Aulas 2 e 3 - Equações Diferencias Ordinárias, Notas de aula de Equações Diferenciais

Baixe Aulas 2 e 3 - Equações Diferencias Ordinárias e outras Notas de aula em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! p= ky 24. Exercícios y | 95. JE . 1. Obtenha as soluções de 2 2 ua 9 ro ty PE / E By=iae Ddv=top O vyv'=(1+M+y), | + o v'-2y= » po tedy= ct) Ara ho Au us 04 [ot [2021 2. Para as equações anteriores determine a solução do problema de valor inicial com y(0) = 1. Diga os domínios de definição das Eluções. — — 8. Invente n problemas dos dois tipos acima e resolva-os. É aconse- Ihável não decidir, a priori, o valor de n. 4. Analise os seguintes modelos de crescimento de uma população, | determinando os pontos de equilíbrio e estudando sua estabilidade: 1. p'=Mptnk, (Gompertz, 1825). 3. p'=Apli—(B)], q (Goel, Maitra, Montroll, 1971). —> 4. p'=p/A—ap+be-P), (Ayala, Gilpin, Ehrenfeld, 1979). | 5. Suponha que a cada mês uma população aumenta na razão k, isto é, no primeiro mês é po, no segundo kpo, no terceiro k2po, etc. Mostre que a população p(t) satisfaz uma equação diferencial do tipo (2.14), e determine À como função de k. 8. Analise os seguintes modelos de Volterra (referência: V. Volterra, “Population growth, equilibria, and extinction...”. Editado por RM. | 2 p'= Mc) (Smith, 1963). | Scudo e J.R. Ziegle, Springer-Verlag, 1978). À) Seja p = p(t) a população e € o coeficiente de mortalidade, Ep é o número de mortos por unidade de tempo. supõe-se que o número de machos é ap e o número de fêmeas é Bp, e que « e À) são constantes. O número de encontros entre os dois sexos numa unidade de tempo é e lo/09/202] Exercícios Dysioe + Aloisio to! Q n/a [> posso: 2 RA tai) 4 -0 1 É Pr A. spnáseo E na Lu = dy - "(hem A | e SR 119 14 É = Í uz ot - -— duz-smt dt N a Me Mai) LO o 9 o dlos É (o Mealo) E = odalet | a 1 A : nos |, = e + Dj - A: - A) | s “ | Yo 2-0 o Ds: & A tew Ser mi na co te cl ds: > e o To aaa "quo ct, Wma tanto Lt t N n " Wz0 &£ N = tato L - E = Am) Yo) / 1 We) =º | - 0.69 pl no o y -=1 | Leto e) - K N “o. UN - Std 4 + Last NY Sd D+— 1 »ct N (No bi yla x a) ] o. tmlila = cost S slução : Equação dt. lucar | ear e | Qt) Ltsentest ] sh [en0) CTT 2 Cos (e) Uce o método Se vanacas des cles, 3 Qd czo A = O | qtr/20) 7 (não dt Findo Dom ly) = (alo n/2) 3a b>o 48) Potlocapebel) Mu - Pontos de equlibrio e estabilidade = 34) - aa So) pao amo Capes pe Ea . Ns qu fiy=-i.b Do (es: instóvel) ; v de be s o = 21b>o Dedo voy dm ne LÊ — P COR creo end de ereto ot. estável v amarei DS “op mn E + E A, "e vm fo We b s 2 (e) o Mo A O cão) vERoo =» e CN t SS Say eve 22 | ' A b —s— Rê : >) ea A anal quis > sao da -]/ Va = cave av <o O -+ La <o - (- es DT p-e to DA qa E = de sm | dr [8-4 Cocada) ER 2 J € Ou º o . noel «e Y ee Pos t Drs) tb -eR) -245 A Gore Dt, | a pl>ra poe . dos nes ti Rr ge MM prbra e Aço E E —— | A À. +53 HAS ndo 1 pers) . q Aa ta a 1 Do z4t e º Ji (Ora . . f toe o Ml O] Po e es e e te t | >R-t = Ate Ca e qo - rot => >e5 - gd e = ço €. | > +9t) Re - Pla & o E e >pot é RD >+e (Grao —— Po N sta MO 2 |- at Dm era parSoo coa - Ein Re Peso pp Lapas qa! plo o o Estebilia de , 4 os fly tm <o N por Ca pé “op [leNDo, E tr) <O Eyes LU : 4 = [At + 2c52t) 4 Ls *Tp + ex obs: Para Lol. to) “Jo senzt/2 = Ate) = CC cost € NO 1-1 4y=0 2 c=> 2 dt) co. dia 25 tm) -1o cd: neo c=-1 Quer =. - Cost. € + a Md ghit 4 E x sf] DT X Luto at dr rbyttla G, Esaf So - da ç asa da) tby (540) + O — To — = po tg os ( Ertel a, (us) Dafs+e Nie -4 [tido + 4d pets Cr Ana d,> togd a db pr L. dd ad P pc: O tem St E) Gm co E | JE ar bi Ad rbrprez Elio E. Am e ve go A ande H| peobebi (dd . N As tico ( Ce S Cal AS » Im EG) = 1 TT -.5 XIV A cer t E Va E xes cativo X = (sent + cost )x Sent cost X 19) = Xo > X tt) - ce - Xo = CC e o (= as. e Sent «cat ER) AU) = xeie.e a) portos e Ticm . Suponha xo +. 1 M lt) =9 €=5 sent iotl0S tant=-L «Ss t = -nlyt em x: (est -sent) tea (seu trt) to 4 [5/0 (1 O) (74) - Vl x (5h) = SO - 2 x (37/4) Joc! máximo Local Se 470 5 tecRh E minimo t-arh e v-y =ely— ya)! Uvr-val, Use a parte a) do exercício acima paraz =y —yj eZ = obtendo equações semelhantes a (2.23). Divida-as por z e Z Subtraia as equações obtidas, etc.). a solução geral de 1 day | a V—ytgx—Uy cos x = quey; =1/cos xeyz =—1/cos x são soluções. Vi,» V2, Vs € Vs são soluções da equação de Ricatti (2.22), que sua razão anarmônica é constante: Vicy3 , Voy cd co const. (2.24) Vi— 44 Vz— Us A transformação de Moebius ay+b z= wrá' ad -bc £ 0, — A + m,i = 1,2,3,4, dessa nova equação satisfazem a relação com a mesma constante c. A equação v=xf(p)+o(p), p=v (2.25) como a equação de d'Alembert-Lagrange. Suponha que :R — R são funções deriváveis. Po = f(po) para algum po € R, mostre que y = pox + g(po) é da equação. Se p & f(p), para todo p, derive a equação com relação x e obtenha equação linear de fp) (go), dp pp) p—flp)' aa A solução de (2.25) é expressa na forma paramétrica (x(p),y(p)), x(p) é a solução de (2.26) e u(p) é dado por (2.25). €) Use esse método para resolver as equações: v=pe+1)-1 y=xpl+1. d) A equação (2.25) com f(p) = p é chamada a equação de Clairaut Mostre que além das soluções y = cx + g(c), (2.25) tem a solução x=-g'(p),y = g(p) — pg'(p). 25. Aplicações 2.5.1 Resfriamento de um corpo Consideremos um modelo simplificado para o fenômeno da variação de temperatura num corpo por perda de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes hipóteses: (i) a temperatura T é a mesma em todo o corpo e depende apenas do tempo t, (ii) a temperatura T, do meio ambiente é constante com o tempo e é a mesma em todo o meio ambiente, (iii) o fluxo de calor através das paredes do corpo, dado por dT/dt é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente: ar a” =K(T — Ta) (2.27) onde k é uma constante positiva que depende de propriedades físicas do corpo. O sinal — em (2.27) se explica pelo fato que o calor flui da fonte quente para fonte fria, e assim se T > Ta, então T decresce. Se T< Ta, então dT/dt cresce e o corpo está se aquecendo, ao invés de se resfriar. Abrindo um parêntesis: este modelo foi considerado por Newton, estudando o caso de uma bola de metal aquecida, e é por isso que (iii) acima é chamado de lei do resfriamento de Newton. Um mo- delo mais correto seria obtido usando a lei de Newton para “elementos próximos” dentro do corpo e escrever uma equação diferencial parcial para a temperatura T(t,x) que agora dependeria também do ponto x no corpo; a equação obtida o o E“