acima do ponto de apoio PA. Este é o caso, por exemplo, do triângulo na horizontal apoiado sobre um palito de churrasco na vertical colocado abaixo do baricentro do triângulo, Experiência 4.3. Aqui o ponto de contato entre o palito e o papelão fica um pouco abaixo do CG do triângulo, que está localizado em um ponto no centro da espessura do papelão. Também quando tentamos nos aproximar desta situação por cima, o CG sempre vai ficar um pouco abaixo do ponto de suspensão PS. Este é o caso, por exemplo, do triângulo em um plano vertical apoiado por um alfinete horizontal passando por um furo feito ao redor do baricentro do triângulo. O diâmetro do furo tem de ser um pouco maior do que o diâmetro do alfinete, para permitir uma rotação livre ao triângulo. Neste caso o PS será o ponto de contato entre o alfinete e a parte superior do furo, enquanto que o CG estará localizado no centro do furo.

Uma outra dificuldade surge para corpos volumétricos. Por exemplo, se temos um paralelepípedo, só podemos apoiá-lo por uma vareta que toca sua face externa inferior, ou então por um fio preso à superfície externa superior do paralelepípedo. Por outro lado, o CG do paralelepípedo está localizado no centro do paralelepípedo, no interior do tijolo. Para suspendê-lo ou apoiá-lo por este ponto temos de fazer um furo no paralelepípedo. Portanto, teríamos de alterar

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sua distribuição de matéria. Mas se a espessura deste buraco é muito pequena comparada com os lados do paralelepípedo, podemos desprezar esta modificação na matéria do paralelepípedo. Mas mesmo depois de feito este buraco fica difícil imaginar um sistema real que permita com que o paralelepípedo tenha liberdade de giro ao redor de seu CG.

Pelo que foi visto nas experiências anteriores, pode-se imaginar o que aconte- ceria se fosse possível realizar na prática a experiência em que um corpo estivesse dependurado por um ponto de suspensão que passasse exatamente pelo CG do corpo. Já vimos que a tendência do CG de qualquer corpo rígido ao ser solto do repouso é a de se aproximar da Terra. Caso o corpo seja preso exatamente pelo CG, tendo liberdade para girar ao redor deste ponto, qualquer movimento de rotação que ele fizer não vai alterar a altura do CG em relação à Terra. Neste caso o corpo permaneceria em equilíbrio em todas as posições em que fosse colocado e solto do repouso, qualquer que fosse sua orientação em relação à Terra.

Vamos supor inicialmente que temos um triângulo horizontal suspenso exa- tamente pelo seu centro de gravidade. Vamos chamar de α ao ângulo entre o segmento CGV1 (que liga o CG ao vértice V1) e o segmento CGL que indica a direção Leste-Oeste (segmento CGL indo do CG para o Leste, L). Caso ele seja solto em um plano horizontal apoiado por um suporte vertical sob o baricentro, ficará parado qualquer que seja este ângulo α, Figura 4.41.

N

S

LO α

V1

V2

V3

CG

Figura 4.41: O triângulo horizontal apoiado pelo baricentro fica em equilíbrio para todo ângulo α.

Vamos agora supor que o triângulo está em um plano vertical apoiado exa- tamente pelo baricentro. Seja β o ângulo entre o segmento CGV1 e a vertical indicada por um fio de prumo. Neste caso ele permanecerá em equilíbrio ao ser solto do repouso qualquer que seja o ângulo β, Figura 4.42.

Vamos supor que agora a normal ao triângulo esteja inclinada de um ângulo

89

CG

V1

V2

V3

β

Figura 4.42: O triângulo vertical apoiado pelo baricentro fica em equilíbrio para todo ângulo β.

γ em relação à vertical indicada por um fio de prumo. Caso o triângulo seja solto do repouso nesta posição apoiado exatamente pelo baricentro, ele permanecerá em repouso para todo ângulo γ, Figura 4.43.

CG

γ

V1

V2

Figura 4.43: O triângulo inclinado apoiado pelo baricentro fica em equilíbrio para todo ângulo γ.

Vimos das experiências anteriores que a tendência do CG é a de se aproxi- mar da Terra quando o corpo é solto do repouso. Logo, se o corpo for preso exatamente pelo CG, sendo solto do repouso e tendo liberdade para girar em qualquer direção ao redor deste ponto, o corpo não vai se mover. Afinal de contas, em qualquer direção que ele começasse a girar seu CG permaneceria na mesma altura. Isto permite uma nova definição do centro de gravidade.

Definição Definitiva CG8: O centro de gravidade de um corpo rígido é um ponto tal que, se for concebido que o corpo está suspenso por este ponto, tendo liberdade para girar em todos os sentidos ao redor deste ponto, o corpo assim

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sustentado permanece em repouso e preserva sua posição original, qualquer que seja sua orientação inicial em relação à Terra.

Caso este ponto esteja no vazio, como no caso de figuras côncavas ou com buracos, deve-se imaginar uma estrutura rígida ligando o corpo a este ponto, para que o corpo fique suspenso por este ponto.

Veremos depois que Arquimedes parece ter definido o CG desta maneira. A diferença principal da definição CG8 em relação à definição CG4 é que

agora dizemos que o corpo vai permanecer parado em equilíbrio ao ser solto do repouso, qualquer que seja a orientação inicial do corpo em relação à Terra. Vamos considerar uma arruela, por exemplo. Ela pode permanecer em repouso ao ser solta do repouso em um plano vertical, dependurada por algum ponto de sua circunferência interna, como na Figura 4.44a. Neste caso o eixo da arruela faz um ângulo de θ = 90o com a linha vertical. Definimos o ângulo θ como sendo o menor ângulo entre o eixo da arruela e a linha vertical.

θ

Figura 4.44: Uma arruela pode permanecer em repouso quando apoiada por sua circunferência interna. Contudo, ela não permanece em repouso para todas as orientações em que é solta. Se θ 6= 90o, seu centro vai oscilar ao redor da vertical passando pelo ponto de suspensão após ser solta do repouso.

De acordo com a definição CG4, este ponto PS da circunferência interna por onde ela está sendo apoiada poderia ser considerado um centro de gravidade da arruela. Por outro lado, se o plano da arruela for solto do repouso estando inicialmente inclinado em relação à vertical de um certo ângulo θ 6= 90o, como na Figura 4.44b, ela não permanecerá em equilíbrio. Após soltar a arruela, seu plano vai oscilar ao redor da vertical passando pelo PS, como na Figura 4.44c. Sua amplitude de oscilação vai diminuindo devido ao atrito, até a arruela parar na posição final θ = 90o. Esta é a posição preferencial da arruela.

Devido a este fato, não se pode considerar este ponto de suspensão ao longo da circunferência interna como sendo o CG da arruela se utilizarmos a definição CG8. Já vimos com o procedimento prático CG6 que o CG real da arruela é seu centro de simetria localizado no centro da arruela. Quando a arruela está dependurada por um PS localizado em algum dos pontos ao longo da

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circunferência interna, o CG só vai estar em seu ponto mais baixo quando está verticalmente abaixo deste PS, quando então temos θ = 90o. Esta é uma posição de equilíbrio estável. Quando diminuímos o ângulo θ, o CG sobe. Se a arruela for solta do repouso nesta nova posição, a gravidade vai fazer com que seu CG desça.

Suponha agora que fossem colocados raios sobre a arruela, como os raios de uma roda de bicicleta. Isto pode ser feito com linhas esticadas presas à arruela, ou podemos considerar uma roda de bicicleta real. Vamos supor que a arruela ou roda de bicicleta é suspensa por seu centro e que seja livre para girar em todas as direções ao redor deste ponto. Se ela for solta do repouso com seu eixo fazendo um ângulo θ com a linha vertical, ela permanecerá em equilíbrio para todo ângulo θ, Figura 4.45.

Figura 4.45: Quando um corpo é apoiado exatamente por seu CG ele permane- cerá em equilíbrio não importando a orientação em que for solto em relação à Terra.

Pela definição CG8, vem então que o centro de simetria da arruela coincide com seu centro de gravidade. A justificativa para ela ficar parada neste caso qualquer que seja o ângulo θ, quando apoiada por seu centro, é que o CG da arruela vai permanecer na mesma altura em relação à superfície da Terra, inde- pendentemente do valor deste ângulo. E esta é a característica de um equilíbrio indiferente.

Chamamos esta definição CG8 de definitiva. Hoje em dia a palavra “defini- tiva” deve ser entendida entre aspas. O motivo para isto é que esta definição só é válida em regiões de forças gravitacionais uniformes. As regiões em que isto ocorre são aquelas nas quais um certo corpo de prova sofre sempre a mesma força (em intensidade, direção e sentido) em todos os pontos da região. Isto é o que ocorre para corpos pequenos nas proximidades da superfície da Terra. As forças gravitacionais sobre cada partícula do corpo de prova podem ser consideradas como atuando em retas paralelas entre si, todas verticais.

Mas há situações em que isto não ocorre. Vamos dar um exemplo concreto no qual fazemos várias suposições: (A) O corpo que está exercendo a força gravitacional é como a Terra, mas com o formato de uma maçã, com a maior

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distância entre quaisquer duas partículas desta Terra-maçã sendo dada por dT ; (B) o corpo que está sofrendo a força gravitacional é como a Lua, mas com o formato de uma banana, com a maior distância entre quaisquer duas partículas desta Lua-banana sendo dada por dL; (C) a distância entre uma partícula i qualquer desta Terra e uma partícula j qualquer desta Lua sendo dada por dij = dT + dL + eij , com 0 < eij << dT + dL. Neste caso não vai existir um centro de gravidade único. Dependendo da orientação relativa entre a Lua- banana e a Terra-maçã, vão existir linhas de equilíbrio distintas. Nestes casos o conceito de centro de gravidade perde seu significado.

De qualquer forma, a definição CG8 pode ser utilizada para um corpo de prova de dimensões pequenas comparadas com o raio da Terra.

Embora possa ser impossível realizar uma experiência na qual o corpo rígido esteja apoiado exatamente pelo CG, tendo liberdade para girar em todas as direções ao redor deste ponto, existem experiências que podem ser realizadas ilustrando a definição definitiva CG8.

A situação da Figura 4.41 é simulada pela Experiência 4.3. Ou seja, um triângulo fica parado em um plano horizontal ao ser apoiado sobre um palito vertical cuja projeção para cima passa pelo CG do triângulo. A reta ligando um vértice qualquer do triângulo ao seu CG pode fazer um ângulo α qualquer com a direção Leste-Oeste que mesmo assim o triângulo permanecerá em equilíbrio ao ser solto do repouso. Esta situação não é exatamente aquela descrita na definição CG8 já que o triângulo possui uma certa espessura, embora seja fino. Isto significa que a parte do papel cartão em contato com o palito de churrasco não é exatamente o CG do triângulo, pois este ponto se localiza no interior da espessura do papel cartão. De qualquer forma esta experiência indica um equilíbrio indiferente, já que o ângulo α pode ser variado sem que com isto se altere a altura do CG do triângulo em relação à superfície da Terra. Isto é, esta experiência ilustra uma situação de equilíbrio indiferente no que diz respeito a este ângulo α.

Nas próximas experiências ilustramos como se pode fazer algo análogo às Figuras 4.42 e 4.43.

Experiência 4.31

Atravessamos um palito ortogonalmente ao plano de um triângulo de papel cartão, tal que o palito fique fixo em relação ao papel cartão. Não há folga entre o palito e o papel cartão, ou seja, o diâmetro do furo é igual ao diâmetro do palito. Isto é feito de tal forma que o palito e o triângulo constituam um único corpo rígido, tal que quando o triângulo gira, o mesmo ocorre com o palito. Isto vai ser indicado nas próximas Figuras pelo semi-círculo preto marcado na seção reta do palito. Vamos supor inicialmente que o furo do palito não coincida com o CG do triângulo.

Apoiamos o palito horizontal por dois suportes verticais, tal que o plano do triângulo seja vertical, Figura 4.46. A posição preferencial é aquela em que o CG do triângulo fica verticalmente abaixo do palito. Vamos supor que o triângulo seja solto do repouso fora da posição preferencial, Figura 4.46a. O

93

CG do triângulo começa a oscilar ao redor da vertical inferior passando pelo palito, com suas amplitudes de oscilação diminuindo devido ao atrito, até parar na posição preferencial, Figura 4.46b.

CG

CG

Figura 4.46: (a) Um triângulo é solto do repouso fora da posição preferencial. (b) Ele gira, juntamente com o palito, até parar com o CG verticalmente abaixo do palito.

Por outro lado vamos agora supor que o eixo de simetria do palito passe exatamente pelo CG do triângulo, com o plano do triângulo mais uma vez ortogonal ao palito. O palito vai ficar novamente apoiado na horizontal com o plano do triângulo na vertical. Neste caso o triângulo vai permanecer em repouso qualquer que seja a orientação em que é solto em relação à Terra, Figura 4.47. Esta situação não é exatamente aquela descrita na definição CG8, já que o palito é apoiado pela parte de baixo de sua seção reta e não exatamente por seu eixo de simetria (ao longo do qual está o CG do triângulo). Isto significa que o eixo (ou fulcro) de apoio não passa exatamente pelo CG do triângulo. De qualquer forma, neste caso podemos girar o palito juntamente com o triângulo, alterando as partes do palito que estão em contato com os 2 suportes verticais abaixo dele, sem alterar a altura do CG do triângulo em relação à superfície da Terra. Temos então uma situação de equilíbrio indiferente. Esta experiência simula o caso da Figura 4.42.

Experiência 4.32

Vamos agora supor que abrimos uma fenda em um palito de churrasco para poder passar um triângulo de papel cartão pela fenda, Figura 4.48. O palito e o triângulo formam um único corpo rígido. Isto é, quando o triângulo gira, o palito gira junto.

Vamos supor inicialmente que o CG do triângulo esteja fora da fenda, como na Figura 4.49. A configuração preferencial é aquela na qual o CG fica ver- ticalmente abaixo do palito. Vamos supor que o sistema seja solto fora da configuração preferencial, com o palito horizontal apoiado sobre dois suportes horizontais colocados abaixo dele, Figura 4.49a. Neste caso ao ser solto do re- pouso ele não permanece em equilíbrio, mas gira até parar com o CG abaixo do palito, Figura 4.49b.

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CG CG

Figura 4.47: Quando o eixo de simetria do palito passa exatamente pelo CG do triângulo vem que o triângulo permanece em repouso qualquer que seja a orientação em que é solto em relação à Terra.

Figura 4.48: Abre-se uma fenda em um palito de churrasco para passar um triângulo de papel cartão pela fenda.

CG CG

Figura 4.49: (a) Um triângulo é solto do repouso fora da posição preferencial. (b) Ele gira, juntamente com o palito, até parar com o CG verticalmente abaixo do palito.

Vamos agora supor que o eixo de simetria do palito passe exatamente pelo CG do triângulo, Figura 4.50. O sistema é solto do repouso com o palito hori- zontal apoiado sobre dois suportes verticais. Neste caso o triângulo permanece

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em repouso qualquer que seja sua orientação em relação à Terra, Figura 4.50. Novamente esta situação não é exatamente aquela descrita pela definição CG8, já que o palito está apoiado pelas partes inferiores de sua seção reta em con- tato com os dois suportes verticais. Por outro lado o CG do triângulo está exatamente ao longo do eixo de simetria do palito. De qualquer forma, mesmo quando o palito gira sobre estes suportes vem que a altura do CG em relação à superfície da Terra não se altera. Ou seja, temos uma situação de equilíbrio indiferente. Ela simula a situação da Figura 4.43.

CG

CG

Figura 4.50: Quando o eixo de simetria do palito passa exatamente pelo CG do triângulo vem que o triângulo permanece em repouso qualquer que seja a orientação em que é solto em relação à Terra.

4.10 Resumo

Vamos resumir os aspectos principais que vimos até agora.

• Definições: Equilíbrio é quando não há movimento do corpo nem de suas partes em relação à Terra. Vertical é a reta indicada por um pequeno corpo rígido em queda livre a partir do repouso, ou por um fio de prumo em equilíbrio. Horizontal é qualquer reta ou plano ortogonal à vertical. O centro de gravidade de um corpo é um ponto tal que, se for concebido que o corpo está suspenso por este ponto, tendo liberdade para girar em todos os sentidos ao redor deste ponto, o corpo assim sustentado perma- nece em repouso e preserva sua posição original, qualquer que seja sua orientação inicial em relação à Terra. Ele pode ser encontrado na prática pelo cruzamento das verticais que passam pelos pontos de suspensão do corpo quando ele permanece em equilíbrio ao ser solto do repouso, tendo liberdade para girar ao redor destes pontos.

• Resultados experimentais: O centro de gravidade é único para cada corpo rígido. Os corpos livres caem quando soltos do repouso. Qualquer

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corpo pode permanecer em equilíbrio ao ser solto do repouso, desde que apoiado por baixo com seu centro de gravidade localizado verticalmente acima da superfície de apoio. Qualquer corpo também pode permanecer em equilíbrio ao ser solto do repouso suspenso por um ponto ao redor do qual tenha liberdade de girar, desde que seu centro de gravidade esteja verticalmente abaixo do ponto de suspensão. Vai ocorrer equilíbrio está- vel (instável) quando qualquer perturbação da posição de equilíbrio fizer com que o CG do corpo suba (desça) em relação à Terra. O equilíbrio será indiferente se uma perturbação na posição de equilíbrio não alterar a altura do CG em relação à Terra. No caso de equilíbrio estável, qual- quer perturbação vai fazer com que o corpo oscile ao redor da posição de equilíbrio, até parar devido ao atrito. No caso de equilíbrio instável qualquer perturbação na posição do corpo vai fazer com que ele se afaste desta posição, deslocando-se inicialmente no sentido em que o CG desça quando comparado com sua colocação na situação de equilíbrio instável.

Até agora não demos nenhuma explicação para estes fatos. Estamos ape- nas descrevendo observações experimentais e resumindo os aspectos principais. Mas daqui para a frente usaremos estas observações experimentais básicas para explicar outros fenômenos mais complexos que podem ser derivados destas ob- servações.

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98

Capítulo 5

Explorando as Propriedades

do Centro de Gravidade

5.1 Atividades Lúdicas com o Equilibrista

Uma das atividades mais interessantes que podem ser feitas em sala de aula ou em um curso de aperfeiçoamento de professores é com um equilibrista de papel cartão. Esta atividade permite que os alunos assimilem e incorporem todos os conceitos que já foram vistos até agora. Ela também é muito divertida, especialmente se for realizada com várias pessoas ao mesmo tempo. A idéia é dar um problema aos alunos e deixar que eles próprios encontrem a solução, sem que o professor vá explicando os fenômenos que vão sendo observados, indicando apenas a seqüência dos procedimentos. Ela deve ser feita depois que os alunos realizaram a maior parte das experiências anteriores.

Material empregado (cada aluno deve construir o seu próprio equipamento e realizar todos os procedimentos descritos a seguir): Suporte com fio de prumo. Equilibrista de papel cartão, ver a Figura 5.1, com as dimensões em centímetros. Massa de modelar extra. Furador de papel.

O suporte com fio de prumo pode ser, por exemplo, um palito de churrasco com a ponta para baixo fincada em massa de modelar, com um alfinete na horizontal fincado na parte superior do palito e com um fio de prumo feito de linha de costura e chumbo de pesca, como usado anteriormente. Nos casos em que o equilibrista fica muito pesado com a massa de modelar, tal que tende a soltar o alfinete do suporte ou a escorregar para fora dele, pode-se utilizar como suporte um palito de churrasco na horizontal sobre a mesa, com o fio de prumo amarrado nele. Neste caso o equilibrista vai ficar suspenso pelo próprio palito de churrasco, em vez de ser suspenso pelo alfinete como no caso anterior.

As dimensões exatas do equilibrista não são tão importantes. O que é mais relevante por hora é que ele seja simétrico e que tenha os braços levantados e as pernas abaixadas, como mostrado na Figura 5.1. É interessante que os braços sejam mais compridos que as pernas já que a maior parte das brincadeiras serão

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2 2

2 2

2 2

2 2

5 5

10 10

64 4

9 9

22

Figura 5.1: Um equilibrista com suas dimensões em centímetros. Existem furos circulares nas mãos e nos pés.

feitas com ele de cabeça para baixo. As dimensões mostradas na Figura 5.1 são apropriadas para a prática que desenvolveremos a seguir, na qual o boneco fica equilibrado na mão dos alunos.

Uma outra propriedade muito importante do equilibrista é que ele deve ser rígido, não-deformável. Se colocarmos uma grande quantidade de massa de modelar, um equilibrista de cartolina pode se deformar. Para evitar que isto aconteça o papelão deve ser bem rígido. Pode-se, por exemplo, construir um equilibrista de plástico rígido que não é tão difícil de obter. Caso o equilibrista seja deformado pela massa de modelar utilizada nestas experiências, pode acon- tecer de não ser observado o que está descrito a seguir em alguns casos. Por este motivo é importante ter em mente esta precaução.

Inicialmente recortam-se vários equilibristas iguais tal que cada aluno fique com um modelo. Solicita-se que furem as mãos e os pés do equilibrista, como mostrado na Figura 5.1. Solicita-se que determinem o centro de gravidade do equilibrista das duas maneiras que já aprenderam:

(I) Encontrando o ponto em que o boneco fique equilibrado na horizontal apoiado sobre o suporte vertical ao ser solto do repouso, Figura 5.2.

(II) Dependurando-o com um alfinete passando pelos furos nas mãos ou nos pés, traçando depois em cada caso uma vertical com o auxílio do fio de prumo. O centro de gravidade deve ficar marcado no papel cartão, de preferência na frente e no verso, Figura 5.2.

Em seguida começa a atividade mais interessante. Solicita-se que cada aluno tente equilibrar o boneco de cabeça para baixo colocando apenas o dedo indi- cador esticado, na horizontal, debaixo da cabeça do boneco. Depois de alguns minutos de tentativa ninguém consegue equilibrá-lo. Alguns acham que é devido ao formato curvo da cabeça.

Solicita-se então que eles agora tentem equilibrar o boneco de cabeça para cima com o dedo indicador esticado e na horizontal. Ou seja, como se o boneco

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CG

CG

E1

E2

S1P

S2P

Figura 5.2: Encontrando o CG do equilibrista pelos dois primeiros procedimen- tos experimentais.

estivesse sentado no dedo. Depois de várias tentativas ninguém consegue, apesar da superfície de contato ser agora retilínea e poder ser colocada na horizontal. Por hora não se deve tentar explicar o motivo dos alunos não conseguirem realizar as tarefas solicitadas. A idéia é apenas prosseguir com as brincadeiras.

Solicita-se então que equilibrem o boneco na horizontal colocando o dedo indicador por baixo dele na vertical. Agora todos conseguem e observam facil- mente que o centro de gravidade do equilibrista está acima do dedo.

Feito isto, solicita-se que tentem equilibrar mais uma vez o boneco na hori- zontal, mas agora colocando o dedo indicador esticado na vertical por baixo da cabeça do boneco. Novamente ninguém consegue.

Vem agora a parte mais estimulante de toda a brincadeira. Distribui-se um pedaço de massa de modelar a cada estudante. Solicita-se novamente que eles tentem equilibrar o boneco de cabeça para baixo colocando o dedo indicador esticado, na horizontal, sob a cabeça do boneco, sem dobrar nem cortar o boneco. Afirma-se que agora eles podem usar a massa de modelar colocando-a sobre o boneco onde quiserem: no centro de gravidade, na mão, na perna ou onde quiserem (exceto na cabeça ou no “cabelo” do boneco, ou seja, na parte inferior da cabeça, para que a massa não grude no dedo indicador). Informa-se também que ela pode ser colocada inteira ou dividida em dois ou mais pedaços. A idéia aqui é deixar os alunos bem livres para experimentar e brincar, sem dar nenhuma receita de bolo indicando a maneira certa de funcionar. Eles começam um pouco tímidos e receosos sobre o que fazer. Mas aos poucos vão se soltando e começando a entrar no jogo. Depois de alguns minutos, um ou dois alunos conseguem equilibrar o boneco e dão largos sorrisos e manifestações verbais de contentamento. Os outros começam o olhar o que os primeiros fizeram e em pouco tempo todos conseguem. O procedimento para o sucesso é colocar uma quantidade suficiente de massa de modelar nas duas mãos até que o boneco fique de cabeça para baixo apoiado no dedo indicador, Figura 5.3.

Quando algum boneco não fica exatamente na vertical, basta que se afaste

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Figura 5.3: Um equilibrista de cabeça para baixo cai ao ser apoiado pela cabeça. Contudo, ao prender uma quantidade suficiente de massa de modelar em suas mãos ele fica equilibrado de cabeça para baixo.

mais as massas da cabeça (colocando-a mais na ponta das mãos, ou até mesmo dependuradas para fora das mãos, como se estivessem pingando das mãos), ou que se aumente a quantidade de massa nas mãos. Desta maneira o boneco acaba ficando bem na vertical.

Após todos os alunos terem conseguido, solicita-se que retirem a massa de modelar e a coloquem em algum outro lugar até que o boneco fique de cabeça para cima, sentado no dedo indicador esticado na horizontal. Um ou outro consegue atingir este objetivo de maneira um pouco mais rápida que no caso anterior. Os outros observam como eles fizeram e aos poucos todos conseguem realizar a tarefa. O procedimento para o sucesso é o de colocar a massa de modelar nos pés do boneco, Figura 5.4a.

Solicita-se então que alterem novamente a colocação da massa de modelar até que o boneco fique equilibrado na horizontal, apoiado com o dedo indicador es- ticado na vertical, sob a cabeça do boneco. Solicita-se apenas que não coloquem massa na cabeça do boneco, para evitar que ela grude no dedo indicador. De- pois de algumas tentativas todos conseguem (alguns alunos precisam ver como outros fizeram para então reproduzir o procedimento). Neste caso o sucesso pode ser alcançado de várias maneiras, não há um procedimento único. Uma técnica comum é a de colocar massas nas duas mãos e nos dois pés do boneco em quantidades apropriadas até que ele fique na horizontal, Figura 5.4b.

Depois desta fase solicita-se que novamente coloquem a massa de modelar em algum lugar até que o boneco fique de cabeça para baixo apoiado sobre o dedo indicador esticado na horizontal e colocado sob a cabeça do boneco. Rapidamente todos colocam uma quantidade suficiente de massa de modelar nas mãos do boneco até que ele fique na posição desejada, como na Figura 5.3. Para mostrar que o equilíbrio nesta nova situação é bem estável, pede-se

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Figura 5.4: Equilibrando o boneco em um plano vertical com a cabeça para cima, ou em um plano horizontal colocando o dedo indicador debaixo de sua cabeça. Nos dois casos o truque é saber onde colocar a massa de modelar e sua quantidade.

que balancem ou soprem lentamente o boneco. Também se pode pedir que o equilibrem sobre a extremidade superior do palito de churrasco, subindo depois todo o conjunto ao levantar a mão que segura o palito. Pode-se até mesmo equilibrar o boneco de cabeça para baixo colocando-o sobre o alfinete fincado no suporte! Mesmo neste caso, pode-se soprar ou empurrar lentamente o boneco que ele oscila ao redor da posição de equilíbrio, voltando depois a ficar parado de cabeça para baixo. Todos ficam muito admirados com isto. Este é um efeito notável e marcante que causa uma profunda impressão em todas as pessoas. A estabilidade alcançada por este boneco é realmente admirável.

Depois disto pergunta-se onde eles acham que se localiza o centro de gravi- dade nesta nova situação (boneco de cabeça para baixo com massa de modelar nas mãos). Alguns poucos acham que se localiza no mesmo lugar de antes (no meio do peito), mas a maioria acredita que se encontra na cabeça do boneco, mais especificamente no ponto em que a cabeça encontra o dedo indicador. Sem dar a resposta correta, solicita-se então que localizem com precisão o centro de gravidade utilizando o segundo método. Ou seja, dependurando o boneco com massa de modelar nas mãos através do alfinete do suporte. Na primeira ten- tativa dependura-se o boneco pelo furo de um dos pés e traça-se uma vertical. Depois se dependura o boneco pelo furo do outro pé e traça-se a segunda verti- cal. Deve-se dizer a eles que esta experiência deve ser bem precisa pois é muito importante que o CG seja bem localizado. Ao traçarem as verticais alguns acre- ditam que o método “não dá certo,” já que as verticais parecem não se cruzar (ou ao menos não se cruzam onde eles esperavam). Pede-se que continuem assim mesmo traçando as verticais. O resultado final, quando feito corretamente, é algo como o mostrado na Figura 5.5a.

103

E1E2

S1P S2P

E1E2

S1PS2P

CG

Figura 5.5: Encontrando o CG do equilibrista com massa de modelar nas duas mãos.

Se prolongarmos estas duas verticais, veremos que elas se cruzam fora da cabeça, em um ponto ao longo do eixo de simetria do boneco, entre a ponta da cabeça e as mãos (ou entre a ponta da cabeça e a parte inferior da massa de modelar), Figura 5.5b.

É interessante solicitar que cada aluno faça um desenho como este em seu caderno, em tamanho real, utilizando seu próprio boneco com massa nas mãos como modelo. Para encontrar a localização exata do CG do boneco com massa de modelar nas mãos, solicita-se aos alunos que equilibrem o boneco de lado, em um plano vertical, apoiando algum ponto do braço sobre o alfinete horizontal, até que o eixo do corpo fique paralelo à horizontal. O centro de gravidade localiza-se no cruzamento do eixo de simetria do corpo com a vertical passando pelo alfinete, obtida com o auxílio do fio de prumo, Figura 5.6.

SP

CG

Figura 5.6: Outra maneira de encontrar o CG de um equilibrista com massa de modelar nas duas mãos.

104

Só depois que os próprios alunos realizaram todas estas atividades é que o professor deve dar as explicações. Diz então que nos casos sem massa de modelar não se conseguia equilibrar o boneco de cabeça para baixo, nem sentado sobre o dedo indicador, já que o centro de gravidade no peito do equilibrista ficava sempre acima do ponto de apoio PA. E estas são situações de equilíbrio instável. Qualquer perturbação sobre o dedo ou sobre o boneco faz com que ele tombe, pois a tendência do CG é sempre de cair aproximando-se da Terra, ver a Figura 5.7. Também não se conseguia equilibrar o boneco na horizontal com o dedo sob a cabeça já que não havia nenhum apoio sob o CG no meio do peito. Logo, ao soltar o boneco, o CG sempre caía.

PAPA PA

CG CGCG

Figura 5.7: Equilíbrio instável.

Por outro lado, quando se coloca massa de modelar nas mãos do boneco e ele fica equilibrado de cabeça para baixo, o CG passa a ficar abaixo do dedo, ou seja, abaixo do ponto de suspensão PS. Esta é uma situação de equilíbrio estável. Se girarmos o boneco no sentido horário ou no sentido anti-horário, subimos o CG em relação à posição de equilíbrio, Figura 5.8.

PS CG CGCG

PS PS

Figura 5.8: Equilíbrio estável com massa de modelar nas mãos.

O mesmo ocorre se tombarmos o boneco para frente ou para trás, isto é, com o nariz ou com a nuca do boneco se aproximando da Terra. Também nestes casos subimos o CG. Ou seja, qualquer movimento do boneco ao redor do ponto de suspensão PS faz com que seu CG suba. Como a tendência do

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CG é sempre a de cair devido à gravidade terrestre, ele vai voltar à posição de equilíbrio estável, que é a posição na qual o CG fica o mais baixo possível.

Quando ele fica sentado no dedo com massa nos pés, novamente o CG fica entre a ponta inferior da massa e o ponto de suspensão PS, Figura 5.9.

PS

CG

Figura 5.9: Um boneco sentado em equilíbrio com massa de modelar nos pés.

Qualquer rotação do boneco ao redor do ponto de suspensão PS faz com que suba o CG. A gravidade faz então com que o CG caia, com o boneco voltando a ficar sentado no dedo.

Quando colocamos massa de modelar nas mãos e pés do boneco, tal que ele fique deitado na horizontal apoiado pelo dedo indicador na vertical sob a cabeça do boneco, o CG também fica verticalmente abaixo do ponto de suspensão. Neste caso é difícil localizar exatamente o CG, mas apresentamos na Figura 5.10 um boneco bem deformado para conseguir ilustrar a localização do CG.

CG

PS

Figura 5.10: Um boneco horizontal em equilíbrio com massa de modelar nas mãos e nos pés.

O corpo está na horizontal, a cabeça um pouco levantada, os braços um pouco inclinados para baixo, as massas estão nas mãos e pés do boneco. O ponto de suspensão PS é representado por um pequeno triângulo abaixo da cabeça. O novo CG não está mais no peito do boneco (como no caso sem massa de modelar), mas sim em algum ponto verticalmente abaixo do PS, entre o PS e o plano que passa pelas massas de modelar nas mãos e pés do boneco.

106

Ou seja, todos os fenômenos observados com o equilibrista podem ser expli- cados com as observações experimentais básicas e com as propriedades do CG apresentadas anteriormente. Mas é extremamente enriquecedor que os próprios alunos realizem esta atividade em sala de aula, cada um com seu equilibrista e com sua massa de modelar, já que isto causa um efeito muito marcante so- bre cada estudante. O sentimento de mistério e de admiração causados por esta prática são impressionantes. Depois desta atividade lúdica eles conseguem incorporar todos os aspectos principais ligados ao CG.

5.2 Brinquedos de Equilíbrio

Além do equilibrista homem, pode-se fazer também de papel cartão uma equi- librista mulher, ver a Figura 5.11. O princípio de funcionamento é igual ao do boneco. Em vez de usar massa de modelar nas mãos e nos pés, pode-se usar também chumbo de pesca ou outros materiais apropriados. Caso se queira fazer uma figura mais duradoura, é melhor recortá-la em lâmina de madeira e usar chumbo de pesca pois estes materiais não ressecam e não rasgam facilmente.

Figura 5.11: Uma equilibrista.

Podem ser feitas outras figuras simétricas como a borboleta, o papagaio ou o sapo, [Gas03, pág. 141], Figura 5.12. As bolas pretas nestas figuras representam pesos adicionais (por exemplo, massa de modelar).

É comum encontrar-se em lojas de presentes o passarinho que fica apoiado na ponta do bico. Em geral ele é de plástico, tendo chumbo escondido nas pontas das asas e, às vezes, no rabo. Ele também pode ser feito de papel cartão, como mostrado no modelo da Figura 5.13.

Neste caso coloca-se massa de modelar ou pequenos chumbos de pesca sob as pontas das asas e sob o rabo até que ele fique na horizontal apoiado sob o bico. A maior parte das pessoas acredita que neste caso o CG está exatamente na ponta do bico. Mas como já afirmamos anteriormente, na situação de equi- líbrio o CG não vai estar exatamente no bico, mas um pouco abaixo dele, entre a extremidade inferior dos chumbos e o bico. Quando balançamos um pouco

107

PS PS

PS

Figura 5.12: Uma borboleta, um papagaio e um sapo.

Figura 5.13: Um pássaro equilibrista que pode ficar parado em um plano hori- zontal ao ser apoiado com um suporte vertical sob o bico.

o passarinho (subindo ou abaixando uma das asas, ou então subindo ou abai- xando o rabo), ele vai oscilar ao redor do bico até voltar ao repouso na posição horizontal. Neste caso o CG está na posição mais baixa possível.

O boneco equilibrista que fizemos na atividade anterior funciona exatamente como este passarinho quando está equilibrado na horizontal com o dedo indica- dor vertical colocado debaixo da cabeça do boneco. Os pesos apropriados colo- cados nas mãos e nos pés do boneco, tal que ele fique equilibrado na horizontal, fazem com que o CG fique verticalmente abaixo da cabeça. A vantagem do bo- neco em relação ao passarinho comprado nas lojas é que alterando a quantidade e o local onde colocamos a massa de modelar, podemos deixar o equilibrista não apenas na horizontal como o passarinho, mas também na vertical de cabeça para cima ou de cabeça para baixo.

Existem também figuras de equilíbrio feitas de lâminas homogêneas que não utilizam qualquer peso adicional. Um dos exemplos mais interessantes é a arara ou o tucano mostrados nas Figuras 5.14, [Fer].

Estas figuras podem ser feitas de cartão duro. O pé pode ser um palito ou uma agulha. No caso do tucano apresentado na Figura 5.14, o pé é apenas o papel cartão cortado na forma de um triângulo. O importante é que o tucano tenha um rabo grande, tal que o centro de gravidade fique no espaço vazio entre

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CG CG

Figura 5.14: A arara e o tucano que ficam em equilíbrio em um plano vertical.

a ponta do pé e o rabo. Quando isto ocorre, o tucano fica equilibrado na vertical apoiado pela ponta do pé. Qualquer perturbação faz com que ele oscile ao redor desta posição de equilíbrio.

Outro brinquedo conhecido por todos é o João bobo ou João-teimoso, [Gas03, págs. 148-150]. Ele funciona baseado nos mesmos princípios que já vimos até aqui. Para construir um brinquedo assim basta que se utilizem dois hemisférios ou cascas esféricas de isopor, além de um chumbo ou outro objeto pesado. O CG da esfera de isopor fica no centro da esfera. O CG do chumbo fica no centro do chumbo. Quando colocamos o chumbo no fundo de um dos hemisférios, o CG do conjunto fica entre o chumbo e o centro da esfera, Figura 5.15.

CG

Figura 5.15: O João bobo.

Esta é a posição de equilíbrio estável do João bobo, já que o CG do conjunto está na posição mais baixa possível. Quando a esfera gira no sentido horário ou no sentido anti-horário, sobe o CG. A gravidade terrestre faz com que o boneco volte à posição anterior, Figura 5.16.

A tartaruga-cambalhota é um outro brinquedo interessante, [Gas03, págs. 151-153]. É um novo modelo de João-teimoso no qual o peso está colocado assimetricamente em relação a um hemisfério, Figura 5.17.

109

Figura 5.16: Equilíbrio estável do João bobo.

Figura 5.17: A tartaruga-cambalhota.

Neste caso utiliza-se apenas um hemisfério, um peso e uma figura plana de papel cartão com o mesmo diâmetro do hemisfério mas com quatro pernas e uma cabeça para simular o formato de uma tartaruga. O peso deve ficar do lado oposto à cabeça. Podemos segurar a tartaruga de cabeça para baixo com suas pernas em um plano horizontal, apoiando-a pelo queixo. Ao soltá-la nesta posição ela dá uma cambalhota e cai de pé em sua posição normal, Figura 5.18.

Figura 5.18: A tartaruga-cambalhota em ação.

O motivo para este comportamento é que a posição inicial da tartaruga não é de equilíbrio pois o CG não está no ponto mais baixo possível. Na posição de equilíbrio estável seu corpo fica inclinado. Pequenas perturbações ao redor da posição de equilíbrio estável fazem com que a tartaruga oscile ao redor desta posição. Quando a colocamos de cabeça para baixo na horizontal e a soltamos, ela começa a se deslocar abaixando o CG. Mas como adquire bastante energia cinética e só temos um hemisfério (ao contrário do João bobo que tem a forma externa esférica ou simétrica em relação à posição de equilíbrio estável), ela acaba dando uma cambalhota ao ultrapassar a posição na qual o plano das

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pernas chega à vertical.

5.3 Equilíbrio de Botequim

É comum em bares e lanchonetes realizar-se algumas brincadeiras de equilíbrio. Todas elas podem ser explicadas com os princípios já apresentados aqui. Mas elas não deixam de causar efeitos surpreendentes.

Uma das mais comuns é a brincadeira na qual uma rolha é atravessada por um prego ou por um palito de dentes ao longo de seu eixo de simetria, tal que o prego ou palito atravessem a rolha. Em seguida espetam-se dois garfos metálicos na rolha, inclinados para baixo na direção da ponta do prego. O conjunto pode ser então equilibrado colocando a ponta do prego sobre a tampa de uma garrafa de refrigerante ou de cerveja, [Gas03, pág. 144], Figura 5.19a.

PS

CG

PS

CG

Figura 5.19: Duas situações interessantes de equilíbrio.

Muitas pessoas acham que o centro de gravidade está na ponta do prego. Mas de fato a ponta do prego é apenas o ponto de sustentação PS do sistema. No equilíbrio estável, como já vimos, o CG localiza-se verticalmente abaixo do PS. Para perceber que este é um equilíbrio estável pode-se soprar um dos garfos tal que o sistema gire ao redor do eixo vertical. Também é possível soprar de leve um dos garfos verticalmente (ou abaixá-lo ligeiramente com um dedo, soltando- o do repouso). O sistema vai oscilar ao redor do plano horizontal, parando na posição de equilíbrio.

Outra situação interessante é a de uma cerveja cheia, com tampa, apoiada na borda de uma mesa fina por um abridor de garrafa, como na Figura 5.19b, [Gas03, pág. 144]. O PS ao longo do plano do abridor estará mais uma vez verticalmente acima do CG ao longo do eixo de simetria da garrafa. Para testar esta brincadeira é bom colocar alguma almofada ou suporte macio debaixo da garrafa. Com isto evita-se que quebre caso caia enquanto se está praticando a experiência.

Uma das situações mais notáveis e impressionantes utiliza um garfo metálico fincado a uma colher metálica. Atravessa-se um palito de dentes parcialmente

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pelos dentes do garfo. Neste momento o ideal é equilibrar o conjunto pelo dedo indicador na vertical colocado debaixo do palito, Figura 5.20.

Figura 5.20: Um garfo e uma colher equilibrados por um palito de dentes.

Com isto estamos localizando o PS do conjunto composto pelo garfo, colher e palito. Pode-se então prosseguir com a brincadeira alcançando um efeito ainda mais notável. Apóia-se então um segundo palito na boca de uma garrafa de cerveja aberta. Enquanto este segundo palito é firmado por uma mão, apóia-se o primeiro palito com seu PS colocado sobre a ponta deste segundo palito. Com um pouco de prática consegue-se finalmente soltar o sistema tal que ele fique em equilíbrio na posição mostrada na Figura 5.21.

Figura 5.21: O primeiro palito é apoiado pela ponta de um segundo palito colocado na boca de uma garrafa.

Novamente o CG do sistema vai estar verticalmente abaixo do PS. O im- pressionante desta brincadeira é que o PS está apoiado apenas por um ponto, ou seja, a ponta do segundo palito. Muitas pessoas ficam muito admiradas com este equilíbrio por acharem, erroneamente, que o CG está exatamente no ponto de contato dos dois palitos. E o equilíbrio é razoavelmente estável. Para veri- ficar isto basta que se sopre de leve a colher na horizontal, fazendo com que o sistema gire na horizontal ao redor de um eixo vertical passando pelo PS. Pode- se também soprar verticalmente de leve sobre a colher (ou abaixá-la lentamente com um dedo e então soltando-a do repouso). Neste caso o sistema oscila ao

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redor do plano horizontal, voltando depois à posição de equilíbrio original.

5.4 Equilíbrio do Corpo Humano

Várias brincadeiras interessantes podem ser feitas relacionadas ao equilíbrio de um ser humano, [sea]. As pernas e os braços de uma pessoa podem se deslocar de maneira independente do peito. Os braços, por exemplo, podem ficar para cima, para baixo, para frente, para trás, esticados, presos junto ao peito etc. Tudo isto altera a posição do CG de uma pessoa.

Vamos inicialmente analisar situações em que uma pessoa esteja em pé sobre uma superfície plana. O CG está então sobre o solo. Como já vimos anteri- ormente, só é possível um equilíbrio nesta situação quando o CG está vertical- mente acima da superfície de apoio. Quando uma pessoa está em pé seu CG está aproximadamente no meio do seu peito. Ela vai conseguir ficar equilibrada enquanto a projeção vertical do CG estiver dentro da região limitada por seus pés, Figura 5.22a. Quando a pessoa abre as pernas, aumenta esta região, Figura 5.22b. Com isto amplia-se a estabilidade de seu equilíbrio, como vimos pela Eq. (4.2).

Figura 5.22: Região de equilíbrio para uma pessoa em pé.

Uma primeira brincadeira é solicitar que uma pessoa na classe toque os pés com as mãos, sem dobrar os joelhos. Depois que ela faz isto, solicita-se que repita o procedimento. Só que agora de costas para uma parede, com os calcanhares encostados na parede. Ela não consegue. Para entender o que ocorre, o ideal é colocar a pessoa de lado para a classe, de perfil. Devem ser feitos também desenhos na lousa. Quando a pessoa está em pé, a projeção vertical do seu CG no peito passa sobre o pé. Ela só consegue tocar os pés com as mãos ao afastar a bunda para trás e colocar a cabeça para frente, tal que a projeção do CG continue caindo sobre a região dos pés, Figura 5.23a. Ao se encostar na parede, a pessoa não consegue mais chegar a esta posição. Ao abaixar os braços e o peito a projeção vertical do CG sai fora da área ocupada pelos pés, como mostra a Figura 5.23b, já que a parede impede a bunda de se afastar para trás. A pessoa então perde o equilíbrio e não consegue alcançar o objetivo proposto.

Outra brincadeira é a de se equilibrar sobre um pé afastando a outra perna lateralmente para fora do corpo. Todos conseguem isto. Solicita-se então que a pessoa repita o procedimento mas agora com o primeiro pé e o ombro encostados de lado em uma parede. Ninguém consegue se manter nessa posição ao afastar a outra perna lateralmente, levantando-a do solo. A explicação é a mesma da

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Figura 5.23: Pessoa em equilíbrio tocando os pés com as mãos.

situação anterior. Quando a pessoa está na posição normal com os dois pés no chão, a projeção vertical do CG cai entre os pés. A pessoa só consegue ficar equilibrada sobre um pé com a outra perna afastada lateralmente ao inclinar o corpo para o lado oposto, tal que a projeção do CG caia sobre o pé que está no chão, Figura 5.24b. Agora vamos ver o caso em que a pessoa está encostada de lado a uma parede, com o pé e o ombro juntos à parede. Ao afastar lateralmente a outra perna a tendência do corpo é de se afastar para o lado oposto. Mas a parede impede este deslocamento da parte superior do corpo, ver a Figura 5.24a. A projeção vertical do CG neste caso com a perna afastada cai fora da região do pé junto à parede. O CG começa então a se aproximar do solo, a pessoa perde o equilíbrio e não consegue alcançar o objetivo desejado.

Figura 5.24: Pessoa se equilibrando sobre um pé.

Uma terceira brincadeira que segue o mesmo princípio é a de solicitar que alguém fique na ponta dos pés, levantando os calcanhares. Todos conseguem,

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Figura 5.25a. Solicita-se então que a pessoa repita o procedimento encostando a ponta dos pés e o nariz em uma parede. Observa-se que nesse caso a pessoa não consegue levantar os calcanhares e permanecer em equilíbrio. A explicação é a mesma que nos casos anteriores, só que agora com movimentos de menor amplitude. Ou seja, a parede impede o deslocamento do corpo para a parte frontal. Com isso a projeção vertical do CG fica atrás da ponta dos pés e acabamos perdendo o equilíbrio, Figura 5.25b.

Figura 5.25: Pessoa se equilibrando na ponta dos pés.

Uma das experiências mais interessantes mostra uma distinção na localização dos centros de gravidade de mulheres e de homens. Devido ao quadril mais avantajado, a maioria das mulheres possui um CG um pouco mais baixo do que o CG dos homens de mesma altura. Solicita-se que uma moça fique ajoelhada e apoiada com os cotovelos junto aos joelhos, como se estivesse rezando no chão. Coloca-se então uma caixa de fósforos no chão na ponta dos dedos da moça. Solicita-se que ela agora coloque as mãos para trás das costas e que tente derrubar a caixa de fósforos com o nariz, sem cair, voltando depois para a posição inicial, Figura 5.26.

Figura 5.26: Uma mulher derrubando uma caixa de fósforos.

A maioria das moças consegue depois de algumas tentativas. Já os rapazes normalmente não conseguem isso. Na posição em que o nariz da moça está tocando a caixa de fósforos, a projeção vertical do seu CG cai sobre a região ocupada por seus joelhos e pés. Normalmente o CG dos rapazes é mais alto do

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que o das moças. Quando estão na mesma posição a projeção do CG de um rapaz vai estar fora da região ocupada por seus joelhos e pés, estando posicio- nado entre os joelhos e a caixa de fósforos. Como a tendência do CG é de cair quando não tem um apoio por baixo, o rapaz perde o equilíbrio e não consegue derrubar a caixa de fósforos (para não cair de nariz no chão).

Outras situações de equilíbrio ocorrem quando o CG de uma pessoa está abaixo de um ponto de sustentação PS. O exemplo mais interessante é o de um brinquedo representando um equilibrista na corda bamba de um circo, Figura 5.27. O CG de uma pessoa está no peito e ela tenderia a cair ao estar apoiada sobre uma fina corda esticada, já que qualquer perturbação da posição vertical tenderia a baixar seu CG. Para conseguir manter-se equilibrado, o boneco deste brinquedo segura um longo cabo curvo com pesos nas pontas. O objetivo do cabo é fazer com que o CG do sistema (boneco mais cabo) fique abaixo dos pés do boneco. Qualquer perturbação da posição vertical fará com que suba o CG. Isto ocorrerá não apenas para rotações horárias ou anti-horárias, mas também se o equilibrista inclinar-se para frente ou para trás. Como a tendência do CG é a de cair quando tem liberdade para isso, o equilibrista acaba voltando à posição vertical. Esta é uma posição de equilíbrio estável. Esta é a situação ideal de equilíbrio no caso de corpos rígidos, como no caso de um modelo de equilibrista na corda bamba, com o equilibrista e o cabo feitos de metal e rigidamente ligados entre si, com o cabo curvo e com peso nas pontas, como ocorre em alguns brinquedos e enfeites.

CG

Figura 5.27: Brinquedo representando um equilibrista na corda bamba.

A atividade lúdica que fizemos com o equilibrista de papel cartão apresenta uma situação análoga a esta. Não conseguimos manter o boneco equilibrado assentado no palito de churrasco, por exemplo. Mas quando colocamos uma quantidade suficiente de massa de modelar na parte debaixo de seus pés, con- seguimos equilibrá-lo sentado no palito, tal que seu corpo fique em um plano vertical. Ele pode tombar para um lado, para outro, para frente ou para trás que acaba voltando à posição de equilíbrio estável. Nesta posição o CG está verticalmente abaixo do PS e no ponto mais baixo possível.

No caso de uma pessoa real na corda bamba de um circo, o cabo em geral é reto, comprido e pesado. Neste caso o CG do conjunto equilibrista-cabo está acima dos pés da pessoa. A tendência da pessoa é cair com qualquer perturbação, já que a projeção vertical do CG vai se afastar para um lado ou para outro da corda. Para conseguir se equilibrar nestes casos a pessoa fica movimentando o cabo para um lado ou para outro, sempre em direção oposta ao seu movimento inicial de queda. Quando a pessoa começa a cair para um

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dos lados, o cabo é movimentado para o lado oposto (isto é, o centro do cabo não fica mais entre as duas mãos do equilibrista, mas vai para o lado oposto em relação ao lado do início da queda da pessoa). Com isto a projeção do CG do conjunto equilibrista-cabo volta a estar sobre a corda. Quando a pessoa começa a cair para o outro lado, o cabo é deslocado para a extremidade oposta. Para que os deslocamentos do cabo não sejam muito grandes, é importante que o cabo seja pesado. O equilibrista fica então movimentando o cabo para a esquerda e para a direita enquanto caminha pela corda bamba, [Wal08, págs. 46-47].

5.5 O ET

Um outro brinquedo muito curioso é o ET, [Fer06]. Ele é feito com duas rolhas, dois palitos de dente, quatro palitos de churrasco, pedaços de papel cartão para fazer as mãos e os pés, mais um suporte vertical para apoiar o boneco. Em vez dos palitos de dente, também é possível utilizar pregos ou agulhas.

O boneco é constituído de duas partes independentes. Caso uma das rolhas seja menor que a outra, deve ser usada na parte superior. Atravessa-se um palito de dente, prego ou agulha pelo eixo de simetria da rolha. Os palitos de churrasco que formarão os braços do boneco deverão ser cortados uns 3 cm antes de serem introduzidos na rolha. Eles devem ficar inclinados para baixo, do mesmo lado por onde sai o palito de dente. Esta também será a forma geral do corpo e das pernas do ET, Figura 5.28a.

Figura 5.28: Construção das duas partes do ET.

Nas pontas exteriores dos palitos de churrasco são presos pedaços de cartolina no formato de mãos. Quando a parte superior estiver construída, deve-se tentar equilibrá-la no dedo apoiando-a apenas pela ponta inferior do palito de dentes. Caso ela esteja caindo para um lado ou para outro, pode-se aumentar o peso ou tamanho das mãos, ou então colocar os palitos de churrasco com uma inclinação mais próxima da vertical. O importante é que o CG da parte superior fique abaixo da ponta inferior do palito de dentes na posição de equilíbrio estável, Figura 5.28b.

Constrói-se da mesma maneira a parte inferior do boneco. Neste caso pode ser necessário aumentar de forma exagerada o tamanho ou o peso dos pés do ET para que se consiga abaixar bem o CG de todo o conjunto. Novamente deve-se

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testar que também a parte inferior fique bem equilibrada em um plano vertical antes de prosseguir com a brincadeira, Figura 5.28c.

Feito isto, pode-se apoiar a parte superior do boneco colocando o palito de dentes sobre a rolha inferior. Depois é só colocar a rolha inferior apoiada com o seu palito de dentes sobre o suporte fixo. A montagem final deve ser algo parecido com a Figura 5.29.

Figura 5.29: O ET montado.

Este boneco não é um corpo rígido pois as duas partes são livres para oscilar ou girar independentemente entre si. Apesar disso cada parte do ET pode ser considerada, separadamente, como um corpo rígido. Balançando ou soprando o boneco consegue-se um efeito muito divertido e curioso.

Cada uma das partes só vai ficar equilibrada se seu CG estiver abaixo da ponta inferior do seu palito de dentes na posição de equilíbrio. E o CG do boneco como um todo precisa ficar abaixo da ponta inferior do palito de dentes de baixo para que ele fique equilibrado. Apesar disto existem duas variações possíveis. Na primeira o CG da parte superior do boneco fica abaixo da ponta inferior do palito de dentes de baixo. E na segunda o CG da parte superior do boneco fica acima da ponta inferior do palito de dentes de baixo.

Este é um brinquedo divertido e que pode suscitar várias questões curiosas por parte dos alunos.

Na próxima parte deste livro vamos ver várias definições que já foram apre- sentadas ao longo dos séculos para o conceito do centro de gravidade. Veremos que sempre foi muito difícil encontrar palavras apropriadas para definir o CG de forma geral. Vários autores importantes lidaram com este tema. Além da defi- nição conceitual, foi importante termos clarificado o procedimento experimental para encontrar de maneira inequívoca este ponto. Em uma parte posterior deste livro vamos lidar com o cálculo teórico do centro de gravidade. Com isto vamos

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analisar de todas as formas um dos temas mais importantes e fascinantes de toda a mecânica.

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Capítulo 6

Alguns Aspectos Históricos

sobre o Conceito do Centro

de Gravidade

6.1 Comentários de Arquimedes, Heron, Papus,

Eutócius e Simplício sobre o Centro de Gra-

vidade

Apresentamos agora alguns aspectos históricos relacionados ao conceito do cen- tro de gravidade, CG. Em particular, vamos analisar como este conceito foi definido e como ele era obtido experimentalmente. Estamos interessados em ver este aspecto no período em que este conceito surgiu e se estabeleceu. As infor- mações a seguir vieram essencialmente das obras originais de Arquimedes (ver referências ao final do livro), Heron, [Her88], Papus, [Pap82], Heath, [Arc02] e [Hea21], Dijksterhuis, [Dij87], e Duhem, [Duh05], [Duh06] e [Duh91].

A observação de que um corpo rígido pode permanecer em equilíbrio ao ser solto do repouso sobre a superfície da Terra, quando apoiado por baixo por um suporte rígido, é conhecida desde os primórdios da civilização. Apesar disto, o tratamento sistemático e científico das condições que determinam o equilíbrio de corpos sobre a superfície da Terra originou-se na Grécia. Pelo menos é de lá que vêm os documentos mais antigos tratando do centro de gravidade e apresentando resultados teóricos ligados a este conceito.

Arquimedes é a pessoa principal que lidou com este conceito na Grécia an- tiga. O centro de gravidade também é chamado de baricentro. O prefixo “bari” é um elemento de composição que vem do grego, significando peso, pesado ou grave. Daí surgem outras palavras como barisfera (núcleo central da Terra), bá- rion (designação das partículas elementares pesadas como o próton e o nêutron) etc. A tradução da expressão grega do CG é “centro do peso.” A maneira mais

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simples de entender esta expressão e o conceito por trás dela é observar a expe- riência na qual apoiamos um triângulo na horizontal com o palito de churrasco abaixo de seu baricentro. Para simplificar estamos supondo uma figura plana homogênea, rígida e sem buracos. Vemos da experiência que a figura só fica parada em equilíbrio em um plano horizontal ao ser solta do repouso, quando é apoiada por baixo por um pequeno suporte rígido vertical colocado sob um único ponto da figura, o baricentro. Como todo o peso da figura está apoiado neste ponto, como se estivesse concentrado nele, é natural chamá-lo de centro do peso.

O trabalho mais antigo de Arquimedes que sobreviveu tem como título Sobre o Equilíbrio dos Planos ou Sobre o Centro de Gravidade das Figuras Planas, [Arc02, pág. 189] e [Dij87, pág. 286]. No Apêndice B ao final deste livro apresentamos uma tradução da primeira parte deste trabalho. O centro de gravidade já aparece nos postulados 4 a 7, sem qualquer definição anterior:

“Postulado 4: Nas figuras planas iguais e semelhantes, sobrepostas uma sobre a outra, os centros de gravidade também se sobrepõem um sobre o outro.”

“Postulado 5: Nas figuras planas desiguais, mas semelhantes, os cen- tros de gravidade serão situados semelhantemente. Dizemos que pontos estão situados semelhantemente nas figuras semelhantes quan- do as linhas retas ligando estes pontos aos vértices dos ângulos iguais formam ângulos iguais com os lados homólogos.”

“Postulado 6: Se grandezas se equilibram a certas distâncias, então grandezas equivalentes a estas grandezas se equilibrarão, por sua vez, nas mesmas distâncias.”

“Postulado 7: O centro de gravidade de toda figura cujo perímetro gira sua concavidade para o mesmo lado tem de estar no interior da figura.”

O mais provável é que o CG houvesse sido definido por Arquimedes em algum de seus outros trabalhos relacionados com mecânica que estão atualmente perdidos, a saber: Sobre os Centros de Gravidade, Elementos de Mecânica, Equilíbrios, Sobre Balanças ou Sobre Alavancas, e Livro das Colunas.

Na Proposição 6 do seu trabalho sobre a Quadratura da Parábola, Arquime- des afirma que provou teoricamente o seguinte resultado, [Mug71a, pág. 171], [Duh06, pág. 307] e [Duh91, pág. 463]:

“Todo corpo, suspenso por qualquer ponto, assume um estado de equilíbrio quando o ponto de suspensão e o centro de gravidade do corpo estão ao longo de uma mesma linha vertical; pois esta propo- sição já foi demonstrada.”

Isto sugere que Arquimedes conhecia a maneira prática apresentada nas experiências que descrevemos anteriormente de se obter o CG de um corpo qualquer. Ou seja, dependura-se o corpo por um ponto de suspensão PS1,

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aguarda-se que o corpo atinja o equilíbrio, e traça-se uma vertical passando por este ponto com o auxílio de um fio de prumo. Dependura-se então o corpo por um outro ponto de suspensão PS2 que não esteja ao longo da primeira vertical, aguarda-se o novo equilíbrio, e traça-se uma segunda vertical passando por PS2. O cruzamento das duas verticais é o CG do corpo. Mas é importante enfatizar que para Arquimedes esta não era uma definição do CG. Em vez disto, ele provou teoricamente este resultado utilizando uma definição prévia do que é o CG de um corpo e também algum postulado que está perdido hoje em dia.

A frase de Arquimedes que acabamos de citar, afirmando que esta proposição foi demonstrada para todo corpo, não aparece com esta generalidade na tradução de Heath dos trabalhos de Arquimedes. O trabalho de Heath é uma paráfrase, isto é, ela conserva as idéias originais de Arquimedes, mas as reescreve em notação moderna e omite partes do texto que ele não considerou essenciais. Aqui vai a apresentação feita por Heath das importantes Proposições 6 e 7 do trabalho Quadratura da Parábola, [Arc02, pág. 238]. Nestas Proposições a expressão △BCD significa a área do triângulo BCD, que é suposto como tendo densidade uniforme. Isto é, seu peso é proporcional ao tamanho de sua área, o mesmo acontecendo com a área P do retângulo que ele utiliza nesta Proposição.

“Proposições 6,71.

Suponha uma alavanca AOB colocada horizontalmente e suspensa em seu ponto médio O. Suponha que um triângulo BCD é suspenso por B e por O, com o ângulo C sendo um ângulo reto ou obtuso, de tal forma que C é ligado em O e CD está na mesma linha vertical que O. Então, se P for uma área tal que, quando suspensa por A, ela mantém o sistema em equilíbrio,

P = 1

3 △BCD .

Suponha um ponto E sobre OB tal que BE = 2OE, e trace EFH paralelo a OCD, encontrando BC e BD em F e H , respectivamente. Seja G o ponto médio de FH .

1Nota do Heath: Na Prop. 6 Arquimedes considera o caso separado no qual o ângulo BCD do triângulo é um ângulo reto de tal forma que C coincide com O na figura e F coincide com E. Ele então demonstra, na Prop. 7, a mesma propriedade para o triângulo no qual BCD é um ângulo obtuso, ao tratar o triângulo como a diferença entre dois triângulos retângulos BOD e BOC, e usando o resultado da Prop. 6. Combinei as duas proposições em uma demonstração, por brevidade. O mesmo deve ser dito das proposições que se seguem às Props. 6 e 7.

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A

P

O E B

C

D H

G

F

Então G é o centro de gravidade do triângulo BCD.

Portanto, se forem soltos os vértices B e C, e o triângulo for suspenso ligando F a E, o triângulo vai continuar dependurado na mesma posição anterior, pois EFG é uma linha reta vertical. “Pois isto foi demonstrado2.”

Portanto, como antes, vai haver equilíbrio.

Assim

P : △BCD = OE : AO = 1 : 3 ,

ou

P = 1

3 △BCD .′′

Eutócius de Ascalon (480-540) escreveu comentários que ainda existem sobre três obras de Arquimedes: Medida do Círculo, Sobre a Esfera e o Cilindro, e Sobre o Equilíbrio dos Planos. Aparentemente ele não conheceu outras obras de Arquimedes. Ao comentar o Livro I de Sobre o Equilíbrio dos Planos, Eutócius apresenta alguns esclarecimentos sobre o conceito do centro de gravidade, já que este conceito não é definido nesta obra de Arquimedes (ao menos como ela che- gou até Eutócius e a nós). As idéias são de Eutócius e não de Arquimedes, mas não deixam de ser interessantes. Citamos aqui as partes relevantes traduzidas a partir da versão em francês publicada em 1972 por Charles Mugler (ele traduziu as obras completas de Arquimedes, assim como os comentários de Eutócius, do grego para o francês), [Mug72, págs. 166-167]:

“Comentários de Eutócius relativos ao Livro I do Tratado de Arqui- medes Sobre o Equilíbrio das Figuras Planas.

Introdução ao livro I. (...) Nesta obra, Arquimedes define o centro de movimento de uma figura plana como sendo o ponto tal que,

2Nota do Heath: Sem dúvida no livro perdido πǫρί ζυγω̂ν. Conferir a Introdução, Capítulo II, ad fin.

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quando suspendemos a figura por este ponto, ela permanece paralela ao horizonte, e define o centro de movimento ou de gravidade de duas ou de várias figuras planas como sendo o ponto tal que, quando suspendemos as figuras por este ponto, a haste (ligando as figuras) permanece paralela ao horizonte.

A B

Г

A

B

Г

Δ

Seja, por exemplo, o triângulo ABΓ e em seu interior o ponto △, tal que quando o triângulo é suspenso por este ponto, o triângulo permanece paralelo ao horizonte. É então evidente que as partes B e Γ do triângulo se equilibram e que nenhuma das duas se inclina mais do que a outra em relação ao horizonte. Da mesma forma, sendo AB uma haste da balança e as grandezas A e B estando suspensas por ela, se a haste, estando suspensa pelo ponto Γ, mantém as partes A e B em equilíbrio, e permanece paralela ao horizonte, Γ será o ponto de suspensão das grandezas A e B.”

Estas são definições claras e intuitivas, como vimos nas primeiras experiên- cias da parte anterior deste livro. Mas são limitadas pois não tratam de figuras planas côncavas ou com buracos, nas quais o CG encontra-se no vazio. Além disso, não se aplicam ao caso de corpos volumétricos. Apesar disto, conseguem ilustrar aspectos muito importantes do CG. É também interessante ver as ex- pressões alternativas usadas para o centro de gravidade: centro de movimento e ponto de suspensão.

Para ter uma idéia de como o conceito do CG pode ter sido definido por Arquimedes, vamos citar aqui algumas passagens que aparecem na obra Me- cânica do matemático Heron (século I d.C.), na obra Coleção Matemática do matemático Papus (século IV d.C.) e nos Comentários do filósofo Simplício (sé- culo VI d.C.) da obra Sobre o Céu, de Aristóteles (384-322 a.C.). Estes autores discutiram o trabalho de Arquimedes, citam alguns trechos de suas obras atu- almente perdidas e seguem, provavelmente, seus conceitos e linhas de raciocínio ao lidarem com a teoria baricêntrica.

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Há muita controvérsia sobre o período em que viveu Heron de Alexandria, mas em geral concorda-se que viveu no século I da nossa era. Só existem frag- mentos gregos de seu livro Mecânica, em três partes. Mas foi preservada uma tradução completa em árabe. A partir desta tradução foram feitas traduções para outras línguas modernas como o francês, em 1893, e o alemão, em 1900.

Heron apresenta uma definição do CG como dada pelo estóico Posidônio, que provavelmente viveu antes de Arquimedes: “O centro de gravidade ou de inclinação é um ponto tal que, quando o peso é dependurado por este ponto, ele fica dividido em duas porções equivalentes,” [Her88, Capítulo 24, pág. 93]. Heath já traduz esta frase para o inglês da seguinte forma: “É um ponto tal que, se o corpo é suspenso por ele, o corpo é dividido em duas partes iguais,” [Hea21, pág. 350]. Esta definição é vaga e problemática. Em primeiro lugar é difícil saber como um ponto, ou mesmo uma reta vertical passando por este ponto (se interpretarmos assim a frase de Posidônio), pode dividir um corpo volumétrico em duas partes. Mesmo se o corpo for uma figura plana, um ponto não vai dividi-lo em duas partes. E uma reta só vai dividir uma figura plana em duas partes se estiver no mesmo plano que a figura. Logo teríamos de imaginar um triângulo, por exemplo, dependurado em um plano vertical. E mesmo neste caso não são todas as verticais passando pelo CG que vão dividir o triângulo em duas áreas iguais ou em dois pesos iguais. Vamos supor um triângulo ho- mogêneo dependurado em um plano vertical. Já vimos anteriormente que uma reta passando pelo CG e por um dos vértices divide um triângulo em duas par- tes de mesma área e de mesmo peso. Já uma reta paralela à base e passando pelo CG não divide o triângulo em duas áreas iguais, ver a Figura 4.7. Apesar disso, o triângulo em um plano vertical permanecerá em equilíbrio ao ser solto do repouso se for dependurado pelo CG ou por qualquer outro ponto que esteja verticalmente acima do CG. O mesmo vai acontecer se supormos na definição de Posidônio que o corpo é dividido por um plano vertical passando pelo CG. Neste caso pode-se imaginar um triângulo equilibrado em um plano horizontal apoiado por um plano vertical colocado debaixo dele (na verdade o suporte ver- tical tem de ter uma pequena espessura, como a borda de uma régua). Caso o plano vertical passe por um vértice e pelo CG, o corpo vai ficar em equilíbrio e a projeção superior deste plano vai dividir o triângulo em duas áreas iguais ou em dois pesos iguais. Mas se o plano vertical for paralelo à base e passar pelo CG, ele não vai dividir o triângulo em duas áreas iguais nem em dois pesos iguais. Apesar disto, o triângulo também ficará em equilíbrio neste caso ao ser solto do repouso, como vimos na Experiência 4.5.

Uma outra expressão utilizada por Heron para designar o CG, além de “cen- tro de peso,” é a de “centro de inclinação” ou “centro de queda.” Provavelmente esta expressão já era usada na Grécia antiga. Esta é uma expressão interessante e muito instrutiva. Já vimos que a tendência de qualquer corpo mais denso que o ar é a de cair em direção à Terra ao ser solto do repouso. Caso o corpo seja suspenso por um ponto de sustentação PS e solto do repouso, podendo girar ao redor deste ponto, o movimento inicial do CG (supondo que ele não coincida com o PS) é o de cair aproximando-se da Terra. Logo, é como se a tendência de queda estivesse concentrada no CG do corpo.

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Em seguida Heron afirma que Arquimedes distinguiu o “ponto de suspensão” do “centro de inclinação.” Logo depois apresenta as seguintes palavras: “O ponto de suspensão é um ponto qualquer sobre o corpo ou sobre a figura não corporal, tal que quando o objeto suspenso é suspendido por este ponto, suas partes ficam em equilíbrio, isto é, ele não oscila nem se inclina,” [Her88, Capítulo 24, pág. 93] e [Hea21, pág. 350]. A expressão “figura não corporal” aqui pode significar o caso em que o CG está no vazio, como no caso de um anel. O que está sendo chamado aqui de “ponto de suspensão” e a definição que Heron apresentou pode ser a maneira como Arquimedes definia o centro de gravidade. Veremos depois uma definição análoga em Papus.

Heron também afirma: “O centro de inclinação em cada corpo é um ponto único em direção ao qual são traçadas as cordas de suspensão que partem dos suportes. O centro de gravidade em certos corpos é exterior à substância dos cor- pos; é o que ocorre, por exemplo, nos arcos e nos braceletes. As linhas segundo as quais são prolongadas as cordas convergem todas em um ponto comum,” [Her88, Capítulo 24, pág. 95]. Ele parece estar descrevendo aqui o procedi- mento prático de se encontrar o CG através do cruzamento de todas as verticais passando pelos pontos de suspensão nos casos em que o corpo está em equilíbrio, parado em relação à Terra. Este é o procedimento prático mais importante para se encontrar o CG. Ele permite que se obtenha experimentalmente o CG de qualquer corpo rígido, como vimos anteriormente. Heron menciona ainda que o CG não precisa estar, necessariamente, na parte material do corpo, pois pode situar-se no vazio, como no caso de anéis ou de rodas.

Heron menciona ainda que Arquimedes resolveu em seu livro Sobre Colunas ou Sobre Suportes problemas do seguinte tipo, [Her88, Caps. 25-31] e [Hea21, pág. 350]: Uma viga ou parede pesada é apoiada por vários pilares, eqüidistantes ou não, em número par ou em número ímpar, com a viga ou a parede projetando- se ou não para fora das extremidades dos pilares, encontrando então qual parte do peso total é suportada por cada pilar. Heron ainda diz que os mesmos princípios se aplicam quando o corpo (viga ou parede) é suspenso por cabos. Em outra parte de seu livro Heron considera o problema de um triângulo de espessura uniforme, na horizontal, sendo apoiado por um pilar em cada vértice. Encontra então qual peso é suportado por cada pilar em diversos casos: (a) quando eles suportam apenas o triângulo, (b) quando eles suportam o triângulo mais um dado peso colocado em qualquer ponto sobre ele. Por último, se pesos conhecidos são colocados sobre os vértices do triângulo, Heron encontra o centro de gravidade do sistema. Estende depois sua análise ao caso de polígonos.

Heron cita ainda: “Arquimedes disse que os corpos pesados podem ficar em equilíbrio sem se inclinar ao redor de uma linha ou ao redor de um ponto,” [Her88, págs. 93-94]. Ou seja, pode-se evitar que um corpo caia para a Terra suportando-o ao longo de uma linha reta ou em um ponto. Em relação a este aspecto, Papus considera um corpo apoiado em um único ponto por uma vareta vertical colocada embaixo do corpo e afirma que “se o corpo está em equilíbrio, a projeção vertical para cima da vareta tem de passar pelo centro de gravidade [do corpo],” citado em [Hea21, pág. 350], ver também [Pap82, págs. 817-818].

Papus apresenta uma definição explícita do CG, a saber: “Dizemos que o

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centro de gravidade de qualquer corpo é um certo ponto dentro desse corpo tal que, se for concebido que o corpo está suspenso por este ponto, o peso assim sustentado permanece em repouso e preserva sua posição original,” [Pap82, Livro VIII, pág. 815] e [Dij87, pág. 299]. Outra afirmação análoga: “É claro também que, se imaginarmos que o corpo é suspenso pelo seu ce