Cálculo Integral e Diferencial II, Resumos de Cálculo para Engenheiros. Universidade Veiga de Almeida (UVA)
raphaella-alves
raphaella-alves

Cálculo Integral e Diferencial II, Resumos de Cálculo para Engenheiros. Universidade Veiga de Almeida (UVA)

87 páginas
1Números de download
57Número de visitas
Descrição
Livro de Cálculo 2, comleto.
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 87
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 87 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 87 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 87 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 87 páginas
Baixar o documento

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Este  material  é  parte  integrante  da  disciplina  “Cálculo  Diferencial  e  Integral  II” 

oferecido  pela  UNINOVE.  O  acesso  às  atividades,  as  leituras  interativas,  os 

exercícios, chats, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser 

feitos diretamente no ambiente de aprendizagem on­line.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Sumário 

AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)...........................................................5  Algumas regras de diferenciação ................................................................................................5 

AULA 02 • REGRA DO PRODUTO .................................................................................................9  Regra do Quociente ..................................................................................................................10  Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) ..................................................10  Tabela de Derivadas .................................................................................................................12 

AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL .................................14  Derivadas Sucessivas ...............................................................................................................14  Função Inversa (f ­1 ) ...................................................................................................................15  Definição de Função Inversa .....................................................................................................15  Gráficos de algumas funções e suas inversas...........................................................................16  Como derivar a função inversa..................................................................................................16 

AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA..............................................................................................18  Funções implícitas e explícitas ..................................................................................................18  Derivação implícita ....................................................................................................................19 

AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA......................................22  Função na forma paramétrica....................................................................................................22  Derivada de uma função na forma paramétrica .........................................................................23 

AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS............................................................................26  Introdução .................................................................................................................................26  Função de várias variáveis ........................................................................................................27  Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável:..........................................28 

Gráficos.....................................................................................................................................28  AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS...............................................................................................31  Funções de várias variáveis ......................................................................................................31  Derivadas parciais .................................................................................................................31 

AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................35  AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................39  1. Equação de Laplace..............................................................................................................39  2. Diferencial total (ou Derivada Total).......................................................................................41 

AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................43  3. Vetor gradiente ......................................................................................................................43 

AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (Inclinação).........................................................................47  AULA 12 • JACOBIANO ................................................................................................................51  AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS....................................54  Teorema do valor extremo.........................................................................................................54  Extremos ...................................................................................................................................54  Determinação dos extremos relativos........................................................................................55  Ponto de sela ............................................................................................................................56 

AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS) ...57  AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E  LIMITADOS...................................................................................................................................61  AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................66  AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................70  AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................74  AULA 19 • REGRA DA CADEIA ....................................................................................................78  Derivada total ............................................................................................................................78

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

AULA 20 • PLANO TANGENTE E RETA NORMAL.......................................................................82  Exercícios..................................................................................................................................84 

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................86

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V) 

Incrementos  ou  acréscimos:  O  incremento,  ou  acréscimo,  de  uma  variável  x  é  a 

variação de x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x0 para outro valor x = x1, dentro de 

seu domínio. 

Taxa Média de Variação 

Quando → ∆x  0 temos 

(x) f'  Δx 

f(x) Δx) f(x  0 Δx 

lim  Δx  Δy  0 x 

lim = − +

→ =

Calcule a derivada da função f(x) = 2x² + 3x – 2 usando a definição pelo limite: 

Resolução: 

. 3 x 4 ) x ( ' f 3 x 4 x 4 lim  x 

) 3 x 4 x 4 ( x lim 

x  x 3 x x 4 x 4 lim 

x  2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 4 x x 4 x 2 lim 

x  2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 ] ) x ( x x 2 x [( 2 { lim 

x  ) 2 x 3 x 2 ( ] 2 ) x x ( 3 ) x x ( 2 [ lim 

x  ) x ( f ) x x ( f lim 

x  y lim ) x ( ' f 

0 x 0 x 

0 x 

2 2 2 

0 x 

2 2 2 

0 x 

2 2 

0 x 0 x 0 x

+ = ⇒ + + ∆ = ∆

+ + ∆ ∆ =

= ∆

∆ + ∆ + ∆ =

∆ + − − − ∆ + + ∆ + ∆ +

=

= ∆

+ − − − ∆ + + ∆ + ∆ + =

= ∆

− + − − ∆ + + ∆ + =

∆ − ∆ +

= ∆ ∆

=

→ ∆ → ∆

→ ∆ → ∆

→ ∆

→ ∆ → ∆ → ∆

Algumas regras de diferenciação 

• Derivada de uma constante 

Δx  f(x) Δx) f(x 

Δx  Δy − +

=

• Taxa instantânea de variação. 

• Derivada da função y =f(x) = y’ = f’(x). 

• f’(x) =  dx  dy  .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

• Regra da Potência 

Exemplos: 

a) f(x) = x 5 → f’(x) = 5x 4 .                      d)   f(x) =  3 x  1  =  x ­3 → f’(x) = ­3x ­4 =  4 x 

3 − . 

b) f(x) = x 9 → f’(x) = 9x 8 .  e)   f(x) = x → f’(x) = 1x 0 = 1.1 = 1. 

c) f(x) = ­x 6 → f’(x) = ­6x 5 . 

• Múltiplo Constante (c ∈ R) 

Exemplos: 

a) f(x) = 2x 3 → f’(x) = 2.3.x 2 = 6x 2 . 

b) f(x) = 8x 5 → f’(x) = 8.5.x 4 = 40x 4 . 

c) f(x) = ­5x 2 → f’(x) = ­5.2.x = ­10x. 

• Regra da Exponencial 

Se f(x.) = b, então f’(x) = 0 

Se n ∈ R, se f(x) = x n , então f’(x) = n.x n­1 , para x ≠ 0 

f(x) = [ c.f(x) ] → [ c.f(x) ]’ = c.f’(x) 

f(x) = e x → f’(x) = e x .x’ = e x .1 = e x

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

• Algumas Derivadas de funções trigonométricas 

• Regras da Soma (e da Diferença) 

Exemplos: 

1. Ache a derivada de f(x) = ­x 4 + 4x 2  ­ 6x . 

f(x) = sen x → f’(x) = cos x.(x)’ = cos x.(1) = cos x 

f(x) = cos x → f’(x) = ­sen x.(x)’ = ­sen x.(1) = ­sen x 

f(x) = tg x → f’(x) =  x 2 cos 

1  = sec 2 x. 

f(x) = cotg x → f’(x) =  x 2 sen 

1 − = ­cossec 2 x. 

f(x) = sec x → f’(x) =  x 2 cos 

senx  = sec x .tg x. 

f(x) = cossec x → f’(x) =  x 2 sen 

cosx − = ­ cossec x .cotg x. 

f(x) = arcsen x → f’(x) =  2 x 1 

1

f(x) = arccos x → f’(x) =  2 x 1 

1

− − . 

f(x) = arctg x → f’(x) =  2 x 1 

1

+ . 

f(x) = arccotg x → f’(x) =  2 x 1 

1

+ − . 

Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:

[ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x)  dx 

d + = + = +

[ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x)  dx 

d − = − = −

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Resolução: f ‘(x) = ­(x4)’ + 4(x2)’ – 6(x)’  = ­(4x3)’ + 4(2x)’ – 6(1)’ ⇔

f’(x) = ­4x 3 +8x ­ 6. 

2. Ache a derivada de g(x) = ­  2  1  x 8 + 4x 2 – 2x + 7. 

Resolução: g’(x) = ­  2  1  .8x 7 + 4.2x – 2.1 + 0

⇔ g ‘(x) = ­4x 7 + 8x ­ 2

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

AULA 02 • REGRA DO PRODUTO 

Exemplos: 

f  g 

1. Derive y = (4x – 3x 2 ).(7 + 2x). 

Resolução: 

dx  dy  = (4x – 3x 2) ’. (7 + 2x) + (4x – 3x 2 ). (7 + 2x)’ = 

= (4 – 6x). (7 + 2x ) + (4x – 3x 2 ). (2) = 28 + 8x – 42x – 12x 2 + 8x – 6x 2 = 

= ­12x 2 – 6x 2 + 8x – 42x  + 8x + 28 ⇔ dx  dy  = ­18x 2 + 26x + 28. 

2. Derive y = ­3x.(x 3 + 2x). 

Resolução:  dx  dy  = (­3x)’. (x 3 + 2x) + (­3x) . (x 3 + 2x)’ = ­3. (x 3 + 2x) ­ 3x . (3x 2 + 2) = 

= ­3x 3  ­ 6x ­ 9x 3  ­ 6x ⇔ dx  dy  = ­12x 3  ­ 12x 

Obs.:  Podemos  estender  o  conceito  de  derivada  do  produto  para  mais  do  que  duas 

funções. Por exemplo: Sejam f(x), g(x) e h(x) deriváveis. 

Portanto: [ ] (x) ' h f(x).g(x). (x).h(x) ' f(x).g (x) (x).g(x).h ' f h(x) f(x).g(x).  dx  d

+ + = ,  e  assim  por 

diante . 

Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:

[ ] (x) ' f(x).g (x).g(x) ' f f(x).g(x)  dx 

d + =

10 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Regra do Quociente 

Exemplo: 

Derive y =  6 4x  3 x

+

+ . 

Resolução: Temos f = x­1 e g = 2x + 3

⇔ + +

− − + =

+ +

+ − + =

+

+ + − + + =

36 48x 2 16x 

12 4x 6 4x 

36 48x 2 16x 

3).4 (x 6) 1.(4x  2 6) (4x 

6)' 3).(4x (x 6) 3)'.(4x (x  dx  dy

⇔ 36 48x 2 16x 

6  dx  dy

+ +

− =

Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) 

Exemplos: 

1. Derive y = (x 2 + 1) 3 . 

Resolução: Temos u = x 2 + 1 → y = u 3 , portanto 

y’ =  dx  du  . 

du  dy 

dx  dy

= = 3u 2 .u’ = 3.(x 2 + 1) 2  . 2x = 3.(x 4 +2x 2 +1).2x ⇔

y’ = 6x 5 +12x 3 + 6x 

ou 

Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos:

[ ] 2 g(x)  (x) ' f(x).g (x).g(x) ' f 

g(x) 

f(x) 

dx 

d − =  

  

Seja y = f(u) diferenciável em u . 

Sejam u = g(x) e f[g(x)] diferenciáveis em x, temos: 

dx 

du  . 

du 

dy 

dx 

dy = ou [ ] [ ] (x) .g' g(x) ' f f(g(x)) dx 

d =

com g(x) ≠ 0

11 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

y’ = [ (x 2 + 1) 3  ]’.(x 2 + 1)’ = 3.(x 2 + 1) 2  .2x ⇔ y’ = 6x5 +12x3 + 6x 

2. Derive y = (3x 3 +2x) 2 . 

Resolução: Temos u = 3x 3 +2x  y = u 2 , portanto 

y’ =  dx  du  . 

du  dy 

dx  dy

= = 2u .u’ = 2.(3x 3 +2x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) ⇔

y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x 

ou 

y’ = [(3x 3 +2 x) 2 ]’.(3x 3 +2 x)’ = 2.(3x 3 +2 x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) ⇔

⇔ y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x 

3. Derive y = sen 2x . 

Resolução:. 

y’ = [sen 2x]’.(2x)’ = cos2x . 2 ⇔ y’ = 2.cos 2x 

NOTA:  Pensando  na  regra  da  cadeia,  podemos,  então,  ampliar  nossos  conceitos  de 

derivação,  uma  vez  que,  ao  derivarmos,  por  exemplo,  cos  x,  temos  que  u  =  x,  logo  u’  =  1,  portanto,  (cos  x)’  =  [cos  x]’.(x)’  =  (­sen  x)  .  1 ⇔ (cos  x)’  =  ­senx  .  Muitas  vezes  nos 

esquecemos disso, o que acarreta em erros freqüentes e comuns, por exemplo, se a derivada de 

cos x é ­sen x, é natural pensarmos que a derivada de cos 2x é ­sen 2x; natural, porém absurdo, 

pois  já vimos, pela regra da cadeia, que derivada de cos 2x é –2.sen 2x. Uma boa sugestão é 

nunca se esquecer de derivar a função u. 

Pensando nisso, preparamos uma tabela de derivadas onde a variável a ser operada não é 

“x”, mas sim  “u”  (como  função),  notamos, em sala  de aula,  que houve significativo aumento de 

compreensão das derivadas que usam regra da cadeia. 

Segue abaixo, essa tabela:

12 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Tabela de Derivadas 

Função  Derivada 

c.x n  n.c.x n­1 

x n  n.x n­1 

e u  u’e u 

a u  u’.a u .lna 

u  u 2 

u' 

ln u  u 

u' 

u a log  u 

e a u'.log 

u.lna 

u' =

e ­u  ­u’.e ­u 

sen u  u’.cos u 

cos u  ­u’.sen u 

u cos 

u sen  u tg = u 2 u'.sec 

u 2 cos 

u' =

u cos 

1  u sec = =

u 2 cos 

senu  u'.  u’.sec u.tg u 

u sen 

1  u cosec = = −

u 2 sen 

cosu  u'.  ­ u’.cosec u.cotg u 

cotg u = − u 2 sen 

u'  ­ u’.cosec 2 u 

arcsen u 

2 u 1 

u'

arccos u  2 u 1 

u'

− −

arctg u 

2 u 1 

u'

+

13 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

senh u  u’.cosh u 

cosh u  u’.senh u 

tgh u 

u 2 cosh 

u' 

cotgh u 

u 2 senh 

u' −

arcsenh u  2 u 1 

u'

+

arccosh u 

1 2 u 

u'

arctgh u  2 u 1 

u'

− , |u| < 1 

arccotg h u 

1 2 u 

u'

− − , |u| > 1 

f(u).g(u).h(u)  f’(u)g(u)h(u)+f(u)g’(u)h(u)+f(u)g(u)h’(u) 

y=f[g(x)]=f(u)  f’[g(x)].g’(x) = 

dx 

du  . 

du 

dy  (Deriv. função composta) 

u+v  u’ + v’ 

u­v  u’ ­ v’ 

u.v  u’v + uv’ 

u / v  2 v 

uv' v u' −

uv   

  

+ v'.lnu  u 

v u'  . v u

14 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

AULA  03  •  DERIVADA  DAS  FUNÇÕES  LOGARÍTMICA  E  EXPONENCIAL 

** Exemplo: y = e5x → y’ = e5x . (5x)’  = y’ = e5x . 5 ⇔ y’ = 5.e 5x 

Derivadas Sucessivas 

Exemplo: 

• f(x) = ­8x4 → f’(x) = ­32x 3 → f’’(x) = ­96x2 → f’’’(x) = ­192x → f iv (x) = ­192 → f v (x) = 0. 

• y =  x  e a log 

x.lna  1 

dx  dy 

x a log = = → . 

• y =  x  1 

dx  dy 

lnx = → . 

• y =  x e  dx  dy x e = → . 

• y =  .u' e y' e  u u = → . ** 

• y =  .lna x a  dx  dy x a = → . 

Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida a partir da 

derivação de y =  f(x);  se derivarmos y’ =  f’(x) obteremos y’’ =  f’’(x) ou Segunda 

Derivada, e assim por diante, até y n = f n (x) possível.

15 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Função Inversa (f ­1 ) 

Convém salientar que f ­1 ≠ f  1  ,ou seja, não use propriedade de potenciação. 

Em linhas gerais, a função inversa f ­­1 desfaz o que a função f fez 

Exemplo: 

a) 

b) 

Definição de Função Inversa 

Seja f uma função Bijetora, ou seja, para cada y ∈ Imf existe um único x ∈ Df  tal que y = 

f(x), chamamos de Função Inversa de f e denotamos f ­1 aquela que leva y no único x de f tal que 

y = f(x), ou seja, f ­1 (y) = x. (Veja os diagramas abaixo) 

f(x) = x 2  ­1 

f ­1 (x) =  1 2 x +

, com x e f(x) ≥ ­1.

16 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Gráficos de algumas funções e suas inversas 

a) 

b) 

Como derivar a função inversa 

No nosso estudo, não nos interessa acharmos a função inversa propriamente dita, mas sim 

a sua derivada. 

Sabemos que f ­1 (x) o f(x) = x (função composta) ⇔ f ­1 (f(x)) = x ⇔ [f ­1 (f(x)) ]’ =  x’ ⇔

⇔ [f ­1 (f(x)) ]’ = 1 ⇔ [ f ­1 (f(x)) ]’. f’(x) = 1(regra da cadeia) ⇔ [f ­1 (f(x))]’ =  (x) ' f 

como y = f(x), também podemos denotar [ f­1 ]’(y) =  (x) f  1  '  .

17 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Exemplos: 

a) Sendo f(x) = x 5  ­ 2x 3 + 2x 2 + 3, calcule (f ­1 )’ (y)  . 

Resolução: 

[ f ­1  ]’(y) =  4x 2 6x 4 5x 

(x) ' f 

1

+ − =

b) Idem para f(x) = x5 + 2x3 + x, com y0 = 4. 

Resolução: 

Temos f(x) = y = 4 ⇔ x5 + 2x3 + x = 4 ∴ x = 1 

[ f ­1  ]’(y) =  1 2 6x 4 5x 

(x) ' f 

1

+ + = , logo, substituindo  x = 1 em [ f­1 ]’(y), temos: 

(f ­1 )’ (4) = ⇔ + +

= + + 1 6 5 

1 2 6.(1) 4 5.(1) 

1  (f ­1 )’ (4)  = 

12  1 

Em resumo: A derivada da função inversa é o inverso da derivada da função. 

f(x)

18 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 

Funções implícitas e explícitas 

Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma 

explícita: y = f(x),  isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta (explícita) em termos da 

outra. 

Por Exemplo: 

Nelas dizemos que  y,  s,  e  u  são  funções de  x,  t  e w,  explicitamente. Muitas  funções, 

porém, apresentam­se na forma implícita, veja o exemplo abaixo: 

• Ache a derivada  dx  dy  da função xy = 1 

Resolução:  Nessa  equação,  y  está  definida  implicitamente  como  uma  função  de  x. 

Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferenciá­la. 

• xy = 2 (Forma implícita) 

• y =  x  2  (Escrever a relação y em função de x) 

• y = 2x –1  (Escrever sob nova forma) 

•  dx  dy  = ­2x – 2  (Derivar em relação a x) 

•  dx  dy  = ­  2 x 

2  (Simplificar) 

y = 5x ­ 9 

s = ­25t 3  ­ 3t 2 

u = ­4w 4 + 35w² 

dx  dy 

Derivada de y em  relação à x.

19 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

Esse processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que 

não ocorre, por exemplo, com y 5 + 3x 2 y + 5lny 3 = 0. 

Para tanto, podemos utilizar um método chamado Derivação implícita 

(ou diferenciação  implícita),  que nos permite  derivar  uma  função  sem a  necessidade  de 

explicitá­la. 

Derivação implícita 

Essa  derivação  é  feita  em  relação  a  x.  Resolvendo  normalmente  as  derivadas  que 

envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia, 

uma vez que y é uma função de x. 

Exemplos: 

a) 3x + y 4 

Resolução: 

Sendo y uma função de x, devemos aplicar a regra da cadeia para diferenciar em relação 

a x, daí : 

dx  dy 3 4y 3 ) 4 (y 

dx  d 

(3x)  dx  d 

) 4 y (3x  dx  d

+ = + = +

b) 2x ­ 3y 

Resolução: 

dx  dy  3 2 (3y) 

dx  d 

(2x)  dx  d 

3y) ­ (2x  dx  d

− = − =

c) 3xy² 

Resolução: 

dx  dy 

6xy 2 3y  dx  dy 

3x.2y 2 3y ) 2 (y  dx  d 

3x. 2 3.y ) 2 (3xy  dx  d

+ = + = + =

Regra da cadeia

20 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

d) 8x 3  ­ 12y² = 25 

Resolução: 

2 x  dx  dy 

24y 

2 24x  dx  dy 2 24x 

dx  dy 

24y 0 ) 2 (12y  dx  d 2 24x 25) 12y² ­ 3 (8x 

dx  d

= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ =

e) x 4  ­ y 4 + x² ­ y² + x ­ y = 2 

Resolução: 

1 y 3 4y 

1 2x 3 4x  dx  dy 

1 y 3 4y 

1 2x 3 4x  dx  dy 

1 2x 3 4x 1) y 3 4y (  dx  dy 

1 2x 3 4x  dx  dy 

dx  dy  y 

dx  dy 3 4y 

0  dx  dy 

1  dx  dy  y 2x 

dx  dy 3 4y 3 4x 2) y x 2 y 2 x 4 y 4 (x 

dx  d

+ +

+ + = ⇒

− − −

− − − = ⇒

⇒ − − − = − − − ⇒ − − − = − − − ⇒

⇒ = − + − + − ⇒ = − + − + −

f)  x 3 y 5 = y + 2 

Resolução: 

1 4 5y 3 x 

5 y 2 3x  dx  dy 5 y 2 3x 1) 4 5y 3 (x 

dx  dy 

5 y 2 3x  dx  dy 

dx  dy 4 5y 3 x 0 

dx  dy 

dx  dy 4 5y 3 x 5 y 2 3x 2) y 5 y 3 (x 

dx  d

− = ⇒ − = − ⇒

⇒ − = − ⇒ + = + ⇒ + =

g) tgy = xy 

Resolução: 

y 2 x.cos 1 

y 2 y.cos  dx  dy 

y 2 x.cos 1 

y 2 cos  y. 

dx  dy 

y 2 cos 

y 2 x.cos 1 

y  dx  dy 

x  y 2 cos 

1  y 

dx  dy 

x y 2 sec 

y  dx  dy 

y x) y 2 (sec  dx  dy 

y  dx  dy  x 

dx  dy  y 2 sec 

dx  dy  x y 

dx  dy  y 2 sec xy) (tgy 

dx  d

− = ⇒

⇒ −

= ⇒ −

= ⇒ −

= ⇒ −

= ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = ⇒ =

21 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

h) x 3 + 5y² = ­8 

Resolução: 

10y  3x 

dx  dy 3x 

dx  dy 10y 0 

dx  dy 10y 3x 8) ­ 5y² (x 

dx  d  2 2 2 3 − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = +

i) sen x + cos y  = 0 

Resolução: 

seny  cosx 

dx  dy 

cosx  dx  dy 

0  dx  dy 

seny cosx y) cos (senx  dx  d

= ⇒ = ⇒ = − ⇒ +

22 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

AULA  05  •  DERIVADA  DE  UMA  FUNÇÃO  NA  FORMA  PARAMÉTRICA 

Função na forma paramétrica 

Sejam (I)  duas funções da mesma variável t, com t ∈ [ a, b ]; a 

cada valor de t, temos x e y definidos. 

Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b, o ponto 

P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro. 

Exemplo: 

Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e podemos 

escrever y = y[t(x)] e y define­se como função de x na Forma paramétrica. 

Eliminamos t de (I) e obtemos y =y(x) na Forma Analítica Usual. 

Exemplos: 

a) 

Aplicando t em y, temos: 

3 2x y + = ⇒ + − = + − = + − =   

   5 2 2x 5 2) 2.(x 5 2) .(x  3  1 

6 y 

x = x(t) 

y = y(t) 

x = 3t + 2 

y = 6t + 5 

t em função de x  2) .(x

3

1

t − =

23 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

b)

Aplicando t em y, temos: 

35 3x y + = ⇒ + + = + + = + + =   

   8 27 3x 8 9) 3.(x 8 9) .(x  5  1 

15 y 

Derivada de uma função na forma paramétrica 

Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas 

Exemplos: 

1. Calcule  dx  dy  da função y(x), definida na forma paramétrica pelas equações: 

a)   

+ =

+ =

5 6t y  2 3t x 

b)   

− =

− =

12t 2 18t y  2 6t x 

Resolução: 

a)  2  3  6 

2)' (3t  5)' (6t 

(t) x'  (t) y' 

dx  dy

= = +

+ = =

x = x(t) 

y = y(t)  ; t ∈ [a; b] temos 

dy  =  y’(t) 

dx      x’(t) 

A fórmula que permite calcular a derivada  sem conhecer explicitamente  y 

como y como função de x.  dy  dx 

x = 5t – 9 

y = 15t + 8  t em função de x 

9) .(x

5

1

t + =

24 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

b)  2 6t  6  12 36t 

2)' (6t  12t)' 2 (18t 

dx  dy

− = −

= −

− = ♣ 

OBS: Note, no item b, que a resposta está em função de t, caso quisermos a derivada  dx  dy 

em função de x, devemos determinar t = t(x) e substituir em ♣, daí, temos: 

x  =  6t  –  2 ⇔ x  +  2  =  6t ⇔ t  =  6  2) (x + ;  substituindo  t  em  ♣  ,  obtemos  a  seguinte 

expressão: 

6.  6  2) (x + ­ 2 = (x + 2) – 2 = x + 2 – 2 , portanto 

dx  dy  = x. 

2. Idem para   

− = =

t 3 5sen y  t 3 5cos x  ; 

2  π 

t 0 ≤ ≤

Resolução: 

dx  dy  = = (t) x'  (t) y' 

t)' 3 5cos ( 

t)' 3 (5sen

− = ⇒ =

cost  sent 

t.sent 2 15cos 

t.cost 2 15sen =

dx  dy 

tg(t) 

com

  

  

2  π 

0 t 

OBS.:  Temos  que  ter  muita  atenção  quanto  aos  intervalos  de  validade  das  respostas 

obtidas. Note que x’(t) deve ser diferente de zero, pois está operando como denominador da 

expressão  acima,  portanto,  concluímos  que,  para  fazermos  as  simplificações  indicadas,  temos 

que considerar 

t ≠ 0 e  t ≠ 2  π  pois sen 0 = 0  e cos 

2  π  = 0, note que, apesar de t  pertencer ao intervalo 

2  π 

t 0 ≤ ≤ , efetivamente estão excluídos os valores de t já mencionados.

25 

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 

3. Idem para  

  

= = 3t y 

2t x  ; +∞ < ≤ t 0 

Resolução: 

dx  dy 

= = (t) x'  (t) y'

+∞ < ≤ = ⇒ = t 0 com ;  2t 

2 3t 

)' 2 (t 

)' 3 (t  2  3t 

dx  dy 

4. Idem para   

= − =

t 3 4cos y  t 3 2sen x  ;  

    − ∈ 0 ; 2  π 

Resolução: 

t  sent  2cost 

t.cost 2 6sen 

t 2 12sent.cos 

t.cost 2 6sen 

sent) t.( 2 12cos 

t)' 3 2sen ( 

t)' 3 (4cos  (t) x'  (t) y' 

dx  dy 

g 2cot

dx

dy = ⇒ =

− =

− =

− = =

com

  

  

− ≠ ⇒ ≠

≠ ⇒ ≠

2  π 

t 0 cost 

0 t 0 sent

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 87 páginas
Baixar o documento