Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física Geral da Universidade Paulista sobre o estudo do Cálculo de Funções de Várias Variáveis.
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ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - CFVVOC - Ficha 1)

12

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 6)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. O domínio de uma função de duas variáveis do tipo ),( yxfz  é o conjunto de valores ),( yx do espaço real

2R que pode ser testado na função. A imagem da função é o conjunto de valores que a variável dependente z

pode assumir.

Por exemplo, a condição de existência da função de duas variáveis dada por 2xyz  é:

2

2 0

xy

xy



O domínio da função 2xyz  é o conjunto  22 /),( xyRyxD  , esboçado na figura 1.

Figura 1. Representação gráfica do domínio da função 2xyz  .

A imagem da função 2xyz  é o conjunto  0/  zRzI , pois, nesse caso, a expressão dada nos

informa que z só pode resultar em valores positivos.

Com base nas definições acima, assinale a alternativa correta.

a) O domínio da função xy

z

 1

é o conjunto  xyRyxD  /),( 2 .

b) O domínio da função 2

1

xy z

  é o conjunto  22 /),( xyRyxD  .

c) A imagem da função 22 yxz  é o conjunto  0/  zRzI .

d) O domínio da função )ln( 2xyz  é o conjunto  22 /),( xyRyxD  .

e) A imagem da função )ln( 2xyz  é o conjunto  0/  zRzI .

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13

Justificativa.

2. A equação de Clapeyron, também conhecida como equação de estado para um gás ideal ou gás perfeito, é dada

por nRTPV  . Nessa equação, P é a pressão (em Pascal, Pa), V é o volume (em m3), T é a temperatura (em

Kelvin, K) e n é o número de mols do gás ideal. Para as unidades indicadas, a constante universal dos gases, R,

vale 8,31 J/mol.K.

Se mantivermos a quantidade de gás inalterada, o produto do número de mols por R pode ser expresso pela

constante Rnk . . Desse modo, é possível escrever a equação de forma resumida como kTPV  . Nesse caso,

podemos observar que há três variáveis relacionadas entre si (P, V e T) e que uma delas é função das outras duas.

Podemos explicitar P em função de V e de T do seguinte modo:

V

T kP

Observando a função de duas variáveis V

T kP  , assinale a alternativa correta.

a) A pressão é diretamente proporcional ao volume e à temperatura.

b) A pressão é inversamente proporcional ao volume e à temperatura.

c) A pressão é diretamente proporcional à temperatura e inversamente proporcional ao volume.

d) A taxa de variação da pressão em relação à temperatura é V

k

T

P

 , confirmando que a pressão varia com a

temperatura de forma diretamente proporcional ao volume.

e) A taxa de variação da pressão em relação ao volume é Tk V

P .

 , confirmando que a pressão varia com o

volume de forma diretamente proporcional à temperatura.

Justificativa.

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14

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 7)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. Os gráficos das funções de duas variáveispodemser esboçados no sistema cartesiano Oxyz. Por exemplo, a

função 22 yxz  apresenta o comportamento ilustrado na figura 1.

Figura 1. Gráfico da função 22 yxz  . Observe o ponto de mínimo em x=0 e y=0.

A função 22 yxz  apresenta apenas um ponto crítico: o valor mínimo z=0 em x=0 e y=0. Essa função não tem

valor máximo no domínio 2R .

A função 22 yxz  apresenta um ponto crítico em x=0 e y=0. Conforme ilustrado na figura 2, esse é o ponto de

sela da função, que não representa um valor de máximo ou um valor de mínimo da função. No ponto de sela, a

função apresenta comportamento crescente numa direção (x) e decrescente em outra direção (y), não

caracterizando um valor máximo ou mínimo.

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15

Figura 2. Gráfico da função 22 yxz  . Observe o ponto de sela em x=0 e y=0.

Os pontos críticos de uma função, caso existam, estão localizados onde as suas derivadas de primeira ordem são

iguais a zero. Geometricamente, isso significa que o plano tangente ao gráfico da função nesse ponto tem

inclinação igual a zero.

Com base na discussão exposta acima, assinale a alternativa correta.

a) A função 2216 yxz  apresenta valor máximo igual a 4 no ponto x=0 e y=0 e não apresenta valor

mínimo.

b) A função 122  yxz apenas apresenta valor de máximo. Esse valor é igual a 1 e ocorre no ponto x=0 e

y=0.

c) A função 22 yxz  apresenta valor máximo igual a 0.

d) A função 2225 yxz  apresenta valor máximo igual a 5 e valor mínimo igual a zero.

e) A função 22

1

yx z

  apresenta valor máximo igual a 1 no ponto x=0 e y=0 e não apresenta valor mínimo.

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16

Justificativa.

2. Diante do que foi exposto no enunciado da questão anterior, assinale a alternativa correta.

a) A função )( 22 yxez  apresenta o seguinte esboço gráfico:

b) A função )( 22 yxez  apresenta o seguinte esboço gráfico:

c) A função 22

1

yx z

  apresenta o seguinte esboço gráfico:

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17

d) A função 2225 yxz  apresenta o seguinte esboço gráfico:

e) A função 22

1

yx z

  apresenta o seguinte esboço gráfico:

Justificativa.

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18

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 8)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. Imagine que você tenha de confeccionar uma caixa retangular, sem tampa, com 12 m2 de papelão. As medidas

dos lados da caixa são representadas por x, y e z, como mostrado na figura 1.

Figura 1. Esboço de uma caixa, sem tampa, com lados de medidas x, y e z (em metros).

O volume da caixa é dado por xyzV  , mas pode ser expresso apenas em termos de x e de y. Vejamos o porquê

dessa condição.

A área dos quatro lados e do fundo da caixa é 1222  xyyzxz . A variável z pode ser explicitada em termos

de x e y, ou seja, )(2

12

yx

xy z

  . Assim, a função volume V pode ser escrita como

)(2

12 .

yx

xy xyV

  .

Uma vez que escrevemos a função ),( yxVV  , é possível determinar seus valores máximos verificando em que

pontos as derivadas de primeira ordem são iguais a zero. Se necessário, há a possibilidade de testar os valores dos

pontos críticos obtidos, para determinar se são máximos ou mínimos, utilizando-se o teste da derivada segunda.

Fonte: STEWART, J. Cálculo. V. 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.

Quais são as medidas dos lados x, y e z, em metros, para que a caixa tenha volume máximo?

a) Não é possível determinar os valores dos lados, pois a função não aceita as derivadas parciais sugeridas.

b) Os valores dos lados x, y e z são 4 m, 2 m e 0,5 m respectivamente.

c) Os valores dos lados x, y e z são 4 m, 2 m e 2 m respectivamente.

d) Os valores dos lados x, y e z são 2 m, 2 m e 0,5 m respectivamente.

e) Os valores dos lados x, y e z são 2 m, 2 m e 1 m respectivamente.

Justificativa.

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19

2. A família de curvas de nível de uma função ),( yxfz  é dada por uma função do tipo kz  , sendo k uma

constante. Temos, por exemplo, a família de curvas de nível de 22 yxz  é kyx  22 ou  222 kyx  .

A última expressão representa círculos circuncêntricos de raio r igual a k , com centro na origem (0,0). Podemos

escrevê-la de maneira mais detalhada como  222 )0()0( kyx  . A constante k é tal que 0k e, se k cresce, o raio do círculo também é crescente. A tabela 1 mostra alguns valores de r em função de k.

Tabela 1. Variação do tamanho do raio em relação ao valor de k.

k (constante) r (raio)

0 0

1 1

4 2

9 3

16 4

25 5

36 6

A curva de nível também pode ser compreendida como a interseção de um plano paralelo ao plano do domínio com

o gráfico da função ),( yxfz  , na cota ou altura k.

Observando o exposto acima sobre curvas de nível, assinale a alternativa correta.

a) A função 22 yxz  apresenta uma família de curvas de nível dada por 222 )0()0( kyx  , ou seja,

círculos concêntricos de raio r=k.

b) A função 1

x

y z apresenta uma família de curvas de nível representada por )1(  xky , ou seja, elipses

equidistantes da origem.

c) A função 2225 yxz  apresenta uma família de curvas de nível representada por

 222 25)0()0( kyx  , ou seja, círculos concêntricos com raio variando de 0 a 5.

d) A função yx

z

 1

apresenta uma família de curvas de nível dada por elipses equidistantes da origem de k em

relação aos quatro quadrantes do plano xOy .

e) A função 22

1

yx z

  apresenta uma família de curvas de nível dada por

k yx

1 )0()0( 22  , ou seja,

círculos concêntricos de raio k

r 1

 .

Justificativa.

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20

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis -Ficha 9)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. Imagine que a temperatura T da superfície de uma chapa de metal retangular, orientada no plano xOy,

conforme mostrado na figura 1, seja dada por 322 )(01,0 yxT  . Nessa expressão, considere a temperatura T

dada em ºC e as dimensões x e y dadas em centímetros. A constante 0,01 refere-se ao material constituinte da

placa e é dada em ºC/cm6.

Figura 1. Placa metálica cuja temperatura varia com as coordenadas (x,y) de um ponto da sua superfície.

Em relação a essa situação, assinale a alternativa correta.

a) A taxa de variação da temperatura com a posição, no ponto (2,1), é positiva e da ordem de 0,6 ºC/cm2.

b) A taxa de variação da temperatura com a posição mostra que a função é crescente e, no ponto (2,1), é da

ordem de 1,25 ºC/cm2.

c) A função temperatura, no ponto (2,1), é decrescente, pois resultou numa taxa de variação negativa.

d) A função temperatura, no ponto (2,1), é crescente, com taxa de variação da ordem de 3 ºC/cm2.

e) A taxa de variação da temperatura com a posição, no ponto (2,1), é crescente e vale 0,75 ºC/cm2.

Justificativa.

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21

2. As derivadas parciais em relação à variável x e em relação à variável y de uma função ),( yxfz  , nos pontos

em que existem, são indicadas, respectivamente, por x

f

x

yxf

 

 ),( e

y

f

y

yxf

 

 ),( .

Quando se deriva uma função do tipo ),( yxfz  em relação à variável x, observa-se a taxa de variação da função

na direção de x, isto é, somente x é variável; os outros termos que aparecem na expressão matemática são

considerados constantes. Quando se deriva uma função do tipo ),( yxfz  em relação à variável y, observa-se a

taxa de variação da função na direção de y, isto é, somente y é variável; os outros termos que aparecem na

expressão matemática são considerados constantes.

Desse modo, assinale a alternativa correta.

a) A função ),( yxfz  , tal que 432 22  yxz , tem como derivadas parciais 434 2 

yx

x

f e

462 2  

yx

y

f .

b) A função ),( yxfz  , tal que 22 yxz  , tem como derivadas parciais 22

2

yx

x

x

f

 

 e

22

2

yx

y

y

f

 

 .

c) A função ),( yxfz  , tal que 22 yxez  , tem como derivadas parciais

22

.2 yxex x

f  

 e

22

.2 yxey y

f  

 .

d) A função ),( yxfz  , tal que )32( yxsenz  , tem como derivadas parciais )32cos( yx x

f 

 e

)32cos( yx y

f 

 .

e) A função ),( yxfz  , tal que )ln( yxz  , tem como derivadas parciais yx

y

x

f

 

 e

yx

x

y

f

 

 .

Justificativa.

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22

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis -Ficha 10)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. Sabe-se que o volume do cilindro circular reto é dado por hrV 2 , sendo que r é o seu raio e h é a sua

altura, como mostrado na figura 1. Considere que o raio de um cilindro esteja aumentando à taxa de 0,2mm/min e

que a sua altura h esteja aumentando à taxa de 0,6mm/min.

Figura 1. Cilindro circular reto de raio r e altura h.

O volume de um cilindro depende do seu raio r e da sua altura h. Na situação acima, o raio e a altura estão

variando com o tempo t. O diagrama em árvore abaixo apresenta a relação entre as variáveis:

r t

V

h t

Utilizando a regra da cadeia, é possível verificar como o volume V do cilindro está variando com o tempo.

Observando-se os dados acima e considerando-se que, num dado instante, o raio r é igual a 10 cm e a altura h é

igual a 30 cm, a taxa de variação do volume do cilindro com o tempo é aproximadamente igual a

a) min/6,12 3cm .

b) min/14 3cm .

c) min/2,1 3cm .

d) min/2,3 3cm .

e) min/18 3cm .

Justificativa.

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23

2. Um condutor é aquecido ao ser percorrido por corrente elétrica. Quando isso acontece, há transformação da

energia elétricaem térmica. Esse fenômeno, conhecido como efeito Joule, ocorre devido ao choque dos elétrons da

corrente elétrica com as partículas do próprio condutor. Os elétrons sofrem colisões com os átomos do condutor,

agitando-os e, consequentemente, a sua temperatura aumenta.

A possibilidade da transformação da eletricidade em calor permitiu que o homem construísse aparelhos como o

chuveiro e a lâmpada. Esses aparelhos possuem resistores (ou filamentos) que são aquecidos, conforme explicado

acima.

Além dos exemplos apresentados, há o caso dos circuitos elétricos que são protegidos por fusíveis (resistores). Se a

corrente tiver uma intensidade muito alta, a ponto de danificar o circuito, o calor gerado por ela derrete o filamento

(do fusível), interrompendo o fornecimento de energia e protegendo o circuito.

O calor gerado no filamento é quantificado pela potência dissipada. Essa potência P, em um resistor elétrico, pode

ser representada pela equação R

U P

2

 , sendo U a tensão elétrica e R a resistência do resistor. Se a tensão

elétrica U for dada em volts (V) e a resistência elétrica R em ohms (), então a potência P será dada em watts (W).

Observando o caso em que a tensão elétrica é 100 V e a resistência é 4 , a taxa de diminuição da potência, em

relação ao tempo, quando a tensão diminui em 5 V/s e a resistência varia à taxa de -0,2 /s, devido ao

aquecimento do resistor, é

a) sW dt

dP /150 .

b) sW dt

dP /125 .

c) sW dt

dP /125 .

d) sW dt

dP /375 .

e) sW dt

dP /0 .

Justificativa.

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24

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis -Ficha 11)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. O plano tangente a uma função de duas variáveis pode ser determinado utilizando-se o conceito geométrico da

derivada. A inclinação do plano tangente à função em determinado ponto ),( 00 yx dependerá da inclinação da reta

tangente à função na direção de x (ou seja, da derivada parcial da função em relação a x no ponto dado,

x

yxf

 ),( 00 ) e na direção de y (ou seja, da derivada parcial da função em relação a y no ponto y

yxf

 ),( 00 ).

Para uma função de duas variáveis do tipo ),( yxfz  , a equação do plano tangente à função no ponto

),( 00 yx pode ser obtida por ))(,())(,(),( 00000000 yyyx y

f xxyx

x

f yxfz

 

  .

Na figura 1, mostra-se uma representação esquemática do plano tangente ao gráfico de uma função do tipo

),( yxfz  .

Figura 1. Representação esquemática do plano tangente ao gráfico de uma função do tipo ),( yxfz  .

Assinale a alternativa correta.

a) O plano tangente a uma função do tipo ),( yxfz  , tal que 22 yxz  , no ponto P(1,2), é dado por

1542  yxz .

b) O plano tangente a uma função do tipo ),( yxfz  , tal que 323 yyxxz  , no ponto P(0,-1), é dado por

233  yxz .

c) Se a inclinação do plano tangente for igual a zero, as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero e,

desse modo, pode-se identificar um ponto de máximo ou de mínimo local da função.

d) A função ),( yxfz  , tal que 22 yxz  , com domínio 2R , apresenta valor mínimo igual a zero no ponto

P(-2,-2).

e) A função ),( yxfz  , tal que yyxyxz 44 32  , com domínio 2R , apresenta valor máximo no ponto

P(4,2).

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25

Justificativa.

2. Suponha que uma empresa produza tanques cilíndricos circulares retos para armazenamento de melaço. Os

tanques apresentam volume hrV .2 , sendo o r o seu raio e h a sua altura, conforme ilustrado na figura 1.

Figura 1. Tanque de melaço de forma cilíndrica, com raio r e altura h.

Os tanques têm 7 m de altura e 1,5 m de raio. A variação do volume, causada por pequenas variações do raio (dr)

e da altura (dh), pode ser analisada utilizando-se a variação total do volume, dada por dh h

V dr

r

V dV

 

  .

A variação do volume total pode, portanto, ser escrita como dhrdrrhdV ..2 2  .

Para as medidas dos tanques em questão, a variação total do volume é dhdrdV  25,221  .

Em relação a essa situação, assinale a alternativa correta.

a) O volume do tanque é mais sensível à variação da altura do que à variação do raio.

b) A variação da altura em 0,1 unidades variará o volume em 25,2 unidades.

c) A variação total do volume para variações de 0,1 unidades no raio e 0,1 unidades na altura é 25,4 unidades.

d) A variação de r em 0,1 unidades fará com que o volume varie em 1,2 unidades.

e) A variação de r em 0,01 unidades não variará o volume significativamente.

Justificativa.

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26

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis -Ficha 12)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. Suponha que um arquiteto tenha planejado uma rampa de acesso a um mezzanino com o formato de uma

cunha sólida, conforme mostrado na figura 1.

Figura 1. Representação tridimensional da rampa de acesso ao mezzanino, com formato de cunha sólida.

O perfil da rampa obedece à equação 22 yxz  . A figura 2 apresenta o mapa de curvas de nível da função e

está de acordo com as dimensões exigidas no projeto arquitetônico. A representação foi gerada utilizando-se o

programa computacional Wolfram, disponível em <http://www.wolframalpha.com>.

Figura 2. Representação gráfica das curvas de nível da função 22 yxz  .

O engenheiro responsável pela execução do projeto precisa calcular o volume do sólido para planejar a construção

da rampa e determinar o volume de material necessário. O volume calculado localiza-se entre a rampa e o nível

onde ela será construída. Sabe-se que a rampa deve ser erguida numa área retangular medindo 4 m no sentido de

subida (x) e 2 m de frente (y), sendo que o desnível solicitado é de 5 m.

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27

De acordo com os dados apresentados, o volume entre a superfície da rampa e o local onde ela será construída é

de, aproximadamente,

a) 40 m3.

b) 12 m3.

c) 2,3 m3.

d) 3

3

128 m .

e) 3

3

64 m .

Justificativa.

2. Para a elaboração de um produto, um engenheiro solicitou a construção de uma caixa retangular, sem tampa,

com volume de 12 m3. A caixa deve ser construída com materiais específicos, sendo que o custo do material para o

fundo é de R$ 400,00 por m2, para as laterais frontais é de R$ 300,00 por m2 e para as outras laterais restantes é

de R$ 200,00 por m2.

Assinale a alternativa que mostra as dimensões da caixa que minimizam o seu custo.

a) Fundo de 3 m por 1 m e altura de 4 m.

b) Fundo de 3 m por 2 m e altura de 2 m.

c) Fundo de 2 m por 2 m e altura de 3 m.

d) Fundo de 3 m por 1,5 m e altura de 1,5 m.

e) Fundo de 4 m por 1 m e altura de 3 m.

Justificativa.

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ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 13)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. O operador nabla, representado por  , quando aplicado a uma função de duas variáveis, representa o vetor

gradiente da função. O vetor gradiente de uma função indica a direção e o sentido da sua maior taxa de variação.

O vetor gradiente, para uma função de duas variáveis do tipo ),( yxfz  , é definido como:

j y

yxf i

x

yxf yxf oooooo



 

 

),(),( ),( .

Um ciclone pode ser representado por uma família de curvas de nível, indicando a intensidade do vento (em km/h).

A figura 1 apresenta uma imagem de sensoriamento remoto (tipo RGB) em que se observa o Furacão Dean, no

Oceano Atlântico, na região do Caribe. Na imagem, pode-se observar o olho do furacão, ponto de maior velocidade

do vento no ciclone. Quanto mais longe do núcleo, menor é a velocidade do vento.

Figura 1. Imagem de sensoriamento remoto (RGB), mostrando o furacão Dean, em 2007, a região do Caribe, Oceano Atlântico.

Disponível em <http://disc2.nascom.nasa.gov/data/TRMM/Gridded/Hurricane_Maps/Archive/2007/Dean>. Acesso em

18/08/2010.

Um mapa de curvas de nível também poderia representar o ciclone, sendo que as curvas representam a velocidade

do vento. Nesse caso, as curvas de nível de maior valor estariam no centro, enquanto as curvas de nível de menor

valor estariam posicionadas mais externamente.

O olho do furacão desloca-se segundo uma trajetória que pode ser indicada pelo gradiente da função, o qual

relaciona a velocidade no olho do furacão com a posição em que ele se localiza. Suponha que a velocidade S (em

km/h) do olho de um furacão possa ser modelada como uma função de duas variáveis x e y, dadas em km e

relacionadas à posição do olho, num plano cartesiano. Os valores de x e y são exclusivamente positivos, sendo a

origem do sistema xOy apontada no ponto de surgimento do olho do furacão. A função S é apresentada como

87,2)1( 32  yxS . Desse modo, pode-se determinar o vetor gradiente da função, ou seja, a direção e o

sentido da maior taxa de variação de S.

Assinale a alternativa correta.

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29

a) O vetor gradiente de S é dado por 87,2)1(32 2  yxS .

b) O vetor gradiente de S, no ponto P(2,1), é dado por jiS 124  .

c) O vetor gradiente de S é dado por jyixS 232  .

d) O vetor gradiente, no ponto P(1,2), é dado por jiS 92  .

e) O vetor gradiente de S é dado por  jyixS 87,2)1(3)87,22( 2  . Justificativa.

2. A derivada direcional de uma função pode ser obtida por ufDu

. . Ou seja, a derivada direcional de uma

função f é o produto escalar do gradiente da função ( f ) pelo vetor unitário u . A derivada direcional é um

escalar que indica o módulo de um vetor na direção do vetor unitário u .

Quando se deseja verificar a taxa de variação numa direção específica u , pode-se utilizar a derivada direcional. No

caso do Furacão Dean, conforme o enunciado da questão anterior, pode-se determinar o módulo da velocidade S

do vento numa direção dada. Considerando o ponto P(2,1), a taxa de variação de S na direção do vetor unitário

jiu 2

2

2

2  é

a) 16 .

b) )216(  .

c) 28 .

d) 224 .

e) 210 .

Justificativa.

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ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 14)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. O campo elétrico de uma distribuição de cargas pode ser calculado pelo gradiente do potencial elétrico. Assim,

VE  

, sendo E

o vetor campo elétrico e V o potencial elétrico.

Suponha que o potencial elétrico numa região do espaço, dependente das coordenadas do ponto P (x,y,z), seja

dado por

yzxV 12 2  . As coordenadas x, y e z são dadas em metros (m) e o potencial V é dado em volts (V). O

campo elétrico no ponto )2,1,2(P vale

a) mVkjiE /)128(  

.

b) mVkjiE /)185(  

.

c) mVkjiE /)128(  

.

d) mVkjiE /)129(  

.

e) mVkjiE /)168(  

.

Justificativa.

2. Na figura 1, observa-se um silo de cereaisque precisa ter a temperatura interna T controlada por um

equipamento de refrigeração.A temperatura é controlada por um sistema baseado no modelo

zyxezyxT  22

),,( , sendo T medida em graus Celsius e as coordenadas x, y e z dadas em metros. O sistema é

automatizado, controla a temperatura em três dimensões e está localizado no centro do silo, de modo que as

coordenadas x, y e z podem variar de -10 a +10 metros.

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31

Figura 1. Silo de cereais com temperatura e umidade controladas para garantir uma boa silagem. O equipamento controla a

temperatura por uma malha de pontos (x, y, z) com sensores elétricos (resistores) conectados ao equipamento central.

Utilizando-se o conceito do gradiente, é possível verificar a direção da maior taxa de variação de T. Observando a

função zyxezyxT 

22

),,( , assinale a alternativa correta.

a) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é )122( 1

2 kji

e T

  .

b) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é kjiT 

122  .

c) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é )122( 1

2 kji

e T

  .

d) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é )122(2 kjieT 

 .

e) O gradiente da temperatura no ponto P(1,1,0) é kjiT 

122  .

Justificativa.

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32

ICET– CURSO: Engenharia – Ciclo Básico (Cálculo de Funções de Várias Variáveis - Ficha 15)

Disciplina: Estudos Disciplinares

Campus: Data: / /

Nome:

RA: Turma:

1. O centro de massa ou centro de gravidade de uma lâmina, cuja espessura pode ser desprezada frente às suas

outras dimensões, pode ser determinado com base na sua densidade ),( yx  . A densidade ρ é função das

coordenadas x e y. A massa m da placa é  D

dAyxm ),( .

As coordenadas ),( yx do centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região D do espaço são dadas por:

 D

dAyxx m

x ),(. 1

 e  D

dAyxy m

y ),(. 1

 .

Considere uma lâmina de geometria triangular, cujos vértices estejam posicionados nos pontos (0,0), (1,0) e (0,2),

conforme mostrado na figura 1.

Figura 1. Placa de geometria triangular.

Se a densidade da lâmina segue a função yxyx  31),( , sua massa (em kg) e as coordenadas do seu

centro de massa (em m) são, respectivamente,

a) . 3

2

3

1 ,

3

8 myemxkgm 

b) . 3

1

3

1 ,

3

8 myemxkgm 

c) . 3

2

8

3 ,

3

1 myemxkgm 

d) . 16

11

8

3 ,

3

8 myemxkgm 

e) . 16

11

8

3 ,

3

16 myemxkgm 

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33

Justificativa.

2. A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. Esse

tipo de lâmina pode ser considerado a metade superior de um círculo de equação geral 222 ayx  . Podemos

escrever 22 yxa  , sendo a o raio do círculo.

A distância do ponto (x,y) ao centro do círculo (origem) é 22 yx  . Logo, a função densidade é

22),( yxkyx  , sendo k uma constante relacionada ao tipo de material da lâmina.

Como a lâmina tem formato circular, a conversão da fórmula para o sistema de coordenadas polares é simples, isto

é, 22 yxr  e a massa da lâmina (em gramas) é:









DD

DD

drdrkrdrdrkm

dAyxkdAyxm



2

22

...

.),(

A massa de uma lâmina semicircular, de raio igual a 3 cm e constante k=0,01, vale aproximadamente

a) 0,28 g.

b) 0,84 g.

c) 0,14 g.

d) 2,28 g.

e) 9,84 g.

Justificativa.

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