Cálculo Diferencial e Integral - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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MAT 0220 - Lista de exerćıcios

1 Seqüências e séries de números reais

1. Calcule, caso exista, o limite de cada seqüência abaixo:

(a) an := n3+3n+1 4n3+2

(b) an := √ n+ 1−√n

(c) an := (1 + 2 n )

n

(d) an := sin( 1 n )

(e) an := n sin( 1 n )

(f) an := 1 n sin(

1 n )

(g) an := (−1)n

2. Sabemos que se lim n→∞

an = a, então temos necessáriamente que

lim n→∞

( a1 + a2 + . . .+ an

n ) = a

Use esse fato e calcule os seguintes limites:

(a) lim n→∞

( 1+ 1

2 + 1

3 +...+ 1n n )

(b) lim n→∞

( 2+ √ 2+ 3

√ 2+...+ n

√ 2

n )

3. Calcule os seguintes limites:

(a) lim n→∞

ln(n) n

(b) lim n→∞

n √ n

4. Suponha que (an)n≥0 é uma seqüência de números reais positivos tal que lim

n→∞ an = a. Mostre que lim

n→∞ n √ a1a2a3 . . . an = a.

5. Seja (an)n≥0 dada recursivamente por a0 = √ 2 e an+1 =

√ 2an para todo

n ∈ N∗. Mostre que esta seqüência possui um limite e calcule-o.

André Gomes

IME - USP

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2

6. Considere a seqüência an := (1 + 1 n )

n definida para todo n ≥ 1. (a) Mostre que (an)n≥1 é limitada superiormente por 3. (b) Mostre que (an)n≥1 é estritamente crescente. Como conseqüência, existe o limite e := lim

n→∞ (1+ 1n )

n (note que 2 < e < 3).

Solução: Usando o desenvolvimento binomial, podemos escrever

(1 + 1

n )n = 1 + (n1 )

1

n + (n2 )

1

n2 + (n3 )

1

n3 + · · ·+ (nn)

1

nn

= 1 + 1 + n(n− 1)

n2 1

2! +

n(n− 1)(n− 2) n3

1

3! + · · ·+ n!

nn 1

n!

≤ 1 + 1 + 1 2!

+ 1

3! + · · ·+ 1

n!

≤ 1 + 1 + 1 2 +

1

22 +

1

23 + · · ·+ 1

2n−1 (pois 2n ≤ (n+ 1)!)

< 1 + 1 + 1

2 + (

1

2 )2 + (

1

2 )3 + · · ·

= 3

Isto encerra o item (a). Para o item (b), notamos que se n < m, então

n− 1 n

< m− 1 m

n− 2 n

< m− 2 m

...

Utilizando as desigualdades acima, vamos obter

n(n− 1) n2

< m(m− 1)

m2

n(n− 1)(n− 2) n3

< m(m− 1)(m− 2)

m3

...

e assim (pelo desenvolvimento binomial de an) (1 + 1 n )

n < (1 + 1m ) m



7. Calcule os seguintes limites: (a) lim

n→∞ n tan( 1n )

(b) lim n→∞

n[1− cos( 1n )]

(c) lim n→∞

n+n2 sin( 1n )

1−n2 sin( 1n ) (d) lim

n→∞ (n+2n+1 )

n

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 3

8. Mostre que as séries abaixo são todas divergentes

(a) +∞∑ n=1

n−1 n2

(b) +∞∑ n=5

n+5 n2−3n−5

(c) +∞∑ n=1

n n2+1

(d) +∞∑ n=2

1√ n ln(n)

(e) +∞∑ n=2

1 n ln(n) ln(ln(n))

9. Mostre que as séries abaixo são todas convergentes

(a) +∞∑ n=2

1 n3−1

(b) +∞∑ n=1

sen(n) n2

(c) +∞∑ n=1

1 n2+1

(d) +∞∑ n=2

1 n ln2(n)

(e) +∞∑ n=0

2n

n!

10. Use o critério da razão para decidir sobre a convergência das séries

(a) +∞∑ n=1

(−1)n n!

(b) +∞∑ n=1

2n+1 3n+n

11. Use o critério da raiz para decidir sobre a convergência das séries

(a) +∞∑ n=1

( n+1 2n

)n ;

(b) +∞∑ n=1

1 nn ;

(c) +∞∑ n=1

( n

n+1

)n2 .

12. Decida se a seguinte série converge ou diverge:

+∞∑

n=2

1 + ln2(n)

n ln2(n)

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4

2 Seqüências e séries de funções reais

1. Determine (caso exista) o limite das seguintes seqüências de funções: (a) fn(x) := x

n, x ∈ [0, 1] (b) fn(x) := x

n, x ∈ (1,∞) (c) fn(x) :=

x n , x ∈ [0, 1]

(d) fn(x) := e nx, x ∈ (−∞, 0]

(e) fn(x) := n sin( x n ), x ∈ [0, 1]

(f) fn(x) := (−1)nx, x ∈ R (g) fn(x) :=

nx 1+nx2 , x ∈ R

(h) fn(x) := nxe −nx2 , x ∈ R

(i) fn(x) := (1 + 1 n )

nx, x ∈ R (j) fn(x) := [

1+nx2

n ] 1/2, x ∈ R

2. Decida sobre a convergência das seguintes séries de funções:

(a) ∞∑

n=0

xn

n! , x ∈ R

(b) ∞∑

n=1

xn

n2 , x ∈ [−1, 1]

(c) ∞∑

n=1

cos(nx) n2 , x ∈ R

(d) ∞∑

n=0 xn, x ∈ (−1, 1)

(e) ∞∑

n=0 xn, x ∈ [1,∞)

(f) ∞∑

n=1

xn

2n2−n , x ∈ [−1, 1]

(g) ∞∑

n=1

nxn

2n , x ∈ (−2, 2)

(h) ∞∑

n=1

1 nx2n , |x| > 1

(i) ∞∑

n=0

1 2nx , x > 0

(j) ∞∑

n=1

xn

(1−x)n , x ∈ (−∞, 1/2)

(k) ∞∑

n=2

xn

(ln(n))n , x ∈ R

3. Considere a seqüência de funções fn(x) := nx

1+nx2 , com x ∈ R. Mostre que: (a) fn −→ f , onde f é dada por f(0) = 0 e f(x) = 1/x (para x 6= 0). (b) A convergência no item (a) não é uniforme.

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 5

4. Considere a seqüência de funções fn(x) := nxe −nx2 , com x ∈ R. Mostre

que: (a) fn −→ 0. (b) lim

n→∞

∫ 1 0 fn(x)dx = 1/2

(c) A convergência no item (a) não é uniforme.

5. Dada a seqüência de funções fn(x) := x n(1 − xn) com x ∈ [0, 1]. Mostre

que: (a) fn −→ 0. (b) Para cada n, o ponto de máximo de fn é

n √ 1/2 e fn(

n √ 1/2) = 1/4.

(c) A convergência no item (a) não é uniforme.

6. Verifique a convergência uniforme de cada uma das séries abaixo1:

(a) ∞∑ k=1

sin(kx) x4+k4 , x ∈ R

(b) ∞∑ k=1

1 x2+k2 , x ∈ R

(c) ∞∑ k=0

xk

k! , x ∈ [−r, r] (r ∈ R)

7. Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:

(a) ∞∑ k=0

xn

(b) ∞∑ k=1

xn

n

(c) ∞∑ k=1

xn

n2

(d) ∞∑ k=1

(−1)nxn

(e) ∞∑ k=0

nxn

(f) ∞∑ k=0

2nxn

(g) ∞∑ k=1

xn

nn

(h) ∞∑ k=2

xn

ln(n)

(i) ∞∑ k=0

xn

n2+3

1 Use o teste M de Weierstrass.

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6

8. Determine o raio de convergência da seguinte série de potências

∞∑

n=1

(2 + (−1)n)nxn

O que pode ser dito sobre a série nos extremos do intervalo de convergência?

9. Defina as funções hiperbólicas sinh : R−−→ R e cosh : R−−→ R por

sinh(x) := ex − e−x

2

cosh(x) := ex + e−x

2

(a) Mostre que [sinh(x)]′ = cosh(x). (b) Mostre que [cosh(x)]′ = sinh(x). (c) Mostre que os seguintes desenvolvimentos são válidos em todo x ∈ R

sinh(x) = x+ x3

3! +

x5

5! + · · ·+ x

2n+1

(2n+ 1)! + · · ·

cosh(x) = 1 + x2

2! +

x4

4! + · · ·+ x

2n

2n! + · · ·

10. Considere a função ln(x) definida para todo x > 0. Mostre que:

ln(x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1(x− 1)n n

para todo x real tal que |x− 1| < 1.

11. Mostre que são válidos os seguintes desenvolvimentos para todo x ∈ R:

cos2(x) = 1 + ∞∑

n=1

(−1)n22n−1x2n (2n)!

sin2(x) = ∞∑

n=1

(−1)n+122n−1x2n (2n)!

(Sugestão: Utilize as fórmulas cos2(x) = 1+cos(2x)2 e cos 2(x)+ sin2(x) = 1.)

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 7

3 Seqüências e séries de números complexos

1. Determine, caso exista, o limite das seguintes seqüências: (a) zn :=

in

n (b) zn := i

n

(c) zn := in3+1 2n3+n2

(d) zn := n sin( 1 n ) + i

n en

(e) zn := i n! + 12n

(f) zn := −n+ i (g) zn := nz (onde z ∈ C∗ está fixado) (h) zn := (1 +

1 n )

n + i(1− 1n )n

2. Sabendo que z ∈ C é tal que |z| < 1, mostre a igualdade ∞∑

n=0

zn = 1

1− z

Mostre ainda que a série diverge se |z| ≥ 1.

3. Quais das seguintes séries convergem?

(a) ∞∑

n=2

in

ln(n)

(b) ∞∑

n=1

(2+i)n

(1+i)2n

(c) ∞∑

n=1

( 1+i 2

)n

4 Seqüências e séries de funções de uma variável complexa

1. Considere a seqüência de funções fn : {z ∈ C ; |z| 6= 1} −−−→ C dada por

fn(z) := zn − 1 zn + 1

Verifique que fn −→ f , onde f : {z ∈ C ; |z| 6= 1} −−−→ C é dada por

f(z) :=

  

−1 |z| < 1

1 |z| > 1

2. Determine o raio de convergência das seguintes séries de potências

a)

∞∑

n=0

nzn; b)

∞∑

n=1

zn

nn ; c)

∞∑

n=0

2nzn; d)

∞∑

n=1

(ln(n))2zn.

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8

5 Funções C-deriváveis

1. Derive as seguintes funções definidas em C (a) f(z) = z2

(b) f(z) = zn (onde n é um número natural) (c) f(z) = anz

n + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 (onde an ∈ C, ∀n ∈ N)

2. Sejam p(z) = anz n + · · · + a0 e q(z) = bmzm + · · · + b0 polinômios em C.

Considere a função f : C− {z ∈ C; q(z) = 0} −−−−−→ C dada por

f(z) = p(z)

q(z) =

anz n + an−1zn−1 + · · ·+ a0

bmzm + bm−1zm−1 + · · ·+ b0

Calcule f ′(z).

3. Usando as definições das funções complexas ez, cos(z) e sin(z), ou seja,

ez = 1 + z + z2

2! +

z3

3! + · · ·+ z

n

n! + · · ·

cos(z) = 1− z 2

2! +

z4

4! − z

6

6! + · · ·+ (−1)

nz2n

(2n)! + · · ·

sin(z) = z − z 3

3! +

z5

5! − z

7

7! + · · ·+ (−1)

nz2n+1

(2n+ 1)! + · · ·

(definidas para todo z ∈ C) verifique as seguintes identidades: (a) [sin(z)]′ = cos(z) (b) [cos(z)]′ = − sin(z) (c) (ez)′ = ez

(d) ex+iy = ex(cos(y) + i sin(y)) (e) sin(−z) = − sin(z) (f) cos(z) = cos(−z) Mostre também que cos(z) = e

iz+e−iz

2 e ainda que sin(z) = eiz−e−iz

2i .

4. Prove que f(z) = z̄, definida em C, não é C-derivável em nenhum ponto.

Solução: Basta verificar que as equações de Cauchy-Riemann não são válidas para nenhum a ∈ C. De fato, temos u(x, y) = ℜ(f)(x, y) = x e ainda v(x, y) = ℑ(f)(x, y) = −y. Portanto ux(a) = 1 6= −1 = vy(a) para todo a ∈ C 

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 9

5. Considere a função f : C −→ C dada pela seguinte expressão

f(z) :=

  

z5

|z|4 z 6= 0

0 z = 0

(a) A função f é cont́ınua em 0? (b) A função f satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em 0? (c) A função f é C-derivável em 0?

Solução: A resposta do item (a) é sim pois z 4

|z|4 é limitada em C ∗ e então

lim z→0

f(z) = lim z→0

z5

|z|4 = lim

z→0 z(

z4

|z|4 ) = 0 = f(0)

No item (b) a resposta também é sim pois (tomando h ∈ R)

∂f

∂x (0, 0) = lim

h→0

f(0 + h, 0)− f(0, 0) h

= lim h→0

h5

|h|4

h = lim

h→0

h5

h5 = 1

∂f

∂y (0, 0) = lim

h→0

f(0, 0 + h)− f(0, 0) h

= lim h→0

(ih)5

|ih|4

h = lim

h→0

ih5

h5 = i

Portanto ∂f∂x (0, 0) = −i ∂f ∂y (0, 0).

No item (c) a resposta é não. De fato,

f ′(0) = lim z→0

f(z)− f(0) z − 0 = limz→0

z4

|z|4

Defina seqüências zn := eiα

n e wn := eiβ

n (com α, β ∈ (0, π/4) e α 6= β). Então

zn → 0, wn → 0, lim n→∞

z4n

|zn|4 = ei4α 6= ei4β = lim

n→∞ w4n

|wn|4

Assim não existe f ′(0) 

6. Verifique que cada uma das funções abaixo é C-derivável em C (a) f(x+ iy) = (x2 − y2 − 2x) + 2iy(x− 1) (b) f(x+ iy) = (ey + e−y) sin(x) + i(ey − e−y) cos(x)

7. A função abaixo não é C-derivável em nenhum a ∈ C. Prove.

f(x+ iy) = x2y2 + 2ix

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10

8. Mostre que a função f : C −→ C dada por f(z) := zℜ(z) é C-derivável apenas no ponto z = 0. Determine f ′(0).

Solução: Como f(x+iy) = x2+ixy para todo x+iy ∈ C obtemos então que u(x, y) = ℜ(f)(x, y) = x2 e v(x, y) = ℑ(f)(x, y) = xy para todos x, y ∈ R. As derivadas parciais ux = 2x, uy = 0, vx = y e vy = x são cont́ınuas mas as equações de Cauchy-Riemann só valem se x = y = 0. Portanto f é C-derivável apenas em 0 e ainda f ′(0) = ux(0) + vx(0) = 0 

9. Verifique as seguintes propriedades da função exponencial complexa ez

(a) ez+w = ezew para todos z, w ∈ C (b) ez 6= 0 para todo z ∈ C (c) Dado w ∈ C∗ existe z ∈ C tal que ez = w (d) ez = 1 ⇔ z = 2kπi (onde k ∈ Z) (e) ez+2πi = ez para todo z ∈ C (f) |ez| = eℜ(z)

10. Verifique as seguintes propriedades para as funções complexas cos(z) e sin(z) (a) cos(C) = C (b) sin(C) = C (c) cos(z + 2π) = cos(z) (d) sin(z + 2π) = sin(z) (e) sin(z) = 0 ⇔ z = kπ (onde k ∈ Z) (f) cos(z) = 0 ⇔ z = π2 + kπ (onde k ∈ Z) (g) cos(x+ iy) = cos(x) cosh(y)− i sin(x) sinh(y) (h) sin(x+ iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) (i) cos2(z) + sin2(z) = 1 para todo z ∈ C (j) cos(z ± w) = cos(z) cos(w)∓ sin(z) sin(w) para todos z, w ∈ C (k) sin(z ± w) = sin(z) cos(w)± cos(z) sin(w) para todos z, w ∈ C

(Sugestão: Utilize as fórmulas cos(z) = e iz+e−iz

2 e sin(z) = eiz−e−iz

2i )

11. Uma função C-derivável L : Ω ⊂ C∗ −→ C tal que eL(z) = z para todo z ∈ Ω é dita um ramo da função logaritmo. Verifique que L′(z) = 1/z para todo z ∈ Ω. Mostre também que se existe um ramo L do logaritmo em um certo domı́nio Ω ⊂ C∗, então a coleção de todos os ramos do logaritmo definidos em Ω consiste das funções L+ 2kπi com k ∈ Z. Conclua que um ramo L do logaritmo em Ω está determinado quando fixamos um valor de L(z0) para algum z0 ∈ Ω.

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 11

12. Mostre que não existe um ramo do logaritmo definido no domı́nio Ω := C∗.

Solução: Seja log(z) = ln(|z|) + i arg(z) o ramo principal do logaritmo definido em E0 = {z ∈ C; z /∈ R+ × {0}}. Se existisse um ramo L definido em C∗, a restrição L|E0 é também um ramo do logaritmo em E0 e dáı (pelo exerćıcio anterior) devemos ter L|E0 = log+2kπi para algum k ∈ Z. Por outro lado, como L|E0 é C-derivável, L|E0 é cont́ınua e então obtemos as igualdades abaixo

L|E0(1) = lim y→0+

L|E0(1 + iy) = lim y→0+

log(1 + iy) + 2kπi = 2kπi

L|E0(1) = lim y→0−

L|E0(1 + iy) = lim y→0−

log(1 + iy) + 2kπi = 2πi + 2kπi

que são claramente contraditórias 

13. Seja L : Ω ⊂ C∗ −−−→ C um ramo do logaritmo (i.e. L é C-derivável e ainda eL(z) = z para todo z ∈ Ω). Dado α ∈ C, defina a função f : Ω −→ C por

f(z) = zα := eαL(z)

Mostre que f é C-derivável e que f ′(z) = αzα−1 para todo z ∈ Ω.

14. Seja Ω := {z ∈ C; |z| > 1}. Considere a função f : Ω −−−→ C dada por

f(z) = 1

2i log(

1 + iz

1− iz )

(a) Verifique que f está bem definida (i.e. 1+iz1−iz ∈ E0) (b) Mostre que f é C-derivável e que f ′(z) = 11+z2 para todo z ∈ Ω (c) Mostre que tan(f(z)) = z para todo z ∈ Ω

15. (Função ζ de Riemann) Dados n ∈ N∗ e z ∈ C defina nz := ez ln(n). Seja

ζ(z) :=

∞∑

n=1

1

nz

Mostre que, dado a > 0, a função ζ converge uniformemente sobre o se- guinte subconjunto Ωa := {z ∈ C; ℜ(z) ≥ 1 + a} (Mostraremos mais tarde que a função ζ : {z ∈ C; ℜ(z) > 1} −−−−→ C é C-derivável).

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12

6 Integração no plano complexo

1. Sejam γ1(t) = 2t + 1 + it e γ2(t) = t 2 + 2t + it definidas para t ∈ [−1, 1].

Calcule as seguintes integrais: ∫ γ1

zdz e ∫ γ2

zdz.

2. Seja γ(t) = − cos(t) + i sin(t) definida para t ∈ [0, π]. Calcule a integral ∫

γ

z̄dz

3. Considere a poligonal Γ = γ1 + γ2 + γ3 parametrizada em três partes por   

γ1(t) = −1 + it

γ2(t) = −1 + 2t+ i

γ3(t) = 1 + i(1− t) (todas definidas em [0, 1]). Calcule a seguinte integral

Γ

z̄dz

4. Dado a ∈ C, seja γ(t) = a+ eit definida em t ∈ [0, π]. Calcule a integral ∫

γ

1

z − adz

5. Seja γ(t) = (2 + iπ4 )t definida em t ∈ [0, 1]. Calcule a integral abaixo ∫

γ

ezdz

Solução: Aplicando a definição e usando integração por partes obtemos ∫

γ

ezdz =

∫ 1

0

eγ(t)γ′(t)dt

=

∫ 1

0

e(2+i π 4 )t(2 + i

π

4 )dt

= (2 + i π

4 )

{∫ 1

0

e2t cos( πt

4 )dt+ i

∫ 1

0

e2t sin( πt

4 )dt

}

= e2+i π 4 − 1 

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 13

6. Seja γ uma curva simples no plano. Calcule os valores das integrais

(a)

γ

ezdz (b)

γ

cos(z)dz (c)

γ

zndz (n ∈ N)

7. Seja n ∈ N. Seja γ uma curva simples no plano. Suponha que 0 está na componente conexa ilimitada determinada por γ. Calcule

γ

1

zn dz

8. Seja a ∈ C. Seja γ uma curva simples no plano. Suponha que a está na componente conexa limitada determinada por γ. Mostre que

(a)

γ

dz

z − a = 2πi (b) ∫

γ

dz

(z − a)n = 0 (n ∈ Z− {1})

9. Considere as curvas γ1(t) = 2e it e γ2(t) = i + e

it, definidas em [0, 2π]. Calcule

(a)

γ1

2z

z2 + 2 dz (b)

γ2

2z

z2 + 2 dz

10. Sendo γ a curva dada por γ(t) = eit com t ∈ [0, 2π], calcule as integrais

(a)

γ

sin(z)

4z + π dz (b)

γ

eiπz

2z2 − 5z + 2dz

11. Seja f : Ω −→ C anaĺıtica definida em um domı́nio simplesmente conexo Ω. Mostre que f possui uma primitiva F : Ω −→ C (i.e. F é anaĺıtica e F ′ = f).

12. Mostre que se f : Ω −→ C é anaĺıtica e f ′(z) = 0 para todo z ∈ Ω, então f é constante.

13. Mostre que duas primitivas de uma mesma função anaĺıtica f : Ω −→ C diferem apenas por uma constante.

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14

14. Seja Ω ⊂ C∗ um domı́nio simplesmente conexo do plano. Mostre que existe um ramo do logaritmo definido em Ω (ver o exerćıcio 11 do §5).

Solução: Considere a função f(z) = 1/z definida em Ω. Pelo exerćıcio 11 acima, f possui uma primitiva F : Ω −→ C. Seja então g : Ω −→ C a função g(z) := e−F (z)z. A função g é anaĺıtica e g′(z) = 0 para todo z ∈ Ω. Pelo exerćıcio 12 acima, g é uma constante c 6= 0. Podemos então escrever c = ez0 para algum z0 ∈ C. Assim ez0 = c = g(z) = e−F (z)z implica eF (z)+z0 = z para todo z ∈ Ω. A função L := F + z0 é um ramo do logaritmo em Ω 

15. Seja u : Ω ⊂ C −→ R harmônica no domı́nio simplesmente conexo Ω. Mostre que existe a conjugada harmônica de u, ou seja, existe v : Ω −→ R harmônica tal que a função f := u+ iv é anaĺıtica. Mostre ainda que duas conjugadas harmônicas de u diferem apenas por uma constante.

Solução: Considere a função g : Ω −→ C dada por g := ux − iuy. A função g é uma função anaĺıtica pois ℜ(g) = ux e ℑ(g) = −uy possuem as derivadas parciais cont́ınuas em Ω e ainda satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em Ω

  

ℜ(g)x = (ux)x = uxx = −uyy = ℑ(g)y

ℜ(g)y = (ux)y = uyx = −(−uyx) = −ℑ(g)x

Sendo assim, pelo exerćıcio 11 acima, g possui uma primitiva f̃ = ũ + iṽ em Ω e portanto (f̃)′ = ũx + iṽx = ux − iuy = g. Podemos concluir então que 

 

ũx = ux

ũy = −ṽx = −(−uy) = uy e dáı ũ − u = c (c constante real). Desse modo f := f̃ − c é anaĺıtica, ℜ(f) = u e portanto ℑ(f) é uma conjugada harmônica de u. Por outro lado, se v1 e v2 são conjugadas harmônicas de u, então f1 = u + iv1 e f2 = u+ iv2 são anaĺıticas e então f1 − f2 = i(v1 − v2) é anaĺıtica. Usando as equações de Cauchy-Riemann para f1−f2, conclui-se que v1−v2 é uma função constante 

16. Seja u : Dr(0) −→ R uma função harmônica. Mostre que a seguinte função

v(x, y) =

∫ y

0

ux(x, t)dt− ∫ x

0

uy(t, 0)dt

(definida em Dr(0)) é uma conjugada harmônica de u. Determine uma conjugada harmônica de u(x, y) = x2 − y2 + xy.

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 15

17. Considere a função f(z) = 1/(4 + z2) definida no disco D2(0). Mostre que

f(z) = ∞∑

n=0

(−1)n 4n+1

z2n

para todo z ∈ D2(0).

18. Se f(z) := log(1 + z) com z ∈ C − [−1,∞) (logaritmo principal), mostre que vale o seguinte desenvolvimento para a função f

f(z) = ln( √ 2) + i · π

4 +

∞∑

n=1

(−1)n−1 n(1 + i)n

(z − i)n, z ∈ D1(i)

19. Determine a série de Taylor da função sin(z) em torno do ponto a = π/2.

20. Mostre que são válidos os seguintes desenvolvimentos para todo z ∈ C:

ez 2

= 1 + z2 + z4

2! +

z6

3! + · · ·

ez sin(z) = z + z2 + 1

3 z3 − 1

30 z5 + · · ·

21. Mostre que os seguintes desenvolvimentos são válidos em D1(0)

1

(1− z)2 = ∞∑

n=0

(n+ 1)zn

ez

1− z = 1 + 2z + 5

2 z2 +

8

3 z3 + · · ·

22. Mostre que o seguinte desenvolvimento é válido em Dπ/2(0)

1

cos(z) = 1 +

1

2 z2 +

5

24 z4 + · · ·

23. Seja γ o segmento de reta com ponto inicial 0 e final z (ℜ(z) < 0). Mostre: ∫

γ

1

1 + ξ2 dξ =

1

2i log(z − i)− 1

2i log(z + i)− π

2

(onde log é o ramo principal do logaritmo).

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7 Propriedades elementares das funções anaĺıticas

1. (Estimativa de Cauchy) Seja f : Ω ⊂ C −→ C uma função anaĺıtica. Fixe um ponto a no domı́nio Ω. Seja Dr(a) ⊂ Ω e γ a circunferência γ(t) = a+reit com t ∈ [0, 2π]. Seja M := max

z∈γ |f(z)|. Mostre que para todo

k ∈ N temos ∣∣∣f (k)(a)

∣∣∣ ≤ k!M rk

Solução: Podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy em um disco aberto D ⊂ Ω que contém a imagem da curva γ e assim obter a desigualdade

∣∣∣f (k)(a) ∣∣∣ =

∣∣∣∣ k!

2πi

γ

f(z)

(z − a)k+1 dz ∣∣∣∣

≤ k! 2π

max z∈γ

∣∣∣∣ f(z)

(z − a)k+1 ∣∣∣∣L(γ)

= k!

2π max z∈γ

|f(z)| 1 rk+1

2πr

= k!M

rk 

2. (Liouville) Se f é uma função inteira e limitada, mostre que f é constante.

Solução: Tome um complexo qualquer a ∈ C. Fixe um r > 0 e consi- dere a circunferência γ(t) = a+ reit definida para t ∈ [0, 2π]. Suponha que M > 0 é tal que |f(z)| ≤ M para todo z ∈ C. Usando a estimativa de Cauchy, dado k ∈ N, obtemos a seguinte desigualdade válida para todo r > 0 (e todo k ≥ 1)

∣∣∣f (k)(a) ∣∣∣ ≤ k!M

rk

Faça k = 1. Como lim r→∞

M r = 0, f

′(a) = 0 ∀a ∈ C, logo f é constante 

3. Se f é inteira e não constante, então f(C) é denso em C. Prove.

4. (Teorema fundamental da Álgebra) Mostre que todo polinômio não constante p(z) = anz

n + an−1zn−1 · · · + a1z + a0 ∈ C[z] possui uma raiz complexa.

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5. Mostre que se f : Ω −→ C é anaĺıtica e se |f | é constante sobre Ω, então f é constante (Sugestão: equações de Cauchy-Riemann).

6. (Teorema da média de Gauss) Seja f : Ω −→ C anaĺıtica. Tome a ∈ Ω e um disco fechado Dr(a) ⊂ Ω. Mostre que

f(a) = 1

∫ 2π

0

f(a+ reit)dt

7. (Prinćıpio do máximo) Seja f : Ω −→ C uma função anaĺıtica. Mostre que se existe um ponto de máximo para |f | em Ω, então f é constante2.

8. Determine o valor máximo de |sin(z)| sobre o quadrado [0, 2π]× [0, 2π].

9. (Prinćıpio do mı́nimo) Seja f : Ω −→ C anaĺıtica tal que f(z) 6= 0 para todo z ∈ Ω. Mostre que se |f | possui um ponto de mı́nimo em Ω, então f é constante.

10. (Regra de L’Hospital) Sejam f, g : Ω −→ C funções anaĺıticas no domı́nio Ω ⊂ C. Seja z0 ∈ Ω tal que f(z0) = f ′(z0) = · · · = f (k−1)(z0) = 0 e ainda g(z0) = g

′(z0) = · · · = g(k−1)(z0) = 0 com g(k)(z0) 6= 0. Mostre que

lim z→z0

f(z)

g(z) =

f (k)(z0)

g(k)(z0)

11. (Teorema de Morera) Seja f : Ω ⊂ C −→ C uma função cont́ınua com ∫

γ

f(z)dz = 0

para toda curva simples γ : [a, b] −→ Ω cujo interior está contido em Ω. Mostre que f é anaĺıtica.

2 O resultado permanece válido se z0 é um ponto de máximo local. Veja o exerćıcio 20 a

seguir.

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18

12. (O lema de Schwarz) Seja f : D1(0) −→ C anaĺıtica tal que f(0) = 0 e |f(z)| ≤ 1 para todo |z| < 1. Mostre que |f(z)| ≤ |z| para todo |z| < 1.

13. (Prinćıpio da continuação anaĺıtica) Seja f : Ω −→ C uma função anaĺıtica no domı́nio Ω ⊂ C. Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações (a) f é identicamente nula (b) Existe um ponto a ∈ Ω tal que f (n)(a) = 0 para todo n ∈ N (c) O conjunto Zf := {z ∈ Ω; f(z) = 0} possui ponto de acumulação em Ω

Solução: Que (a) ⇒ (b) e que (a) ⇒ (c) é óbvio. Para mostrar (c) ⇒ (b), seja a ∈ Ω um ponto de acumulação de Zf . Temos f(a) = 0 (f é cont́ınua). Se existe um inteiro n ≥ 1 com f(a) = f ′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0 e f (n)(a) 6= 0, então, desenvolvendo a função f em série de potências em torno de a, obtemos a seguinte expressão válida em um disco Dr(a) ⊂ Ω

f(z) =

∞∑

k=n

ak(z − a)k = (z − a)n · ∞∑

k=n

ak(z − a)k−n

︸ ︷︷ ︸ =g(z)

onde a função g é anaĺıtica em Dr(a), f(z) = (z−a)ng(z) e g(a) = an 6= 0. Pela continuidade de g em Dr(a), podemos encontrar 0 < s < r de modo que g(z) 6= 0 para todo z ∈ Ds(a). Mas como a é um ponto de acumulação de Zf , existe b ∈ Ds(a) − {a} com f(b) = 0. Portanto, 0 = (b− a)ng(b) e assim g(b) = 0 uma contradição. Isto prova (b). Para mostrar que (b) ⇒ (a), defina

A := ∞⋂

n=0

{ z ∈ Ω; f (n)(z) = 0

}

Da hipótese (b), temos que A 6= ∅. Mostraremos que A é aberto e fechado em Ω. Dáı, pela conexidade de Ω, seguirá que Ω = A, ou seja, f = 0. Para ver que A é fechado, tome seqüência (zk)k≥0 em A tal que zk → z. Como cada f (n) é cont́ınua, segue que f (n)(zk) = 0 −→ f (k)(z). Então f (k)(z) = 0 e dáı A é fechado. Para ver que A é aberto, tome a ∈ A e considere o desenvolvimento de f em série de potências em torno de a válido em um disco Dr(a) ⊂ Ω

f(z) =

∞∑

n=0

f (n)(a)

n! (z − a)n

Mas por hipótese f (n)(a) = 0 para todo inteiro n ≥ 0. Assim f = 0 em Dr(a) e portanto Dr(a) ⊂ A, ou seja, A é aberto 

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 19

14. Sejam f, g : Ω −→ C anaĺıticas no domı́nio Ω. Suponha que o conjunto {z ∈ Ω; f(z) = g(z)} tem um ponto de acumulação em Ω. Mostre que f = g.

15. (Prinćıpio dos zeros isolados) Seja f : Ω −→ C anaĺıtica e que não é identicamente nula no domı́nio Ω ⊂ C. Suponha que f(a) = 0 para algum a ∈ Ω. Mostre que existe um inteiro n ≥ 1 e g : Ω −→ C anaĺıtica com g(a) 6= 0 e tal que

f(z) = (z − a)ng(z)

para todo z ∈ Ω (o inteiro n é chamado de multiplicidade do zero a).

16. Mostre que todos zeros de sin(z) são simples e são dados por kπ com k ∈ Z.

17. Mostre que todos zeros de cos(z) são simples e são dados por π2 + kπ com k ∈ Z.

18. Determine a multiplicidade do zero a das seguintes funções

(a) f(z) = z 2+1

1−z2 , a = i (b) f(z) = sinh(z) + sin(z)− 2z, a = 0

19. Mostre que a função f : C −→ C abaixo é anaĺıtica. Determine ainda a multiplicidade de cada um de seus zeros.

f(z) =

  

1−cos(z) z z 6= 0

0 z = 0

20. (Prinćıpio do máximo) Seja f : Ω −→ C uma função anaĺıtica. Mostre que se existe um ponto de máximo local para |f | em Ω, então f é constante

21. Quais são as funções anaĺıticas f : D2(0) −→ C que satisfazem a igualdade f(1/n) = f(−1/n) = 1/n2 para todo n ∈ N∗? Existe g : D2(0) −→ C anaĺıtica e tal que g(1/n) = g(−1/n) = 1/n3 para todo n ∈ N∗?

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20

22. (Teorema da aplicação discreta) Seja f : Ω −→ C uma função anaĺıtica não constante. Mostre que dado w ∈ C, f−1(w) é discreto (ou ∅) em Ω.

23. Sejam f, g : Ω −→ C funções anaĺıticas. Assuma que f(z)g(z) = 0 para todo z ∈ Ω. Mostre que se g não é identicamente nula, então f(z) = 0 ∀ z ∈ Ω.

24. Seja f : Ω ⊂ C −→ C anaĺıtica. Considere um disco fechado Dr(c) ⊂ Ω. Suponha que min

z∈∂Dr(c) |f(z)| > |f(c)|. Mostre que f possui um zero em

Dr(c).

Solução: Suponha que f(z) 6= 0 para todo z ∈ Dr(c). Então, pela hipótese, o valor mı́nimo de |f | em ∂Dr(c) é diferente de zero. Assim f(z) 6= 0 para todo z ∈ Dr(c) e portanto, pelo prinćıpio do máximo aplicado a 1/f , temos

1

|f(c)| = ∣∣∣∣

1

f(c)

∣∣∣∣ ≤ maxz∈∂Dr(c)

∣∣∣∣ 1

f(z)

∣∣∣∣ = 1

min z∈∂Dr(c)

|f(z)|

contrariando a hipótese 

25. Seja f : Ω ⊂ C −→ C anaĺıtica. Considere um disco fechado Dr(c) ⊂ Ω. Se min

z∈∂Dr(c) |f(z)− f(c)| = 2δ > 0, mostre que Dδ(f(c)) ⊂ f(Dr(c)).

Solução: Dado b ∈ Dδ(f(c)) temos |f(c)− b| < δ. Portanto, para todo z ∈ ∂Dr(c) ficamos com |f(z)− b| ≥ |f(z)− f(c)| − |f(c)− b| > δ e então

min z∈∂Dr(c)

|f(z)− b| > |f(c)− b|

Pelo exerćıcio anterior conclui-se que f − b possui um zero em Dr(c), ou seja, b ∈ f(Dr(c)) 

26. (Teorema da aplicação aberta) Seja f : Ω −→ C uma função anaĺıtica e não constante no domı́nio Ω ⊂ C. Mostre que se U ⊂ Ω é aberto, então f(U) é aberto em C.

Solução: Tome U ⊂ Ω aberto e c ∈ U . Basta mostrar que f(U) contém um disco em torno de f(c). Pelo prinćıpio da continuação anaĺıtica, a função f não é constante ao redor de c. Usando o prinćıpio dos zeros isolados para a função f − f(c), existe um disco Dr(c) ⊂ U tal que f(c) /∈ f(∂Dr(c)). Portanto

2δ := min z∈∂Dr(c)

|f(z)− f(c)|

é positivo. Usando o exerćıcio anterior, Dδ(f(c)) ⊂ f(Dr(c)) ⊂ f(U) 

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 21

8 Singularidades isoladas

1. Determine a série de Laurent da função abaixo emΩ = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}

f(z) = 3

2 + z − z2

2. Determine a série de Laurent da mesma função do exerćıcio 1 no anel

Ω = {z ∈ C; |z| > 2}

3. Determine a série de Laurent de cada função abaixo nos domı́nios indicados (a) f(z) = cos(z)−1z4 , Ω = C

(b) f(z) = 11−z , Ω = { z ∈ C; |z − i| >

√ 2 }

(c) f(z) = 1−zz−2 , Ω = {z ∈ C; |z − 1| > 1}

4. Considere a função f(z) = 1/z definida em C− {0}. Determine (a) A série de Laurent de f em C− {0} (b) A série de Laurent de f em |z − a| > |a| (onde a ∈ C−{0} está fixado) (c) A série de Laurent de f em |z − a| < |a| (onde a ∈ C−{0} está fixado)

5. Determine a série de Laurent da função abaixo em 0 < |z| < 1 e em |z| > 1

f(z) = 1

z(z2 + 1)

6. Determine e classifique as singularidades isoladas das seguintes funções (a) f(z) = sin(1/z) (b) f(z) = 1/z (c) f(z) = sin(z)/z

(d) f(z) = e 1

1−z

7. (Teorema de Riemann) Uma função anaĺıtica f : D ∗

r (α) −→ C possui uma singularidade remov́ıvel em α ⇔ f é limitada em uma vizinhança de α. Prove.

Solução: Considere a função g : Dr(α) −→ C dada por g(z) = (z−α)2f(z) se z 6= α e g(α) = 0. Supondo f limitada, g é anaĺıtica e g′(α) = 0. Tome a série de Taylor de g ao redor de α: g(z) = a2(z − α)2 + a3(z − α)3 + · · · . Pela definição de g, obtemos a série f(z) = a2+a3(z−α)+a4(z−α)2+ · · · e conclúımos que α é remov́ıvel para f . A rećıproca é óbvia 

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8. Determine a natureza da singularidade α = 0 nos seguintes casos

(a) f(z) = 1−cos(z 3)

sin(z)

(b) f(z) = zez−1 (c) f(z) = 1

e1/z

9. Mostre que se f tem um pólo de ordem k ∈ N∗ em z0, então vale a igualdade

Res(f, z0) = 1

(k − 1)! limz→z0

{ dk−1

dzk−1 [(z − z0)kf(z)]

}

10. (Teorema do Reśıduo) Seja Ω ⊂ C um domı́nio simplesmente conexo do plano e ainda γ : [a, b] −→ Ω uma curva simples, fechada e orientada positivamente. Suponha que f seja uma função anaĺıtica em Ω exceto em um conjunto finito de pontos {z1, . . . , zn} contido no interior da curva γ. Mostre que

γ

f(z)dz = n∑

j=1

2πi Res(f, zj)

11. Sendo γ : [0, 2π] −→ C a curva dada por γ(t) = 3eit, calcule a integral ∫

γ

1

z4 + z3 − 2z2 dz

12. Sendo γ : [0, 2π] −→ C dada por γ(t) = 1 + 2eit, calcule a integral abaixo ∫

γ

1

z4 + 4 dz

13. Calcule as seguintes integrais trigonométricas

(a) ∫ 2π 0

1 1+3 cos2(θ)dθ

(b) ∫ 2π 0

1 1+a2−2a cos(θ)dθ (0 < a < 1)

14. Sejam P (x) e Q(x) polinômios em R[x] tais que ∂Q ≥ ∂P + 2 e também com Q(x) 6= 0 para todo x ∈ R. Mostre que vale a seguinte igualdade

VP

∫ ∞

−∞

P (x)

Q(x) dx = 2πi

k∑

j=1

Res( P (z)

Q(z) , zj)

onde z1, . . . , zk são os pólos de P (z)/Q(z) situados em {z ∈ C; ℑ(z) > 0}.

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MAT 0220 - Lista de exerćıcios 23

15. Calcule a seguinte integral imprópria

VP

∫ ∞

−∞

1

(x2 + 1)(x2 + 4) dx

16. Calcule a seguinte integral imprópria

VP

∫ ∞

−∞

1

(x2 + 4)3 dx

17. Sejam P (x) e Q(x) polinômios em R[x] tais que ∂Q ≥ ∂P+1 e também com Q(x) 6= 0 para todo x ∈ R. Sejam ainda α > 0 e a função f(z) = e

iαzP (z) Q(z) .

Mostre que

VP

∫ ∞

−∞

P (x)

Q(x) sin(αx)dx = 2π

k∑

j=1

ℜ(Res(f, zj))

VP

∫ ∞

−∞

P (x)

Q(x) cos(αx)dx = −2π

k∑

j=1

ℑ(Res(f, zj))

onde z1, . . . , zk são os pólos de f(z) situados em {z ∈ C; ℑ(z) > 0}.

18. Calcule

(a) VP

∫ ∞

−∞

cos(x)

x4 + 4 dx (b) VP

∫ ∞

−∞

x sin(x)

x2 + 4 dx

19. Calcule

(a) VP

∫ ∞

−∞

cos(x)

x2 + 1 dx (b) VP

∫ ∞

−∞

x sin(x)

x2 + r2 dx (r > 0)

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