CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ll  CLAUDIO AGUINALDO BUZZI, Outro de Cálculo Diferencial e Integral. Centro Universitário de Brasília (UniCEUB)
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sebastiao-ribeiro1 de maio de 2018

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ll CLAUDIO AGUINALDO BUZZI, Outro de Cálculo Diferencial e Integral. Centro Universitário de Brasília (UniCEUB)

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Cálculo Diferencial e Integral II

Claudio Aguinaldo Buzzi

Departamento de Matemática

UNESP - Campus de São José do Rio Preto

Índice

1 Superf́ıcies especiais 4 1.1 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Funções reais de duas variáveis reais 9 2.1 Domı́nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Curvas de ńıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Funções reais de três variáveis reais 12 3.1 Domı́nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Superf́ıcies de ńıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Noções topológicas no plano e no espaço 14 Primeira Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Limites e continuidade: definição e propriedades 17 Segunda Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Derivadas parciais 25 6.1 Definição e interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Terceira Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Quarta Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.4 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.5 Derivação de funções definidas implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Quinta Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.6 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.7 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Sexta Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.8 Generalização do Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.9 Fórmula de Taylor com resto de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.10 Extremos Locais: Máximos e Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Sétima Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.11 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Revisão de Integrais de funções de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 Integral dupla 100 7.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Oitava Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ii

7.5 Mudança de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Nona Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8 Integral tripla 129 8.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.3 Mudança de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Décima Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9 Funções Vetoriais 137 9.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.2 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.5 Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco . . . . . . . . 138

10 Integral de Linha 140 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Décima Primeira Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1 Função Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.2 Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3 Independência dos Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Décima Segunda Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11 Integral de Superf́ıcies 164 11.1 Noções sobre superf́ıcies e planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.2 Integral de Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.3 Teoremas de Gauss e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Décima Terceira Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Quarta Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

iii

Aula 1: 24/02/2010

Conteúdo Programático do Curso

1. Superf́ıcies especiais.

(a) Planos

(b) Cilindros

(c) Quádricas

2. Funções reais de duas variáveis reais.

(a) Domı́nio

(b) Gráfico

(c) Curvas de ńıvel

3. Funções reais de três variáveis reais.

(a) Domı́nio

(b) Superf́ıcies de ńıvel

4. Noções topológicas no plano e no espaço.

5. Limites e continuidade: definição e propriedades.

6. Derivadas parciais.

(a) Definição e interpretação geométrica

(b) Diferenciabilidade

(c) Vetor gradiente

(d) Regra da cadeia

(e) Derivação de funções definidas implicitamente

(f) Derivada direcional

(g) Derivadas parciais de ordem superior

(h) Generalização do Teorema do Valor Médio

(i) Fórmula de Taylor com resto de Lagrange

(j) Aproximação linear

(k) Diferenciais

(l) Extremos locais: máximos e mı́nimos

(m) Multiplicadores de Lagrange

(n) Aplicações

1

7. Integral dupla.

(a) Definição

(b) Propriedades

(c) Teorema de Fubini

(d) Mudança de variáveis

(e) Aplicações

8. Integral tripla.

(a) Definição

(b) Propriedades

(c) Mudança de variáveis

(d) Aplicações

9. Funções vetoriais.

(a) Definição

(b) Operações

(c) Limite e continuidade

(d) Derivada

(e) Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco

10. Integral de linha.

(a) Independência de caminhos

(b) Diferenciais exatas

(c) Função potencial

(d) Teorema de Green

11. Integral de superf́ıcie.

(a) Teoremas de Gauss e de Stokes

(b) Aplicações

Bibliografia

1. Guidorizzi, H. L. - Um curso de cálculo, Vol. 2 e 3, LTC, Rio de Janeiro, 2001.

2. Pinto, D. e Cândida, F. M. - Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, UFRJ, Rio de Janeiro, 2003.

3. Stewart, J. - Cálculo, Vol. 2, Thompson, São Paulo, 2004

2

4. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. - Cálculo B, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2007.

5. Anton, H. - Cálculo: um novo horizonte, Bookman, 2000.

6. Thomas, G. B. - Cálculo, Vol. 2, Addison-Wesley, São Paulo, 2003.

Avaliação Serão aplicadas 4 provas. A média final será obtida como uma média aritmética entre as

notas dos semestres. A matéria da primeira prova será tudo o que for visto até o dia da prova. A matéria da segunda prova será toda a matéria do primeiro semestre. A matéria da terceira prova será a matéria que for vista do ińıcio do segundo semestre até o dia da terceira prova. A matéria da quarta prova será toda a matéria do segundo semestre.

Se a nota da segunda prova for maior que a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a nota da segunda prova. Se a nota da segunda prova for menor ou igual a nota da primeira prova, então a nota do primeiro semestre será a média aritmética das notas da primeira e segunda provas.

Se a nota da quarta prova for maior que a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a nota da quarta prova. Se a nota da quarta prova for menor ou igual a nota da terceira prova, então a nota do segundo semestre será a média aritmética das notas da terceira e quarta provas.

Somente os alunos que perderem uma das 4 provas, por motivo justificado, poderão fazer outra prova no dia 02/12.

Ao final do curso os alunos que obtiverem média igual ou superior a 5,0 (cinco) e pelo menos 70% de freqüência serão aprovados. Os alunos que tiverem média inferior a 5,0 (cinco) e pelo menos 70% de freqüência poderão fazer uma prova de recuperação. Nesse caso a média final é obtida fazendo-se a média aritmética entre a média anterior com a nota da recuperação. Se a média final for igual ou superior a 5,0 (cinco) o aluno será aprovado, caso contrário será reprovado. Os alunos que tiverem freqüência inferior a 70% serão reprovados por faltas.

As datas das provas: Prova 1: Sexta, 30 de abril. Prova 2: Sexta, 18 de junho. Prova 3: Quinta, 30 de setembro. Prova 4: Terça, 30 de novembro. Prova Perdida: Quinta, 02 de dezembro. Recuperação: Quinta, 09 de dezembro.

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Aula 2: 26/02/2010

1 Superf́ıcies especiais

1.1 Planos

Um plano no espaço fica completamente determinado por um ponto P0(x0, y0, z0) do plano e um vetor n que é ortogonal ao plano. Este vetor ortogonal n é chamado vetor normal. Seja P (x, y, z) um ponto arbitrário do plano, e sejam r0 e r os vetores posição de P0 e P . O vetor r− r0 é representado pelo segmento orientado com origem em P0 e extremidade em P . O vetor n é perpendicular a r− r0 e também ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano.

Figura 1: Plano em R3.

Dáı temos a equação n(̇r − r0) = 0.

A equação anterior é chamada equação vetorial do plano. Se n = (a, b, c), r = (x, y, z) e r0 = (x0, y0, z0) então a equação anterior se torna

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

que é chamada equação escalar do plano. Colecionando todos os termos constantes da equação, ela pode ser escrita na forma

ax+ by + cz + d = 0

que é chamada equação geral do plano. Exemplo: Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q(3,−1, 6) e R(5, 2, 0).

Temos que determinar um vetor normal ao plano. Para isso considere dois vetores paralelos ao plano u = Q − P = (2,−4, 4) e v = R − P = (4,−1,−2). Seja agora o vetor n que é o produto vetorial entre u e v:

n = u× v =

i j k 2 −4 4 4 −1 −2

= (12, 20, 14).

A equação do plano fica

12(x− 1) + 20(y − 3) + 14(z − 2) = 0, ou seja, 6x+ 10y + 7z − 50 = 0.

4

1.2 Cilindros

Um método muito eficiente de esboçar superf́ıcies no espaço tridimensional é calcular as intersecções da superf́ıcie com planos. Nesta e na próxima seção usaremos esse método para esboçar as superf́ıcies.

Definição 1. Um cilindro é uma superf́ıcie que consiste de retas paralelas a uma reta dada (chamada geratriz) e que passam por uma curva plana dada (chamada diretriz).

Figura 2: Superf́ıcie z = x2.

Exemplo: Esboce a superf́ıcie z = x2. Note que a equação não envolve a variável y. Isso significa que todo plano da forma

y = k (paralelo ao plano xz) intersepta em uma curva de equação z = x2. Essas curvas são parábolas. A figura 2 mostra como o esboço é formado tomando a parábola z = x2 no plano xz e movendo-a na direção do eixo y. Esta superf́ıcie é chamada cilindro parabólico. Nesse caso a parábola z = x2, no plano xz, é a diretriz e o eixo y é a geratriz.

O fato ocorrido no exemplo anterior, de uma das variáveis não aparecer na equação da superf́ıcie, é t́ıpico das superf́ıcies que possuem como geratriz um dos eixos coordenados.

(a) (b)

Figura 3: Superf́ıcies x2 + y2 = 1 e y2 + z2 = 1.

Exemplo: Esboce as superf́ıcies (a) x2 + y2 = 1 e (b) y2 + z2 = 1. (a) Como z está ausente na equação, então a intersecção com planos da forma z = k representa uma circunferência de raio 1, no plano z = k e centrado no ponto (0, 0, k). (b) Como x está ausente na equação, então a intersecção com planos da forma x = k representa uma circunferência de raio 1, no plano x = k e centrado no ponto (k, 0, 0).

5

1.3 Quádricas

Definição 2. Quádrica é o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma equação do segundo grau do tipo

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0,

onde A, B, C, . . . , J são constantes.

Observamos que através de rotações e translações toda quádrica pode ser colocada em uma das seguintes formas normais

Ax2 +By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 +By2 + Iz = 0.

Exemplo: Esboce a quádrica

x2 + y2

9 +

z2

4 = 1.

Substituindo z = 0 na equação, obtemos x2 + y 2

9 = 1 que é a equação de uma elipse no

plano z = 0 de vértices (±1, 0, 0) e (0,±3, 0). De forma geral, calculando a intersecção com planos paralelos aos planos coordenados obtemos:

x2 + y2

9 = 1− k

2

4 , z = k (se − 2 ≤ k ≤ 2),

y2

9 +

z2

4 = 1− k2, x = k (se − 1 ≤ k ≤ 1),

x2 + z2

4 = 1− k

2

9 , y = k (se − 3 ≤ k ≤ 3).

A figura 4 mostra o esboço da quádrica que é chamada elipsóide pois a intersecção com os planos coordenados são elipses.

Figura 4: Elipsóide.

Exemplo: Esboce a superf́ıcie z = 4x2 + y2. Colocando x = 0 obtemos a parábola z = y2 no plano yz. Se colocamos x = k, obtemos

z = 4x2 + k2. Isso significa que se fatiamos a quádrica com planos paralelos ao plano yz obtemos ainda parábolas mas com o vértice cada vez mais alto. Se colocamos z = k, com k > 0, obtemos elipses 4x2+y2 = k. Conhecendo essas intersecções com os planos paralelos aos planos coordenados podemos esboçar a quádrica conforme a figura 5. Devido as intersecções darem elipses e parábolas, essa superf́ıcie é chamada parabolóide eĺıptico.

6

Figura 5: Parabolóide Eĺıptico.

7

Aula 3: 03/03/2010

Exemplo: Esboce a superf́ıcie z = y2 − x2. Colocando x = k obtemos parábolas z = y2−k2 com concavidade voltada para cima (veja

figura 6 (a) e (d)). Quando fatiamos por planos y = k obtemos parábolas z = −x2 + k2 com concavidade voltada para baixo (veja figura 6 (b) e (e)). Se colocamos z = k, com k 6= 0, obtemos hipérboles y2 − x2 = k. E se z = 0, obtemos retas y = ±x (ver figura 6 (c) e (f)).

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 6: Cortes na quádrica z = y2 − x2.

Juntando essas informações obtemos a quádrica dada na figura 7. Devido as intersecções darem hipérboles e parábolas, essa superf́ıcie é chamada parabolóide hiperbólico.

Figura 7: Parabolóide Hiperbólico.

Exemplo: Esboce a superf́ıcie x2

4 + y2 − z

2

4 = 1.

A intersecção com planos da forma z = k obtemos a elipse

x2

4 + y2 = 1 +

k2

4 ,

e as intersecções com os planos coordenados xz e yz são as hipérboles

x2

4 − z

2

4 = 1 e y2 − z

2

4 = 1.

A superf́ıcie obtida é chamada hiperbolóide de uma folha e é apresentada na figura 8.

8

Figura 8: Hiperbolóide de uma folha.

2 Funções reais de duas variáveis reais

2.1 Domı́nio

Definição 3. Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função real de duas variáveis reais é uma correspondência f : D ⊂ R × R → R que associa a cada par (x, y) ∈ D um único número real denotado por f(x, y). Nesse caso o conjunto D é o domı́nio de f .

y

x

D (x, y)

f(x, y)

R

Figura 9: Função real de duas variáveis reais.

Observamos que se for apresentado apenas a lei de definição da função então fica suben- tendido que o o domı́nio é o maior conjunto posśıvel de pares de números reais onde aquela lei pode ser aplicada. Veja o exemplo a seguir: Exemplo: Encontre o domı́nio da função

f(x, y) = xy − 5 2 √ y − x.

Para que a raiz quadrada do denominador esteja bem definida temos que ter y ≥ x, e como está no denominador, não podemos ter y = x. Portanto o domı́nio de f é D = {(x, y) ∈ R

2 : y > x}. Na Figura 10 está representado o domı́nio de f .

9

y

x

y > x

Figura 10: Domı́nio de f .

2.2 Gráfico

Definição 4. Seja D ⊂ R2 e f : D → R. O gráfico de f é o conjunto

Graf(f) = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D}.

Exemplo: Considere a função f(x, y) = √

9− x2 − y2. Observe que o domı́nio é o conjunto dos pontos onde 9 − x2 − y2 ≥ 0, ou seja, D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9}. O conjunto D é formado pela circunferência de centro (0, 0) e raio 3 e todos os pontos no seu interior. Para calcular o gráfico, substitúımos f(x, y) por z e elevamos ao quadrado obtendo x2+y2+z2 = 9. E como z ≥ 0 então o gráfico é o hemisfério superior da esfera centrada em (0, 0, 0) e raio 3. Veja figura 11.

Figura 11: Gráfico de f .

2.3 Curvas de ńıvel

Definição 5. Seja D ⊂ R2 e f : D → R. A curva de ńıvel k de f é o conjunto

f−1(k) = {(x, y) ∈ D : f(x, y) = k}.

As curvas de ńıvel servem por exemplo para aplicações em topografia. Veja figura 12.

10

10m

10m

4m

4m

2m 2m

Figura 12: Topografia.

11

Aula 4: 05/03/2010

Exemplo: Esboce algumas curvas de ńıvel do exemplo anterior. f(x, y) = k ⇔

9− x2 − y2 = k ⇔ x2 + y2 = 9− k2.

Figura 13: Curvas de ńıvel de f .

Exemplo: Esboce algumas curvas de ńıvel de g(x, y) = −x2 + y2. O gráfico de g é o parabolóide hiperbólico. Seja k > 0, então o g−1(k) = {(x, y) ∈ R2 :

y2 − x2 = k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (0,± √ k). Se k = 0, então g−1(0) =

{(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = 0}, ou seja é o par de retas y = ±x. Seja k < 0, então o g−1(k) = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = k}, ou seja é uma hipérbole de vértices (±

√ −k, 0).

k = 0 k = −1 k = −2

k = 1

k = 2

Figura 14: Curvas de ńıvel de g.

3 Funções reais de três variáveis reais

3.1 Domı́nio

Definição 6. Seja D um conjunto de triplas ordenadas de números reais. Uma função real de três variáveis reais é uma correspondência f : D ⊂ R3 → R que associa a cada tripla (x, y, z) ∈ D um único número real denotado por f(x, y, z). Nesse caso o conjunto D é o domı́nio de f .

Conforme no caso de duas variáveis, se for apresentado apenas a lei de definição da função então fica subentendido que o o domı́nio é o maior conjunto posśıvel de triplas de números reais onde aquela lei pode ser aplicada.

12

z

y

D (x, y)

f(x, y)

R

x

Figura 15: Função real de três variáveis reais.

3.2 Superf́ıcies de ńıvel

Definição 7. Seja D ⊂ R3 e f : D → R. A superf́ıcie de ńıvel k de f é o conjunto

f−1(k) = {(x, y, z) ∈ D : f(x, y, z) = k}.

Exemplo: Esboce algumas superf́ıcies de ńıvel de f(x, y, z) = z − √

x2 + y2.

Observe que para k = 0 temos z = √

x2 + y2, que é a equação do cone com vértice em

(0, 0, 0). Quando fazemos f(x, y, z) = k temos z − k = √

x2 + y2, que é a equação do cone com vértice em (0, 0, k). Veja a figura 16.

k = 1

k = 0

k = −1

Figura 16: Superf́ıcies de ńıvel de f .

Exemplo: Descreva as superf́ıcies de ńıvel de f(x, y, z) = x2 − y2 + z2. As superf́ıcies de ńıvel são dadas pela equação x2−y2+z2 = k. Observe que se k é positivo

então a superf́ıcie é um hiperbolóide de uma folha, se k = 0 então a superf́ıcie é um cone de duas folhas e se k é negativo então a superf́ıcie é um hiperbolóide de duas folhas. Veja a figura 17.

k > 0 k = 0 k < 0

Figura 17: Superf́ıcies de ńıvel de g.

13

4 Noções topológicas no plano e no espaço

Definição 8. Definimos a norma de um vetor (x, y) ∈ R2 como sendo o número real

‖(x, y)‖ = √

x2 + y2.

Com o conceito de norma, podemos definir o conceito de bola aberta.

Definição 9. Sejam (x0, y0) um ponto de R 2 e r > 0 um número real. O conjunto

{(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r}

chama-se bola aberta de centro (x0, y0) e raio r.

Exemplo: Esboce a bola aberta de centro (2, 1) e raio 1. Devemos esboçar o conjunto {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (2, 1)‖ < 1}. Em outras palavras, os

pontos (x, y) que satisfazem √

(x− 2)2 + (y − 1)2 < 1, ou ainda, (x−2)2+(y−1)2 < 1. Esse conjunto é formado pelos pontos do que estão dentro da circunferência de centro (2, 1) e raio 1.

1

2

Figura 18: Bola Aberta.

Observe que na figura 18 a circunferência está tracejada pois seus pontos não pertence à bola aberta.

Definição 10 (Ponto Interior). Seja A um subconjunto não vazio de R2. Dizemos que (x0, y0) é um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) contida em A.

14

Primeira Lista de Exerćıcios

1. Encontre a equação do plano nas seguintes situações:

(a) Plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 0).

(b) Plano que passa pelo ponto (−2, 8, 10) e é perpendicular à reta x = 1 + t, y = 2t e z = 4− 3t.

(c) Plano que contem as retas x = 3+2t, y = t, z = 8− t e x = 3t, y = 1+ t, z = 7− t.

2. Esboce as superf́ıcies:

(a) y2 + 4z2 = 4.

(b) z = 4− x2. (c) x− y2 = 0. (d) z = cosx.

3. Descreva o domı́nio de f e ache os valores funcionais indicados

(a) f(x, y) = y + 2

x ; f(3, 1), f(1, 3) e f(2, 0).

(b) f(u, v) = uv

u− 2v ; f(2, 3), f(−1, 4) e f(0, 1).

(c) f(x, y, z) = 2 + tg(x) + ysen(z); f(π 4 , 4, π

6 ) e f(0, 0, 0).

4. Esboce o gráfico de f .

(a) f(x, y) = 6− 2x− 3y. (b) f(x, y) =

72 + 4x2 − 9y2. (c) f(x, y) =

y2 − 4x2 − 16.

5. Esboce as curvas de ńıvel para os dados valores do ńıvel k.

(a) f(x, y) = y2 − x2, em k = −4, 0, 9. (b) f(x, y) = x2 − y, em k = −2, 0, 3. (c) f(x, y) = (x− 2)2 + (y + 3)2, em k = 1, 4, 9.

6. Ache a equação da superf́ıcie de ńıvel que contém o ponto P .

(a) f(x, y, z) = x2 + 4y2 − z2, em P = (2,−1, 3). (b) f(x, y) = z2y + x, em P = (1, 4,−2).

7. Se x é a velocidade do vento (em m/seg) e y é a temperatura (em oC), então o fator de resfriamento eólico F (em (kcal/m2)/hr) é dado por

F = (33− y)(10 √ x− x+ 10, 5).

(a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F é 0. (Admita que 0 ≤ x ≤ 50 e −50 ≤ y ≤ 50.)

(b) Se F ≥ 1400, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gráfico da curva de ńıvel F = 1400.

15

Aula 5: 10/03/2010

Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0}.

Figura 19: Pontos interiores.

Qualquer ponto (x, y), com x > 0 e y > 0, é ponto interior de A. Basta escolher o raio da bola menor que o mı́nimo entre x e y. No entanto, os pontos da forma (x, y), com x = 0 ou y = 0, não são pontos interiores. Qualquer bola aberta centrada em um ponto da forma (x, 0) não está contida no conjunto A. Veja a figura 19.

Definição 11 (Conjunto Aberto). Dizemos que um subconjunto A ⊂ R2 é aberto se todo ponto de A é ponto interior de A.

Exemplos:

• O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0} não é aberto, pois como vimos no exemplo anterior ele possui pontos da forma (x, 0) e (0, y) que não são pontos interiores.

• O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 e y > 0} é aberto, pois todos os seus pontos são pontos interiores.

• O conjunto B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

2 < 1} é aberto. Veja a figura 20.

Figura 20: Interior da elipse.

Definição 12 (Ponto de Acumulação). Seja A um subconjunto de R2 e seja (a, b) um ponto de R2. Dizemos que (a, b) é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) de A, com (x, y) 6= (a, b).

16

Em outras palavras, (a, b) é ponto de acumulação de A se existem pontos de A, distintos de (a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira.

Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.

• (0, 0) é ponto de acumulação de A.

• (1, 0) é ponto de acumulação de A.

• (2, 0) não é ponto de acumulação de A.

Figura 21: Interior do ćırculo.

Observamos que podem ocorrer casos em que um ponto (a, b) pertence ao conjunto A, mas não é ponto de acumulação de A. Nesse caso, esses pontos são chamados de pontos isolados de A. Por exemplo, em um conjunto com um número finito de pontos todos os pontos são isolados. Para cada ponto (a, b), basta escolher uma bola aberta que tenha como raio um número menor que a distância mı́nima de (a, b) aos outros pontos do conjunto.

Observação: Observamos que as noções topológicas no espaço são exatamente as mesmas do plano. A única diferença é que a norma de um vetor (x, y, z) de R3 é dada por

x2 + y2 + z2. Por exemplo a bola aberta em R3 de centro (2, 1, 1) e raio 1 é constitúıda pelos pontos interiores à esfera de centro (2, 1, 1) e raio 1.

5 Limites e continuidade: definição e propriedades

De posse da definição de ponto de acumulação de um conjunto, podemos definir a noção de limite para funções reais de duas variáveis reais.

Definição 13 (Limite). Sejam f : A ⊂ R2 → R uma função, (x0, y0) um ponto de acumulação de A e L um número real. Dizemos que o limite de f(x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) é L e escrevemos

lim (x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L

se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que todo (x, y) ∈ A com a propriedade 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ se tenha |f(x, y)− L| < ε.

17

y0

x0

A

δ

L L+ εL− ε

Figura 22: Definição de limite.

Escrevendo de maneira mais resumida temos lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L se :

∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ A e 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ε.

O limite de f(x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) é L significa que se (x, y) está no domı́nio de f e pertence à bola de centro (x0, y0) e raio δ e (x, y) 6= (x0, y0), então a imagem f(x, y) pertence ao intervalo (L− ε, L+ ε). Veja a figura 22.

Exemplo: Seja f(x, y) = k uma função constante. Mostre que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = k.

De fato, dado ε > 0, basta tomar um δ > 0 qualquer. Dáı se 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ então temos |f(x, y)− L| = |k − k| = 0 < ε.

Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x. Mostre que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = x0.

Inicialmente observe que |x − x0| = √

(x− x0)2 ≤ √

(x− x0)2 + (y − y0)2 = ‖(x, y) − (x0, y0)‖.

De posse da observação anterior, dado ε > 0 qualquer, temos que encontrar δ > 0 que satisfaça a definição de limite. Muito bem, escolha δ igual ao ε > 0 dado. Nesse caso, temos que para todo (x, y) ∈ R2 vale:

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− x0| = |x− x0| ≤ ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ = ε.

Ou seja, mostramos que

0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− x0| < ε.

18

Aula 6: 12/03/2010

Exemplo: A função f(x, y) = −x2 + y2 x2 + y2

tem limite em (0, 0)?

A resposta dessa pergunta é não, pois quando calculamos f nos pontos da forma (x, 0) temos f(x, 0) = −1 e em pontos da forma (0, y) temos f(0, y) = 1. Para provarmos de maneira rigorosa, suponha que o limite exista e seja L. Se L ≤ 0, temos

|f(0, y)− L| = |1− L| = 1− L ≥ 1.

Se L > 0, temos |f(x, 0)− L| = | − 1− L| = 1 + L > 1.

Portanto, dado ε = 1, não é posśıvel encontrar δ > 0 de tal forma que todos os pontos (x, y), com 0 < ‖(x, y)‖ < δ, satisfaçam |f(x, y)− L| < ε.

Para a próxima definição necessitaremos do conceito de função vetorial cont́ınua, a ser estudada em um caṕıtulo posterior. Uma aplicação de um intervalo I ⊂ R em R2 é uma correspondência α : I → R2 que a cada t ∈ I associa um α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ R2. Dizer que α é cont́ınua, é o mesmo que dizer que α1 : I → R e α2 : I → R são cont́ınuas.

Definição 14 (Curva ou caminho). Seja I ⊂ R um intervalo. Uma curva ou caminho em R

2 é uma aplicação cont́ınua α : I → R2.

Exemplo: A equação vetorial da reta α(t) = (x0 + at, y0 + bt) é um exemplo de caminho. É a reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem a direção do vetor (a, b). Veja figura 23-(a). Outro exemplo de caminho é dado por β(t) = (t2, t). Observe que esse caminho é a parábola x = y2. Veja figura 23-(b).

(x0, y0)

(a, b)

(a) (b)

Figura 23: Caminhos.

Definição 15. Dados (x0, y0) ∈ D ⊂ R2, uma função f : D → R e um caminho α : I → D passando por (x0, y0), isto é α(t0) = (x0, y0) para algum t0 ∈ I, então definimos o limite pelo caminho α, da função f quando (x, y) tende a (x0, y0) por

lim t→t0

f(α(t)).

19

Exemplo: Considere a função f(x, y) = −x2 + y2 x2 + y2

e (x0, y0) = (0, 0). Considere ainda os

caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (0, t). Ambos caminhos passam pelo (0, 0) quando t = 0. Temos

lim t→0

f(α1(t)) = lim t→0

−t2 t2

= −1, e

lim t→0

f(α2(t)) = lim t→0

t2

t2 = 1.

Proposição 1. Se existem pelo menos dois caminhos α1 e α2, passando pelo ponto (x0, y0), tais que limt→t0 f(α1(t)) 6= limt→t0 f(α2(t)), então não existe lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y).

Proposição 2. Se para algum caminho α o limite limt→t0 f(α(t)) não existe, então não existe lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y).

Exemplo: Usando a proposição anterior temos que lim (x,y)→(0,0)

cos x

x2 + y2 não existe. De fato,

se considerarmos o caminho α(t) = (t, 0), então o limite de uma variável real lim t→0

cos 1

t não

existe.

Exemplo: Mostre que lim (x,y)→(0,0)

xy2

x2 − y2 não existe. Para isso, considere os seguintes caminhos α1(t) = (t+ t

2, t) e α2(t) = (t− t2, t). Dáı temos

lim t→0

f(α1(t)) = lim t→0

t4 + t3

t4 + 2t3 + t2 − t2 = limt→0 1 + t

2 + t =

1

2 , e

lim t→0

f(α2(t)) = lim t→0

−t4 + t3 t4 − 2t3 + t2 − t2 = limt→0

1− t −2 + t = −

1

2 .

Portanto não existe o limite.

Teorema 1 (Teorema do Confronto). Sejam f, g, h : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) um ponto de acumulação de D. Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para todo (x, y) ∈ D, lim

(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L

e lim (x,y)→(x0,y0)

h(x, y) = L, então lim (x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = L.

Proposição 3. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) um ponto de acumulação de D. Se g é limitada e lim

(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = 0, então lim

(x,y)→(x0,y0) f(x, y)g(x, y) = 0.

Observação: Uma função g : D ⊂ R2 → R é limitada se existe M ∈ R tal que |g(x, y)| < M para todo (x, y) ∈ D.

Exemplo: Calcule lim (x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2 .

Inicialmente observe que x2 + y2 ≥ x2 ≥ 0, portanto x2 x2+y2

≤ 1. Então consideramos f(x, y) = x e g(x, y) = x

2

x2+y2 . Dai f(x, y)g(x, y) = x

3

x2+y2 , g é limitada e lim

(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0.

Portando usando a proposição anterior conclúımos que o limite é zero.

20

Aula 7: 17/03/2010

Proposição 4 (Propriedades operatórias). Se lim (x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L1 e lim (x,y)→(x0,y0)

g(x, y) =

L2 então

• lim (x,y)→(x0,y0)

[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2;

• lim (x,y)→(x0,y0)

[kf(x, y)] = kL1;

• lim (x,y)→(x0,y0)

[f(x, y)g(x, y)] = L1L2;

• lim (x,y)→(x0,y0)

f(x, y)

g(x, y) =

L1 L2

se L2 6= 0.

Definição 16 (Continuidade). Sejam U ⊂ R2, f : U → R e (x0, y0) ∈ U . Dizemos que f é cont́ınua em (x0, y0) se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ U , com ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ, implica |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε.

De maneira mais abreviada f é cont́ınua em (x0, y0) ∈ U se:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ U e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε.

Observações:

1. Se (x0, y0) é um ponto isolado de U , então f é cont́ınua. Observe que independe da f pois se o ponto é isolado então existe uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio δ tal que o único ponto de U na bola é (x, y) = (x0, y0). E nesse caso, |f(x, y)− f(x0, y0)| = 0.

2. Se (x0, y0) é um ponto de acumulação de U então f é cont́ınua em (x0, y0) se:

• (x0, y0) ∈ U . • Existe lim

(x,y)→(x0,y0) f(x, y).

• lim (x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0).

Exemplos:

1. A função constante f : R2 → R dada por f(x, y) = k é cont́ınua em todo ponto (x0, y0) ∈ R2 pois lim

(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = k = f(x0, y0).

2. A função f : R2 → R dada por f(x, y) = x é cont́ınua em todo ponto (x0, y0) ∈ R2 pois lim

(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = x0 = f(x0, y0).

21

3. A função f : R2 → R dada por

f(x, y) =

x2 − y2 x2 + y2

se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

não é cont́ınua em (0, 0) pois não existe lim (x,y)→(0,0)

f(x, y).

De fato, tomando-se os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (0, t) temos

lim t→0

f(α1(t)) = lim t→0

0

2t2 = 0 e lim

t→0 f(α2(t)) = lim

t→0

−t2 2t2

= −1 2 .

4. Verifique que a função do exemplo anterior é cont́ınua no ponto (1, 0).

De fato, já provamos que o limite da função h(x, y) = x quando (x, y) tende a (x0, y0) é x0. Portanto lim(x,y)→(1,0) h(x, y) = 1. Utilizando o item (3) da Proposição 4 temos lim(x,y)→(1,0) h(x, y).h(x, y) = 1.1 = 1, ou seja,

lim (x,y)→(1,0)

x2 = 1.

De maneira análoga, usando o fato que o limite da função g(x, y) = y quando (x, y) tende a (x0, y0) é y0 e o item (3) da Proposição 4, prova-se que

lim (x,y)→(1,0)

y2 = 0.0 = 0.

Agora, utilizamos o item (2) da Proposição 4 para garantir que

lim (x,y)→(1,0)

(−1)y2 = (−1).0 = 0.

O item (1) da Proposição 4 garante que lim(x,y)→(1,0) x 2 + (−1)y2 = 1 + 0 = 1. Com a

mesma idéia provamos que lim(x,y)→(1,0) x 2 + y2 = 1+ 0 = 1. Finalmente usamos o ı́tem

(4) da Proposição 4 para concluir que

lim (x,y)→(1,0)

x2 − y2 x2 + y2

= 1

1 = 1.

Pelo fato de (1, 0) ser um ponto de acumulação de R2 e f(1, 0) = 1 = lim(x,y)→(1,0) f(x, y), conclúımos que f é cont́ınua no ponto (1, 0).

Teorema 2. Sejam f : A ⊂ R2 → R e g : B ⊂ R → R duas funções tais que f(A) ⊂ B. Se f é cont́ınua em (x0, y0) ∈ A e g é cont́ınua em f(x0, y0), então a composta h : A → R, dada por h(x, y) = g(f(x, y)) é cont́ınua em (x0, y0).

Demonstração: Dado ε > 0, inicialmente usamos a hipótese que g é cont́ınua em f(x0, y0) para assegurar que existe δ1 > 0 tal que

u ∈ B e |u− f(x0, y0)| < δ1 =⇒ |g(u)− g(f(x0, y0))| < ε. (1)

22

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