Cálculo Vetorial e Geometria Analitica - Apostilas - Engenharia Elétrica, Notas de estudo de Engenharia Elétrica. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)
GloboTV
GloboTV

Cálculo Vetorial e Geometria Analitica - Apostilas - Engenharia Elétrica, Notas de estudo de Engenharia Elétrica. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)

42 páginas
12Números de download
1000+Número de visitas
100%de 2 votosNúmero de votos
1Número de comentários
Descrição
Apostilas de Engenharia Elétrica sobre o estudo do Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, Segmentos Orientados, Vetores, Soma de um ponto com um vetor, Adição de vetores, Diferença de vetores, Módulo, Direção e Sentido,...
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 42
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 42 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 42 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 42 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 42 páginas
Baixar o documento
Cálculoo Vetorial e Geometria Analítica

1

Prof. José Carlos Morilla

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

Prof. José Carlos Morilla

Santos

2009

2

Prof. José Carlos Morilla

1 CÁLCULO VETORIAL .................................................................................................. 4

1.1 Segmentos Orientados ........................................................................................... 4

1.2 Vetores ................................................................................................................... 4

1.2.1 Soma de um ponto com um vetor .................................................................... 5

1.2.2 Adição de vetores ............................................................................................ 5

1.2.3 Diferença de vetores ........................................................................................ 6

1.2.4 Módulo, Direção e Sentido ............................................................................... 6

1.2.5 Produto de um número real por um vetor. ....................................................... 6

1.2.6 Espaço vetorial. ............................................................................................... 7

1.2.7 Exercícios. ....................................................................................................... 7

1.3 Dependência e Independência Linear. ................................................................... 8

1.3.1 Definições ........................................................................................................ 8

1.3.2 Exercícios. ....................................................................................................... 9

1.4 Base ....................................................................................................................... 9

1.4.1 Adição entre vetores ...................................................................................... 10

1.4.2 Multiplicação por um escalar.......................................................................... 11

1.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 11

1.4.4 Ortogonalidade. ............................................................................................. 12

1.4.5 Exercícios. ..................................................................................................... 13

1.5 Mudança de Base ................................................................................................. 13

1.5.1 Mudança de Base Ortornormal. ..................................................................... 14

1.5.2 Exercícios. ..................................................................................................... 14

2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES ...................................................... 15

2.1 Ângulo entre dois vetores. .................................................................................... 15

2.2 Produto Escalar. ................................................................................................... 16

2.2.1 Cossenos diretores ........................................................................................ 16

2.2.2 Projeção de um vetor ..................................................................................... 17

2.2.3 Propriedades do Produto Escalar. ................................................................. 17

2.2.4 Exercícios. ..................................................................................................... 18

2.3 Orientação no espaço V3. ..................................................................................... 19

2.4 Produto Vetorial .................................................................................................... 19

2.4.1 Vetores Canônicos ......................................................................................... 21

2.4.2 Exercícios ...................................................................................................... 23

2.5 Produto Misto ....................................................................................................... 23

2.5.1 Propriedades do Produto Misto. ..................................................................... 24

3

Prof. José Carlos Morilla

2.5.2 Exercícios ...................................................................................................... 25

2.6 Duplo produto vetorial. ......................................................................................... 26

2.6.1 Exercícios ...................................................................................................... 26

3 GEOMETRIA ANALÍTICA .......................................................................................... 27

3.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas ............................................................... 27

3.1.1 Exercícios ...................................................................................................... 27

3.2 Retas e Planos ..................................................................................................... 28

3.2.1 Estudo da Reta. ............................................................................................. 28

3.2.1.1 Equações Paramétricas da Reta. ............................................................ 28

3.2.1.2 Exercícios ................................................................................................ 29

3.2.2 Equações do Plano ........................................................................................ 29

3.2.2.1 Equações Paramétricas do Plano ........................................................... 32

3.2.2.2 Exercícios ................................................................................................ 34

3.3 Posição relativa de retas e planos ........................................................................ 35

3.3.1 Posição relativa entre duas retas. .................................................................. 35

3.3.2 Exercícios ...................................................................................................... 36

3.4 Posição relativa entre uma reta e um plano. ........................................................ 37

3.4.1 Exercícios ...................................................................................................... 39

3.4.2 Posição relativa entre planos. ........................................................................ 40

3.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 41

4

Prof. José Carlos Morilla

1 CÁLCULO VETORIAL

1.1 Segmentos Orientados Chamamos de segmento orientado a

um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua extremidade em outro.

Tome-se, por exemplo, o segmento mostrado na figura 1.

Figura 1- Segmento de reta orientado

Na figura 1 o segmento de reta representado tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.

Dizemos que um seguimento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (A≡B).

Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto.

Figura 2- Segmentos Opostos

Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura 3, dizemos que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.

Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. Quando a orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos.

Figura 3- Segmentos Opostos

Dizemos que dois segmentos são equipolentes quando eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

Figura 4 - Segmentos Equipolentes

1.2 Vetores Chama-se de vetor ao segmento de

reta orientado que possui sua origem em um ponto e extremidade em outro. Na figura 5, o segmento AB é chamado de

vetor AB e indicado por AB.

Figura 5- Vetor ABSempre que designarmos um vetor

este terá em sua designação uma seta, orientada para a direita, sobre o símbolo de sua designação.

Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, os dois segmentos orientados que os representam forem equipolentes.

Figura 6- Vetores iguais (AB = CD)

5

Prof. José Carlos Morilla

Dado um vetor v = AB, o vetor BA é chamado de oposto de AB e se indica por -AB ou por - v .

Figura 7- Vetores Opostos

1.2.1 Soma de um ponto com um vetor Dado um ponto A e um vetor v ,

existe um único ponto B tal que

B-A=v. O ponto B é chamado de soma do ponto A com o vetor v  e se indica por A+ v .

As propriedades abaixo são imediatas:

• A+0=A • (A-v)+v=A • Se A+ v =B+v  então A=B • Se A+ u =A+v  então u=v • A+(B-A)=B

1.2.2 Adição de vetores Consideremos dois vetores u  e v  e

um ponto qualquer A. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o vetor u  obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro vetor w  que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C.

Figura 8– Soma de vetores

Podemos dizer, então que o vetor w  é soma do vetor u  com o vetor v . Podemos escrever então que:

u+v=w Graficamente, podemos usar a

regra do paralelogramo:

Figura 9– Regra do Paralelogramo

Na figura 10, o vetor AD representa a soma entre os vetores u; v e w.

Figura 10– Soma entre vetores

A

D

C

B

6

Prof. José Carlos Morilla

1.2.3 Diferença de vetores Consideremos dois vetores u  e v ,

como os mostrados na figura 11, o vetor

k u+-v é chamado de diferença entre u  e v .

Na figura 11, quando se toma o ponto A e a ele se soma o vetor u , obtemos o ponto B. Quando se soma ao ponto A o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de D.

Figura 11– Diferença entre vetores

Observa-se, então, que existe um

vetor k que somado ao vetor v  fornece o vetor u . Podemos, então, escrever

v+k=u  k=u-v Assim, podemos dizer que o vetor

k é a diferença entre o vetor u  e o vetor v .

OBS:- A diferença entre o vetor v  e o vetor u , será igual a -k.

v - u = -k

1.2.4 Módulo, Direção e Sentido Dado um vetor u , todos os seus

representantes têm o mesmo comprimento; assim, o comprimento de qualquer representante de u é chamado de módulo do vetor u  e é indicado por |u|. O módulo de um vetor depende da unidade de comprimento utilizada.

O módulo de um vetor, também, é chamado de Norma do vetor.

Dizemos que um vetor é unitário quando seu módulo for igual a um.

|u|=1 De maneira análoga, a direção e o

sentido do vetor u  são, por definição, a direção e o sentido de qualquer dos representantes de u .

Chama-se versor de um vetor não nulo v , o vetor unitário de mesmo sentido v .

Dois vetores são ditos paralelos quando estes possuem a mesma direção.

1.2.5 Produto de um número real por um vetor. Chamamos de produto de um

número real, diferente de zero, por vetor v  0, ao vetor s tal que:

• |s |=|a|×|v| • A direção s é paralela à de

v • Se a>0, o sentido de s é

mesmo de v • Se a<0, o sentido de s é

oposto ao de v • Se a = 0 ou v for nulo, o

resultado é um vetor nulo.

O produto de a por vse indica por av . O produto (1/a) v se indica simplesmente por v/a.

Figura 12– Produto de um número real por um vetor

7

Prof. José Carlos Morilla

1.2.6 Espaço vetorial. Chama-se espaço vetorial ao

conjunto de vetores munidos de pelo menos duas operações que respeitam as propriedades da adição e do produto de um número real por um vetor. Os espaços vetoriais são estudados na Álgebra Linear.

OBS:- É comum se usar o termo escalar para designar um número real, em contraposição a um vetor. Assim, quando se multiplica um vetor por um número real é comum ser dito que este vetor será multiplicado por um escalar. Não se deve confundir este produto com Produto Escalar que será visto mais à frente.

1.2.7 Exercícios. 1. Para a figura 13, onde DC = 2AD ,

exprimir D – B em função de A – B e C – B.

A D C

B

Figura 13

2. Para a figura 14, AD é a bissetriz do ângulo A. Exprimir D – A em função de B – A e C – A.

B D

C

A

Figura 14

3. Dados os vetores u  e v , conforme a figura 15, determine o vetor x tal que u+v+x=0.

Figura 15

4. Determine a soma dos vetores indicados na figura 16.

BA

C

D

(a)

BA

C

D

(b)

BA

C

E

(c)

F

D

(d)

Figura 16

8

Prof. José Carlos Morilla

5. Dados os vetores u  e v , da figura 17, determinar: O vetor resultante da soma entre

u  e v ; O vetor resultante da diferença

entre u  e v ; O vetor resultante do produto de

u  por um escalar igual a -5/3.

Figura 17

6. Se (A, B) é representante de u  0 e (C, D) um representante de v  0, prove que se AB // CD, existe um número real λ tal que u   v·.

7. Determine x

2x-3u=10 x+v

8. No sistema a seguir, resolva o

sistema nas incógnitas x e y  x+2y=u 3x-y=2u+v

9. Seja v 0. Mostre que v|v| é um vetor unitário (versor de v)

1.3 Dependência e Independência Linear. Sejam n vetores v1, v2,......., vn

(n≥1) e a1,a2,........,an números reais. Chama-se combinação linear dos vetores v1, v2,......., vn ao vetor:

a1v1+a2v2+…+anvn = u Se u é combinação linear dos

vetores v 1, v 2,......., v n, diz-se, também, que u é gerado por estes vetores.

Dados n vetores v 1, v 2,......., v n (n≥1), dizemos que eles são linearmentedependentes (LD) se existem escalares a1,a2,........,an, não todos nulos, tais que:

 aivi=0n i=1

ou seja,

a1v1  av2    anvn  0 Quando os vetores v1, v2,......., vn não são linearmente dependentes, dizemos que eles são linearmente independentes (LI).

Pode-se, então, verificar que os vetores v1, v2,......., vn, são linearmente dependentes quando o vetor resultante de sua combinação linear for nulo.

Pode-se dizer, ainda que; dados os vetores v1, v2,......., vn, se um deles é combinação linear dos outros, então eles são linearmente dependentes.

1.3.1 Definições I. Um único vetor v é linearmente

dependente se v  0.

II. Dois vetores u e v são linearmente dependentes se eles forem paralelos a uma mesma reta.

9

Prof. José Carlos Morilla

Se u e v são linearmente dependentes, então, existe escalares a e b tais que:

au+bv= 0  u = - b a  v

Desta forma, os dois vetores possuem a mesma direção, ou seja, eles são paralelos.

III. Três vetores u; v e w são

linearmente dependentes se eles forem paralelos a um mesmo plano.

Se u; v e w são linearmente dependentes, então, existe escalares a; b e c tais que:

au + bv+cw = 0  u = - b a

 v + - c a

 w Os vetores - b

a  v e - c

a  w são

coplanares com v e w, portanto, u também é coplanar com eles.

Devemos lembrar que o vetor resultante da soma entre dois vetores é coplanar com eles. Isto pode ser observado na figura 18.

u

v

R

Figura 18

IV. Qualquer sequência de elementos com quatro, ou mais, vetores é linearmente dependente.

1.3.2 Exercícios.

10. Prove que se o conjunto de vetores u, v, w é linearmente independente, então o conjunto u+ v+ w, u-v,3v também é linearmente independente.

11. Prove que se o conjunto de vetores u , v é LI, então uv, u - v também é LI.

12. Prove que se o conjunto de

vetores u, v , w é LI, então o conjunto u+ v , u + w , v+ w também é LI.

1.4 Base Uma base no espaço é uma terna e1, e2, e3 formada por três vetores

linearmente independentes. Veja a figura 19.

e1

e2

e3

Figura 19

Para todo vetor v, gerado a partir de e1, e2, e3, existem escalares a1,a2,a3 tais que:

a1e1 + a2e2 + a3e3 = v Ou seja, o vetor v é combinação linear dos vetores e1, e2, e3.

10

Prof. José Carlos Morilla

Podemos então escrever o vetor v como sendo:

 aiei = v 3 i=1

Os escalares a1,a2,a3 são chamadas de componentes, ou coordenadas, de v em relação à base e1, e2, e3. Reciprocamente, a uma terna a1,a2,a3 de números reais, existe um único vetor cujas coordenadas são a1,a2 e a3.

Fixada uma base e1, e2, e3, é costume se representar o vetor v por meio da terna a1,a2,a3 ou ainda, por meio da matriz coluna:

a1a2 a3

Escrevemos, então:

v = a1,a2,a3 ou v = a1a2 a3

Deste ponto em diante, o uso de coordenadas será muito freqüente; é conveniente, então, que as operações entre vetores sejam feitas diretamente em coordenadas, assim, faremos o estudo de algumas destas operações:

1.4.1 Adição entre vetores Se u = a1,a2,a3 e v = b1,b2,b3

então:

u+v = a1+b1,a2+b2,a3+b3 De fato, se u=a1e1+a2e2+a3e3 e

v=b1e1+b2e2+b3e3 , então: u+v= a1+b1e1+ a2+b2e2+ a3+b3e3

ou seja:

u+v = a1+b1,a2+b2,a3+b3 Quando se usa a notação matricial, podemos escrever:

u  v = a1a2 a3

+!b1b2 b3

"=!a1+b1a2+b2 a3+b3

" OBS:- Quando se tem um vetor v em um plano, suas componentes podem ser definidas como as coordenadas (v1; v2) de um sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Assim, o vetor v será representado simplesmente por

v = v1,v2 A figura 20 mostra o vetor v e suas componentes.

Figura 20

Quando é feita a soma entre dois vetores no plano, o vetor resultante tem componentes iguais à soma entre as componentes em cada direção. A figura 21 mostra a soma entre dois vetores v e w.

Prof. José Carlos Morilla

Figura 21

1.4.2 Multiplicação por um escalar. Se um vetor =

multiplicado por um escalar λ, então:

=

De fato, se produto fica:

Quando se usa a notação matricial, podemos escrever:

=

Com estes conceitos é possível reexaminar o conceito de dependência e independência linear.

Os vetores = = são linearmente

dependentes se e somente se forem proporcionais a

Os vetores = = e =

é

o

e

.

, são

linearmente independentes se e somente se:

1.4.3 Exercícios 13. Determine o vetor X, tal que 3

= 15(X - U).

14. Determine os vetores X e Y tais que:

15. Determine as coordenadas da

extremidade do segmento orientado que representa o vetor V =(3;0;-3), sabendo origem está no ponto P = (2

16. Quais são as coordenadas do ponto P’, simétrico do ponto P = (1;0;3) em relação ao ponto M = (1;2;-1)? (Sugestão: o ponto P’ é tal que o vetor

17. Verifique se o vetor U é

combinação linear de V e W:

V = (9,-12, W = (-1,7,1) U = (-4,

18. Verifique se o vetor U é

combinação linear de V e W:

V = (5,4, W = (2,1,1) U = (-3,

19. Quais dos seguintes vetores são paralelos?

U = (6,-4,-2) V = (-

11

X-2V

-se que sua ;3;-5).

- )

-6)

-6,2)

-3)

-4,1)

W = (15,-10,5) 9,6,3)

12

Prof. José Carlos Morilla

1.4.4 Ortogonalidade. O conceito de ortogonalidade de

vetor, com retas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Desta forma é possível definir:

I. Um vetor u 0 é ortogonal à reta r (ao plano π) se existe um representante (A,B) de u tal que o segmento AB é ortogonal a r ( a π).

II. Os vetores u e v são ortogonais se um deles é nulo, ou caso contrário, admitirem representantes perpendiculares.

III. Os vetores u e v são ortogonais se e

somente se:

|u + v|2=|u|2 + |v|2 Para provar esta proposição basta lembrar o teorema de Pitágoras. Tomando um ponto O qualquer, u e v são ortogonais se e somente se os pontos O; O+u e O+u+v, são vértices de um triângulo retângulo. Isto pode ser observado na figura 22.

O Figura 22

IV. Outra forma de mostrar a ortogonalidade é lembrando que, no plano, os vetores u  e v  podem ser escritos:

u=x1i+y1j v=x2i+y2j

Assim a expressão:

|u + v|2=|u|2 + |v|2 Fica: x1+x22+y1+y22=x12+y12+x22+y22

Ao se efetuar o produto notável no lado esquerdo da igualdade e fazendo-se as simplificações possíveis, encontramos:

x1x2 + y1y2 = 0 Da mesma forma que foi feito no plano, para dois vetores no espaço R3, podemos escrever:

x1x2 + y1y2+ z1z2=0

V. Uma base E = e1, e2, e3 é ortonormal se os vetores e1, e2, e3 são unitários e dois a dois ortogonais.

Figura 23

VI. Se E = e1, e2, e3 é base ortonormal e u=xe1+ye2+ze3, então:

|u|=#x2+y2+z2

O+u

O+u+v v

u u+v

13

Prof. José Carlos Morilla

1.4.5 Exercícios.

20. Para a base E = e1, e2, e3, verifique se os vetores u  e v  são LI ou LD.

a. u= 1,2,3, v= 2,1,1 b. u= 1,7,1, v= 1

2 ,

7

2 ,

1

2 

21. Para a base E = e1, e2, e3,

verifique se os vetores u ; v  e w  são LI ou LD.

u= 1,-1,2 v= 0,1,3 w= 4,-3,11,

22. Para uma mesma base E, sendo

u= 1,-1,3 v= 2,1,3

w= -1,-1,4, Ache as coordenadas de:

a. u+v b. u-v c. u+2v-3w

23. Com os dados do exercício

anterior, verifique se u é combinação linear de v e w.

24. Escreva t= 4,0,13, como combinação linear dos vetores u; v e w  do exercício 22.

25. Sejam:

f1= 2e1 - e2 f2= e1 - e2 + 2 e3 f3= e1 + 2 e3

Mostre que f1 , f2 , f3 é LI e portanto base de V3.

26. Calcule as coordenadas do vetor v= 1,1,1 da base E na base F do exercício anterior.

1.5 Mudança de Base A escolha de uma base conveniente

pode, muitas vezes, ajudar a resolver um problema qualquer.

Consideremos, então, duas bases:

E = e1, e2, e3 F = f1, f2, f3

De tal sorte que os vetores f1, f2, f3 possam ser combinações lineares de e1 , e2 , e3, ou seja;

f1=a11e1+a21e2+a31e3 f2=a12e1+a22e2+a32e3 f3=a13e1+a23e2+a33e3

Com os escalares aij é possível construir a matriz M:

M=a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

A esta matriz, dá-se o nome de Matriz Mudança da Base E para base F.

Para provar isto, vamos tomar um vetor, que na base E é escrito como : v = x1e1+x2e2+x3e3. Seja, agora, o mesmo vetor escrito na base F como

v = y 1 f1+y2f2+y3f3.

Como F pode ser escrita como sendo combinação linear de E, podemos, então, escrever:

14

Prof. José Carlos Morilla

v = y 1

a11e1+a21e2+a31e3 +y

2 a12e1+a22e2+a32e3

+y 3

a13e1+a23e2+a33e3. O vetor v pode então ser escrito como:

v=y 1 a11+y2a12+y3a13e1

+y 1 a21+y2a22+y3a23e2

+y 1 a31+y2a32+y3a33e3

Assim, as coordenadas x1; x2 e x3 podem ser escritas como:

x1=y1a11+y2a12+y3a13

x2=y1a21+y2a22+y3a23

x3=y1a31+y2a32+y3a33

As três expressões acima, podem ser escritas na forma matricial que é:

x1x2 x3

 a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

$ y1y2 y

3

Note-se, então que a matriz dos

coeficientes aij é a matriz que relaciona as coordenadas do vetor v na base E com as coordenadas deste mesmo vetor, na base F. Assim sendo, esta matriz é chamada de Matriz Mudança de Base.

De uma maneira geral, podemos escrever:

%X&=%M&×%Y& 1.5.1 Mudança de Base Ortornormal.

Sejam E e F duas bases ortonormais e seja a matriz M a matriz mudança de base de E para F.

Quando as bases são ortonormais, a matriz transposta é igual à matriz inversa, ou seja:

M -1

= Mt  M×Mt=I À matriz que respeita a condição

onde M-1= Mt, dá-se o nome de Matriz Ortogonal.

Assim, se E é uma base ortonormal, para que F, também, seja ortonormal é necessário e suficiente que a matriz de mudança de E para F seja ortogonal.

Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transposta, podemos escrever:

det%M&=det'Mt( det%M&'Mt(=det%M&×det'Mt(

det%M&'Mt(=det%M&2=1 det%M&=±1

Para que duas bases sejam ortonormais, a matriz mudança de base entre elas deve ser ortogonal e o determinante desta matriz pode ser igual a 1 ou -1.

1.5.2 Exercícios.

27. Dadas as bases E; F e G, onde:

e1= 2f1+ f3 g1= e1- e2 e2= f1- f2 g2=  e2- e3 e3= f1+ f3 g3= e3 + e1

Determinar as matrizes mudanças de base entre elas.

15

Prof. José Carlos Morilla

28. Dada a base E e sejam:

f1= e1- e2-e3 f2= e1+ 2 e2 - e3  f3= 2e1+ e2 + 4e3

a. Verificar se f1, f2, f3 é uma base.

b. Achar a matriz mudança de base entre elas.

c. Sendo, na base E, o vetor

v= 3,-5,4, achar as coordenadas deste vetor na base F.

29. Dadas as base E e F tais que:

f1= e1 - 3e2 f2= e2+ e3

f3= e1- 2 e2 Sendo o vetor v= 3,4,-1, na base E, achar as coordenadas deste vetor na base F.

30. Sendo %X&=%M&×%Y&, provar que %Y&=%M&-1×%X&

31. Sabendo-se que a matriz mudança de base de F para E é:

2 1 11 -1 0 0 0 1

e de F para G é

 1 1 1-1 0 0 0 -1 1

determinar as coordenadas do vetor v= 4g

1 + 2g

2  + g

3  em relação à base

E e a base F.

2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES

2.1 Ângulo entre dois vetores. Consideremos dois vetores, não

nulos u e v, com origem em O e extremidades em P e Q, respectivamente, como os mostrados na figura 24.

u

v O

P

Q

θ

Figura 24

Nesta figura, θ é a medida em radianos (ou graus) do ângulo POQ que é o ângulo entre os vetores u e v.

Vamos procurar uma expressão que nos forneça θ em função de u e v. Para isto, vamos fixar uma base ortonormal i;j;k, e sejam os vetores u  e v dados por suas coordenadas

u=x1;y1;z1 v=x2;y2;z2

Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo POQ, resulta

)QP)2 =|u|2+|v|2-2|u||v| cos θ Sabemos que:

)QP)2 = )OP - OQ)2 =|u - v|2 )QP)2 =*x1-x2,y1-y2,z1-z2*2

)QP)2 = x1-x22+y1-y22+ z1-z22

16

Prof. José Carlos Morilla

)QP)2 =x12+y12+z12+x22+y22+z22-2x1x2+y1y2+z1z2 Lembrando que:

x1 2+y

1 2+z1

2+x2 2+y

2 2+z2

2=|u|2+|v|2 Podemos escrever:

|u||v| cos θ x1x2+y1y2+z1z2 Esta expressão nos permite

calcular cos θ, pois

|u|=#x12+y12+z12 e |v|=#x22+y22+z22 Assim, podemos calcular cos θ

por:

cos θ  x1x2+y1y2+z1z2#x12+y12+z12 · #x22+y22+z22

2.2 Produto Escalar. Vamos definir um produto entre dois

vetores cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado de Produto Escalar.

Chama-se produto escalar dos vetores u e v ao número u · v (também pode ser escrito como u $ v) tal que:

• u×v=0 se u ou v forem iguais a zero, ou

• u×v=|u||v| cos θ se u e v forem diferentes de zero e θ o ângulo entre u e v.

• u×v=0 quando u e v forem

diferentes de zero e ortogonais.

Como|u||v| cos θ x1x2+y1y2+z1z2, podemos escrever:

u $ v = x1x2+y1y2+z1z2

desde que estas coordenadas se refiram a uma base ortonormal.

Podemos, então, determinar o ângulo θ por meio de:

cos θ  u $ v|u||v| cos θ  x1x2+y1y2+z1z2#x12+y12+z12 · #x22+y22+z22 Por ser um produto, podemos

escrever:

cos θ  u|u| $ v|v|

2.2.1 Cossenos diretores Fixada uma base ortonormal i;j;k, chama-se de cossenos diretores

do vetor v os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores da base.

Chamando se α; β e γ os ângulos que v forma i; j e k, respectivamente, e sendo v=xi+yj+zk, temos imediatamente:

cos α  x#x2 +y2 +z2 cos β  y#x2 +y2 +z2 cos γ  z#x2 +y2 +z2

Os cossenos diretores são as coordenadas do versor de v. Temos, então:

cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ=1

17

Prof. José Carlos Morilla

Como

u|u|  x1i+y1j+z1k#x12+y12+z12  u|u|  x1i#x12+y12+z12 +

y 1 j

#x12+y12+z12 + z1k

#x12+y12+z12

Podemos então escrever que:

u|u|  cos α i + cos β j + cos γ k Sejam E e F duas bases

ortonormais e M a matriz mudança de base de E para F. Na matriz M cada coluna j é formada pelos cossenos

diretores de Fj em relação à base E; isto é:

/  cos 23 cos 2 cos 24cos 53 cos 5 cos 54cos 63 cos 6 cos 64

2.2.2 Projeção de um vetor Seja u um vetor unitário e v um

vetor qualquer, com mostra a figura 25. O vetor v pode ser expresso na forma v=v1+v2 onde v1 é paralelo e v2 ortogonal a u.

u

v

O v1

v2

Figura 25

Sendo v1 paralelo a u podemos escrever v1  λu e portanto v=λu +v2.

Multiplicando escalarmente por u e sabendo que v2×u=0, encontramos:

v×u = λu×u = λ|u|2 = λ Assim, finalmente, é possível

escrever:

v1  v×uu Quando o vetor u não é unitário

encontramos:

v×u = λu×u = λ|u|2 λ= v×u|u|2

Assim, finalmente, é possível escrever:

v1= v×u|u|2 u

2.2.3 Propriedades do Produto Escalar. As propriedades do produto entre

números se aplicam no produto escalar:

a. u× v+w = u×v + u×w

b. u× λv= λu×v = λ u×v

c. u×v = v×u

d. u×u=0 ↔ u=0

OBS:- convém observar que u×v ≠ u×w. Assim, não é possível cancelar u e escrever v = w.

18

Prof. José Carlos Morilla

2.2.4 Exercícios.

32. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os

vetores u=2,0,-3 e v= 1,1,1.

33. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os vetores u= 1,10,200 e v=-10,1,0.

34. Determinar a medida, em

radianos, do ângulo entre os

vetores u= 3,3,0 e v=2,1,-2.

35. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os

vetores u= √3 2

, 1

2 ,0 e

v= √3 2

, 1

2 ,√3.

36. Para as situações mostradas;

determine o valor de 9 para que u : v.

d. u= 9,0,3 e v= 1,9,3. e. u= 9, 9,4 e v= 4,9,1. f. u=9,-1,4 e v=9,-3,1.

37. Mostrar que:

g. |u + v|2=|u|2+2 u×v+ |v|2 h. u×v= 1

2 |u + v|2-|u|2-|v|2

38. Se e1, e2, e3 é uma base

ortonormal e u ; V3, mostre que: u = u×e1e1+ u×e2e2+ u×e3e3

39. Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

40. Determine u com módulo igual a

3√3, ortogonal a v=2,3,-1 e a w=2,-4,6.

41. Dos vetores encontrados, no

exercício anterior, qual aquele que forma ângulo agudo com o vetor 1,0,0?

42. Determine os cossenos diretores

de v=1,3,√6

43. Sabendo-se que w=1,-1,2 e v=3,-1,1, determine a projeção de w na direção de v.

44. Sabendo-se que w= 1,3,5 e

v=-3,1,0, determine a projeção de w na direção de v.

45. Mostre que as diagonais de um

paralelogramo têm a mesma medida se e somente se o paralelogramo é um retângulo.

46. Mostre que se um triângulo é

isóscele, os ângulos da base são congruentes (possuem a mesma medida).

47. Mostre que as bissetrizes de

ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares entre si.

48. Mostre que |u + v| < |u|+ |v|

49. |u $ v| < |u|$ |v|

50. Das matrizes a seguir verifique

quais são ortogonais. i. 1 0 12 1 0

0 1 -1

19

Prof. José Carlos Morilla

j. 1 0 10 2 1

0 1 1

k. 6/7 3 22/7 6 3 3/7 -2 6

l. !1/3 2/3 2/32/3 -2/3 1/3 2/3 1/3 -2/3

"

51. Determine as matrizes inversas das matrizes ortogonais do exercício 50.

52. Seja E=i; j; k uma base ortonormal. Sendo u= 1√3 i + j - k; v= 1√2 j + k e w= 1√6 2i - j + k, provar que F= u; v; w é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor

a=3i - 2j - k em relação à base F.

2.3 Orientação no espaço V3. Deste ponto em diante,

consideraremos o espaço orientado de tal maneira que a base seja composta

por três vetores ortonormais i,j,k.

Figura 26

2.4 Produto Vetorial Vamos definir um produto entre dois

vetores, cujo resultado é um vetor. A este produto damos o nome de Produto Vetorial.

Este produto tem aplicação, por

exemplo, na Física: a força exercida sobre uma partícula com carga unitária mergulhada num campo magnético uniforme é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula, pelo vetor campo magnético. Outro exemplo é possível obter da Mecânica: uma força provoca um movimento de rotação em um corpo através do produto vetorial entre a força e o vetor de posição do ponto de aplicação, tomado como referência o eixo de rotação do corpo.

Sejam V e W dois vetores no espaço.

Definimos o produto vetorial, v = w, como sendo o vetor com as seguintes características:

a. Tem comprimento dado numéricamente por:

|v=w|=|v||w| sen θ ou seja, a norma de v = w é numéricamente igual à área do paralelogramo determinado por v e w, mostrado na figura 27.

w

v

O θ |v|

|w |

h=|w |senθ

Figura 27

b. Tem direção perpendicular à v e w

c. Tem o sentido dado pela regra da mão direita (Figura 28): Se o ângulo entre v e w é θ, giramos o vetor v de um ângulo θ até que

Prof. José Carlos Morilla

coincida com w e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de v

Figura 28

Isto pode ser entendido como sendo o produto entre o vetor e quantidade h, que “promove a rotação” desta quantidade, tendo como centro de rotação a extremidade do vetor

Observe-se, aqui, que o produto w v fornece um vetor com sentido oposto ao produto v w. Observe a figura 29.

Figura 29

Para os vetores um escalar, são válidas as seguintes propriedades:

a. v w = - (w v) (anticomutatividade).

Esta propriedade é fácil de ser

observada quando se toma a definição de produto vetorial. As figuras 28 e 29

V Λ W

V W

V

W Λ V

w.

a

.

e sendo ?

mostram esta inversão de sinal. Além disto, é possível observar que, q faz o produto entre o vetor quantidade d, que “promove a rotaç desta quantidade, tendo como centro de rotação a extremidade do vetor sentido desta rotação é o inverso do encontrado no produto ser observado na figura

w

O

θ |v| |w

|

d=|v|sen

Figura

b. v w = 0

para qualquer λv. (se os veores forem paralelos θ=n

Esta propriedade é quando se toma a definição de produto vetorial:

Assim o produto vetorial é nulo quando um de seus vetores é nul quando senθ é nulo. O seno de um ângulo é nulo quando ele é igual a n para qualquer n. Nesta situação os dois vetores possuem a mesma direção.

c. (v w) x v = (

d. λ(v w) = (λv

e. v (w + u) =

f. (v + w) u (Distributividade em relação à soma de vetores).

W

20

uando se e a

ão”

, o

v w. Isto pode 30.

v

θ

30

se, e somente se, λ, v = λw ou w =

π)

fácil de observar

o ou

π,

v w) x w = 0.

) w = v (λw).

v w + v u

= v u + w u

21

Prof. José Carlos Morilla

Estas propriedades são facilmente entendidas e serão demonstradas na forma de exercícios.

2.4.1 Vetores Canônicos São vetores unitários, paralelos aos

eixos coordenados (x,y,z). Estes vetores são indicados como:

i= 1,0,0 j= 0,1,0 k= 0,0,1

Paralelos aos eixos x,y,z, respectivamente.

Desta maneira, qualquer vetor v=v1,v2,v3, pode ser escrito como sendo combinação linear de i,j,k:

v=v1,v2,v3 = v1,0,0+ 0,v2,0+ 0,0,v3 v=v1 1,0,0+v2 0,1,0+v3 0,0,1

v=v1i+v2j+v3k

Figura 31

Pela definição e propriedades do produto vetorial, podemos facilmente encontrar:

i = i= 0 j = j= 0 k = k= 0 i = j= k j = k= i k = i= j

j = i= -k k = j= -i i = k= -j

Com estas observações o produto

de dois vetores v=v1i+v2j+v3k e w=w1i+w2j+w3k , fica:

v=w = v1i+v2j+v3k=w1i+w2j+w3k v=w = det @v2 v3w2 w3A i - det @v1 v3w1 w3A j +

det @v1 v2w1 w2A k

v=w = det @v2 v3w2 w3A ,-det @v1 v3w1 w3A ,det @v1 v2w1 w2A Uma maneira simples de montar os

determinantes que constituem as componentes do vetor resultante do produto vetorial, é montar a seguinte matriz:

vetores da base

componentes de v componentes de w

B B B ! i j k

v1 v2 v3 w1 w2 w3

" Note que a componente i do vetor

resultante é dada pelo determinante da

matriz dos cofatores de i. ! i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

" Da mesma forma a componente j do

vetor resultante é dada pelo negativo do determinante da matriz dos cofatores de

j. ! i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

" Completando, a componente

componente k do vetor resultante é dada

22

Prof. José Carlos Morilla

pelo determinante da matriz dos

cofatores de k. ! i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

" Façamos o seguinte exemplo:

Sejam dois vetores v e w, dados por: v=i+2j-2k e w=3i+k. Determinar o produto vetrorial v=w.

Para resolver o problema, vamos montar a matriz com os vetores da base e as componentes dos vetores.

vetores da base

componentes de v componentes de w

B B B ! i  j k 1 2 -2 3 0 1

" As componentes do vetor resultante

são dadas por:

det @2 -2 0 1

A i = 2 det @-2 1

1 3 A j = -7

det @1 2 3 0

A k = -6 Assim, o vetor resultante fica:

v=w = 2i-7j-6k Com estas componentes, o módulo

do vetor resultante fica:

|v=w|=#22+ -72+ -62 |v=w|=C89

Vamos agora, determinar a área do triângulo P, Q, R, onde P = (3; 2; 0); Q = (0; 4; 3) e R = (1; 0; 2). Veja a figura 32.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

j i

k

5 4

3 2

1

R

P

Q

Figura 32

Podemos definir, então, dois vetores

v = RP= (3-1; 2-0; 0-2) = (2; 2; -2) w = RQ=(0-1; 4- 0; 3-2) = (-1; 4; 1) Lembrando que o produto vetorial

é igual à área do paralelogramo cujos lados são v e w; a área do triângulo PQR é a metade da área do paralelogramo com lados determinados por v e w.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

j i

k

5 4

3 2

1

R

P

Q

Figura 33

Assim, para determinar o módulo |v=w|, faremos:

vetores da base

componentes de v componentes de w

B B B ! i  j k 2 2 -2 -1 4 1

" As componentes do vetor resultante

são dadas por:

det @2 -2 4 1

A i = 10 det @-2 2

1 -1 A j = 0

23

Prof. José Carlos Morilla

det @ 2 2 -1 4

A k = 10 Assim, o vetor resultante fica:

v=w = 10i+10k Com estas componentes, o módulo

do vetor resultante fica:

|v=w|=#102+ 102=10√2 Com este valor, a área do triângulo (A), fica:

A = 1

2 |v=w| = 5√2

2.4.2 Exercícios

53. Dados vetores v=2i-3j+2k e w=4i-j+2k, determinar:

a. v=w b. O seno do ângulo entre

v e w

54. Sendo os vetores v=2i+j-3k e w=4i+j-3k, determinar uma base orotonormal e1, e2, e3 tal que e1//v e e2 coplanar com v e w.

55. Sendo v=i+j e w=2i-j+3k, determinar determinar a área do triângulo ABC onde B = A + v e C = A + w.

56. Calcule o momento em relação ao

ponto O da força f=-1i+3j+4k, aplicada ao ponto P tal que

OP=i+j+k. (o momento é o produto vetorial entre o vetor posição e a força)

57. A medida do ângulo, em radianos,

entre v e w é π 6 . Sendo |v|=1 e |w|=7, determinar

a. |v=w|

b. | 1

3 v = 3

4 w|

58. Determine a área do

paralelogramo ABCD sendo:

AC=-i+j e AB=j+3k

59. Resolva o sistema: E x·(3i+2j)=6 x=(2j+3k)=2i

60. Determine o vetor x tal que:

x=(i+k)=-2i2k e |x|  √6

61. Prove que |v=w|=|v|$|w| se e somente se v:w.

62. Calcule a distância do ponto C à

reta R que passa por dois pontos distintos A e B.

2.5 Produto Misto O produto misto é um escalar obtido

pelo produto escalar entre um vetor u e o vetor resultante de um produto vetorial (v=w), ou seja:

R=(v=w) × u Para três vetores, dados por suas

coordenadas: v=v1i+v2j+v3k

w=w1i+w2j+w3k

u=u1i+u2j+u3k

O produto misto, usando as

componentes dos vetores, é dado por:

(v=w) ×u= u1i;u2j;u3k× det @v2 v3w2 w3A i-det @v1 v3w1 w3A j+det @v1 v2w1 w2A k

24

Prof. José Carlos Morilla

=u1×det @v2 v3w2 w3A - u2det @v1 v3w1 w3A +u3det @v1 v2w1 w2A

(v=w) ×u= det v1 v2 v3w1 w2 w3 u1 u2 u3

Para entendermos o produto misto,

vamos fazer o seguinte exemplo: Determinar o produto misto entre os

vetores: u=2i-j+3k v=-i+4j+k w=5i+j-2k

O produto misto R=(v=w) ×u, fica:

R=(v=w) ×u = det F-1 4 15 1 -2 2 -1 3

G

R=(v=w) ×u =-84

OBS:- também é possível encontrar o produto misto indicado por: Hv,w,uI.

2.5.1 Propriedades do Produto Misto. Uma propriedade importante do

produto misto é o fato de que; dados três vetores u; v e w, o produto misto (v=w) ×u é numéricamente igual ao volume do paralelepipedo formado por u; v e w. Isto pode ser observado na figura 34

v

wuvLw

θ

|u |c

os θ

|u|senθ

Figura 34

O volume do paralelepípedo, determinado por u, v e w é igual ao produto da área da base pela altura. Sabendo-se que pela definição do produto vetorial a área da base é igual a |v=w|, o volume é dado por:

Volume = |v=w|×h

Mas, como vemos na figura 34, a

altura é: h = |u| cosθ, o que implica:

Volume =|v=w|×|u| cosθ Que é o produto escalar entre u e

vJw. Assim, o volume do paralelepípedo pode ser escrito como sendo:

Volume = (v=w)×u

Exemplo: Sejam v = 4i, w = 2i + 5j e U = 3i + 3j + 4k. O volume do paralelepípedo com um vértice na origem e arestas determinadas por u; v e w é dado por:

Vol.=(v=w)×u=Kdet 4 0 02 5 0 3 3 4

K=|80|= 80

Por esta propriedade, é possível saber se três vetores pertencem ao mesmo plano. Estes vetores pertencem ao mesmo plano quando o volume calculado pelo produto misto for igual a zero; ou seja, dados três vetores u; v e w, eles estarão no mesmo plano quando:

25

Prof. José Carlos Morilla

(v=w) ×u=0

(v=w) ×u= det v1 v2 v3w1 w2 w3 u1 u2 u3

= 0

Exemplo:

Verificar se os pontos P=(0;1;1), Q=(1;0;2), R=(1;-2;0) e S=(-2;2;-2) são coplanares. Com estes pontos podemos construir os vetores:

PQ= 1-0, 0-1, 2-1= 1,-1,1

PR= 1-0, -2-1, 0-1= 1,-3,-1

PS= -2-0, 2-1, -2-1= -2,1,-3 Para que os pontos sejam coplanares, é necessário que os vetores traçados, sejam coplanares, ou seja:

(PQ = PR) × PS=0

(PQ=PR)×PS = det  1 -1 11 -3 -1 -2 1 -3

= 0 Com este resultado podemos afirmar que os três pontos estão no mesmo plano.

Ainda é possível escrever as seguintes propriedades do produto misto:

a. Quando Hv,w,uI=0, os vetores são linearmente dependentes.

b. Hv,w,uI = Hw,u,vI = Hu,v,wI c. Hv,w,vI = Hw,v,vI = Hv,v,wI = 0 d. Hv,w,uI = - Hw,v,uI e. Hv1+v2,w,uI= Hv1,w,uI + Hv2,w,uI

Todas estas propriedades

resultam das propriedades dos determinantes.

2.5.2 Exercícios

63. Calcule o volume do paralelepípedo da figura 35,

quando na base i,j,k as componentes dos vetores são:

AB= 1, 0, 1, BE= 1,1,1 e AD= 0, 3, 3

Figura 35

64. Determine Hu,v,wI quando, em uma base ortonormal, u= -1, -3, 1, v= 1,0,1 e w= 2, 1, 1

65. Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores: u= 2, -2, 0, v= 0,1,0 e w= -2, -1, -1

66. Calcule o volume do tetraedro

ABCD dados:

AB= 1, 1, 0, AC= 0,1,1 e AD= -4, 0, 0

67. A medida do ângulo, em radianos,

entre u e v é π 6 e w é ortogonal a

u e a v. Sendo |u|=1, |v|=1 e |w|=4, determinar Hu,v,wI.

68. Ache a distância de um ponto D a um plano π, que passa pelos pontos, não alinhados, ABC

quando se conhece AB, AC e AD.

otima apostila
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 42 páginas
Baixar o documento