Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear 01a07, Notas de aula de Física
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Aulas - CEDERJ - Álgebra Linear 01a07, Notas de aula de Física

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§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares O que é Álgebra Linear? Por que estudá-la?

A Álgebra Linear é a área da Matemática que estuda todos os aspectos

relacionados com uma estrutura chamada Espaço Vetorial. Estrutura matemática é um conjunto no qual são defini-

das operações. As proprie-

dades dessas operações “es-

truturam”o conjunto. Tal-

vez você já tenha ouvido falar

em alguma das principais es-

truturas matemáticas, como

grupo, anel e corpo. Você

estudará essas estruturas nas

disciplinas de Álgebra.

Devido às suas caracteŕısticas, essa estrutura permite um tratamento

algébrico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa-

cional. A Álgebra Linear tem aplicações em inúmeras áreas, tanto da mate-

mática quanto de outros campos de conhecimento, como Computação Gráfica,

Genética, Criptografia, Redes Elétricas etc.

Nas primeiras aulas deste módulo estudaremos algumas ferramentas

para o estudo dos Espaços Vetoriais: as matrizes, suas operações e proprie-

dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse

conhecimento para discutir e resolver sistemas de equações lineares. Muitos

dos principais problemas da f́ısica, engenharia, qúımica e, é claro, da ma-

temática, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de

equações lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Álgebra Li-

near propriamente dita e esperamos que você se aperceba, ao longo do curso,

de que se trata de uma das áreas mais lúdicas da Matemática!!.

7 CEDERJ

Matrizes MÓDULO 1 - AULA 1

Aula 1 – Matrizes

Objetivos

Reconhecer matrizes reais;

Identificar matrizes especiais e seus principais elementos;

Estabelecer a igualdade entre matrizes.

Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao pólo Lugar

Lindo, cursando a disciplina Álgebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos

(claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles

farão 2 avaliações a distância e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais.

Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de

uma tabela:

aluno AD1 AD2 AP1 AP2

1. Ana 4,5 6,2 7,0 5,5

2. Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0

3. Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2

4. Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0

5. Edson 6,8 7,2 6,8 7,5

Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos,

o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha corres-

pondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas

notas obtidas pelos alunos na segunda verificação a distância, para calcular

a média da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8;

7,5; 8,5; 7,2). Também podemos ir diretamente ao local da tabela em que

se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avaliação a distância

(7,5).

É esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por

colunas, por elemento) que fazem desses objetos matemáticos instrumentos

valiosos na organização e manipulação de dados.

Vamos, então, à definição de matrizes.

9 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Matrizes

Definição

Uma matriz real A de ordem m × n é uma tabela de mn números reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros positivos.

Os elementos de uma ma-

triz podem ser outras enti-

dades, que não números re-

ais. Podem ser, por exem-

plo, números complexos, po-

linômios, outras matrizes etc.

Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por

Am×n(R). Neste curso, como só trabalharemos com matrizes reais, usaremos

a notação simplificada Am×n, que se lê “A m por n”. Também podemos

escrever A = (aij), onde i ∈ {1, ..., m} é o ı́ndice de linha e j ∈ {1, ..., n} é o ı́ndice de coluna do termo genérico da matriz. Representamos o conjunto

de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n(R). Escrevemos os elementos

de uma matriz limitados por parênteses, colchetes ou barras duplas.As barras simples são usadas para representar determinan-

tes, como veremos na aula 5.

Exemplo 1

1. Uma matriz 3× 2 :

  2 31 0

2 17

 

2. Uma matriz 2× 2 : (

5 3

1 1/2

)

3. Uma matriz 3× 1 :

∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 4 0

11

∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣

De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz, podemos

destacar os seguintes casos particulares:

• m = 1: matriz linha

• n = 1: matriz coluna

• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos que “A é uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto

das matrizes reais quadradas de ordem n porMn(R) (ou, simplesmente,

por Mn).

Exemplo 2

1. matriz linha 1× 4: [ 2 3 4 1/5

]

2. matriz coluna 3× 1:

  417

0

 

CEDERJ 10

Matrizes MÓDULO 1 - AULA 1

3. matriz quadrada de ordem 2:

[ 1 2 5 7

] Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas,

como ilustra o próximo exemplo.

Exemplo 3

Vamos construir a matriz A ∈ M2×4(R), A = (aij), tal que

aij =

{ i2 + j, se i = j

i− 2j, se i = j

A matriz procurada é do tipo A =

[ a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

] .

Seguindo a regra de formação dessa matriz, temos:

a11 = 1 2 + 1 = 2 a12 = 12(2) = 3

a22 = 2 2 + 2 = 6 a13 = 12(3) = 5

a14 = 12(4) = 7 a21 = 22(1) = 0 a23 = 22(3) = 4 a24 = 22(4) = 6

.

Logo, A =

[ 2 3 5 7 0 6 4 6

] .

Igualdade de matrizes

O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se

duas matrizes são ou não iguais. Temos a seguinte definição:

Duas matrizes A,B ∈ Mm×n(R), A = (aij), B = (bij), são iguais quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.

Exemplo 4

Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes

[ 2a 3b

c+ d 6

] e

[ 4 9 1 2c

] sejam iguais. Pela definição de igualdade de matrizes, podemos escrever:

[ 2a 3b

c+ d 6

] =

[ 4 9 1 2c

]

 

2a = 4

3b = 9 c+ d = 1

6 = 2c

11 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Matrizes

Dáı, obtemos a = 2, b = 3, c = 3 e d = 2.

Numa matriz quadrada A = (aij), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os se- guintes elementos:

• diagonal principal: formada pelos termos aii (isto é, pelos termos com ı́ndices de linha e de coluna iguais).

• diagonal secundária: formada pelos termos aij tais que i+ j = n.

Exemplo 5

Seja

A =

 

3 2 0 1 5 3 2 7

1/2 3 π 14 5 0 1 6

  .

A diagonal principal de A é formada por: 3, 3, π, 6

A diagonal secundária de A é formada por: 1,−2,−3,−5

Matrizes quadradas especiais

No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar

alguns tipos especiais. Seja A = (aij) ∈ Mn(R). Dizemos que A é uma matriz

• triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto é, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos).

• triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto é, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos).

• diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto é, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo

tempo, triangular superior e triangular inferior.

• escalar, quando aij = {

0, se i = j k, se i = j

, para algum k ∈ R. Isto é, uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal prin-

cipal iguais a um certo escalar k.

No nosso curso nos referimos

aos números reais como

escalares. Essa denominação

é espećıfica da Álgebra

Linear.

CEDERJ 12

Matrizes MÓDULO 1 - AULA 1

• identidade, quando aij = {

0, se i = j 1, se i = j

. Isto é, a identidade é uma

matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais

a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplo 6

matriz classificação

  4 1 20 6 3

0 0 9

  triangular superior

  2 0 00 0 3

0 0 0

  triangular superior

  1 0 00 4 0

0 0 0

  triangular superior, triangular inferior, diagonal

[ 0 0

3 0

] triangular inferior

[ 0 0

0 0

] triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar

[ 5 0

0 5

] triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar

Exemplo 7

São matrizes identidade:

I1 = [1]; I2 =

[ 1 0

0 1

] ; I3 =

  1 0 00 1 0

0 0 1

  ; I4 =

 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

De modo geral, sendo n um número natural maior que 1, a matriz

13 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Matrizes

identidade de ordem n

In =

 

1 0 0 ... 0 0

0 1 0 ... 0 0

0 0 1 ... 0 0 ...

... ...

... ...

...

0 0 0 ... 1 0

0 0 0 ... 0 1

 

Definição

A matriz nula em Mm×n(R) é a matriz de ordem m× n que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplo 8

Matriz nula 2× 3: [

0 0 0

0 0 0

]

Matriz nula 5× 2:

 

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

 

Definição

Dada A = (aij) ∈ Mm×n(R), a oposta de A é a matriz B = (bij) ∈ Mm×n(R) tal que bij = −aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Ou seja, os elemen- tos da matriz oposta de A são os elementos opostos aos elementos de A.

Representamos a oposta de A por −A.

Exemplo 9

A oposta da matriz A =

 

3 1 0 2

3 4

1 0 8 6 10 2

  é a matriz

−A =

 

3 1 0 2 −√3 4 1 0 8 6 10 2

  .

CEDERJ 14

Matrizes MÓDULO 1 - AULA 1

Resumo

Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos espe-

ciais. Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a

obter a oposta de uma matriz. Também vimos algumas matrizes quadradas

que se destacam por suas caracteŕısticas e que serão especialmente úteis no

desenvolvimento da teoria.

Exerćıcios

1. Escreva a matriz A = (aij) em cada caso:

(a) A é do tipo 2× 3, e aij = {

3i+ j, se i = j

i− 2j, se i = j

(b) A é quadrada de ordem 4 e aij =

 

2i, se i < j

i− j, se i = j 2j, se i > j

(c) A é do tipo 4× 2, e aij = {

0, se i = j 3, se i = j

(d) A é quadrada terceira ordem e aij = 3i− j + 2.

2. Determine x e y tais que

(a)

[ 2x+ y

2x− y

] =

[ 11

9

]

(b)

[ x2 y

x y2

] =

[ 1 1

1 1

]

15 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Matrizes

Respostas dos exerćıcios

1. (a)

[ 4 3 5 0 8 4

]

(b)

 

0 2 2 2

2 0 4 4

2 4 0 6

2 4 6 0

 

(c)

 

3 0

0 3

0 0

0 0

 

(d)

  4 1 27 6 5

10 9 8

 

2. (a) x = 5; y = 1

(b) x = y = 1

Auto-avaliação

Você não deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta

primeira aula. São apenas definiões e exemplos. Se achar conveniente, antes

de prosseguir, faça uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos.

De qualquer maneira, você sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!)

entrar em contato com o tutor da disciplina.

Até a próxima aula!!

CEDERJ 16

Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2

Aula 2 – Operações com matrizes:

transposição, adição e multiplicação por

número real

Objetivos

Obter a matriz transposta de uma matriz dada;

Identificar matrizes simétricas e anti-simétricas;

Obter a matriz soma de duas matrizes;

Obter o produto de uma matriz por um número real;

Aplicar as propriedades das operações nos cálculos envolvendo matrizes.

Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas

matrizes são ou não iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das operações

com matrizes. É através de operações que podemos obter outras matrizes,

a partir de matrizes dadas. A primeira operação com matrizes que estuda-

remos - a transposição - é unária, isto é, aplicada a uma única matriz. A

seguir, veremos a adição, que é uma operação binária, ou seja, é aplicada a

duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um

número real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes,

essa operação é dita ser externa.

Transposição

Dada uma matriz A ∈ Mm×n(R), A = (aij), a transposta de A é a matriz B ∈ Mn×m(R), B = (bji) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT .

Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as

linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente,

escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)

Exemplo 10

1. Seja A =

[ 3 2 5 1 7 0

] . A transposta deA é a matrizAT =

  3 12 7

5 0

 .

17 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real

2. Se M =

[ 3 4 4 9

] , então MT =

[ 3 4 4 9

] = M .

Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes

simétricas e anti-simétricas, como segue:

Definição

Uma matriz A é:

• simétrica, se AT = A

• anti-simétrica, se AT = −A

Segue da definição acima, que matrizes simétricas ou anti-simétricas

são, necessariamente, quadradas.

Exemplo 11

1. As matrizes

  3 2

3

2 5 13 1 8

  ,

( 19 3/2

3/2 7

) , e

 

1 2 1/5 0 2 7 9 1 1/5 9 0 8

0 1 8 4

 

são simétricas.

2. A matriz M , do exemplo 10, é simétrica.

Note que, numa matriz simétrica, os elementos em posições simétricas

em relação à diagonal principal são iguais.

Exemplo 12

As matrizes

( 0 1 1 0

) ,

  0 2 1/22 0 5

1/2 5 0

  , e

 

0 2 1/5 0 2 0 9 1

1/5 9 0 8 0 1 8 0

 

são anti-simétricas.

Note que uma matriz anti-simétrica tem, necessariamente, todos os

elementos da diagonal principal iguais a zero.

CEDERJ 18

Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2

Adição

Você se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a relação de

nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado

a um número (o número da linha). Assim, sem perder qualquer informação

sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avaliações numa

matriz 5 por 4:

A =

 

4, 5 6, 2 7, 0 5, 5

7, 2 6, 8 8, 0 10, 0

8, 0 7, 5 5, 9 7, 2

9, 2 8, 5 7, 0 8, 0

6, 8 7, 2 6, 8 7, 5

 

Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revisão e

que as seguintes alterações sejam propostas para as notas:

R =

 

0, 5 0, 0 0, 0 0, 2

0, 2 0, 5 0, 5 0, 0 0, 0 0, 2 0, 6 0, 1 0, 0 0, 5 0, 0 0, 2

0, 2 0, 0 0, 0 0, 3

 

A matriz N , com as notas definitivas, é a matriz soma das matrizes A e

R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de correção, isto é, cada

termo de A com seu elemento correspondente em R:

N = A+R =

 

4, 5 + 0, 5 6, 2 + 0, 0 7, 0 + 0, 0 5, 5 + 0, 2

7, 2 + (0, 2) 6, 8 + 0, 5 8, 0 + 0, 5 10, 0 + 0, 0 8, 0 + 0, 0 7, 5 + 0, 2 5, 9 + 0, 6 7, 2 + (0, 1) 9, 2 + 0, 0 8, 5 + 0, 5 7, 0 + 0, 0 8, 0 + 0, 2

6, 8 + 0, 2 7, 2 + 0, 0 6, 8 + 0, 0 7, 5 + 0, 3

 

Logo, N =

 

5, 0 6, 2 7, 0 5, 7

7, 0 7, 3 8, 5 10, 0

8, 0 7, 7 6, 5 7, 1

9, 2 9, 0 7, 0 8, 2

7, 0 7, 2 6, 8 7, 8

 

Definição

Dadas as matrizes A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R), a matriz soma de A e B é a matriz C = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que

cij = aij + bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}

19 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real

Representamos a matriz soma de A e B por A+B. Em palavras, cada

elemento de A+B é a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e

B. A diferença de A e B, indicada por A− B, é a soma de A com a oposta de B, isto é: A− B = A+ (−B). Exemplo 13

1.

[ 5 4 2 1

] +

[ 1 2 0 3

] =

[ 4 2 2 4

]

2.

  3 81 4

7 2

 

  2 17 2

3 6

  =

  3 81 4

7 2

 +

  2 17 2

3 6

  =

  1 98 2

10 4

 

Multiplicação por um número real

Seja A =

[ 3 1

2 4

] . Queremos obter 2A:

2A = A+ A =

[ 3 1

2 4

] +

[ 3 1

2 4

] =

[ 2× 3 2× 1 2× 2 2× (4)

]

.

Em palavras, o produto da matriz A pelo número real 2 é a matriz

obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2.

Voltemos à nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos

que, para facilitar o cálculo das médias, queiramos trabalhar numa escala de

0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota deverá ser

multiplicada por 10. Teremos, então, a seguinte matriz:

10N =

 

50 62 70 57

70 73 85 100

80 77 65 71

92 90 70 82

70 72 68 78

 

Podemos, então, definir a multiplicação de uma matriz por um número

real (ou, como é usual dizer no âmbito da Álgebra Linear, por um escalar).

Você verá que, em Álgebra

Linear, lidamos com dois

tipos de objeto matemático:

os escalares (que, neste

curso, serão os números

reais) e os vetores.

CEDERJ 20

Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2

Definição

Dada A = (aij) ∈ Mm×n(R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α é a matriz C = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que

cij = αaij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n}

Representamos a matriz produto de A por α por αA.

Exemplo 14

Dadas A =

[ 5 2 1 4

] , B =

[ 0 6

3 8

] e C =

[ 6 1 3 5

] , temos:

1. 2A =

[ 10 4

2 8

]

2. 1 3 B =

[ 0 2

1 8/3

]

3. A+2B−3C = [

5 2 1 4

] +

[ 0 12

6 16

] +

[ 18 3 9 15

] =

[ 23 17 14 5

]

Propriedades das operações com matrizes

Você talvez já tenha se questionado quanto à necessidade ou utilidade

de se listar e provar as propriedades de uma dada operação. Comutatividade,

associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades

sempre válidas... No entanto, são as propriedades que nos permitem esten-

der uma operação que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar

três ou mais. Ela também flexibilizam e facilitam os cálculos, de modo que

quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecânico”temos que desenvol-

ver. Veremos agora as propriedades válidas para as operações já estudadas.

Propriedade da transposição de matrizes

(t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n(R), vale que ATT = A. A validade dessa propriedade é clara, uma vez que escrevemos as linhas

de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas,

retornando à configuração original. Segue abaixo a demonstração formal

dessa propriedade:

Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). Então AT = B = (bji) ∈ Mn×m(R) tal que bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.

21 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real

Dáı, AT T

= BT = C = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = BT = ATT = A.

Propriedades da adição de matrizes

Para demonstrar as propriedades da adição de matrizes, usaremos as

propriedades correspondentes, válidas para a adição de números reais.

SejamA = (aij), B = (bij) e C = (cij) matrizes quaisquer emMm×n(R).

Valem as seguintes propriedades.

(a1) Comutativa: A +B = B + A

De fato, sabemos que A+B = (sij) é também uma matriz m× n cujo elemento genérico é dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo

j = 1, ..., n. Como a adição de números reais é comutativa, podemos escrever

sij = bij+aij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto é, A+B = B+A.

Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas não altera a soma de

duas matrizes.

(a2) Associativa: (A+B) + C = A+ (B + C)

De fato, o termo geral sij de (A+B)+C é dado por sij = (a+b)ij+cij =

(aij + bij) + cij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adição

de números reais é associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij) =

aij+(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij é também o

termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto é, (A+B)+C = A+(B+C).

Em palavras: podemos estender a adição de matrizes para o caso de três

parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora

somar três ou mais matrizes.

(a3) Existência do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n(R) tal que A+O = A. De fato, seja O a matriz nula de Mm×n(R), isto é, O = (oij), onde

oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de

A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo

j = 1, ..., n. Ou seja, A+ O = A.

Em palavras: na adição de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo

papel que o zero desempenha na adição de números reais.

(a4) Da existência do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n(R) tal queO elemento oposto é também chamado elemento simétrico

ou inverso aditivo. A + (−A) = O.

De fato, sabemos que cada elemento de −A é o oposto do elemento correspondente de A. Então, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos

CEDERJ 22

Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2

sij = aij + (−aij) = 0 = oij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto é, A+ (−A) = O. Em palavras: Cada matriz possui, em correspondência, uma matriz de mesma

ordem tal que a soma das duas é a matriz nula dessa ordem.

(a5) Da soma de transpostas: AT +BT = (A+B)T

De fato, seja sij o termo geral de A T+BT . Então, para todo i = 1, ..., m

e todo j = 1, ..., n, sij = aji+bji = (a+b)ji, que é o termo geral de (A+B) T .

Ou seja, AT +BT = (A +B)T .

Em palavras: A soma das transpostas é a transposta da soma. Ou, vendo sob

outro ângulo: a transposição de matrizes é distributiva em relação à adição.

Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar

Você verá que, também neste caso, provaremos a validade dessas propri-

edades usando as propriedades correspondentes da multiplicação de números

reais.

Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguin- tes propriedades:

(mn1) (αβ)A = α(βA)

De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto é, pij = ((αβ)a)ij =

(αβ)aij = α(βaij) = (α(βa))ij, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou

seja, pij é também o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA).

Exemplo 15

Dada A ∈ Mm×n(R), 12A = 3(4A) = 2(6A).

(mn2) (α + β)A = αA+ βA

De fato, seja pij o termo geral de (α+ β)A, isto é, pij = ((α+ β)a)ij =

(α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij, para todo i = 1, ..., m e todo

j = 1, ..., n. Ou seja, pij é também o termo geral de αA + βA. Logo,

(α + β)A = αA+ βA.

Exemplo 16

Dada A ∈ Mm×n(R), 12A = 7A+ 5A = 8A+ 4A.

(mn3) α(A+B) = αA+ αB

De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Então, para todo i = 1, ..., m

e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij) =

23 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real

αaij+αbij = (αa)ij+(αb)ij . Ou seja, pij é também o termo geral de αA+αB.

Logo, α(A+B) = αA+ αB.

Exemplo 17

Dadas A,B ∈ Mm×n(R), 5(A+B) = 5A+ 5B.

(mn4) 1A = A

De fato, sendo pij o termo geral de 1A, temos pij = (1a)ij = 1aij = aij ,

para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto é, 1A = A.

(mn5) αAT = (αA)T

De fato, seja pij o termo geral de αA T . Então pij = αaji = (αa)ji, ou

seja, pij é também o termo geral de (αA) T .

Exemplo 18

DadasA =

( 2 1

0 1

) eB =

( 4 0

2 6

) , vamos determinar 3

( 2AT − 1

2 B )T

.

Para isso, vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo,

indicando qual a propriedade utilizada.

3

( 2AT − 1

2 B

)T a5 = 3

[( 2AT

)T − (1 2 B

)T]

mn5 = 3

[ 2 ( AT

)T − 1 2 BT

] t1 = 3

( 2A− 1

2 BT

) mn3 = 3(2A)3

( 1

2 BT

) mn1 = (3.2)A−

( 3. 1

2

) BT

= 6A− 3 2 BT

= 6

( 2 1

0 1

) 3

2

( 4 2 0 6

)

=

( 12 6

0 6

) (

6 3 0 9

)

=

( 6 9

0 15

)

CEDERJ 24

Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2

Observação. É claro que você, ao efetuar operações com matrizes, não

precisará explicitar cada propriedade utilizada (a não ser que o enunciado da

questão assim o exija!) e nem resolver a questão passo-a-passo. O impor-

tante é constatar que são as propriedades das operações que nos possibilitam

reescrever a matriz pedida numa forma que nos pareça mais “simpática”.

Resumo

Nesta aula começamos a operar com as matrizes. Vimos como ob-

ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes simétricas e anti-

simétricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar

uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das

operações vistas. A aula ficou um pouco longa, mas é importante conhecer

as propriedades válidas para cada operação estudada.

Exerćıcios

1. Obtenha a transposta da matriz A ∈ M2×4(R), A = (aij), tal que aij =

{ 2i+ j, se i = j

i2 − j, se i = j

2. Determine a e b para que a matriz

  2 4 2a− ba+ b 3 0

1 0 5

  seja simétrica.

3. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

4. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz

  2x a + b a− 2b−6 y2 2c

5 8 z − 1

  seja

anti-simétrica.

5. Sendo A =

  2 10 1

3 2

  e B =

  0 17 3

4 5

 , determine A+B.

6. Determine a, b, e c para que

[ a 3 2a

c 0 2

] +

[ b −3 1 1 4 3

] =

[ 2 0 5

3 4 1

] .

25 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real

7. Dada A =

[ 3 5

4 2

] , determine a matriz B tal que A+B é a matriz

nula de M2(R).

8. Considere as matrizes A =

  51

2

  , B =

  12

3

  , e C =

[ 0 2 1

] . Determine a matriz X em cada caso:

(a) X = 2A− 3B

(b) X + A = B − CT − 2X

(c) X +BT = 3AT + 1 2 C

9. Sendo A =

[ 9 4 2

6 12 11

] e B =

[ 8 7 9 12 19 2

] , determine as

matrizes X e Y tais que

{ 2X + Y = A

X − 2Y = B

10. Sendo A,B ∈ Mm×n(R), use as propriedades vistas nesta aula para simplificar a expressão 3

( 2AT − B)T + 5 (1

5 BT − AT + 3

5 B )T

.

Auto-avaliação

Você deve se sentir à vontade para operar com matrizes nas formas vis-

tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. São operações

de realização simples, que seguem a nossa intuição. Além disso, é importante

que você reconheça a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobi-

lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de operações não

são para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pôr a

teoria em prática!

Se você sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver

os exerćıcios propostos, peça aux́ılio ao tutor da teoria. O importante é que

caminhemos juntos nesta jornada!

Até a próxima aula!!

CEDERJ 26

Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por número real MÓDULO 1 - AULA 2

Respostas dos exerćıcios

1.

 

3 3

1 5 2 1 3 0

 

2. a = 1; b = 3

4. a = 7 3 ; b = 11

3 ; c = 4; x = 0; y = 0; z = 1

5.

  2 27 2

1 7

 

6. a = 3; b = 1; c = 2

7.

[ 3 5 4 2

]

8. (a)

  78

5

  (b)

  41

0

  (c) [ 14 6 72 ]

9. X =

[ 2 3 1 0 1 4

] ; Y =

[ 5 2 4 6 10 3

]

10. A+B

27 CEDERJ

Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3

Aula 3 – Operações com matrizes:

multiplicação

Objetivos

Reconhecer quando é posśıvel multiplicar duas matrizes;

Obter a matriz produto de duas matrizes;

Aplicar as propriedades da multiplição de matrizes;

Identificar matrizes inverśıveis.

Se você já foi “apresentado” à multiplicação de matrizes, pode ter se

perguntado por que a definição foge tanto daquilo que nos pareceria mais

fácil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das

duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem).

Poderia ser assim? Poderia!

Então, por que não é?

Em Matemática, cada definição é feita de modo a possibilitar o desen-

volvimento da teoria de forma cont́ınua e coerente. É por essa razão que

definimos, por exemplo, 0! = 1 e a0 = 1, (a = 0). O caso 00 é mais delicado do

que parece. Se você tem

interesse nesse problema, vai

gostar de ler o artigo de

Elon Lages Lima, na Revista

do Professor de Matemática

(RPM), n. 7.

Não iŕıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplicação

fosse definida “nos moldes” da adição. Você verá, nesta aula, o significado

dessa operação, no modo como é definida. Mais tarde, quando estudar-

mos transformações lineares (no módulo 2), ficará ainda mais evidente a

importância de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir.

Venha conosco!

Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. Já é tempo de calcular

suas notas finais!

A última matriz obtida (na aula 2) fornecia as notas numa escala de 0

a 100:

N ′ =

 

50 62 70 57

70 73 85 100

80 77 65 71

92 90 70 82

70 72 68 78

 

Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avaliações

29 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: multiplicação

à distância e as duas últimas, as notas das avaliações presenciais dos alunos

Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem.

Vamos supor que as avaliações à distância tenham, cada uma, peso 1,

num total de 10. Isto é, cada uma colabora com 1 10

(ou 10%) da nota final.

Para completar, cada avaliação presencial terá peso 4, ou seja, repre-

sentará 4 10

(ou 40%) da nota final.

Então, a nota final de cada aluno será dada por:

NF = 10

100 AD1 +

10

100 AD2 +

40

100 AP1 +

40

100 AP2

Em vez de escrever uma expressão como essa para cada um dos 5 alunos,

podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na

ordem como aparecem no cálculo de NF :

P =

 

10/100

10/100

40/100

40/100

 

e efetuar a seguinte operação:

N ′.P =

 

50 62 70 57

70 73 85 100

80 77 65 71

92 90 70 82

70 72 68 78

  .

 

10/100

10/100

40/100

40/100

  =

=

 

10 100

.50 + 10 100

.62 + 40 100

.70 + 40 100

.57 10 100

.70 + 10 100

.73 + 40 100

.85 + 40 100

.100 10 100

.80 + 10 100

.77 + 40 100

.65 + 40 100

.71 10 100

.92 + 10 100

.90 + 40 100

.70 + 40 100

.82 10 100

.70 + 10 100

.72 + 40 100

.68 + 40 100

.78

  =

 

62

88

70

79

73

 

O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o número de termos

em cada linha da primeira é igual ao número de termos de cada coluna da

segunda. Ou seja, o número de colunas da primeira coincide com o número

de linhas da segunda (4, no nosso exemplo).

Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”,

simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a.. Depois,

somamos os produtos obtidos.

CEDERJ 30

Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3

Note que, ao considerarmos a i-ésima linha (da 1a. matriz) e a j-´ésima

coluna (da 2a.), geramos o elemento na posição ij da matriz produto.

Formalmente, temos a seguinte definição:

Multiplicação de matrizes

Sejam A = (aik) ∈ Mm×p(R) e B = (bkj) ∈ Mp×n(R). Amatriz produto de A por B é a matriz AB = (cij) ∈ Mm×n(R) tal que

cij =

pk=1

aik.bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n

Exemplo 19

Sejam A =

[ 3 2 1 4 0 7

] e B =

  1 3 10 21 5 0 5

2 6 4 2

 . Como A é do tipo

2× 3 e B é do tipo 3× 4, existe a matriz AB e é do tipo 2× 4:

AB =

[ 3 2 1 4 0 7

] 1 3 10 21 5 0 5 2 6 4 2

  =

=

[ 322 9 + 106 30 + 04 6 + 10 + 2 4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 014

] =

[ 1 13 26 18 18 54 68 6

]

Observe que, neste caso, não é posśıvel efetuar BA.

A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas

conclusões interessantes a respeito da multiplicação de matrizes.

Exemplo 20

Sejam A =

[ 2 4

3 1

] e B =

[ 3 2

5 6

] . Então

AB =

[ 2 4

3 1

][ 3 2

5 6

] =

[ 6 + 20 4 + 24

95 66

] =

[ 26 28

4 0

] e

BA =

[ 3 2

5 6

][ 2 4

3 1

] =

[ 6 + 6 122

10 + 18 206

] =

[ 12 10

28 14

] .

Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n

existe e é também uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplicação

pôde ser efetuada nos dois casos, isto é, nas duas ordens posśıveis, mas as

matrizes AB e BA são diferentes.

31 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: multiplicação

Exemplo 21

Sejam A =

( 1 2

3 4

) e B =

( 1 4

6 7

) . Temos que:

AB =

( 1 2

3 4

)( 1 4

6 7

) =

( 1 + 12 4 + 14

3 + 24 12 + 28

) =

( 13 18

27 40

) e

BA =

( 1 4

6 7

)( 1 2

3 4

) =

( 1 + 12 2 + 16

6 + 21 12 + 28

) =

( 13 18

27 40

)

Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A

e B comutam.

Exemplo 22

Consideremos as matrizes A =

[ 3 2 1

4 6 5

] e B =

  419

26

 .

Efetuando AB, obtemos a matriz

[ 0

0

] .

Note que, diferentemente do que ocorre com os números reais, quando

multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer

dos fatores seja a matriz nula.

Exemplo 23

Vamos calcular AB, sendo A =

( 1 2

3 4

) e B =

( 2 1 3/2 1/2

) .

Temos que AB =

( 2 + 3 11 6 + 6 32

) =

( 1 0

0 1

) = I2.

Quando isso ocorre, isto é, quando o produto de duas matrizes A e

B quadradas, é a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes),

dizemos que A inverśıvel e que B é a sua inversa. Uma matriz inverśıvel

Matrizes inverśıveis também

são chamadas de invert́ıveis

ou de não-singulares.

sempre comuta com sua inversa. Você pode verificar isso, calculando BA. Na

próxima aula, estudaremos um método bastante eficiente para determinar,

caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada.

Propriedades da multiplicação de matrizes

i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R). Isto é, a multiplicação de matrizes é associativa.

De fato, sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (ckl). O termo de ı́ndices

ik da matriz AB é dado pela expressão ∑n

j=1 aijbjk. Então o termo

CEDERJ 32

Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3

de ı́ndices il da matriz (AB)C é dado por ∑p

k=1

(∑n j=1 aijbjk

) ckl =∑n

j=1 aij ( ∑p

k=1 bjkckl), que é o termo de ı́ndices il da matriz A(BC),

pois ∑p

k=1 bjkckl é o termo de ı́ndices jl da matriz BC. Logo, (AB)C =

A(BC).

ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n(R), B, C ∈ Mn×p(R). Isto é, a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição

de matrizes.

De fato, sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (cjk). O termo de ı́ndices jk

de B+C é dado por (bjk+ cjk). Então o de ı́ndices ik da matriz A(B+

C) é ∑n

j=1 aij(bjk + cjk) = ∑n

j=1 [(aijbjk) + (aijcjk)] = ∑n

j=1(aijbjk) +∑n j=1(aijcjk), que é o termo de ı́ndices ik da matriz dada por AB+AC.

Isto é, A(B + C) = AB + AC.

De forma análoga, prova-se que (A+B)C = AC +BC.

iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R), ∀B ∈ Mn×p(R).

De fato, sejam A = (aij) e B = (bjk). O termo de ı́ndices ik de λ(AB)

é dado por λ (∑n

j=1 aijbjk

) =

n j=1 λ(aijbjk) =

n j=1(λaij)bjk, que é

o termo de ı́ndices ik de (λA)B. Isto é, λ(AB) = (λA)B. De forma

análoga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B =

A(λB).

iv Dada A ∈ Mm×n(R), ImA = AIn = A.

De fato, sejam A = (aij) e Im = δij, onde δij =

{ 1, se i = j

0, se i = j . Então A função δij assim definida échamada delta de Kronecker nos ı́ndices i e j.o termo de ı́ndices ij de ImA é dado por

n k=1 δikakj = δi1a1j + δi2a2j +

...+ δiiaij + ...+ δinanj = 0.a1j +0.a2j + ...+1.aij + ...+0anj = aij , que

é o termo de ı́ndices ij de A. Logo, ImA = A. Analogamente, prova-se

que AIn = A. Isto é, ImA = AIn = A.

v Dadas A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R), (AB)T = BTAT .

De fato, sejam A = (aij) e B = (bjk). O termo de ı́ndices ik de

AB é dado por ∑n

j=1 aijbjk, que é, também, o termo de ı́ndices ki da

33 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: multiplicação

matriz (AB)T . Sendo BT = (b′kj) e A T = (a′ji), onde b

′ kj = bjk e

a′ji = aij , ∀i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, podemos escrever ∑n

j=1 aijbjk =∑n j=1 b

′ kja

′ ji, que é o termo de ı́ndices ki da matriz B

TAT . Logo,

(AB)T = BTAT .

Potências de matrizes

Quando multiplicamos um número real por ele mesmo, efetuamos uma

potenciação. Se a é um número real, indicamos por an o produto a×a×...×a, onde consideramos n fatores iguais a a.

Analogamente, quando lidamos com matrizes, definimos a potência de

expoente n (ou a n-ésima potência) de uma matriz quadrada A como sendo

o produto A× A× ...× A, onde há n fatores iguais a A. Exemplo 24

Dada A =

[ 5 4 3 1

] , temos

A2 = A× A = [

5 4 3 1

][ 5 4 3 1

] =

[ 13 24 18 11

] e

A3 = A2 ×A = [ 13 24 18 11

][ 5 4 3 1

] =

[ 7 76 57 83

]

Quando calculamos sucessivas potências de uma matriz, podem ocorrer

os seguintes casos especiais:

• An = A, para algum n natural. Nesse caso, dizemos que a matriz A periódica. Se p é o menor natural

para o qual Ap = A, dizemos que A periódica de peŕıodo p. Particu-

larmente, se p = 2, a matriz A é chamada idempotente.

• An = O, para algum n natural. Nesse caso, dizemos que a matriz A nihilpotente. Se p é o menorLê-se nilpotente. A palavra

nihil significa nada, em latim. natural para o qual Ap = O, a matriz A é dita ser nihilpotente de

ı́ndice p.

Exemplo 25

Efetuando a multiplicação de A por ela mesma, você poderá constatar que a

matriz A, em cada caso, é idempotente:

CEDERJ 34

Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3

A =

[ 1/2 1/2

1/2 1/2

]

A =

[ 0 5

0 1

] .

Exemplo 26

Seja A =

[ 5 1 25 5

] . Calculando A2, temosA×A =

[ 5 1 25 5

][ 5 1 25 5

] =[

0 0

0 0

] . Ou seja, A é nihilpotente de ı́ndice 2.

Resumo

Nesta aula vimos como multiplicar duas matrizes. Trata-se de uma

operação que se distingue das que vimos anteriormente, tanto pela maneira

pouco intuitiva pela qual é definida, quanto pelo fato de não ser comuta-

tiva. Ela representa um papel muito importante no desenvolvimento de toda

a Álgebra Linear, permitindo, por exemplo, uma representação simples da

composição de funções especiais, que estudaremos no módulo 2. Além disso,

fomos apresentados às matrizes inverśıveis e vimos que estas sempre comutam

com suas matrizes inversas.

Exerćıcios

1. Calcule AB, em cada caso abaixo:

(a) A =

[ 1 2 4 5 0 1

] , B =

  26

10

 

(b) A =

[ 4 6

2 3

] , B =

[ 2 0

1 4

]

(c) A =

  31

2

  , B = [ 6 5 3 ]

35 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: multiplicação

2. Determine ABT − 2C, dadas A =

  1 22 5

0 3

  , B =

  4 22 1

1 7

  ,

C =

  7 9 16 4 2

8 10 3

 .

3. Verifique, em caso, se B é a matriz inversa de A:

a) A =

[ 2 3

1 6

] e B =

[ 2/3 1/3

1/9 2/9

]

b) A =

[ 1 5

3 2

] e B =

[ 6 5

1 1

]

4. Resolva a equação matricial

[ 3 1

2 5

][ a b

c d

] =

[ 5 15

8 7

] .

5. Determine a e b para que as matrizes A =

[ 2 3

9 5

] e B =

[ a −1 3 b

] comutem.

6. Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso:

a) A =

[ 1 2

4 5

]

b) A =

[ 0 1

3 1

]

7. Dadas as matrizes A =

[ 1 3 2 5

] e B =

[ 1 4

0 2

] , calcule:

a) A2

b) B3

c) A2B3

8. As matrizes A =

  0 1 00 0 1

0 0 0

  e B =

[ 3 9 1 3

] são nihilpotentes.

Determine o ı́ndice de cada uma.

CEDERJ 36

Operações com matrizes: multiplicação MÓDULO 1 - AULA 3

Auto-avaliação

É muito importante que você se sinta bem à vontade diante de duas ma-

trizes a multiplicar. Assimilada a definição, repita os exemplos e os exerćıcios

que tenham deixado alguma dúvida. Caso haja alguma pendência, não hesite

em contactar o tutor da disciplina. É essencial que caminhemos juntos!! Até

a próxima aula.

Respostas dos exerćıcios

1. a)AB =

[ 30

70

] b)AB =

[ 14 24 7 12

] c)AB =

  18 15 96 5 3

12 10 6

 .

2.

  6 14 116 1 29

10 17 27

 

3. a) sim (pois AB = I2); b) não

4.

[ 1 4

2 3

]

5. a = 1; b = 0

6. a)

[ x z/2

z x− z

] , x, z ∈ R b)

[ x y

3y x+ y

] , x, y ∈ R.

7. a)

[ 5 18 12 19

] b)

[ 1 12

0 4

] c)

[ 1 28

0 8

]

8. a) 3; b) 2

37 CEDERJ

Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4

Aula 4 – Operações com matrizes: inversão

Objetivos

Obter a matriz inversa (caso exista), pela definição;

Aplicar operações elementares às linhas de uma matriz;

Obter a matriz inversa (caso exista), por operações elementares;

Reconhecer matrizes ortogonais.

Na aula 3 vimos que, dada uma matriz A ∈ Mn(R), se existe uma matriz B ∈ Mn(R), tal que AB = In, a matriz A é dita inverśıvel e a matriz B é a sua inversa, e podemos escrever B = A−1. Uma matriz inverśıvel

sempre comuta com sua inversa; logo, se AB = In então BA = In e A é a

inversa de B.

Dada uma matriz quadrada A, não sabemos se ela é ou não inverśıvel

até procurar determinar sua inversa e isso não ser posśıvel. Para descobrir se

uma matriz é ou não inverśıvel e, em caso afirmativo, determinar sua inversa,

só contamos, até o momento, com a definição. Assim, dada uma matriz A de

ordem n, escrevemos uma matriz também de ordem n, cujos elementos são

incógnitas a determinar, de modo que o produto de ambas seja a identidade

de ordem n. Vamos a um exemplo:

Exemplo 27

Em cada caso, vamos determinar, caso exista, a matriz inversa de A:

1. A =

[ 2 5

1 3

] . Seja B =

[ x y

z t

] a matriz inversa de inversa de A,

então

AB = I2 [ 2 5

1 3

][ x y

z t

] =

[ 1 0

0 1

]

[ 2x+ 5z 2y + 5t

x+ 3z y + 3t

] =

[ 1 0

0 1

]

Essa igualdade gera um sistema de 4 equações e 4 incógnitas: 

2x+ 5z = 1

2y + 5t = 0

x+ 3z = 0

y + 3t = 1

39 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão

Note que esse sistema admite dois subsistemas de 2 equações e 2 incógnitas:{ 2x+ 5z = 1

x+ 3z = 0 e

{ 2y + 5t = 0

y + 3t = 1

Resolvendo cada um deles, obtemos x = 3, y = 5, z = 1, t = 2. Logo, a matriz A é inverśıvel e sua inversa é A−1 =

[ 3 5

1 2

]

2. A =

[ 6 3

8 4

] . Procedendo com no item anterior, escrevemos:

A =

[ 6 3

8 4

][ x y

z t

] =

[ 1 0

0 1

]

[ 6x+ 3z 6y + 3t

8x+ 4z 8y + 4t

] =

[ 1 0

0 1

] .

Obtemos então os sistemas{ 6x+ 3z = 1

8x+ 4z = 0 e

{ 6y + 3t = 1

8y + 4t = 1

Ao resolver esses sistemas, porém, vemos que não admitem solução

(tente resolvê-los, por qualquer método!). Conclúımos, então, que a

matriz A não é inverśıvel.

Você viu que, ao tentar inverter uma matriz de ordem 2, recaimos em

dois sistemas, cada um de duas equações e duas incógnitas. Se a matriz

a ser invertida for de ordem 3, então o problema recairá em três sistemas,

cada um com três equações e três incógnitas. Já dá pra perceber o trabalho

que teŕıamos para inverter uma matriz de ordem superior (nem precisamos

pensar numa ordem muito grande: para inverter uma matriz 5× 5, teŕıamos que resolver 5 sistemas, cada um de 5 equações e 5 incógnitas!).

Temos, então, que determinar uma outra maneira de abordar o pro-

blema. Isso será feito com o uso de operações que serão realizadas com as

linhas da matriz a ser invertida. Essas operaçõs também poderiam ser de-

finidas, de forma análoga, sobre as colunas da matriz. Neste curso, como

só usaremos operações elementares aplicadas às linhas, nós nos referiremos a

elas, simplesmente, como operações elementares (e não operações elementares

sobre as linhas da matriz). Vamos à caracterização dessas operações.

Operações elementares

Dada A ∈ Mm×n(R), chamam-se operações elementares as seguintes ações:

CEDERJ 40

Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4

1. Permutar duas linhas de A.

Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li ↔ Lj .

2. Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo.

Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo número real λ escre-

vendo Li ← λLi.

3. Somamos a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um

número real.

Indicamos que somamos à linha Li a linha Lj multiplicada pelo número

real λ por: Li ← Li + λLj .

Exemplo 28

Vamos aplicar algumas operações elementares às linhas da matrizA =

  3 2 50 1 6

8 4 2

 :

1.

  3 2 50 1 6

8 4 2

  L1 ↔ L3

  8 4 20 1 6

3 2 5

 

2.

  3 2 50 1 6

8 4 2

  L2 ← −3L2

  3 2 50 3 18

8 4 2

 

3.

  3 2 50 1 6

8 4 2

  L2 ← L2 + 2L3

  3 2 516 9 2

8 4 2

 

Consideremos o conjunto Mm×n(R). Se, ao aplicar uma seqüência de

operações elementares a uma matriz A, obtemos a matriz B, dizemos que B

equivalente a A e indicamos por B ∼ A. Fica definida, assim, uma relação no conjunto Mm×n(R), que é:

1. reflexiva: A ∼ A

2. simétrica: se A ∼ B então B ∼ A

3. transitiva: se A ∼ B e B ∼ C então A ∼ C

Isto é, a relação é uma relação de equivalência no conjunto Mm×n(R). Assim, se A ∼ B ou se B ∼ A podemos dizer, simplesmente, que A e B são equivalentes.

41 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão

Lembremos que nosso objetivo é determinar um método para encontrar

a inversa de uma matriz, caso ela exista, que seja mais rápido e simples do

que o uso da definição. Para isso, precisamos do seguinte resultado:

Teorema 1

Seja A ∈ Mn(R). Então A é inverśıvel se, e somente se, A ∼ In. Se A é inverśıvel, a mesma sucessão de operações elementares que transformam A

em In, transformam In na inversa de A.

Você poderá encontrar a

demonstração desse teorema

no livro Álgebra Linear e

Aplicações, de Carlos

Callioli, Hygino Domingues e

Roberto Costa, da Atual

Editora, (Apêndice do

Caṕıtulo 1).

Este método permite determinar, durante sua aplicação, se a matriz é

ou não inverśıvel. A idéia é a seguinte:

1. Escrevemos, lado-a-lado, a matriz que queremos inverter e a matriz

identidade de mesma ordem, segundo o esquema:

A I

2. Por meio de alguma operação elementar, obtemos o número 1 na posição

11.

3. Usando a linha 1 como linha-pivô, obtemos zeros nas outras posições

da coluna 1 (para isso, fazemos uso da terceira operação elementar).

4. Por meio de uma operação elementar, obtemos o número 1 na posição

22.

5. Usando a linha 2 como linha-pivô, obtemos zeros nas outras posições

da coluna 2 (para isso, fazemos uso da terceira operação elementar).

6. Passamos para a terceira coluna e assim por diante.

7. Se, em alguma etapa do procedimento, uma linha toda se anula, po-

demos concluir que a matriz em questão não é inverśıvel - nesse caso,

nenhuma operação elementar igualaria essa linha a uma linha da matriz

identidade!

8. Se chegarmos à matriz identidade, então a matriz à direita, no esquema,

será a matriz inversa procurada.

Veja os dois exemplos a seguir:

CEDERJ 42

Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4

Exemplo 29

1. A =

  3 1 21 0 3

4 2 5

 . Escrevemos na forma esquemática:

3 1 2 | 1 0 0 1 0 3 | 0 1 0 4 2 5 | 0 0 1

L2 ← −L2

3 1 2 | 1 0 0 1 0 3 | 0 1 0 4 2 5 | 0 0 1

L1 ↔ L2

1 0 3 | 0 1 0 3 1 2 | 1 0 0 4 2 5 | 0 0 1

L2 ← L2 3L1 L3 ← L3 4L1

1 0 3 | 0 1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 2 7 | 0 4 1 L3 ← L3 2L2 1 0 3 | 0 1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 15 | −2 2 1 L3 ← − 115L3 1 0 3 | 0 1 0 0 1 11 | 1 3 0 0 0 1 | 2/15 2/15 1/15

L1 ← L1 + 3L3 L2 ← L2 11L3

1 0 0 | 6/15 9/15 3/15 0 1 0 | −7/15 23/15 11/15 0 0 1 | 2/15 2/15 1/15

Logo, a matriz A é inverśıvel e A−1 = 1 15

  6 9 37 23 11

2 2 1

 . Você

poderá verificar que essa é, realmente, a inversa de A, efetuando a

multiplicação dela por A e constatando que o produto é I3.

2. A =

  2 4 10 3 2

4 11 4

 . Escrevendo na forma esquemática:

2 4 1 | 1 0 0 0 3 2 | 0 1 0 4 11 4 | 0 0 1

L1 12L1

43 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão

1 2 1/2 | 1/2 0 0 0 3 2 | 0 1 0 4 11 4 | 0 0 1 L3 ← L3 4L1 1 2 1/2 | 1/2 0 0 0 3 2 | 0 1 0 0 3 2 | −2 0 1

L2 ← −13L2

1 2 1/2 | 1/2 0 0 0 1 2/3 | 0 1/3 0 0 3 2 | −2 0 1

L1 ← L1 2L2

L3 ← L3 3L2 1 2 1/2 | 1/2 0 0 0 1 2/3 | 0 1/3 0 0 0 0 | −2 1 1 Como a terceira linha se anulou, podemos parar o processo e concluir

que a matriz A não é inverśıvel.

Propriedades da inversão de matrizes

1. Se A ∈ Mn(R) é inverśıvel, então (A−1)1 = A De fato, como A−1A = In, temos que A é a inversa de A−1.

2. Se A,B ∈ Mn(R) são inverśıveis, então AB é inverśıvel e (AB)1 = B−1A−1.

De fato, temos (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 =

In. Logo, B −1A−1 é a inversa de AB.

3. Se A ∈ Mn(R) é inverśıvel, então (AT )1 = (A−1)T . De fato, como AT (A−1)T = (A−1A)T = (In)T = In, temos que (A−1)T

é a inversa de AT .

Exemplo 30

Supondo as matrizes A e B inverśıveis, vamos obter a matriz X nas equações

abaixo:

1. AX = B

Multiplicando os dois membros da igualdade, à esquerda, por A−1,

temos:

A−1(AX) = A−1B

CEDERJ 44

Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4

ou:

(A−1A)X = A−1B,

IX = A−1B

Logo, X = A−1B.

2. (AX)T = B

Temos:

(AX)T = B ⇒ [(AX)T ]T = BT ⇒ AX = BT ⇒ A−1(AX) = A−1BT ⇒ (A−1A)X = A−1BT ⇒ IX = A−1BT ⇒ X = A−1BT .

Para finalizar esta aula, vamos definir um tipo especial de matriz qua-

drada inverśıvel, que é aquela cuja inversa coincide com sua transposta.

Matrizes ortogonais

Dizemos que uma matriz A ∈ Mn(R), inverśıvel, é ortogonal, quando A−1 = AT .

Para verificar se uma matriz A é ortogonal, multiplicamos A por AT e

vemos se o produto é a identidade.

Exemplo 31

A matriz

[ 1/2

3/2

−√3/2 1/2

] é ortogonal. De fato, multiplicando essa matriz

pela sua transposta, temos:[ 1/2

3/2

−√3/2 1/2

][ 1/2 −√3/23/2 1/2

] =

[ 1 0

0 1

]

Veremos mais tarde que as matrizes ortogonais representam um pa-

pel importante na representação de funções especiais, chamadas operadores

ortogonais. Chegaremos lá!!!!

Resumo

O ponto central desta aula é inverter matrizes, quando isso é posśıvel.

Como a definição, embora simples, não fornece um método prático para

a inversão de matrizes, definimos as operações elementares, que permitem

“passar”, gradativamente, da matriz inicial, a ser invertida, para outras,

numa sucessão que nos leva à matriz identidade. Trata-se de um método

45 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão

rápido e eficiente, que resolve tanto o problema de decidir se a inversa existe

ou não, como de obtê-la, no caso de existir. Esse é o método implementado

pelos “pacotes”computacionais - aqueles programas de computador que nos

dão, em questão de segundos, a inversa de uma matriz.

Exerćıcios

1. Em cada caso, verifique se a matriz B é a inversa de A.

(a) A =

[ 3 4

2 3

] e B =

[ 3 4

2 3

]

(b) A =

  7 3 282 1 8

0 0 1

  e B =

  1 3 42 7 0

0 0 1

 

(c) A =

[ 1 3 1 4

] e B =

[ 4 3

1 1

]

2. Dadas A =

[ 3 1

5 2

] e B =

[ 4 7

1 2

] , determine: A−1, B−1 e (AB)1.

3. Supondo as matrizes A,B e C inverśıveis, determineX em cada equação.

(a) AXB = C

(b) AB = CX

(c) (AX)1B = BC

(d) [(AX)1B]T = C

4. Determine, caso exista, a inversa da matriz A, em cada caso:

(a) A =

[ 3 2 1 4

]

(b) A =

  1 2 310 6 10

4 5 2

 

(c) A =

  2 0 04 1 0

2 3 1

 

CEDERJ 46

Operações com matrizes: inversão MÓDULO 1 - AULA 4

(d) A =

 

1 0 0 0

2 1 0 0

3 2 1 0

4 3 2 1

 

5. Que condições λ ∈ R deve satisfazer para que a matriz

  1 1 12 1 2

1 2 λ

 

seja inverśıvel?

Auto-avaliação

Você deverá treinar bastante a aplicação do método estudado. Faça

todos os exerćıcios e, se posśıvel, resolva outros mais - você mesmo(a) poderá

criar matrizes a inverter e descobrir se são ou não inverśıveis. É fácil, ao final

do processo, verificar se a matriz obtida é, de fato, a inversa procurada (isto

é, se não houve erros nas contas efetuadas): o produto dela pela matriz dada

tem que ser a identidade. Caso haja alguma dúvida, em relação à teoria ou

aos exerćıcios, entre em contato com o tutor da disciplina.

47 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Operações com matrizes: inversão

Respostas dos exerćıcios

1. (a) sim

(b) sim

(c) não

2. A−1 =

[ 2 1

5 3

] ; B−1 =

[ 2 7

1 4

] ; (AB)1 =

[ 39 23

22 13

] .

3. (a) X = A−1CB−1

(b) X = C−1AB

(c) X = A−1BC−1B−1

(d) X = A−1B(CT )1

4. (a) A−1 =

[ 2/7 1/7

1/14 3/14

]

(b) Não existe a inversa de A

(c) A−1 =

  1/2 0 02 1 0

7 3 1

 

(d) A−1 =

 

1 0 0 0

2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1

 

5. λ = 1

CEDERJ 48

Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Determinantes

Objetivo

Calcular determinantes pelo método da triangularização.

Pré-requisitos: aulas 1 a 4.

Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Como

estamos lidando, neste curso, apenas com matrizes reais, os determinantes

que calcularemos serão todos números reais. Os determinantes têm inúmeras

aplicações, na Matemática e em outras áreas. Veremos, por exemplo, que o

determinante fornece uma informação segura a respeito da inversibilidade ou

não de uma matriz. A ênfase desta aula está na aplicação de um método

rápido para calcular determinantes, fazendo uso de algumas das suas pro-

priedades e de operações elementares, já estudadas na aula 4. Antes, porém,

de nos convencermos de quanto o método que estudaremos é mais eficiente

do que o uso direto da definição, vamos recordar a definição de determinante,

devida a Laplace.

Determinante

Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mn(R), representamos o determinante de A por detA ou escrevendo os elementos de A limitados por barras simples:

Se A =

 

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n ...

... ... ... ...

...

an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann

  ,

representamos o determinante de A por:

det

 

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n ...

... ... ... ...

...

an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann

  ou

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n ...

... ... ... ...

...

an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

49 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Determinantes

A definição de determinante é dada de maneira recorrente, em relação

à ordem da matriz. Assim, definimos o determinante de ordem 1, a seguir,

o de ordem 2 e, a partir da ordem 3, recáımos em cálculos de determinantes

de ordens menores. Vamos ver como isso é feito:

Seja A = (aij) ∈ Mn(R).

n=1

Neste caso, A = [a11] e detA = a11.

n=2Note que o determinante de uma matriz de ordem 2 é a

diferença entre o produto dos

termos da diagonal principal

e o produto dos termos da

diagonal secundária. Esses

produtos se chamam, respec-

tivamente, termo principal e

termo secundário da matriz.

Neste caso, A =

[ a11 a12

a21 a22

] e seu determinante é dado por:

detA = a11a22 − a12a21 Exemplo 32

Vamos calcular os determinantes das matrizes abaixo:

1. A =

[ 3 4

6 8

] detA = 3.84.6 = 2424 = 0

2. A =

[ 2 5

3 4

] detA = 8(15) = 23

3. A =

[ senα −cos α cos α senα

] detA = sen2 α + cos2 α = 1

4. A =

[ 6 4

3 1

] detA = 612 = 6

n=3

Seja A =

  a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

 . Neste caso, escolhemos uma linha (ou

uma coluna) para desenvolver o determinante.

Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos:

detA = a11.(1)1+1. ∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣∣+a12.(1)1+2. ∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣∣+a13.(1)1+3. ∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣∣ .

CEDERJ 50

Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5

Exemplo 33

det

  2 5 30 4 5

3 1 2

 

= 2(1)1+1 ∣∣∣∣∣ 4 51 2

∣∣∣∣∣+ 5(1)1+2 ∣∣∣∣∣ 0 53 2

∣∣∣∣∣+ (3)(1)1+3 ∣∣∣∣∣ 0 43 1

∣∣∣∣∣ = 2(85)5(015)3(012) = 85 .

Observação: Existe uma regra prática para o cálculo do determinante de

ordem 3, conhecida como Regra de Sarrus. Ela afirma que: Lê-se “Sarŕı”.

∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ =

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).

Desenvolvendo os produtos indicados na definição de determinante de

ordem 3, você poderá ver que as expressões coincidem.

Exemplo 34

Vamos calcular, novamente, o determinante do exemplo anterior, agora usando

a Regra de Sarrus:∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 3 0 4 5

3 1 2

∣∣∣∣∣∣∣ = [2.4.(2)+(5.5.3)+(3.0.1)][(3.4.3)+(2.5.1)+(5.0.(2))] = = (16 + 75)(36 + 10) = 85.

n=4

Seja A =

 

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

 .

Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos:

51 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Determinantes

detA = a11.(1)1+1. detA−1,−1+ a12.(1)1+2. detA−1,−2+ a13.(1)1+3. detA−1,−3+ a14.(1)1+4. detA−1,−4,

onde A−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da

i-ésima linha e da j-ésima coluna. Observe que recáımos no cálculo de 4

determinantes, cada um de ordem 3.

Para n = 5, a definição é análoga: iremos recair no cálculo de 5 de-

terminantes, cada um de ordem 4. Logo, teremos que calcular 5 × 4 = 20 determinantes de ordem 3. Como você pode ver, os cálculos envolvidos na

Um determinante de ordem

10 exige a realização de

9.234.099 operações!

obtenção de determinantes crescem rapidamente, à medida que a ordem do

determinante aumenta.

Temos, então, que encontar um método alternativo para calcular deter-

minantes: a definição não fornece uma sáıda rápida para isso. Antes, porém,

de estudarmos um método mais eficiente para aplicar, usando as proprie-

dades dos determinantes e, mais uma vez, operações elementares, damos a

definição do determinante de ordem n, desenvolvido pela i-ésima linha:

det

 

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n ...

... ... ... ...

...

an−1,1 an−1,2 ... an−1,n an1 an2 ... ann

  =

nj=1

aij(1)i+j. detA−i,−j

Propriedades dos determinantes

Na medida do posśıvel, daremos uma idéia da demonstração dessas pro-

priedades. Para verificar a validade de cada uma delas, precisaŕıamos definir

determinantes pelo uso de permutações, o que alongaria demais a nossa aula.

Caso você tenha interesse em conhecer essa abordagem, irá encontrá-la em

Álgebra Linear e Aplicações, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto

Costa.

D1 O determinante de uma matriz é único. Isto é, não importa por qual

linha ou coluna o determinante seja desenvolvido, o resultado final é sempre

o mesmo.

CEDERJ 52

Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5

D2 Dada A ∈ Mn(R), detA = detAT Em palavras: o determinante da transposta é igual ao determinante da

matriz.

De fato, a expressão do determinante de A, desenvolvido pela i-ésima

linha, coincidirá, termo a termo, com a expressão de detAT , desenvolvido

pela i-ésima coluna.

D3 Se A ∈ Mn(R) possui uma linha (ou uma coluna) nula, então detA = 0. De fato, basta desenvolver detA por essa linha (ou coluna) nula.

D4 Se escrevemos cada elemento de uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn(R) como soma de 2 parcelas, então detA é a soma de dois determinantes de

ordem n, cada um considerando como elemento daquela linha (ou coluna)

uma das parcelas, e repetindo as demais linhas (ou colunas).

D5 O determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal. Lembrando: o termo princi- pal de uma matriz quadrada

é o produto dos elementos de

sua diagonal principal.

D6 Se multiplicamos uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn(R) por um número real λ, o determinante de A fica multiplicado por λ.

D7 Se permutamos duas linhas (ou colunas) de A ∈ Mn(R), então o deter- minante de A fica multiplicado por 1. D8 Se A ∈ Mn(R) tem duas linhas (ou colunas) iguais então detA = 0. D9 Se A ∈ Mn(R) possui uma linha (ou coluna) que é soma de múltiplos de outras linhas (ou colunas), então detA = 0.

D10 Se somamos a uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn(R) um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante de A não se altera.

D11 Se A,B ∈ Mn(R), então det(AB) = detA. detB. D12 Se A ∈ Mn(R) é inverśıvel, então detA−1 = (detA)1.

De fato, se A é inverśıvel, existe A−1 tal que A.A−1 = I.

Então det(A.A−1) = det I.

Pela propriedade D11, detA . detA−1 = det I, e pela propriedade D5,

temos que det I = 1. Logo, detA−1 = 1

detA = (detA)1.

Uma conclusão importante pode ser tirada a partir da propriedade D12:

uma matriz é inverśıvel se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.

Destaquemos esse resultado:

Seja A ∈ Mn(R). A é inverśıvel detA = 0

53 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Determinantes

D13 Se A ∈ Mn(R) é ortogonal, então detA−1 = 1 ou 1. De fato, se A é ortogonal, A−1 = AT . Pela propriedade D2, detA =

detAT = detA−1. Então, pela propriedade D12, detA. detA−1 = 1 detA. detAT = 1 detA. detA = 1 (detA)2 = 1 detA = ±1.

Cálculo de determinantes por triangularização

Observe o que diz a propriedade D5. Calcular o determinante de uma

matriz triangular é, praticamente, imediato. Dado um determinante, a idéia,

então, é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangula-

rizá-lo. Para isso, temos que observar os efeitos que cada operação elementar

pode ou não causar no valor do determinante procurado. Vejamos:

1. Permutar duas linhas.

Pela propriedade D7, essa operação troca o sinal do determinante.

2. Multiplicar uma linha por um número real λ não nulo.

A propriedade D6 nos diz que essa operação multiplica o determinante

por λ.

3. Somar a uma linha um múltiplo de outra.

Pela propriedade D10, essa operação não altera o determinante.

Diante disso, para triangularizar um determinante, basta que fiquemos

atentos para “compensar”posśıveis alterações provocadas pelas operações ele-

mentares utilizadas. Vamos a um exemplo.

Exemplo 35

Calcular, por triangularização, det

 

2 5 1 3

0 1 4 2 6 2 5 1 1 3 3 0

  .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 1 3

0 1 4 2 6 2 5 1 1 3 3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L1↔L4

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 3 0 0 1 4 2 6 2 5 1 2 5 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3←L36L1 L4←L42L1

=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 3 0 0 1 4 2 0 20 23 1 0 1 7 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3←L320L2 L4←L4−L2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 3 0 0 1 4 2 0 0 57 39 0 0 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3←−1/57L3 =

CEDERJ 54

Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5

= (57)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 3 0 0 1 4 2 0 0 1 39/57

0 0 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L4←L43L3

= (57)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 3 0 0 1 4 2 0 0 1 39/57

0 0 0 20/19

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= (57).1.(1).1.(20/19) = 60.

Observações.

1. Não há uma única maneira de se triangularizar um determinante: as

operações elementares escolhidas podem diferir, mas o resultado é único.

2. O método de triangularização é algoŕıtmico, ou seja, é constitúıdo de

um número finito de passos simples: a cada coluna, da primeira à

penúltima, devemos obter zeros nas posições abaixo da diagonal prin-

cipal.

Calcule o determinante do próximo exemplo e compare com a nossa

resolução: dificilmente você optará pela mesma seqüência de operações ele-

mentares, mas (se todos tivermos acertado!) o resultado será o mesmo.

Exemplo 36

Vamos calcular

∣∣∣∣∣∣∣ 2 4 8 5 4 6

3 0 2

∣∣∣∣∣∣∣ por triangularização:∣∣∣∣∣∣∣ 2 4 8 5 4 6

3 0 2

∣∣∣∣∣∣∣ L112L1

= 2

∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 5 4 6

3 0 2

∣∣∣∣∣∣∣ L2←L25L1L3←L3+3L1 =

= 2

∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 0 14 14 0 6 14

∣∣∣∣∣∣∣ L2114L2 = 2.14 ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 0 1 1 0 6 14

∣∣∣∣∣∣∣ L3←L3+6L2 =

= 2.14

∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 4 0 1 1 0 0 8

∣∣∣∣∣∣∣ = 2.14.1.1.8 = 224. Exemplo 37

Vamos aplicar as propriedades estudadas nesta aula para dar os determinan-

tes de AT , A−1 e 3A, sabendo que A é uma matriz quadrada inverśıvel de

ordem 2 e que detA = D.

1. detAT = D, pois o determinante da matriz transposta é igual ao de-

terminante da matriz dada.

55 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Determinantes

2. detA−1 = 1

D , pois o determinante da matriz inversa é o inverso do

determinante da matriz dada.

3. det 3A = 32D = 9D, pois A possui 2 linhas e cada linha multiplicada

por 3 implica multiplicar o determinante por 3.

Exemplo 38

Determine x tal que

∣∣∣∣∣ 2x x+ 24 x ∣∣∣∣∣ = 14

Temos 2x.x−(4)(x+2) = 14 2x2+4x−6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3.

Exemplo 39

Determine x para que a matriz A =

[ x 1

20− x x

] seja inverśıvel.

Sabemos que A é inverśıvel se, e somente se, detA = 0. Queremos, então, x2 (20− x) = 0 ⇒ x2 + x− 20 = 0 ⇒ x = 4 e x = 5.

Resumo

Nesta aula recordamos a definição de determinante e vimos que não

se trata de um método prático para calcular determinantes de ordens al-

tas. Vimos as propriedades dos determinantes e, com o uso de quatro delas,

pudemos facilitar o cálculo de determinantes, aplicando operações elementa-

res e “transformando”o determinante original num triangular. Tal método,

chamado triangularização, permite que determinantes de ordens altas sejam

obtidos sem que tenhamos que recair numa seqüência enorme de determinan-

tes de ordens menores a serem calculados. Veja que esta aula não apresentou

nenhuma grande novidade em termos de teoria: foi uma aula mais prática,

que apresentou uma técnica útil de cálculo.

Exerćıcios

1. Calcule, por triangularização, os seguintes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣∣ 3 2 4

1 0 2 5 6 2

∣∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 1 7 2 3 0 4 1 5 4 3 2 4 5 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c)

∣∣∣∣∣∣∣ 10 2 6 2 1 6

5 4 2

∣∣∣∣∣∣∣

CEDERJ 56

Determinantes MÓDULO 1 - AULA 5

2. Dada A ∈ Mn(R), tal que detA = D, determine: a) detAT

b) detA−1

c) det 2A

3. Seja detA =

  a b cd e f

g h i

  = 10. Calcule, usando as propriedades dos

determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣∣ a b c

−d −e −f g h i

∣∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣∣ a b c

g h i

d e f

∣∣∣∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣∣∣∣

a b c

d/2 e/2 f/2

g h i

∣∣∣∣∣∣∣

d)

∣∣∣∣∣∣∣ a d g

b e h

c f i

∣∣∣∣∣∣∣ e) ∣∣∣∣∣∣∣ 2a 2b 2c

g h i

d e f

∣∣∣∣∣∣∣ f) ∣∣∣∣∣∣∣

a b c

g + d h + e i+ f

d e f

∣∣∣∣∣∣∣

4. Calcule x para que

∣∣∣∣∣∣∣ x+ 2 2 −x 4 0 5

6 2x x

∣∣∣∣∣∣∣ = 14

5. Sejam A,B ∈ Mn(R) tais que detA = 4 e detB = 5. Determine: a) detAB

b) det 3A

c) det(AB)1

d) det(−A) e) detA−1B

6. Determine x para que a matriz A =

[ x x+ 2

1 x

] seja inverśıvel.

57 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Determinantes

Auto-avaliação

Você deve estar bem treinado para calcular determinantes pelo método

da triangularização. Veja que se trata de um cálculo “ingrato”: não há como

verificar se estamos certos, a não ser refazendo e comparando os resultados.

Por isso, embora se trate de uma técnica simples, algoŕıtmica, exige atenção.

Caso você tenha sentido dúvidas, procure o tutor da disciplina.

Respostas dos exerćıcios

1. a)84 b)1.099 c)266

2. a)D b)1/D c)2n.D

3. a)10 b)10 c)5 d)10 e)20 f)10

4. x = 1 ou x = 23 9

5. Sejam A,B ∈ Mn(R) tais que detA = 4 e detB = 5. Determine: a) detAB = detA. detB = 4× 5 = 20 b) det 3A = 34. detA = 3n × 4 = 4.3n

c) det(AB)1 = [det(AB)]1 = 201 = 1/20

d) det(−A) = (1)n × 4 (será 4, se n for par e -4, se n for ı́mpar) e) detA−1B = detA−1. detB = 1/4× 5 = 5/4

6. x = 1 e x = 2

CEDERJ 58

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

Aula 6 – Sistemas Lineares

Objetivo

Resolver e classificar sistemas lineares, usando o método do escalonamento. Pré-requisitos: aulas 1 a 4.

Grande parte dos problemas estudados em Álgebra Linear recaem na

resolução ou discussão de sistemas de equações lineares. O mesmo acon-

tece com muitos problemas das demais áreas da Matemática, da F́ısica e

da Engenharia. Você, com certeza, já tomou conhecimento de diferentes

técnicas de resolução desses sistemas - substituição, adição, comparação, en-

tre outras. Nesta aula e na próxima estudaremos um método que permite

um tratamento eficiente de sistemas de equações lineares, seja para obter

seu conjunto-solução, seja para classificá-lo ou mesmo para impor condições

quanto à existência ou quantidade de soluções.

Equações lineares

Uma equação linear é uma equação do tipo Uma equação é uma

sentença matemática aberta,

isto é, com variáveis, onde

duas expressões são ligadas

pelo sinal “=”.

Ex: 2x− 1 = 0; x2 2x = 6 etc.

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

Isto é, trata-se de uma equação na qual cada termo tem grau, no

máximo, igual a 1. Os elementos de uma equação linear são: O grau de um termo - ou

monômio - é a soma dos

expoentes das variáveis.

Ex: xy tem grau 2; x2y3 tem

grau 5; 16 tem grau zero.

variáveis (ou incógnitas): x1, ..., xn

coeficientes: a1, ..., an ∈ R

termo independente: b ∈ R Exemplo 40

São equações lineares:

3x1 2x2 + 17 = 0

2x− 3y + 4z = 1

4a− 5b+ 4c− d = 10

59 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares

• x = 2

São equações não-lineares:

• x2 5x+ 6 = 0

3xy − x+ 4 = 0

2√x− 3y = 1

3 x − 9 = 0

Uma solução de uma equação com n variáveis é uma n-upla ordenada de

números reais os quais, quando substitúıdos no lugar das variáveis respectivas

na equação, fornecem uma sentença matemática verdadeira.

Resolver uma equação é encontrar o conjunto de todas as suas soluções,

chamado conjunto-solução da equação.

Exemplo 41

1. O par ordenado (3, 2) é uma solução da equação (não linear) x24y = 1, pois 32 4(2) = 98 = 1.

2. O conjunto-solução da equação linear 3x− 1 = 5 é {2}.

3. A equação linear x + y = 10 possui infinitas soluções. Os pares orde-

nados (2, 8), (3, 13), (0, 10), (1/5, 49/5) são apenas algumas delas.

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares (ou, simplesmente, um sistema linear)

é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultanea-

mente. Isto é, uma solução do sistema é solução de cada equação linear que

o compõe. Resolver um sistema de equações lineares é determinar o conjunto

formado por todas as suas soluções, chamado conjunto-solução do sistema.

Um sistema linear, com m equações e n incógnitas, tem a seguinte

forma:  

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

.

.

.

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

CEDERJ 60

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

Exemplo 42

São sistemas de equações lineares:

{ 2x− y = 3 4x+ 5y = 0

 

x+ 2y − 3z = 1 2x+ 5y − z = 5 3x− 6y = 10 4x− y + 2z = 1

 

2a− 3b = 1 a+ b = 5

5a− 2b = 8

{ x1 2x2 + 5x3 = 0 2x1 + x2 = 2

Classificação de um sistema linear quanto à solução

Um sistema linear pode ter ou não solução. Se tem solução, pode ter

uma só ou mais de uma. Podemos, então, classificar um sistema linear,

quanto à existência e quantidade de soluções, em três tipos:

Compat́ıvel (ou posśıvel) e determinado: quando possui uma única solução.

Compat́ıvel e indeterminado: quando possui mais de uma solução. Incompat́ıvel (ou imposśıvel): quando não possui solução. Podemos pensar num sistema de equações lineares como sendo um con-

junto de perguntas a responder (qual o valor de cada incógnita?). Cada

equação fornece uma informação, uma “dica”a respeito dessas incógnitas. Se

tivermos informações coerentes e em quantidade suficiente, encontraremos

uma solução, que será única. Se essas informações forem coerentes entre si,

mas em quantidade insuficiente, não conseguiremos determinar, uma-a-uma,

cada solução, mas poderemos caracterizar o conjunto delas. Finalmente, se

as informações não forem coerentes entre si, ou seja, se forem incompat́ıveis,

o sistema não terá solução. Resolver um sistema é um pouco como brincar de dete-

tive...Exemplo 43

Sem ter que aplicar regras de resolução, podemos ver que

1. O sistema

{ x+ y = 3

x− y = 1 possui uma única solução: o par (2, 1);

2. O sistema

{ x+ y = 3

2x+ 2y = 6 possui mais de uma solução;

os pares (1, 2), (0, 3), (3, 0), (2, 1), (3/2, 3/2) são algumas delas;

3. O sistema

{ x+ y = 3

x+ y = 4 não possui solução (A soma de dois números

reais é única!).

61 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares

Sistemas lineares homogêneos

Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando os termos inde-

pendentes de todas as equações que o compõem são iguais a zero.

Exemplo 44

São sistemas lineares homogêneos:

{ 2x− 3y = 0 x+ 5y = 0

{ 3x1 − x2 + 7x3 = 0 x1 2x2 + 3x3 = 0

 

2x− 5y = 0 x+ 5y = 0

−x+ 4y = 0

Observe que um sistema linear homogêneo em n incógnitas sempre

admite a solução

(0, 0, ..., 0)︸ ︷︷ ︸ n elementos,

chamada solução trivial. Logo, um sistema linear homogêneo é sempre com- A solução trivial também é

conhecida como solução nula

ou ainda solução imprópria.

pat́ıvel. Quando é determinado, possui somente a solução trivial. Quando

é indeterminado, possui outras soluções, além da trivial, chamadas (obvia-

mente!) soluções não-triviais.

Já é hora de resolvermos sistemas lineares. Dissemos, no ińıcio da

aula, que faŕıamos isso usando um método eficiente. Esse método lida com

matrizes asociadas ao sistema a ser tratado. Vamos, então, caracterizar essas

matrizes.

Matrizes associadas a um sistema linear

Dado um sistema linear com m equações e n incógnitas:

 

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

.

.

.

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

destacamos as seguintes matrizes:

CEDERJ 62

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

matriz (m× n) dos coeficientes: 

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n ...

... ...

...

am1 am2 ... amn

 

matriz (ou vetor) (1) dos termos independentes: 

b1

b2 ...

bm

 

matriz aumentada (ou ampliada) ((n + 1)) do sistema: 

a11 a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2n b2 ...

... ...

... ...

am1 am2 ... amn bm

 

Exemplo 45

O sistema linear

 

2x− 3y + 4z = 18 x+ y − 2z = 5 −x + 3z = 4

possui

matriz de coeficientes: matriz de termos independentes: matriz aumentada:

  2 3 41 1 2

1 0 3

 

  185

4

 

  2 3 4 181 1 2 5

1 0 3 4

 

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Observe o sistema linear a seguir: 

2x +y −z = 3 +3y +z = 1

2z = 4

Note que, para resolvê-lo, basta:

63 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares

determinar o valor de z na terceira equação

substituir o valor de z na segunda equação e obter y

substituir y e z na primeira equação e obter x

num processo chamado método das substituições regressivas.

A resolução do sistema ficou bastante facilitada. Vejamos a matriz

aumentada desse sistema:   2 1 1 30 3 1 1

0 0 2 4

 

Observe que, a partir da segunda linha, o número de zeros iniciais sem-

pre aumenta. Quando isso acontece, dizemos que a matriz está escalonada.

Sistemas com matrizes associadas na forma escalonada podem ser resolvidos

pelo método das substituições regressivas, como vimos acima. O problema,

então, é:

Dado um sistema linear, como transformar sua matriz associada em

uma escalonada?

E como fazer isso sem alterar seu conjunto-solução?

Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o

mesmo conjunto-solução. Nosso objetivo, portanto, é migrar de um sistema

para outro que lhe seja equivalente, e de resolução mais simples.

Nós já estudamos, na aula 4, as operações elementares que podemos

efetuar sobre as linhas de uma matriz. Vamos recordar quais são elas:

1. Permutar duas linhas.

Notação: Li ↔ Lj 2. Multiplicar uma linha por um número real não nulo.

Notação: Li ← λLi 3. Somar a uma linha um múltiplo de uma outra.

Neste caso, dizemos que Lj

a linha pivô. Notação: Li ← Li + λLj Pode-se mostrar que:

Você pode encontrar essas

passagens, em detalhes, no

livro Álgebra Linear e

Aplicaçõs, de Collioli,

Domingues e Costa, da

Atual Editora.

Seja S um sistema linear com matriz aumentada A. Se aplicamos às

linhas de A operações elementares, obtemos uma matriz A ′ , tal que o sistema

linear S ′ , de matriz aumentada A

′ , é equivalente a S.

CEDERJ 64

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

A idéia, então é: dado um sistema S de matriz aumentada A, aplicar

operações elementares às linhas de A, obtendo uma matriz escalonada A ′ , e

resolver o sistema associado S ′ , conforme mostra o esquema a seguir:

Sistema linear S equivalentesSistema linear S ′

↓ ↑

matriz A operações elementaresmatriz escalonada A′

Vamos ver uma série de exemplos para você se familiarizar com o

método. Em vez de, simplesmente, ler o exemplo, efetue cada operação

elementar indicada, para depois comparar com a matriz apresentada na

seqüência:

Exemplo 46

Vamos resolver, por escalonamento, o sistema linear

S :

 

x +2y +5z = 28

2x +3y −z = 1 4y +z = 13

Vamos escrever a matriz aumentada desse sistema:

A =

  1 2 5 282 3 1 1

0 4 1 13

 

Vamos obter “zeros”na primeira coluna, da segunda linha em diante.

Para isso, aplicaremos a terceira operação elementar, usando a primeira linha

como pivô. Note que, neste caso, como o elemento da terceira linha já é zero,

precisamos apenas obter zero na segunda linha. Para isso, vamos multiplicar

a primeira linha por 2 e somar o resultado com a segunda linha:  1 2 5 282 3 1 1

0 4 1 13

 

L2 ← L2 2L1

  1 2 5 280 1 11 57

0 4 1 13

 

Passemos, agora, para a segunda coluna (não usaremos mais a primeira

linha - ela está “pronta”). Queremos obter zero abaixo da segunda linha.

Para isso, multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos à terceira:  1 2 5 280 1 11 57

0 4 1 13

 

L3 ← L3 + 4L2

  1 2 5 280 1 11 57

0 0 43 215

 

65 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares

Pronto: a matriz está escalonada. Vamos, agora, escrever o sistema S ′ ,

associado a ela:

S ′ :

 

x +2y +5z = 28

−y −11z = 57 43z = 215

Da terceira equação, obtemos z = (215)/(43) = 5. Substituindo na segunda, obtemos y = 2.

Finalmente, substituindo os valores já obtidos na primeira equação,

temos x = 1. Como S

e S são sistemas lineares equivalentes, essa também é a solução

do sistema S dado. Logo, o conjunto-solução procurado é {(1, 2, 5)}. Além disso, podemos classificar o sistema S: ele é compat́ıvel e determinado.

Exemplo 47

Vamos resolver o sistema linear:

S :

 

2x +y +5z = 1

x +3y +4z = 7 5y −z = 15

−x +2y +3z = 8

Sua matriz aumentada é: 

2 1 5 1

1 3 4 7 0 5 1 15

1 2 3 8

 

Você deve ter notado que, quando o elemento na linha pivô, na coluna

em que estamos trabalhando, é 1 (ou -1), os cálculos ficam facilitados. Então,

vamos aproveitar o fato de ter 1 na primeira posição da segunda linha, e

permutar as linhas 1 e 2: 

2 1 5 1

1 3 4 7 0 5 1 15

1 2 3 8

 

L1 ↔ L2  

1 3 4 7 2 1 5 1

0 5 1 15 1 2 3 8

 

Vamos obter zeros na primeira coluna, abaixo da primeira linha, usando

a primeira linha como pivô:

CEDERJ 66

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

 

1 3 4 7 2 1 5 1

0 5 1 15 1 2 3 8

  L2 ← L2 2L1

L4 ← L4 + L1

 

1 3 4 7 0 5 3 15 0 5 1 15 0 5 7 15

 

Passemos para a segunda coluna. Para obter 1 na posição pivô, dividi-

mos toda a segunda linha por -5: 

1 3 4 7 0 5 3 15 0 5 1 15 0 5 7 15

  L2 ← −1/5L2

 

1 3 4 7 0 1 3/5 3 0 5 1 15 0 5 7 15

 

Agora, usando a linha 2 como liha pivô, vamos obter zeros na segunda

coluna, abaixo da segunda linha: 

1 3 4 7 0 1 3/5 3 0 5 1 15 0 5 7 15

  ⇒L3 ← L3 5L2

L4 ← L4 5L2

 

1 3 4 7 0 1 3/5 3 0 0 4 0 0 0 4 0

 

Para finalizar o escalonamento, precisamos obter três zeros inicias na

quarta linha, ou seja, obter um zero na posição i = 4, j = 3. Nas passagens

acima, usamos a segunda operação elementar par obter 1 na posição pivô e,

com isso, ter os cálculos facilitados na obtenção dos zeros. Devemos, porém,

estar atentos à possśıveis vantagens que um sistema em particular pode ofere-

cer. Neste exemplo, se simplesmente somarmos a linha 3 à linha 4, já obtere-

mos o zero procurado:

 

1 3 4 7 0 1 3/5 3 0 0 4 0 0 0 4 0

 

L4 ← L4 + L3

 

1 3 4 7 0 1 3/5 3 0 0 4 0 0 0 0 0

 

A matriz está escalonada. Vamos escrever o sistema associado:

S ′ :

 

x +3y +4z = 7 y +3z/5 = 3

4z = 0 Resolvendo por substituições regressivas, obtemos: z = 0, y = 3, x =

2. Logo, o sistema S é compat́ıvel e determinado e seu conjunto-solução é

{(2,−3, 0)}.

Exemplo 48

Vamos resolver o sistema linear S :

 

3a +2b +c +2d = 3

a −3c +2d = 1 −a +5b +4c = 4

Acompanhe a seqüência de operações elementares que aplicremos para

67 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares

escalonar a matriz aumentada de S:  3 2 1 2 31 0 3 2 1

1 5 4 0 4

  L1 ↔ L3

  1 0 3 2 13 2 1 2 3

1 5 4 0 4

  L2 ← L2 3L1

L3 ← L3 + L1

  1 0 3 2 10 2 10 4 6

0 5 1 2 3

  L2 1/2L2

  1 0 3 2 10 1 5 2 3

0 5 1 2 3

 

L3 ← L3 5L2

  1 0 3 2 10 1 5 2 3

0 0 24 12 12

  ⇒ S ′ :

 

a −3c +2d = 1 b +5c −2d = 3

24c +12d = 12 Na terceira equação, vamos escrever d em função de c : d = 1 + 2c.

Substituindo na segunda equação, obtemos b = 1−c. E na primeira equação: a = 1− c. Temos, neste caso, um sistema compat́ıvel, porém indeterminado: ele possui infinitas soluções.

Fazendo c = k, seu conjunto-solução é {(1−k, 1−k, k,−1+2k); k ∈ R}.

Exemplo 49

Vamos resolver o sistema S :

 

2x +y −3z = 3 x −y +z = 1 3x +3y −7z = 2

 2 1 3 31 1 1 1 3 3 7 2

  L1 ↔ L2

  1 1 1 12 1 3 3

3 3 7 2

  L2 ← L2 2L1

L3 ← L3 3L1

  1 1 1 10 3 5 1

0 6 10 1

 

L3 ← L3 2L2

  1 1 1 10 3 5 1

0 0 0 3

 

Observe que, ao escrever o sistema associado a essa matriz, a terceira

equação será: 0x+0y+0z = 3, ou seja, 0 = 3, o que é falso, para quaisquer valores de x, y e z. Logo, o sistema S é imposśıvel e seu conjunto-solução é

.

Exemplo 50

Vamos resolver o sistema linear homogêneo S :

 

a −b +c = 0 a +b = 0

2b −c = 0  1 1 1 01 1 0 0

0 2 1 0

  L2 ← L2 − L1

  1 1 1 00 2 1 0

0 2 1 0

 

L3 ← L3 − L2

CEDERJ 68

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

 1 1 1 00 2 1 0 0 0 0 0

  ⇒ S ′ :

{ a −b +c = 0

2b −c = 0

O sistema é compat́ıvel (TODO SISTEMA HOMOGÊNEO É COM-

PATÍVEL!!) e indeterminado. Resolvendo a segunda equação para c, substi-

tuindo na primeira, e fazendo b = k, você poderá conferir que o conjunto-

solução é {(−k, k, 2k)k ∈ R}.

Resumo

Nesta aula estudamos o método de escalonamento para resolver e clas-

sificar sistemas lineares. Trata-se de um método seguro, que “revela”a estru-

tura do sistema, explicitando as redundâncias ou incongruências das equações.

Após o escalonamento, as equações que não acrescentam informação ao sis-

tema, têm seus termos todos anulados e auqelas que são incompat́ıveis com as

demais se transformam numa sentença matemática falsa (algo como 0 = a,

com a diferente de zero). Continuaremos a usar esse método, na próxima

aula, para discutir sistemas lineares, isto é, para impor ou identificar condições

sobre seu conjunto-solução.

69 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Sistemas Lineares

Exerćıcios

1. (Provão - MEC - 2001)

O número de soluções do sistema de equações

 

x +y −z = 1 2x +2y −2z = 2 5x +5y −5z = 7

é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) infinito

2. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:

a)

 

2x −y = 7 3x +4y = 13

x +2y = 1 b)

 

3x −y = 1 2y −5z = 11

z −t = 1 x +y +z +t = 10

c)

{ 2a −b −c = 4 a +b −2c = 1 d)

 

2x +y −z = 6 x −y +3z = 21 3x +2z = 15

e)

 

x −y = 3 2x +3y = 16

x +2y = 9

5x −4y = 17

f)

 

x −y = 3 2x +3y = 16

x +2y = 8

5x −4y = 17

g)

 

3x −y +z = 0 x +y −2z = 0 5x −3y +4z = 0

h)

 

a +2b = 0

3a −b = 0 5a +3b = 0

Auto-avaliação

Não se preocupe se você ainda hesita sobre qual operação linear usar,

no processo de escalonamento. A familiarização vem com a prática. Se

necessário, refaça os exemplos e exerćıcios. Se sentir dúvidas, procure a

tutoria. Os sistemas lineares aparecerão ao longo de todo o curso e é bom

que você esteja ágil no processo de escalonamento, para não perder muito

tempo com eles!!

CEDERJ 70

Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 6

Respostas dos exerćıcios

1. (A) 0 (Ao escalonar, conclúımos que o sistema é incompat́ıvel)

2. a) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(3, 1)} b) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(1, 2, 3, 4)} c) Sistema compat́ıvel indeterminado.

Conjunto-solução = {(1 + k, 2 + k, k); k ∈ R} d) Sistema compat́ıvel indeterminado.

Conjunto-solução = {(52k/3,−16 + 7k/3, k); k ∈ R} e) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(5, 2)} f) Sistema incompat́ıvel. Conjunto-solução = g) Sistema compat́ıvel indeterminado.

Conjunto-solução = {(k/4, 7k/4, k); k ∈ R}. h) Sistema compat́ıvel determinado. Conjunto-solução = {(0, 0)}

71 CEDERJ

Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7

Aula 7 – Discussão de Sistemas Lineares

Objetivo

Discutir sistemas lineares, usando o método do escalonamento. Pré-requisito: aula 6.

Discutir um sistema é analisar sob quais condições ele admite soluções

e, quando estas existem, quantas são. Na aula passada vimos que, ao final do

processo de escalonamento da matriz associada a um sistema linear, excluindo

as equações do tipo 0 = 0, chegamos a uma entre três situações posśıveis:

1. Existe alguma equação do tipo 0 = a, com a = 0. Isto é, uma equação imposśıvel de ser satisfeita.

Nesse caso, o sistema é incompat́ıvel e, portanto, seu conjunto solução

é vazio.

2. Não há equações imposśıveis mas obtemos uma quantidade de equações

menor do que o número de incógnitas.

Nesse caso, o sistema é compat́ıvel e indeterminado e seu conjunto-

solução admite infinitas soluções. Pode-se provar que um

sistema linear que possui

mais de uma solução possui,

de fato, infinitas soluções.

Note que o mesmo pode não

ocorrer com um sistema não

linear. Por exemplo, o

sistema

( x− y = 0 x2 = 4

possui exatamente duas

soluções, a saber, os pares

ordenados (2, 2) e (2,−2).

3. Não há equações imposśıveis e obtemos uma quantidade de equações

igual ao de incógnitas.

Nesse caso, o sistema é compat́ıvel e determinado e seu conjunto-

solução é unitário.

Nesta aula, iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assu-

midos por parâmetros presentes nas equações, assim como impor valores a

esses parâmetros para que uma desejada situação ocorra.

A seguir, para formalizar os procedimentos explorados ao longo dos

exerćıcios, definiremos a caracteŕıstica de uma matriz e apresentaremos o

Teorema de Rouché-Capelli.

Finalmente, veremos a Regra de Cramer, que se aplica a sistemas line-

ares com quantidade de equações igual à de incógnitas.

Acompanhe os exemplos a seguir.

Exemplo 51

Vamos discutir o o sistema

 

x+ y + z = 6

x+ 2y − z = 4 x+ 3z = a

, segundo os valores do

73 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Discussão de Sistemas Lineares

parâmetro a.

Escalonando sua matriz aumentada, obtemos:  1 1 1 | 61 2 1 | −4

1 0 3 | a

 

  1 1 1 | 60 1 2 | −10

0 1 2 | a− 6

 

  1 1 1 | 60 1 2 | −10

0 0 0 | a− 16

 

Assim, o sistema dado é equivalente ao sistema

 

x+ y + z = 6

y − 2z = 10 0 = a− 16

,

cuja terceira equação só será satisfeita se o segundo membro também for igual

a zero. Logo, temos:

• a = 16 sistema incompat́ıvel.

• a = 16 sistema compat́ıvel e indeterminado, pois possui três incógnitas e apenas duas equações.

Exemplo 52

Vamos discutir o sistema

{ x+ ay = 2

ax+ 2ay = 4 .

Temos:

[ 1 a | 2 a 2a | 4

]

[ 1 a | 2 0 2a− a2 | 42a

] .

Vamos determinar os valores de a para os quais o primeiro lado da se-

gunda equação se anula:

2a− a2 = 0 ⇒ a(2− a) = 0 ⇒ a = 0 ou a = 2. Então há as seguintes possibilidades:

• a = 0 o sistema fica {

x = 2

0 = 4 incompat́ıvel.

• a = 2 o sistema fica {

x+ 2y = 2

0 = 0 compat́ıvel e indeterminado.

• a = 0 e a = 2 o sistema fica {

x+ ay = 2

by = c , com b = 2a− a2 =

0 e c = 42a ⇒ compat́ıvel e indeterminado.

CEDERJ 74

Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7

Exemplo 53

Vamos analisar o sistema

 

x+ y + z = 0

x+ 2y + kz = 2

kx+ 2y + z = 2 , segundo os valores do

parâmetro k:  1 1 1 | 01 2 k | 2

k 2 1 | −2

 

  1 1 1 | 00 1 k − 1 | 2

0 2− k 1− k | −2

 

  1 1 1 | 00 1 k − 1 | 2

0 2− k (1− k)(k − 1)(2− k) | −22(2− k)

 

  1 1 1 | 00 1 k − 1 | 2

0 0 (k − 1)(k − 3) | 2(k − 3)

 .

Dáı, temos (k−1)(k−3) = 0 ⇒ k = 1 ou k = 3. Há, então, as seguintes possibilidades:

• k = 1

 

x+ y + z = 0

y = 2

0 = 4 sistema incompat́ıvel.

• k = 3

 

x+ y + z = 0

y + 2z = 2

0 = 0

sistema compat́ıvel e indeterminado.

• k = 1 e k = 3

 

x+ y + z = 0

−y + az = 2 b = c

, com a = k − 1,

b = (k− 1)(k− 3) = 0 e c = 2(k− 3) sistema compat́ıvel e determi- nado.

Exemplo 54

Vamos determinar para que valores de a e b o sistema

 

x− y + z = a 2x− y + 3z = 2 x+ y + bz = 0

admite infinitas soluções. Temos:  1 1 1 | a2 1 3 | 2

1 1 b | 0

 

  1 1 1 | a0 1 1 | 22a

0 2 b− 1 | −a

 

  1 1 1 | a0 1 1 | 22a

0 0 b− 3 | 3a− 4

 .

Para que o sistema admita infinitas soluções (isto é, seja compat́ıvel e

indeterminado), devemos ter b− 3 = 0 e 3a− 4 = 0. Isto é, b = 3 e a = 4/3.

75 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Discussão de Sistemas Lineares

Exemplo 55

Que condições a, b e c devem satisfazer para que o sistema

 

3x− 2y = a 4x+ y = b

x = c admita solução?

Solução:

  3 2 | a4 1 | b

1 0 | c

 

  1 0 | c4 1 | b

3 2 | a

 

  1 0 | c0 1 | b− 4c

0 2 | a− 3c

 

  1 0 | c0 1 | b− 4c

0 0 | (a− 3c) + 2(b− 4c)

 .

Logo, o sistema terá solução apenas se (a− 3c) + 2(b− 4c) = 0, isto é, se a+ 2b− 11c = 0. Exemplo 56

Vamos discutir o sistema homogêneo

{ x+ 2y = 0

3x+ ky = 0 , segundo o parâmetro

k.

Temos:

[ 1 2 | 0 3 k | 0

]

[ 1 2 | 0 0 k − 6 | 0

] .

Então:

• k = 6 sistema compat́ıvel e indeterminado.

• k = 6 sistema compat́ıvel e indeterminado.

Vamos, agora, formalizar o procedimento que vimos adotando para re-

solver e discutir sistemas lineares. Para isso, precisamos da seguinte definição:

Caracteŕıstica de uma matriz

Na aula 4 vimos que, ao passar de uma matriz para outra, por meio de

uma seqüência de operações elementares, definimos uma relação de equiva-

lência no conjunto dessas matrizes. Assim, se podemos obter a matriz B, a

partir da matriz A, pela aplicação de uma seqüência de operações elementa-

res, dizemos que A e B são matrizes equivalentes. Nos exemplos anteriores

usamos esse fato e indicamos que A e B são equivalentes escrevendo A ∼ B (ou B ∼ A).

Seja A uma matriz qualquer e A ′ uma matriz escalonada, equivalente

a A. Chamamos de caracteŕıstica de A, e indicamos por c(A), ao número de

linhas não nulas de A ′ .

CEDERJ 76

Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7

Exemplo 57

1. Seja A =

[ 1 5

2 3

] . Então A

=

[ 1 5

0 7

] e c(A) = 2.

2. Se A =

  2 5 12 3 0

6 13 2

 , então A′ =

  2 5 10 2 1

0 0 0

  e c(A) = 2.

3. Sendo A =

  1 1 1 12 2 2 2

5 5 5 5

 , temos A′ =

  1 1 1 10 0 0 0

0 0 0 0

  e c(A) = 1.

O racioćınio que usamos para resolver ou classificar os sistemas lineares

se constitui num resultado conhecido como Teorema de Rouché-Capelli. Nós

o enunciamos a seguir.

Teorema 2 (Teorema de Rouché-Capelli)

Seja um sistema linear S de representação matricial AX = b, com A ∈ Mm×n. Indiquemos por A|b a matriz aumentada de S. Então S será compat́ıvel se, e somente se, c(A) = c(A|b). Quando for compat́ıvel, será determinado se c(A) = n e indetermindado, se c(A) < n.

Quando um sistema linear S : AX = b possui número de equações

igual ao número de incógnitas, a matriz A é quadrada e podemos calcular

seu determinante, que vamos representar por D. Neste caso, vale o seguinte

teorema: As demonstrações dos

teoremas de Rouché-Capelli

e de Cramer podem ser

encontradas, por exemplo,

em Fundamentos de

Matemática Elementar, vol.

4, dos autores Gelson Iezzi e

Samuel Hazzan, editado pela

Atual.

Teorema 3 (Teorema de Cramer)

Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas.

Se D = 0 então o sistema é compat́ıvel e determinado e sua única solução (α1, α2, ..., αn) é dada por

αi = Di D

, i = 1, ..., n,

ondeDi é o determinante da matriz que se obtém, a partir de A, substituindo-

se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes do sistema.

Quando D = 0 (isto é, quando a matriz A é inverśıvel), o sistema é chamado sistema de Cramer.

Exemplo 58

Seja o sistema

 

x+ 2y − 3z = 15 2x− y + z = 10 3x− z = 1

.

77 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Discussão de Sistemas Lineares

Temos D =

∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 2 1 1 3 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 = 0. Logo, o sistema tem solução única. Vamos determinar essa solução.

D1 =

∣∣∣∣∣∣∣ 15 2 3 10 1 1 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 4

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣ 1 15 3 2 10 1

3 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 2

D3 =

∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 15 2 1 10 3 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 10. Logo,

x = D1 D

= 4

2 = 2, y =

D2 D

= 2 2

= 1, z = D3 D

= 10

2 = 5

Portanto, a única solução do sistema é (2,−1, 5).

Do teorema de Cramer, podemos concluir que:

• D = 0 sistema compat́ıvel determinado.

• D = 0 sistema incompat́ıvel ou compat́ıvel indeterminado.

Já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução, isto

é, é sempre compat́ıvel. No caso particular de S ser homogêneo, podemos

concluir, então, que:

• D = 0 sistema compat́ıvel determinado.

• D = 0 sistema compat́ıvel indeterminado. Exemplo 59

Vamos discutir o sistema

{ ax+ 2ay = 0

4x+ ay = 12 , usando o teorema de Cramer.

Sabemos que se D =

∣∣∣∣∣ a 24 a ∣∣∣∣∣ = 0, o sistema tem solução única. Assim,

os valores de a para os quais D = 0 tornam o sistema indeterminado ou

imposśıvel. Esses valores são:

D = 0 ⇒ a2 8a = 0 ⇒ a(a− 8) = 0 ⇒ a = 0 ou a = 8.

CEDERJ 78

Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7

Se a = 0, o sistema fica: {

0 = 0

4x = 12 ⇒ x = 3 e y pode assumir

qualquer valor real. Logo, o sistema admite infinitas soluções.

Se a = 8, o sistema fica: {

8x+ 16y = 0

4x+ 8y = 12 . Escalonando, obtemos

o sistema

{ 4x+ 8y = 12

0 = 24 , que é incompat́ıvel.

Resumindo, temos:

• a = 0 e a = 8 sistema compat́ıvel e determinado.

• a = 0 sistema compat́ıvel indeterminado.

• a = 8 sistema incompat́ıvel. Exemplo 60

Vamos determinar o valor de k para o qual o sistema 

x− y − z = 0 2x+ ky + z = 0

x− 2y − 2z = 0 admite solução própria.

Trata-se de um sistema homogêneo, de matriz de coeficientes quadrada.

Pelo teorema de Cramer, para que existam soluções não-triviais (ou seja, para

que o sistema seja indeterminado), o determinante dessa matriz deve ser igual

a zero. Isto é,∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 2 k 1

1 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ k = 1.

Resumo

Esta foi uma aula prática: discutimos sistemas lineares usando os re-

sultados dos teoremas de Rouché-Capelli e de Cramer. Note que a regra de

Cramer só se aplica a sistemas lineares cuja matriz dos coeficientes é qua-

drada e inverśıvel. (Você se lembra? Uma matriz quadrada é inverśıvel se, e

somente se, seu determinante é diferente de zero.) Com esta aula, encerramos

a parte introdutória do curso. Você aplicará os conceitos e técnicas vistos até

aqui ao longo das próximas aulas. A partir da aula 8, você estará em contato

com os conceitos da Álgebra Linear, propriamende dita. Seja bem-vindo!!!

79 CEDERJ

Álgebra Linear 1 Discussão de Sistemas Lineares

Exerćıcios

1. (Provão - MEC - 1998)

O sistema

{ ax+ 3y = a

3x+ ay = −a não tem solução se e só se

(A) a = 3 (B) a = 3 (C) a = 0 (D) a = 3 (E) a = 3

2. Discuta o sistema

{ x+ ky = 2

kx+ y = 2 , segundo os valores de k.

3. Para que valores dem o sistema

 

x+ y +mz = 2

3x+ 4y + 2z = m

2x+ 3y + z = 1

admite solução?

4. Determine os valores de a e b que tornam o sistema

 

3x− 7y = a x+ y = b

x+ 2y = a+ b− 1 5x+ 3y = 5a + 2b

compat́ıvel e determinado. Em seguida, resolva o sistema.

5. Determine os valores de a e b que tornam o sistema

{ 6x+ ay = 12

4x+ 4y = b

indeterminado.

6. Discuta o sistema

 

mx+ y − z = 4 x+my + z = 0

x− y = 2

7. Para que valores de k o sistema

 

x+ ky + 2z = 0

2x+my − 4z = 0 x− 3y − kz = 0

admite

soluções não triviais (ou seja, é indeterminado)?

8. Determine k, para que o sistema

 

4x+ 3y = 2 5x− 4y = 0 2x− y = k

admita solução.

9. Encontre os valores de p ∈ R tais que o sistema homogêneo 

2x− 5y + 2z = 0 x+ y + z = 0

2x+ pz = 0

tenha soluções distintas da solução trivial.

CEDERJ 80

Discussão de Sistemas Lineares MÓDULO 1 - AULA 7

10. Que condições a e b devem satisfazer para que o sistema abaixo seja de

Cramer? { ax+ by = 0

a2x+ b2y = 0

Auto-avaliação

Embora a teoria usada resolver e discutir sistemas lineares seja simples

e pouca extensa, cada sistema é um sistema! Quanto mais exerćıcios você

puder resolver, melhor será, no sentido de deixá-lo mais seguro e rápido nesse

tipo de operação. Se posśıvel, consulte outros livros de Álgebra Linear para

obter mais opções de exerćıcios. E não deixe de trazer suas dúvidas para o

tutor da disciplina.

Respostas dos exerćıcios

1. (E) a = 3

2. k = 1 e k = 1 sistema compat́ıvel e determinado; k = 1 sistema compat́ıvel e indeterminado; k = 1 sistema incompat́ıvel.

3. Para m = 1. Neste caso, o sistema é compat́ıvel e determinado.

4. a = 2, b = 4; {(3, 1)}

5. a = 6 e b = 8

6. m = 1 sistema compat́ıvel e determinado; m = 1 sistema incompat́ıvel.

7. k = 2 ou k = 0

8. k = 6

9. p = 2

10. ab = 0 e a = b

81 CEDERJ

a Matemática é forma mais eficaz de descrever o universo
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