Calc-Limite Ciência da computação, Exercícios de Cálculo. Universidade Federal Fluminense (UFF)
Joao_Victor
Joao_Victor8 de maio de 2017

Calc-Limite Ciência da computação, Exercícios de Cálculo. Universidade Federal Fluminense (UFF)

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Limite infinito e no infinito. Teoremas do confronto e anulamento. Limites trigonométricos.
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Lista 4 Cálculo I -A- 2008-1 7

Universidade Federal Fluminense

EGM - Instituto de Matemática

GMA - Departamento de Matemática Aplicada

LISTA 4 - 2008-1 Limite infinito e no infinito

Teoremas do confronto e anulamento Limites trigonométricos

Nos exerćıcios 1. a 4. os gráficos de g e h são dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.

1. f(x) = g(x) h(x)

, no ponto x = 2 h

g

y

x

–2

0

2

4

–2 2 4 6 8

2. f(x) = g(x) h(x)

, no ponto x = 3

g y

x

–2

2

4

–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8

h y

x

–100

0

100

200

300

–2 2 4 6 8

3. f(x) = g(x) h(x)

, no ponto x = 2 g

y

x

–1

1

2

3

4

5

6

–2 2 4

h y

x

–300

–200

–100

0

100

200

300

–2 2 4 6 8

4. f(x) =

g(x) h(x)

e f(x) = (g ◦ h)(x)

ambas no ponto x = 4

h

g

y

x

–2

2

4

6

8

–2 2 4 6 8

Nos exercićıos 5. a 10. calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

5. lim x→+

( xn − xn−1)

6. lim x→+

(x + 1)(x + 2) · · · (x + 10) (x2 + 1)5

7. lim x→−∞

√ x2 2x + 2

x + 1

8. lim x→−∞

( x +

x2 + 3x + 2

)

9. lim x→−1

( 3

x + 1 5

x2 1 )

10. lim x→5

(25− x2 x− 5

)

11. Seja f definida por f(x) =

  

x3 + 2x2 + x x3 + 5x2 + 7x + 3

se x 6= 3, x 6= 1 0 se x = 3 1/2 se x = 1

(a) A função f está definida em R? Justifique. (b) Dê os pontos onde f é cont́ınua. Justifique.

(c) Dê os pontos onde f é descont́ınua. Justifique.

(d) A função f é cont́ınua em R? Justifique.

Nos exerćıcios 12. a 15. determine as equações das asśıntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

12. f(x) = 3x

x− 1 13. f(x) = 2x√

x2 + 4 14. f(x) =

2x2 + 1 2x2 3x

15. f(x) = x√

x2 4

16. A função f é tal que para x 6= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 4x + 9. Calcule lim x→2

f(x).

Lista 4 Cálculo I -A- 2008-1 8

17. Seja f uma função limitada. Use o teorema do anulamento (é o corolário do teorema do confronto) para provar que lim

x→0 x2f(x) = 0.

18. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 < (x2 1) · f(x) < (x + 1)2, calcule lim x→+

f(x).

Nos exerćıcios 19. a 27. calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

19. lim x→0

sen x3

x

20. lim x→0

tan(πx) tan x

21. lim x→0

sen 2 ( ax2

)

x4

22. lim x→0

1cos(ax) x2

23. lim x→0

1sec x x2

24. lim x→0

sen (x) sen (3x) sen (5x) tan(2x) tan(4x) tan(6x)

25. lim x→0

1 + tan x−√1 + sen x

x3

26. lim x→0

( x cos

1 x

)

27. lim x→−2

( x2 4) sen

( 1

x + 2

)

28. lim x→+

x− cos x x

29. lim x→−∞

1 + x sen x x

30. lim x→−∞

x2 sen x

Nos exerćıcios 31. a 33. verifique se a função dada tem extensão cont́ınua a toda reta R.

31. f(x) = sen 24x

x 32. f(x) =

1 + sen x x− π/2 33. f(x) =

sen ( x2 4)

x + 2

RESPOSTAS

1. lim x→2

f(x) = +; lim x→2+

f(x) = −∞ 2. lim

x→3− f(x) = 0; lim

x→3+ f(x) = −∞

3. lim x→2

f(x) = 0; lim x→2+

f(x) = 0

4. lim x→4

g(x)

h(x) = lim

x→4+ g(x)

h(x) = −∞

lim x→4

(g ◦ h)(x) = lim x→4+

(g ◦ h)(x) = 5

5. @, pois quando x → +a função +6. 1 7. 1 8. 3

2

9. @, pois a função → −∞ se x → −1(ou, a função +se x → −1+)

10. @, pois a função → −∞ se x → 5. Obs.: 6 ∃x; x → 5+, pois neste caso 5 ≤ x < 5.

11. (a) Sim, pois a única restrição da expressão é o denominador não nulo, os únicos pontos que anulam o denominador são x = 1 e x = 3 e nestes pontos a função foi definida por outras expressões, a saber f(1) = 1/2 e f(3) = 0. (b) Em R − {−3,−1} a função é cont́ınua pois é o quociente de funções polinomiais e toda função polinomial é cont́ınua. Em x = 1 a função é cont́ınua pois lim

x→−1 f(x) = 1

2 = f(1).

(c) A função é descont́ınua em x = 3 pois f(x) +se x → −3(outra justificativa seria f(x) → −∞ se x → −3+, basta não ter um dos limites laterais). (d) Não, pois não é cont́ınua em x = 3.

12. V: x = 1; H: y = 3

13. V: não tem; H: y = 2, y = 2 14. V: x = 0, x =

3

2 ; H: y = 1

15. V: x = 2, x = 2; H: y = 1, y = 1 16. 5

17. (i) Para g(x) = x2 e a = 0, temos lim x→a

g(x) = lim x→0

x2 = 0

(ii) f é limitada, isto significa que ∃M ; |f(x)| ≤ M . Assim, as duas hipóteses (i) e (ii) do teorema do anula- mento se verificam. Logo vale a tese do teorema, a saber lim x→a

g(x)f(x) = 0 lim x→0

x2f(x) = 0.

18. 1

19. 0

20. π

21. a2

22. a2

2

23. 1 2

24. 5

16

25. 1

4 26. 0

27. 0

28. 1

29. @, oscila entre 1 e 1 30. @, oscila entre −∞ e +

31. Sim, g(x) =

  

sen 24x

x , x 6= 0

0 , x = 0

32. Sim, g(x) =

  

1 + sen x x− π/2 , x 6= π/2

0 , x = π/2

33. Sim, g(x) =

  

sen ( x2 4)

x + 2 , x 6= 2

4 , x = 2

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