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Automatos Finitos

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-1

Linguagens Formais

Capítulo 4: Autômatos finitos e expressões regulares

– com Luiz Carlos Castro Guedes

4.1 - Introdução

Neste capítulo estudaremos uma máquina (um procedimento aceitador, ou reconhecedor), chamada autômato finito (af). A palavra finito é incluída no nome para ressaltar que um af só pode conter uma quantidade finita e limitada de informação, a qualquer momento. Essa informação é representada por um estado da máquina, e só existe um número finito de estados.

Essa restrição faz com que o af seja severamente limitado na classe de linguagens que pode reconhecer, composta apenas pelas linguagens regulares, como mostraremos neste capítulo.

Duas versões do af são estudadas aqui: o af determinístico (afd) e o af não determinístico (afnd). Este capítulo mostra que uma linguagem regular pode ser definida de quatro formas:

• através de uma gramática regular (definição); • através de um afd que reconhece a linguagem; • idem, através de um afnd; • através de uma expressão regular, um mecanismo a ser introduzido com essa

expressa finalidade.

4.2 - Autômato finito determinístico

Como observado acima, a informação que um af guarda sobre a entrada (mais precisamente sobre a parte da entrada já lida) é representada por um estado, escolhido em um conjunto finito de estados. A definição formal de automato finito, na sua versão determinística é dada a seguir.

Definição. Um Autômato Finito Determinístico (afd) M, sobre um alfabeto Σ é um sistema (K, Σ, δ, i, F), onde

K é um conjunto de estados finito, não vazio; Σ é um alfabeto de entrada (finito) δ: K×Σ → K é a função de transição i∈K é o estado inicial F⊆K é o conjunto de estados finais.

O nome determinístico faz referência ao fato de que δ é uma função (também chamada função próximo-estado), que determina precisamente o próximo estado a ser assumido quando a máquina M se encontra no estado q e lê da entrada o símbolo a: o estado δ(q, a).

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De forma simplificada, podemos dizer que um afd aceita uma cadeia se, partindo do estado inicial, e mudando de estado de acordo com a função de transição, o afd atinge um estado final ao terminar de ler a cadeia. Uma das maneiras de visualizar o funcionamento de um afd é através de um controle finito que lê símbolos de uma fita de entrada (onde se encontra a cadeia de entrada), sequencialmente, da esquerda para a direita. Os elementos do conjunto de estados K representam os estados possíveis do controle finito. A operação se inicia no estado inicial i, lendo o primeiro símbolo da fita de entrada. Por conveniência, considera-se que a cabeça de leitura se move sobre a fita, ao contrário do que seria de se esperar.

A Figura 4.1 representa um afd cujo controle está no estado q, e que está lendo o quarto símbolo da cadeia de entrada, um b.

Fig. 4.1 - Autômato Finito

Exemplo 1: Considere o afd M = (K, Σ, δ, i, F), onde temos

K = { q0, q1, q2, q3 } Σ = { a, b } i = q0 F = { q3 }

e onde a função de transição δ: { q0, q1, q2, q3 } × { a, b } → { q0, q1, q2, q3 } é dada pela tabela abaixo

δ a b q0 q1 q2 q1 q0 q3 q2 q3 q0 q3 q2 q1

Alternativamente, podemos representar o afd M por um diagrama de transições, ou diagrama de estados, como o da Fig. 4.2. Note que o diagrama de transições determina completamente o automato M, através de algumas convenções:

• os estados são os nós do grafo, ou seja, K = { q0, q1, q2, q3 }; • o estado inicial é indicado pela seta, ou seja, i = q0; • os estado finais são indicados pelo círculo duplo: q3 é o único estado final, ou

seja, F = { q3 };

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• as transições são as indicadas pelas arestas: δ(q0, a) = q1, δ(q0, b) = q2, δ(q1, a) = q0, etc, ou seja, δ é a mesma função representada pela tabela acima.

Cada estado de um af corresponde a uma determinada informação sobre a parte da cadeia de entrada já lida. No caso do exemplo, a informação pode ser descrita em frases curtas, mas isso nem sempre acontece. Para o estado q2, por exemplo, podemos dizer

"se o estado atingido é q2, o número de símbolos a já lidos é par, e o número de símbolos b já lidos é ímpar".

(Note que 0 é par.)

Fig. 4.2 - afd para o Exemplo 1

Em resumo, temos:

número de a's número de b's q0 par par q1 ímpar par q2 par ímpar q3 ímpar ímpar

A linguagem aceita ou reconhecida por M (ver definição abaixo) é a linguagem formada pelas cadeias em que os números de a's e de b's são ambos ímpares. Isso se deve ao fato de que o único estado final é q3.

Por exemplo, a cadeia abaa é da linguagem de M, porque, com essa cadeia, os seguintes estados são atingidos: q0, q1, q3, q2, q3. Como o último estado é final, a cadeia é aceita.

ð

A linguagem de um afd. Para definir a linguagem L(M), a linguagem das cadeias aceitas ou reconhecidas pelo afd M, podemos definir inicialmente uma configuração de M como sendo um par (q, x) ∈ K × Σ*, composto pelo estado corrente (o estado atual da máquina) e pela cadeia x, a parte da entrada que ainda não foi lida. Como observado, o

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estado representa a parte já lida da cadeia de entrada. A configuração (i, x) é a configuração inicial de M para a cadeia x; qualquer configuração (q, ε) é uma configuração final se q ∈ F. A mudança de configuração é caracterizada pela relação |—, definida abaixo:

(q, ax) |— (p, x) se e somente se δ(q, a) = p

ou seja, se tivermos δ(q, a) = p, e se M estiver no estado q, lendo um símbolo a da cadeia de entrada, M moverá a cabeça de leitura uma posição para a direita e irá para o estado p. O símbolo a, depois de lido, não precisa mais aparecer na configuração. Podemos agora definir a linguagem L(M) por

L(M) = { x ∈ Σ* | (i, x) |—* (f, ε), com f ∈ F }

Como em casos anteriores, |—* indica o fechamento reflexivo-transitivo da relação, no caso a relação |— de mudança de configuração, indicando que a configuração final pode ser atingida em zero ou mais passos.

Exemplo 1: (continuação) Para mostrar que abaa ∈ L(M), basta observar que

(q0, abaa) |— (q1, baa) |— (q3, aa) |— (q2, a) |— (q3, ε),

porque q3 é final. Por outro lado, como

(q0, abab) |— (q1,bab) |— (q3, ab) |— (q2, b) |— (q0, ε),

abab não pertence a L(M).

ð

Uma caracterização alternativa de L(M) pode ser baseada em uma extensão $δ da função δ, feita de forma a aceitar cadeias no segundo argumento, isto é com domínio K × Σ* em vez de K × Σ. Pode-se definir a nova função $δ : K × Σ* → K por

$ (q, ) q, q Kδ ε = ∀ ∈

$ (q,ax) $ ( (q,a), x), q K, x *, a .δ δ δ= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈Σ Σ

Fato: A função $δ é realmente uma extensão de δ, isto é, sempre que δ é definida, $δ também é, e tem o mesmo valor. Ou seja, se q ∈ K e a ∈ Σ, $δ (q, a) = δ(q, a).

Dem. Exercício.

Fato: A função $δ e a relação |— se relacionam por

$δ (q, x) = p se e somente se (q, x) |—* (p, ε)

Portanto, temos

L(M) = {x ∈ Σ* | $δ (q, x) ∈ F }

Demonstração: Exercício.

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Exemplo 1: (continuação) Para mostrar que abaa ∈ L(M), basta ver que $δ (q0, abaa) = $δ (q1, baa) = $δ (q3, aa) = $δ (q2, a) = $δ (q3, ε) = q3 ∈ F

Como $δ (q0, abab) = q0 ∉ F, abab ∉ L(M).

Exercício 1: Mostre que o afd M do Exemplo 1 aceita a linguagem L(M) = { x ∈ {a, b}* | os números de a's e de b's em x são ímpares }

Sugestão: indução no comprimento de x.

Exercício 2: Mostre que a definição anterior de $δ pode ser substituída pela equivalente

$ (q, ) q, q Kδ ε = ∀ ∈

$ (q, xa) ( $ (q, x),a), q K, x *, a .δ δ δ= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈Σ Σ

Exercício 3: Modifique a definição do af M do Exemplo 1, fazendo F= { q1, q2 } Descreva a linguagem aceita por M assim modificado.

Exercício 4: Descreva a linguagem do afd M dado pelo diagrama de estados da Fig. 4.3.

Fig. 4.3 - afd para o Exercício 4

Exercício 5: Descreva a linguagem do afd M = (K, Σ, δ, i, F), onde K={q0, q1, q2, q3}, Σ = { a, b }, i = q0, F = { q2 }, e δ dada pela tabela abaixo:

δ a b q0 q1 q3 q1 q2 q0 q2 q3 q1 q3 q4 q2

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ð

4.3 - Autômato finito não determinístico

Passaremos agora ao estudo do af não determinístico. Em oposição ao que acontece com o afd, a função de transição de um afnd não precisa determinar exatamente qual deve ser o próximo estado. Em vez disso, a função de transição fornece uma lista (um conjunto) de estados para os quais a transição poderia ser feita. Essa lista pode ser vazia, ou ter um número qualquer positivo de elementos.

Essa possibilidade de escolha entre vários caminhos a serem seguidos nos leva a modificar a definição de aceitação. Um afd aceita se "o último estado atingido é final"; mas um afnd aceita se "existe uma sequência de escolhas tal que o último estado atingido é final". Podemos alternativamente imaginar que o afnd "escolhe", "adivinha", o caminho certo para a aceitação, uma vez que a existência de escolhas erradas, que não levam a um estado final, é irrelevante.

Exemplo 2: Considere o afnd dado pelo diagrama da Fig. 4.4 e a cadeia de entrada ababa.

Fig. 4.4 - afnd para o Exemplo 2

A cadeia ababa é aceita, porque uma das possibilidades é a sequência de estados q0, q1, q1, q1, q1, q2. Naturalmente, com a mesma cadeia, poderíamos escolher a sequência q0, q1, q1, q1, q1, q1, que não leva a um estado final. Ou a sequência q0, q1, q1, q2, interrompida, porque q2 não prevê uma transição com o segundo b. Mas estes casos em que "o automato adivinhou errado" não criam problemas para a aceitação, porque "existe um caminho certo".

Este afnd aceita a linguagem das cadeias (de comprimento maior ou igual a 2), cujo primeiro e último símbolos são a, sendo os restantes quaisquer. (Compare este afnd com o afd de um dos exemplos anteriores, que aceita a mesma linguagem.)

ð

Definição. Formalmente, um Autômato Finito não Determinístico (afnd) M, sobre um alfabeto Σ é um sistema (K, Σ, δ, i, F), onde

K é um conjunto (finito, não vazio) de estados, Σ é um alfabeto de entrada (finito), δ: K×(Σ ∪ { ε })→ P(K) é a função de transição, i∈K é o estado inicial, F⊆K é o conjunto de estados finais.

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A notação P(K) indica o conjunto "partes" de K (conjunto potência de K, ou, ainda, "powerset" de K), o conjunto de todos os subconjuntos de K.

Pela definição, portanto, δ é uma função que aceita como argumentos q e a, onde q é um estado e a pode ser um símbolo de Σ ou a cadeia vazia ε. Em qualquer caso, δ(q, a) é sempre um conjunto de estados, ou seja, um subconjunto de K.

Se tivermos δ(q, a) = {p1, p2, ..., pk}, entendemos que o autômato M, a partir do estado q, pode escolher um dos estados p1, p2, ..., pk para ser o próximo estado. Se a = ε, nenhum símbolo da entrada é lido; se a ≠ ε, o símbolo a da entrada é lido. Podemos considerar o caso a=ε como correspondendo a transições espontâneas: M muda de estado sem estímulo da entrada. Se tivermos δ(q, a) = ∅, não há transições possíveis a partir do estado q com o símbolo a.

Definimos configurações para o caso do afnd da mesma forma que anteriormente. A mudança de configuração é dada pela relação |—, definida abaixo:

(q, ax) |— (p, x) se e somente se p ∈ δ(q, a)

Note que a pode ser a cadeia vazia, caso em que temos, particularizando,

(q, x) |— (p, x) se e somente se p ∈ δ(q, ε)

Podemos agora definir a linguagem L(M) por

L(M) = { x ∈ Σ* | (i, x) |—* (f, ε), com f ∈ F }

Exemplo 2: (continuação) Temos, para a mesma cadeia ababa de entrada,

(q0, ababa) |— (q1, baba) |— (q1, aba) |— (q1, ba) |— (q1, a) |— (q2, ε)

e, portanto, ababa ∈ L(M). Temos também o "caminho errado"

(q0, ababa) |— (q1, baba) |— (q1, aba) |— (q1, ba) |— (q1, a) |— (q1, ε)

que leva à configuração não final (q1, ε), e não permite nenhuma conclusão.

Cadeias como bab e abab não levam a configurações finais e não são aceitas. Da configuração (q0, bab) nenhuma configuração é atingível; para abab temos:

(q0, abab) |— (q1, bab) |— (q1, ab) |— (q1, b) |— (q1, ε)

Adicionalmente, temos um outro caminho

(q0, abab) |— (q1, bab) |— (q1, ab) |— (q2, b)

que também não atinge nenhuma configuração final. Assim, as cadeias bab e abab não são aceitas e não fazem parte de L(M).

ð

Exemplo 3: Considere o afnd M da Fig. 4.5. M aceita cadeias da forma c y c, onde c pode ser a ou b e y pode ser qualquer cadeia de a's e b's.

A cadeia ababa = c⋅y⋅c = a⋅bab⋅a é aceita por M, através da sequência de configurações abaixo, em que a primeira e a última transições são realizadas através de transições-ε.

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(A, ababa) M lê ε e adivinha que c=a |— (B, ababa) M lê a e confere que c=a |— (C, baba) M lê b |— (C, aba) M lê a e adivinha que este a faz parte de y |— (C, ba) M lê b |— (C, a) M lê a e adivinha que este a é o último c |— (D, ε) M lê ε e adivinha que a cadeia acabou |— (I, ε) M aceita

Fig. 4.5 - afnd para o Exemplo 3

Todas as configurações atingíveis (caminhos certos e errados) estão indicadas abaixo:

(A, ababa) |— (B, ababa) . |— (C, baba) . |— (C, aba) . |— (C, ba) . . |— (C, a) . . |— (C, ε) -- não aceita . . |— (D, ε) . . |— (I, ε) -- ok! aceita! . |— (D, ba) . |— (I, ba) -- bloqueado |— (F, ababa) -- bloqueado

ð

Exercício 6: Considere a linguagem composta pelas cadeias no alfabeto {a, b} que contém a cadeia aaa ou a cadeia bb. Ou seja, a linguagem

L = { x y z | x, z ∈ {a, b}* e ( y=aaa ou y=bb ) }

Construa um afnd M que aceite L.

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Sugestão: M adivinha se a cadeia de entrada contém aaa ou bb, e apenas verifica esse fato.

ð

4.4 - Equivalência dos afd's e dos afnd's

Mostraremos nesta seção que uma linguagem é aceita por um af determinístico se e somente se ela é aceita por um af não determinístico. A classe de linguagens reconhecidas por afd's e afnd's é a classe das linguagens regulares (ver seção 4.6).

Teorema: Toda linguagem reconhecida por um afd é reconhecida por um afnd.

Demonstração: Exercício. Sugestão: Basta definir um afnd em que a única transição possível em cada caso é aquela especificada no afd.

ð Teorema: Toda linguagem reconhecida por um afnd é reconhecida por um afd. Demonstração: ver Lemas 1 e 2 abaixo.

ð Lema 1: Toda linguagem reconhecida por um afnd é reconhecida por um afnd que não tem transições com ε. Demonstração: Seja M = (K, Σ, δ, i, F) um afnd qualquer. Vamos construir um afnd M' = (K, Σ, δ', i, F') equivalente a M, isto é L(M') = L(M). Para isso vamos "simular" o efeito das transições com ε de duas maneiras:

• se tivermos a ∈ Σ, δ(p1, ε) = p2, e δ(p2, a) = q, acrescentaremos a δ' uma transição de p1 para q com a, ou seja, acrescentaremos q ao conjunto δ'(p1, a);

• se tivermos δ(p1, ε) = p2, e p2 ∈ F, acrescentaremos p1 a F. (ver figura abaixo)

Isso deve ser feito repetidamente enquanto novas transições forem acrescentadas a δ', e enquanto novos estados forem acrescentados a F. Após isso, retiramos de δ as transições com ε, e chamamos os resultados de δ' e F'.

ð Exemplo 4: Considere o afnd M do Exemplo 3 (Fig. 4.5). A construção descrita na prova do Lema 1 permite construir o afnd equivalente M' (Fig. 4.6), que não tem

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transições com ε. Note que M' tem estados inúteis: B, F e I passaram a ser inacessíveis a partir do estado inicial.

Para aceitar a cadeia ababa, as configurações de M estão na tabela a seguir:

Configurações de M Configurações de M' (A, ababa) (A, ababa) (B, ababa) --- (C, baba) (C, baba) (C, aba) (C, aba) (C, ba) (C, ba) (C, a) (C, a) (D, ε) (D, ε) --- final (I, ε) --- final ---

ð

Fig. 4.6 - afnd sem transições-ε

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Lema 2: Toda linguagem aceita por um afnd sem transições com ε é aceita por um afd.

Demonstração. Seja M = (K, Σ, δ, i, F) um afnd sem transições com ε. Vamos construir um afd M' = (K', Σ, δ', i', F'), equivalente a M, isto é, M' também aceita L. A idéia da demonstração é que os estados de M' são conjuntos de estados de M: a cada momento o estado de M' contém todos os estados em que M poderia se encontrar. Desta maneira, M' pode seguir ao mesmo tempo todos os caminhos percorridos por M. Temos:

K'= P(K); estados de M' são conjuntos de estados de M i' = { i } o estado inicial de M' contém apenas o estado inicial de M F' = { Q ⊆ K | Q ∩ F ≠ ∅ }

os estados finais de M' são os conjuntos de estados de M que contém pelo menos um estado final de M

δ': K' × Σ → K' A função δ' deve cobrir todas as possibilidades: δ'(Q, a) deve incluir todos os estados em todos os conjuntos δ(q, a), para cada q em Q, ou seja,

′ = ∈

δ δ(Q,a) (q,a) q Q U

para cada a ∈ Σ. A aceitação nas duas máquinas se dá de forma paralela:

M aceita x, e temos em M (i, x) |—* (f, ε), com f ∈ F M' aceita x, e temos em M' (i', x) |—* (Q, ε), com Q ∩ F ≠ ∅

A ligação entre as duas sequências de configurações é feita pelo estado f ∈ Q.

O restante da demonstração consiste na prova de que dada uma das sequências de configurações, é possível construir a outra, e vice-versa.

Observamos que em geral não é necessário levar em consideração todos os estados de M', bastando apenas considerar aqueles que são acessíveis a partir de i'. Se M tem n estados, M' tem um máximo teórico de 2n estados, mas em geral apenas uma fração desses estados é acessível a partir do estado inicial i'.

ð

Exemplo 4 (continuação): Podemos construir um afd M'' a partir de M', como descrito na demonstração do Lema 2. M'' será equivalente a M (Exemplo 3) e a M'.

Temos: i'' = { A }. A tabela abaixo mostra a função δ''. Note que os 251 estados não acessíveis a partir de { A } foram ignorados. O afd pode ser visto também na Fig. 4.7.

δ'' a b { A } { C } { G } { C } { C, D } { C } { G } { G } { G, H }

{ C, D } { C, D } { C } { G, H } { G } { G, H }

Os estados finais de M'' que precisam ser considerados são, portanto, {C, D} e {G, H}, que contém os estados finais D e H de M'. Para comparação, a tabela abaixo apresenta as configurações assumidas por M, M' e M'' na aceitação de ababa.

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Fig. 4.7 - afd para o Exemplo 4

M M' M'' (A, ababa) (A, ababa) ({A}, ababa) (B, ababa) --- --- (C, baba) (C, baba) ({C}, baba) (C, aba) (C, aba) ({C}, aba) (C, ba) (C, ba) ({C, D}, ba) (C, a) (C, a) ({C}, a) (D, ε) (D, ε) ({C, D}, ε) (I, ε) --- ---

ð

Exercício 7: Construa um afd equivalente ao afnd do Exercício 6.

ð

4.5 - Minimização de autômatos finitos

Para af determinísticos, é possível fazer uma minimização: dado um afd M, é possível construir um afd M', que é equivalente a M, e que tem o menor número de estados possível para todos os afd's que aceitam L(M). (Esta construção não se aplica a af não determinísticos.)

Uma propriedade adicional, que não demonstraremos aqui, é que o afd mínimo é único, exceto pelos nomes dos estados, que podem ser escolhidos arbitrariamente. Ou seja, o mesmo afd mínimo é obtido, a partir de qualquer afd que aceite a linguagem considerada.

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A maneira de construir o afd mínimo é baseada na idéia de estados equivalentes, que podem ser reunidos em um só. Dois estados p e q são equivalentes quando as mesmas cadeias levam dos dois estados até a aceitação (até um estado final). Temos:

p ≡ q se e somente se para toda cadeia x ∈ Σ*,

$δ (p, x) ∈ F se e somente se $δ (q, x) ∈ F

A última linha pode ser substituída por

ou $δ (p, x) e $δ (q, x) são ambos finais, ou são ambos não finais.

A relação ≡ é uma relação de equivalência. Portanto, trivialmente, para estados p, q e r quaisquer, temos

• p ≡ p (reflexividade) • se p ≡ q, então q ≡ p (simetria) • se p ≡ q e q ≡ r, então p ≡ r (transitividade)

(Demonstração: exercício.)

O algoritmo que vamos descrever aqui se baseia no fato de que é mais fácil provar que dois estados p e q não são equivalentes do que provar que são. Para mostrar

que p e q não são equivalentes, basta achar uma cadeia x tal que $δ (p, x) é final e $δ (q, x) não é final, ou vice-versa. Dizemos que essa cadeia x distingue o estado p do

estado q, e que p e q são distinguíveis.

As propriedades que vamos usar no algoritmo são:

Propriedade 1.(Equivalência se propaga para a frente.) Se p ≡ q, então para qualquer a ∈ Σ, os estados p' = δ(p, a) e q' = δ(q, a) são equivalentes. Dem. Seja x ∈ Σ* uma cadeia qualquer. Devemos mostrar que p'' = $δ (p', x) e q'' = $δ (q', x) são ambos finais ou ambos não finais.

Seja y = ax. Temos

p'' = $δ (p', x) = $δ (δ(p, a), x) = $δ (p, ax) = $δ (p, y) e

q'' = $δ (q', x) = $δ (δ(q, a), x) = $δ (q, ax) = $δ (q, y) Como p ≡ q, p'' e q'' são ambos finais ou ambos não finais.

Propriedade 2.(Distinguibilidade se propaga para trás.) Para qualquer a ∈ Σ, se p' = δ(p, a) e q' = δ(q, a) não são equivalentes, então p e q também não são equivalentes.

Dem. Se p'e q' não são equivalentes, existe uma cadeia x que distingue p' e q'. Ou seja,

chamando p'' = $δ (p', x) e q'' = $δ (q', x), temos que um deles é final e o outro não. Fazendo y = ax, temos

p'' = $δ (p', x) = $δ (δ(p, a), x) = $δ (p, ax) = $δ (p, y) e

q'' = $δ (q', x) = $δ (δ(q, a), x) = $δ (q, ax) = $δ (q, y)

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e vemos que y = ax distingue p e q.

ð Propriedade 3.(Iniciação) Um estado final e um estado não final não podem ser equivalentes.

Demonstração: Sejam p ∈ F, e q ∉ F. A cadeia vazia ε distingue p de q: p = $δ (p, ε) ∈ F, e q = $δ (q, ε) ∉ F.

ð

Para minimizar um afd M, começamos por determinar quais são os pares de estados de M que são equivalentes, isto é, que podem ser reunidos em um único estado. Como é mais fácil descobrir quais são os pares de estados não equivalentes, consideramos que estados p e q são equivalentes se não conseguirmos mostrar que são distinguíveis (não equivalentes). As estruturas de dados usadas pelo algoritmo são:

para cada par (p, q) de estados distintos,

• um valor booleano marca(p, q), inicialmente com o valor false. Se marca(p,q) = true, p e q são distinguíveis.

• uma lista de pares de estados, inicialmente vazia. Se (r, s) está na lista de (p, q), isto significa que r e s serão distinguíveis, se p e q forem distinguíveis.

Se marca(p, q) = true, dizemos que o par (p, q) está marcado. Note que o par identificado como (p, q) é o mesmo par identificado como (q, p), e, portanto, tanto faz marcar (p, q), como marcar (q, p).

Note que o algoritmo que determina os pares de estados equivalentes é baseado nas propriedades vistas acima. As listas são usadas para evitar a necessidade de passar mais de uma vez por cada par de estados. Ao final da execução do algoritmo, os pares de estados equivalentes são os que não estão marcados. A prova de correção do algoritmo, pode ser encontrada, por exemplo, em [HopUll79]1.

Algoritmo. Determinação dos estados equivalentes em um afd M.

procedimento mark(p, q); se p ≠ q então

marca(p, q) := true; para cada par (r,s) na lista de (p, q)

execute mark( r, s);

1John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley, 1979 - Sec. 3.4, p.68

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-15

{parte principal do algoritmo} para cada p final,

para cada q não final, marca(p, q):= true;

para cada par (p, q) não marcado, se existe um símbolo a tal que o par (δ(p,a), δ(q,a)) está marcado,

execute mark(p, q) senão, para cada símbolo a faça

p' := δ(p, a); q' := δ(q, a); se p' ≠ q' e (p, q) ≠ (p', q'),

acrescente (p, q) à lista de (p', q').

ð

O teste da penúltima linha não é realmente necessário, e pode ser considerado como uma otimização.

Dado M = (K, Σ, δ, i, F), usamos como estados as classes de equivalência de ≡, obtidas para M para a construção do afd mínimo M' = (K', Σ, δ', i', F'). Temos:

K' = K/≡ = { [q] | q ∈ K } δ': K' × Σ → K', dada por δ'([q], a) = [δ(q, a)] i' = [ i ] F' = { [ f ] | f ∈ F }

Deixamos como exercício demonstrar a consistência da definição de δ', isto é, a demonstração de que o resultado da aplicação de δ' independe da escolha do representante q da classe de equivalência [q].

Exemplo 5: Seja M um afd com estados A, B, C, D, E e F, sendo A o estado inicial; C e F são os estados finais. Os símbolos de entrada são a e b, e δ como na tabela abaixo. M aceita as cadeias que tem um número de a's da forma 6n+2 ou 6n+5. Na realidade, bastaria exigir que o número de a's fosse da forma 3n+2, o que corresponde a um afd com apenas 3 estados, e, por essa razão, M não é mínimo, e deve ter estados equivalentes.

A tabela de transição de M é

δ a b A B A B C B C D C D E D E F E F A F

Os pares de estados (representados em ordem alfabética sem os parenteses) a serem considerados são AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF,

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e EF. Não há necessidade de incluir pares como AA por causa da reflexividade, nem pares como BA por causa da simetria: basta incluir AB.

Vamos aplicar o algoritmo acima para determinar os pares de estados equivalentes.

(marcação dos pares final / não final)

marcamos AC, AF, BC, BF, CD, CE, DF e EF.

(exame de cada par não marcado)

AB: Temos δ(A, a)=B, δ(B, a)=C, e BC está marcado. Logo, marcamos AB. AD: Temos δ(A, a)=B, δ(D, a)=E, e δ(A, b)=A, δ(D, b)=D. Como BE não está

marcado, incluímos AD na lista de BE. (Note que não há necessidade de incluir AD na lista de AD.)

AE: Temos δ(A, a)=B, δ(E, a)=F, e BF está marcado. Logo, marcamos AE. BD: Temos δ(B, a)=C, δ(D, a)=E e CE está marcado. Logo, marcamos BD. BE: Temos δ(B, a)=C, δ(E, a)=F, e δ(B, b)=B, δ(E, b)=E. Como CF não está

marcado, incluímos BE na lista de CF. CF: Temos δ(C, a)=D, δ(F, a)=A, e δ(C, b)=C, δ(F, b)=F. Como AD não está

marcado, incluímos CF na lista de AD. DE: Temos δ(D, a)=E, δ(E, a)=F e EF está marcado. Logo, marcamos DE.

(os pares restantes são equivalentes)

Os pares marcados aparecem na tabela abaixo:

A B X C X X D X X E X X X F X X X X

A B C D E F

Os pares restantes (não marcados) são AD, BE, CF. Logo, A ≡ D, B ≡ E e C ≡ F. Naturalmente, além disso, A ≡ A, D ≡ A, etc. Note que as cadeias que distinguem os pares de estados não equivalentes podem ser deduzidas da ordem de marcação: para os pares final/não final, a cadeia é ε. Para os demais pares, neste exemplo, a cadeia é a. Por exemplo, marcamos AB porque BC estava marcado, e porque de A e B passamos com o símbolo a para B e C. A cadeia correspondente a AB é portanto a ⋅ ε = a.

Podemos agora construir o afd mínimo: o conjunto de estados é o das classes de equivalência. Como previsto, tem apenas 3 estados. Temos:

K' = { [A], [B], [C], [D], [E], [F] } = { {A, D}, {B, E}, {C, F} } i' = [A] = {A, D} F' = { [C], [F] }= {C, F}

Para calcular as transições, escolhemos representantes das classes. Por exemplo, como [A] = [D] = {A, D}, δ'( {A, D}, a) pode ser calculada como δ'( [A], a ) = [δ(A, a)] = [B] = {B, E} ou como δ'( [D], a ) = [δ(D, a)] = [E] = {B, E}. Qualquer que seja o

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representante escolhido, o resultado será o mesmo, porque, como vimos na propriedade 1, "a equivalência se propaga para a frente".

A função de transição pode ser vista na tabela abaixo:

δ' a b {A, D} {B, E} {A, D} {B, E} {C, F} {B, E} {C, F} {A, D} {C, F}

ð

Um resultado interessante, cuja demonstração pode ser encontrada na referência citada, é o de que o afd mínimo que aceita uma dada linguagem é único, exceto por isomorfismo. Neste contexto, isomorfismo quer dizer simplesmente re-nomeação de estados: dados dois afd's M1 e M2 que aceitam a mesma linguagem L, se construirmos os afd's mínimos associados ao dois afd's, encontraremos dois afd's M1' e M2' que são, na prática, idênticos: M1' e M2' só se distinguem pelos nomes de seus estados. Ou seja, é a linguagem L que define o afd mínimo que a aceita, e o resultado é sempre o mesmo, independente do afd aceitador de L do qual partimos.

Isso pode ser usado para resolver dois problemas interessantes. Primeiro, se quisermos determinar se dois afd's M1 e M2 são equivalentes, basta construir os afd's M1' e M2' mínimos correspondentes. Se M1' e M2' forem isomorfos, M1 e M2 são equivalentes. Segundo, se quisermos mostrar que um afd M dado é mínimo, basta aplicar a M o processo de minimização, e verificar que o resultado M' é isomorfo de M. Isto é feito no Exemplo 6, onde, adicionalmente, para cada par de estados (p, q) distintos de M, deduzimos exemplos de cadeias que os distinguem.

Exemplo 6: Vamos verificar que um afd é mínimo, aplicando a ele o processo de minimização, e mostrando que o resultado final é isomorfo do afd inicial. Seja M o afd com estados A, B, C, D, E e F, sendo A o estado inicial; e F o único estado final. Os símbolos de entrada são a e b. A tabela de transição de M é

δ a b A B A B C B C D C D E D E F E F A F

Aplicando o processo de minimização, temos:

(marcação dos pares final / não final)

marcamos AF, BF, CF, DF, EF.

(exame de cada par não marcado)

AB: incluímos AB na lista de BC; AC: incluímos AC na lista de BD;

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AD: incluímos AD na lista de BE; AE: como BF está marcado, marcamos AE; BC: incluímos BC na lista de CD; BD: incluímos BD na lista de CE BE: como CF está marcado, marcamos BE; portanto, marcamos AD

(da lista de BE); CD: incluímos CD na lista de DE; CE: como DF está marcado, marcamos CE; portanto, marcamos BD

(da lista de CE) e AC (da lista de BD); DE: como EF está marcado, marcamos DE; portanto, marcamos CD

(da lista de DE), BC (da lista de CD) e AB (da lista de BC).

Os pares marcados aparecem na tabela abaixo:

A B X C X X D X X X E X X X X F X X X X X

A B C D E F

(os pares restantes são equivalentes)

Não há pares de estados distintos restantes. Ou seja, cada estado é equivalente apenas a ele mesmo. O afd mínimo é idêntico a M, apenas tem estados {A}, {B}, {C}, {D}, {E}, {F}. As cadeias d(XY) que distinguem os pares de estados XY são:

d(AF) = d(BF) = d(CF) = d(DF) = d(EF) = ε. d(AE) = a ⋅ d(BF) = a ⋅ ε = a d(BE) = a ⋅ d(CF) = a ⋅ ε = a d(AD) = a ⋅ d(BE) = a ⋅ a = aa d(CE) = a ⋅ d(DF) = a ⋅ ε = a d(BD) = a ⋅ d(CEF) = a ⋅ a = aa d(AC) = a ⋅ d(BD) = a ⋅ aa = aaa d(DE) = a ⋅ d(EF) = a ⋅ ε = a d(CD) = a ⋅ d(DE) = a ⋅ a = aa d(BC) = a ⋅ d(CD) = a ⋅ aa = aaa d(AB) = a ⋅ d(BC) = a ⋅ aaa = aaaa

Naturalmente, as cadeias d(XY) podem também ser obtidas por inspeção, sem executar o algoritmo.

ð Exercício 8: Construa um afd mínimo que aceite a linguagem L no alfabeto Σ = {a, b}, com L ={ cdxcd | c, d ∈ Σ, x ∈ Σ* }

ð Exercício 9: Construa um afd mínimo que aceite o complemento da linguagem L do Exercício 8.

ð

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4.6 - Equivalência entre autômatos finitos e gramáticas regulares

Um dos resultados que devemos estabelecer neste capítulo é que a classe de linguagens reconhecidas por automatos finitos é a classe das linguagens regulares. Já sabemos, da seção anterior, que a classe das linguagens aceitas por af determinísticos é exatamente a mesma classe das linguagens aceitas por af não determinísticos. Trata-se, portanto de estabelecer dois resultados simples, expressos através dos Teoremas 4.6 e 4.7, a seguir.

Teorema 4.6: Toda linguagem regular é aceita por um afnd.

Demonstração: Seja L uma linguagem regular. Portanto, L = L(G), para alguma gramática regular G = ( N, Σ, P, S ). Vamos construir um afnd M = ( K, Σ, δ, i, F ) que aceita a linguagem L(G). Temos: K = N U { f }, i = S, F = { f }. Ou seja, os estados de M serão os não terminais de M, mais um estado f criado para ser o único estado final. O estado inicial é o símbolo inicial de G. (Note que f deve ser um símbolo novo, para não causar confusão.)

As transições de M são dadas pelas regras de G:

Inicialmente, faça δ(A, a)= ∅, para todos os nãoterminais A e para todos os símbolos a, e para a = ε. A seguir, para todas as regras de G,

se G tem uma regra A → a B, acrescente uma transição de A para B com o símbolo a, ou seja, acrescente B a δ(A, a).

se G tem uma regra A → a, acrescente uma transição de A para f com o símbolo a, ou seja, acrescente f a δ(A, a).

se G tem uma regra A → ε, acrescente uma transição de A para f com ε, ou seja, acrescente f a δ(A, ε).

Devemos mostrar que, para qualquer x ∈ Σ*, M aceita x sse x ∈ L(G). A demonstração se completa pela verificação de que a sequência de configurações (S, x) |—* (f, ε) em M corresponde exatamente à sequência de passos da derivação S ⇒* x em G.

ð

Exemplo 7: Seja a gramática regular G, dada por suas regras:

S → a A | b B A → a A | b A | a B → a B | b B | b

que gera a linguagem { c x c | c ∈ {a, b} e x ∈ {a, b}*}. O afnd descrito na prova do teorema anterior é M = ({ S, A, B, f }, { a, b }, δ, S, { f }), com δ dada pela tabela abaixo.

δ ε a b S ∅ { A } { B } A ∅ { A, f } { A } B ∅ { B } { B, f } f ∅ ∅ ∅

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Seja a cadeia x=ababa. A cadeia x pertence à linguagem, como se pode ver pela derivação

S ⇒ aA ⇒ abA ⇒ abaA ⇒ ababA ⇒ ababa.

A cadeia x também é aceita por M, como se pode ver pela sequência de configurações

(S, ababa) |— (A, baba) |— (A, aba) |— (A, ba) |— (A, a) |— (f, ε)

Note que os estados e os símbolos não terminais aparecem na mesma ordem, exceto por f, que não aparece na derivação. Os símbolos terminais, entretanto, tem tratamento diverso: são gerados na derivação, e aparecem desde sua introdução até a cadeia final, e são consumidos nas transições do afnd, aparecendo desde a configuração inicial até o momento de sua leitura.

ð

Exemplo 8: Seja a gramática regular G, dada por suas regras:

S → a A | b A | ε A → a S | b S

Temos L(G) = { x ∈ {a, b}* | |x| é par }. O afnd descrito na prova do teorema anterior é M = ({ S, A, f }, { a, b }, δ, S, { f }), com δ dada pela tabela abaixo.

δ ε a b S { f } { A } { A } A ∅ { S } { S } f ∅ ∅ ∅

Seja a cadeia x = abba, de comprimento par. Temos:

S ⇒ aA ⇒ abS ⇒ abbA ⇒ abbaS ⇒ abba.

em G, e

(S, abba) |— (A, bba) |— (S, ba) |— (A, a) |— (S, ε) |— (f, ε)

em M.

ð

Teorema 4.7: Se L é aceita por um automato finito, então L é regular.

demonstração: Podemos supor que L é aceita por um afd M = (K, Σ, δ, i, F). Vamos construir uma gramática regular G para L. A gramática G = (K, Σ, P, i) tem como símbolos não terminais os estados de M, e como símbolo inicial o estado inicial i de M. As regras de G são dadas pelas transições e pelos estados finais de M:

se p = δ(q, a) em M, G tem uma regra q → ap em P. se q é final (q ∈ F), G tem uma regra q → ε em P

A demonstração é semelhante a anterior: devemos mostrar que, para qualquer x ∈ Σ*, M aceita x sse x ∈ L(G).

ð

Exemplo 9: Seja o afd M = ({q0, q1}, {a, b}, δ, q0, {q1}), com δ dada pela tabela abaixo.

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δ a b q0 q1 q1 q1 q0 q0

M aceita as cadeias de {a, b}* que tem comprimento ímpar.

A gramática G correspondente, de acordo com o teroema acima, é

q0 → a q1 | b q1 q1 → a q0 | b q0 | ε

Para a cadeia x= ababa, temos

(q0, ababa) |— (q1, baba) |— (q0, aba) |— (q1, ba) |— (q0, a) |— (q1, ε) e

q0 ⇒ aq1 ⇒ abq0 ⇒ abaq1 ⇒ ababq0 ⇒ ababaq1 ⇒ ababa ð

4.7 - Expressões regulares

Vamos agora definir expressão regular. A expressão regular é a maneira mais compacta e mais simples de descrever conjuntos regulares, e é usada com essa finalidade em construção de compiladores, editores, sistemas operacionais, protocolos, etc. A definição abaixo é uma definição recursiva, e será usada como base para outras definições, e para as demonstrações.

Definição. Definimos uma expressão regular (er) em um alfabeto Σ através de ER1 … ER6 abaixo:

ER1. ∅ é uma er. ER2. ε é uma er. ER3. para cada a ∈ Σ, a é uma er. ER4. Se α e β são er's, então (α ∨ β) é uma er. ER5. Se α e β são er's, então (α ° β) é uma er. ER6. Se α é uma er, então (α*) é uma er.

Naturalmente, α é uma er se e somente se isso pode ser provado a partir de ER1 … ER6.

Usualmente, são omitidos os parenteses de er's, de acordo com a ordem de precedência

* → ∨ → °

e considerando os operadores como associativos à esquerda. Além disso, o símbolo ° é frequentemente omitido.

Exemplo 10: Seja Σ = {a, b} e seja a expressão regular α = (a∨b)* a b b, ou seja, com todos os parênteses, α = (((((a∨b)*)°a)°b)°b). Mostramos que α é uma er, mostrando sucessivamente que são er's as expressões a seguir:

1. a de ER3 2. b de ER3 3. (a∨b) de 1, 2 e ER4 4. (a∨b)* de 3 e ER6

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-22

5. (a∨b)*°a de 4, 1 e ER5 6. (a∨b)*°a°b de 5, 2 e ER5 7. (a∨b)*°a°b°b de 6, 2 e ER5.

ð Definição. A linguagem L[α] associada a uma er (ou denotada pela er) é definida de forma recursiva, seguindo a definição de er:

ER1. L[∅] = ∅; ER2. L[ε] = {ε}; ER3. para cada a ∈ Σ, L[a] = {a}; ER4. L[(α∨β)] = L[α] ∪ L[β]; ER5. L[(α°β)] = L[α] ° L[β]; ER6. L[(α*)] = (L[α])*.

Exemplo 11: Seja α = (a∨b)*°a°b°b, como acima. Podemos determinar a linguagem L[α] seguindo o mesmo caminho usado para provar que α é uma er.

1. L[a] = {a} de ER3 2. L[b] = {b} de ER3 3. L[a∨b] = L[a] ∪ L[b] = {a} ∪ {b} = {a, b} de 1, 2 e ER4 4. L[(a∨b)*] = (L[a∨b])* = {a, b}* de 3 e ER6 5. L[(a∨b)*°a] = L[(a∨b)*] ° L[a] = {a, b}*°{a} de 4, 1 e ER5 6. L[(a∨b)*°a°b] = L[(a∨b)*°a] ° L[b] =

= {a, b}*°{a}°{b} = {a, b}*°{ab} de 5, 2 e ER5 7. L[(a∨b)*°a°b°b] = L[(a∨b)*°a°b] ° L[b] =

= {a, b}*°{ab}°{b} = {a, b}*°{abb} de 6, 2 e ER5

Assim, L[α] é a linguagem das cadeias que terminam em abb.

ð

Uma outra forma de indicar as mesmas propriedades de pertinência vistas acima, mais adequada para provar a pertinência em casos isolados é:

ER1. Não existe x tal que x ∈ L[∅]. ER2. Se x ∈ L[ε], então x= ε ER3. Se x ∈ L[a] (para a ∈ Σ), então x=a. ER4. Se x ∈ L[α ∨ β], então ou x ∈ L[α], ou x ∈ L[β]. ER5. Se x ∈ L[α ° β], então x=yz, com y ∈ L[α] e z ∈ L[β]. ER6. Se x ∈ L[α*], então ou x=ε, ou x=yz, com y ∈ L[α] e z ∈ L[α*].

Os casos 1..5 são autoexplicativos; para o caso 6, basta observar a propriedade apresentada no Exercício 10.

Exercício 10: Mostrar que, para qualquer linguagem L , L* = {ε} ∪ (L ° L*).

Exemplo 12: Suponhamos que desejamos provar que x = abaabb ∈ L[α], para a er α=(a∨b)*°a°b°b, usando as propriedades acima. Os passos intermediários da prova estão indicados abaixo:

1. a ∈ L[a] 2. a ∈ L[a∨b] de 1 3. b ∈ L[b] 4. b ∈ L[a∨b] de 3

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-23

5. ε ∈ L[(a∨b)*] 6. a ∈ L[(a∨b)*] de 2 e 5 7. ba ∈ L[(a∨b)*] de 4 e 6 8. aba ∈ L[(a∨b)*] de 2 e 7 9. abaa ∈ L[(a∨b)*°a] de 8 e 1 10. abaab ∈ L[(a∨b)*°a°b] de 9 e 3 11. abaabb ∈ L[(a∨b)*°a°b°b] de 10 e 3

Note que cada ocorrência de um símbolo (a ou b) em x fica associada a uma ocorrência do mesmo símbolo em α. No fundo a construção da prova de que x ∈ L[α] consiste exatamente na descoberta de uma associação adequada. No exemplo acima, a única associação possível está indicada abaixo, pela numeração das ocorrências de símbolos, na er e na cadeia considerada:

α = (a1 ∨ b2 )* a3 °b4 °b5 , x = a1 b2 a1 a3 b4 b5 Em outros casos, podem ser possíveis várias associações. Por exemplo, considere o alfabeto Σ = {a, b, c}, a er β = (a∨b)* ° (bvc)* e a cadeia y = bb. Neste caso, temos

β = (a1 ∨ b2)* ° (b3 ∨ c4)*

e podemos ter y = b2 b2, ou y =b2 b3, ou ainda, y =b3 b3 .

ð

Definição. Dizemos que duas er's α e β são equivalentes se as linguagens a elas associadas são iguais: L[α] = L[β]. A equivalência é indicada por α ≡ β.

Exercício 11: Mostre que, dada uma er α, é sempre possível construir uma er β equivalente a α, de forma que ou β = ∅, ou β não contém o símbolo ∅.

Sugestão: considere as equivalências ∅ ∨ α ≡ α ∨ ∅ ≡ α ∅ ° α ≡ α ° ∅ ≡ ∅ ∅* ≡ ε

ð

Exercício 12: Mostre que, dada uma er α, é sempre possível construir uma er β equivalente a α, de forma que ou β = ε ∨ γ, ou β = γ, e γ não contém o símbolo ε.

Sugestão: considere as equivalências ε ° α ≡ α (ε ∨ α)* ≡ α* (ε ∨ α) ° β ≡ β ∨ (α ° β) (ε ∨ α) ∨ β ≡ ε ∨ (α ∨ β)

ð

Exercício 13: Suponha a seguinte definição: uma er α é ambígua se para algum x∈L[α], existe mais de uma associação possível entre as ocorrências de símbolos em x e em α. Sejam as expressões

β = (a ∨ b)* ° (b ∨ c)* γ = (a ∨ b)* ° (a°a ∨ b°b) ° (a ∨ b)*

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- Mostre que β e γ são ambíguas, de acordo com a definição dada. - Construa er's equivalentes a β e γ que não sejam ambíguas.

Teorema 4.8: Toda linguagem denotada por uma expressão regular é regular.

Demonstração. Seja α uma er qualquer. Vamos mostrar que L(α) é regular construindo um afnd M(α) que aceita L(α), preparando para uma demonstração por indução na estrutura de α.

Por simplicidade, vamos construir todos os afnd M(α) considerados nesta demonstração com exatamente um estado final, distinto do estado inicial. Para uma er α não elementar, o afnd M(α) será construído a partir dos afnd's das er's componentes. Para evitar a necessidade de nomear cada estado de cada uma dessas máquinas, vamos indicar a forma de composição graficamente. Por convenção, sempre representaremos o estado inicial à esquerda, e o estado final à direita.

ER1. O afnd M(∅) que aceita ∅ é

ER2. O afnd M(ε) que aceita L[ε] é

ER3. O afnd M(a) que aceita L[a], a ∈ Σ é

ER4. Se α e β são er's, podemos supor (pela Hipótese de Indução) que já estão construídos M(α) e M(β). O afnd M(α ∨ β) que aceita L[α ∨ β] é obtido acrescentando um estado inicial e um final novos a M(α) e M(β). As novas transições são transições com entrada ε do estado inicial novo para os antigos estados iniciais de M(α) e de M(β), e dos antigos estados finais de M(α) e de M(β) para o novo estado final. O resultado é

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-25

ER5. Se α e β são er's, podemos supor (pela Hipótese de Indução) que já estão construídos M(α) e M(β). O afnd M(α ° β) que aceita L[α ° β] é obtido acrescentando um estado inicial e um final novos a M(α) e M(β). As novas transições são transições com entrada ε do estado inicial novo para o antigo estado inicial de M(α), do antigo estado final de M(α) para o antigo estado inicial de M(β), e do antigo estado final de M(β) para o novo estado final. O resultado é

ER6. Se α é uma er, podemos supor (pela Hipótese de Indução) que já está construído M(α). O afnd M(α*) que aceita α* é obtido acrescentando um estado inicial e um final novos a M(α). As novas transições são transições com entrada ε do estado inicial novo para o antigo estado inicial de M(α) e para o novo estado final e do antigo estado final de M(α) para o novo estado inicial.

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O restante da demonstração é deixado como exercício.

ð

Exemplo 13: Seja a er α = (a ∨ b)* a. Vamos construir um afnd que aceita L(α), seguindo a construção indicada na demonstração acima. Os passos intermediários e os resultados estão indicados nas tabelas a seguir

M(a) ε a b inicial: A ∅ {B} ∅

final: B ∅ ∅ ∅

M(b) ε a b inicial: C ∅ ∅ {D}

final: D ∅ ∅ ∅

M(a ∨ b) ε a b inicial: E {A, C} ∅ ∅

A ∅ {B} ∅ B {F} ∅ ∅ C ∅ ∅ {D} D {F} ∅ ∅

final: F ∅ ∅ ∅

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M((a ∨ b)*) ε a b inicial: G {E, H} ∅ ∅

E {A, C} ∅ ∅ A ∅ {B} ∅ B {F} ∅ ∅ C ∅ ∅ {D} D {F} ∅ ∅ F {G} ∅ ∅

final: H ∅ ∅ ∅

M((a ∨ b)*°a) ε a b inicial: I {G} ∅ ∅

G {E, H} ∅ ∅ E {A, C} ∅ ∅ A ∅ {B} ∅ B {F} ∅ ∅ C ∅ ∅ {D} D {F} ∅ ∅ F {G} ∅ ∅ H {A'} ∅ ∅ A' ∅ {B'} ∅ B' {J} ∅ ∅

final: J ∅ ∅ ∅

Note que a sub-expressão a ocorre duas vezes em M(α), e porisso foi necessário incluir duas vezes M(a); para a segunda vez renomeamos os estados, que passaram a ser A' e B'.

ð Exercício 14: Construa um afd mínimo para a linguagem denotada pela er α do Exemplo 13, a partir do afnd M(α) construído no exemplo.

ð Exercício 15: Construa afd's mínimos que aceitem as linguagens denotadas pelas expressões regulares do Exercício 13,

β = (a ∨ b)* ° (b ∨ c)* γ = (a ∨ b)* ° (a°a ∨ b°b) ° (a ∨ b)*

ð Teorema 4.9: Toda linguagem regular é denotada por uma expressão regular. Demonstração: ver referência citada.

ð

A demonstração do Teorema 4.9 constrói a expressão regular que representa a linguagem aceita por um afd examinando os caminhos entre o estado inicial e os estados finais do afd. O operador ∨ é usado para tratar caminhos alternativos, o operador ° para tratar caminhos de comprimento maior que 1, e o operador * para tratar laços. Embora a construção seja interessante, na prática o uso normalmente feito de er's é para

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especificação de linguagens regulares, e é muito mais frequente a construção de afd's a partir de er's, do que a construção inversa.

4.8 - O Lema do Bombeamento para linguagens regulares

Como mencionado anteriormente, precisamos de um resultado que nos permita demonstrar que algumas linguagens não são regulares. Este resultado é o "Lema do Bombeamento", ou "Pumping Lemma", que nos diz que qualquer cadeia suficientemente longa z de uma linguagem regular pode ser decomposta em três partes: z = uvw, de maneira que podemos construir outras cadeias da linguagem pela repetição da parte central v: todas as cadeias da forma u vi w são também da linguagem. Ou seja, podemos acionar a bomba quantas vezes quisermos, para criar quantas sentenças novas da linguagem desejarmos: uw, uvvw, uvvvw, ... .

Para mostrar que uma linguagem não é regular, mostramos que não há como decompor uma cadeia (qualquer, arbitrariamente longa) da linguagem de forma que seja possível bombear e continuar na linguagem.

Teorema 4.10: (Lema do Bombeamento) Seja L uma linguagem regular. Então, existe um natural n tal que qualquer cadeia z de L com comprimento maior ou igual a n pode ser decomposta em três cadeias u, v e w (z = uvw) de forma que

|uv| ≤ n v ≠ ε para qualquer i ≥ 0, u vi w ∈ L

Demonstração: A demonstração se baseia no fato de que para as cadeias longas z é necessário usar pelo menos um loop de estados num afd que aceite a linguagem. Assim, os símbolos de u são usados para chegarmos a um estado q do loop; os símbolos de v são usados para dar a volta no loop, de volta ao estado q; os símbolos de w são usados para ir de q até um estado final. Portanto, podemos dar quantas voltas no loop quisermos, e repetir v um número qualquer i de vezes: u vi w.

As cadeias curtas (comprimento < n) devem ser excluídas porque podem ser aceitas sem passar por nenhum loop.

A demonstração completa pode ser encontrada em [HopUll79].

ð

Exemplo 14: Seja a linguagem regular L = L[α] = L[β], com α = 1(01)* e β = (10)*1. Considere a cadeia z=10101, pertencente a L. Podemos decompor a cadeia, da forma descrita no teorema acima, de diversas formas. Por exemplo:

u = 1 v = 01 w = 01 u = 10 v = 10 w = 1 u = ε v = 1010 w = 1

Note que todas as cadeias das formas 1(01)i01, 10(10)i1, (1010)i1 pertencem a L.

ð

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-29

Exercício 16: (baseado no Exemplo 14)

• Mostre que α e β são equivalentes. • Estime o valor de n (Teorema 4.10) para L. • Mostre todas as formas de decomposição de z que satisfazem o Teorema.

ð

Exemplo 15: A linguagem L = { ai bi | i ≥ 0} não é regular. (Já vimos que L é uma llc.) Vamos mostrar aqui que L não é regular. A demonstração é por contradição. Suponha que L é regular. Se L é regular, o Teorema acima se aplica, e existe n tal que a decomposição descrita pode ser realizada para qualquer cadeia de comprimento igual ou maior que n.

Seja k=n+1. Considere a cadeia z=ak bk. Qualquer decomposição z=uvw deve ter em v o mesmo número de a's e de b's, para que a propriedade de que o número de a's é igual ao de b's se mantenha nas cadeias u vi w. Se isso não acontecer, quando acrescentarmos mais um v (aumentando i de 1), obteremos uma cadeia fora da linguagem. Portanto, v deve ser da forma aj bj, com j>0, já que v não pode ser vazia. Mas nesse caso, u v2 w conterá a cadeia aj bj aj bj, com pelo menos um a depois de um b, o que não pode acontecer na linguagem.

Ou seja, nenhuma decomposição é possível, contrariando o Teorema, e podemos concluir que L não é regular.

ð Exercício 17: Mostre que a linguagem L = { x xR | x ∈ {0, 1}* } não é regular.

ð

4.9 - Propriedades de fechamento das linguagens regulares

Vamos ver agora algumas propriedades de fechamento da classe das linguagens regulares. A maioria das provas pode ser feita usando mais de um dos formalismos usados para definir linguagens regulares: gramáticas regulares, afd's, afnd's e expressões regulares — veja o Exercício 18.

Teorema 4.11: A classe das linguagens regulares no alfabeto Σ é fechada para as operações de (a) união, (b) interseção, (c) complemento em relação a Σ*, (d) concatenação e (e) fechamento transitivo (estrela).

Demonstração: (a) Vamos mostrar que se L1 e L2 são linguagens regulares, então L1∪L2 é uma linguagem regular. Sejam α e β er's tais que L(α)=L1 e L(β) = L2. Portanto, L1 ∪ L2 = L(α ∨ β) também é regular.

(b) Vamos mostrar que se L1 e L2 são linguagens regulares, então L1∩L2 é uma linguagem regular. Sejam M1 = (K1, Σ, δ1, i1, F1) e M2 = (K2, Σ, δ2, i2, F2), afd's tais que L(M1)=L1 e L(M2) = L2. Seja M = (K1 × K2, Σ, δ, (i1, i2), F1 × F2), com δ definida por

δ( (q1, q2), a) = ( δ1(q1, a), δ2(q2, a) )

M aceita L1∩L2 , porque

J. L. Rangel, L. C. Guedes - Ling. Formais - 4-30

( (i1, i2), x) |—* ( (f1, f2), ε) em M sse ( i1, x) |—* ( f1, ε) em M1 e ( i2, x) |—* (f2, ε) em M2,

e (f1, f2) é final em M sse

f1 é final em M1 e f2 é final em M2.

L é aceita por M, e portanto, é regular.

(c) Vamos mostrar que se L é regular, o complemento L = Σ* - L também é regular. Seja M =(K, Σ, δ, i, F) um afd que aceita L. Então M' = (K, Σ, δ, i, K-F) aceita L. Temos:

M' aceita x ⇔ $δ (i, x) ∈ K - F ⇔ $δ (i, x) ∉ F ⇔ M não aceita x ⇔ x ∉ L ⇔ x ∈ L.

(d) Vamos mostrar que, se L1 e L2 são regulares, L1 ° L2 é regular. Sejam α e β er's tais que L(α)=L1 e L(β) = L2. Portanto, L1 ° L2 = L(α ° β) também é regular.

(e) Vamos mostrar que se L é regular, o fechamento L* também é regular. Seja a uma er tal que L(α) = L. Então L(α*)* = (L(α))* = L* também é regular.

ð

Exercício 18: Considere o Teorema 4.11. Construa demonstrações alternativas para os casos indicados:

(a) construindo uma gramática regular para a união de L1 e L2, a partir de gramáticas regulares de L1 e L2.

(b) usando (a), (c), e a propriedade de conjuntos (de Morgan) que diz que

X Y∩ = ∪X Y (d) construindo uma gramática regular para a concatenação de L1 e L2, a partir

de gramáticas regulares de L1 e L2. (e) construindo uma gramática regular para o fechamento de L, a partir de uma

gramática regular de L. ð

Exercício 19: Mostre que, na construção usada na demonstração do Teor. 4.11 parte (c), não pode ser usado um afnd.

Sugestão: Considere o afnd

(revisão de 27fev97)

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