Balanço transiente  - Apostilas - Engenharia, Notas de estudo de Engenharia Química. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)
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GloboTV7 de março de 2013

Balanço transiente - Apostilas - Engenharia, Notas de estudo de Engenharia Química. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)

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Apostilas de Engenharia Química e de Alimentos sobre o estudo equação geral do balanço, balanços diferenciais, balanços integrais.
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Microsoft Word - massa_transiente.doc

BALANÇOS DE MASSA EM PROCESSOS TRANSIENTES

Um sistema pode ser considerado em estado transiente (não- estacionário) quando qualquer variável do sistema muda com o tempo. Os processos em batelada e batelada alimentada (semi-batch) são inerentemente transientes. Os processos contínuos são transientes quando iniciados ou finalizados, podendo apresentar características transientes ao longo da operação decorrentes de flutuações impostas por mudanças nas condições do processo.

As características dos processos transientes são as mesmas dos balanços materiais desenvolvidos anteriormente. A diferença principal é que o termo de acumulação passa a ter um valor diferente de zero. O termo de acumulação é derivativo, portanto as técnicas para resolução de balanços transientes são um pouco mais complexas que aquelas desenvolvidas até o momento.

1 A equação geral do balanço ....de novo.

A equação geral foi definida anteriormente como:

{entra} – {sai} + {geração} – {consumo} = {acumula} (1)

Duas formas desta equação podem ser implementadas: i) balanços diferenciais, que são aplicáveis em um determinado instante do processo e ii) balanços integrais, que consideram um período de tempo do processo.

Balanços diferenciais

Supondo o componente A envolvido em um processo e considerando que (kg/s) e qs (kg/s) as taxas de entrada e saída do componente através dos limites do sistema e considerando também rg e rc as taxas de geração e consumo do componente A por reação química, podemos assumir que as variáveis qe, qs, rg e rc podem variar com o tempo.

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Podemos então escrever o balanço para um período de tempo variando de t até t+∆t, supondo uma pequena variação de ∆t onde as quantidades de qe, qs, rg e rc podem ser consideradas constantes. Desta forma os termos do balanço podem ser calculados:

{entra} = qe (kg/s) * ∆t (s);

{sai} = qs (kg/s) * ∆t (s)

{geração} = rg (kg/s) * ∆t (s)

{consumo} = rc (kg/s) * ∆t (s)

podemos supor também que a massa de A no sistema muda em uma quantidade ∆m(kg), desta forma a equação de balanço pode ser escrita como:

trrqqm cgse ∆−+−=∆ )( (2)

Dividindo a equação por ∆t e aproximando-o de zero, temos que a razão ∆m/∆t se torna a derivada de m com relação a t (dm/dt) e a equação pode ser escrita como:

cgse rrqqdt dm

−+−= (3)

Nesta equação geral de balanço m é a parcela da quantidade balanceada no sistema e os quatro termos a direita na equação são taxas que podem variar com o tempo. Quando a densidade for constante o termo de acumulo pode escrito da seguinte forma.

dt dV

dt Vd

dt dmacumulo ρρ === )( (4)

A equação aplicada a um sistema contínuo em estado estacionário determina que m seja constante indicando que a derivada é igual a zero, logo:

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{entra} + {gerado} = {sai} + {consumido} (5)

Entretanto, se qualquer termo varia com o tempo, a derivada ao lado esquerdo da equação permanece como parte da equação. Logo a equação de balanço para um sistema em estado não estacionário a um determinado instante de tempo será uma equação diferencial.

A equação (3) acima deduzida é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolvê-la uma condição de contorno deve ser fornecida. Para resolver a equação temos o valor da variável dependente m(t) para um determinado valor da variável m usualmente temos o valor de m para o tempo t=0.

Quando analisamos um sistema transiente, nossa avaliação não esta completa a menos que a equação diferencial obtida está acompanhada de uma condição de contorno semelhante a que foi mostrada.

Balanços integrais

Considerando a equação diferencial de balanço mostrada acima podemos reescrevê-la da seguinte forma:

dtrdtrdtqdtqdm cgse −+−= (6)

e integrando a expressão de um tempo inicial to a um tempo tf obtemos:

dtrdtrdtqdtqttmdm c tf

tog

tf

tos

tf

toe

tf

toof

tf

to ∫∫∫∫∫ −+−=−= )( (7)

esta é a equação de balanço integral. Assim por exemplo a integral

tf

to e dtq (8)

representa a quantidade total de material que entra no sistema entre to e tf.

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Dois dos passos na formulação de uma solução para balanços diferenciais de massa são: i) expressar matematicamente um termo de acumulação e integrar a equação diferencial resultante.

EXEMPLO

1. Um tanque contém 100 litros de solução de água e sal na qual 3 kg de sal estão dissolvidos. A água entra no tanque a uma vazão de 1,2 litros por minuto e a solução salina escoa a mesma vazão. O sistema de agitação no tanque mantém a mistura sempre uniforme. Determine a quantidade de sal ainda presente no tanque após 20 minutos de operação. Considere a densidade da solução salina a mesma da água.

Pode-se fazer um balanço de massa total no sistema e considerar que não existe acúmulo e validar a consideração de que a densidade da água e a da solução é a mesma.

Logo o acumulo é igual a zero e a massa que entra é igual a massa que sai

Para o balanço de sal (x) temos:

{acumulo} = {entra} – {sai}

(min) 100

)( min

2,10 t l kgxlxx ttt ∆⋅⋅−=−∆+

dividindo a expressão por ∆t e tomando o limite quando ∆t tende a zero, temos:

x dt dx 012,0−=

devido a nossa suposição de concentração uniforme no tanque a concentração de sal que sai do tanque é a mesma no tanque, ou x kg/ 100 litros solução.

Tanque 4 kg sal

Água pura Solução

12L/min

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Separando as variáveis dependentes e independentes temos:

dt x dx 012,0−=

a equação é então integrada entres os limites:

t = 0 ; xo = 3,0 e t = 20 e xt = valor desconhecido de x em kg

∫∫ −= 20

00,3 012,0 dt

x dxtX

24,0 0,3

ln −=f x

salkgx f _36,2≅

2. Um tanque de 5 m3 de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (t=0), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg/h. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 kg/h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de 1200 kg/h. Dado: 1080=liqρ kg/m3.

a) Escreva uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, qs(t) [kg/h].

b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido.

c) Após 5 horas, quanto de líquido resta no tanque? d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu

valor máximo? Que % do volume do tanque está ocupado pelo líquido neste ponto?

e) Qual o tempo necessário para esvaziar o tanque? Resolução:

A)

Considerando que a taxa de retirada varia linearmente com o tempo podemos a partir das informações do problema escrever a relação de qs.

5 m3 ρ = 1080 kg/m3

1200 kg/h to ; qs= 750 kg/h t(5h) ; qs = 1000 Kg/h

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to ; qs= 750 kg/h t(5h) ; qs = 1000 Kg/h logo: qs = 750 + (1000 – 750) * t / 5 = 750 + 50 * t

B) Para o balanço material temos a quantidade que entra no tanque qe e a quantidade que sai qs:

{acúmulo} = {entra} – {sai}

ttmm ttt ∆⋅+−=−∆+ )*50750(1200

Dividindo por ∆t e fazendo ∆t tender a zero temos:

dttdm )50450( −=

Integrando a expressão entre mo = 750 kg e mf para os tempos to = 0 e tf = t , respectivamente a expressão obtida é:

2*25*450750 ttm −+=

C) o líquido que temos no tanque após 5 horas pode ser calculado substituído o tempo de 5 horas na equação.

2)5(*25)5(*450750)5( −+=hm

m = 2375 kg

D) o tempo para o nível máximo no tanque pode ser obtido igualando-se a derivada dm/dt a zero.

Logo temos : t504500 −= ; e tmax = 9 h

Sabendo-se o tempo determina-se o a massa de liquido presente e considerando a densidade calcula-se o volume ocupado do tanque.

2)9(*25)9(*450750)9( −+=hm

m(9h) = 2775 kg e 357,2 080.1 275.2 mmV ===

ρ

E) o tempo necessário para esvaziar o tanque pode ser calculado igualando-se a expressão integrada a zero.

0*25*450750 2 =−+= ttm

o tempo obtido da equação é t = 19,54 h

Bibliografia

Felder, R. M. & Rousseau, R.W. Elementary Principles of Chemical Processes. Ed John Wiley& Sons 2a. Edicão. 1986.

Himmelblau, D. M. Engenharia Química Princípios e Cálculos. Ed. PHB. Sexta edição. 1996.

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