Caderno do aluno de matemática, Exercícios de Pedagogia. Universidade Paulista (UniP)
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Caderno do aluno de matemática, Exercícios de Pedagogia. Universidade Paulista (UniP)

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Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros.

Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro.

Este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar os conhecimentos matemáticos de forma contextuali- zada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas exercícios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com técnicas transforma- das em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situações podem ser vistas como pon- to de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e cria- tividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas, não tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e dê sua opinião.

Se precisar, peça ajuda ao professor. Ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos; assim você evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e peça ajuda aos colegas. A troca de ideias é fundamental para a construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que você vai descobrir isso.

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Equipe Técnica de Matemática

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES

! ?

O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um con- junto “bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério.

Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se prefe - rir mos, considerando a sua cor. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando co mo equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se e somente se têm a mesma cor – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto.

O mostruário representará, então, o conjunto das cores:

Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, uma fração é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas perguntas está a noção de relação de equivalência.

Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e quere- mos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência.

Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores

Branco Azul Preto Prata Cinza Verde

Outros

Leitura e Análise de Texto

PRETO

AZUL

BRANCO

VERDE

CINZA

PRATA

OUTROS

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

4

Mostruário das frações: Conjunto dos Números Racionais 1 2 1 3 1 7 2

– 2 7 5 3 ...

Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações

que representarem a mesma parte da unidade, como, por exemplo, 1 2

; 3 6

; 5 10

;

0,5; 13 26

; – –

7 14

; 232 464

; ... (todas representam a metade da unidade), ou então 5 3

;

10 6

; 1,666...; 500 300

; 300 180

; ... (todas representam um inteiro mais dois terços).

Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade.

430 215 ; 2;

6 3 1

7 ; 0,142857...; 3

21 2 5

; 4 10

; 0,4; –6 –15

; 400 1 000

...; ...; ...

7 3

; 2,333...; –35 –15

1,666...; 53 ; –15 –9 ;

15 9

1 2

; 3 6

; 0,5; 13 26

; 231 462

; –7 –14

; 45 90

1 3

; –3 –9

; 7 21

; 15 45

;

2 6

; 111 333

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

5

VOCÊ APRENDEU?

1. Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem organizando-os em classes de equivalência segundo o critério do número de lados. Nesse caso:

a) Quais seriam as classes de equivalência?

b) Qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos?

2. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a rela- ção de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se e somente se estiverem à mesma distância da origem, onde está o número zero.

–4 –3 –2 –1 43210

Nesse caso:

a) Quais seriam as classes de equivalência?

b) Qual seria o mostruário?

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

6

3. Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja soma do numerador com o denominador resulta sempre no

mesmo número. Por exemplo, 2 5

estaria na mesma classe de 1 6

e de 3 4

; 24 13

estaria na mesma

classe de 1

36 e

7 30

, e assim por diante. Nesse caso:

a) Quais seriam as classes de equivalência? Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha a tabela seguinte, escrevendo na coluna à direita as frações cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda:

Soma igual a 2

Soma igual a 3

Soma igual a 4

Soma igual a 5

Soma igual a 6

b) Qual seria o mostruário?

A localização dos números racionais na reta

4. Localize na reta a seguir os números racionais: 1, –2, 1 3

, 5 2

, – 3 4

e – 0,5.

20

5. Responda às perguntas:

a) Qual é o número natural sucessor de 15?

b) Qual é o número inteiro sucessor de –7?

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

7

c) Qual é o número racional consecutivo de 1 3

?

d) Quantos números inteiros existem entre – 6 e 0?

e) Quantos números racionais existem entre – 6 e 0?

f ) Quantos números racionais existem entre 0,1 e 0,2?

6. Na atividade anterior você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional, e que sempre entre dois números racionais existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem essa proprie- dade são chamados de conjuntos densos. Encontre um número racional que esteja entre:

a) 1 2

e 3 4

b) 1 e 5 4

c) 0,88 e 0,889

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

8

d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012

LIÇÃO DE CASA

1. Desenhe uma reta e localize nela os números 1 8

e 1

10 . Identifique três números fracionários

que estejam entre ambos.

2. Onde há mais números racionais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?

3. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é o tempo: qual é o instante que é sucessor das 10 horas? É impossível se definir, assim como percebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situações que envolvam conjuntos densos.

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

9

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

10

Desafio!

Cada “casa” da tabela abaixo corresponde a uma fração cujo numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assinalada na

tabela com a letra E corresponde à fração 3 4

, enquanto a “casa” assinalada com a letra M

corresponde à fração 6 7

. Assinale com um X as “casas” correspondentes às frações gera trizes

de dízimas periódicas.

Numerador

D en

om in

ad or

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4 E

5

6

7 M

8

9

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...

! ?

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

11

VOCÊ APRENDEU?

1. Analisando a tabela da seção Desafio!, identifique quando uma fração irredutível não gera uma dízima se for dividido o numerador pelo denominador.

2. Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima?

3. É verdade que todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dízimas periódicas? Escreva exemplos para justificar sua resposta.

4. Escreva a sequência dos números primos menores do que 30.

5. Quais dos números primos que você escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica?

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

12

6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador resultará em uma dízima periódica.

LIÇÃO DE CASA

1. Quando a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica?

2. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica.

Dízimas periódicas e cíclicas

Quando uma fração corresponde a uma dízima periódica, podemos notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão.

Leitura e Análise de Texto

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

13

Observe a divisão de 1 por 7:

1

0 0

0 0

0 05

r e s t o s

0,142857...

7

quocientes

4 6

2 3

1

Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal certamente ocorrerá a repetição de um resto, e a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, 6 casas decimais, o que efetivamente ocorreu.

Quocientes 1

1

3 2 6 4 5

1 4 2 8 5 7

Restos

Na tabela construída ao lado da divisão, colocamos na ordem os quocientes decimais e os restos que esses produzem.

Vamos agora observar o desenvolvimento decimal de 2 7

:

quocientes

2

02 06

04 05

01 03

r e s t o s

0,285714 7 Quocientes

2

2

6 4 5 1 3

2 8 5 7 1 4

Restos

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

14

Comparando os períodos gerados pelas duas frações, podemos observar que possuem os mesmos algarismos, só que dispostos em ordem diferente e respeitando um movimento

cíclico. Observando que a divisão de 2 7

começa com resto 2, que também aparece como

resto na divisão de 1 7

, os restos, a partir desse ponto, também vão coincidir em ambas as

divisões, uma vez que o desenvolvimento de 1 7

tem período de comprimento “máximo”:

2 7

= 0,285714...

i n í c i o do ciclo

Quocientes

resto inicial

1

1

3 2 6 4 5

1 4 2 8 5 7

Restos1

7

Sem efetuar a divisão e apoiado na tabela da seção anterior, referente à divisão de 1 7

,

encontre o desenvolvimento decimal de 5 7

.

Desafio!

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

15

VOCÊ APRENDEU?

1. Tome agora, para estudo, a seguinte fração:

1 13

= 0,0769230769

quocientes

1

0 01 09 012

03 04

r e s t o s

0,076923...

13 Quocientes

1

1

10 9

12 3 4

0 7 6 9 2 3

Restos

Aplicando o método discutido anteriormente, escreva as frações abaixo na sua forma decimal periódica:

a) 10 13

=

b) 9 13

=

c) 3 13

=

d) 4 13

=

2. É possível, observando a tabela de quocientes e restos, encontrarmos o desenvolvimento deci- mal de 2

13 ? Justifique sua resposta e tente encontrá-lo.

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

16

3. Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas:

a) 2,7777...

b) 0,454545...

c) 1,2343434...

d) 3,1672867286728...

LIÇÃO DE CASA

1. Escreva o número racional

7 6

0,33333... na forma

a b

, sendo a b

uma fração irredutível.

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

17

2. Encontre o valor de x que é solução da equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x + 0,0005x +... = 4.

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS

! ?

VOCÊ APRENDEU?

1. Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Pergunta-se:

© N

A SA

A Matemática, como linguagem, é profundamente marcada pelo movimento da hu- manidade de intensificação do trabalho intelectual como forma de tornar mais simples e rápida a execução de operações, procedimentos e cálculos.

O uso de potências é um exemplo dessa simplificação. Ela é um recurso útil para a representação de números muito grandes ou muito pequenos. Contudo, em sua simpli- cidade de registro, ela pode guardar uma dificuldade de estimar a grandeza que nela vem expressa. Por exemplo, dentre os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número de dígitos?

Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos se utilizam amplamente da linguagem das potências na repre- sentação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é, aproxima da- mente, igual a 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 . 105 km/s ou 3 . 108 m/s.

Leitura e Análise de Texto

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

19

a) Quantos metros tem 1 ano-luz?

b) Qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é, aproxi- madamente, igual a 150 000 000 000 metros?

c) Quanto tempo um feixe de luz leva, aproximadamente, para chegar do Sol até a Terra?

PESQUISA INDIVIDUAL

Nos filmes de ficção, muitas vezes os personagens indicam distâncias entre estrelas utilizando as unidades de anos-luz e parsec. Faça uma pesquisa sobre unidades de medi - das astronômicas encontrando alguns exemplos de sua aplicação e registre no espaço a seguir.

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

20

LIÇÃO DE CASA

1. O diâmetro da Via Láctea é de, aproximadamente, 100 000 anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade “tão grande” como o ano-luz para indicar distâncias?

VOCÊ APRENDEU?

Notação científica

1. A tabela a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potências:

Número de moléculas em 1 grama de água 3 . 1022 moléculas

Número de átomos do corpo humano 1028 átomos

Raio da Terra 6 . 106 m

Distância entre a Terra e a Lua 4 . 108 m

Distância entre a Terra e o Sol 1,5 . 1011 m

Massa da Terra 6 . 1024 kg

Idade da Terra 4,5 . 109 anos

Idade do Universo 1,5 . 1010 anos

Número de habitantes da Terra (estimativa em 2007) 6,7 bilhões

Expectativa de vida dos brasileiros em 2005 72 anos = 2,3 . 109 segundos

PIB brasileiro em 2005 1,937 trilhão de reais

Número de células do corpo humano 100 bilhões = 1011

Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena 50 milhões = 5 . 10

7

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

21

Analisando-a, escreva cada um dos números a seguir em notação científica, ou seja, na forma m . 10n, com 1 <– m < 10.

a) número de habitantes da Terra;

b) expectativa de vida dos brasileiros em segundos;

c) PIB brasileiro.

Em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pe - queno Milton – qualquer coisa como “guuugol” – não foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10100.

Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão gran - de quan to 1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. Também o número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo.

Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo in- teiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-se o número dessas partículas (≅ 10110 partículas) em um número maior que 1 googol.

Vencida a barreira do googol, que tal pensarmos agora em um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros do número 1 googolplex? A resposta exige apenas algumas contas. Dizer que 1 googolplex é 10googol = 1010100 é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1, seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0,5 . 10100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1,5 . 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4,7 . 1017 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.

Leitura e Análise de Texto

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

22

VOCÊ APRENDEU?

1. Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corresponde a um volume de, aproximadamente, 1 385 984 610 km³ (desse total, 97,5% é de água salgada, e 2,5% de água doce). Sabendo que em cada cm³ temos 1 g de água (a densidade da água é 1 g/cm³), e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o número de moléculas de água na superfície da Terra. Em seguida, compare esse dado com 1 googol. Nessa atividade, desprezamos o fato de a densidade da água salgada ser maior que 1 g/cm³.

Nas calculadoras com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a con- ta 370 000 . 2 100 000; contudo, com o conhecimento de potências e notação científica, essa conta pode ser feita na calculadora. Sabendo que 370 000 = 3,7 . 105 e 2 100 000 = = 2,1 . 106, o produto procurado é 2,1 . 3,7 . 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 . 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 1011 será igual a 777 000 000 000.

Contudo, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente.

Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes for- mas, dependendo do fabricante:

7 . 7711 7 . 77 E11 7 . 77 E + 11ou ou

Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potência de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três detalhes também devem ser observados.

Leitura e Análise de Texto

Usando a calculadora

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

23

VOCÊ APRENDEU?

1. Faça algumas experiências com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados.

Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, no qual a vírgula tem a função do nosso ponto e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38,490.35.

A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.

As calculadoras científi cas possuem uma tecla específi ca para as potências, o que fa-

cilita o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por yx ou, em alguns casos, uma

tecla indicando o sinal de acento circunfl exo é a que deve ser usada para elevar

uma base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 35:

3 5 =x yI.

3 5 =II.

O resultado que aparecerá no visor será 243

^

^

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

24

2. Suponhamos que, em determinado país, a produção de um material tenha sido igual a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do desenvolvimento tecnológico, passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir. Complete os espaços em branco utilizando, quando possível e necessário, uma calculadora:

Ano Produção P (toneladas) Potência correspondente

2000 1 30

2001 31

2002 9

2003 33

2004 34

2005 243

2006 729

2007 37

2008 6 561

2009

2010

2015 14 348 907

2000 + n ...

3. O nosso sistema de numeração – Sistema Decimal Posicional – é formado segundo certa regulari- dade com relação às potências de base 10. Interprete esse fato completando a tabela a seguir:

Milhar Centena Dezena Unidade Décimos Centésimos Milésimos

100 1 0,1 0,01 0,001

103 101 100 10–2

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

25

PESQUISA INDIVIDUAL

Faça uma pesquisa em jornais e revistas e selecione uma notícia que faz uso de núme- ros muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e escreva os mes mos números em notação científica.

4. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. Faça uma pesquisa sobre as unidades relacionadas e faça a conversão entre as unidades, com pletando-a:

1 cm – centímetro _____ metros

1 mm – milímetro _____ metros

1µm – micrômetro _____ metros

1 nanômetro _____ metros

1 angstrom _____ metros

Massa da molécula de água _________ g

Diâmetro de uma célula _____________ metros

Comprimento de onda da luz visível _________ metros

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