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Caṕıtulo 4

Linhas de Transmissão

4.1 Introdução

Até o caṕıtulo anterior foram estudados fenômenos referentes às ondas eletroma- gnéticas propagando-se em meios abertos. Neste caṕıtulo é feita uma análise do comportamento de ondas eletromagnéticas guiadas por linhas de transmissão, assim como as caracteŕısticas destas linhas e as técnicas de casamento de impedância aplicadas para a máxima transferência de energia eletromagnética.

Uma Linha de Transmissão (L.T.) é um dispositivo empregado para guiar uma onda eletromagnética de um ponto a outro do espaço. Na prática, uma L.T. pode ser utilizada, por exemplo, para ligar um transceptor a uma antena, um conjunto de computadores em rede, uma difusora de sinais de TV aos seus assinantes ou, então, conectar os diversos componentes e circuitos de um sistema de alta freqüência. Ex- istem diversas geometrias de linha de transmissão em aplicações de alta frequência. As mais comuns são: coaxial, par de fios, par de fios trançados, fita, microfita, etc.. A Figura 4.1 mostra algumas destas estruturas. Além disso, as linhas de transmissão podem ser classificadas como uniforme e não uniforme, com perdas e sem perdas. As linhas uniformes mantêm a geometria da seção transversal e as caracteŕısticas elétricas e magnéticas ao longo do seu comprimento. Enquanto as linhas sem perdas são aquelas onde as ondas eletromagnéticas não sofrem qualquer tipo de atenuação ao longo da direção de propagação.

4.2 Equação de uma Linha de Transmissão

Nesta seção são apresentadas duas abordagens que descrevem o comportamento das ondas de tensão e corrente, que estão associadas às ondas eletromagnéticas guiadas

63

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 64

condutores dielétrico

d

2a

wl

h

dielétrico

condutores

(a)

(b)

(c)

2a

Figura 4.1: Alguns tipos de linha de transmissão: (a) coaxial; (b) fita de fios par- alelos; (c) microfita.

por linhas de transmissão uniformes.

4.2.1 Abordagem Eletromagnética

Considerando um sistema constitúıdo de uma linha coaxial que liga um gerador a uma impedância de carga, como mostrado na Figura 4.2, pode-se obter as ex- pressões dos campos eletromagnéticos da onda no material dielétrico entre condu- tores utilizando-se as equações de Maxwell, ou então, as equações de onda. Sendo assim, o campo elétrico no dielétrico do cabo coaxial obedece a equação

2E1 v2f

2E

∂t2 = 0 (4.1)

enquanto o campo magnético é obtido a partir de

2H1 v2f

2H

∂t2 = 0 (4.2)

As ondas são do tipo TEM (no caso dos condutores serem perfeitos), propagando-se no sentido z+ ou z− com velocidade de fase

65 4.2. Equação de uma Linha de Transmissão

Z g

l

Z L

Figura 4.2: Gerador de RF acoplado a uma impedância de carga através de uma L.T. coaxial.

vf = 1√ µ 

(4.3)

Se o gerador fornece uma tensão que varia harmonicamente no tempo, isto é,

Vg(t) = Vo e jωt (4.4)

então, os campos seguem o mesmo tipo de variação temporal, ou seja,

E(r, z, t) = E(r, z) e jωt

e

H(r, z, t) = H(r, z) e jωt (4.5)

sendo E(r, z) e H(r, z) dados pelas equações de Helmholtz

2E(r, z)

∂ z2 − γ2E(r, z) = 0 (4.6)

e 2H(r, z)

∂ z2 − γ2H(r, z) = 0 (4.7)

onde γ é a constante de propagação. Sabe-se pela teoria eletromagnética que a tensão entre os condutores de um cabo

coaxial, medidos num plano z qualquer, está relacionada com o campo elétrico no dielétrico deste através de

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 66

V (z) = − b

a

E(r, z)·dr = b

a

E(r, z) dr (4.8)

Enquanto a magnitude das correntes nos condutores pode ser obtida a partir de

I(z) =

C

H(r, z)·dl = 2π∫ 0

H(r, z) r dϕ = 2πrH(r, z) (4.9)

Integrando-se a equação (4.6) em relação a r, de a a b, obtém-se

d2V (z)

d z2 − γ2V (z) = 0 (4.10)

Assim como, multiplicando-se (4.7) por 2πr, tem-se

d2I(z)

d z2 − γ2I(z) = 0 (4.11)

Apesar das equações acima, denominadas de Equações de uma Linha de Trans- missão, terem sido deduzidas para uma linha coaxial, elas são válidas para qualquer tipo de linha de transmissão.

4.2.2 Abordagem de Circuitos

Sabe-se que um cabo coaxial, assim como qualquer linha de transmissão, apresenta uma certa capacitância e indutância dependendo de sua geometria e caracteŕısticas elétricas e magnéticas dos materiais que os compõe. A capacitância medida entre os condutores de uma L.T. depende: do comprimento, dos raios de seus condutores e da permissividade do material dielétrico. Enquanto a indutância depende, além das dimensões da L.T., da permeabilidade. O circuito equivalente de uma linha uniforme sem perdas é mostrado na Figura 4.3a, enquanto a Figura 4.3b apresenta o circuito equivalente de uma L.T. com perdas. A tensão num trecho infinitesimal de um dos condutores, de uma L.T. com perdas, é dada por

dV = ZI dz (4.12)

ou dV

dz = ZI (4.13)

67 4.2. Equação de uma Linha de Transmissão

(a)

(b)

L

C

L

C

L

C

L

C G

R L

C G

R

Figura 4.3: Circuito equivalente de uma L.T.: (a) sem perdas; (b) com perdas.

Já a corrente que atravessa numa fatia de espessura infinitesimal de dielétrico é fornecida por

dI = Y V dz (4.14)

ou dI

dz = Y V (4.15)

onde Z = R + jωL (4.16)

é a impedância por comprimento de linha e

Y = G+ jωC (4.17)

a admitância, sendo L, C, R e G, respectivamente, a indutância, capacitância, resistência do condutor e condutância do dielétrico por unidade de comprimento. Derivando-se (4.13) e (4.15) em relação a z têm-se, respectivamente,

d2V

dz2 =

dZ

dz I + Z

dI

dz (4.18)

e

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 68

d2I

dz2 =

dY

dz V + Y

dV

dz (4.19)

Para linhas uniformes, Z e Y não variam com z, logo

d2V

dz2 = Z

dI

dz (4.20)

ou

d2V

dz2 = Z Y V (4.21)

e

d2I

dz2 = Y

dV

dz (4.22)

ou

d2I

dz2 = ZY I (4.23)

Reescrevendo-se (4.21) e (4.23), têm-se

d2V

d z2 − ZY V = 0 (4.24)

e

d2I

d z2 − ZY I = 0 (4.25)

Uma comparação entre as equações (4.10) e (4.24), assim como (4.11) e (4.25), mostra que a constante de propagação numa L.T. pode ser obtida a partir de

γ = α+ = √ ZY (4.26)

A velocidade de fase, neste caso, é obtida de

vf = ω

Im[γ] (4.27)

Para uma linha sem perdas têm-se

γ = = jω √ LC (4.28)

e

69 4.3. Solução da Equação de uma L.T.

vf = ω

β =

1√ LC

(4.29)

4.3 Solução da Equação de uma L.T.

A solução das equações (4.10) e (4.24) é da forma

V (z) = V1e γ z + V2 e

−γ z (4.30)

enquanto para (4.11) e (4.25), têm-se

I(z) = I1e γ z + I2 e

−γ z (4.31)

ou

I(z) = 1

Z

dV

dz =

γ

Z

[ V1e

γ z − V2 e−γ z ]

(4.32)

ou ainda

I(z) =

Y

Z

[ V1e

γ z − V2 e−γ z ]

(4.33)

As soluções são combinações lineares de um par de funções ortogonais, uma vez que as equações diferenciais são lineares ordinárias de segunda ordem. Fisicamente, as soluções (4.30) e (4.31) representam, respectivamente, ondas de corrente e tensão propagando-se no sentido z−(primeiros termos das equações) e z+(segundos termos), sendo as constantes V1, V2, I1 e I2 fasores associados às ondas.

As soluções completas, incluindo a variação temporal harmônica, são

V (z, t) = V − + V + = V1eα ze jωt+β z + V2 e−α z e jωt−β z (4.34)

e

I(z, t) = I− + I+ = I1eα ze jωt+β z + I2 e−αz e jωt−β z (4.35)

4.4 Impedância Caracteŕıstica

A impedância caracteŕıstica de uma linha de transmissão é a razão entre a tensão e a corrente obtida num determinado plano z, isto é,

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 70

Zo = V −

I− = −V

+

I+ =

Z

Y =

R + jωL

G+ jωC (4.36)

Para linhas uniformes, a impedância caracteŕıstica não varia ao longo do seu compri- mento. Se houver perdas, a impedância é complexa, com valor fornecido por (4.36). Para perdas despreźıveis, tem-se R = G  0, o que leva a

Zo 

L

C (4.37)

Neste caso, a impedância é real, sendo a indutância por unidade de comprimento determinada pela expressão [19]

L = Λ

I l =

µ

l

∫∫ S H · ds

C H · dl (4.38)

e a capacitância por unidade de comprimento

C = Q

V l = −

l

∫∫ S E · dsb

a E · dl

(4.39)

sendo Λ o fluxo magnético produzido pelo indutor e Q a carga elétrica no capacitor.

4.4.1 Coaxial

A impedância caracteŕıstica de um cabo coaxial sem perdas, como aquele mostrado na Figura 4.1a, é obtida a partir da equação (4.37), utilizando-se a expressão da indutância obtida de (4.38) e a da capacitância através de (4.39). Portanto, resolvendo-se (4.38), obtém-se

L = µo 2π

ln

( b

a

) (4.40)

e de (4.39)

C = 2π

ln ( b a

) (4.41) Substituindo (4.40) e (4.41) em (4.37), tem-se

Zo = 1

2π

µo  ln

( b

a

) =

ηo 2π

√ r

ln

( b

a

) (4.42)

71 4.4. Impedância Caracteŕıstica

ou

Zo = 60√ r

ln

( b

a

) (4.43)

Exemplo 4.1 Qual deve ser a razão entre o condutor interno e externo para que uma linha coaxial tenha impedância de 75? Considere como dielétrico um plástico de permissividade relativa igual a 4.

Solução: Pela equação (4.43), pode-se obter facilmente esta relação, ou seja,

ln

( b

a

) =

75 4

60 = 2, 5 =⇒ b

a = e2,5 = 12, 2

Portanto, se o condutor interno tiver, por exemplo, 1mm de raio, o externo deverá ter 12,2mm.

4.4.2 Par de Fios Paralelos

No caso de dois fios paralelos separados por uma fita dielétrica espaçadora (vide Figura 4.1b), têm-se

L = µo π

ln

( d− a a

) (4.44)

e

C = π

ln ( d−a a

) (4.45) Substituindo (4.44) e (4.45) em (4.37), tem-se

Zo = 120√ r

ln

( d− a a

) (4.46)

Se d  a, então

Zo  120√ r

ln

( d

a

) (4.47)

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 72

4.4.3 Microfita

A determinação da expressão de impedância caracteŕıstica para microfitas, como aquela mostrada na Figura 4.1c, não é feita de forma totalmente anaĺıtica, devido a geometria da mesma. Vários trabalhos sobre o assunto podem ser encontrados na literatura cient́ıfica [24][12]. Um destes trabalhos é o de Hammerstadt (1975) [15] que fornece expressões para a análise e śıntese de linhas de microfitas. Os valores obtidos destas expressões apresentam erros inferiores a 1% quando r  16 e 0, 05  w/h  20, sendo w a largura da fita e h a espessura do substrato.

Para a análise de fitas com w/h < 1, utiliza-se

Zo = 60√ ef

ln

( 8h

w +

w

4h

) (4.48)

Como parte da onda se propaga no dielétrico e parte se propaga no ar, então, torna- se necessário se obter uma permissividade relativa efetiva, representada na equação (4.48) por ef . Para este caso, a permissividade efetiva é dada por

ef = r + 1

2 +

r − 1 2

[( 1 +

12h

w

)1/2 + 0, 04

( 1− w

h

)2] (4.49)

Para a análise de fitas com w/h  1, utiliza-se

Zo = 120π√ ef

[w h + 1, 393 + 0, 667 ln

( 1, 444 +

w

h

)]1 (4.50)

com

ef = r + 1

2 +

r − 1 2

( 1 +

12h

w

)1/2 (4.51)

No caso de śıntese, tem-se, para Zo > 442r, w

h =

8

eA − 2 e−A (4.52)

e para Zo < 442r,

w

h =

2

π

{ B − 1ln(2B − 1) + r − 1

2r

[ ln(B − 1) + 0, 2930, 517

r

]} (4.53)

sendo

73 4.5. Perdas numa L.T.

A = Zo 60

r + 1

2 +

r − 1 r + 1

( 0, 226 +

0, 121

r

) (4.54)

e

B = 60π2

Zo √ r

(4.55)

Exemplo 4.2 Calcule a largura de uma microfita para que ela tenha uma impedância caracteŕıstica de 50. A linha será impressa numa placa de circuito impresso de dupla face com espessura de 2mm e permissividade relativa 3.

Solução: Como se quer projetar uma linha de microfita, deve-se então verificar qual é a equação mais apropriada para a śıntese, (4.52) ou (4.53). Neste caso, como Zo > 442r = 38Ω, deve-se utilizar a primeira equação. Sendo assim, calculando-se

A = 50

60

√ 3 + 1

2 +

31 3 + 1

( 0, 226 +

0, 121

3

)  1, 312

e substituindo este valor na equação (4.52), obtém-se

w

h =

8

e1,312 2 e−1,312  2, 52

A largura da fita é então w = 2, 52h = 5, 04mm.

4.5 Perdas numa L.T.

Na prática, as perdas, obtidas a partir do fator de atenuação α = Re[γ], são peque- nas. A atenuação de uma L.T. é função da freqüência e das caracteŕısticas elétricas e magnéticas dos materiais que a constitui. Em geral, os valores do fator de atenuação são fornecidos em dB/m, utilizando-se a relação

αdB = 20 log e−α = 8, 686α (4.56) A Tabela 4.1 apresenta alguns valores t́ıpicos de fator de atenuação para cabos

coaxiais comerciais em três freqüências distintas.

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 74

Tabela 4.1: Impedância e atenuação para alguns cabos comerciais. Valores obtidos do catálogo da Times Microwaves Systems.

Cabo Zo αdB (100MHz) αdB (400MHz) αdB (1GHz) Coxial (Ω) dB/m dB/m dB/m RG-6 75 0,089 0,184 0,308 RG-11 75 0,072 0,151 0,253 RG-59 75 0,108 0,226 0,374 RG-58 50 0,151 0,308 0,502 RG-213 50 0,066 0,141 0,24

Exemplo 4.3 Um cabo coaxial é utilizado para ligar uma antena parabólica de impedância igual a 75ao receptor de mesma impedância. A distância entre eles é de 10m e a freqüência de operação 1GHz. Qual a melhor opção de cabo? Qual a atenuação total no cabo?

Solução: Para manter o sistema casado, a melhor opção é utilizar cabos de impedância caracteŕıstica de mesmo valor dos dispositivos, como será estudado nas próximas seções deste caṕıtulo. Além disso, pela Tabela 4.1, o cabo com menor atenuação, e impedância igual a 75Ω, é o RG-11. A atenuação total introduzida pelos 10m de cabo é fornecida por

Acb = αdB l = 0, 253× 10 = 2, 53 dB

4.6 Linhas com Terminação

A Figura 4.4 mostra uma linha de transmissão com impedância caracteŕıstica Zo, terminada por uma impedância de carga ZL. A equação de uma L.T. fornece como solução geral um par de ondas de tensão ou corrente, propagando-se ao longo da linha em sentidos contrários. Identificando-se a onda que se propaga no sentido gerador- carga como onda incidente V −(ou I−) e no sentido inverso como onda refletida V +(ou I+), pode-se escrever para o plano z = 0,

V (0) = V − + V + = V1 + V2 (4.57)

onde V1 e V2 são fasores que estão relacionados um com o outro através do coeficiente de reflexão de tensão

ρv(0) = |ρv(0)| ejφv = V2 V1

(4.58)

75 4.6. Linhas com Terminação

l

Z L

Z g

z 0

V- , I -

V+ , I + Z

o

Figura 4.4: Linha de transmissão terminada por uma impedância de carga.

portanto,

V (0) = V1 [1 + ρv(0)] (4.59)

Para um plano z qualquer tem

V (z) = V1 [1 + ρv(z)] (4.60)

sendo

ρv(z) = V +

V − = |ρv(0)| e jφv−2γ z (4.61)

Da mesma forma pode-se obter

I(z) = I1 [1 + ρi(z)] (4.62)

sendo

ρi(z) = I+

I− = |ρi(0)| e jφi−2γ z = −V

+

V − = −ρv(z) (4.63)

A impedância de carga está relacionada com as ondas de tensão e corrente como segue:

ZL = V (0)

I(0) =

V1 [1 + ρv(0)]

I1 [1 + ρi(0)] = Zo

1 + ρv(0)

1− ρv(0) (4.64)

logo,

ρv(0) = |ρv(0)| ejφv = ZL − Zo ZL + Zo

(4.65)

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 76

4.6.1 Impedância Equivalente

A impedância, “vista” em direção à carga, num plano z qualquer da linha de trans- missão, é fornecida por

Zeq(z) = V (z)

I(z) = Zo

1 + ρv(z)

1− ρv(z) (4.66)

onde

ρv(z) = ρv(0) e − 2γ z (4.67)

Portanto, substituindo (4.67) em (4.66) e levando-se em consideração (4.65), tem-se

Zeq(z) = Zo 1 + ZL−Zo

ZL+Zo e− 2γ z

1− ZL−Zo ZL+Zo

e− 2γ z = Zo

ZL + Zo tgh γ z

Zo + ZL tgh γ z (4.68)

Esta é a impedância equivalente à impedância de carga mais o trecho de linha com comprimneto z. Se não existem perdas na linha, então α = 0, tgh γ z = j tg β z e

Zeq(z) = Zo ZL + jZo tg β z

Zo + jZL tg β z (4.69)

4.6.2 Toco em Aberto

A impedância “vista” nos terminais de um trecho (ou toco) de linha com terminação em aberto é obtida pela equação (4.68) fazendo-se ZL → ∞, ou seja,

ZTA = Zo

tgh γ z = Zo cotgh γ z (4.70)

Para o caso sem perdas tem-se

ZTA = Zo

j tg β z = −j Zo cotg β z (4.71)

4.6.3 Toco em Curto

A impedância “vista” nos terminais de um trecho (ou toco) de linha com terminação em curto é obtida pela equação (4.68) fazendo-se ZL = 0, ou seja,

ZTC = Zo tgh γ z (4.72)

Para o caso sem perdas tem-se

77 4.7. Coeficientes de Reflexão para Zg Complexo

ZTC = j Zo tg β z (4.73)

4.7 Coeficientes de Reflexão para Zg Complexo

Na seção anterior, tanto a impedância do gerador quanto a impedância caracteŕıstica da linha foram consideradas reais. Entretanto, em alguns problemas de casamento ou otimização de circuitos, estas impedâncias podem assumir valores complexos. Nesta condição, as equações que fornecem os coeficientes de reflexão são definidas em sua forma mais geral, como será visto a seguir.

Z g

Z* g

V g

V+

I+

(a)

Z g

Z L

V g

I+

(b)

V++V - I-

Figura 4.5: Gerador com impedância complexa ligado a uma impedância: (a) Z∗g ; (b) ZL qualquer.

Considere uma impedância de carga ligada diretamente aos terminais de um gerador de impedância complexa, como mostrado na Figura 4.5. Na condição de casamento, situação onde ocorre a máxima transferência de energia, ZL = Z

∗ g (o

asterisco denota complexo conjugado). Logo, não existe ondas refletidas e

I = I+ = Vg

ZL + Zg =

Vg Z∗g + Zg

(4.74)

enquanto

V = V + = ZLI + =

Z∗gVg Z∗g + Zg

(4.75)

como apresentado na Figura 4.5a. Entrentanto, quando ZL = Z∗g , estas ondas refletidas estão presentes no circuito (vide Figura 4.5b) e o coeficiente de reflexão de tensão, neste caso, é dado por

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 78

ρv = V −

V + =

V

V + 1 = ZLVg

ZL + Zg

Z∗g + Zg Z∗gVg

1 = Zg ( ZL − Z∗g

) Z∗g (ZL + Zg)

(4.76)

e o de corrente

ρi = I−

I+ =

I

I+ 1 = Vg

ZL + Zg

Z∗g + Zg Vg

1 = Z ∗ g − ZL

ZL + Zg (4.77)

ou

ρi = − Z∗g Zg

ρv (4.78)

Note que, para Zg real, a equação (4.78) é idêntica à (4.63).

4.8 Coeficiente de Onda Estacionária

4.8.1 Coeficientes de Reflexão e Transmissão

Como foi visto anteriormente, os coeficientes de reflexão dependem do plano onde se mede as correntes e tensões da linha. Os coeficientes de reflexão de tensão e cor- rente, num plano z qualquer, são dados respectivamente por (4.67) e (4.63). Assim como, no caso de ondas TEM planas incidindo normalmente sobre uma interface, os coeficientes de transmissão no plano z = 0 são fornecidos por

τv(0) = 1 + ρv(0) = 2ZL

ZL + Zo (4.79)

e

τi(0) = 1 + ρi(0) = 2Zo

ZL + Zo (4.80)

4.8.2 Coeficiente de Onda de Tensão Estacionária

O coeficiente de onda de tensão estacionária, conhecido como VSWR (Voltage Stand- ing Wave Ratio), é a razão entre a tensão máxima e a mı́nima medidas ao longo da linha transmissão, isto é,

VSWR = Vmax Vmin

= |V1|+ |V2| |V1| − |V2| =

1 + |ρv| 1− |ρv| (4.81)

79 4.9. Técnicas de Casamento de Impedância

Desta forma, medindo-se o VSWR da linha, pode-se obter o módulo do coeficiente de reflexão de tensão através de

|ρv| = VSWR − 1 VSWR + 1

(4.82)

Como o módulo do coeficiente de reflexão varia entre 0 e 1, o VSWR tem valor mı́nimo igual a 1 e máximo .

Exemplo 4.4 Suponha agora, para o exemplo anterior, que você só tem dispońıvel cabos de 50. Qual deve ser o VSWR nos terminais do receptor? Considere a permissividade relativa do cabo igual a 4.

Solução: Considere a Figura 4.4 como referência, sendo ZL a impedância da antena e Zg a impedância do receptor. Para se obter o VSWR nos terminais do receptor, é necessário determinar a impedância equivalente do conjunto cabo-antena. Portanto, desprezando-se as perdas, esta impedância pode ser calculada a partir de (4.69), ou seja,

Zeq(10m) = 50 75 + j50 tg (10β )

50 + j75 tg (10β) = 38, 7− j14Ω

pois β = 2π √ r/λo = 4π/0, 3  42 rd/m. O coeficiente de reflexão nos terminais do

receptor é dado por

ρv(10m) = Zeq(10m)− Zg Zeq(10m) + Zg

= 38, 7− j1475 38, 7− j14 + 75 = 0, 34∠152

e o VSWR

VSWR = 1 + 0, 33

10, 33  2 Na prática, valores acima de 1,5 são considerados altos.

4.9 Técnicas de Casamento de Impedância

Foi visto nas seções anteriores que o coeficiente de reflexão numa L.T. depende de sua impedância caracteŕıstica e da impedância da carga. Só não existirá onda refletida na linha quando ZL = Zo, caso contrário, o coeficiente de reflexão será diferente de zero. Acontece que nem sempre se tem cabos ou linhas com impedância caracteŕıstica igual à impedância de carga, como foi visto no Exemplo 4.3. Imagine que o sistema representado na Figura 4.4 fosse o circuito equivalente de um transmissor de TV, com impedância de sáıda de 50Ω, ligado a uma antena dipolo de meio comprimento

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 80

de onda através de uma linha cuja impedância Zo = 50Ω. Neste situação, certamente existirá onda refletida, uma vez que a impedância de um dipolo de λ/2 é complexa e igual a 73 + j42Ω.

Nesta seção serão abordadas algumas técnicas que utilizam tocos em aberto ou em curto posicionados em paralelo em determinados pontos (planos) da linha de transmissão. A introdução destes tocos possibilitam a redução ou eliminação por completo das ondas refletidas, devido a descasamentos de impedância entre linha- carga e/ou gerador-linha.

4.10 Carta de Smith

Na śıntese de circuitos de casamento de impedância, muitas operações envolvendo números complexos têm que ser efetuadas, uma vez que as impedâncias dos tocos e trechos de linhas são em geral complexas. Antes do advento dos computadores e calculadoras cient́ıficas, estes cálculos demandavam um certo tempo. Para min- imizar este tempo de cálculo, Philip H. Smith introduziu, em 1939, um ábaco de impedâncias e admitâncias que ficou conhecido posteriormente como Carta de Smith. Atualmente todas as técnicas de casamento podem ser programadas em computa- dores ou calculadoras programáveis. Entretanto, a Carta de Smith tem a vantagem de mostrar de uma forma gráfica as impedâncias e o processo de casamento, sendo até hoje utilizada para fins didáticos e em equipamentos de medição.

A Figura 4.12 mostra uma versão da Carta de Smith com indicação de impedâncias e admitâncias em português. A Carta pode ser empregada para representar impedâncias ou admitâncias normalizadas. Em geral, se utiliza a impedância (ou admitância) caracteŕıstica da linha de transmissão como referência para normalização. Sendo assim, o centro da carta representa uma impedância (ou admitância) normalizada igual a 1 e todos os pontos da circunferência, que passa pelo centro da Carta, rep- resentam impedâncias (ou admitância) normalizadas cuja parte real é igual a um. As circunferências de diâmetros menores representam impedâncias (ou admitância) com parte real maior que 1 e, as de diâmetros maiores, as impedâncias com parte real menor que 1. As impedâncias (ou admitância) sobre o eixo horizontal que passa pelo centro da Carta têm valores puramente reais e podem variar de 0 (ponto extremo à esquerda) a (ponto extremo à direita). Os pontos sobre as curvas, que na real- idade são partes de circunferências cujos centros estão fora da Carta, representam as impedâncias (ou admitância) com mesma parte imaginária. Os valores normal- izados das reatâncias (susceptâncias) para cada curva estão identificados próximos à borda da Carta. As curvas do semićırculo superior representam reatâncias induti- vas (susceptâncias capacitivas), enquanto as do semićırculo inferior representam as

81 4.10. Carta de Smith

reatâncias capacitivas (susceptâncias indutivas). Na borda da Carta estão represen- tados os valores puramente imaginários.

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 1,4

-0,2

-0,4

-0,6 -0,8 -1

-1,4

8

P1

P3

P2

VSWR=1.81

A

B

C

73,3 o

Figura 4.6: Circunferência de VSWR = 1, 81 e impedâncias normalizadas no plano: z = 0 (P1), z = λ/8 (P2) e z = λ/4 (P3).

Tomando-se como exemplo o sistema mostrado na Figura 4.4, com os valores de Zo = 50Ω e ZL = 50+j 30Ω, pode-se representar a impedância de carga normalizada por

zL = ZL Zo

= 1, 0 + j 0, 6 (4.83)

indicada na Carta como ponto P1. Esta é também a representação da impedância equivalente da linha, “vista” em direção à carga, no plano z = 0. Para outros planos sobre a linha, pode-se verificar que os valores obtidos a partir de (4.69) correspondem aos pontos de uma circunferência cujo centro coincide com o centro da Carta. Esta circunferência é denominada de circunferência de VSWR constante. À proporção que o plano de medição se afasta da carga, indo em direção ao gerador, os pontos correspondentes às impedâncias medidas se afastam do ponto P1, no sentido horário. Assim, um ponto de impedância, medido no plano z = λ/8, é um ponto sobre a circunferência, com raio medido do centro da Carta até o ponto

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 82

P2, que está deslocado 90no sentido horário do ponto P1. No plano z = λ/4, o deslocamento é de 180(meia volta na Carta) e em z = λ/2 tem-se uma volta inteira sobre a circunferência (vide Figura 4.6). Se o deslocamento fosse no sentido contrário, isto é, anti-horário, o plano de medição estaria sendo deslocado ao longo da linha no sentido gerador-carga. Estes sentidos estão indicados na borda da Carta (Figura 4.12).

Uma outra grandeza que se pode medir diretamente na Carta é o coeficiente de onda estacionária. Ele é o resultado da interseção entre a circunferência de VSWR constante e o eixo das impedâncias (ou admitância) puramente reais, medido entre 1 e (vide Figura 4.6). Para se obter o coeficiente de reflexão no plano z = 0, por exemplo, traça-se uma reta partindo-se do centro da Carta e passando pelo ponto P1 até atingir a borda. Denominando-se o trecho da reta que vai até o ponto P1 de AB e o trecho do centro à borda de AC, pode-se obter o módulo do coeficiente de reflexão fazendo

|ρv(0)| = AB AC

= 0, 287 (4.84)

enquanto o ângulo é obtido diretamente da leitura na escala de ângulos localizada na borda da Carta (veja escala na Figura 4.12), neste caso, φv = 73, 3

. Algumas Cartas, como aquela da Figura 4.12, apresentam uma escala linear para obtenção do módulo do coeficiente de reflexão, eliminando assim o cálculo em (4.84).

4.11 Casamento com Toco e Trecho de Linha

Os circuitos de casamento com um toco e trecho de linha podem ser de dois tipos: toco e trecho, como mostrado na Figura 4.7a; trecho e toco, como mostrado na Figura 4.7b. A escolha do circuito mais adequado depende da impedância de carga e da impedância caracteŕıstica da linha. A seguir são apresentados dois exemplos, um para cada tipo de esquema toco-linha.

4.11.1 Trecho de linha e toco

Suponha que se quer casar um transmissor de impedância de sáıda igual a 50Ω com uma carga ZL = 50 + j 30Ω, através de uma linha e toco com impedância caracteŕıstica Zo = 50Ω . A tarefa então é determinar os comprimentos do toco e do trecho de linha, sendo que o primeiro passo consiste em normalizar a impedância de carga pela impedância caracteŕıstica da linha de transmissão. Este valor é fornecido por (4.83).

83 4.11. Casamento com Toco e Trecho de Linha

l

Z L

Zg

Zo

l t

l

Z L

Zg

Z o

l t

(a)

(b)

Figura 4.7: Casamento com um toco e trecho de linha: (a) toco em curto próximo à carga; (b) toco em aberto próximo ao gerador.

Como o casamento será feito através de um toco em paralelo posicionado num dado ponto da linha, é interessante se trabalhar com admitâncias normalizadas. Portanto, o próximo passo é a conversão da impedância normalizada zL para ad- mitância normalizada yL. Isso pode ser feito através da própria Carta de Smith (vide Figura 4.8), partindo-se do ponto P1, caminhando-se sobre a circunferência de VSWR constante até o ponto P2 , o que equivale a meia volta na Carta (l = λ/4). Por quê? A justificativa matemática vem de (4.69) considerando-se o comprimento z = λ/4, isto é,

Zeq(λ/4) = Z2o ZL

(4.85)

ou

zeq = 1

zL = yL (4.86)

Uma vez obtido yL = 0, 735 − j 0, 441 (ponto P3), é necessário caminhar na cir- cunferência de VSWR constante, no sentido horário (carga-gerador), para se obter a parte real de yL igual a 1. Neste caso, por coincidência, o valor de admitância

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 84

normalizada é aquele fornecido por (4.83), ou seja, y3 = zL = 1 + j 0, 6 (ponto P1). O comprimento do trecho de linha percorrido é de λ/4. Sendo assim, para casar o circuito, resta apenas introduzir um toco em aberto ou em curto neste ponto da linha, de forma a eliminar a susceptância normalizada de valor igual a 0,6.

y4 = y3 + yT = 1 (4.87)

onde yT = −j 0, 6. O toco que oferece esta susceptância com o menor comprimento deve ter uma das suas terminações em curto. O comprimento normalizado deste toco é indicado na Carta da Figura 4.8.

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 1,4

-0,2

-0,4

-0,6 -0,8 -1

-1,4

8

P1

P2

l T = 0,164 λ

Figura 4.8: Casamento utilizando-se um trecho de linha e toco. O ponto P1 repre- senta zL e y3, enquanto P2 indica yL.

4.11.2 Toco e trecho de linha

Considerando-se agora a mesma carga acoplada, através de uma linha de 50Ω, a um gerador de 125Ω, tem-se como impedância equivalente normalizada, necessária para casar o sistema, zeq = 2, 5. Conseqüentemente, a admitância normalizada que se deve obter nos terminais do gerador é igual a 0,4. Observe na Carta (Figura 4.9) que

85 4.11. Casamento com Toco e Trecho de Linha

a circunferência de VSWR = 1,81 não tem ponto de interseção com a circunferência de 0,4, sendo assim, não é possivel casar o sistema com o circuito trecho-toco (Figura 4.7b). É necessário primeiro aumentar o VSWR na linha através da introdução de um toco no plano z = 0 e, em seguida, determinar o trecho de linha necessário para casar o circuito. Neste caso, o VSWR tem que ser maior ou igual a 2,5. Traçando-se, por exemplo, uma circunferência de VSWR = 2,5, observa-se que a interseção ocorre no ponto 0,4 da Carta. Para atingir este valor de coeficiente de onda estacionária de linha é necessário a introdução de um toco cuja susceptância normalizada tem valor igual a 0, 325. Dessa forma, a admitância da carga fica com valor normalizado igual a 0, 735 − j 0, 766 (ponto P3). O menor comprimento de toco é obtido com um toco em curto, pois a susceptância é negativa. O valor lT = 0, 2λ é indicado na Carta da Figura 4.9. Finalmente, para se obter o casamento, parte-se do ponto P3 e caminha-se na circunferência de VSWR = 2,5 no sentido horário até atingir o ponto P4. Isso equivale a um trecho de linha l = 0, 132λ.

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

0,4

0,6

0,8 1 1,4

-0,2

-0,6 -0,8 -1

-1,4

8

P1

P4

P2

P3

-0,4

l=0,132λ

l T =0,2λ

VSWR=1.81 VSWR=2.5

Figura 4.9: Casamento utilizando-se um toco lT e um trecho de linha l. Os pontos P1, P2, P3 e P4 representam respectivamente zL = 1+ j 0, 6, yL = 0, 735− j 0, 441, y3 = 0, 735− j 0, 766 e y4 = 0, 4.

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 86

4.12 Casamento com Dois Tocos e Trechos de Linha

O casamento de impedância de um sistema composto de linhas de transmissão pode também ser feito fixando o comprimento de um ou mais trechos de linha e variando- se o comprimento de dois tocos posicionados em pontos distintos da L.T.. A Figura 4.10a mostra um circuito de casamento deste tipo.

Z g

l 1

Z LZo

l 2

Z o

Z g

l 1

Z LZo

lt2 l 2

Z o

lt3

(a)

(b)

A B

Figura 4.10: Circuito de casamento com: (a) dois tocos; (b) três tocos.

Tomando-se mais uma vez como exemplo uma carga com ZL = 50+j 30Ω, ligada a um gerador 50Ω, através de uma L.T. de Zo = 50Ω, e considerando que o compri- mento elétrico total do sistema de casamento tem que ser igual a 135, pergunta-se: qual deve ser os comprimentos dos tocos e trechos de linha para casar o sistema? O primeiro passo é normalizar a impedância de carga em função da impedância caracteŕıstica e, em seguida, encontrar a admitância normalizada, completando-se meia volta na Carta de Smith a partir do ponto referente a zL (Figura 4.11). Como é exigido um comprimento elétrico θ = 3π/4, então o comprimento total da linha tem que ser

l = l1 + l2 = θ

2π λ =

3λ

8 (4.88)

87 4.13. Casamento com Três Tocos e Trechos de Linha

Escolhendo-se, por exemplo, l1 = λ/8 e l2 = λ/4, tem-se no plano z = l2 (plano B na Figura 4.10a) a admitância normalizada igual à impedância zL (Ponto P1), uma vez que se caminhou λ/4 na linha de transmissão em direção ao gerador. O obje- tivo é chegar aos terminais do gerador (plano A na Figura 4.10a) com impedância equivalente igual à impedância de sáıda deste, no caso 50Ω (zg = 1). Observe que a admitância normalizada no plano A, antes da introdução do toco 1, tem que ter parte real igual a 1, uma vez que o toco 1 só eliminará a parte imaginária desta admitância. Isso equivale a dizer que a admitância no plano A, antes da introdução do toco 1, pode ser qualquer ponto sobre a circunferência que passa pelo ponto de admitância normalizada igual a 1. Esta condição pode ser levada para o plano B, bastando para isso girar a circunferência de 90no sentido anti-horário, como mostrado na Figura 4.11. O giro, neste caso, é de 90no sentido anti-horário porque se caminhou sobre um trecho de linha de λ/8 em direção à carga. Através do toco 2, pode-se deslocar a admitância normalizada do ponto P1 para o ponto P3 ou P4, alterando-se apenas a parte imaginária desta admitância. Tomando-se como exemplo o deslocamento para o ponto P3, verifica-se que o valor da susceptância normalizada necessária é de +1,4. Sendo assim, é interessante se utilizar um toco em aberto com comprimento lt2 = 0, 152λ. A admitância equivalente normalizada no plano A, sem a introdução do toco 1, é obtida girando-se 1/4 de volta (90) no sentido horário, isto equivale ao ponto P5. Finalmente, o casamento é alcançado introduzindo-se o toco 1 em aberto com comprimento lt1 = 0, 176λ, cuja a susceptância normalizada é +2.

Observe que, se fosse escolhido o ponto P4, não haveria necessidade de um se- gundo toco no plano A, pois o sistema já estaria casado apenas com o trecho de linha l2 e toco 2.

4.13 Casamento com Três Tocos e Trechos de Linha

Se no exemplo anterior a impedância normalizada da carga tivesse parte real maior que 2, o ponto marcado na Carta estaria dentro da circunferência de parte real igual a 2. Isto significa dizer que a introdução de um toco no plano B nunca levaria a admitância à circunferência de casamento (a 90) indicada na Carta. Portanto, torna-se necessário a introdução de um terceiro toco no plano z = 0, como mostrado na Figura 4.10b, de forma a alterar a admitância da carga. Tente, por exemplo, determinar os comprimentos dos tocos para uma impedância de carga ZL = 150 + j 50Ω. Considere os mesmos comprimentos de linha l1 = λ/8 e l2 = λ/4 e impedância caracteŕıstica Zo = 50Ω.

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 88

10,40,2 0,6 0,80 1,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6 -0,8 -1

-1,4

8

P1

P2

l T2

=0,152 λ

P3

P4

P5

1,410,8

0,4

0,6

l T1

=0,176 λ

possíveis valores de admitância no plano B antes da introdução

do toco 2

possíveis valores de admitância no plano A antes da introdução

do toco 1

Figura 4.11: Casamento com dois tocos e trechos de linha l1 = λ/8 e l2 = λ/4, onde P1, P2, P3, P4 e P5 são respectivamente zL = y1 = 1 + j0, 6, y2 = 0, 73 − j 0, 44, y3 = 1 + j2, y4 = 1 e y5 = 1− j2.

4.14 Casamento com Transformador

Nas seções anteriores foram abordadas técnicas de casamento de impedância onde o casamento entre um gerador e uma impedância de carga é alcançado ajustando-se os comprimentos de tocos e trechos de linha. Em alguns casos, o casamento pode ser obtido fixando o comprimento do trecho e variando-se a impedância caracteŕıstica. Um exemplo muito comum deste tipo de técnica é o transformador de λ/4. Esse transformador é na realidade um trecho de linha de comprimento l = λ/4 onde a impedância equivalente no plano z = l é dada por (4.85). Sendo assim, a impedância caracteŕıstica é obtida de

Zo = √ ZL Zeq (4.89)

Note que os valores da impedância do gerador e da carga têm que ser reais para que a impedância caracteŕıstica também seja.

Exemplo 4.5 Utilize a placa de circuito impresso do Exemplo 4.2 para confeccionar uma linha de microfita que atue como um transformador de λ/4. O transformador

89 4.14. Casamento com Transformador

deve ser usado para casar a impedância de uma antena de 300com a equivalente de 50do conjunto cabo-receptor que opera em 200MHz.

Solução: A impedância da linha deve ser, neste caso,

Zo = 300× 50 = 122, 5Ω

e sua largura,

w  (

8

eA − 2 e−3A ) h = 0, 39× 2mm = 0, 785mm

pois

A = 50

122, 5

√ 3 + 1

2 +

31 3 + 1

( 0, 23 +

0, 11

3

)  3, 02

O comprimento da linha de microfita é dado por

l = λo

4 √ ef

= 1, 5

4 2, 43

= 241mm

sendo ef obtido pela equação (4.49), ou seja,

ef = 2 + (1 + 12× 0, 39)1/2 + 0, 04× (10, 39)2  2, 43

CAṔıTULO 4. Linhas de Transmissão 90

0.1

0.1

0. 1

0.2

0.2

0. 2

0.3

0.3

0. 3

0.4

0.4

0. 4

0.5 0.5

0. 5

0. 6

0. 6

0. 6

0. 7

0. 7

0. 7

0. 8

0. 8

0. 8

0. 9

0. 9

0. 9

1. 0

1. 0

1. 0

1. 2

1. 2

1. 2

1. 4

1. 4

1. 4

1. 6

1. 6

1. 6

1. 8

1. 8

1. 8

2.0 2.0

2. 0

3.0

3.0

3. 0

4.0

4.0

4. 0

5.0

5.0

5. 0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.0 1.0

20 -20

30 -30

40 -40

50

-50

60

-60

70

-70

80

-80

90

-90

100

-100

110

-110

120

-12 0

13 0

-13 0

14 0

-1 40

15 0

-1 50

16 0

-1 60

17 0

-1 70

18 0

90 -9

0 85

-8 5

80 -8

0

75 -7

5

70 -7

0

65 -6

5

60 -6

0

55 -5

5

50 -5

0

45

-45

40

-40

35

-35

30

-30

25

-25

20

-20

15

-15

10

-10

0. 04

0. 04

0. 05

0. 05

0.0 6

0.0 6

0.0 7

0.0 7

0.0 8

0.0 8

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13

0.13

0.14

0.14

0.15

0.15

0.16

0.16

0.17

0.17

0.18

0.18

0.19 0.19

0.2 0.2

0.21 0.21

0.22

0.22 0.23

0.23 0.24

0.24

0.25

0.25

0.26

0.26

0.27

0.27

0.28

0.28

0.29

0.29

0.3

0.3

0.31

0.31

0.32

0.32

0.33

0.33

0.34

0.34

0.35

0.35

0.36

0.36

0.37

0.37

0.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.4

0.41

0.41

0.4 2

0.4 2

0.4 3

0.4 3

0.4 4

0.4 4

0. 45

0. 45

0. 46

0. 46

0. 47

0. 47

0. 48

0. 48

0. 49

0. 49

0. 0

0. 0

A N

G U

LO D

O C

O EFIC

IE N

T E

D E

T R

A N

SM ISSA

O EM

G R

A U

S

A N

G U

LO D

O C

O E

FIC IE

N T

E D

E R

E FL

EX A

O EM

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A U

S

— >

C O

M P.

D E

O N

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E M

D IR

EC A

O A

O G

ER A

D O

R —

>

<— C

O M

P. D

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N D

A E

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IR EC

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A C

A R

G A

<—

R EA

TA N

C IA

IN D

U TI

VA (+

jX /Z

o) , O

U SU

SC EP

TA NC

IA CA

PA CIT

IVA (+j

B/Y o)

REA TA

NC IA

CA PA

CIT IV

A (-jX

/Z o),

O U

SU SC

EP TA

N CI

A IN

D U

TI V

A (-

jB /Y

o)

RESISTENCIA (R/Zo) OU CONDUTANCIA (G/Yo)

PARAMETROS MEDIDOS RADIALMENTE

EM DIRECAO A CARGA —> <— EM DIRECAO AO GERADOR 1.11.21.41.61.822.5345102040100

SW R 1

12345681015203040 dBS

1

1234571015 AT EN

. [d B]

1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 10 20 C OE

F. PE

RD AS

S. W

.

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 20 30

PERDAS RTN. [dB]

0.010.050.10.20.30.40.50.60.70.80.91

COEF. RFL., P 0

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 10 15 PE RD

AS D

E RF

L. [d

B]

0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.5 3 4 5 10 P IC

O S.W

. (C ON

ST . P

)

0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

COEF. RFL., E or I 0 0.99 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 CO EF

. T RA

NS M

., P

1

CENTRO 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 CO

EF . T

RA NS

M ., E

or I

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

ORIGEM

Figura 4.12: Carta de Smith.

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