Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Exame Geral 2003-1, Provas de Engenharia Civil
daniel-da-silva-14
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Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Exame Geral 2003-1, Provas de Engenharia Civil

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Resolução do exame geral de 2003/1, incluindo questões de modelamento, derivadas, integrais e cônicas.
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Mat01353 - Cálculo e Geometria Anaĺıtica I-A Solução do Exame Geral - 2003/1

Questão 1. (1.0 ponto) Calcule

(a) dy

dx , sendo y = ex

3+x2 · cos(2x).

(b) dy

dx , sendo x2 − y2 = 2x ln(y).

Solução : (a)

dy

dx = ex

3+x2(3x2 + 2x) cos(2x) + ex 3+x2(sen (2x))(2)

dy

dx = ((3x2 + 2x) cos(2x)2sen (2x))ex3+x2.

(b)

d

dx

( x2 − y2) = d

dx (2x ln(y))

2x− 2ydy dx

= (2) ln(y) + 2x · 1 y · dy dx

⇒ dy dx

= 2x− 2 ln(y) 2x/y + 2y

= x− ln(y) x/y + y

ou ainda

dy

dx =

xy − y ln(y) x + y2

.

Questão 2. (1.5 pontos) Calcule as três integrais abaixo:

(a)

dx

x2

9− x2 (b)

−x2 + 3x + 16 x(x− 4)2 dx

(c)

∫ ln(x)

x dx

Solução : (A) Substituição : x = 3sen (u) dx = 3 cos(u)du

dx

x2

9− x2 = ∫

3 cos(u)du

(3sen (u))2 √

99sen 2(u) = ∫

3 cos(u)du

9sen 2(u)(3) cos(u)

=

dx

x2

9− x2 = ∫

du

9sen 2(u) =

1

9

∫ csc2(u)du =

cot(u) 9

+ C

onde

sen (u) = x/3 cos(u) = √

1(x/3)2 =

9− x2 3

=

dx

x2

9− x2 = − √

9− x2/3 9x/3

+ C = −√9− x2

9x + C,C ∈ R.

(B) Decomposição em Frações Parciais

−x2 + 3x + 16 x(x− 4)2 =

A

x +

B

x− 4 + C

(x− 4)2 = A(x− 4)2 + Bx(x− 4) + Cx

x(x− 4)2 −x2 + 3x + 16 = A(x2 8x + 16) + B(x2 4x) + Cx −x2 + 3x + 16 = (A + B)x2 + (C − 8A− 4B)x + 16A

para todo x, e temos   

A + B = 1 C − 8A− 4B = 3 16A = 16, ⇒ A = 1

.

⇒ B = 1− A = 2, C = 3 + 8A + 4B = 3 + 8(1) + 4(2) = 3. ∫ −x2 + 3x + 16

x(x− 4)2 dx = ∫ (

1

x +

2 x− 4 +

3

(x− 4)2 )

dx =

ln |x| − 3 ln |x− 4| − 2 x− 4 + C, C ∈ R.

(C) Integração por Partes:

u = ln(x) −→ du = dxx dv =

dx√ x

−→ v = x 1/2

1/2 = 2

√ x

e assim ∫ ln(x)

x dx = 2

√ x ln(x)

∫ 2

x dx

x = 2

√ x ln(x)2

x−1/2dx

ln(x)√ x

dx = 2

x ln(x)2x 1/2

1/2 + C = 2

√ x ln(x)4√x + C, C ∈ R.

Questão 3. (2.0 pontos) Seja R a região hachurada ao lado (abaixo), limitada pelo gráfico de x = 4− y2 e x = 3.

(a) Calcule a área de R. (b) Escreva (não calcule) a integral quqe expressa o volume do sólido obtido

quando rodamos a região R em torno do eixo y.

3 4

x

y

Solução : (a) Intersecção : 4− y2 = 3 ⇒ y2 = 1 ⇒ y = ±1

A =

∫ 1 0

(x− 3)dy = ∫ 1

0 ((4− y2)3)dy =

∫ 1 0

(1− y2)dy = [ y − y

3

3

]1

0 = 11

3 =

2

3

(b)

V =

∫ 1 0

π(x2 32)dy = ∫ 1

0 π

( (4− y2)2 9) dy =

∫ 1 0

π(y4 8y2 + 7)dy

Questão 4. (2.0 pontos)

(a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 + 3

x2 2 no ponto de abscissa 1.

(b) Considere a cônica de equação 9x2 + 4y2 36x− 8y + 4 = 0. Determine sua equação canônica, seus elementos principais (focos, vértices,. . . ) e classifique-a.

Solução (a)

f(1) = 1 + 3

12 = 4

f ′(x) = 2x(x2 2)(x2 + 3)(2x)

(x2 2)2 = 10x

(x2 2)2 e então

f ′(1) = 10(1) (12)2 = 10

e a equação é y − (4) = 10(x− 1) ou seja, y + 4 = 10(x− 1). (b)

9x2 36x + 4y2 8y = 4 9(x2 4x) + 4(y2 2y) = 4

9(x2 4x + 4) + 4(y2 2y + 1) = 4 + 36 + 4 = 36 9(x− 2)2

36 +

4(y − 1)2 36

= 1

(x− 2)2 4

+ (y − 1)2

9 = 1

e temos uma elipse: a2 = 9 ⇒ a = 3, b2 = 4 ⇒ b = 2. a2 = b2 + c2 9 = 4 + c2 ⇒ c =

5

Eixo principal é paralelo ao eixo dos Y . Centro tem coordenadas C(2, 1). Focos F1(2, 1

5) e F2(2, 1 +

5).

Vértices V1(2, 13) = V1(2,−2) e V2(2, 1 + 3) = V2(2, 4) Excentricidade e = c/a =

5 /3.

Questão 5. (1.5 pontos) Uma área retangular com 216m2 será cercada e dividida em duas partes iguais

por uma cerca paralela a um de seus lados. Quais as dimensões do retângulo externo que exigirão a menor quantidade total de cerca ? Quantos metros de cerca serão necessários ?

Solução : x e y são as dimensões , cerca divisória tem dimensão x. A = 216m2 área do

retângulo externo. Q é a quantidade de cerca (em metros).

xy = 216m2 ⇒ y = 216/x Q = 2y + 3x = 2(216/x) + 3x

e temos que minimizar a quantidade

Q(x) = 3x + 2(216)

x , x > 0

Temos

Q′(x) = 32(216) x2

e o único ponto cŕıtico em (0, +) satisfaz Q′(x) = 0, isto é,

3 = 2(216)

x2 ⇒ x2 = 2(216)

3 = 144 ⇒ x = 12.

Além disso,

Q′′(x) = 4(216)

x3

que é cont́ınua e positiva em (0, +). Portanto x = 12 é um ponto de mı́nimo relativo. Como x = 12 é o único ponto cŕıtico de Q(x) em (0, +), segue que x = 12 é também um ponto de mı́nimo absoluto em (0, +).

As dimensões que exigirão a menor quantidade de cerca são x = 12m e y = 216/12 = 18m.

Serão necessários 3(12) + 2(18) = 72 metros de cerca.

Questão 6. (2.0 pontos) Dada a função f(x) = ln(x)

x2 , determine:

(a) o domı́nio de f , (b) os intervalos de crescimento e os de decrescimento de f , (c) os pontos de máximo ou mı́nimo local de f , caso existam, (d) as asśıntotas horizontais e as verticais, caso existam.

Solução : (a) D(f) = (0, +) pois x dever ser positivo por causa do logaritmo e não -nulo

porque x2 é denominador. (b)

f ′(x) = x2(1/x)ln(x)(2x)

x4 =

12 ln(x) x3

e como x3 é sempre positivo em (0, +): f é crescente: 12 ln(x) > 0 ln(x) < 1/2 0 < x < e1/2 = √e f é decrescente: 12 ln(x) < 0 ln(x) > 1/2 ⇔ x > e1/2 = √e Assim f é crescente em (0,

√ e) e decrescente em (

√ e, +).

(c) Pelo teste da derivada primeira e a pela parte (b), x =

e é ponto de máximo local de f .

(d) Assintotas verticiais: como a função f(x) é cont́ınua em sem domı́nio, assin- totas podem ocorrer em x = 0 ou ao x → +.

lim x→0+

ln(x)

x2 = −∞

pois x2 +0 e ln(x) → −∞. Então existe assintota vertical em x = 0.

lim x→+

f(x) = lim x→+

ln(x)

x2

e como temos uma indeterminação do tipo ∞/∞:

lim x→+

f(x) = lim x→+

1/x

2x = lim

x→+1

2x2 = 0

e assim a reta y = 0 é asśıntota horizontal no +.

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