Calculo 2 Avançado, Manuais, Projetos, Pesquisas de Informática
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Calculo 2 Avançado, Manuais, Projetos, Pesquisas de Informática

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Cálculo Avançado.

Tarcisio Praciano-Pereira

Departamento de Matemática

Universidade Estadual Vale do Acaraú

Sobral, 17 de junho de 2007

tarcisio@member.ams.org

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O plano de trabalho. Queremos sugerir-lhe um modo de usar este livro que se poderia se asse-

melhar ao de um hipertexto 1. A última parte do livro é um ı́ndice remissivo alfabético em que todas as palavras-chave do texto se encontram aĺı listadas com referência às páginas em que elas se encontram. Verifique agora, por exemplo, Fourier, ou vetor, e você verá a lista das páginas em que estas palavras se en- contram pelo menos alguma vez com uma definição adequada. Esta é forma que encontramos para algumas vezes lhe sugerir uma leitura lá na frente, ilus- trando algum conceito que ainda viria no futuro. Parece-nos uma forma menos brutal que a indicação númerica. Faça uso intensivo do ı́ndice remissivo como se você se encontrasse na frente de um hipertexto e nos desculpe pela demora de acesso...e não se esqueça de colocar um marcador de página para saber de onde saiu. . .

Uma śıntaxe se impõe nas comunicações, tentamos usar o itálico com duas intenções: palavras-chave que você poderá encontrar no ı́ndice remissivo al- fabético, ou, palavras das quais você deve desconfiar porque elas estão mal definidas ou apresentadas de modo intuitivo. O negrito se encontra reservado para as palavras técnicas que tem uma definição bem clara no texto. Esta regra, entretanto, ainda está em construção e poderá falhar aqui ou aĺı, pelo menos nesta edição experimental.

Um outro elemento sintático é a letra pequena, ela indica que o texto escrito com ela pode ser ignorado numa primeira leitura, mas que não precisa ser igno- rado definitivamente, representam exemplos ou observações mais aprofundadas e que podem ser lidas como uma curiosidade teórica sem consequências maiores para o resto do texto.

Este uso da ênfase no texto, tem segundas intenções, uma delas (das in- tenções), de salientar uma bolha lógica, nos vai permitir de falar de concei-

1que pretensão.. mas é mesmo assim!

2

tos que não podemos definir no momento sem criar um texto ileǵıvel. É uma atitude própria de um livro didático, nele se tem, como primeiro objetivo, a comunicação com o estudante, a exposição de Matemática para quem a quer aprender, e obviamente, não se dirige a quem já a domina. Assim, avançaremos alguns conceitos cuja definição formal seria cŕıtica, mas sua apresentação num estágio inicial completa uma visão global que o estudante já deveria até mesmo ter, não fosse a fragilidade do nosso sistema educacional.

O uso de asteŕısco n’algum exerćıcio, tem o sentido de que o mesmo pode ser mais dif́ıcil ou que o mesmo se encontra fora do contexto. O objetivo não deve ser o de desencorajar quem os tentem resolver. Afinal, dif́ıcil, não é um qualificativo absoluto, nem siquer relativamente a uma mesma pessoa ao longo do tempo.

Este livro tem duas partes dentro das quais distribuiremos os assuntos:

1. Cálculo Diferencial;

2. Cálculo Integral.

Mas observe que as departamentalizações são autoritárias e artificiais. Elas são feitas para atender uma necessidade prática de disposição de assuntos, com objetivo sistêmico, mas não se podem tornar camisas de força nem sugerir que o conhecimento pode ser adquirido linearmente. Assim, você irá encontrar muito uso da integral dentro da primeira parte... e muito uso da derivada na segunda parte apesar de que estas partes tem objetivos reversos, (na primeira parte estaremos derivada e na segunda a integral).

Vamos a uma rápida justificativa de nossa escolha de desenvolvimento do assunto que também servirá de uma introdução.

A primeira razão das “coisas”é que pretendemos escrever uma coleção de pe- quenos livros cobrindo toda a matemática do que se chama Cálculo Avançado e que em nossa opinião deve ser estudado num segundo ano de graduação por todos os estudantes de ciências, sejam eles futuros engenheiros ou futuros pro- fessores da Escola Secundária, ou futuros professores de Matemática da Univer- sidade. Observe nossa posição, intencional, de associar profissionais, queremos dizer, sim, que o professor da Escola Secundária deve ter uma base matemática tão excelente quanto um professor da Universidade da mesma forma como os salários deveriam ser iguais.

O conteúdo de um tal curso deve estender as idéias do Cálculo a uma variável para um ambiente em que as funções são multivariadas, deve usar com grande liberdade os conceitos de geometria e, portanto, de Álgebra linear, que é a linguagem adequada para expressar este novo tipo de variável, os vetores. Os elementos da Álgebra Linear, são variáveis multi-numéricas. Uma consequência deste fazer consiste numa formalização intensa da linguagem matemática e deve mostrar explicitamente que a Matemática é uma linguagem abstrata mas não pode deixar de traduzir a realidade de outras ciências, ou do “mundo real”.

Como a realidade das outras ciências, com frequência, se traduz sob forma de uma taxa de variação, então as equações diferenciais tem de ser pelo me- nos iniciadas com um máximo de seriedade o que implica mostrar ao estudante

3

que sabemos pouco sobre elas, mas que sabemos alguma coisa e que uma certa variedade importante de equações diferenciais pode ser resolvida. Neste texto não incluiremos equações diferenciais diretamente, mas pretendemos que o lei- tor se encontre preparado para um curso “moderno” de equações diferenciais ordinárias ao terminá-lo, em que moderno significa centrado nas equações linea- res, vistas como sistemas dinâmicos2, e nas não lineares como aproximação das lineares. Consequentemente o conceito de aproximação tem que estar presente de forma dominante.

É preciso declarar que temos uma clareza completa da falta de organização a que se chegou no ensino brasileiro, produto de anos sucessivos de descaso go- vernamental com a educação, descaso este que apenas continua, sem mostras de que um dia venha a se acabar. A consequência disto é uma desorganização intelectual total. Apresentar Matemática seriamente numa situação deste tipo apresenta dificuldades suplementares. Deve-se esperar que os estudantes do segundo ano venham com bolhas de conhecimento significativas porque os pro- fessores do ano anterior tiveram que se ocupar de discutir inclusive a matéria da escola secundária.

Parte do nosso objetivo, portanto, é fazer a ponte necessária entre os co- nhecimentos rudimentares da matemática univariada à multivariada o que pode ser feito se, pelo menos admitirmos como verdadeiro, que o estudante ganhou alguma experiência nos cursos do primeiro ano.

Queremos usar computação como apoio para o aprendizado, neste sentido sugerimos que o estudante faça uso dos programas que escrevemos. Estes pro- gramas podem ser obtidos ou no disco que ecompanha este livro, ou em comu- nicação com o autor,

tarcisio at member.ams.org

Entre as muitas dificuldades que você poderá encontrar com a presença de “computação” neste livro é a simples dificuldade de usá-la por falta absoluta de meios. Primeiro que tudo não se sinta intimidado ou humilhado, procure encontrar uma solução para este problema. Seria desonesto de nossa parte omitir esta possibilidade, apenas porque vivemos num páıs em que o governo se encontra de costas para a nação e com isto deixa as Escolas e Universidades sem os meios adequados para que elas cumpram a sua função.

Tarcisio, e-mail tarcisio at member.ams.org Sobral, 17 de junho de 2007

2moderno ? começou com Poincaré há mais de um século...

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Sumário

I Cálculo Diferencial no espaço vetorial R3 9

1 Números e geometria no R3 13

1.1 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Exemplos de espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Derivadas de funções bivariadas 29

2.1 A derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Operações e derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 A fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Séries e aproximação de funções. 67

3.1 A série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 O erro médio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.2 O erro integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2 Polinômios Trigonométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Aproximação polinomial clássica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3.1 Quadrados mı́nimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.3.2 O método de Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Séries numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.1 Definições e exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.2 Critérios de convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5 Séries de funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5.1 Séries de potências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.6 Generalizações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6.1 Espaços de funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6.2 Convergência condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4 Aplicações 119

4.1 As séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2 Fenômenos vibratórios, a música. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 As comunicações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 Compactação de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5 Equações diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5

6 SUMARIO

4.6 Tabelas diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

II A integral no espaço vetorial R3 129

5 Introdução 131

5.1 Equações paramétricas de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.1 exemplos de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Famı́lia de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3 Dimensão e variedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.3.1 Hiperplano e hipersuperf́ıcie no R4 . . . . . . . . . . . . . 142 5.3.2 Um pouco sobre classificação de variedades . . . . . . . . 142 5.3.3 Conjunto aberto e fronteira de um conjunto . . . . . . . . 145

5.4 Complementos sobre Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.5 Complementos sobre Geometria e Derivada . . . . . . . . . . . . 154

6 Somas múltiplas de Riemann 165

6.1 Integral múltipla - Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2 O caso da fronteira curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7 A integral de linha 189

7.1 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.3 Aplicações das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3.1 Vetor normal e gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.4 Derivadas de funções vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5 Miscelânea de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8 O teorema de Green 227

8.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.1.1 Campos vetoriais conservativos ou não . . . . . . . . . . . 227 8.1.2 Forma trivial do Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 230

8.2 Rotação e fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9 Superficie 249

9.1 Superf́ıcie e área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10 Fórmulas Integrais 267

10.1 Generalizações da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Bibliografia ............................................................................... i

Lista de Figuras

1.1 Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma. . . . . 14 1.2 No domı́nio de W

f −→ R em volta de um ponto P ∈ W, há muitas direções

para escolher e estudar a variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Campo vetorial - aproximação de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 A reta tangente ao gráfico de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 z = g(x, y) = x2 + y2 e plano tangente z = q(x, y) . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Disco de convergência da série de potências . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 Gráficos simultâneos do polinômio de Taylor de grau 3 e da função f . . . . 70 3.2 Graficos simultâneos do seno e de seu polinômio de Taylor de grau 11 . . . . 71 3.3 Reta tangente ao gráfico de f no ponto x = −2 . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 Polinômios de grau 11 e 13 do seno desenvolvidos em x = 0. . . . . . . . . 75 3.5 polinômio trigonométrico com 5 termos: aproximação da função dente de serrote

em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6 polinômio trigonométrico com 10 termos no intervalo [−15, 15]: aproximação da

função dente de serrote em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7 Área associada a uma soma parcial-projeção para traz - projeção para frente. 102

4.1 gráfico da parábola x 7→ 1 2 (x2 − x− 2) aproximada por um polinômio trigo-

nométrico, no intervalo [−π, π]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1 Ćıcloide desenhada à mão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2 Arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3 Curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.4 Um conjunto aberto Ω ∋ P e um ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1 Ćırculo de centro na origem coberto por uma malha uniforme . . . . . . . 166 6.2 O ćırculo como domı́nio de integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.1 Uma curva e sua aproximação poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.2 Uma variedade linear e seu vetor normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3 Gráfico aproximado da curva plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.4 Uma malha retangular em Ω induz uma partição no conjunto de sáıda W . 204 7.5 Uma superf́ıcie com ponto singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7

8 LISTA DE FIGURAS

7.6 Parametrização do quadrado Q de lado 1, com vértices (0, 0), (1, 1). . . . . 219

8.1 Os distintos caminhos entre P,Q no domı́nio Ω, ; α, β, γ . . . . . . . . . 233 8.2 A fronteira de um domı́nio inclue as fronteiras dos seus buracos... a ori-

entação da fronteira pode ser determinada por tangência. . . . . . . . . . 237 8.3 A orientação de uma curva pode ser incompat́ıvel com a orientação da fronteira.238 8.4 A indepenência de caminhos; as curvas são percorridas de acordo com a

indicação das setas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.5 A independência de caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 8.6 Isotérmicas e linhas de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

9.1 O prinćıpio do coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Parte I

Cálculo Diferencial no

espaço vetorial R3

9

11

As tres técnicas básicas do Cálculo

Neste caṕıtulo vamos estudar as tres técnicas básicas do Cálculo, derivada, integral e limite, tendo o espaço tridimensional como o cenário de trabalho. Limite é o estudo do comportamento assintótico, usamos limite para definir a integral e a derivada. Que é a integral? você verá depois que há outras formas de se conceber a integral e que o próprio limite é um tipo de integral, mas esta visão ainda faz parte do futuro e nós queremos usar o que você recentementre aprendeu. Para compreender o que era a integral, você, considerou uma famı́lia de n retângulos sob o gráfico de uma função e lhes calculou a área

Axi = f(xi)∆xi,

e depois lhe disseram que quando os ∆xi se aproximarem de zero a soma n P

i=1 Axi se apro-

ximará de um número, este número é a integral de f. Mas pode não ser assim, neste caso a função não é integrável, é isto que caracteriza um comportamento assintótico. O comportamento assintótico é a idéia central deste caṕıtulo.

12

Caṕıtulo 1

Números e geometria no R3

Resumo.

Vamos estudar os elementos e as estruturas básicas para generalizar o Cálculo Diferencial e Integral univariado.

Enquanto que no caso univariado tinhamos R ⊃ [a, b] f → R e queriamos estudar a taxa de

variação instântanea de f num determinado ponto x ∈ [a, b], não havia muita escolha quanto à variação de x, para frente ou para trás. Aqui as funções serão multivariadas quer dizer que

num ponto P ∈ W de uma função W f

−→ R, há muitas direções em que se pode escolher para estudar a taxa de variação, veja a (fig. 1.2), página 15.

Introdução: álgebra e Vetores. O conceito de vetor surgiu na F́ısica como muitas das noções da Matemática. O conceito

f́ısico estava ligado a uma entidade geométrica, uma “seta”, porque tinha que ter direção e intensidade. Esta visão geométrica é primitiva e tem que ser generalizada para ser melhor aplicada em distintas situações. Como sempre, é um processo algébrico, ou formal que produz a generalização adequada.

Os passos desta generalização seguem uma análise do conceito que se deseja generali- zar. Com vetores, queriam os f́ısicos, estender o conceito de número. Os números eram pobres, representam apenas a intensidade, era preciso associar-lhe direção e sentido. Os tres conceitos se encontram sintetizados, geometricamente, num “segmento de reta orientado”, que tem módulo, direção e sentido. Entretanto os dois últimos conceitos se confundem uma vez que não é posśıvel falar de sentido sem direção. De uma certa forma se pode dizer que existem apenas dois novos conceitos num “vetor”: intensidade (ou módulo) e ângulo, desde que se tenha estabelecido um padrão adequado para medição de ângulos. Mas padrão para medir também é necessário quando se fala em intensidade. A representação geométrica dos vetores conduziu naturalmente ao conceito geométrico de soma destes objetos: a regra do pa- ralelograma, (fig. 1.1). As outras “coordenadas” contidas no conceito de vetor: intensidade, ângulo, direção, sentido, que de alguma forma se sobrepõem, todas surgiram da concepção geométrica.

Os conceitos de ângulo, comprimento ou módulo, ficam todos ge-neralizados pelo conceito de produto escalar. Em Geometria Anaĺıtica se define o produto escalar de dois vetores, mas é na Álgebra Linear que se estende convenientemente o conceito de número incluindo os vetores.

Hoje encontramos a palavra vetor utilizada em computação ou mesmo em economia ou planejamento e a ideia subjacente é a mesma. No “vetor” que aparece em computação não tem sentido falar em módulo na verdade a palavra certa seria matriz que generaliza a ideia de vetor: um objeto multi-numérico, ou número generalizado como algumas vezes as estaremos chamando aqui para enfatizar.

13

14 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Regra do Paralelograma

soma de dois vetores

Figura 1.1: Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma.

Uma outra invenção da Humanidade foi o número complexo, que é um tipo de vetor e surgiu de forma independente para resolver questões algébricas, como é o caso da raiz quadrado de −1. Por sua origem algébrica, os números complexos tinham uma capacidade operatória completa: soma, multiplicação, divisão e subtração. Nossos antepassados quase que reconheciam neles autênticos números, mas deixaram registrada a desconfiança de que havia alguma coisa errada no nome: números complexos. Em seguida se descobriu que os números complexos eram uma espécie de números geométricos com uma representação ve- torial de modo que o conjunto, C, dos números complexos, era plano, generalizando a reta R que representava os números reais. Nos séculos 19 e 20 se multiplicaram as tentativas de construções de números geométricos de dimensão maior do que 2, sobre R. Algumas dessas construções tiveram sucesso, os quaternions são um desses exemplos que têm uma álgebra parecida com a dos números complexos. Na atual estrutura da Matemática, os vetores são objeto de estudo de uma disciplina chamada Álgebra Linear, que é um “departamento” da Álgebra.

Neste primeiro caṕıtulo faremos uma introdução sistemática, mas resumida, da álgebra linear que será necessária para estudar Cálculo Multivariado ao mesmo tempo em que iremos desenvolvendo os conceitos do Cálculo. Vamos descrever o cenário em que se vai desenvolver a ação. A figura (fig. 1.2) pretende ilustrar isto, num ponto P do domı́nio há várias direções sobre as quais podemos estudar a taxa de variação de uma função

W f

−→ R,

sugerindo, então, que a derivada, que guarda o coeficiente angular instantâneo de uma função,

tem que ser considerado em várias posśıveis direções.

1.1 Operações com vetores

A regra do paralelograma, (fig. 1.1), contém os elementos de semelhança de triângulos necessários para que se transporte sentido e intensidade, contidos no objeto geométrico vetor, de modo que possamos superpô-los geométricamente. Ao mesmo tempo ela contém, dentro da própria semelhança de triângulo, os elementos algébricos da definição:

u = (a, b) ; v = (x, y) ⇒ u+ v = (a+ x, b+ y). (1.1)

1.1. OPERAÇOES COM VETORES 15

P

R

W

f

Figura 1.2: No domı́nio de W f

−→ R em volta de um ponto P ∈ W, há muitas direções para escolher e estudar a variação.

Estude a (fig. 1.1) e procure encontrar nela os elementos da equação (equação,1.1).

Observação 1 Dimensão finita Na prática da Álgebra Linear de dimensão finita um jogo de palavras guarda

esta regra operatória: se somam as coordenadas de mesma ordem, a primeira com a primeira, e a segunda com a segunda para se obter o vetor resultante.

Os espaços de dimensão finita se caracterizam pelo fato de que todos os seus elementos têm uma mesma quantidade de coordenadas. Assim o R3 se carac- teriza por objetos que tem tres coordenadas, tres números reais, é um espaço vetorial de dimensão tres.

A soma de vetores e o produto de vetores por escalares, têm as propriedades usuais dos números.

Definição 1 Espaço vetorial. Se designarmos por V um conjunto no qual se encontra definida uma operação

de adição comutativa,

V x V → V ; (x, y) 7→ x+ y

e tal que o corpo dos números reais aja sobre V

R → (V 7→ V ) ;R ∋ λ → (x 7→ λx ∈ V )

distributivamente e associativamente, isto é tal que

1. a comutatividade: u+ v = v + u vale

2. a associatividade: (u + v) + w = u+ (v + w) vale

16 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

3. exista um elemento neutro relativamente àsoma: 0 + u = u

4. a distributividade do produto relativamente à soma, vale:

(a) àesquerda (∀λ ∈ R)(∀u, v ∈ V ) ; λ(u + v) = λu+ λv (b) e àdireita (∀λ, α ∈ R)(∀u ∈ V )(λ + α)u = λu+ αu

5. O elemento neutro da adição de R leve, pela multiplicação, todo vetor no zero: 0~x = ~0.

6. O elemento neutro da multiplicação de R leve todo vetor nele mesmo: 1u = u.

Então diremos que V é um espaço vetorial real.

Observação 2 Escalares e vetores. A propriedade distributiva salienta a existência de dois tipos de dados envolvidos nas

operações com vetores: escalares e vetores. O corpo dos números reais, R, age sobre o espaço vetorial V :

R −→ (R3 → R3)

de modo que o resultado desta ação volta a ser um vetor. Chamamos os números reais de escalares. Em particular a ação do zero: 0 · u = 0.

Consulte um livro de Álgebra Linear para uma descrição mais completa da estrutura dos espaços vetoriais. Mas, intuitivamente, vetores são objetos que contém informação numérica múltipla, que podem ser somados e multiplicados escalarmente por números. De alguma forma os vetores podem ser vistos como uma generalização dos números, eles carregam informações multi-numéricas.

1.2 Exemplos de espaços vetoriais

Vamos ver que há objetos bem diferentes formando espaços vetoriais, conjuntos de funções, conjuntos de polinômios, matrizes de números. O nosso objetivo consiste em salientar que espaço vetorial é uma estrutura e quando uma coleção de objetos semelhantes entre si tem as propriedades que listamos acima, temos um espaç o vetorial. O que pudermos fazer com um espaço vetorial, também poderemos fazer com outro: generalização. Este livro é um livro de Cálculo em que vamos generalizar as técnicas do Cálculo Diferencial e Integral univariado para os vetores, em particular para os elementos do R3, mas daremos aqui e aĺı algumas fugidelas mostrando que os mesmos métodos também se aplicam a vetores de natureza mais geral.

Exemplo 1 Polinômios de mesmo grau. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n é um espaço vetorial de dimensão

n+1 porque precisamos de n+1 informações, coordenadas, para escrever os elementos deste espaço.

A soma se faz coordenada a coordenada, sem alterar o grau, se pode multiplicar um polinômio do grau n por um escalar resultando num novo polinômio do mesmo grau. Apenas o zero tem que ser considerado um polinômio de grau qualquer para que as coisas fiquem organizadas. Ver Taylor, polinômio

Exemplo 2 Espaço vetorial de funções cont́ınuas. Os polinômios as vezes podem ser vistos como funções, então as funções formam um caso

mais amplo de espaço de vetores.

1.2. EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 17

As funções, pelo menos numa primeira aproximação, são objetos definidos em pontos de um determinado conjunto chamado domı́nio, aos quais se associam valores que se encontram no conjunto dos valores.

O domı́nio funciona como um conjunto de ı́ndices e podemos ver assim que R3 nada mais é do que o conjunto de todas as funções reais definidas no domı́nio {1, 2, 3} se podendo entender a notação xi como x(i), o valor de x no ponto i.

Esta ideia se pode generalizar para o conjunto de ı́ndices [a, b], um intervalo da reta. No Cálculo univariado se definem as funções cont́ınuas e se mostra que soma de funções cont́ınuas é uma função cont́ınua, leia-se: soma de vetores é um vetor.

Se chamarmos V = C([a, b],R) ao espaço vetorial de todas as funções cont́ınuas definidas no intervalo [a, b] e tomando valores em R, podemos verificar que C([a, b],R) tem todas as propriedades (prop. 4), página 16, sendo um espaço vetorial sobre o corpo R.

A dimensão deste espaço pode ser rapidamente discutida. Veja que, no caso do R3, o conjunto dos ı́ndices, é o domı́nio em que se encontram definidas as funções que formam este espaç o, que justificamos ser um espaço de dimensão 3. Agora estamos discutindo funções cujo domı́nio, leia conjunto dos ı́ndices, é o intervalo [a, b], que tem uma “quantidade” de elementos não finita1. Assim, apenas comparando os conjuntos de ı́ndices, concluimos que as funções cont́ınuas, definidas no intervalo [a, b] tem uma “quantidade” não finita de informações fazendo do espaço C([a, b],R) um espaço vetorial de dimensão não finita.

Os espaços de polinômios também podem nos conduzir rapidamente àcompreensão de que existem espaços de dimensão não finita. Como um polinômio de grau n é, intuitivamente, um vetor de dimensão n+1, porque precisamos de n+1 informações para escrevê-los, então vemos que existem espaços de dimensão finita, n, arbitrários contidos no espaço de todos os polinômios, R[x], que assim não pode ser um espaço de dimensão finita.

Mas a natureza dos dois epaços, C([a, b],R) ou R[x] é distinta, como também é distinta a natureza da “não finitude” de suas dimensões. Estes fatos vão nos levar a discutir no caṕıtulo 2 os problemas de aproximação.

Observação 3 Aproximação, finitude, cardinalidade. Problemas: Como aproximar, com um número finito de informações, um objeto que

contenha uma quantidade não finita de informações ? Existe alguma coisa não finita ànossa volta?

Estes problemas se encontram no centro da investigação tecnológica dos nossos dias uma vez que as informações que temos guardar ou transmitir são funções, como a quantidade de energia contida num fenômeno, voz, figura, etc...

Por outro lado, os instrumentos que temos para medir devem transformar estes fenômenos em uma quantidade finita de informações, digitalizá-las, para que possamos guardá-las ou trnsmit́ı-las.

Outra questão que fica para ser aprofundada é esta sobre a “quantidade” de elementos não finita. Esta questão se constitue de uma teoria chamada cardinalidade.

Além de somar vetores, resultando n’outro vetor, e multiplicar vetores por escalares, resultando ainda n’outro vetor, precisamos do produto escalar de dois vetores:

Definição 2 Produto Escalar.

u = (x1, · · · , xn) v = (y1, · · · , yn) (1.2)

< u, v >= n ∑

i=1

xiyi = |u| · |v| cos(θ) (1.3)

1Não se pode usar esta linguagem, “quantidade”, neste conceito, sem incorrer em con- tradições de natureza lógica.

18 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

Vamos sintetizar o núcleo da idéia, o método formal da álgebra entra em cena: na expressão acima temos um śımbolo que representa o produto escalar, cuja definição se encontra à direita e tem propriedades que podemos facilmente2

deduzir:

Teorema 1 Propriedades do produto escalar em R3.

(1) < u, v >=< v, u > (1.4)

(2) < u, λv1 + βv2 >= λ < u, v1 > +β < u, v2 > (1.5)

Estas duas propriedades caracterizam<,> como uma forma (transformação) bilinear que chamaremos de produto escalar.

Exerćıcios 1 1. Faças contas e mostre que se

< u, v >=

n ∑

i=1

xiyi

então, < u, v >=< v, u > .

2. Mostre no R2 que se u, v forem dois vetores unitários, então (veja que suas coordenadas podem ser escritas usando sen, cos),

< u, v >= cosα cosβ + sinα sinβ

e deduza dáı que

< u.v >= cos θ ; θ = α− β é o ângulo entre os dois vetores.

3. Generalize, se u, v não forem unitários, então eles são multiplos de vetores unitários pelos escalares |u|, |v| e conclua que

< u, v >= |u||v| cos θ

4. definição “abstrata” de ângulo Mostre que a partir da definição de um pro- duto escalar num espaço vetorial, podemos definir o ângulo entre dois ve- tores dados, (solução mais adiante no texto).

Quando um espaço vetorial tiver um produto escalar diremos que é um espaço euclidiano.

Observação 4 A estrutura euclidiana. Se identificarmos alguma função em outro espaço vetorial tendo as mesmas propriedades

do produto escalar, então descobrimos um novo espaço euclidiano e suas propriedades são muito parecidas, ou possivelmente as mesmas, do R3.

É desta generalização que falavamos: o estudo acurado de um determinado exemplo nos permite uma estensão de suas propriedades a uma famı́lia de objetos semelhantes a ele. Ao

2Não permita que o autor o intimide, pergunte se não estiver claro... ou se cale para sempre.

1.2. EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 19

mesmo tempo isto se constitue de um método expositivo que adotaremos que vai do particular para o geral: a análise dos exemplos permite sua generalização e uma classificação adequada cria uma categoria de objetos aos quais a mesma análise se aplica.

Vamos aplicar tudo que estudarmos sobre o R3 às séries de Fourier, mais adiante, mas o espaço onde estaremos trabalhando terá como vetores, funções. Veja o exemplo logo a seguir em que estamos nos exercitando no que será necessário mais a frente.

Chamamos sua atenção para a ambigüidade da definição de produto escalar, (def. 2), na página 17, usando soma e também o produto de módulos. Apenas uma deveria ter sido apresentada como definição, a outra sendo um teorema. Os exerćıcios tentam sanar esta ambigüidade, resolva o exerćıcio e escolha quem é a definição e quem éo teorema. Veja assim outro fato que passa desapercebido na construção da Matemática, que nem tudo é absoluto, muitas vezes você pode escolher o que é definição ou teorema. Escolha qual é o seu teorema.

O produto escalar é t́ıpico dos espaços vetoriais euclidianos, e há espaços em que não se pode definir um produto escalar coerente com a estrutura vetorial, nestes espaços se perde o conceito de ângulo. Neste livro trataremos apenas de espaços euclidianos.

A parte final da definição (def. 2) é de “natureza” geométrica”, pode ser utilizada para definir ângulo quando a geometria usual não der mais pé:

Definição 3 Ângulo. Dados dois vetores u, v o ângulo entre eles é o número:

ângulo(u, v) = ar cos( < u, v >

|u| · |v| )

O exemplo seguinte ilustra o método de generalização.

Exemplo 3 Produto escalar no espaço C([0, 2π]). O conjunto de funções cont́ınuas C([0, 2π]) é um espaço vetorial. Podemos somar funções,

de forma semelhante como somamos os números, ou os vetores. Podemos multiplicar funções por escalares, como fazemos fazemos com os vetores. Falta-nos, entretanto a sensação gemétrica de “seta” quando observamos uma função, e é normal, porque as funções são vetores de uma “dimensão” muito superior a segunda ou terceira dimensões. Na verdade uma função de dimensão “baixa” é simplesmente um vetor...

No espaço C([0, 2π]) podemos3 definir o produto escalar, <,>, da seguinte forma:

f, g ∈ C([0, 2π]) (1.6)

< f, g >=

Z 2π

0 f(t)g(t)dt (1.7)

ângulo(f, g) = ar cos( < f, g >

|f | · |g| ). (1.8)

É fácil mostrar que <,> tem as mesmas propriedades que o outro definido anteriormente, sendo assim uma forma bilinear, um produto escalar. Depois veremos que este produto escalar no espaço de funções usualmente vem multiplicado por uma constante adequada a um certo objetivo. Veja a definição dos coeficientes de Fourier.

Observe ainda que o ângulo de uma função com ela mesma é zero, como seria de espe- rar. É um pouquinho mais dif́ıcil ver a conexão entre duas funções ortogonais entre si, o que acontece quando o produto escalar entre elas se anula. Mas existe um significado que genera- liza de forma natural a definição geométrica de vetores ortogonais: os vetores (0,−3), (1, 0) porque onde um se anula o outro não se anula, mas isto é uma situação bem particular. Nos exerćıcios você será convidado a demonstrar um caso que diretamente generaliza este.

3O uso do número π tem como única função assustar o leitor... para não ficar assustado, troque-o e veja que tudo funciona igual.

20 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

Exerćıcio 1 Vetores.

1. equação vetorial. Se A,B ∈ R3 forem dois vetores dados, resolva, explici- tando todas as propriedades usadas, a equação

A+ 3X = B

2. equação vetorial. Se duas funções forem dadas:

f, g ∈ C([a, b] x [c, d],R)

e se for dado α ∈ R, resolva a equação:

f + αX = g.

Em particular, considere f(x, y) = exp(−x2 − y2), g(x, y) = 1, α = 1, e encontre X.

3. ortogonalidade.

(a) Encontre o conjunto de todos os vetores ortogonais ao vetor (3, 4) ∈ R2

(b) Encontre o conjunto de todos os vetores ortogonais ao vetor (3, 4) ∈ R3

(c) Verifique que as funções:

f(x) = x ⇐ x ∈ [0, π] ; f(x) = 0 ⇐ x /∈ [0, π] g(x) = 0 ⇐ x ∈ [0, π] ; f(x) = x− π ⇐ x /∈ [0, π]

são ortogonais em C([0, 2π],R) com o produto escalar da integral. Verifique também que as funções seno e coseno são ortogonais no mesmo espaço. Calcule o módulo de todas as funções usando a de- finição:

|f | = √

< f, f >.

(d) Encontre todos os vetores ortogonais ao vetor

p(x) = 3 + 4x+ x2

no espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2, (qual é o produto escalar que você pretende utilizar ?)

(e) O polinômio p(x) = 3+4x+x2 é um elemento do espaç o C([a, b] x [c, d],R). Neste espaço o produto escalar canônico, é o integral. Encontre al- guma função que seja ortogonal a p relativamente ao produto escalar integral.

1.2. EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 21

(f) Veja num livro de F́ısica a definição de trabalho e construa um exem- plo de duas funções cujo trabalho de uma, relativamente ao da outra, seja nulo: ortogonais. Observe que você estará usando o produto escalar integral.

(g) Veja num livro de Estat́ıstica o conceito de probabilidade condicional e construa um exemplo de eventos independentes, como ortogonais..

(h) Use o produto escalar integral, (eq. 1.8), para encontrar os vetores perpendiculares ao vetor f(x) = sen(x) em C([−π, pi],R). Verifique em particular se algum dos vetores

g(x) = x2 ; h(x) = x ; p(x) = cos(x) ; r(x) = x3

é perpendicular a f. Interprete o resultado considerando que a área sob a função, sua integral, representa a quantidade de energia que ela encerra.

(i) A integral de uma função pode ser interpretada como a quantidade de informação que ela contém. Como poderiamos interpretar duas funções ortogonais neste sentido. Traduza este exemplo para o caso de vetores do R3.

(j) funções multivariadas. Verifique as propriedades do espaço vetorial C([a, b] x [c, d],R).

4. Os f́ısicos gostam de ver o mundo como um espaço de dimensão 4, o espaço-tempo, com tres coordenadas para posição no espaço e uma coor- denada para o tempo, (x, y, z, t). Uma part́ıcula em movimento “traç a” uma curva neste espaço. Poderia uma tal curva ser um ćırculo? uma curva fechada? Trace a curva, no plano mesmo, de duas particulas que colidam e se “destruam” mutuamente.

5. Resolva as seguinte equações indicando cuidadosamente quais foram as regras utilizadas de passagem para cada nova linha da solução:

(a) (2, 0, 3) +X = (0, 2, 3)

(b) 2 + i+X = 3− i+ 2X (c) (1,−1, 3) + 4X = (2,−1, 0) (d)

2X + 3Y = (1, 1, 0) (1.9)

X − 2Y = (1, 1, 1) (1.10) (1.11)

6. O centro de gravidade, baricentro, de um triângulo é a média aritmética dos seus vértices, considerados como vetores. Desenhe um triângulo e calcule o seu baricentro.

22 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

7. baricentro Um triângulo pode ser feito de material não homogêneo, então seus vértices podem ter pesos diferentes. Considere o triângulo PQO cujos vértices pesam respectivamente 4,5,7. Calcule o baricentro deste triângulo, depois de ter escolhido as coordenadas de cada um dos seus pontos. Cal- cule também o baricentro considerando os vértices todos de mesmo peso e verifique qual a diferença nos dois casos.

8. Verifique se os pontos (1, 2,−4, 1), (2, 0, 5, 2), (0, 4, 2,−3) formam um triângulo. Calcule o baricentro destes pontos considerados todos de mesmo peso.

9. Calcule a distância entre a reta determinada pelos pontos (1, 2,−3), (3, 2, 1) e o ponto (4, 3, 2).

10. Encontre um vetor perpendicular a reta determinada pelos pontos (1, 2,−3), (3, 2, 1). Calcule a distância desta reta àorigem.

11. Tome como definição: um plano é o lugar geométrico dos pontos do espaço que determinam vetores perpendiculares a um vetor dado (A,B,C). Cal- cule uma equação para este plano e justifique porque há mais de um plano satisfazendo esta definição. Corrija então a definição inicial.

12. Apresente exemplos que justifiquem a afirmação: a solução de um sis- tema linear é uma translação da solução do sistema homogêneo associado passando por uma solução particular. Faça-o inicialmente no plano, mas generalize depois.

13. Mostre que | n ∑

k=1

si| ≤ n ∑

k=1

|si| sejam si números ou vetores.

14. Descreva, usando vetores, as duas desigualdades triângulares:

(a) A soma de dois lados de um triângulo é maior que o terceiro.

(b) Num triângulo, qualquer lado é maior do que a diferença dos outros dois.

Demonstre estas desigualdade e depois as escreva como uma única sequência de duas desigualdades.

15. desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz Considere dois vetores u, v que então determinam um plano, mostre que < u, v >= leq|u||v|cos(α) ≤ |u||v| em que α é ângulo entre os dois vetores.

16. Generalize a desigualdade acima provando que

n ∑

k=1

ukvk ≤ |u||v| ; u, v ∈ Rn

17. Mostre que o conjunto s~u + t~v ; s, t ≥ 0 ; s+ t = 1 é o segmento de reta suporte do vetor diferença ~u− ~v.

1.2. EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 23

18. Trace os gráficos das funções

{

x = f(t) y = g(t)

com

f(t) = t; g(t) = t2 f(t) = t2; g(t) = t3 indique o sentido do percurso de cada curva considerando que t cresce de negativo a positivo.

19. A que tipo de objeto correspondem as equações paramétricas 

x = f(s, t) y = g(s, t) z = h(x, t)

um plano, uma reta? qual é a dimensão deste objeto?

Definimos uma operação entre os vetores do espaço R3, chamada produto escalar, e queremos vê-la de uma outra forma. Veja que lhe demos o nome de produto porque é semelhante ao produto entre números. De fato é esta seme- lhança que interessa, e o produto escalar define uma forma de multiplicar vetores e outras entidades parecidas, as matrizes, objeto do nosso próximo caṕıtulo.

Exerćıcios 2 Exerćıcios de revisão

1. Propriedades da imagem de uma função Se X f−→ Y for uma função qual-

quer, e A,B ⊆ X verifique que

(a) f(∅) = ∅; f(X) ⊆ Y ; (b) Se A ⊂ B então f(A) ⊂ f(B); (c) f(

i Ai) = ⋃

i f(Ai);

(d) f( ⋂

i Ai) ⊆ ⋂

i f(Ai).

Verifique também que, para imagem inversa valem

(a) f−1(∅) = ∅; f−1(Y ) = X ; (b) Se A ⊂ B então f−1(A) ⊂ f−1(B); (c) f−1(

iAi) = ⋃

i f −1(Ai);

(d) f−1( ⋂

iAi) = ⋂

i f −1(Ai).

(e) f−1(Ac) = [f−1(A)]c

em que A,B ⊆ Y.

2. Sendo A,B dois conjuntos tais que A ⊂ B calcule A ∪B ; A ∩B.

3. Mostre que a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto con- vexo, mas que a união de dois convexos não precisa ser um conjunto con- vexo.

4. Descreva o domı́nio e o conjunto de valores de cada uma das funções definidas abaixo:

f(x) = 11+x2 f(x) = 2x

1+x2 f(x, y) = |x| |y|

f(x, y) = 4−x−y 2

1+x2 f(x) = 1

y2−x2 f(x, y) = x−y

x2+y2

24 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

5. intuição gráfico de curva Sendo γ uma curva4 do plano, R2, e

R 2 f→ R3

dê exemplos (gráficos e algébricos) ilustrando

• foγ pode ser um ponto (um ponto é uma curva diferenciável); • foγ pode ser uma curva diverenciável (que hipótese é necessária ?); • como seria o graf(foγ), o gráfico de foγ, se γ for uma curva fe- chada.

6. Considere num cubo o vértice P0 e os três vértices que lhe são adjacentes P1, P2, P3 .

Considere a aplicação F que roda o cubo levando

P1 7→ P2 ; P2 7→ P3 ;P3 7→ P1

(a) Dê uma definição geométrica para F (descrição geométrica);

(b) Encontre a matriz de F num sistema de coordenadas adequado (em que ela fique mais simples)

(c) Mostre que F 3 = FoFoF é a identidade e portanto que F−1 = FoF .

Métodos numéricos e equações diferenciais ordinárias Lista 01

Derivada, plano tangente, aprox. linear tarcisio@member.ams.org T. Praciano-Pereira Dep. de Matemática

alun@: Univ. Estadual Vale do Acaraú 17 de junho de 2007

Por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na correção.

4curva é uma função de classe C1 com derivada diferente de zero definida em um intervalo e tomando valores valores em Rn

1.2. EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 25

Exerćıcios 3 Derivada, plano tangente, aprox. linear objetivo: Conduzir @ alun@ a dominar gradientes, jacobianas, planos tangentes e mudanças de variáveis, campo vetorial, gráficos com apoio computacional.

palavras chave: jacobiana, gradiente, derivadas parciais, variedades linea- res tangentes, produto escalar, campo vetorial.

1. Verifique que a equação de uma reta que passa na origem, no plano, se expressa como o produto escalar de um vetor (A,B) por um vetor posição (x, y) arbitrário da reta. Faça um gráfico e interprete geometricamente o significado do vetor (A,B).

2. Ganhe agilidade, escolha 1005 vetores no plano e escreva as equações de retas perpendiculares a estes vetores expressando-as sempre no formato indicado a seguir. Em cada caso escolha um ponto no plano por onde a reta passa (observe a segunda equação abaixo)

• y = f(x) + c = mx+ c • y = b+m(x− a)

Teste sua solução usando gnuplot com a equação no formato da primeira equação acima.

3. Se uma reta não passar pela origem, ainda assim ela é paralela a uma outra reta que passa pela origem (supondo válido o 5opostulado...). Deduza que a equação geral da reta no plano é da forma

< (A,B), (x, y) >= −C ≡ Ax +By + C = 0

4. Qual é o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) do espaço R3 tal que < (A,B,C), (x, y, z) >= 0? Deduza disto qual é o lugar geométrico dos pon- tos do (x, y, z) do R3 tal que

Ax+By + Cz +D = 0.

5. Sabemos que uma equação S(x, y, z) = 0 não se altera se for multiplicada por um número diferente de zero. Multiplique

Ax+By + Cz +D = 0.

por um número conveniente de modo que o vetor perpendicular ao plano na equação seja unitário. Comparando com a equação do plano paralelo que passa na origem, deduza qual a distâcia do plano

Ax+By + Cz +D = 0.

para a origem. Escreva suas conclusões no formato “Teorema e demons- tração”.

5ao sentir que já domina o assunto pode parar antes da centésima

26 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

6. As questões anteriores mostram que não podemos ter uma forma simples para a equação da reta em dimensão maior que 2. A sáıda para sim- plificar as equações de variedades de dimensão 1 no espaço de dimensão maior ou igual a 3 consiste em usar equações paramé tricas. Encontre as equações paramétricas da reta paralela ao vetor (1,−1, 3) que passe pelo ponto (2, 2, 2).

7. Escolha 1006 vetores no espaço junto com 100 outras condições e escreva, em cada caso, as equações paramétricas das retas determinadas por estes 100 pares de condições.

8. Escreva a equação geral (as equações parametricas gerais) de uma reta, especifique os dados iniciais corretamente. Redija no formato “Teorema e demonstração”.

9. As equações xk = fk(t) ; k ∈ {1, · · · , n} ; t ∈ [a, b] (1.12)

em que fk é uma função diferenciável para cada valor do ı́ndice k, são as equações paramétricas de uma curva no Rn, parametrizadas no intervalo [a, b]. Calcule a expressão do vetor tangente à esta curva no ponto

ak = fk(t0) ; k ∈ {1, · · · , n} (1.13)

dado t0 ∈ [a, b].

10. sentido positivo é o anti-horário Encontre equações paramétricas do ćırculo trigonômetrico, e derivando mostre que o sentido natural de percurso é o anti-horário.

11. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função

z = f(x, y) = x2 + 3xy + y3 (1.14)

no ponto (2, 3, 49)

12. Escolha 100 funções, para cada uma delas calcule um ponto no gráfico e determine a equação do plano tangente em cada caso, mas pode parar antes da centésima se tiver certeza de que entendeu todo o processo.

13. Considere a curva plana

γ = (x(t), y(t)) = (3t, 4− 2t) ; t ∈ [−3, 3] (1.15)

e a superf́ıcie graf(f) ; f(x, y) = x2 + y2

Encontre o vetor tangente à imagem de γ sobre a superf́ıcie correspondente ao valor t0 = 2 ∈ [−3, 3] do parâmetro.

6depois que tiver certeza que entendeu pode para antes da centésima, mas não se engane.

1.2. EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS 27

14. Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule as equações paramêtricas da imagem da curva

γ = (x(t), y(t)) = (3t, 4− 2t) ; t ∈ [−3, 3] (1.16)

sobre a superf́ıcie graf(f)

a)f(x, y) = x2 − 2xy + y3; b)f(x, y) = x2 − y2 (1.17)

15. campo vetorial tangente a uma curva Considere a curva plana

γ = (x(t), y(t)) = (tcos(t), tsen(t)) ; t ∈ [0, 2π] (1.18)

e a superf́ıcie graf(f) ; f(x, y) = x2 + y2

Encontre os vetores tangentes à imagem desta curva na superf́ıcie graf(f) com f(x, y) = x2 + y2 para os valores do parâmetro iniciando em t0 = 0 até tn = 2π com passo 0.2 e obtenha o gráfico com gnuplot deste campo vetorial. Objetivo: ver a sugestão da imagem da curva na superf́ıcie que se encontra na figura (1.3) página 27, mas, feito com gnuplot, você terá

-6 -4

-2 0

2 4

6

-4

-3

-2

-1

0

1

0

5

10

15

20

25

30

35

f(x,y)

Figura 1.3: Campo vetorial - aproximação de curva

a chance de rodar o gráfico usando o ratinho.

28 CAPITULO 1. NUMEROS E GEOMETRIA NO R

Caṕıtulo 2

Derivadas de funções

bivariadas

2.1 A derivada

Mais geral que os vetores é um objeto chamado matriz, porque os vetores são também matrizes. Vetores são matrizes de um tipo particular, tem uma única linha, ou uma única coluna.

Exemplo 4 Uma matriz 3 x 4. Considere o esquema formado por 12 números dispostos da maneira regular

que abaixo se vê. 

1 2 3 −1 −1 1 0 2 2 −1 3 2

 (2.1)

Podemos áı ver quatro vetores-coluna cada um com três coordenadas ou pode- mos ver três vetores-linha cada um com quatro coordenadas. As duas maneiras de ver são válidas. As matrizes generalizam os números, enquanto que estes contém uma única informação de uma medida feita, agora as matrizes contém várias informações oriundas de distintas medições feitas que podem até ser de naturezas diferentes entre si. Por exemplo, uma matriz pode conter taxas de variação de preços, numa linha e na seguinte as taxas de variação de demanda por unidade dos produtos de uma empresa.

As matrizes se aplicam hoje em uma incontável quantidade de situações e algumas vezes não representam números, mas informações estratificadas. É com frequência o caso, quando se encontra o termo no contexto de processamento de dados. Neste livro as matrizes serão sempre uma generalização de números, quase sempre serão taxas múltiplas de variaç~ao como nos próximos exem- plos.

Exemplo 5 Equação da reta e equação plano.

29

30 CAPITULO 2. DERIVADAS DE FUNÇOES BIVARIADAS

Vamos evidenciar as semelhanças entre as equações da reta e do plano. Uma expressão como

y = ax+ b = f(x), (2.2)

no plano, representa uma reta, porque a taxa de variação de y em relação a x é constante. Quer dizer, se

x 7→ x+∆x (2.3) então

y(x) 7→ y(x+∆x) (2.4) de tal modo que

y(x+∆x)− y(x) = ∆y = a∆x. (2.5) Uma outra forma de repetir o que foi dito acima é: “se construirmos uma

progressão aritmética de razão ∆x com a variável x, produziremos a progressão aritmética de razão a∆x com a variável y”.

A consequência disto é que o gráfico de f contém qualquer progressão ar- timética do tipo mencionado acima, é uma reta. E, reciprocamente, como numa reta podemos considerar qualquer progressão aritmética, todas com a mesma raão (o coeficiente angular da reta), então a equação de qualquer reta é da forma (2)

Podemos sempre escrever a equação (2) na forma

f(x) = a(x− x0) + y0 (2.6)

como se seguintes cálculos mostram

f(x) = y = ax+ b (2.7)

f(x) = y = a(x− x0) + ax0 + b = (2.8) f(x) = y = a(x− x0) + y0 ; y0 = ax0 + b (2.9)

f(x) = a(x− x0) + y0 (2.10) f(x0) = y0 (2.11)

evidenciando que é a reta que passa no ponto (x0, y0) e que tem coeficiente angular a.

O número a é a derivada constante de f :

a = f ′(x). (2.12)

Se considerarmos, agora, a expressão

z = g(x, y) = ax+ by + c, (2.13)

ela irá representar também uma figura de tipo linear, porque, se g for associada a progressões aritméticas das variáveis x ou y, separadamente ou em conjunto, correspondem progressões aritméticas da variável z com razões obtidas por mul- tiplicação pelos coeficientes a, b :

2.1. A DERIVADA 31

∆g = g(x+∆x, y +∆y)− g(x, y) = (2.14) = a(x+∆x) + b(y +∆y) + c− (ax+ by + c) = (2.15)

= a(x+∆x) − ax+ b(y +∆y)− by = (2.16) = a∆x+ b∆y (2.17)

∆g = a∆x+ b∆y (2.18)

Podemos escrever de uma forma bem simples este cálculos generalizando imediatamente os cálculos que fizemos no caso da equação da reta:

g(x, y) = z = (

a b )

(

x y

)

+ c, (2.19)

∆g = a∆x+ b∆y = (

a b )

(

∆x ∆y

)

(2.20)

com um produto de matrizes, que é uma nova forma de multiplicar. Se abs- trairmos a forma particular do coeficiente multiplicativo e da variável, podemos dizer que, designando o vetor

X =

(

x y

)

(2.21)

z = g(x, y) = ax+ by + c (2.22)

g(X) = AX + c; (2.23) A =

(

a b )

(2.24)

∆g = (

a b )

∆X (2.25)

z = g(X) = A(X −X0) +AX0 + c (2.26) z = g(X) = A(X −X0) + z0; z0 = AX0 + c (2.27)

z = g(x, y) = A (

x− x0 y − y0

)

+A (

x0 y0

)

+ z0 (2.28)

é a forma comum que têm as duas expressões, nos dois exemplos, (caso univa- riado e caso bivariado).

A equação (28) é a equação do plano que passa pelo ponto

(x0, y0, z0) = (X0, z0) ∈ R3 (2.29)

sendo AX0 + c = z0 = g(x0, y0) (2.30)

o valor de g no ponto X0 = (x0, y0). No caso bivariado os coeficientes são multinúmeros, as matrizes. Buscamos com as generalizações operar com conceitos mais complexos com

a mesma formalidade com que operamos com os conceitos mais simples. Esta

32 CAPITULO 2. DERIVADAS DE FUNÇOES BIVARIADAS

forma como conseguimos quebrar a barreira dimensional e falar de fenômenos multidimensionais com a mesma linguagem com que falamos dos fenômenos unidimensionais.

Comparando com o exemplo univariado, vemos sintetizada na matriz os dois coficientes “parciais” relativamente a x ou a y separadamente. Estes coeficientes são caracterizados como ∂g∂x ,

∂g ∂y chamadas derivadas parciais.

A denominação “derivadas parciais” é oriunda dos tempos em que os desco- bridores destes conceitos não conseguiam ver que tinham a derivada de funções multivariadas em suas mãos e criaram uma denominação muito feliz, ainda que escondesse o próprio conceito de derivada que levou um século para ser clara- mente compreendido: as derivadas parciais são os componentes da derivada, que é uma matriz que ficou sendo chamada de jacobiana.

Exemplo 6 Generalização da reta tangente Neste exemplo vou começar relembrando a equação da reta tangente ao

gráfico de uma função diferenciável y = f(x), no ponto (a, f(a)) que você pode ver na figura (2.1) página 32,

xa

(a,f(a))

f

y = f(a) + f’(a)(x − a)

Figura 2.1: A reta tangente ao gráfico de f

Em seguida, por comparação, vou apresentar a equação do plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável z = f(x, y) no ponto (a, b, f(a, b)).

Vou partir da equação da reta que passa pelo ponto

(a, f(a)) (2.31)

sendo tangente ao gráfico de y = f(x) neste ponto. Os cálculos são

2.1. A DERIVADA 33

y = b+m(x− a) (2.32) y = f(a) + f ′(a)(x− a) (2.33)

em (32) temos a equação da reta que passa no ponto (a, b) e tem coeficiente angular m e substituimos esta duas informações para obter a equação (33) que é de uma reta que passa no ponto (a, f(a)) e tem coeficiente angular m = f ′(a).

Esta é a interpretação geométrica da derivada no caso univariado.

Vou fazer esta mesma interpretação geométrica para o caso bivariado, sem apresentar gráfico, mas vou escrever um script com gnuplot que lhe permitirá dar rotações no gráfico, usando o ratinho e ter uma visão, no caso bivariado, semelhante ao da figura (2.1).

A equação de um plano que passa no ponto (a, b, c), é

z − c = A(x− a) +B(y − b) (2.34) z = c+A(x− a) +B(y − b) (2.35)

P (x, y) = c+A(x− a) +B(y − b) ;P (a, b) = c (2.36)

Na equação (36) escrevi a expressão do polinômio do primeiro grau em duas variáveis e você pode ver que P (a, b) = c o que significa que o gráfico deste polinômio passa no ponto (a, b, c). O gráfico de um polinômio do primeiro grau em duas variáveis é um plano.

Se quisermos que este plano seja tangente ao gráfico de uma função dife- renciável z = f(x, y) então vamos impor as condições

• c = f(a, b) para que o plano passe no ponto

(a, b, f(a, b))

• A = ∂f∂x |(a,b) para que o coeficiente angular na direção do eixo OX coincida com derivada parcial de f nesta direção e,

• B = ∂f∂y |(a,b) para que o coeficiente angular na direção do eixo OY coincida com derivada parcial de f nesta direção.

As derivadas parciais de uma função bivariada também são funções bivari- adas e foram calculada no ponto (a, b) é isto que indica a notação

∂f

∂x |(a,b),

∂f

∂y |(a,b)

Uma outra forma de chegar nesta expressão consiste na derivação ı́mplicita de z = f(x, y)

34 CAPITULO 2. DERIVADAS DE FUNÇOES BIVARIADAS

z = f(x, y) (2.37)

dz = ∂f∂xdx+ ∂f ∂y dy (2.38)

dz := z − c; dx := x− a; dy := y − b (2.39)

na equação (39) fizemos a substituição das variáveis dx, dy, dz pelas expressões (x − a), (y − b), (z − c).

Observe que usamos o śımbolo “:=” para indicar foi uma substituição em que estamos usando a expressão diferencial como um modelo da expressão li- near (equação do plano tangente) que aproxima localmente a função, se ela for diferenciável.

Esta é a interpretação geométrica da derivada: a derivada produz uma ex- pressão linear que é tangente ao gráfico.

Posso aqui repetir a comparação com o caso univariado usando a notação de diferencial para obter a expressão da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a, f(a))

y = f(x) (2.40)

dy = f ′(x)dx (2.41)

dx : x− a; dy := y − b (2.42) y − b = f ′(a)(x− a) (2.43)

O diferencial é um modelo para o objeto linear tangente.

Um script com gnuplot

No script a seguir você tem duas equações de funções bivariadas com as correspondentes equações de planos tangentes

• z = f(x, y) = x2 + y2 e o plano tangente no ponto (a, b, f(a, b))

z = q(x, y) = f(a, b) + ∂f

∂x |(a,b)(x − a) +

∂f

∂y |(a,b)(y − b)

• z = g(x, y) = x2 − 3xy + y2 e o plano tangente no ponto (a, b, g(a, b))

z = p(x, y) = (a, b) + ∂g

∂x |(a,b)(x − a) +

∂g

∂y |(a,b)(y − b)

Copie este script para um terminal do gnuplot. O comando pause -2 serve para manter o gráfico que será trocado quando

você der enter.

2.1. A DERIVADA 35

Com ratinho você pode produzir rotações no gráfico e assim ver a figura de distintos ângulos. Você tem assim um pequeno filme para ajudá-lo a entender o significado do plano tangente a uma superf́ıcie.

## a funcao f

f(x,y) = x**2 + y**2

## derivadas parciais

dfx(x,y) = 2*x

dfy(x,y) = 2*y

a = -2

b = 2

## equacao do plano tangente

q(x,y) = f(a,b) + dfx(a,b)*(x - a) + dfy(a,b)*(y - b)

## comando do gnuplot para fazer graficos bivariados

splot f(x,y), q(x,y)

pause -2

a = -5

b = 5

splot f(x,y), q(x,y)

pause -2

b = -5

splot f(x,y), p(x,y)

pause -2

## a funcao g

g(x,y) = x**2 - 3*x*y + y**2

## derivadas parciais

dgx(x,y) = 2*x - 3*y

dgy(x,y) = - 3*x + 2*y

a = -1

b = 1

## equacao do plano tangente

p(x,y) = g(a,b) + dgx(a,b)*(x - a) + dgy(a,b)*(y - b)

## comando do gnuplot para fazer graficos bivariados

splot g(x,y), p(x,y)

pause -2

a = -2

splot g(x,y), p(x,y)

A sequüência de figuras (2.2) página 36, pretende dar-lhe uma visão do plano tangente ao gráfico de

z = f(x, y) = x2 + y2 (2.44)

no ponto (−2, 2, f(−2, 2))mas certamente o script acima deve lhe dar uma visão mais dinâmica lhe permitindo rodar