Calculo Diferencial e Integral I - Mauricio A[1]. Vilches e Maria L. Correa, Notas de estudo de Engenharia económica
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CÁLCULO: VOLUME I MAURICIO A. VILCHES MARIA L. CORREA “Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora? Isso depende bastante de até onde você quer chegar.” Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferra- menta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o Universo. Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicial- mente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza. Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois ti- pos de problemas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemas de integração, antigamente chamados de qua- draturas. Os relativos à derivação envolvem variações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos econômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos de problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de re- giões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula. Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVI- 1 por Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproxi- madamente na mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerável parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e inte- gral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibniz são as universalmente usadas. O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Di- ferencial e Integral de uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando ênfase à interpre- tação geométrica e intuitiva dos conteúdos. O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. As provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice, foram ilustrados através de exemplos, apli- cações e indicações bibliográficas adequadas e estão incluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados. Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são re- ativamente profundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só ú vez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcu- lar e adquira a compreensão intuitiva dos problemas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser encaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar a apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos. Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cál- culo Diferencial e Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao aprendizado da disciplina. Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UER] que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para es- crever estas notas e à Sra. Sonia M. Alves pela digitação. O texto foi digitado utlizando Amstex e a maioria dos desenhos foram feitos utilizando o software Mathematica. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabili- dade dos autores. Mauricio A. Vilches- Maria Luiza Correa Rio de Janeiro Copyright by Mauricio A. Vilches . Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total iii iv Conteúdo 1 Introdução 1.1 Desiguldades ....cccccccc 1.2 Intervalos. ....ccclccls 1.3 Valor Absoluto... ....ciccccc 1.4 Distância ....cccllc 1.5 Plano Coordenado ......ccccccscs 1.6 EquaçãodaReta......clclc 1.6.1 Equação Geral da Reta . .....ccll 1.6.2 Equação Reduzida daReta .....cccccccco 1.6.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas ........ 1.7 Equação das Cônicas . ....ccccccc 1.8 Trigonometria .....cccccll 1.9 Exercícios. . ... ll 2 Funções de uma Variável Real 21 Definições e Exemplos ......iccccccss 2.2 Gráficos de Funções. . ..... clic 2.3 Exemplos de Funções... ... ciclo 2.3.1 Função Modular ou Valor Absoluto ........cc.. 2.3.2 Funções Polinomiais .....ccccccccc 23.3 Funções PareseÍmpares. .......cicc 2.4 Interseção de Gráficos .....ccccccccccc 25 Ágebra de Funções ......cicicilc 2.5.1 Funções Racionais .....cccccls 2.6 Composta de Funções .....cicccclc 2.7 Inversa de uma Função ......ccclcc 2.7.1 Método para Determinar a Inversa . . ..... cc... 2.8 Função Exponencial... ..lcccllc 2.8.1 Crescimento e Decaimento Exponencial... ....... 28.2 Função Logística ......cccllcc 29 Função Logarítmica .. ....ccccc O 00 0 UU GH Hm 10 1 15 20 25 25 33 39 39 40 47 49 51 62 65 66 67 vi CONTEÚDO 29.1 Desintegração Radioativa ......cccccccco 69 210 Funções Trigonométricas . . ....ccclcc 72 2.10.1 Função Seno eCo-seno. .....cccccc 72 2.10.2 Função Tangente e Secante .....cccccccco 73 210.3 Função Co-tangente e Co-secante . . ......cc.. 74 2.1 Funções Trigonométricas Inversas .....ccccccccco 80 2.11.1 Função Arco seno . . ...ccccccc 80 2.11.2 Função Arco co-seno .....ccccccccsc 81 2.11.3 Função Arco tangente .....cccllc 82 2.114 Função Arco secante, co-tangente e co-secante ...... 83 2.12 Funções Hiperbólicas . .....cccccccc 85 213 Exercícios... cc llcl 88 Limite e Continuidade de uma Função 95 31 Limites ...cccccl 95 3.1.1 Definições e Exemplos . ......cccccccccco 95 3.1.2 Limites Laterais... .. cc cl 102 3.1.3 Limitesno Infinito .....ccccccccc 106 3.14 Limites Infinitos. .....ccccccc 109 3.1.5 Símbolos de Inderminação .....cccccccco 113 3.1.6 Limites Fundamentais . .....ccccccccc 114 3.1.7 Assíntotas ......ccccc 117 3.2 Continuidade ....ccccccs 121 3.2.1 Teorema do Valor Intermediário ......ccccc. 126 33 Exercícios... ...clll 130 Derivada 139 41 Reta Tangente .....lcll 139 4.2 Funções Deriváveis ......ccccccccc 143 4.3 Regras de Derivação ....ccccccc 149 44 Derivada da Função Composta . .....icccccsco 151 441 Derivada da Função Exponencial... .. cc... 154 442 Derivada da Função Logarítmica .. ... cc. 156 44.3 Derivada das Funções Trigonométricas .......... 159 444 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas ..... 161 44.5 Derivada das Funções Hiperbólicas .......ccc.. 162 4.5 Derivação Implícita . . ...cccccccc 165 45.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita ...... 165 4.6 Famílias de Curvas Ortogonais . .....cccccccco 170 4.7 Derivadas de Ordem Superior. . .....cccccccso 172 4.8 Aproximação Linear ......ccccclc 175 CONTEÚDO vii 49 Velocidade e Aceleração ......ccccccccc 178 410 A Derivada como Taxa de Variação . . .....ccccctcc. 181 4.11 ExercíciosI. ...ccccccc 186 4.12 Variação de Funções .....ccccccccic 194 4.13 Funções Monótonas .......ccccccc 200 4.14 Determinação de Máximos e Mínimos .......ccccc. 204 4.15 Concavidade e Pontos de Inflexão .....ccccctctccco 209 4.16 Esboco do Gráfico de Funções . . .....ccccccstcco 213 4.17 Problemas de Otimização .....cccccccccct 221 4.18 Teorema de L'Hôpital. .....cccccccc 231 4.19 Exercícios Il ...cccccccc 239 5 Integração Indefinida 246 5.1 Definições ....cccccccciccc 246 5.2 Métodos de Integração .......cccccciscc 250 5.2.1 Método de Substituição .....ccccccccccco 250 5.2.2 Integrais que Envolvem Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . .... lc 253 5.2.3 Integração Por Partes... ....cccllc 254 5.2.4 Substituição Trigonométrica . .... clico 257 5.2.5 Integração de Funções Racionais ....ccccc o 262 5.2.6 Tangente do Angulo Médio .......icccccco 271 5.3 Aplicações da Integral Indefinida . . ....ccccccccco 272 5.3.1 Obtenção de Famílias de Curvas ......ccccco. 272 5.3.2 Outras Aplicações ....cccccccic 273 5.4 Exercícios... cc cc lille 276 6 Integração Definida 282 6.1 Introdução ....cccccccc 282 6.22 Definição e Cálculo da Integral Definida .. ... cc... 288 6.2.1 Teorema Fundamental do Cálculo .......ccco.. 290 6.3 Contrução de Primitivas .....ccccccccccc 297 6.4 Aplicações da Integral Definida . .. 300 6.4.1 Aceleração, velocidade e posição ........cccc.. 300 6.5 Cálculo de Áreas ....cccciiiicccci 303 6.6 Volume de Sólidos de Revolução ......cccccccctoo 319 6.6.1 Cálculo do Volume do Sólidos ......cccccco. 321 6.6.2 Outros Eixos de Revolução ......cccccco 327 6.6.3 Métodos das Arruelas ......cccccccccc 330 6.7 Comprimento de Arco ......cccccccsi 334 6.8 Logaritmo Natural .....cicccccccs 337 viii 10 CONTEÚDO 6.8.1 Logaritmo Natural como Área .icccccici 338 6.9 Trabalho .....ccccccc 339 6.10 Integrais Impróprias ......ccclcccs 341 6.10.1 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados ....... 341 6.10.2 Integrais de Funções Descontínuas . . .... cc... 348 6.11 Exercícios... Lc cccllcss 353 Exercícios Resolvidos 365 Apéndice 401 Respostas 411 Bibliografia 429 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO No capítulo I apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do 2º grau essenciais para o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o conjunto dos números reais, denotado por R, com as opererações fundamentais e suas respectivas propriedades, bem como com a visualização geométrica de R como uma reta e dos números reais como pontos dessa reta. 1.1 Desigualdades A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando os símbolos usuais para maior, maior ou igual, menor, menor ou igual (>, >, 0; no eixo coordenado temos que a está à esquerda de b. Para todo a, bE R temos: ova >b,oua > > Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos. CÁLCULO VOL. I (IME-UERJ) 3 Exemplos: [1] Desigualdades Lineares: Determinemos o conjunto-solução de: az+b>0. ax -+b> 0 é equivalente a ax > —b; logo: i)Sea>0,x> =; o conjunto-solução é [- 2,400). b n b . = 4 ii) SeaO: i) Sea > 0, a desigualdade ax? +ba+c > O tem S = (-00,0]U[S, +oo) caz?+bz+e 0temS=[0,B]Jear+brz+c0,a desigualdade az? +bz+c>0temS=Reazx?+ba+c0temS=(ajear?+ba+c0,a desigualdade az? +br+c>0temS=Reaz?+br+c0temS=(b)car?+bz+c 5(x+2). i)Sex+2>0,istoéa > —2; então, 37 — 2> 5(x + 2), de onde obtemos x < —6. 4 MAURICIO A. VILCHES - MARIA L. CORRÊA i)z+20 lal= -a se a 0. iii) |b|> a seesomenteseb>aoub0. iv) Ja -b| = Jal |b). - ll bl vi) la +b| < Ja|+ |b]. v) ,seb£O. 2 b Exemplos: Achar a solução de: [1 |z?-z+1]>1. Pela propriedade iii), |x2 - « +1|> 1 é equivalente a: 22 -z+1>1ouz?-z+11,entãor(z-1)>0ezxil; 2 1 7 b)Sex?-z+1 [4a]. Pela propriedade iii), |9 — 2x] > |4x| é equivalente a: 9- 27 > |4x/0u9-—-21|4z|, entãoZr—-9 ) pontos do plano. A distância d entre A e B é: d(A, B) = (xa — 1)? + (yo — yn)2. A distância possui as seguintes propriedades imediatas: i) d(A,B) > 0 e d(A,B) = 0 se e somente se A= B. ii) d(A, B) = d(B, 4). iii) d(A, B) < d(A,C) + d(C, B). Exemplos: [1] Calcule a distância entre os pontos A = (2,-3)e B=(-2,1). Aplicando a fórmula: d(4,B)= V(-2-2)2+(1- (-3))? = 32. . o. .3 . [2] Determine o ponto Q, que divide na razão zº segmento de reta que liga os pontos CÁLCULO VOL. I (IME-UERJ) 7 P=(-4,-1eR= (12,11). Sejam Q = (x,y) o ponto procurado e S = (x,-—1), T = (12,1) pontos auxiliares como no desenho: R P s T Os triângulos PQS e PRT são semelhantes; logo: dP,S) dP,Q) e dPT) dPR) d(Q,5) - d(P,Q) AMRT) PR) P, P, Por outro lado, d(P,Q) = 3d(P, R) ed(R,Q) = dm, Aplicando a fórmula da distân- cia: (P,S)=z+4, dQ,S)=y+1e d(R,T) = 12. Obtemos o sistema: (io yv+1=9, que tem como solução: x = y = 8; logo Q = (8,8). 8 MAURICIO A. VILCHES - MARIA L. CORRÊA 1.6 Equação da Reta 1.6.1 Equação Geral da Reta Sejam P, = (11,y1) e Pp = (192,y>) dois pontos distintos no plano: E A equação da reta que passa pelos pontos P, e Pp é: avx+by+c=0, ondea=y-ya,b=19-—-T)ec=auy2-zay- O ponto Py = (x9,yo) pertence à reta az +by+c=0seazo+byo+c=o0. Exemplos: [1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos P, = (—1,3) e Py = (2,-4). a=3+4=7,b=2+1=3ec=-2: logo, a equação é: 7x +3y-—-2=0. [2] Determine k tal que o ponto P = (3,k) pertença à reta 32 +5y — 12=0. 3 O ponto P = (3,k) pertence à reta 3x +5y-—-12=0se3-3+5-k-—12=0; logo, k= 3 Desenhos de [1] e [2], respectivamente: CÁLCULO VOL. I (IME-UERJ) 9 1.6.2 Equação Reduzida da Reta 2 Y: y: e T2—21 Se uma reta não é paralela ao eixo dos y, então b £ 0. Fazendo: m = Tay — Tiy2 n=DD I2— 21 + obtemos a equação reduzida da reta: y=miz+n. m é chamado coeficiente angular da reta e n coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto Py = (x0,Y0) e tem coeficiente angular m é: y—yo=m(z-— ao). Exemplos: [1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P; = (2,1) e P; = (6,5). m=1efazemosP,=P,ouP,=P;então,sexo=2ey=1,temos,y-x+1=0ou y=7-1. [2] Escreva na forma reduzida a equação: 41 +2y+5=0. 5 A forma reduzida é do tipo y = mx +n; então, y = —27 — 2 Desenhos de [1] e [2], respectivamente: 10 MAURICIO A. VILCHES - MARIA L. CORRÊA 1.6.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas Sejjamy=maz+mey=max+na as equações de duas retas. As retas são paralelas se e somente se my = ma. Às retas são perpendiculares se e somente se m; -m2 = —1. Logo, as retas de equações ax +biy+c =0eazz+b2y+ca = 0 são perpendiculares, se e somente se, ay 42 + bi by = 0. Exemplos: D) —2 Q+hja 1e y-304 822 = 0 sejam paralelas. 1] Ach l 1 — [1] Ache o valor de k tal que as retas y E: FE2 = . an 2+k As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo, as = 3; donde k = 1. 1 Logo, as equações das retas são: y= 37x +ley=31-— 3 Desenho à esquerda. [2] Ache o valor de k tal que as retas ky = x + k ey-1=2k2x sejam perpendiculares. 1 1 As retas são perpendiculares se: (5) -(2k2) = —1, donde k — -3 Logo, as equações 1 das retas são: y = —217+ í ey= 5 +1. Desenho à direita. CÁLCULO VOL. I (IME-UERJ) 1 1.7 Equações das Cônicas A equação do segundo grau em duas variáveis: 472 + Cy? +Dz+Ey+F=0, sendo 4 e C não simultanemente nulas representa em geral, uma curva no plano chamada cônica, cuja natureza depende dos coeficientes 4, C€, D, E, e F. Podemos considerar dois casos: AL0eCLOCAC=0. Caso 1: AZ0eC%o0. Completando quadrados dos binômios nas variáveis x e y, a equação acima pode ser escrita como: A(z+h?+C(y+k) =L, DL E > 34 8 = 30 CL=AN+CR =P. Se L=0, o lugar geométrico é um ponto. onde h = SeLeC ou A tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se L 0, a equação pode ser escrita como: (z+h)? 4 (gh) Do —5— L A co 1. 1) Se AC >0 (Ae C temo mesmo sinal) e L tem o mesmo sinal de A ou C, a equação (1) pode ser escrita como: (2+h)2º (y+k? o Ca tow S (2) 1, L L . onde a? = a b2 = o A equação (2) representa uma elipse centrada em (—h, —k) e eixos paralelos aos eixos coordenados; no caso particular A = C, a equação representa um círculo de raio a, centrado em (—h, —k): (x+h)2 + (y+k)? = a? 2) Se AC 0e4>0(ouL0),a equação (1) pode ser escrita como: 2 2 o EE BRR, 12 MAURICIO A. VILCHES - MARIA L. CORRÊA L 2=> 2=|— onde a* =, eb E i)SeL0eA0;D=-32,E=-12eF=84logo,h=-4,k=-6,L=16, a2=4€e = = 16. A equação representa uma elipse centrada no ponto (4,6) de equação: CÁLCULO VOL. I (IME-UERJ) 13 (r-4)2 (4-6) q too A=C=1,4C>0,D=-2, E=0eF=-3lgoL=4h=-1,k=0€ a2 =b2 = 4. A equação representa um círculo centrado em (1,0), de raio 2 e tem a forma: (r- 12 +92 =4. Desenhos de [1] e [2], respectivamente: º 2 4 6 8 º [8] Como 4=-4,C=9,D=E=0eF=-36,temos: AC