calculo vetorial, Notas de estudo de Atualidades
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calculo vetorial, Notas de estudo de Atualidades

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Apresentação, Funções Diferenciáveis

José de Anchieta Delgado

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 1/17

Programa

O curso de Cálculo Diferencial estuda as funções vetoriais, ou seja F : ℜn → ℜm.

O programa esta divido em quaatro unidades:

Unidade I - Continuidade e derivada de funções vetorias e sistemas de coordenadas

Unidade II - Campos vetorias.

Unidade III - Integrais de linhas.

Unidade IV - Integrais de superfícies

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 2/17

Trabalho 1. O projeto do trabalho deve ser entregue em

13/08/2010;

2. O Tema: Um probema da física matemática cuja colução intearge com conteúdo do Cálculo Vetorial;

3. Cada grupo deve ter no máximo cinco membros;

4. Seminário de avaliação: 22/09/2010 a 29/10/2010;

5. Seminário e entrega do trabalho: 17/11/2010 a 24/11/2010;

6. Todas as bibliografias utilizadas proveniente da internet ou adquiridas através de meio digital deve o conteúdo se anexado a um CD e entregue junto com o trabalho. Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 3/17

Temas do trabalho

O tema do trabalho deve está ligado ao conteúdo do Cálculo Vetorial.

Ele deve sercaracterizado historicamente, tando do ponto de vista da história da matemática como da física.

O trabalho deve identificar, equacionar os problemas inerentes ao tema e resove-los, bem como aplicá-los em situação real.

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 4/17

Avaliação

Serão realizadas duas provas parciais e um trabalho, perfazendo três notas.

A média das avalaições parciais será a soma das notas obtidas nas provas parciais e trabalho devidida por três.

Quem obtiver média parcial maior ou igual sete estará aparovado.

Quem tiver média parcial menor do que sete, se submeterá a uma prova final e será aprovado se a nota da prova final somada com as média parcial for maior ou igual a dez.

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 5/17

Avaliação O trabalho será avaliado através de três momentos.

O trabalho terá trẽs momentos:

o primeiro momento representado pela entrega do projeto de

estudos acadêmicos, de acordo com o modelo apresentado em

classe, a ser entregue em 13/08/2010;

O segundo momento será o seminário de apresentação da

monografia realizado entre os dias 22/09/2010 a 29/09/2010;

O terceiro momento será o seminário de avaliação de monografia

realizado entre os dias 17/11/2010 a 24/11/2010;

O aluno deverá está na sala de aula antes do horário estabelecido.

Haverá, em cada aula, duas chamadas, uma no início e outra no

final. Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 6/17

Avaliação O aluno poderá obter o acréscimo de até meio ponto em cada prova parcial através dos resumos dos tópicos de conteúdo discutidos até as datas de avaliação.

Este acréscimo dependerá da correção dos resumos.

Os resumos devem ser entregues, unica e exclusivamente, na data de cada avaliação parcial.

Ele deverá conter definições e exemplos, as proposições e os teoremas relativos ao conteúdo cobrado na avaliação em tela.

O aluno que tiver acima de de noventa por cento de frequência terá sua média final acrescida, respectivamente, de meio ponto.

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 7/17

Um pouco de história

O cálculo tem suas origens com os gregos, em particular como

os estudos de Arquimedes.

Estes estudos foram retomados na renacência e os principais

contibuidores foram Galileu, Kopernicus, Decartes e Fermat.

Por volta de 1600 havia mais de mil artigos em cálculo

publicados.

Isaac Neewton e Leibnitz no século XVII consolidaram a teoria

do cálculo.

O principais problemas resolvidos pelo cálculo foram: reta

tangente a uma curva; cálculo de área e volume.

Neste curso estudaremos as principais contribuições de Gauss e

Stokes. Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 8/17

Função Vetorial

Uma função vetorial é uma função f : ℜn → ℜm.

Exemplo: f(x, y, z) = (x2 − y, x− y3 + z)

é uma função vetorial de ℜ3 em ℜ2

Um função vetorial de ℜn em ℜm é dada por m funções de ℜn em ℜ.

f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)).

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 9/17

Função contínua

Um função vetorial

f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)).

é contínua se cada

fi : ℜ n → ℜ, fi(x1, ..., xn)

é contínua.

Exemplo:

f(x, y, z) = (x2 − y, x2 − y3 + z, 4x − 5y + z2, 3x − 2y + z),

é uma função contínua, pois

f1(x, y, z) = x 2 − y,

f2(x, y, z) = x 2 − y3 + z,

f3(x, y, z) = 4x − 5y + z 2

f4(x, y, z) = 3x − 2y + z.

são funções contínuas Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 10/17

Funções diferenciáveis Uma função

f : ℜn → ℜm,

é diferenciável em x = (x1, ..., xn) se existe uma aplicação linear

Dfx : ℜ n → ℜm

tal que

f(x1 + h1, ..., xn + hn) = f(x1, ..., xn) + Dfp(h1, ..., hm) + r(x1, ..., xn, h1, ..., hn),

onde, h = (h1, ..., hn), x = (x1, ..., xn),

|h| = √

h21 + ... + h 2 n,

Lim 0

r(x,h) |h| = 0. Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 11/17

Função diferenciável

Um função vetorial

f(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)).

é diferenciável se cada

fi : ℜ n → ℜ, fi(x1, ..., xn)

é diferenciável.

Exemplo:

f(x, y, z) = (x2 − y, x2 − y3 + z, 4x − 5y + z2, 3x − 2y + z),

é uma função diferenciável, pois

f1(x, y, z) = x 2 − y,

f2(x, y, z) = x 2 − y3 + z,

f3(x, y, z) = 4x − 5y + z 2

f4(x, y, z) = 3x − 2y + z.

são funções diferenciáveis. Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 12/17

Função diferenciável A derivada direcional de uma função vetorial no ponto

x = (x1, ..., xn), na direção, h = (h1, ..., hn), é obtida pelo cálculo

do limite:

dfx.h = Lim h→0

f(x+th)−f(x) t

Exemplo: Se f(x, y) = (xy, x2 − y, x − y2) então no ponto (1, 2)

Df(1,2) = Lim h→0

(f(1+th1,2+th2)−f(1,2)) t

=

(2h1 + h2,−2h1 + h2, h1 − 4h2).

Se x = (x1, ..., xn), h = (h1, ..., hn) e f(x) = (f1(x), ..., fm(x)),

então

Dfx.h =

∂f1 ∂x1

... ∂f1 ∂xn

. ... .

. ... .

∂fm ∂x1

... ∂fm ∂xn

h1

.

.

hn

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 13/17

Exercícios Exercício 1 - Mostre que uma função F : ℜn → ℜ é continua em a = (a1, ..., an) se, só se,

Lim x→0

f(x) = f(a),

Exercício 2 - Mostre que toda função vetorial diferenciável em a = (a1, ..., an) é continua em a.

Exercício 3 - Determine os pontos de descontinuidades das funções:

(a) f(x, y) = ( xy x2+y2 ,

x x−y ,

x x2+y2 ).

(b) f(x, y, z) = (xsen1 y , y2sen1

z ),

(c) f(x, y) = tg(x2 + y2).

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 14/17

Exercícios Exercício 4 - Mostre que o conjunto das funções contínuas de

ℜn em ℜm forma um espaco vetorial sobre ℜ.

Exercício 5 - Mostre que o produto vetorial de duas funções

continuas, f, g : ℜn → ℜ3, é uma função continua.

Exercício 6 - Determine o conjunto dos pontos de continuidade

das funções:

(a)f(r, θ) = (r cos θ, r sen θ),

(b)f(r, θ, φ) = (r senφ cos θ, r sen φ sen θ, r cosφ)

(c)f(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z).

Exercício 7 - Mostre que uma função vetorial é contínua se, só se

a imagem inversa de aberto é um conjunto aberto.

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 15/17

Exercícios

Execício 8 - Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.

(a) f(x, y) = x 2y

x2+y2 ,

(b) f(x, y) = x 4

x2+y2 .

(c) f(x, y) =

e 1

(x2+y2−1) se x2 + y2 < 1

0 se x2 + y2 ≤ 1

Exercício 9 - Considere a função f(x, y) = 1− x2 − y2. Seja α

o plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, b, f(a, b)), com

a > 0, b > 0 e a2 + b2 < 1. Seja V o volume do treataedro

determinado por α e pelos panos coordenados.

(a) Expresse V como uma função de a, b.

(b) Detemine a e b para que se tenha ∂V ∂a

= ∂V ∂b

= 0.

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 16/17

Exercícios

Exerc’icios 10 - Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e γ(t) = (x(t0, y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida na superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1. Seja γ(to) = (xo, yo, zo). Prove que γ′(to) • ∇f(xo, yo, zo) = 0. Interprete geometricamente.

Apresentação, Funções Diferenciáveis – p. 17/17

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