Baixe Cálculo Diferencial y de Integrales yu calculus japan autors e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Yu Takeuchi Scanned by CamScanner 1 YU TAKEUCHI se graduó en 1948 de Físico Teórico en la Universidad Imperial de Tokio, Japón. De 1951 a 1962 fue Profesor Asacia- do de la Universidad Ibaraki, Japón. En 1959 se incorporó como Profesor Asociado a la Universidad Nacional de Colombia, en 1963 lo nombraron Profesor Titular de la misma y obtuvo su grado de Maestria en Ciencias de dicha universidad en 1972, Desempeiió el cargo de Vice la Sociedad Colombiana (Presidente encargado de | rante la ausencia del Presidente titular Dr Carlos Lemoine); ha sido Director de la Re- vista Colombiana de Matemáticas, miembro del comité redactor de la misma, y organi- zador de varios congresos y cologuios de matemáticas efectuados de 1963 a 1974, Fue fundador del Programa de posgra en Medellin (Magister en Ingenieria con « Decialización de matemáticas aplicadas) de la Carrera de Matemática Facultad de Minas, Profesores Ramírez libro ECUACIONES do por la Editorial Li Presidente de de Matemáticas a Institución du. Medellin. Junto con los y Ruiz es coautor del r especialidad mbia y de diversos artícu- s Matemático” Publicadas en Colo los sobre “Análisi Aplicada en la, Scanned by CamScanner UNIVERSIDAD CE GUADALAJARA UNIDAD DE BIBLIOTECAS CUCEI 029578 No, ADQUISICION .. CLASIFICAÇION us FACTURA . FECHA Eilssas Todos los derechos reservados: O 1979, EDITORIAL LIMUSA, S.A. Arcos de Belén 75, México 1, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Registro Núm. 121 Primera edición: 1976 Primera reimpresión: 1979 Impreso en México (2646) ISBN 968 — 18 — 0682 — 4 Voy am, Scanned by CamScanner PROLOGO Con el objeto de desarrollar en forma más adecuada el curso de Cálculo, lo mismo que en un esfuerzo a la unificación de programas dentro de la Universidad, el Departamento de Mate- máticas de la Universidad Nacional me encomendó la elaboración de un texto de Cálculo cuya primera edición apareció en febrero de 1966. En las ediciones posteriores se han hecho varias modi- ficaciones pero en la misma linea de la primera edición. Esto es, utilizando métodos intuitivos para estudiar el cálculo sin hacer uso riguroso ni adentrarse en la teoria, con el fin de que los estudiantes se familiaricen con el manejo y las aplicaciones del cálculo en el menor tiempo posible. Al escribir esta nueva edición he abierto la posibilidad a los estudiantes de profundizar sus conocimientos teóricos cuando los profesores así lo aconsejen , para ello he incluido los parágrafos $ 6, 8 10, 5 12, 8 15,828 y S 41, De ser necesario se puede usar este texto para un curso introductorio de un semestre suprimiendo los parágrafos antes mencionados . Por último agradezco la colaboración recibida del profesor Francisco Lleras Lleras quien corrigió las pruebas de este libro. YU TAREUCHI Septiembre de 1971 Scanned by CamScanner CONTENIDO Capitulo O Introducción (Números reales) Ceopítulo 1 Funciones y gráficas 8 1, Funciones y gráficas 8 2. La recta $ 3. Función de segundo grado 8 4. Función inversa 8 5. Función compuesta 8 6* Función y conjunto de parejas ordenadas Capítulo Il Sucesiones infinitas 8 7. Sucesión creciente y expansión decimal de los reales 8 8. Convergencia y divergencia. Sucesión nula. 8 9, Limite de algunas sucesiones 5 10* Teorema de Bolzano Weierstrass. Extremo superior, 811, Limite de una función $ 12* Límite con epsilon y delta 8 13. Continuidad de una función 8 14, Propiedades de la función continua 8 15* Demostración de las propiedades de la función continua Capítulo HI Derivadas de las funciones elementales 5 16, Pendiente de una curva 5 17. Derivada de una función 8 18, Incremento de una función. $ 19. Teoremas sobre derivadas 820. Derivada 821. Derivada de la función compuesta $ 22, Recta tangente, Recta normal. Capítulo IV Derivada de 823. Eli mite Sen x “x euando x tiende a 0 824. Derivada de sent 525, La función expone 826. La función logarit Diferencial. de un cociente funciones transcendentes x, cosly, tan lx ncial mica 82, Derivada de q*, fx) 8(x) 5 28* El número e 8 2. Derivada de orden i 830. Fórmula de Leibniz Pior Scanned by CamScanner 15 84 86 89 93 98 100 103 107 n2 Ns 122 125 128 133 135 À [11] Dados dos aímeros naturales n y m,si nf=mº entonces n (D sea que la correspondencia en [Il] es uno a uno.) [[V] No existe un número natural cuyo posterior es uno, o Sea que el nú- mero uno es el primer número natural, [V] Si un conjunto S de los números naturales satisface las dos siguien- tes condiciones : (i) uno pertenece a 5, (ii) si n pertenece a $ entonces nº pertencce a 5, entonces S contiene a todos los números naturales, La condición [V] se conoce con el nombre del axioma de induceióa , y juega papel principal para la demostración por inducclón matemática, El número inmediatemente posterior a 1 (uno), 1º, se denota 2, el núme ro inmediatamente posterior à 2,2º, se denota 3, etc., así sucesivamente se construye el sistema de todos log números natarales, lo cual se expresa con laletra N. A partir de estos cinco axiomas de Peano se puede defi- nir en N las operaciones conocidas como de adición, multiplicación, sus- tracción, potenciación , veamos por ejemplo como se define la adición. EJEMPLO 1 (i) Sea » cualquier número natural, definimos la suma de ! y n comosi gue: 1I+n=nº (el número inmediatamente posterior a n), (1) (ii) Sean n,m dos números naturales, st la suma m+n está definida en- tonces definimos la cuma mº+n: man= (men (BD A continuación, veremos que la adición está definida entre dos números cualesquiera en N. Dado un número n fijo, sea S el conjunto de todos los números natura- les,m , tales que m+n está definida, de (1) se tiene que 1€S (elsímbolo E selee pertenece a ). De(D),si m E S entonces m* E S, por el axioma de inducción se tiene que S contiene a todos los números naturales (5 = N),esto es, msn eg tá definida para todo número natural m. m De acuerdo con la definición de la suma, se puedo demostrar que n +1 (la suma de n y 1) es iguala nº, puesto que si aturales,m, tales que n+1 =n T=[fneN/n41=nº) [El conjunto de todos los Ta entonces 1€T (por (1)). Sia E T entonces : Scanned by CamScanner nº-1=(n+1)*= (nº) (por (2)) osea que nº pertenece a T. Porel axioma de inducciõa se ego T=N,esto es: e n+l=nº=l]+n paratodo n =M. qm EJERCICIO 1 Sean € N,sinf 1 existe un número natural m tal que mt =n (6 m:1=n), esto es, existe un número inmediatamente anterior a n si nf 1. Solución Sea S=fn EN/ existem tal que m* =n|U [1], si 7 €S$ entonces nº E S ,por el axioma de inducción se tjere qe s=H.o EJERCICIO 2 Demostrar que la adición es conmutatisa, Solución Dado un número natural fijo m, consideremos el conjunto 7. T=[heN/bkom' =b'.mi, Entonces : sm=(lem)* =(mel)*'=msi=lem (por (2)) (por (3)) (bor (2)) (por (3)) o sea que 1 pertenecca T. Si k ET entonces: kº'am* = (hem) =(hºem) =(k')'cm (bor (2)) (por £2)) esto es,k* & T, Por el axioma de inducvión se tiene que To Ny seo que kem" = k*em, para todo k,m EN, (4 Ahora, consideramos el siguiente conjunto W: W=|meM/min=n.m para todo ne Nº) entonces 1 € Wfpor (3). Si m E W enances : m'4n = (men) =(nem) =n'emonm, (por (2)) (por (2)) por (4 . . Ca Reco em: luego m* € W, Por el axioma de inducción se tiene que * [87] m+n = nem pora todo num eN.g EJERCICIO 3 Demnostrar que ; 10 aaa Scanned by CamScanner n+p=n+q implica p=q. Sugerencia Similar a los ejercicios anteriores. O EJERCICIO 4 Demostrar que no existe p E N tal que n=n+pe Solución Si existieratal p E N se tendria: n+l=nº=(nep)º=n+p", luego : bt = 1 (absurdo por el axioma [IV].) q EJERCICIO 5 La adición es asociativa. Sugerencia Dados n y m , considerar el conjunto T : T=[k/(namk =n+(m+k). o EJERCICIO 6 Sean n,m dos números naturales distintos, entonces existe un número p tal que Dn=zm+d, ô (iD)m=n+D. En el primer caso decimos que n es mayor que m y Senota n>m ,en el segundo caso m es mayor que n. Asi se puede éstablecer un orden en N. Sugerencia Similar a los ejercicios anteriores. y 802 Números racionales Si se quiere repartir dos libras de azucar entre ires personas en can tidades iguales, hay que resolver la ecuación : 3x = 2. La raiz de esta ecuación no está en N, para resolver tales problemas in- ventarón los números quebrados. Más generalmente, dados dos números na turales m,n la raíz de la ecuación : nx=m 11 Scanned by CamScanner racionales q/p y 4/p er lap = Up] umdadem (ver Pi, dos números 6) y que ap > qo! ot y nólo mi gp entá ala derecho de g/p,m lato = qdo" ss 321 1244441 “30303503 373333 SD Ga TO 1? 7/0887) 7 FIG. 5 FIG, 6 Número Irracional Hemos podido establecer una relación o correspondencia entre todos los números racionales y puntos de la recta dada (la Ilamamos ahora la recta numérica). ; Pero habrá algún lugar en la recta al cual no le corresponda nal ? La respuesta es afirmativa, Pythagoras (S)-IDAC,) ciertas longitudes que no se puede expresar Fin el libro de Euclides (3230-275 A.C)se de- uadrado de lado uno no es un número racio un número racio sabia muy bien que existen por los números racionales, muestra que el diagonal de un c nal. EJEMPLO Sea P un punto sobre la recta numérica cuya distancia al origen es igual a vZ (ver Fig. 7). Si se hiciera corresponder un nú- mero racional 2 al punto P, entonces 1 4 q vã vZ eL (2) vz donde podemos suponer que Pp y q no tie- 1 P —1— nen un común divisor. Elevando al cuadra- do la relación (2) obtenemos : 2 2 = 6 2R=p, (3) 2 - luego bí es un número par, por lo tanto p es un número par: Sea FIG. 7 p=2r (r=natural), (4) reemplazando (4) en (9) se tiene: 2P-(m) 6 P=-2f (5) | ui a que significa que q es un número par, pero esto es imposible ya que ? y q no tiene un común divisor diferente de 1.8 al cortar la recta nu mero; tales números se Ilaman.irrocionales. Asi que algón número mocica en dos trozos en el punto de corte se encuentra » racional 6 irracional (estos números se Iamen generalmente 14 AM Scanned by CamScanner almas cemies). Em ares quintas, Ls utalas “ (aid dd A ' cobre bm preta sumérica mis dsjas , dota atá CA copacio signo, Form prevpi tá sd de tos mentes ne liama Lo contimidad de los cmemo rodas, & Te onmphe comgomemeeges rem 187 de tom rentes, Fu reslidad, om y $ z demos entonces decir que 4 indo número real Je corresponde ma paso to y uma moto sobre Ja recta numério ca y reciprocamente. Definir um número reml gor om HG» & posto de come de la mota numérica pasdo reslizarso metemiticanento, ee góm Dedekind (1831 - 1916) , como sigue : Si separmens todos los nimseros raciomdos em dus bases 44 4 Bj $ motne/ dez By ir em/ Po 2 entonces esta ceparación de 1) definirá no número smacieno ho Sm dividimos 1) cm dos cdases Ay 7 gs mrtre0/226h Bo rty e0/s0b5, 1a saidivisiõo de 0) definirá mu número rachonal je Más grnemaimente , O cu don cases 4 y E tal ques 7 Cear ao consideremos una esbdivinión de (1) un númerm racional perteneco & Ah a Be mm) 7 perteneccs AsyY prreneco n BD catmees 2018 este tipo de mubdivinióm de O) ne ama Ju coradura do Dedekind do D,y Gmero real, Es evidente que d cog cade coradura de O) determinará um m junto 4 representa tl trozo iequierdo , y dd conjunto 6 representa al teg o al cortar Ja recta numérica en dos partes. 26 derech mal de un número ecal 5 04 Representación dech mero racional purde mer expresado es é Enbemon que cualquier n sistema decimal, por ejemplo: ass efa 193) 419410 +" 0.73 «pda É sos. nb 4 00 16066 400 “+ nba e ig IO 2 o 101] 4 ri) 15 1 Scanned by CamScanner e | ta última cnproston so Hama la cespansión decimal inliatia do L Y cuyo 0 ) significado men el sigutonte : Subdividimos el trozo catre O v Den lo partes ipuales, entonces al númem Do le comespondo um ponto ca la segunda prete ya que 1/6 está H entro QL y 0,2, Ahora, aubdividimos la parte entre psd dry 042 em MW partes ipualesenton- 1 ces al número [6 le corresponde un pum ê 1 to que ne halla en la septima parte ya que Oleo < A <o1 . º om 0.16 0417 v asi sucesivamente, pets ma : , 0 va Aplicando el procedimiento sucesivo - anterior de subdividir en 10 partes igua les, podemos encontrar la expansión de cimal de cualquier númem real de la si- y 1? guiente manera : 0.16 Em or Ses P un punto sobre la recta nu- mérica (naturalmente le corresponde un número real 2), entonces p debe estar entre dos enteros sucesivos, por ejemplo HG. 9 m y mel (Para mayor facilidad , suponemos que m > 0.) FL número = es la porte entera del número real p. Ahora subdividimos el trozo entre 1 yom+i en 10 partes iguales , entonces cl punto P debe hallarse en al guna parte, digamos en la (ks ])-csima parte(ver Fig. 1), subdividien- do la parte mencionada en 10 partes iguales entonces el punto P debe estar en alguna parte , digamos en (by I)-Csima parte, y asi sucesivamens te. La expansión decimal del número real pes: mekb.. Ep gs dól Es ' pr mi mek melk+l) ot O a tt TB] lie) FIG. 11 Scanned by CamScanner Como el producto de los factores (2x - 1) y (x-2) es negativo entonces uno es negativo y el otro es positivo : a ZX-1>0,y,x-2 <0, es decir, CPE x > x<2 0 1 2 7 yo . porlo tanto : À <x<2 (ver Fig 16). b) 2x-1<0 ,y,x-2>0, FIG. 16 es decir, x < + .y, x>2. Evidentemente no hay un número real que sea simultâneamente menor que 1/2 y mayor que 2. De a) y b) el conjunto deseado es: FIG. 17 1 (5 2). e Nota : Los resultados de (i) y (ii) se notan también : () [x/22-x-2>0)=(co,-1) U(2,0). Se lee el conjunto de los: x tales que x2-x-2>0 es iguala la unida de los dos intervalos (-x,-1) y (2,00). (60) du/22- 5242 < 0) =, 20 EJERCICIO (1) Demostrar que para AD yu: () fx/(e-Na-p) >0)=(-co UM). (63) fx /(x-Mx- |) <0)= ua). Indique los anteriores conjuntos (i) y (ii) en la recta numérica. q 8 06 Valor absoluto El valor absoluto de un número real a, que se nota ja| ,está defini do asi: Jal = a si a>o0 : (9) la =-a si a<o Sobre la recta numérica, [a| es la distancia del número a al origen(la dis 19 Scanned by CamScanner so dd tancia medida por la unidad escogida). la bj Más generalmente, a-b| es la distan HT cia entre dos números ay b (la dis- b a tancia entre dos puntos correspondien- tesa a y b sobre la recta numérica). FIG. 18 EJERCICIOS (um) Demostrar las siguientes relaciones . (1) laj? = à? (2) jabl= lallb| ES Jal | bi & (3) || 161 (bio) (4) jarb; < lal+]6l 6) Jal-ib) < lo -ól (6) -Jai <a < lal mis ib (7) > ja 6] (8) ja-b] < c implica b-c <a< b+e (9) la- b| > « implica a>b+c,6,4<b-ce EJEMPLO Eliminar el símbolo del valor absoluto de las siguientes expresiones : () lx+d]+x-1 (ii) |2-x|4 x. Solución (i) Si x+120 (6 x>-1) entonces l=+1] =x+1 luego : lx+l+2=-1=2=+1+x- 1 = 2% Si x+1<0 (6 x<-1) entonces le+1]= «(x+1) luego : esdl+x-I=(x4+D+4x-1=-2. (ii) Si 2-x>0 (6 x € (x,0]U[1,x) ) entonces |x2-x]4 x = (62- Mexe x, Six2-x<0 (6 x€ (0,1) ) entonces |x2- x] + ece(x2-x)4* = -x242x. EJERCICIOS (HI) Resolver las siguientes desigualdades (hallar el conjunto de todos ros ,x, tales que cumplen las siguientes desigualdades.). los núme- 20 ma Scanned by CamScanner 1) x2-x-6<0 2 2x2. 3x-2>0 3) x2-5x+6 <0 4) 22-4243>0 9 x x2-x+414<0 Ri DR) 2 x+1 do “0 8) |x2-4x-5>0 x-1>0 x2-8x +12 <0 9) j2x2,5x-3 <0 10) (x22-4<0 + > 0 3x2, 2x-1>0 11) Demostrar que el conjunto de los x que satisfacen la desigualdad (e-Mx-wlx-v) >D0 (A<u<v) es: A u)U (voo). Resolver las siguientes desigualdades : 1 (-Dk-Dx+D<0 13) 62 Dx+D>0 14) (2 - x+ D<0 15) )(x+)lx+2)(x-3) 20 22. 2x-3>0 242. 5x+42 > 0. Fliminar el símbolo del valor absoluto de las siguientes expresiones : 16) IV&|+ = 17) (lal + a)2- 8/2] 18) j2-a-2-|a-al 19) I|lalril+ =x 20) |laj+ oj-lal gm RESPUESTA 1 (2,3) [3 (oe «ua, oe) (3) (2,3) [4] (205, 1) U(3,00) [5] (200,-1] 6] 1,0 [7] (1,3) (8) 65,6] [9] e3a)Uto, LD) 00] Ez 1)U[S, 2] 3 Co 3)U(1,2) [13] 62,00) UI, o) [14] (-00,=2) [is] -2,-1] U[3,00) [16] 2 si x20,0 six <0. [7]0 sao, 442 si a<o [Bl[-2s acto, -I]U[200) [19] 2x4] si x 20, 1 six < Os Epica -202,2042 si a€[-L0JU[1,2] [20] a. 21 Scanned by CamScanner FUNCION DE PRIMER GRADO, Si el valor de la variable y es Proporciona al valor de la variable x + entonces Y=m o = mx x E (4) donde la constante m se Ilama constante de proporcionalidad. Esta Correspo n dencia de x a y, ser proporcional a, se Ilama función lineal. Si dibujamos su gráfica vemos que es una recta que pasa por el origen. En la figura 4 sea P(x,mx) un punto sobre la recta(la gráfica de (4)) entonces : PH mx tan POH = -—— =BX = m, a oH zo Llamamos a m la pendiente de la recta y el ángulo 0 = POH se lla ma la inclinación de la recta. Gencralizando la correspondencia dexa y determinada por la ecuación: y=mx+b (5) se Ilama función de primer grado y su gráfica es una recta que se obtiene o H X por traslación de la gráfica de (4) hacia FIG. 4 arriba (o hacia ahajo según el valor de b) en el eje de ordenadas (Fig. 5).a EJEMPLO 3, Dibujar la gráfica de la función: Y y=fi)=|x+d|-x. Si x >-1 entonces f(x) =x +1-x=1s Si x <-l entonces f(x) = "(x+1)-x=-2x—1. La gráfica de la función está compuesta por dos rectas que se unen en el punto (-1,1), una tiene pendiente O y la otra tiene pendiente -2(Fig. 6) FIG. 5 Y 1h 4 v í )x21 1 ii)x<0 N Z V o x ot 4/1 x FIG. 6 FIG. 7 EJEMPLO 4. Dibujar la gráfica de la función: y = fo) = ia dedo 24 Scanned by CamScanner flxd=zxpxel=2x1 si x>1 estao dio si 0 gx<l, =exe(xel)=e2x 41 six <0, La gráfica de la función está compuesta por tres rectas (Ver Fig. 7). EJERCICIOS 1, Diga en qué casos y es funciônde x. ad x|ll 23 é b) xi 1 «2 5 pato yI2 4 8 5 yI2 4 3 pero o z|[3 3 2 0 OD x[-1 0 1 4 5 A o 1/10 3110203032 ed y=2x+3 pyssx+s 2, Hallar el dominioy el recorrido de las siguientes funciones : [2a a y =jx+1 by =— dy=f1- a yes! x+ e) y=ix! 3. Determinar la inclinación de las siguientes rectas : aby =x b) = Ls od y=JJx+1 y y 73 y ER dy=-x+2 od y=lr+ 4, Encontrar las funciones correspôndientes a las rectas que pasan por elari- gen y cuyas pendientes son : a m=L2 Bm=-1 cim=2 )mn=-2 9 m=B. 5 Seay=j(x)=mx+5 una función de primer grado, demostrar que sim >0 en- tonces el valorde y aumenta cuando x aumenta. 6. Dibujar la gráfica de s=fig)=|-x+2 fexedo 7. Dibujarlagráfica de y = |r| e indicar el conjunto de les puntos (x, y) que cumplen la desigualdad y> tal. 8. Demuestre que la gráfica de lafunción f(x-a) es similar a la gráfica de fx) 0. trasladada paralelamente aladerecha si a SUGERENCIA Al trasladar la gráfica de f(x) bori el punto fx, f(x)) se basa al punto (x — as fd Haciendo el cambio (xa, fd) = (xs fx cab), zontalmente aladerecha x'=x-a entonces r lo tanto se obtiene la gráfica de flx+ ad. po 25 Scanned by CamScanner E | 9. Dibujarlagrificade y=/()=ixa la lx 1], 10, Apartirdelarecta y = mx hallar las funciones de las rectas obtenidas po S por; iJuna traslación hacia la derecha con una distancia a, iiuna traslación de larectai) hacia arriba con una distancia b, mn 82. Larecia. ECUACION DE UNA RECTA. i) La ecuaciôn de larecta de pendiente m que pasa porelorigen es(Fig. 1) y=mx, . (1) ii) La ecuación de larectade pendiente m que pasaporcl punto (a, b) es (ver Fig. 2): yºb=m(x-a) ô y=mx+(b-ma), (2) Es evidente que si dos rectas son paralelas , sus pendientes son iguales. iii) Sea L una recta que pasa por dos puntos A(ajaby) y B(az,bo). “fo FIG, 1 FIG, 2 FIG.3 De la figura 3 se deduce que la pendiente de la recta L es: bar br (3) 2º ar, m=tan0 = Por consiguiente la ecuación de la recta L es: bz-b yºby ="21 (x.a) “2.º.81 o y-b; ba- by (4) x. aj 42 a] 26 iii Scanned by CamScanner 29 EJEMPLO 3, Encontrar la recta que pasa por e! punto (1,1) y es además per - pendicularalarecta y = ix- 34 De (8) la pendiente de larectaen cuestiónes -—— = - 2, Entonces la ecuación Ji (1/2) de la recta pedida será: yo l=-2(x-1), õ y=-2x+3.9 EJEMPLO 4. Demostrar que dos rectas Ax+. By + C=0 y A'x+B'y + C'= son perpendiculares si y sólo si cumplen la relación AA! + BB'=0. 0 La pendiente de la primerarecta es - A/B . en tanto que ia de la segunda es -A'/B'. Entonces (-A/BI(C-A'/B')=-1, o AA! + BB'=0.m EJEMPLO 5, Demostrar que las rectas Ax+ By +C=0, A'x+4B'y+C'= (ABÊÍ O) no son paralelas si y sólo si A B AB'-A'B= Í 0. A! Bº SiB' É O entonces tenemos las dos ecuaciones: = Cc =.A Cc! pe xo, =. xe / B B x B' Bº E por lo tanto las rectas no son paralelas si y sólo si «A fofo B B' o A B AB'-A'B= + 0, A! Bº si A! É O entonces tenemos las dos ecuaciones cab Lo, Á A , -B 4. B A At Nótese que si B'=0, A*=0 entonces la segunda ecuación ya norepresenta una recta, m 29 Scanned by CamScanner EJERCICIOS 1. Diga si los siguientes puntos están ono enuna misma recta. b) (1,3), (2,6), (3,10) a) (0,0), (1, 9, (2,9) o (-2 4), (0,0), (3, 10) d (4-9, (:2,-00),(-0, - 100) 9, Los tres puntos dados determinan un triângulo . Diga en qué casosesrectán gulo. a (1,0), (1 D,(-2,-2) b) (2,3), (3, 5). (1,6) o (1,4), (3,3), (2,6) d) (0,0), (1, 1), (3, 4) 3. Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a PQ en donde P(1,3) (6,5) y si además la recta pasa por el punto (1, D. y pasa p 4. Qué se puede decir de la recta si C =0 enlaecuación (6). =0. Sean Pla b), Qla+ 1, b+ m) dos puntosque satis 5.Dado Ax+By+€ Demostrarque m esla pendiente y está dada por facen la ecuación dada. m=-4/B (B£ 0), 1, 1) yfor 6. Encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (- man con el eje OX el ángulo O : a) 0 =45º b) 0 = 120º e) 0 = 360º tos 7. Escriba las ecuaciones de lasrectas que pasan por los siguientes pun 6) (cd, -1),(2,3) o(a, b), (a + 1, bem) e) (1, D, (-4,-4) p (4,4),0,D b) (2,4), (e4, 1) o (0, 5) (2, 3) o anterior , diga cuáles de las rectas sonparale- c) 0 =300º d) 0 =270º a) (1,0), (0,3) d) (3,-1), (0, 2) & (:3,-7), (1,5) 8. En relación conel ejercici las y cuáles son perpendiculares entre si. 9. Encontrar el ângulo entre las siguientes rectas: a) y:3x+ 1=0 b 3y+x:1=0 Dos Dest y+2x +1=0 10, Hallar el valor de k para el cual la ecuación : 3hx+5y+kh-2=0 representa una recta que pasa por el punto (-1, 4). 11, Hallar el valor de k para el cual la ecuación 4x-ky-7=0 representa una recta de pendiente 3. c) [$= Ux-y-1=0 30 cd Scanned by CamScanner é Be Fonciia de segundo grade La funciós / definida para indo rea) xs faz ads brse (a£0) (D ne Hama función de segundo grado donde 2,6 y c sos constantes. Transformando (1) de fa siguiente manera : focado dar gicatd bo cdo, tec 2º Sac — & (2) =a(x+ Ze. = se observa que si 4>0 fa > Sac , 4a (3) mi aco ho 4 Let As. Es decir el recorrido de f es i)el conjunto de los numeros reales mayo- res que f4ac- b2j/4a É 2>0 » 11) el conjunto de los numeros reales me nores que (4ac- b2)/4a si 20. Encasode a > 0 ,el valor de j(x) no puede ser menor que (4ac - b2)/4a y Mx) es igual a (4ac - b2)/4a si el valor de z es «b/2a , entonces (40c - 52)/4a es el mínimo volor de fx) « Ademés , f(x) toma valores mayores que (4ac - b2)/4a para dos valores de la variable x. En realidad la ecuación de la variable x (para y fijo): y=a2sbr+€ 9 aZs bx+c-y=0 fa >0) (4) tiene dos raíces reales diferentes puesto que su discriminante es mayor que cetro, ya que $0c — »2, >0 D = 4afe- y)=40ly- Sid (5) 6 v si y>(4ac-b)/4a + 0 De la misma manera , en caso de a <0, fx) toma el múximo valor; (áac - b2)/sa cuando x = «b/29,y a cualquier valor de f(x) menor que (4ac * b2)/4a le corresponde dos valores de x. En la figura ] y 2 se muestran las gráficas de la función de segundo grado. En la figura 1 se observa que la gráfica de 31 Scanned by CamScanner b) y=|x2 43x-4|= [2 +3x0É si xz1 6 x q.4 exe gd si 4 <x <a, c) y=la+3 Ix|-4 = e +Ix- é si x >0 É 3x4 si x< 0, d |y| =x 4 3x6. Como |y|> 0 entonces *2.3x-4 > 0,0 sea ” x>1 ó x<cd Dy=s + 3x4 si 720, E) poxa 3x4 sé y<0, Y Va FIG. 5 A NJ EJERCICIOS Dibujar la gráfica de : 1) y=-x2+ 2x 2) y=2x2 4 3x2 3) y=-a2 +x4+2 4) y=3x242x- 1. 34 Femme Scanned by CamScanner Hallar el dominio y el recorrido de f 6) Hx) = I + x (6) marie *+2 fe) Z i OD o) =x 14 x+1 (8) Dibujar la gráfica de f(x) = |x? -2x-3| (9) Sea x = y2 + 2y , demostrar que i)acada x (x> -1) e corresponden dos valores de y , ii) la ecuación x =y2+2 - i mrdobisá ir, y y (y 2-1) determina una función y = (x) jhallar $ 4 Función inversa Tom ú ió i paes úna función /, siaunvalor y del recorrido de fle corresponde ay 5 ni n valor y sólo uno de x del dominio de / ,entonces esta correspondencia de y a x es una función. Esta función se Ilama funcién inversa de / y se no ta É. es decir, *=[ 16) implica v = (1 EJEMPLO 1 Si y=fx)=3x entonces x=g(y) = rio) = 5 o EJEMPLO 2 Si y=[f(x)= *2 (x>0) entonces x= ely) = ria) =. a En ambos ejemplos g y f son funciones inversas la una de la otra. Hay sentonces ; que en el ejemplo 2 si quitamos la restrieción (x > 0) esde x, x=/Y» x = AJ « Luego . inversa (Fig. 1). que observar a un valor de y le corresponde dos valor y= x2 (sin restricción ) no tiene función Las dos funciones Ho. dm? (x>0) a todo x POSITIVO. Sin embargo el | dominio de la función H. La y la II se Hama restricción l.ys *2 (para todo x) determinan la misma correspondencia par más amplio que € dominio de la función 1 es de la función II función 1 se lama la extensión de la función Te 35 Scanned by CamScanner by (x, 42) 0 x FIG, 1 EJEMPLO 3. y=senx.(Ver Vip. 2) Domínio = El conjunto de todos los números reales Recorrido « El intervalo f-1,a). Aunvalorde y(1<y<1)le corresponde un número infínito de valores de x, por ejemplo: si y = 4 entonces xe ,ÍM 5, «ly 6 6 Para obtener ta inversa de la función seno hay que evitar esta dificultad ,es decir bay que restringir el dominio del seno al intervalo (-n/2,n/2). Com esta restricción la función y = sen x at admite su inversa y se nota ! Z -1 xe arc sen y ó x = sen" y, Nota : En el estudio de Las funciones trigonométricas se usa frecuentemente la notación : y (sen) o sen" x, 1 “ max pero en ente caso sen I 7 no significa Y (sen yy1 : sent yd (sen yS ho A EJEMPLO 4, yo cosxe Dominio = (0, n) Recorrido = [1,1] == =——— C E on esta restricetón del domínio FIG.) as a Scanned by CamScanner Hy= fx)= senda Dysfd=esaão 37 6) Sea funa función , demostrar que / tiene inversa si f(xp) = f(x) implica x1=x2 donde xj,x2 son puntos del dominio de /. 7) Demostrar que la inversa de ft es fe 8) Demostrar que i) la función de primer grado tiene inversa, ii) la funciôn de segundo grado no tiene inversa. 9) Sea flx)= ax + b una función de primer grado,hallar las condiciones para que ft) = [1x 10) Sea po=V1-*? (0 <x <1) demostrar f(x) = rito. 8 5. Función compuesta Si el recorrido de la función y = f(x) está contenido en el dominio de otra n z = g(y), entonces se puede definir una tercera función b como si- (1) funció gue : = b(x) = g(Í(x)) . Esta función se llama función compuesta de / y & (ver Fig. 1). JK z=8(y) q s o E E o q Z Fá 0 FIG. 1 7 D, o » EJEMPLO 1 2 z=gly)= vit. Combinando estas dos fun* Sea y=H)=*"0) ciones obtenemos la función compuesta : z= g(ftd)) =Je? +11. EJEMPLO 2. —s y=fio= costlx, z=go= jr» 39 Scanned by CamScanner W El recorrido de y = cos lx (el domínio de x=cosy) está con domínio de la función z= vm - y2 * La función Com pues ta es z= (f(x) = Yn? (cos! x)2.m La figura 1 nos sug tenido en el iere cómo podemos constru irla gráfica de compuesta sabiendo la gráfica de ambas func la funciç nei iones . a Se acostumbra utilizar el simbolo go f para expresar la función (1) , sin embargo hay que evitar la confus Compues, iôn con el producto de £ E Y han Por ejemplo, si f(x) = x24 1, g(x) = 1/x entonces 1 1 ( J=— = -—A— go (Mx, 7a) E] (ge) = | (24 n=Égl .m EJEMPLO 3 Sea f una función uno a uno + entonces se tiene (fo f Tx) = x para todo x del recorrido de fo (2) (lo f)(x) =x paratodo x del dominio de f, [6)) en realidad, si y = Hx) entonces x= ri) » luego === p= flop), r=foo= 0 o)=(perDy. Nótese que sen (senl x) =x para todo x (1 Xx«x 1) pero sen T(sen *) no siempre es iguala x puesto que la función seno no es uno a uno. ECUACIONES Y FUNCIONES La ecuación de la circunferencia de radio 1: *2 +92 =1 ; ia E rión , ya que determina una relación entre x y y pero no determina una función , ya q aunvalorde x le corresponden dos valores de y, a saber vevi-o, y=-Vi-a, Sin embargo esta ecuación determina dos funciones : 40 a Scanned by CamScanner 1 foy=Vi- x? cuyo dominio es [-1, 1] y cuyo recorrido es [0,1] 2 —s n g(x)=— 1 -*º euyo dominio es [-1, 1] y euyo recorrido es [-1,0]. Este ejemplo ilustra el hecho Y de que la ecuación entre y y x que determina en el plano OXY una figura, no determina en ge neral la gráfica de una función . EJEMPLO 4 Si D= b2- 4ac > 0 mostrar que la ecuación ax2rbays cy? =0 FIG 2 representa dos rectas que pasan por el origen » ncão, ni bt yb2x? goal -btybl- sec, y= 2c 2c las cuales representan dos rectas que pasan por el origen. ii) c=0, ax? + bxy = x(ax +by)= 0. Esta ecuación representa las dos rectas * x=0, ax +by= 0. Nótese que b £0 de acuerdo con la condición b? - 4ac = b2 >0. EJEMPLO 5 Se dice que / es par si que / es impar si f(x) = f(x) = Hex) para todo x del dominio de / Y flex) para cualquier * del dominio de /- Demostrar que cualquier función definida pare todo número real es la sur ma de una función bar Y una función impar. Solución Tenemos: (o. fts) + fem + tpe) = fc! 2 2 pende g(x) = Ao) + fexit + fx) es par ya que 2 glex) = flex) + 10) «OD i fez) = gts 2 41 irei Scanned by CamScanner p= tts,16) (3,9), (+24), (01, 1), (0,0), (1, D, (2,4), (3,9), (4, 16) ero de la pareja representa el valor de la variable x y el E El primer núm , ; Ip | valor de la variable y correspondiente a x, gundo representa e EJEMPLO 2 El siguiente conjunto de seis parejas ordenadas : fe VD DO, 3, (1,0 1,04 2,09, -5)1 no representa una función, ya que 1 la correspondencia del primer nú- mero al segundo en las parejas no es únivoca , por ejemplo, el con: 3 junto contiene dos parejas ordena 4 = das (1,1) y (1,-1), por lo tanto a 1 le coresponde dos números diferentes 1 y -I (ver Fig. 2), En general, si dos parejas (xp yp) y (xwy2) pertenecen al conjunto f de las parejas orde nadas, y si xp= x2. y1 É y2 entonces la correspondencia esta blecida por f no es únivoca,es FIG 2 decir, f noesuna función . EJEMPLO 3 f= tlay)/y=s2,% es cualquier real no negativo |, U es el Rosjânio de todas las parejas ordenadas , (x, )) tales que y =x para todo número real x no negativo . Evidentemente el conjunto f es una función , y = fx) = x (x 20), » su dominio es [0, o ). Cambiando x, y por y, x enlas parejas del conjunto f se obtiene el otro conjunto de las parejas ordenadas : = =.2 siGysd/ y=3), xes cualquier real no negativo |. La correspondencia establecida por pg es: de y a x donde y=*2, deci: = = esdecir, «= =ply), Porlo tanto gesla función inversa de [ + 44 , | Scanned by CamScanner o oco EJEMPLO 4 Sea pe (AD, (2,3, (3,9, (4,5) 1) entonces EJEMPLO 4, 2 Sea felimyÃa sy = entonces f no representa una fun- ción puesto que (x Jlex Do (x, e dlexó)e fo Nótese que este conjunto f repre- senta la circunferencia de radio 1 con centro en O enel plano OXY. Los dos subconjuntos fj y fg: fr=b6y)/ 2ay=l, 7201 fas tisy/2+y2= 1,940] sí son funciones fp: 43 Vt.x2, bp: La inversa de f : el hi 2 =yo/2 49 =1,y>01 no es una función ya que 6, 1.32) » (y, 1:92) ef (1 = ((2,1), (3,2), (4,3), (5,4) 4. (función inversa de f) FIG 3 (0gy<D, Pero el siguiente subconjunto propio de f posee la función inversa : EE tigy)asy =1,y20,8>20)C h º 2 gl = I (yu 2)/ 02 +97 =, y 20, x 201, 45 Scanned by CamScanner | CAPITULO II SUCESIONES INFINITAS 8 7. Sucesión creciente Y expansión decimal infinita de los reales LIMITE DE UNA SUCESION, Consideremos el Siguiente conjunto orde . nado de números : DVODO (m) = 1 2 3 4 n A=t>,L, Dores » 00. | (1) =, 2 3 á 5 n+1 vemos que cada número es mayor que el anterior y van acecândose a 1, co mo seveenla figural. E Es decir, la diferencia entre 1] +—+ retirado 1 1 y dichos números dismin tan O ES 2345 í Ly dicho núm isminuye tan 5 S444 É O como se quiera : FI 1-1=1 4.201 G1 2 2 3 3 -3eL o 4-Lo 0 1, 4 á 5 5 101 101 EJEMPLO 1, Dado el siguiente conjunto ordenado A=| 07 , 0.67, 0.667,0.6667, 0.66667, » 0 +] (2 sus elementos van disminuyendo y acercándose (tendiendo) a 2/3 = 0,666... La diferencia entre 2/3 y dichos elementos puede disminuir tanto como uno quiera : = 2:;-1 ,jogy-2|=-L,o.66 -2j=-L,...a oq did og Sed los Zi = ão i s el lími El conjunto ordenado se Ilama una sucesión , y se dice que 2/3 ese te de la sucesión A,o la sucesión 4 tiende al límite 2/3. E 2 jón (29) y É os de la sucesión (2) Y 5 Hemos visto que la diferencia entre los element pe ue un número muy peq! se hace cada vez más pequeia y puede ser menor q sea menor diferencia ão ,-por ejemplo si se quiere se puede hacer que tal di : jemplo que 1/10> = 10 . Tomando el qi Elena A ejemp 21 -. < 10 | Uuboia? -4] 300 000 46 Scanned by CamScanner pen fm, m+1] en I0 partes iguales (ver Fig. 3) DIVIGIO (5) (9) ssimo i ralo es el k- ésimo interva ml kJ. mo m2 Ro (Repê (melho 1) o ma mk-1) mel qrcsonco. FIG 3 NOTA : mk = meto, mlk-Dema kl 10 10 “eco no censos acao. i s elementos de la s ió . Si todos lo: ucesión la,) son menores que mk y algún ele mayor que m.(k- 1) entonces se toma bp skol. mento €s Ahora, subdividimos el intervalo [m.(k- 1) , mk] en 10 partes iguales, y escogemos un número natural b = p3+1 tal que todos los elementos de la su cesión son menores que mpjb= m+(b4/10) + (b/100), además algún elemen toesmayor que mbjbz=m+ (p 4/10) + (b3/100). Asi sucesivamente pode mos obtener una sucesión de los números naturales |pj,bz. Pz0º ++ L y el número decimal infinito = ti, b a mebrboby ce m +5olt og +Todo + es evidentemente EL LIMITE de la sucesión dada, En base de la expansión decimal infinita de los números reales, hemos visto la siguiente propiedad : [Una sucesión creciente y acotada tiende a un límite + ma la continuida ue la recta numérica está Ileno Esta propiedad de los números reales se Lai d de los nume- ros reales , que es equivalente al hecho de q! de los números reales sin dejar hueco alguno. EJEMPLO 3 La siguiente sucesión : , = a Maskry= tap, ud? apo tag res “ creciente como se observa en la tabla 1, su límite se nota € : 5) e=lim t4hy= 2. 7182800» n-+00 49 O a Scanned by CamScanner EJEMPLO 4 Sea tI/vn | una sucesíión, demostrar a | aa tU/ RA [mm] à) la sucesión es decreciente , 1 2 ii) ballar los elementos de la sucesión menores . . que 0.001. 2. | 2.25 iii) Hallar los elementos de la sucesión menores 3 2.37 que 0.0001. . ver 10. | 2.59378.. iv) Dado un número positivo cs demostrar que 100. | 2.70481. 1000. | 2.71h92.. 1/vn esmenor que c si n > ve. Solución E = Vn+le VA 50 zm Wa EVT 10000. | 2.71815.. para todo n + 100000, | 2.71827. por lo tanto la sucesión es decreciente. 1000.000. | 2.71828.. ti) Si 1 í = < 0,01 entonces 10.000.000.| 2,71828,. vm > 100, 100.000.000.| 2.71828.. osea, n > 10,000 . TABLA 1 ii) Si 1 > 00001 entonces Yn > 1/0.0001 = 10.000 V7 o sea n > 100,000,000 , iti) Si n> 1/2 (c>0) entonces VT >1/c, o sea 1 — < Co Ca EJERCICIOS Hallar el límite de las siguientes sucesiones : D it 0,1,0,01,0.001, ++ | » ad 1 1 1 | L1, L01,1,001, 1,0001, reree pidL)= 1, do do Dias to] th 3 0%» gi) =p, LDL... 15) f A. a 50 tá Scanned by CamScanner pl, (2 3 4 5 6 ! PA ED TE Ted Encontrar n-ésimo término para cada una de las siguíentes sucesiones : gti ds o a y 1, 4,5 ,76, DILELLL.... 46 "8 1114 8) do ad 10% 4 e ! 1 2 3/4 gçãZ 3 O Gen al 3 10) Expresar los siguientes números como límite d e una sucesión: a 1/6 b) 1/9 od 2/3 11) Usando un método análogo al del ejemplo 4 » mostrar que las siguien- tes sucesiones son decrecientes y que tiend en acer, o (qb) 5) 11/n2 | Sê, DIY: Stu Sah, n 8 8. Convergencia y divergencia. Sucesión nula. EJEMPLO 1. DO O Oo O A=tL,.2Zo, 3.4, 2,6... | 197) 2 3 4 5 6 7 La sucesión (1) no es creciente ni decreciente (Fig, 1). Z 35 + 4 2 4 4 4 É 4 É -4/5 «2/3 0 2 34 56, FIG. 1 Los elementos 1,3,5,7,.. seacercana 1 en tento que los elementos 2,4 ,6 Tentos de esta su la sucesión es d +8 ,... tienden a-1. En otras palabras, los ele- cesión oscilan entre 1 y -1. En este caso se dice que ivergente (la sucesión no tiene limite. ). Scanned by CamScanner entonces fa, -Lj1y la, = 1.3) son sucesiones nulas , luepo lag = 1, |- la, r Lg = Ita, . Lp-ta, . Lol " Lg -1.,] es también una sucestón nula + El enésimo término de Ig; Des L» “1 “4 para todo n, por to tanto se debe tener que L2 ma L| = 0 para que la sucos. stón lts - LA] sea una sucestón nula, 3) 5% la,| os convergento ylb,1 es una suceslón nula , entonces Ja suca- 4 siôn la,th,) es una sucesion nula, Demostración De (1) extste una constante M tal que lag) <M para todo no, entonces , lap bal o laglbal < Mlby + Como [b,| puede ser tan pequefio como se quiera, también lo es M ba) cuan do n es suficientemente grande, [4] 5 la, ) tiondo a un Ifmito diferanto do coro y 4, O para todo n enton cos la suceslón tida, es acotada, La demostración es similar a [4], Ein hane de lu propiedades anterloren veremos el sigulente teorema de límb- tem de nucenionen , TECREMA 1 5 dh Lo, mb, oM entoncos ta, 4 dm, by entonco Hm ta 4 ho)el $4M a) dos a “Pa b) Hm Aghy E Lam na ec) Hm La de sd M/0, ba O para todo ns nova M h n = meme a mermo Demos tractón a) la, «El, Ih, ME son quecalones nulas , luego da suma? Dag = bolbo Mp Ta, rh, dm M] " es tumblén una sucestán nula, es dectr, ma Scanned by CamScanner lim (4,4 bo) = L4M n-+00 b) Dela igualdad: anebm * LM =4,b,-Lb, +Lb,-LM=bla,-L) + (boo MIL tenemos * farda LM |=[b (a, L) + L(bo- MD. De la propiedad [3] las dos sucesiones del segundo miembro son sucesiones nulas , luego : lim ab, = LM. n +00 c) Dela igualdad : ar ApM- bol agM-LM+LM- by (aço) (Meby)L n BaM bo M bm baM tenemos a Ly-q1 L -t=t— (a -L) (Mb). pe a ) 4 a, tag bo) De las propiedades [3] y [4] se ve que las dos sucesiones del segundo miembro son sucesiones nulas , luego tenemos lim a /b, = L/M. n n-+00 Nótese que el resultado c) sólo es válido si se cumple la condiciôn : bt 0, MÃO, EJEMPLO 6, 2 2 a) lim Et Li 14 (Yní) 140 21 nos não nos Le (1/n) 1-0 + . . 1; 1 1 1 b) lim PEL = lim lim À = timd 4À limdl=Lo,0=+ amoo 3n n.s08 o” nooe 3 n5003 3 nn 3 3 9 lim =flim À tim 1 /=0:0=0, n5o n(n + 1) no nº no n41 , - yes ley lVnsl vz] d limtvn Em = lim tyn+1 Va] n+ d+ a + vm n +00 qn + l+ym = lim LI < lim 0. 1 = a no Yn+leya n+00 n+ loja 55 Scanned by CamScanner mamas Solución « EJERCICIO 7 >0 entonces L>0, a) Demostrar que si lim a=L, 4,2 n-00o b) Dar un ejemblo en que a; >0. lim a, =0. n-00 a) Supongamos que L <0. La sucesión la, * L | es una sucesión nula y al >20-L=-L >0, esto es imposible . b) Sea a, = /n>0, entonces lim (1/n) = 0. n00 EJERCICIO 8 Sean ta, | bol, lenlsres sucesiones tales que as cn< by para todo n. Demostrar que si lim a, = lim b, = L entonces n-00 n-0 lim c=L. (Método de sandwich ) n+00 Demostración « De la desigualdad * Ico Ll= a +a, Ligia anl+ al] «lb cal + al] se tiene que fegeL Jes una sucesión nula ya que tim (bra) =0 tim (ap o L)=0 EJERCICIOS Encontrar el límite de las siguientes sucesiones cuando n->0. 2 3 n+1 n(nºo 1) prt Li 9 a vari-l E Pi ho O va 7» WaZeleya. 114 8 ya tnr ie do) 161 56 Scanned by CamScanner En el último caso la sucesión oscila entre valores positivos y negativos y la amplitud de la oscilación aumenta hasta el infinito. m e - 1 s , Nótess que + no es un número, además 7 noes iguala +o ni o, q LIMITE à” cuando n+50 (i) Si a > 1 entonces a=1+b (b > 0). Utilizando el proceso de inducción matemática se puede demostrar la siguiente desigualdad : a" =(1+b) > 1+nh (paratodo n natural). (1) En realidad , (1) es válido para n = 1, ahora si suponemos la desigualdad (1) tenemos : ala bo =(+ (14h) > (I+mb)(l+ b) =I+(n4)b+nh?> I4(n4Db. o FEAR Ad * + Como 1 + nb diverge a más infinito cuando n + co, entonces se tiene: lim º = +40 (2) n-800 Ê (ii) Si 0 <a<1I entonces dim, a = dim, Ia = 0 (por el teorema 2). (3) (iii) Si a=1 se tiene: lim =limP=lmi=1. (4) ni=500 Ni-+00 n500 EJEMPLO 3 Demostrar que lim £ = +00 (a>l). Sea a=1+hb (b>0), entonces utilizando la expansión binomial se tienes q =(1,+b" = lenhs Bln=1)p2 , Era BA, 2 58 Scanned by CamScanner E n Led pap SL, LG?) co " n nr n 2 (n-00) luego n lim D = 400 (3) n+0 n Nota: Expansión Binomia) AsB)P=[M) Ar, nel n ne2n2 a tia (0) (6) Ato + (5) até s a(o) arêBt,... cuafr) Br (6) +(5) + +(5) (Páteo término donde ny = nt! = m(n= Do (nc k+ 1) ,0!=1.a (a k! (n-k)! 123.00. k EJEMPLO 4 Si a,>L (n+00) , à, >0 , demosirar : lim vã, = vL. n-00 Solución . )LHO: . + - aL [Va VT Ie E dg E oe <& la LI + 0 (no), por lo tanto : . Z =. dim Va, . id L=o0, . eio como se Si a, +0 (n-+00) entonces |a,| puede ser tan pequ V jén mu quiera cuando n sea suficientemente grande , luego Va, también muy oseaque lim va, =0. bequeio si n es suficientemente grande, tém EJEMPLO 5, i Utilizando la desigualdad (1+h) Dl, ps i,kh (k>0). n > 1+ nb demostrar * 59 Scanned by CamScanner 1/n tr Ros> (th) (k >0) n o tim alt= 1 dita b) si a >0, a) En la desigualdad dada, reemplazando b = k/n tenemos : í nEp > 14k (k>0). b) Los dos sienbros de la desigualdad en a) son positivos, Sacando ne és e ma raíz tenemos : V n tr, os i4k] (k>0), n didSia> Ientonces a=I+k donde k=a-1>0, De b): nto alas. n Como lim ( E) =1 entonces se tiene: Ni-00 lim aln =, n-00 ) S% 0O<a< I,sea b= Va > 1, | entonces + lim all = tim Lollo = 15 lo. a -=L:1, nos tro no bVT lim BrT q N+00 EJERCICIOS | Estudiar la + convergneia de las siguientes sucesiones : Dniti— 1 T; TE TR TBET ! 2) J+x (1 2 o 2 ro... tepel,,.. | 3) (1,.L .prel i Í 2 2 ecara ar ] | O e m/2) 5 ten? Lt) » 15 58) | n 12 e) 8) tis SP 60 Scanned by CamScanner Cortadura . Distribuyendo todos los números racionales sobre una recta (la recta numérica) de tal manera que si a<b entonces el número b estáala de- recha del número a. Se ba observar do que larectanumérica | tiene bue cos donde no bay números racionales (por ejemplo v2 , ver Introducción). Fig. 2 Cortar la recta numérica en un punto P significa matemáticamente des compo. ner el conjunto de todos los números racionales en dos sub-conjuntos A y B de tal manera que si acA, DE B entonces a<bo. Nótese que un número racional debe pertenecer solamente auno de los dos subconjuntos . Entonces se presentan las siguientes tres posibilidades : (i) El conjunto À tene un número racional máximo, digamos p. En este ca so se tiene: A=[x/x<p, x=racional) (6) B=[y/y>p, y=racional |. (ii) EI conjunto B tiene un número racional mínimo , digamos q . En este ca so se bene: A=fa/a<g, a=racional | (7) B=[|b/b>q, b=racional| En los dos casos anteriores , el número en donde los dos conjuntos A y B se separam es un número racional, en otras palabras , al cortar la recta numé rica en dos trozos como en la figura 2 las tijeras tocan a un número racional. (iii) El conjunto A no tiene elmúximo racional ni B tiene el número mínimo racional , números racionales que pertenecena Ay B respectivamen Sea; n as, bo te, evidentemente [aa do . El número racional Cas + boY/2 pertenece a uno de los dos conjuntos , por ejemplo si (a, +b,)/2 € A entonces sea (ver Fig, 3): 63 Scanned by CamScanner É a1 = torto (entonces aj > 4 ) by E cualquier ntúmero racional de B menor que », (8) tg Ds ; )/2 E B entonces sean (Fig Ds 1! Si (a+bo ao ua! , E E, , by Saito (by Sbo) 22H11 . I A % , b » a; = cualquier número (9) A Z 1 o racional de A mayor B ue q, Ed º FIG. 3 Abora , el número racional V a+b, (aj +b1)/2 pertenece a uno de 1 5 by los dos conjuntos A, B. Por a, aj 1 5 ejemplo , si(aj+b)/2 € A A B entonces sean (Fig. 5)" FIG. 4 -0)+b az IL (az>a;) as ! mf ba = cualquier número racio 5 ã —+- 1 51 », nal de B menor que b4. = A B Así sucesivam ente se obtienen FIG. 5 dos sucesiones : larap are cesar] boo by barccererboroco Do laprimera es creciente y la última es decreciente. De lamanera como se construyeron las dos sucesiones anteriores se tiene: bjra, < (bo - a/2 boraz<(b,-ay/? bar az <(bo-ad/2 (1) bo “a, < ba a. 1)2 Multipl . , Plicando las n desigualdades en(11) miembro a miembro obtenemos * barca, «< ta a (12) 64 | / l | Scanned by CamScanner luego lim (b, = a4,)=0 (ya que 1/2” +0 cuando n50), n-+« esto es, la sucesi ; é ór ; , cesión creciente la, |y la sucesión decreciente |b, | tienden a un límite comtn , digamos L : =L (13) lim a, = lim b, = n-00 n n500 1 A <aj<S... <XG<... <L£o. <by<X.0e <by<bos (14) Evidentemente el número L es menor que cualquier número racional de B y es mayor que cualquier número racional de A, por lo tanto L no esun núme- ro racional. ( Nótese que un número racional pertenece a uno de los dos con juntos !) De estamanera, los dos conjuntos A y B determinan un número real (ir racional ) como el número que separe a les conjuntos A y B (o como un pun to de corte de la recta numérica). Evidentemente : “! A=fd a<L ,as= racional) (15) B=tb/b>L,b= racional) de todos los números racionales en dos subcon La descomposición del conjunto número real, tal juntos 4 y B(o el corte de la recta numérica) determina un descomposición se Ilama la cortadura de Dedekind. é Porqué no hay que considerar el siguiente caso: ? A tiene un número racional máximo y B lieneun mínimo racional . Extremo superior y extremo inferior . Sea S cualquier conjunto de números reales acotado superiormente , es de cir, existe un número real M más grande que cualquier número del conjunto S: x <M paratodo x Es. (El número M se lama una cota Le B superior de S ) + Sea B el conjunto de todos los y reales mayores que cualquier nte Ê FIG. 6 mero de S, es decir: 65 Scanned by CamScanner * Se dice que un conjunto A es acotado si existe una constante M>0 | 1 al que paratodo x €E A .M <£x<M (6 |xi <M) =[2 4 6,000. |. también pt] 14 4 ER 2n-1 es una subsucesión de ,- Do = (E!) n tam ll e tojm A partir del teorema anterior , se puede demostrar que cualquier sucesión acota da posee una sub- sucesión convergente . Por ejemplo, la sucesión * 2,3 A Si PEL, | 112 3'4 n es divergente , pero su sub-sucesión : REM Sa +41 (22) 2 , 4 1 6 PR) .s 2n 1.0. ] converge a uno , también otra subesucesión : 2.4 6 pasto ] (23 fe STrs , 1 3 5 2ne1 es convergente y su límite es + 1. Nótese que el límite de la s (23) es diferente al límite de la sub-sucesión (22). ubesucesión Problema Demostrar : Si la,] converge a L entonces cualquier sub- sucesión de ta] también tfiendea L, 68 | Scanned by CamScanner 5 11 Limite de una función EJEMPLO 1 E a 1 y= f(x) = (1 IN i =+1 a 95 4/5 =| 1, Ve, UV8,-c Uno »| 1/2, 4/5, 8/9,0on/(n+1)eo] À 2 Cuando los valores de la variable x se acerca a cero: sIsd ss 12478 an> 0. los valores de la función /(x) tienden 9 + + É E al limite 1: FIG. 1 1LL4£,8E4 0.42 41 2 5/9 n+1 º En este caso se dice que el límite de f(x) es 1 cuando x tiende a cero, y se nota lia fio)= lim O =1,0 Ls 1 (220). (2) x>0 =o x+1 x+1 Hemos tomado la sucesión 1h como la sucesión de los valores de la vari able x que tiende a cero. Sin embargo, se puede tomar cualquiera otra sucesi ón que tiende a cero siempre y cuando los valores de la sucesión pertenezcan al dominio de la función para confirmar (2). Por ejemplo : Ii 1 1 j)-.— Iate CG +” dos Nba isa à n e JA a (EL + 0. ni) = [A 5 1º (nox). n Independiente de la sucesión de los valores de la variable x, el valor de fx) = 1/(1+x) seacerea a 1 tanto como se quiera, siempre y cuando x sea muy proximo a cero. Por ejemplo, si x es menor que 0.001 la diferencia entre f(x) y 1 esmenor que 0.002. Si se quiere que tal diferencia sea me. nor que 0.000004 basta tomar x menor que 0.000002 , esto cs que la diferen cia entre x y cero sea menor que 0.000002. m 69 Scanned by CamScanner EJ EKCICIO 1 Sea f(x) = E , hallar el límite de tita) para: o -1 ia a (1) a, Biol l (ii) am =E-— (iii) ay = 14 Ip Solución (Eb2i mal 1 (1) flap) = 1 dirão? (n500) + s Ctgb-s EI mel 1 (ii) Ha) = e =Dtti=Z- 7 2 (no00). "eb siã nt, I/EeDE = 24 + 2 (nc), (iii) Na,) ep dy “cn (n+00) tede f(x) es 2 cuando x tiende a 1. Nótese que el va Asi se ve que el lími guiente x = 1 no perteneceal lor de la función no existe en x = 1, por consi dominio de la función . E En general, dada una función / diremos que L es el Ifmite de f(x) cuando x tiendea a, y escribimos lim Ho) =L xa si para toda sucesiôn fa,| convergente a à y cuyos valores están contenidos en el dominio de /, se tiene Hi =L, EEsa fa) Análogamente al teorema len 88, se obtiene el siguiente teorema : TEOREMA 3 Si lim fix)=L o, lim g(x)=M entonces *>a x>a (o) lim Ho) tele))=L+M. Xx>a (6) Jim Mx)-g(x) = LM xa im ti) <L : (c) da 27 (si ga) EO, MÉ 0). 70 e Scanned by CamScanner Sugerencia à) Aplicar el ejercicio 7 88, ii) Aplicar el ejemplo 3 yla igualdad vit - vã = Ab (encasode que b£O). ví) + vb EJERCICIO 6 Hallar lim — = x+0 WEI lim x = lim —Xyx+1+ 1) = lim X(Vx41 + 1) x>0 Vx+1-1 “são TyR+T- ilivxri+ 1) x>0 x+1-1 = lim (Vx+1+1D=vy0+1+1=2.m x>0 EJERCICIOS 2 1) Sea Hx) T + hallar el límite de |/a,)] para o 9 a, =LE1 ii) a, =-Bol iii) ap = dz iv) a, = 1-4; 2) Sea fx)=vx-1 , hallar el limite de f/(a,)) para , n =“ n+2 o .Mm+3 211,1 à) an =2H iá) a, = Bié iii) a, o] iv) a, =1+ +53 3) Sea fx) = x|x-1), hallar el límite de tfa,)] para en :) a, =231 tê) a, =P iii) a, = sds io) a, = 1460 Hallar los siguientes límites : 2 3.43 . 2. lim HA 6) lim X-a 4) Jém, (62 = 3x + 2) 5) RE $a xa o xa xe2 8) lim Al? à. 9) lim Lx 1) E Em xe x+3 Ve 1-2 x yx+3-2 2 10) lim A=L o ) gol vx +7 +10 0 7.3 Scanned by CamScanner k " 5 12 Limite con ey õ En el parágrajo “uterior , bemos definido el límite de una Junción lim fix) =L xa h (1) de la siguiente manera : Para cualquier sucesión [x,] convergentea a: lim xp=0 x, € al dominio de / para todo n, nao se tiene li =L., dim Hx) (2) Cuando n tiende a co la diferencia entre f(x,) y L disminuye tan pe- queria como se quiera, mientrassque la diferencia entre x, y à también se bace tan pequeria como queramos . Sin utilizar la sucesión, se podrá decir que la diferencia entre el valor de la función en x y el número L, lx) -L|, puede ser tan pegueria como se quiera si la diferencia entre x y a (ó la dis tanciaentre x y a sobre la recta numérica), |x — al, es suficientemente pe- queãa . Como en el caso de la sucesión (ver 8 10) se acostumbra medir la pe queiez de |f(x) -L]| mediante la comparación con un número «(ep silon)y la pequefez de |x-a| mediante un número ô (delta), así: dado un número e (e > 0) existe 8 (8 > 0) tal que lit) -L| < e si 0 <l|x-al<8, (3) (Vit es tan pe: ) . (ir es ulicie) si queria como se quiera temente pequeria A partir de la definición del límite de una Junción hecha en el parágrafo ane terior (es decir, utilizando la sucesión particular como en (2) se puede des mostrar esta nueva definición (3), en la cual ya no interviene explícitamen= te la sucesión particular. Demostración Para e (>0) dado, sino existiera una distancia O (delta) adecuada que cumple la condición (3), entonces deberia haber un punto x (que pertenece al dominio de f) en cualquier cercania del punto a tal que lo -L] ze, E a n aln x es decir, existiria un punto xy tal que FIG, 1 74 É = Scanned by CamScanner Hs) -L| >e (4) y Ixy — al <+ (ver Figo 1). (5) Como lim x, =a entonces de (2) se tendria que n00 lim Hx) =L (ó lim |ftx)-L|=0) Ni=00 N-00 lo cual contradice a (4) (absurdo! ). m EJEMPLO 1 Sea fx)= VX , veanos que lim f(x) = 2. x+4 Dado e (> 0), si (6) Ito -2l = |Vx-2] <e entonces 2-€e<Xvyx<2+e. Elevando al cuadrado las desigualdades anteriores (suponpase que 2-€e > 0) se obtiene 4-4er <a < arder es decir : Pt <x-g < 44. (7) 2 Porlo tanto si escogemos Ô = 4e-€ entonces Ix-4s| < 8 implica der e <x-4<4e-é < der e? , es decir, se cumple la desigualdad (7). m EJERCICIO Sea fx) = x(x + 2) (x > 1). 2) Hallar los valores de x tales que |f(x)| sea menor que 0.1. ii) Hallar los valores de x tales que |f(x)| sea menor que 0.001. iii) Hallar los valores de x tales que lf(x)| sea menor que e (e > 0). Soluciár . ción Ito | x(x + 2) si x>0 | -x(x + 2) st 2<x<0 () [4] St x > 0, I|fol=ex+2) <01), o sea 75 Scanned by CamScanner Cuando x se acercaa 1 por la derecha , el valor P 1 aumenta como se quiera , es decir el límite por la derecha de f(x) cuando x» It es + , lo que se nota d— = Po x-1 tee También : lim 1 = o. H e] *x-1 EJEMPLO 3 te) = A (Fig. 3) Evidentemente 1 = +00, lim 1 =+o. 8 m *501t |x+1] 5" |x+1] En los ejemplos 1 y 2 las gráficas de las funciones se rompen en x= 1. En cl ejemplo 3 la gráfica de la función sigue hacia infinito cuando x > . (También se puede considerar que la gráfica está rota en x = -1.) En estos casos se dice que la gráfica de la función es discontinva en los respectivos puntos . lar Nota: En el ejemplo 3, ambos límites son infinitos , pero no se puede Pia de la existencia del límite ya que +0o no es un número a pesar deq se nota , lim fHx)=+0.m x5e1 EJEMPLO 4 2 flo) = É sixiízZ x — BD =0. Evidentemente tenemos (ver Fip. 4); 78 Scanned by CamScanner Vim MOD dim JOS) = dim (ta) = Lim E MD. 4 447. x+2 x+2 xe2 Ex ente ejemplo la gráfica do / estarotaen x=2a pesarde que lim f(x) x- extinto, m ” É los ejemplos anterivres se observa que la gráfica de la función se rom pe exun punto a sis Da no pertenece al dominio de / (Ejemplos 1,2 y 3). HD dim fx) no existe (Ejemplos 1,2 y 3). xa Hi dim fx) existe y a pertenece al dominio de la función / pero see lim fix) é flo) (Ejemplo 4). Naa Diremos ahora que una funciôn f es continua em un punto a de su dominio st lim Nx) existe y Jim f(x) = f(a) . xa xa Si para a en el dominio de / no se cumple esta condiciôn se dice entor- ces que a es unpunto de discontinvidod de /, o / es discontinus en a. | EJEMPLO 5 (Fig 5) ftx) = Tas si xo, HO)=1. f es discontinua en O ya que fim ftx) no existe pero continua en cualquier otro punto. En el ejemplo 4, si modificamos la definición de la función en un punto x = 2 como sigue: f(x) = + sixé2?, júD=4 = entonces se liene que lim, fºtx) = 4 = [*(2. Asi, la nueva funciõe modifica Xo & da f* escontinuaen x = 2. La discontinvidad presentada por / en x = 2 se Ilama una discontinuidad removible (o evitable), puesto que basta voa ze va definición de / en el punto para hacer desaparecer la discontinuidad. 78 Scanned by CamScanner A ejurcicio 1 (Pig 6) Sea Ho) = dl » dibujar la gráfica de la función f Y local tzar todos los puntos de de discontinuidad de la gráfica. Solución ; x . E — f(x) = déb = el si x>0 bd =X , 1g— a o -1 sí x<o0 [——— lim No= 1, O x x00+ = Jd = —el lim fix) =, a+0" FIG 6 La función no está definida en O, más aún observamos que su gráfica pega un salto en Ou EJERCICIO 2 (Figo 7) Sea 0 si x <o0 od) =) 4% si 0 <x 45 -Slx= 1) sí E<xsi 0 six >1 Demostrar que | es contínua para todo x. FIG 7 Sugerencia | en los puntos x = 01,4 , 1. Por Basta investigar la continuidad de f/ ejemplo, en x = : ) ) , m-Étee D=l lim f(x) = li 4x = 1, dim Mx) = lim «Ex 1) , x + f x. 4º * xo E 2 ++ 3 así que lim Mo) = 1 =D. EJERCICIOS Dibujar las gráficas de las siguientes funciones tos de discontinuidad de la gráfica . y localizar todos los pun- D = f(x) =d o 2x4 v= fx, 1 2) y=fid=— 80 a Scanned by CamScanner Función continva en un punto Si una función / es continua en x = q, entonces lim Hx) = fa) xa lo que quiere decir que la diferencia |f(x) — f9)| es tan pequeãa como se quiera cuando x está muy próximo a à. Si Ma) > 0, Hx) es también positivo cuando x está muy próximo a a (ver Fig. 1. En otras palabras existe un intervalo con centroena,(a-h,a+b), en donde el valor de la función f(x) es siempre positivo . Si / es discontinua en à no siem pre existe tal intervalo (ver Fig. 2). EJERCICIO 1 Sean f, g dos funciones continuas en à, si fla) > pla) demostrar que existe um intervalo con centro en a,(a-b,a+b) en donde J(x) es mayor que g(x) + Solucioón Sea F(x) = f(x) — g(x) , bor el teorema 4 se tiene que F es conti- nua en x= à. Como Fla) = fla) — ela) > 0 existe un intervalo con cen troen a,(a-hb,a+b),endonde F(x) > 0 ,osea flo) = glx) =F(x)>0siah<x< a+bh.g Función continua en un intervalo cerrado Si una función / es continua en , (a, f(a)) cualquier punto de un intervalo [a, b ) se dice que / es continua en [2,6]. Por ejemplo , un polinomio es continua en todo intervalo , una función racional es continua en el intervalo en el cual el denominador no se anula . Si / escontinuaen [2,6] y si fia) > 0, Hb) <o intuitivamente se ve que existe por lo menos un punto c, a< c<ben FIG. 3 donde fc) = 0 (ver Fig. 3). La demostración rigurosa de esta propiedad no es muy sencilla aunque gráficamente se ve muy clara. El punto P(a, f(a)) está en la parte superi- or deleje OX . Fl punto 2(b, f(b)) está por debajo del eje. Si se conee- tanlos puntos P y Q con una curva continua ésta debe cortar el ejcOX y en el punto decote, c, fc)=0. Ob, jtb)) 83 Scanned by CamScanner EJERCICIO 2 Demostrar que una ecuación de tercer grado : dep? tiene por lo menos una raíz + qx +7=0 Solución Sea fx) = + px? »qx +r , entonces lim flx)= +0 lim f(x) === x+oa x+000 a(a>0) es suficientemente grande fla) >0 yquesi b o sea que si mero f(b) < 0. Por lo tanto , existe un c (b < 0)es suficientemente pegi (b< c<a) tal que fic) = 0, Y estoes, c es una raíz de la ecuación. Máximo y mínimo Se dice que f tiene un valor máximo ( o máximo absoluto) en (1,1) Máximo x=a si' fla) > fx) para todo x de su dominio (ver Fig. 4). EJEMPLO 4 fl) = -x2 42x tiene un máximo en x=1 ysu FIG. 4 valor es f(l)=1 ya que: Y (x) = ex2 4242-141 fx xº + 2x + fm = 241 =1-(x- D24g 1.0 De la misma manera , se dice que f toma un valor mínimo en à si (a) < Na fo) (1,2) mínimo para todo x de su dominio (ver Fig.5). EJEMPLO 5 f)=z+] ,2>0, f tiene un mínimo en x =1 ysu valor FIG. 5 s: f(l)=2 puesto que -2= 1 = «2 fo) -2=s+7-2 = fed > 0 paratodo x > 0,06 84 Scanned by CamScanner Uno funciôn continua en el intervalo [a,b] siempre tiene un máximo y un mínimo (ver Fig. 6), la demostración de esta propiedad de la función continua está fuera del nivel del curso (3 15), pero intuitivamente no es difícil de com- prender . EJEMPLO 6 po=EtL (xi ND=t. x- La función / está definida en [0,2] perono es continua en x = 1. Eviden temente f no toma máximo ni mínimo en [0,2] (ver Figo 7). B Combinando las dos últimas propie dades de la función continua se obtie ne el siguiente teorema del valor inter medio : FIG. 7 TEOREMA 5 (Teorema del valor intermedio ) Si / escontinuaen [2,6], entonces / toma cualquier valor entre y! M-n Máximo a 4 su maximo y SU minimo « Demostracion Sean M=fíc), m=(f(d) el máximo y el mínimo de f respecr k tivamente « Para mayor facilidad sy Ep 1 pongamos que c < d(ver Fig. 8) dic ? 1; E , 1 Sea k cualquier número entre m y M (m<k<M)entonces la nueva función g * ' elx) = fx) - k m-—— =" mínimo es continua en [c,d], además : FIG . 8 gl)=Hc)-k=M-k>O, gld=fHd-k=m-k<0, luego existe un punto p entre c y d endonde g(p)=0, es decir: fp) -k u O (ó fib)l=k).a 85 Scanned by CamScanner CN 8 15+ Demostración de las propiedades de la función continua [1] Si / es continua en:el intervalo [a, b] entonces el valor de la funció f está acotado en [a,b], es decir, existe una constante M tal que ton lit] <M cuando. x E [4,6]. Y (1) Demostración y =| ) Supongamos que f(x) no está acotada n superiormente , entonces para cualquier número natural n (aunque sea muy grande) existe un punto x, E [a, b] tal que fx) fix) > mo (2) : Ne De la sucesión acotada : depoxgxgre cer ke 56) at cx b! x se puede escoger una sub-sucesión con- vergente , digamos FIG 1 Der Mg rt ) (4) tal que lim xp = co n5=« n Evidentemente c pertenece al intervalo [a,b] y dim fic )= fc) (por la continuidad de | en c)(5) n n500 Pero fo) > k (bor la forma cómo se escogió la sucesión (3)), luego n lim fx) = +o (6) n n> 00 esto contradice a (5) ya que f estádefinida en c E [a,b). De manera similar , se puede demosirar que f(x) está acotada inferiormen te. q [2] Sea A elrecorrido de /f,es decir: 4 = IHx/x E [2,6]! entonces 4 es un conjunto acotado (por la propiedad [1]); sea M em y = Su tfw/x E [ab]. Si 4 no tiene el número máximo , entonces de la propiedad del extremo sups rior se halla una sucesión creciente : Ve po ed. cce slides ! 88 a Scanned by CamScanner que converge a M: lim fixa) =M. (7) n+00 De la sucesión lx escogemos una sub-sucesión convergente , sea Depp po Spa trt ppt 3 tal que dm “pa To (x, € [0,b]). De (7): tim fx )D= Mo (8) n5 e Pp También : Em, faço) =fxo) (por la continuidad de / en x). (9) De (8) y (9) tenemos leo) =M, estoes, f toma el máximo en x, E [2,b]. De la misma manera , se puede demostrar que f toma el mínimo en un bun to del intervalo [a,bJ. a [3] Sea f continua en [2,6], si fla) > 0 yf(b) < O enonces existe un punto c E [2,b] en donde f(c)=0. Demostración Sea Ij= [a » bj] el sub-intervalo de [a,b] tal que H a si MS <o, (10) [22,0] sá r(es8) >0 entonces Mag) >0y ftby) < 0, Abora, subdividimos el intervalo = la,, b1] en dos partes iguales , sea lo= [02,64] = Lay, 21tb1) si (215) <o (11) Lertts, 64] si (esta) >0 entonces Has) > 0y Hb) < 0. Así sucesivamente se obtiene una su- cesión de intervalos : 89 Scanned by CamScanner [a ,6] > [07,54]D [a2162]D 000 O lagrbm) D lan oba). (19) H Ip Ia loud tales que 15 lan,1º bord] ur (test) co E (13) ptb si (Custa) >0, así que Mag) >0 y bai) <0 (lá) De la sucesión acotada lapr agree Agr ree | se puede escoger una sub- sucesión con- vergente , digamos + FIG, 2 trapo A err Apre ) > Lo2o 3 n (15) lim a, =. ne n De la continuidad de f en c se trene: lim flar) = = flo) > n5% puesto que fa ) > 0 para todo n, Pero , evidentemente se obtiene : (16) lim (by, a )J=0 nox luego : fc) = lim Tica )J<o (17) n5€ ya que flb,)<O para todo n n De (16) y (17) se tiene que flc)=0.m 90 O —— Scanned by CamScanner m= Ixllx+1)-0 - |xltx+ 1) xe0 x cuando x > 0 tenemos : lim om = dim BILAD jim 2040 Cima (24 D= 1, x50+ x20t x x»0+ x x>0 tim m =lim BAD 2 tim 2260 tim (xs D=-l, x50" x50" x X50" x x50 como 1£-1] ,noexiste el límite de m cuando x>»0, E EJERCICIOS 1) Encontrar la pendiente de la curva y= 2%) en (1,2), (-1,-2), (a,202). 2) Encontrar la pendiente de la curva y= *242x+1 en (1,9, (0,1) y en (a,a“ +22 +), 3) Escribir la ecuación de la recta tangente ala curva y = 1-3? enlos pun- tos Pj(0,1) y Px1,0). 4) Verificar que (-2a, -8a)) está sobre la curva y=3) y estã también so bre la recta que es tangente a la curva en el punto (a, a). 5) Encontrar la ecuación de la recta tangente ala curva y =x 4x2 enel pun to (a,a+a2). Encontrar el punto donde la recta tangente es horizontal. 6) é Cuál es la ecuación de la recta tangente ala curva y=2x2. W.-5 en el punto de la gráfica de abscisa x = 1? 7) Hallar la pendiente de las siguientes curvas en los puntos dados ; O No) =2+5, (0065) (b) o) =22, (1,2) (o) ft) =L, (1,1) 8) Sea fx) = Va2+ 1, demostrar que la pendiente de la curva y = f(x) en fa, f(a)) tiende a 1 cuando q >o, n 8 17 Derivada de una función El proceso usado en el parágrafo antérior para encontrar la pendiente de la Curva y = f(x) puede sistematizarse fácilmente como sigue : Tomemos dos puntos sobre la curva, P(a, fla) y Q(t, ft)) , la pendiente dela secante PQ es : o fio (1) tea 93 Scanned by CamScanner Manteniendo a P fijo y permitiendo que Q se mueva sobre la curva y = ts) para acercarse a P (es decir, + » a), entonces la secante PQ se acerça a la recta tangente PT ala curva en cl punto P, asi se tiene que la pen diente de la recta tangente PT es igual al limite del cociente dado en (1. Fste limite se denomina la derivada de / en x=a ysenota fa): Fita) = lim HO Ma (2) t»a t -a FI proceso de encontrar la deri - vada se llama derivación. EJEMPLO 1 Sea f(x) = x2. x entonces 2 2 fila) = lim Atl = U-aê-a) = U-(al-a) t>a t-a =lim(t+a-l)=2a-to. ta o En la derivada /'(a), a pue- de tomar cualquier valor en el do FIG . 1 minio de la función / en donde el límite en (2) existe. Asi obtenemos una nueva función f' lIlamada la derivada de f , cuyo valoren x es: f(x) = lim Ho — Ho) (6) box t-x º EJEMPLO 2 Sea flo)= x, x> 0, Delejemplo 2 del parágrafo anterior tene- mos : lim NEDVX = 10 (xf0). tox t-x 2yx% Por lo tanto, la derivada [' es definida para todo x positivo y su valor ft) = Ao 2vX. en x est Nótese que el dominio de /' no es igual al dominio de la función ; (0 no pertenece al dominio de /'.). O o La derivada de f puede notarse también de las siguientes manceras : , Vo d fo Diçy! -. (4) EJEMPLO 3 * 2 Sea flx)= x) +1 entonces : 94 Scanned by CamScanner 2 2. - (BeD-(1 *D =; L-l-tim | D=2, reu im RR a — Him ( + 95 pia = tim ED GÊ D tom PO tim (t+x)=2x. ft—- x foz t-x box Nótese que la derivada de / en x=1 es igual al valor de la derivada /' en x=1; POD == Zx)e=/ =2. Observación : f'(1) esla derivada de f en x = 1, de ninguna manera es igual a la de rivada de f(1) = 2 (la derivada de una función constante es cero !): ft É laderivadade ÁID. m EJEMPLO 4 Sea f(x) =1 (x%0), entonces - ()-(1/%) =lim SE = line dd hocin pese in RR TO e EJEMPLO 5 Sea jlx) =x” (n = natural) , entonces - -2 3 ne 2, a7el Fo) = lim Po = lim = al na x reer ata ) box t-x tax t- = = dim (ri O. 42) = gato tax .º EJERCICIO 1 Sea f(x) = |x| ,hallar el dominio de la derivada f. Solución à) Si x > 0 , entonces fd = lim lol gm t=* 2 dim =, táx t-x 5x t-x 5x nótese que cuando t se acerca a x bositivo , 3 va a ser positivo por lo tan- to se puede considerar que |t| = +t. ii) Si x <0 » entonces Pd = dim bloom CDC jim (Dl, tá x t-x to x t-x tax iii) Si x=0, entonces 95 Scanned by CamScanner