Calculo IV -Variáveis Complexas -Metodos II  , Manual de Cálculo Avançado. Universidade Federal do Paraná (UFPR)
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mariana-garcia31 de março de 2017

Calculo IV -Variáveis Complexas -Metodos II , Manual de Cálculo Avançado. Universidade Federal do Paraná (UFPR)

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Teoria Resumida e Exercıcios, Autor:Professor Jose Renato Ramos Barbosa
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CM044_CM068_CM105.dvi

1

Universidade Federal do Paraná

Departamento de Matemática

Manual Técnico-Didático

Cálculo IV - CM044

Variáveis Complexas - CM068

Métodos II - CM105

Teoria Resumida e Exerćıcios

Autor: Professor José Renato Ramos Barbosa

Chefe do Departamento: Professor Manuel Jesus Cruz Barreda

2013

www.ufpr.br/∼jrrb

2

Conteúdo

1 Introdução 5

2 Parte I - Variáveis Complexas 7 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Funções Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 O Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Funções Não-Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Integração Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Cálculo de Integrais Reais via Teorema dos Reśıduos . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1 Integrais do Tipo I = ∫2π 0 F(cos θ, sen θ)dθ onde F(cos θ, sen θ) é uma

Função Real, Racional em cos θ e sen θ, e Finita em [0, 2π] . . . . . . . . 32 2.5.2 Integrais Reais Impróprias de Funções Racionais f(x) . . . . . . . . . . . 34

2.6 Exerćıcios com Algumas Resoluções/Sugestões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6.1 Operações Elementares dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.3 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.4 Séries de Laurent e Reśıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Parte II - Séries e Transformadas 47 3.1 Série(s) de Fourier (SF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Transformada de Laplace (TL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Função Delta de Dirac (δ(t)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Transformada de Fourier (TF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3

4 CONTEÚDO

Caṕıtulo 1

Introdução

O material que segue, na forma de notas de aulas, já teve várias versões nos últimos dez anos, tendo sido apresentado a algumas turmas na Universidade Federal do Paraná (UFPR), com relativo sucesso, neste peŕıodo. A primeira parte dessas notas cobre o programa da disciplina CM068 (Variáveis Complexas) para a Matemática e a Matemática Industrial, bem como aproximadamente metade do pro- grama da disciplina CM044 (Cálculo IV) para a F́ısica e as Engenharias Mecânica e Ambiental, sendo tais cursos ministrados na UFPR. A outra metade da CM044, bem como a totalidade do programa da CM105 (Métodos Matemáticos), é contemplada na segunda parte dessas notas de aulas. Para o curso de Matemática, é recomendável uma complementação nas demonstrações dos re- sultados em livros de Análise Complexa e Séries e Transformada de Fourier. A matéria aqui é dada de forma bastante resumida e é dever do leitor buscar outras fontes. Por Exemplo:

1. MATEMÁTICA SUPERIOR PARA ENGENHARIA, Erwin Kryeszig, LTC, 2009, ISBN 978-85-216-1643-6, Nona Edição;

2. INICIAÇÃO À FÍSICA MATEMÁTICA, Juan López Gondar e Rolci Cipolatti, IMPA, 2009, ISBN 978-85-244-0287-6, Primeira Edição;

3. FÍSICA MATEMÁTICA, George B. Arfken e Hans J. Weber, Elsevier, 2007, ISBN 978- 85-352-2050-6, Primeira Edição;

4. CURSO INTRODUTÓRIO À ANÁLISE COMPLEXA COM APLICAÇÕES, Dennis G. Zill e Patrick D. Shanahan, LTC, 2011, ISBN 978-85-216-1809-6, Segunda Edição.

Como iniciamos nosso estudo por funções holomorfas, em tal bibliografia podem ser encontradas as propriedades operatórias dos números complexos, bem como a interpretação vetorial da adição e da multiplicação destes números, e o estudo da continuidade das funções complexas. Para revisar curvas planas, conjuntos abertos, derivadas parciais, etc, confira meu material de

5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Cálculo II (CM042) no endereço eletrônico que se encontra na capa destas notas. Agradeço imensamente ao colega Professor Raul Prado Raya. Ele gentilmente cedeu o que já havia preparado de exerćıcios para as turmas dele (a partir do excelente livro de Análise Complexa do Steven Krantz). Apreciaria sugestões que melhorem a escrita ou que corrijam eventuais descuidos (erros de mérito ou de português).

Caṕıtulo 2

Parte I - Variáveis Complexas

2.1 Preliminares

• Define-se o conjunto C dos números complexos por:

– z ∈ C ⇔ z = x+ iy com x, y ∈ R e i2 = −1; – z = w com z = x+ iy e w = u+ iv ⇔ x = u e y = v.

• Sendo i0 = 0, considera-se R ⊂ C.

• Define-se a parte real e a parte imaginária de z = x+ iy por Re(z) = x e Im(z) = y, respectivamente.

• Sendo z = x+ iy e w = u+ iv, define-se a adição e a multiplicação em C por:

– z+w = (x+ u) + i(y+ v);

– zw = (xu− yv) + i(xv+ yu).

• Tais operações são comutativas e associativas; 0 é o elemento neutro aditivo e 1 é o multiplicativo; A adição é distributiva em relação a multiplicação; −z = −x − iy é o inverso aditivo de z e z−1 = x−iy

x2+y2 é o inverso multiplicativo de z 6= 0.1

• Para a potenciação e a radiciação em C, bem como para interpretar geometricamente a adição e a multiplicação complexas, veja a bibliografia sugerida.

• Uma função complexa f : D→ C é uma função cujo domı́nio D e cuja imagem f(D) são subconjuntos de C. Por exemplo:

– Se f(z) = z0 constante para cada z ∈ C, então D = C e f(D) = {z0}; – Se f(z) = z para cada z ∈ C, então D = f(D) = C; – Se f(z) = z para cada z ∈ C, então D = f(D) = C; – Se f(z) = z−1 para cada z ∈ C com z 6= 0, então D = f(D) = C− {0}; – Se f(z) = |z| para cada z ∈ C, então D = C e f(D) = R+.

1z = x− iy e |z| = √

x2 + y2 ⇒ z−1 = z |z|2

.

7

8 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

2.2 Funções Holomorfas

Dentre as funções que a Análise Complexa estuda, destacam-se as holomorfas ou diferenciáveis, isto é, aquelas definidas em conjuntos abertos2 de C e diferenciáveis como funções complexas. Diferenciabilidade complexa tem implicações mais fortes que diferenciabilidade real. Por exem- plo, toda função holomorfa pode ser representada como uma série de potências em todo disco aberto do seu domı́nio, e dáı é anaĺıtica. Em particular, funções holomorfas são infinitamente diferenciáveis, o que não ocorre com funções diferenciáveis reais.3 A maioria das funções ele- mentares (tais como, as polinomiais, as trigonométricas, as exponencias e as logaŕıtmicas) são holomorfas. Em tudo que se segue D é aberto em C, z0 = x0+ iy0 ∈ D e f é uma função complexa definida por

f(z) = P(x, y) + iQ(x, y) para cada z = x+ iy ∈ D, sendo P e Q funções reais nas variáveis reais x e y.

Ex: Seja f(z) = z2 para cada z ∈ C. Dáı f(z) = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2xyi. Assim

P(x, y) = x2 − y2 e Q(x, y) = 2xy.

Observação 1 Em existindo o limite

lim z→z0

f(z) − f(z0)

z− z0 ,

o mesmo é dito a derivada de f(z) em z0, denotado por f ′(z0), f é dita holomorfa em z0 e

as Condições de Cauchy-Riemann (C-R)

∂P

∂x (x0, y0) =

∂Q

∂y (x0, y0),

∂P

∂y (x0, y0) = −

∂Q

∂x (x0, y0)

em z0 são obtidas derivando-se ao longo da reta y = y0, via

f ′(z0) = Px(x0, y0) + iQx(x0, y0),

e derivando-se ao longo da reta x = x0, via

f ′(z0) = Qy(x0, y0) − iPy(x0, y0).

f holomorfa (em D) se é holomorfa em cada z ∈ D. Note que f ′(z0) pode ser calculada via qualquer uma das duas últimas expressões desde que f seja holomorfa em z0.

Ex: Seja f(z) = z2 como no exemplo anterior. f é holomorfa em C pois existe

f ′(z0) = lim z→z0

z2 − z20 z− z0

= lim z→z0

(z+ z0)(z− z0)

z− z0 = 2z0

2Cada elemento z de um conjunto aberto A é caracterizado pela seguinte propriedade: z+ h ∈ A para todo h cujo módulo seja suficientemente pequeno.

3Por exemplo, seja

f(t) =

{ t2/2 se t ≥ 0;

−t2/2 se t < 0.

Dáı f ′(t) = |t| para todo t ∈ R. Contudo f ′ não é diferenciável em t = 0.

2.2. FUNÇÕES HOLOMORFAS 9

para cada z0 ∈ C. Por outro lado, Px = 2x = Qy, Py = −2y = −Qx e

f ′(z) = Px + iQx = 2x+ 2yi = 2z.

A rećıproca da observação anterior é dada por:

Observação 2 Se Px, Py, Qx e Qy existem em cada ponto suficientemente próximo de z0, são cont́ınuas em z0 e satisfazem (C-R) em z0, então f é holomorfa em z0.

Ex: A função exponencial f(z) = ez = ex(cosy + i seny) é holomorfa (em C). De fato, P(x, y) = ex cosy e Q(x, y) = ex seny acarretam

Px = e x cosy = Qy, Py = −e

x seny = −Qx,

que são cont́ınuas. Note ainda que

f ′(z) = Px + iQx = e x(cosy+ i seny) = ez.

Comentário sobre exponenciais

ez1ez2 = ez1+z2 sendo z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 em C. 4

Ex: Demonstra-se que somas, diferenças, produtos, quocientes (cujos denominadores não se anulem em z0) e composições de funções holomorfas em z0 também são holomorfas em z0. Dáı as seguintes funções, definidas para cada z ∈ C, são holomorfas (em C):

• p(z) = z0 + z1z+ z2z2 + · · ·+ znzn com zi’s constantes em C;

• sen z = eiz−e−iz 2i

e cos z = e iz+e−iz

2 .5

2.2.1 O Logaritmo

No caso real, a função logaritmo natural é a inversa da função exponencial:

y ∈ R é o logaritmo natural de x > 0, isto é, y = ln x⇔ x = ey.

No caso complexo, a exponencial complexa é periódica de peŕıodo 2πi pois

ez+2πij = ex(cos(y+ 2πj) + i sen(y+ 2πj)) = ex(cosy+ i seny) = ez, j ∈ Z.

Assim não é posśıvel obter uma única função f(z) tal que ef(z) = z. De fato, dada uma tal f(z) e sendo g(z) = f(z) + 2πij, j ∈ Z, temos

eg(z) = ef(z)e2πij = ef(z), j ∈ Z. 4Verifique! 5Note que d

dz (sen z) = cos z e d

dz (cos z) = −sen z.

10 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

Mesmo assim, para z ∈ C, z 6= 0, vamos definir o logaritmo de z = ew por w = log z para domı́nios D ⊂ C adequados. Sejam z = reiθ, −π < θ ≤ π, e w = u+ i v. Dáı, como reiθ = eu+i v = eueiv, temos

r = eu, isto é, u = ln r, e eiθ = eiv, isto é, v = θ+ 2πj, j ∈ Z. Então, w = ln r+ i(θ+ 2πj) acarreta

log z = ln |z|+ i arg z, arg z ∈ {θ+ 2πj | j ∈ Z} . Para log z ser univocamente determinado, temos que nos restringir a domı́nios D ⊂ C nos quais arg z seja univocamente determinado. Considere dáı a semi-reta fechada a partir da origem

Lφ = {(t cosφ, t senφ) | t ≤ 0} , sendo 0 ≤ φ < 2π, e seja Dφ = C− Lφ. Dáı, para cada z ∈ Dφ, existe um único valor de arg z, denotado por argφ z, tal que φ < argφ z < φ+ 2π. Definimos:

Observação 3 f : Dφ → C

z 7→ f(z) = log z = ln |z|+ i argφ z é dita um ramo do logaritmo.

Por exemplo, f(z) = log z é holomorfa em D0 = C− L0, L0 = {(t, 0) | t ≤ 0}. De fato, para cada z0 ∈ D0, temos

f ′(z0) = lim z→z0

f(z) − f(z0)

z− z0 = lim

z→z0

log z− log z0 z− z0

= lim w→w0

w−w0

ew − ew0 = lim

w→w0

1 ew−ew0

w−w0

= 1

ew0 = 1

z0 .

2.2.2 Funções Não-Holomorfas

Ex: Demonstra-se que funções holomorfas em z0 são cont́ınuas em z0. Obteremos uma função que não é cont́ınua, dáı não é holomorfa, num dado z0. Seja z 6= 0. Dáı

z = r(cos θ+ i sen θ) = r(cos(θ+ 2πj) + i sen(θ+ 2πj)), j ∈ Z, onde (r, θ) são as coordenadas polares de (x, y). (Veja Figura seguinte.)

x ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

r y

tx+ iy

θ

Existe um único argumento θ de z tal que −π < θ ≤ π. Este valor particular de θ é dito valor principal do argumento (ou simplesmente o argumento) de z e é denotado por Arg z. Arg z não é cont́ınua em L0. De fato, seja z0 = x0 ∈ L0. Como a Figura 2.1 ilustra, a medida que algum z pertencente ao terceiro quadrante do plano aproxima-se de x0, temos que Arg z→ −π. Mas Arg x0 = π. (De modo análogo, demonstra-se que Arg z não é cont́ınua em z0 = 0.)

Ex: f(z) = z não é holomorfa (em z, ∀z ∈ C). De fato, seja z 6= z0. Dáı:

2.2. FUNÇÕES HOLOMORFAS 11

z

x0

Arg z

Figura 2.1: Arg z não é cont́ınua em z0 ∈ L0.

• y = y0, isto é, z = x+ iy0 ⇒ f(z)−f(z0)z−z0 = x−x0 x−x0

= 1;

• x = x0, isto é, z = x0 + iy ⇒ f(z)−f(z0)z−z0 = −iy+iy0 iy−iy0

= −1.

Dáı f(z)−f(z0) z−z0

aproxima-se de, no mı́nimo, dois valores distintos (±1) quando z→ z0.

12 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

2.3 Integração Complexa

Observação 4 - Circunferências Orientadas Positivamente Um disco aberto de centro z0 e raio r > 0, denotado por D(z0, r), é um ćırculo com tais centro e raio, menos a sua circunferência, isto é,

D(z0, r) = {z ∈ C : |z− z0| < r} .

Se nada for dito em contrário, a circunferência retirada, denotada por

∂D(z0, r) = {z ∈ C : |z− z0| = r} ,

é percorrida no sentido anti-horário.

Ex: z(t) = z0 + re it, t ∈ [0, 2π], é uma parametrização de ∂D(z0, r).6 Por exemplo, se z0 = 0

e r = 1, então z(t) = eit = cos t+ i sen t, t ∈ [0, 2π], é uma parametrização de ∂D(0, 1). (Veja Figura 2.2.)

��

��

��

z(t)

1 = z(0) = z(2π)

−i

0 −1

i

t

Figura 2.2: Circunferência de centro z0 = 0 e raio r = 1, percorrida no sentido anti-horário.

Observação 5 - Integração de curvas planas Seja z(t) = x(t) + iy(t) tal que x(t), y(t) ∈ R ∀t ∈ [a, b]. Sendo x e y integráveis, tem-se

∫b

a

z(t)dt =

∫b

a

x(t)dt+ i

∫b

a

y(t)dt.

Ex: Via a observação anterior, verifique que:

• ∫1 0 (t− i)3 dt = − 5

4 ;

• ∫π/2 0 e(1+i)t dt =

∫π/2 0 et(cos t+ i sen t)dt = 1

2 (eπ/2 − 1) + i

2 (eπ/2 + 1),

usando integração por partes em cada parcela da soma na segunda igualdade.

Observação 6 Pode ser demonstrado que integrais complexas têm propriedades análogas aque- las das integrais reais. Por exemplo:

1. ∫b a (z1(t) + z2(t))dt =

∫b a z1(t)dt+

∫b a z2(t)dt;

6z(t) = z0 + re 2πti, t ∈ [0, 1], é uma outra parametrização de ∂D(z0, r).

2.3. INTEGRAÇÃO COMPLEXA 13

2. c ∈ [a, b] ⇒ ∫b a z(t)dt =

∫c a z(t)dt+

∫b c z(t)dt;

3. ∫b a (α+ iβ)z(t)dt = (α+ iβ)

∫b a z(t)dt;

4. ∫b a z(t)dt = −

∫a b z(t)dt;

5. Se Z(t) = X(t) + i Y(t) tem derivada cont́ınua tal que X ′(t) = x(t) e Y ′(t) = y(t), isto é, Z ′(t) = z(t), ∀t ∈ (a, b), então

∫b

a

z(t)dt = Z(t) ∣

t=b

t=a = X(t)

t=b

t=a + i Y(t)

t=b

t=a = Z(b) − Z(a).

Ex: ∫π 0 eit dt = 2i.

De fato, para qual Z(t) temos Z ′(t) = eit?

Se Z(t) = e it

i , então

∫π

0

eit dt = eit

i

t=π

t=0

= 1

i (eiπ − ei0) = −

2

i .

Ex: Vimos a pouco que, via integração por partes, temos

∫π/2

0

e(1+i)t dt = 1

2 (eπ/2 − 1) +

i

2 (eπ/2 + 1).

De fato, para qual Z(t) temos Z ′(t) = e(1+i)t?

Se Z(t) = e (1+i)t

1+i , então

∫π/2

0

e(1+i)t dt = e(1+i)t

1+ i

t=π/2

t=0

= 1

1+ i (e(1+i)π/2 − e(1+i)0) =

1

2 (1− i)(−1+ ieπ/2).

Tal exemplo mostra que podemos calcular algumas integrais reais via integração complexa, não sendo necessário proceder uma longa integração por partes. De fato, por um lado, temos

∫π/2

0

e(1+i)t dt = 1

2 (eπ/2 − 1) +

i

2 (eπ/2 + 1).

Por outro lado, temos

∫π/2

0

et+i t dt =

∫π/2

0

eteit dt =

∫π/2

0

et cos t dt+ i

∫π/2

0

et sen t dt.

Dáı, comparando-se as partes reais e imaginárias destas equações, temos

∫π/2

0

et cos t dt = 1

2 (eπ/2 − 1) e

∫π/2

0

et sen t dt = 1

2 (eπ/2 + 1).

Observação 7 - Integração ao longo de curvas planas Se z : [a, b] → C tem derivada cont́ınua e f = P + iQ é cont́ınua sobre γ = {z(t) | t ∈ [a, b]}, então

γ

f(z)dz =

∫b

a

f(z(t)) z ′(t)dt.

Tal integral não depende da parametrização z(t) de γ.

14 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

2 31

i

Figura 2.3: Semi-circunferência superior de centro z0 = 2 e raio r = 1.

Ex: Seja γ a semi-circunferência superior de centro z0 = 2 e raio r = 1 (veja Figura 2.3). Via parametrizações distintas de γ, temos

∫ γ

1 z−2 dz = iπ. Por exemplo, z(t) = 2 + eit, t ∈ [0, π],

acarreta ∫

γ

1

z− 2 dz =

∫π

0

1

2+ eit − 2 i eit dt = it

t=π

t=0 ,

enquanto que z(t) = 2+ eiπt, t ∈ [0, 1], acarreta ∫

γ

1

z− 2 dz =

∫ 1

0

1

2+ eiπt − 2 iπ eiπt dt = iπt

t=1

t=0 .

Observação 8 No que se segue, assumimos as mesmas hipóteses da observação anterior para as funções envolvidas.

Observação 9 Sejam: D aberto em C; f = P + iQ holomorfa em D; Px, Py, Qx e Qy cont́ınuas em D. Então

γ

f ′(z)dz =

∫b

a

f ′(z(t)) z ′(t)dt = f(z(b)) − f(z(a)).

Ex: Sejam: f(z) = log z, z ∈ D0, o ramo do logaritmo como definido anteriormente; z(t) = eit, t ∈ [0, 2π], uma parametrização de ∂D(0, 1) como dada anteriormente. Dáı, por um lado, como f ′(z) = 1

z , z ∈ D0, temos

∂D(0,1)

f ′(z)dz =

∫ 2π

0

1

eit i eit dt = i

∫ 2π

0

dt = 2πi.

Por outro lado, f(z(2π)) − f(z(0)) = log ei·2π − log ei·0 = 2πi.

Observação 10 ∫ γ (f+ g) =

∫ γ f+

∫ γ g.

Ex: ∫ γ (z+ z)dz =

∫ γ z dz+

∫ γ z dz. De fato, por um lado temos

γ

(z+ z̄)dz =

∫b

a

[2 x(t) (x ′(t) + iy ′(t))]dt.

Por outro temos que ∫

γ

z dz+

γ

z dz =

∫b

a

z(t) z ′(t)dt+

∫b

a

z(t) z ′(t)dt

2.3. INTEGRAÇÃO COMPLEXA 15

iguala ∫b

a

[x(t) x ′(t) − y(t)y ′(t)]dt+ i

∫b

a

[x(t)y ′(t) + x ′(t)y(t)]dt

mais ∫b

a

[x(t) x ′(t) + y(t)y ′(t)]dt+ i

∫b

a

[x(t)y ′(t) − x ′(t)y(t)]dt.

Observação 11 Se o ponto final de γ1 coincide com o ponto inicial de γ2, então

γ1∪γ2 f =

γ1

f+

γ2

f.

Ex: Sejam f(z) = z, γ1 = { z1(t) = e

i π 2 t | t ∈ [0, 1]

} e γ2 = {z2(t) = i+ t(−1− i) | t ∈ [0, 1]}

(veja Figura 2.4). No lugar de obtermos uma parametrização z(t) para γ1 ∪ γ2, calculamos

−1 1

i

γ2 γ1

Figura 2.4: γ2 é o segmento de reta entre z0 = i e z1 = −1, isto é, z2(t) = z0 + t(z1 − z0), 0 ≤ t ≤ 1; γ1 representa a parte da circunferência de centro 0 e raio 1 no primeiro quadrante.

diretamente: ∫

γ1∪γ2 z dz =

γ1

z dz+

γ2

z dz.

Observação 12 Se |f(z)| ≤M para todo z ∈ γ e L é o comprimento de γ, então

γ

f(z)dz

≤ML.

Ex: Sendo γ o segmento de reta entre z0 = 2 e z1 = 2+ i, temos ∣

∫ γ

1 z2+1

dz ∣

∣ ≤ 1

2 √ 5 .

De fato, pela geometria da Figura 2.5, L = 1 e, como |z+ i| ≥ √ 5 e |z− i| ≥ 2, temos

−i

i 2 + i

z

√ 5

2

|z − i|

|z + i|

Figura 2.5: z varia em γ.

16 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

|f(z)| =

1

z2 + 1

= 1

|z+ i| · 1 |z− i|

≤ 1√ 5 · 1 2 =M,

para todo z ∈ γ. (Em sendo posśıvel, calcule o valor exato da integral e compare com a estimativa obtida.)

Observação 13 - Curvas de Jordan No que se segue, se nada for dito em contrário, toda curva γ é de Jordan - isto é , é fechada (z(a) = z(b)) e não tem auto-interseção (z é injetiva em [a, b)) - e, em relação ao interior R da região de C limitada por γ, tal curva é orientada positivamente - isto é, tem “sentido anti-horário”. (Veja Figura 2.6.) Neste caso, denotaremos

∫ γ por

∮ γ .

γ

z0 R

Figura 2.6: Região limitada por uma curva de Jordan; z0 ∈ R.

Observação 14 - Teorema de Cauchy-Goursat (TCG) Seja f holomorfa em γ ∪ R. Então

γ

f(z)dz = 0.

Ex: ez e zn, n = 0, 1, 2, . . ., são holomorfas em C. Dáı ∮ γ ez dz = 0 e

∮ γ zn dz = 0.

Observação 15 Se γ1 ⊂ R2 (veja Figura 2.7) e f é holomorfa em γ2 ∪ (R2 − R1), então

γ1

f(z)dz =

γ2

f(z)dz.

γ1

γ2

R2 R1

Figura 2.7: R2 − (R1 ∪ γ1) é o interior da região entre as curvas γ2 e γ1.

Observação 16 - Corolário da observação anterior Sejam γ2 = γ, z0 ∈ R2 e γ1 = ∂D(z0, r) para r suficientemente pequeno. (Veja Figura 2.8.) Dáı:

2.3. INTEGRAÇÃO COMPLEXA 17

z0

γ2 = γ

γ1 = ∂D(z0, r)

z(t) = z0 + re itr

R2 R1

Figura 2.8: R2 − (R1 ∪ γ1) é o interior da região entre as curvas γ2 = γ e γ1 = ∂D(z0, r).

1. ∮ γ

1 z−z0

dz = 2πi;

2. ∮ γ

1 (z−z0)n

dz = 0 ∀n ∈ Z− {1}.

De fato, seja z(t) = z0 + re it, t ∈ [0, 2π], uma parametrização de γ1. Dáı

γ

1

z− z0 dz =

∂D(z0,r)

1

z− z0 dz =

∫ 2π

0

1

reit ireit dt = it

t=2π

t=0 = 2πi.

A segunda fórmula é demonstrada de modo análogo.

Ex: Via a observação anterior e o TCG, temos que:

1. ∮ γ

2z z2+2

dz = 4πi para γ = ∂D(0, 2);

2. ∮ γ

2z z2+2

dz = 2πi para γ = ∂D(i, 1).

De fato, via o método das frações parciais, primeiramente note que

2z

z2 + 2 =

2z

(z+ i √ 2)(z− i

√ 2)

= 1

z+ i √ 2 +

1

z− i √ 2 .

Dáı (veja Figura 2.9):

1. ∮ ∂D(0,2)

2z z2+2

dz = ∮ ∂D(0,2)

1

z+i √ 2 dz+

∮ ∂D(0,2)

1

z−i √ 2 dz = 2πi+ 2πi = 4πi;

2. ∮ ∂D(i,1)

2z z2+2

dz = ∮ ∂D(i,1)

1

z+i √ 2 dz+

∮ ∂D(i,1)

1

z−i √ 2 dz = 0+ 2πi = 2πi.

Observação 17 - Fórmula Integral de Cauchy para Derivadas (FICD) Se f é holomorfa em γ ∪ R e z0 ∈ R, então

γ

f(z)

(z− z0)n+1 dz =

2πi

n! f(n)(z0), n = 0, 1, 2, . . . .

18 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

2−2

−2i

2i

1−1

i i

√ 2i

√ 2i

− √

2i

−i

2i

Figura 2.9: ∂D(0, 2) e ∂D(i, 1).

Se n = 0, dizemos simplesmente Fórmula Integral de Cauchy (FIC) e podemos escrever

γ

f(z)

z− z0 dz = 2πif(z0).

Ex: Queremos calcular ∮ γ ez

z−2 dz. Assim, sendo z0 = 2, vamos analisar dois casos:

• z0 6∈ γ ∪ R e f(z) = e z

z−2

TCG︸ ︷︷ ︸ =⇒

∮ γ ez

z−2 dz =

∮ γ f(z)dz = 0;

• z0 ∈ R e f(z) = ez FIC︸︷︷︸ =⇒

∮ γ ez

z−2 dz = 2πif(2) = 2πie2.

Ex: Se z0 = i

2 ∈ R, então

γ

z3 − 6

2z− i dz =

γ

z3

2 − 3

z− z0 dz = 2πi

(

z30 2 − 3

)

,

utilizando a FIC com f(z) = z 3

2 − 3.

Ex: Se z0 = i ∈ R e f(z) = ez2 , via a FICD para n = 3, temos ∮

γ

ez 2

(z− i)4 dz =

2πi

3! · f(3)(z0) =

2πi

6 (12i+ 8i3)ei

2

= − 4π

3e ,

onde usamos f ′′′(z) = (

12z+ 8z3 )

ez 2

.

Ex: Exerćıcio 19 da lista de exerćıcios. Primeira Solução: Via frações parciais,

1

z(z+ 2) = A

z +

B

z+ 2 =

(A+ B)z+ 2A

z(z+ 2) ⇒ A =

1

2 , B = −

1

2 .

Dáı ∮

γ

1

z2 + 2z dz =

1

2

γ

1

z− 0 dz−

1

2

γ

1

z− (−2) dz =

1

2 · 2πi · 1− 1

2 · 0 = πi,

2.3. INTEGRAÇÃO COMPLEXA 19

onde, na primeira parcela da soma, como z0 = 0 ∈ R, usamos a FIC com f(z) = 1, e, na segunda parcela, como −2 6∈ γ ∪ R, usamos o TCG com f(z) = 1

z+2 .

Segunda Solução:

γ

1

z2 + 2z dz =

γ

1

z(z+ 2) dz =

γ

1 z+2

z dz = 2πi · 1

0+ 2 = πi,

onde, como z0 = 0 ∈ R, usamos a FIC com f(z) = 1z+2 .

Ex: ∮ γ

eiπz

2z2−5z+2 dz = 2π

3 para γ = ∂D(0, 1).

De fato, como

2z2 − 5z+ 2 = 2

(

z2 − 5

2 z+ 1

)

= 2

(

z− 1

2

)

(z− 2),

temos ∮

γ

eiπz

2z2 − 5z+ 2 dz =

1

2

γ

eiπz

z−2

z− 1 2

dz = 1

2 · 2πi · e

iπ· 1 2

1 2 − 2

= πi · i − 3 2

= 2π

3 ,

onde, como z0 = 1 2 ∈ R, usamos a FIC com f(z) = eiπz

z−2 .

Ex: Exerćıcio 18 da lista de exerćıcios.

Sendo γ = ∂D(1, 5), queremos calcular 1 2πi

∮ γ

ζ2+ζ (ζ−2i)(ζ+3)

dζ. (Veja Figura 2.10.) Para isto, como

6−4 1−3

R2i

1 + 5i5i

1 − 5i−5i

Figura 2.10: ∂D(1, 5).

2i,−3 ∈ R pois |2i− 1| = √ 5 < 5 e |− 3− 1| = 4 < 5, primeiramente note que:

• para f(ζ) = ζ2+ζ (ζ−2i)(ζ+3)

, o TCG não pode ser usado em ∮ γ f(ζ)dζ = 0 pois f não é

holomorfa em 2i nem em −3;

• o FIC não pode ser usado em:

– ∮ γ

f(ζ)

ζ+3 dζ = 2πif(−3), se f(ζ) = ζ

2+ζ ζ−2i

, pois f não é holomorfa em 2i;

– ∮ γ

f(ζ)

ζ−2i dζ = 2πif(2i), se f(ζ) = ζ

2+ζ ζ+3

, pois f não é holomorfa em −3.

Assim, usando-se a divisão longa em ζ 2+ζ

(ζ−2i)(ζ+3) , como o dividendo ζ2 + ζ iguala o divisor

ζ2 + (3− 2i)ζ− 6i vezes o quociente 1 mais o resto −2(1− i)ζ+ 6i, temos que

ζ2 + ζ

(ζ− 2i)(ζ+ 3) = 1− 2 · (1− i)ζ− 3i

(ζ− 2i)(ζ+ 3) ,

20 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

e dáı ∮

γ

ζ2 + ζ

(ζ− 2i)(ζ+ 3) dζ =

γ

1 dζ− 2

γ

(1− i)ζ− 3i

(ζ− 2i)(ζ+ 3) dζ = −2

γ

(1− i)ζ− 3i

(ζ− 2i)(ζ+ 3) dζ,

onde usamos o TCG na primeira parcela da diferença das integrais. Agora, para resolver a última integral, usaremos a técnica das frações parciais. De

(1− i)ζ− 3i

(ζ− 2i)(ζ+ 3) =

A

ζ− 2i +

B

ζ+ 3 =

(A+ B)ζ+ 3A− 2iB

(ζ− 2i)(ζ+ 3) ,

temos { A + B = 1− i, 3A − 2iB = −3i.

Multiplicando-se a primeira equação deste sistema por −3 e somando-se a segunda, temos B = 3

3+2i . Substituido-se B na primeira equação acarreta A = 2−i

3+2i . Então

1

2πi

γ

ζ2 + ζ

(ζ− 2i)(ζ+ 3) dζ = −

1

πi

(

2− i

3+ 2i

γ

1

ζ− 2i dζ+

3

3+ 2i

γ

1

ζ+ 3 dζ

)

= −10+ 2i

3+ 2i .

Observação 18 Considere que a FIC tenha sido demonstrada de algum modo. Dáı demonstra- se também, por indução sobre n, a FICD.

De fato, o primeiro passo da indução é a demonstração da FICD para n = 1:

f ′(z0) = lim h→0

f(z0 + h) − f(z0)

h

FIC︸︷︷︸ = lim

h→0

1 2πi

[∮ γ

f(z)

z−z0−h dz−

∮ f(z)

z−z0 dz

]

h

= 1

2πi lim h→0

γ

1

h · hf(z) (z− z0 − h)(z− z0)

dz

= 1!

2πi

γ

f(z)

(z− z0)2 dz.

Agora, considere que a FICD seja verdadeira para o inteiro positivo n. De modo análogo demonstra-se que a mesma é verdadeira para n+ 1.7

7Teste para n = 2, começando com f ′′(z0), e proceda como no primeiro passo da indução!

2.4. SÉRIES 21

2.4 Séries

• Para dar sentido a série S(z) =

n≥0 anz

n,

sendo cada coeficiente an e a variável z elementos de C, introduzimos a variável real r ≥ 0 e consideramos a sua série associada de termos não negativos

n≥0 |an|r

n

(que pode convergir para um valor em [0,+∞]).

• O intervalo I(S(z)) =

{

r ≥ 0 ∣

n≥0 |an|r

n < +∞

}

é não vazio pois 0 ∈ I(S(z)), podendo inclusive ser igual a {0}.8

• O raio de convergência de S(z) é o número não negativo

ρ = sup I(S(z)).9

• O disco aberto D(0, ρ) =

{ z ∈ C

∣ |z| < ρ }

é o disco de convergência de S(z), sendo vazio se ρ = 0.

• Demonstra-se que S(z):

– converge absolutamente, isto é, ∑

n≥0 |an||z| n < +∞, para |z| < ρ;

– diverge para |z| > ρ;

– pode convergir ou divergir para |z| = ρ. (veja Figura 2.11.)

z

0 ρ

D(0, ρ)

r

z

I(S(z))

z

Figura 2.11: S(z) converge para z ∈ D(0, ρ); pode convergir ou divergir para z ∈ ∂D(0, ρ); diverge para z 6∈ D(0, ρ) ∪ ∂D(0, ρ).

8Seja r0 > 0 tal que ∑

n≥0 |an|r n 0 <∞. Via o Teste da Comparação,

∑ n≥0 |an|r

n <∞ para todo r ∈ [0, r0]. 9ρ é o menor elemento de {s ∈ [0,+∞] | s ≥ r, ∀r ∈ I(S(z))}. Dáı ρ = r0 se I(S(z)) = [0, r0).

22 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

Demonstra-se ainda que 1

ρ = lim

n→∞ sup |an|

1/n.

Contudo, na prática, ρ é determinado pelo Teste da Razão (TR) via

L = lim n→∞

an+1z n+1

anzn

= |z| lim n→∞

an+1

an

(se existe tal limite, ainda que seja +∞).10

Ex: ρ é igual a: 0 se S(z) = ∑

n≥0 n!z n; 1 se S(z) for uma das séries:

∑ n≥0 z

n, ∑

n>0 1 n zn,∑

n>0 1 n2 zn.11

Observação 19 Sejam S1(z) = ∑

n≥0 a1,nz n e S2(z) =

∑ n≥0 a2,nz

n duas séries com raios de convergência ≥ ρ. Dáı, para |z| < ρ, podemos somá-las

S1(z) + S2(z) = ∑

n≥0 (a1,n + a2,n) z

n

e multiplicá-las

S1(z) · S2(z) = ∑

n≥0 (a1,0a2,n + a1,1a2,n−1 + · · ·+ a1,n−1a2,1 + a1,na2,0) zn.

Ex: ∑

n>0 n+1 n2 zn =

∑ n>0

1 n zn+

∑ n>0

1 n2 zn e

∑ n≥0(n+1)z

n = ∑

n≥0 z n ·∑n≥0 zn para |z| < 1.

Observação 20 Seja S ′(z) = ∑

n≥0 nanz n−1. As séries S(z) e S ′(z) têm o mesmo raio de

convergência ρ e, se ρ 6= 0, temos

S ′(z) = lim z→z0

S(z) − S(z0)

z− z0 ,

para |z| < ρ.

Tal observação implica que S(z) é holomorfa em D(0, ρ) e, derivando-se repetidas vezes, S(z) é infinitamente diferenciável. Além disso, demonstra-se que

an = S(n)(0)

n! , n = 0, 1, 2 . . . .

Ex: Para ilustrar a observação anterior, basta considerar o polinômio de grau g

S(z) = a0 + a1z+ · · ·+ agzg,

onde an = 0 para cada inteiro n > g.

Observação 21 - Série Geométrica (SG) e Série de Taylor (ST) Seja t ∈ C. Em sendo convergente, S(t) converge para qual número complexo? Seguem exemplos importantes.

10TR: |z| < ρ se L < 1; |z| > ρ se L > 1; |z| = ρ se L = 1. 11Pode ser mostrado que tais séries não se comportam do mesmo modo para |z| = 1.

2.4. SÉRIES 23

SG: |t| < 1⇒ 1 1−t

= 1+ t+ t2 + · · · = ∑∞n=0 tn. Dáı: |t| > 1 ⇒ |1/t| < 1 ⇒

1

1− t = −

1

t

1

1− 1 t

= − 1

t

∞∑

n=0

1

tn = −

∞∑

n=0

t−(n+1) = −

−1∑

k=−∞

tk;

|t| < t0 ⇒ |t/t0| < 1 ⇒

1

t0 − t = 1

t0

1

1− t t0

= 1

t0

∞∑

n=0

tn

tn0 =

∞∑

n=0

t −(n+1) 0 t

n;

|t| > t0 > 0 ⇒ |t0/t| < 1 ⇒

1

t0 − t = −

1

t

1

1− t0 t

= − 1

t

∞∑

n=0

tn0 tn

= −

∞∑

n=0

tn0 t −(n+1) = −

−1∑

k=−∞

t −(k+1) 0 t

k;

|t| < 1 ⇒ |− t| < 1 ⇒

1

1+ t =

1

1− (−t) =

∞∑

n=0

(−t)n =

∞∑

n=0

(−1)ntn;

|t| > 1 ⇒ |1/t| < 1 ⇒

1

1+ t = 1

t

1

1+ 1 t

= 1

t

∞∑

n=0

(−1)n 1

tn =

∞∑

n=0

(−1)nt−(n+1) =

−1∑

k=−∞

(−1)−(k+1)tk.

ST: Sejam f holomorfa em z0 e z1 o ponto mais próximo de z0 onde f não seja holomorfa. (Veja Figura 2.12.) Dáı f anaĺıtica em D(z0, |z1 − z0|), isto é,

z0z1

z

Figura 2.12: D(z0, |z1 − z0|)

f(z) =

∞∑

n=0

f(n)(z0)

n! (z− z0)

n

converge ∀z tal que |z− z0| < |z1 − z0|.

Ex: Para f(z) = ez e z0 = 0, não existe tal z1. Dáı, como f (n)(z0) = 1, n = 0, 1, . . .,

ez =

∞∑

n=0

zn

n!

24 CAPÍTULO 2. PARTE I - VARIÁVEIS COMPLEXAS

converge ∀z ∈ C.

Ex: Para f(z) = cos z (respectivamente, f(z) = sen z) e z0 = 0, não existe tal z1 e

cos z = ∞∑

n=0

(−1)n

(2n)! z2n (respectivamente, sen z =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)! z2n+1)

converge ∀z ∈ C.

Ex: Série Binomial: Para f(z) = (1+ z)m, m ∈ R, m < 0 e z0 = 0, temos que z1 = −1 e

(1+ z)m = 1+ m

1! z+

(m− 1)m

2! z2 + · · ·

converge ∀z tal que |z| < 1.

Comentário sobre Analiticidade e Holomorfismo

As duas observações anteriores implicam numa equivalência entre as funções (complexas) anaĺıticas e as holomorfas.

Observação 22 - Série de Laurent (SL) Sejam: γi = ∂D(z0, ri), i = 1, 2; 0 ≤ r1 < r2 ≤ ∞; f anaĺıtica em R = R2 − (γ1 ∪ R1); γ ⊂ R. (Veja Figura 2.13.) Então

f(z) =

∞∑

n=−∞

an(z− z0) n com an =

1

2πi

γ

f(w)

(w− z0)n+1 dw, n ∈ Z,

para todo z ∈ C tal que r1 < |z− z0| < r2.

(Note que a integral anterior, para n = 0, 1, 2, . . ., segue de an = f(n)(z0)

n! e do FICD.)

Ex: Qual a SL de f(z) = 1 (z−1)z

em torno de z0 = 0 para 0 < |z| < 1? Note que

f(z) = − 1

z +

1

z− 1 = −

1

z −

1

1− z = −z−1 − 1− z− z2 − · · · =

∞∑

n=−1

(−1)zn.

Aqui, r1 = 0, r2 = 1 e, para 0 ∈ R e γ ⊂ D(0, 1),

an = 1

2πi

γ

dw

wn+2(w− 1) =

{ 0, n < −1, −1, n ≥ −1.

De fato:

• Se n = −2, então

1

2πi

γ

dw

wn+2(w− 1) =

1

2πi

γ

dw

w− 1

TCG︸ ︷︷ ︸ = 0;

2.4. SÉRIES 25

γ2

γ

γ1

r2

r1

z

z0

Figura 2.13: R = int(D(z0, r2) −D(z0, r1))

• Se −2 6= n < −1, isto é, 0 6= n+ 2 < 1, isto é, n+ 2 < 0, então

1

2πi

γ

dw

wn+2(w− 1) =

1

2πi

γ

w−(n+2)

w− 1 dw

TCG︸ ︷︷ ︸ = 0;

• Se n ≥ −1, isto é, n+ 2 ≥ 1, então

1

2πi

γ

dw

wn+2(w− 1) =

1

2πi

γ

1 w−1

wn+2 dw.

Para calcular a integral anterior considere g(w) = 1 w−1

. Dáı

g(n+1)(w) = (−1)n+1(n+ 1)!

(w− 1)n+2

e

1

2πi

γ

1 w−1

wn+2 dw

FICD︸ ︷︷ ︸ =

1

(n+ 1)! g(n+1)(0) =

1

(n+ 1)!

(−1)n+1(n+ 1)!

(−1)n+2 = −1.

(Exerćıcio: Qual a SL de f(z) para |z| > 1?)

Ex: Sendo

f(z) = 3

2+ z− z2 =

3

(1+ z)(2− z) =

1

1+ z +

1

2− z ,

usando a SG, podemos analisar três casos:

|z| < 1 < 2⇒ f(z) = ∑

n=0(−1) nzn +

∑ ∞

n=0 2 −(n+1)zn =

∑ ∞

n=−∞ anz n.

Aqui, z0 = 0, r1 = 0, r2 = 1 e an =

{ 0, n ≤ −1,

(−1)n + 2−(n+1), n > −1.

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