Baixe Cálculo Vetorial e Geometria Analítica e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Cálculo Vetorial e Geometria Anaĺıtica - 2017/1 Prova 1 - 26/04/2017 Prof. Francesco Noseda - Desligue e reponha seu celular e seus pertences, a não ser caneta, lapis, borracha e régua. - A prova é individual e sem consulta. O uso da calculadora é proibido. - É proibido sair. - Justifique as respostas. - REPRODUZA as figuras no caderno de prova. 1. (2.5 pontos) A figura abaixo representa uma reta munida de um sistema de referência. Seja Q o ponto de coordenada 2. Seja T a homotetia de centro Q e razão 4. a) Desenhe Q. Seja P o ponto de coordenada 1. Desenhe P e T (P ) e diga qual é a coordenada de T (P ). (Faça o exerćıcio geometricamente.) b) Compute a fórmula que descreve a transformação T em coordenadas no sistema dado. Compute a coordenada de T (P1) se a coordenada de P1 for 1000. u O 2. (2.0 pontos) a) Enuncie as propriedades associativa e comutativa da adição de vetores geométricos no espaço. b) Usando as propriedades acima, prove que para todos vetores v1,v2,v3,v4 temos: (v1 + v2) + (v3 + v4) = v3 + [v1 + (v4 + v2)] 3. (1.5 ponto) Seja Π o plano desta folha e V 2 o conjunto dos vetores geométricos do plano Π. Seja B = {u1,u2} a base de V 2 dada na figura abaixo. Estime o valor das componentes do vetor [ −→ AB] em relação à base B. u2 u1 A B 4. (2.0 pontos) Em um plano munido de um sistema de referência cartesiano são dados os pontos A(−1,−3) e C(2, 3). Calcule as coordenadas do ponto B do segmento AC tal que |BC| = 3|AB|. 5. (2.0 pontos) Três corpos de tamanho despreźıvel têm massas m1, m2 e m3 e estão situados nos pontos A1, A2 e A3. Os pontos não são colineares, logo, determinam um plano Π. Observe que a reta A1A2 divide Π em dois semiplanos, e que A3 pertence a um destes semiplanos. Lembre que a fórmula para calcular o baricentro (centro de massa) B do sistema é dada por: B = O + m1r1 + m2r2 + m3r3 m1 + m2 + m3 onde O é um ponto de referência arbitrário e ri = [ −→ OAi] é o vetor de posição de Ai para i = 1, 2, 3. Prove que o baricentro B está situado no mesmo semiplano em que A3 está. (Sugestão: escolha o sistema de referência apropriado no plano Π.)
