Aula 4 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica, Notas de aula de Física
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Aulas do CEDERJ sobre Eletromagnetismo e Ótica Aula 4: introduzir a lei de Gauss para o campo eletrostatico; utilizar a lei de Gauss para calcular o campo eletrico de configuracoes com algum tipo de simetria.
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A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

Aula 4 – A lei de Gauss

Metas da aula

• introduzir a lei de Gauss para o campo eletrostático;

• utilizar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico de configurações com algum tipo de simetria.

Objetivos

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

• calcular a densidade de carga em uma região do espaço a partir do conhecimento do campo elétrico;

• calcular o fluxo do campo elétrico para algumas configurações de carga com simetria.

Pré-requisito

• Para melhor compreensão desta aula, você deve rever as duas aulas anteriores.

Introdução

Como você viu na aula sobre o campo elétrico, a força eletrostática

entre duas cargas é dada pela lei de Coulomb. A partir da lei de força entre

as duas cargas e do prinćıpio de superposição, definimos o campo elétrico,

que nos permite calcular a força em uma carga de teste colocada em uma

posição arbitrária.

Nesta aula, vamos ver como podemos escrever a lei de Coulomb de

uma forma mais geral, o que nos permitirá calcular o campo elétrico de

distribuições de carga com algum tipo de simetria, como a simetria axial ou

esférica.

59 CEDERJ

A lei de Gauss

O fluxo do campo elétrico

Como vimos na Aula 2, dado um campo vetorial qualquer, podemos

calcular o fluxo deste campo por uma superf́ıcie arbitrária S. Agora calcu- laremos o fluxo do campo elétrico por uma superf́ıcie qualquer. Para isso,

utilizaremos o teorema de Gauss.

Inicialmente consideremos apenas uma carga q localizada na origem

de nosso sistema de coordenadas. Podemos fazer isso sem perda de gener-

alidade, pois uma vez que o fluxo é um escalar, ele não depende de como

estamos nos orientando nem de como estamos estabelecendo o nosso sistema

de coordenadas. Sabemos que o campo elétrico é dado pela lei de Coulomb,

~E(~r) = 1

4π0

q

r2 r̂ (4.1)

Calculemos a divergência deste campo em um ponto qualquer diferente da

origem. Da expressão para o campo elétrico (4.1), vemos imediatamente que

ele possui apenas a componente radial. Podemos, então, usar a expressão da

divergência em coordenadas esféricas que estudamos na Aula 2

~∇ · ~E(~r) = 1 r2

∂(r2Er)

∂r +

1

r sin θ

∂(sin θEθ)

∂θ +

1

r sin θ

∂Eφ ∂φ

(4.2)

junto com o fato de que as componentes angulares do campo elétrico se

anulam, Eθ = Eφ = 0, obtendo

~∇ · ~E(~r) = 1 r2

∂(r2Er)

∂r (4.3)

Agora ficou fácil calcular a divergência! Utilizando a forma do campo elétrico

(4.1), obtemos

~∇ · ~E(~r) = 1 r2

∂(r2Er)

∂r =

1

r2 ∂(r2 1

4π0

q r2

)

∂r = 0 (4.4)

ou seja, a divergência do campo elétrico é identicamente nula em todos os

pontos fora da origem!

Devemos deixar claro que é fora da origem, porque se você olhar

com cuidado a expressão do cálculo da divergência, verá que, na

origem, temos uma expressão mal definida, do tipo 0 0 . Há uma

maneira matemática de tratar esse tipo de operação, chamada teo-

ria das distribuições.

CEDERJ 60

A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

Figura 4.1: Superf́ıcie arbitrária, pela qual queremos calcular o fluxo de uma carga em

seu interior.

Como podemos usar o teorema de Gauss para calcular o fluxo por uma

superf́ıcie qualquer? Suponha que queiramos calcular o fluxo pela superf́ıcie

da Figura 4.1. Façamos o seguinte: consideremos uma superf́ıcie esférica

muito grande, com centro na carga, e que envolva completamente a superf́ıcie

S, como mostra a Figura 4.2.

Figura 4.2: Superf́ıcie esférica S0 que contém a superf́ıcie S.

61 CEDERJ

A lei de Gauss

As duas superf́ıcies S e S0 definem um volume, no qual podemos usar o teorema de Gauss. Note que, ao calcularmos o fluxo por essa superf́ıcie,

temos de inverter o sentido do vetor normal na superf́ıcie S, uma vez que o vetor normal à superf́ıcie aponta para fora do volume, por definição. Pelo

teorema de Gauss, temos que

St

~E · n̂dA = ∫

V ~∇ · ~EdV (4.5)

O lado direito desta equação é fácil de ser calculado: como sabemos que a

divergência do campo elétrico é zero, o lado direito é igual a zero! O lado

esquerdo é constitúıdo de duas partes: uma é igual a menos o fluxo do Lembre que o sinal negativo

aqui é devido ao fato de

termos invertido o sentido do

vetor normal à superf́ıcie S.

campo elétrico pela superf́ıcie S que queremos calcular, e o outro é o fluxo pela superf́ıcie esférica que introduzimos. O fluxo pela superf́ıcie S é dif́ıcil de encontrar, mas o fluxo pela superf́ıcie esférica é direto. Como sabemos

que a soma dos dois se anula, podemos encontrar o fluxo pela superf́ıcie S calculando o fluxo pela superf́ıcie S0. O fluxo pela superf́ıcie S0 é dado por

S0

~E · n̂dA = ∮

S0

1

4π0

q

r2 r̂ · r̂dA = 1

4π0

q

R2 4πR2 =

q

0 (4.6)

Conclúımos, portanto, que o fluxo pela superf́ıcie arbitrária S0 é dado por ∮

S ~E · n̂dA = q

0 (4.7)

O que aconteceria se a carga não estivesse no interior da superf́ıcie S? Até agora, sabemos que o fluxo do campo elétrico por uma superf́ıcie

qualquer que contém uma carga q é igual a q/0. Suponha agora que a

carga q se encontra fora do interior da superf́ıcie S. Procedendo como antes, podemos envolver esta carga e a superf́ıcie por uma grande superf́ıcie esférica.

Sabemos duas coisas: 1) o fluxo pela grande superf́ıcie esférica é igual a q/0

e 2) o fluxo definido pelas duas superf́ıcies, a esférica e a inicial, tem de ser

igual a q/0, porque, como mostramos, o fluxo por uma superf́ıcie é igual

à carga que está em seu interior dividida por 0. Conclúımos, então, que o

fluxo pela superf́ıcie S tem de ser zero! Assim temos a seguinte regra:

Φ =

{

q/0, se a carga está no interior de S; 0, caso contrário.

(4.8)

Podemos, agora, lançar mão do prinćıpio da superposição para calcular

o fluxo de uma distribuição arbitrária de cargas por uma superf́ıcie qual-

quer. Se a distribuição de carga for definida por uma densidade de carga

CEDERJ 62

A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

volumétrica ρ(~r), então, no interior de um pequeno volume ∆V temos uma carga igual a ρ(~r)∆V. Como, pelo prinćıpio da superposição, o campo elétrico em um ponto é a soma dos campos elétricos de cada elemento de carga,

o fluxo pela superf́ıcie S é a soma dos fluxos. Portanto, o fluxo total é dado pela carga total que se encontra no interior de uma superf́ıcie, dividida

por 0

Φ = Q

0 (4.9)

Você pode estar se perguntando: “A Equação (4.9) é a mesma coisa que

escrevemos antes? Só mudaram o q pelo Q!” É verdade, elas parecem a

mesma coisa. Mas há uma grande diferença: a primeira equação foi es-

crita para uma carga pontual q e a segunda para uma distribuição de carga

volumétrica qualquer.

Consideremos agora uma distribuição de carga volumétrica qualquer

ρ(~r) e um pequeno volume ∆V ao redor do ponto ~r. Aplicando a nossa regra, sabemos que o fluxo do campo elétrico pela superficie do pequeno volume ∆V é dado por ρ(~r)∆V/0, já que a carga no interior de ∆V é ρ(~r)∆V. Mas, pelo teorema de Gauss, sabemos que este fluxo é dado por

S ~E · n̂dA =

∆V ~∇ · ~EdV ≈ ~∇ · ~E ∆V (4.10)

onde usamos, na última passagem, o fato de que o volume é muito pequeno.

Conclúımos então que, no limite de um volume muito pequeno, temos

ρ(~r)

0 ∆V = ~∇ · ~E ∆V ⇒ ~∇ · ~E = ρ(~r)

0 (4.11)

Esta última equação merece destaque especial, e é uma das equações de

Maxwell. É a chamada lei de Gauss

~∇ · ~E = ρ(~r) 0

(4.12)

Esta é uma das 4 equações fundamentais do eletromagnetismo. A seguir,

exploraremos algumas de suas conseqüências.

63 CEDERJ

A lei de Gauss

Aplicações da Lei de Gauss

Uma vez que temos formulações diferencial e integral da lei de Gauss,

podemos usá-las para calcular o campo elétrico em distribuições de carga com

algum tipo de simetria. O que queremos dizer por “algum tipo de simetria”

ficará mais claro no decorrer desta aula. A seguir, veremos como usar a lei

de Gauss para calcular o campo elétrico de uma distribuição de carga com

simetria esférica, axial ou plana.

Distribuição esférica

Inicialmente consideraremos uma casca esférica de raio a, com uma

distribuição de carga uniforme, de densidade σ. Isto significa que a carga

total na superf́ıcie da esfera é dada por Q = 4πa2σ. Queremos calcular o

campo elétrico em todo o espaço, fora e dentro da casca. Como proceder?

Aqui vamos usar a lei de Gauss e a simetria do problema, ou seja,

antes de aplicarmos a lei de Gauss, analisaremos a simetria do problema

para simplificar a expressão do campo elétrico.

Como o problema tem simetria esférica, o campo elétrico só pode ter

uma componente radial, e que depende de r apenas. Pois suponha inicial-

mente que o campo elétrico possui uma componente não radial. Isso significa

que uma certa direção foi escolhida. Mas como o problema tem simetria

esférica, se você girar a esfera ao redor de um eixo qualquer, essa compo-

nente “não radial” do campo elétrico gira, mas a situação final é, fisicamente,

idêntica à inicial. A conclusão é que o campo elétrico só pode ter componente

radial. Suponha agora que o valor da componente radial dependa da direção

que você escolher. Mais uma vez, se você girar a esfera ao redor de seu eixo,

o valor do campo elétrico naquele ponto espećıfico do espaço muda, mas a

distribuição de carga continua a mesma. Podemos concluir, portanto, que o

campo elétrico é dado por ~E(~r) = f(r)r̂ (4.13)

onde r = ||~r||, e f(r) é uma função desconhecida. Podemos agora usar a lei de Gauss em sua forma integral para uma superf́ıcie esférica S de raio R > a

S ~E · r̂dA = Q

0 ⇒ f(R)4πR2 = Q

0 ⇒ f(R) = 1

4π0R2 Q (4.14)

CEDERJ 64

A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

Encontramos a forma da função f(R) fora da casca esférica. No interior

da casca esférica, há uma pequena mudança: quando calcularmos o fluxo,

veremos que a carga que se encontra no interior desta superf́ıcie de integração

é zero, ou seja, para R < a temos

f(R)4πR2 = 0 ⇒ f(R) = 0. (4.15)

Destas duas expressões, conclúımos que o campo elétrico é dado por

~E(~r) =

{

1 4π0R2

Q r̂ se R > a

0 se R < a (4.16)

Da expressão do campo elétrico, conclúımos que o campo fora da casca

esférica é exatamente o mesmo de uma carga Q localizada no centro da

casca: não há como dizer se o campo é gerado por uma casca ou por uma

carga pontual. Já no interior da casca esférica o campo é identicamente nulo.

Este é um resultado que você já deve conhecer do estudo do campo gravita-

cional, onde se mostra que o campo gravitacional no interior de uma casca

esférica é nulo. O resultado vale tanto para o campo gravitacional quanto

para o campo elétrico devido ao fato de ambas as leis de força, lei de Newton

para o campo gravitacional e de Coulomb para o campo elétrico, possúırem a

mesma dependência matemática com a distância. Ambas são leis de inverso

do quadrado da distância.

Na dedução que acabamos de apresentar, utilizamos a lei de Gauss em

sua formulação integral. É instrutivo ver como proceder utilizando a lei de

Gauss em sua forma diferencial. Neste caso, teŕıamos de resolver a seguinte

equação: ~∇ · ~E(~r) = 0 (4.17)

para r > 0 e r < 0. Devemos ter um cuidado especial ao considerar o

ponto exatamente sobre a supef́ıcie da casca esférica, que é quando r = a.

Além disso, devemos utilizar a simetria esférica em nossa solução, ou seja, ~E(~r) = f(r)r̂. Esta equação é uma forma de dizer que o campo elétrico

depende apenas do módulo do vetor ~r.

Usando a expressão da divergência de um campo vetorial em coorde-

nadas esféricas, obtemos

~∇ · ~E = 1 r2

∂r2f(r)

∂r = 0 (4.18)

ou seja, tanto para fora da casca quanto para dentro, temos

r2f(r) = C± =⇒ f(r) = C± r2

(4.19)

65 CEDERJ

A lei de Gauss

onde C± é uma constante de integração a ser determinada. O subscrito ± indica que temos uma constante de integração C+ fora da casca e C− dentro.

A questão agora é como calcular estas constantes. Podemos estabelecer

a constante no interior da casca diretamente: como o campo no centro da

casca tem de ser nulo, a constante C− = 0. Aliás, por que o campo é nulo

no centro da casca? Reflita e convença-se disso. Resta calcular a constante

C+, o que pode ser feito usando a lei de Gauss em sua forma integral, por

exemplo. Mas isso seria um “uso disfarçado” do método anterior... Vamos,

portanto, evitar esta rota e calcular C+ de outra maneira.

Considere uma distribuição qualquer de cargas localizadas em uma

região finita do espaço, por exemplo no interior de uma esfera de raio a.

Se esta distribuição tem carga total Q, então no limite em que r  a, o campo elétrico desta distribuição é dado por ~E = Q/(4π0r

2) + . . ., onde

“. . .” representam correções ao primeiro termo. No caso da casca esférica,

sabemos que a fórmula do campo elétrico é exatamente ~E = C+/r 2 para

qualquer valor de r, o que nos permite concluir que C+ = 1/(4π0), e que os

termos “. . .”, portanto, devem ser identicamente nulos.

Atividade

Considere uma distribuição de carga esfericamente simétrica dada por ρ(~r) =

ρ0, para 0 < r < R, e nula para r > R. Calcule o campo elétrico em todo

espaço.

Resposta Comentada

Da simetria do problema sabemos que o campo elétrico deve ser da forma ~E(~r) = e(r)r̂, onde e(r) é uma função que queremos determinar. Note que a

carga total é Q0 = ρ04πR 3/3. Seguindo o mesmo método que acabamos de

apresentar para o caso de uma casca esférica, temos que, para r > R a lei de

Gauss fornece ∮

S ~E(~r) · r̂dA = e(r)4πr2 = Q0

0 =⇒ e(r) = Q0

4π0r2 (4.20)

onde S é uma superf́ıcie esférica de raio r. Assim, para r > R, o campo elétrico é o mesmo de um carga Q0 no centro da esfera.

Para r < R devemos levar em consideração que uma superf́ıcie gaus-

siana esférica de raio r, Sr, não contém toda a carga da distribuição, mas apenas Q(r) = ρ04πr

3 = Q0r 3/R3. Aplicando a lei de Gauss, obtemos

Sr

~E(~r) · r̂dA = e(r)4πr2 = Q(r) 0

=⇒ e(r) = Q0r 4π0R3

(4.21)

CEDERJ 66

A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

Note que o campo elétrico no interior da distribuição de carga cresce linear-

mente, sendo 0 no centro, até o valor Q0/(4π0R 2) na superf́ıcie, e depois

decai com o inverso do quadrado de r.

Fio infinito

Uma outra aplicação importante da lei de Gauss é no cálculo do campo

elétrico de um fio infinito reto, com uma distribuição de carga uniforme.

Neste caso, devemos usar a simetria axial do problema: Se nos colocarmos

no eixo do fio e girarmos de um ângulo qualquer, nada muda. Além disso,

se subirmos ou descermos pelo fio, o campo elétrico deve ser o mesmo, uma

vez que o fio é infinito. Sem fazer cálculo algum, chegamos à conclusão de

que o campo elétrico de um fio infinito deve ser da forma ~E(~r) = f(ρ)ρ̂, em

coordenadas ciĺındricas.

Utilizaremos, desta vez, apenas a lei de Gauss em sua forma integral.

Como o fio está uniformemente carregado, isso significa que, se um pedaço do

fio de comprimento L0 tem carga Q0, então um pedaço de comprimento 2L0

tem carga 2Q0, e assim por diante. Existe uma relação de proporcionalidade

entre o comprimento do fio e a quantidade de carga elétrica nele. Isso pode

ser escrito em geral da seguinte forma: Q(L) = λL, onde λ tem unidade

de carga por unidade de comprimento. Em termos do exemplo que demos,

λ = Q0/L0.

A superf́ıcie gaussiana que consideraremos é um cilindro de altura

H e raio R, com eixo de simetria coincidindo com o fio, como mostra a

Figura 4.3.

Figura 4.3: Superf́ıcie gaussiana para o fio infinito.

67 CEDERJ

A lei de Gauss

Calculemos o fluxo do campo elétrico por esta superf́ıcie. Pelas tampas su-

perior e inferior, o fluxo é 0, simplesmente porque o campo elétrico é, por

simetria, paralelo a essas superf́ıcies, e portanto perpendicular ao vetor nor-

mal delas. Resta, então, o fluxo do campo pela superf́ıcie encurvada do

cilindro. Matematicamente, queremos ∮

S0

~E(~r) · ρ̂dA = ∮

S0 f(ρ)ρ̂ · ρ̂dA =

S0 f(ρ)dA = 2πRHf(R) (4.22)

Como a lei de Gauss nos diz que este fluxo é igual à carga em seu interior

dividida por 0, e a carga no interior da superf́ıcie gaussiana é λH, temos

finalmente

2πRHf(R) = λ

0 H =⇒ f(R) = λ

2π0R (4.23)

O campo elétrico é dado, então, por

~E(~r) = λ

2π0ρ ρ̂ (4.24)

Note um aspecto interessante dessa fórmula. Apesar de o campo elétrico de

uma carga pontual, ou mesmo de uma distribuição de cargas localizada em

uma região finita do espaço “cair” com 1/r2, para um fio infinito o campo

depende da coordenada ρ como 1/ρ, que é mais lento do que 1/r2: se sua

distância ao fio dobrar, o campo cai à metade, e não a um quarto.

O plano uniformemente carregado

Como última aplicação da lei de Gauss, consideraremos agora um plano

com uma distribuição de carga uniforme. Isso significa que uma área A

qualquer do plano tem uma quantidade de carga proporcional a esta área,

ou matematicamente Q = σA, onde σ é a densidade de carga superficial,

e tem dimensão de carga por unidade de área. Escolhamos nossos eixos de

tal forma que o plano seja perpendicular ao eixo z e passe pela origem das

coordenadas.

Você já deve ter pensado em qual será o nosso primeiro passo: explorar

a simetria do problema. Como temos um plano uniformemente carregado,

se girarmos o plano, nada deve mudar. Isso significa que, de cado lado do

plano, o campo elétrico deve ser perpendicular ao plano e, mais uma vez por

simetria, ele deve apontar em direções opostas para lados opostos do plano.

Matematicamente escrevemos, ~E(~r) = f(z)ẑ, onde f(z) é uma função ı́mpar.

Tudo o que resta a fazer é encontrar a função f(z). Convença-se de que o

campo não tem componentes x ou y antes de prosseguir.

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A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

Para isso, consideremos a seguinte superf́ıcie gaussiana: uma superf́ıcie

ciĺındrica que intercepta o plano, de altura 2H e seção reta de área A, cortado

simetricamente pelo plano, como mostra a Figura 4.4.

Figura 4.4: Superf́ıcie gaussiana para o plano uniformemente carregado.

A carga no interior do cilindro é a carga da “fatia” do plano que foi cortada, e

é dada por Q = σA. O fluxo pela lateral do cilindro se anula, e sobram apenas

as contribuições das tampas: 2f(H)A. Pela lei de Gauss temos 2f(H)A =

σA/0, o que nos dá f(H) = σ/(20), e o campo é dado por

~E(~r) =

{

σ/(20)ẑ para z > 0

−σ/(20)ẑ para z < 0 (4.25)

ou seja, o campo é constante e perpendicular ao plano. Que o campo era

perpendicular ao plano já sab́ıamos, devido a considerações de simetria, mas

é surpreendente que o campo seja constante; afinal de contas, o campo de

cada carga varia com o inverso do quadrado da distância. O que acontece

aqui é que, à medida que nos afastamos do plano, apesar de a contribuição

das cargas elétricas distribúıdas no plano ficar cada vez mais fraca, elas se

“alinham” melhor com a perpendicular, e, no caso da distribuição uniforme,

isso se dá de tal forma a compensar o efeito de enfraquecimento do campo

com a distância.

69 CEDERJ

A lei de Gauss

Atividade

Considere dois planos uniformemente carregados, ambos com densidade su-

perficial de carga σ. Os dois planos são paralelos e estão separados por uma

distância d. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.

Resposta Comentada

Neste caso, basta aplicar o prinćıpio da superposição à solução que acabamos

de encontrar. Entre os dois planos, o campo dos dois se cancelam, e o resul-

tado é ~Edentro = 0. Do “lado de fora”, o campo se soma e temos ~Efora = σ/0,

já que os campos se somam.

Na verdade, há um argumento mais simples ainda para entender por

que o campo elétrico não depende da posição: análise dimensional. Parece

muito simples, e é mesmo! Veja bem: o campo elétrico tem unidade de

força por unidade de carga. No caso do plano, o campo elétrico no ponto

de coordenada (0, 0, z), que é o ponto mais geral que podemos considerar, só

pode depender de σ, 0 e z, pois estes parâmetros determinam completamente

o nosso problema. Portanto, devemos construir uma expressão que tenha

unidade de campo elétrico a partir destes três parâmetros. Mas existe apenas

uma expressão com essa propriedade! É σ/0. Assim, o campo elétrico tem

de ser uma constante numérica (adimensional), que não se pode determinar

a partir da análise dimensional multiplicada por σ/0, que é exatamente o

que achamos, e explica por que o campo elétrico não depende da posição.

O que ocorre neste caso é que não há outra grandeza f́ısica com unidade

de comprimento, ou seja, não há outra escala no problema. Uma outra

situação na qual um argumento de análise dimensional funciona é no caso do

fio infinito, como você verá nas atividades. No caso em que há uma outra

escala no problema, o argumento de análise dimensional não é tão poderoso.

Por exemplo, no caso da casca esférica temos como parâmetros σ, 0, r

(a distância do ponto em que queremos calcular o campo elétrico) e R (o

raio da casca). Neste caso, por análise dimensional, podemos dizer que o

campo deve ser dado por f(r/R)σ/0, e devemos resolver algumas equações

para descobrir que f(r/R) = R2/r2. Verifique que essa é a função correta

para o problema da casca esférica.

As três aplicações que acabamos de apresentar mostram algo que deve

ser apreciado com atenção. Apesar de o campo elétrico de uma carga pontual

cair com a distância como 1/r2, uma distribuição de carga pode ter um com-

portamento bem diferente. Acabamos de ver que, para uma casca esférica, o

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A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

campo fora dela é o mesmo de uma carga pontual em seu centro, e no interior

é nulo. Para um fio infinito, o campo se comporta como 1/r, e para um plano

uniformemente carregado o campo é constante. Isso mostra que, dependendo

da distribuição de carga, o campo elétrico total pode ter um comportamento

bem diferente do comportamento de cada carga individual.

Vale ressaltar a importância da simetria nas aplicações da lei de Gauss.

Nas três aplicações que acabamos de fazer, o uso das simetrias de cada pro-

blema foi crucial, e foi o que permitiu deduzir a forma matemática do campo,

utilizando a lei de Gauss.

O Teorema de Earnshaw

Uma aplicação simples, porém poderosa, da lei de Gauss, consiste em

estabelecer a possibilidade de configurações em equiĺıbrio de cargas elétricas.

Será posśıvel distribuir cargas elétricas positivas e negativas de tal forma que

elas fiquem em equiĺıbrio? A resposta é dada pelo teorema de Earnshaw: não

existem configurações estáticas de cargas elétricas em equiĺıbrio.

A demonstração do teorema de Earnshaw é por absurdo.

Em uma demonstração por absurdo, partimos do prinćıpio de que

a proposição que queremos demonstrar é falsa e chegamos a algum

absurdo. Isso mostra que o nosso ponto de partida está errado, e

que, portanto, a proposição original é verdadeira.

Suponha que exista uma configuração de cargas elétricas em equiĺıbrio

estático. Isso significa que, se considerarmos uma carga espećıfica q, que

supomos ser maior que zero sem perda de generalidade, pois se for negativa

basta inverter o sinal de todas as cargas do sistema, o campo elétrico de todas

as outras cargas é tal que, se a carga q se mover em qualquer direção, ela

sofrerá uma força restauradora, ou seja, o campo elétrico das outras cargas

aponta para “dentro” de uma pequena esfera ao redor de q. Retirando esta

carga de nossa configuração, isso significa que o fluxo do campo elétrico das

outras cargas por esta pequena esfera é diferente de zero; pela lei de Gauss,

isso significa que há uma carga no interior desta esfera! Chegamos a um

absurdo, estabelecendo o teorema de Earnshaw.

Uma das aplicações importantes do teorema de Earnshaw está no en-

tendimento da estrutura da matéria. Já era sabido, antes da mecânica

quântica, que átomos eram constitúıdos de part́ıculas positivas e negativas.

71 CEDERJ

A lei de Gauss

Pelo teorema de Earnshaw, estas cargas não poderiam estar em equiĺıbrio

estático e, portanto, deveriam se mover ou então estar sujeitas a forças de

outra natureza. No primeiro caso, surge um problema: se as cargas se movem,

a radiação é emitida, o que implica o colapso dos átomos. Na tentativa de re-

solver este problema, inventaram-se outras forças de natureza não elétrica que

pudessem explicar a estabilidade dos átomos. A explicação correta, porém,

só veio mais tarde, no ińıcio do século XX, com a mecânica quântica.

A lei de Gauss é uma das equações de Maxwell em sua forma final.

Isso significa que, mesmo quando passarmos para o estudo de cargas em

movimento, ela continua valendo exatamente como no caso estático.

Atividades Finais

1. Uma carga q se encontra no centro de um cubo de lado L. Calcule o

fluxo do campo elétrico por uma das faces do cubo.

2. Uma carga se encontra em um vértice de um cubo de lado L. Calcule

o fluxo do campo elétrico por cada uma das faces do cubo.

3. Uma carga q se encontra em (0, 0, d). Calcule o fluxo do campo elétrico

pelo plano xy (z = 0).

4. Deduza a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss.

5. Se o universo tivesse duas dimensões espaciais, em vez de três, qual

seria a dependência do campo elétrico com a distância?

6. Considere um fio infinito ao longo do eixo z, uniformemente carregado,

com densidade de carga linear λ. Usando argumentos de simetria e

análise dimensional, mostre que o campo elétrico do fio é dado por ~E = αλ/(0r)ρ̂, onde α é uma constante numérica.

Respostas Comentadas

1. Pela lei de Gauss sabemos que o fluxo pelas seis faces do cubo é igual

a q; 0, independentemente da posição exata da carga. Basta estar no

interior do cubo. Se a carga está no centro, então, por simetria, o fluxo

pelas seis faces é igual, e o fluxo por uma face é dado por q/(60).

2. O fluxo por cada uma das faces que se encontra no vértice em que está

localizada a carga é zero, porque o campo elétrico tangencia cada uma

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A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

dessas faces, sendo portanto ortogonal ao vetor normal de cada uma

delas. Por simetria, o fluxo por cada uma das outras faces é Φ0, que

ainda devemos calcular. A maneira mais simples de efetuar este cálculo

é “completando” um cubo maior de lado 2L, com a carga no centro,

como mostra a Figura 4.5. Como sabemos que o fluxo por cada face

do cubo maior é q/(60), o fluxo por uma das faces opostas é dado por

q/(240).

Figura 4.5: Completando o cubo.

3. Considere uma esfera de raio d/2 centrada em (0, 0, d). O fluxo pelo

hemisfério inferior é igual ao fluxo pelo plano z = 0 (por quê?) e,

portanto, Φ = q/(20).

4. A lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico por uma superf́ıcie é

igual a Q/0, onde Q é a carga no interior da superf́ıcie. Se conside-

rarmos uma carga pontual, por simetria, o seu campo elétrico deve

ser radial, ~E(~r) = e(r)r̂, onde r = ||~r|| e e(r) é uma função a ser determinada. Aplicando a lei de Gauss a uma superf́ıcie esférica de

raio R com a carga no centro, obtemos

S ~E · r̂dA = e(R)4πR2 = Q

0 =⇒ e(R) = Q

4π0R2 (4.26)

73 CEDERJ

A lei de Gauss

5. Por simetria, o campo elétrico só depende da distância e é radial, ~E(~r) = e(r)r̂. Aplicando a lei de Gauss neste mundo bidimensional,

considerando uma circunferência de raio R como nossa “superf́ıcie”

gaussiana, obtemos

S ~E · r̂dA = e(R)2πR = Q

0 =⇒ e(R) = Q

2π0R (4.27)

Note a semelhança com o caso do fio infinito: a simetria axial implica

o fato de o campo elétrico não depender da coordenada z, o que torna

o problema efetivamente bidimensional.

6. As unidades de λ, r e 0 são, respectivamente, CL −1, L e M−1L−3T−2C−2,

onde M , L, T , C são as unidades de massa, comprimento, tempo e

carga. A única combinação que tem unidade de campo elétrico, que é

MLT−2C−1, é λ/(0r).

Resumo

A partir da lei de Coulomb podemos calcular o fluxo do campo elétrico

de uma carga por uma superf́ıcie qualquer. Usando o prinćıpio da super-

posição, o resultado para uma carga pode ser generalizado para uma dis-

tribuição cont́ınua de cargas, descrita por uma densidade ρ(~r). O fluxo é

sempre igual a Q/0, onde Q é a carga total no interior da superf́ıcie gaus-

siana. Esta é a formulação integral da lei de Gauss.

Considerando um volume infinitesimal, é posśıvel escrever uma equação

diferencial para o campo elétrico, relacionando a divergência do campo elétrico

com a densidade carga total, ~∇ · ~E = ρ/0. Esta é a formulação diferencial da lei de Gauss. As duas formulações são equivalentes mas, dependendo do

problema que estamos tratando, uma ou outra pode ser mais conveniente.

No caso de distribuições de carga com algum tipo de simetria, podemos

encontrar o campo elétrico em todo espaço aplicando a lei de Gauss em sua

formulação integral. Exemplos t́ıpicos são distribuições com simetria esférica,

axial, ou um plano uniformemente carregado.

Estes resultados mostram como o comportamento de uma distribuição

de cargas pode ser diferente do comportamento de uma carga isolada.

CEDERJ 74

A lei de Gauss MÓDULO 1 - AULA 4

Uma outra aplicação muito importante da lei de Gauss está no estudo

de configurações de cargas em equiĺıbrio estático. O teorema de Earnshaw

mostra que não existe uma configuração de cargas em equiĺıbrio estático

na qual as únicas forças que atuam são forças elétricas. Este resultado, uma

conseqüência simples da lei de Gauss, tem implicações profundas na estrutura

da matéria, cuja estabilidade só pode ser compreendida sob a luz da mecânica

quântica.

75 CEDERJ

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