Cálculo Vetorial e Geometria Analítica - UFPB, Notas de estudo de Cálculo. Universidade Federal da Paraíba (UFPB)
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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica - UFPB, Notas de estudo de Cálculo. Universidade Federal da Paraíba (UFPB)

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87

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

Prof. Sérgio de Albuquerque Souza Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL

Correio eletrônico: [email protected] Sítio: www.mat.ufpb.br/segio

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Descrição do Curso

Este curso irá introduzir conceitos e utilização de vetores, no espaço tridimensional, para a

resolução de vários problemas geométricos como determinar, por exemplo, distâncias entre

pontos, projeções, áreas e volumes. Para tais conceitos utilizaremos algumas ferramentas

algébricas, via resolução de sistemas lineares, matrizes e determinantes.

Depois da apresentação dos vetores, iremos utilizá-los como ferramenta para definir as

retas e os planos através de suas equações e trataremos os problemas de posições relativas,

distâncias e ângulos entre retas, entre retas e planos e entre planos.

Mostraremos as cônicas nas suas formas reduzidas e paramétricas, para depois introduzir

um método mais algébrico para a classificação das cônicas, usando autovalores e autovetores,

determinando, desta maneira, os novos eixos coordenados para a cônica.

Finalmente, as quádricas serão exibidas e classificadas a partir de suas equações

reduzidas, mostrando o processo de construção tridimensional da mesma, através de cortes com

os planos coordenados.

Objetivos

Ao final do curso você estará habilitado a:

 Compreender o conceito de vetores;

 Ter uma compreensão espacial dos vetores;

 Operacionalizar vetores de forma geométrica e analítica;

 Compreender os resultados geométricos e numéricos associados às operações com

vetores;

 Definir as retas e os planos através de suas equações, obtidas utilizando-se vetores;

 Determinar as posições relativas, os ângulos, as distâncias, as interseções entre as

retas, entre as retas e os planos e entre os planos;

 Definir e classificar as cônicas nas formas reduzidas;

 Trabalhar com polinômios característicos, autovalores e autovetores;

 Classificar uma cônica dada na forma geral;

88

 Definir e classificar as quádricas, superfícies cilíndricas e cônicas.

Projeto da Disciplina

A disciplina está estruturada em três Unidades Temáticas Integradas. Cada uma contém

itens e subitens que os remetem às outras unidades. Os temas abordados serão acompanhados

de uma exposição, uma animação, vídeos ou ilustrações, com indicação de textos de apoio e

problematização das questões do texto. Para cada Unidade será aberta uma discussão no fórum

e proposta uma atividade de avaliação.

Unidades Temáticas Integradas

Unidade IVetores

Situando a Temática

Problematizando a Temática

Conhecendo a Temática

Introdução

Segmentos Orientados

Norma, direção e sentido

Vetores

Operações elementares com vetores

Soma

Multiplicação por escalar

Combinação Linear

Dependência Linear

Ângulos entre vetores

Produtos entre vetores

Produto Interno

Produto Vetorial

Produto Misto

Vetores do R3 em coordenadas

Exemplos

Avaliando o que foi construído

Unidade II Retas e Planos

Situando a Temática

Problematizando a Temática

Conhecendo a Temática

Introdução

89

O plano

Por três pontos

Por um ponto e dois vetores

Um ponto e um vetor perpendicular

A reta

Por dois pontos

Por um ponto e um vetor

Por dois planos

Posição relativa

Entre retas

Entre retas e planos

Entre planos

Ângulo

Nulo

Não nulo

Interseções

Vazia

Não vazia

Distâncias

Igual a zero

Diferente de zero

Exemplos

Avaliando o que foi construído

Unidade III Cônicas e Quádricas

Situando a Temática

Problematizando a Temática

Conhecendo a Temática

Introdução

Cônicas

Forma reduzida

Autovalores e autovetores

Classificando as cônicas

Quádricas

Esfera

Elipsóide

Hiperbolóide de uma folha

Hiperbolóide de duas folhas

Parabolóide elíptico

Parabolóide hiperbólico

90

Superfície cônica

Superfície cilíndrica

Exemplos

Cônicas

Quádricas

Avaliando o que foi construído

91

Unidade I Vetores

1. Situando a Temática

Nesta unidade estudaremos e definiremos vetores, bem como as operações com esses

vetores, obtendo resultados geométricos e analíticos, utilizando como base os conceitos básicos

da trigonometria, como triângulos retângulos e suas relações.

O tratamento vetorial de vários problemas matemáticos e físicos simplifica a compreensão

e o estudo destes problemas, possibilitando a ampliação, generalização e confirmação dos

conceitos e definições existentes.

2. Problematizando a Temática

Trataremos vários problemas geométricos, como por exemplo, área de um triângulo

qualquer, projeções, volume de um paralelogramo, perpendicularismo, paralelismo e ângulos,

utilizando as facilidades dadas pelas propriedades encontradas nos vetores e suas operações.

3. Conhecendo a Temática

3.1 Introdução

O estudo de vetores iniciou-se no final do século XIX. Eles constituem os instrumentos

ideais para o desenvolvimento de muitos conceitos importantes nas várias áreas do

conhecimento, como em Física e em Matemática.

Existem basicamente três maneiras de se introduzir o estudo de vetores:

Geometricamente: os vetores são representados por segmentos de reta orientados

(setas) e as operações com eles são definidas geometricamente;

Analiticamente: os vetores e correspondentes operações são descritos em termos de

números, chamados componentes dos vetores. A descrição analítica resulta naturalmente

da descrição geométrica, desde que seja introduzido um sistema de coordenadas;

Axiomaticamente: não se faz qualquer tentativa para se descrever um vetor ou as

operações algébricas com vetores. Neste caso, vetores e operações vetoriais são

considerados conceitos não definidos, relativamente aos quais se sabe apenas que eles

satisfazem certo conjunto de axiomas. Tal sistema algébrico, com axiomas apropriados,

chama-se espaço vetorial. Em todos os ramos da Matemática se encontram espaços

vetoriais e eles são apresentados em cursos de Álgebra Linear.

Nesta unidade, inicialmente introduzimos vetores geometricamente de modo construtivo e

já apelando para a visualização do mesmo, dentro do espaço tridimensional. Depois, utilizamos o

método analítico e geométrico para introduzir outros conceitos e operações.

92

3.2 Segmentos Orientados

Definição: Dados dois pontos distintos A e B quaisquer, que determinam uma reta r, chamaremos

de segmento AB , ao conjunto formado por todos os pontos da reta r entre A e B .

Observação: Note que o segmento BAAB = . O segmento AA será considerado segmento nulo.

Definição: Um segmento orientado AB é definido por um segmento AB mais a escolha de um

dos seus extremos como ponto inicial e o outro como ponto final, ou seja, daremos uma

orientação de como deve ser olhado o segmento.

Exemplo: Considere a figura do paralelepípedo da figura

1, o segmento orientado AB tem ponto inicial o ponto A e

ponto final B.

Observação: Note que o segmento orientado BAAB ≠ .

Exercício: Considere o paralelepípedo da figura 1.

a) Verifique que existem 36 segmentos que podem ser definidos pelos pontos ABCDEFGH.

b) São 64 segmentos orientados?

3.3 Norma, direção e sentido

Para efeito da definição e estudo de vetores, precisamos comparar um segmento orientado

a um outro, observando as três seguintes características:

Norma: é o comprimento do segmento orientado AB , denotado por AB .

Direção: dois segmentos orientados AB e CD terão mesma direção se as retas que os

contém são coincidentes ou paralelas.

Sentido: dois segmentos orientados AB e CD que tiverem a mesma direção e não forem

colineares, têm o mesmo sentido quando }{=BDAC I , caso contrário têm sentidos

opostos. Os segmentos orientados AB e CD colineares têm o mesmo sentido, quando um

outro segmento auxiliar ''BA não colinear com CD e no mesmo sentido de AB , satisfaz

}{='' DBCA I

Exemplo: Considere a figura do paralelepípedo da figura 1:

Figura 1 Paralelepípedo ABCDEFGH

93

a) Os segmentos orientados BG , GB , FC , CF , AH , HA , ED e DE possuem a mesma

norma;

b) Os segmentos orientados AB , EF , DC e HG possuem o mesmo sentido;

c) Os segmentos orientados AB , BA , EF , FE , DC , CD , HG e GH possuem a mesma

direção;

Definição: Diremos que dois segmentos orientados MN e PQ, não nulos, são eqüipolentes se os

segmentos tiverem a mesma norma, mesma direção e mesmo sentido, e representaremos essa

relação com PQMN~ .

Observação: Todos os segmentos nulos são eqüipolentes entre si, ou seja, BBAA ~ .

Exemplo: No exemplo anterior, temos que o segmento orientado:

a) AB é eqüipolente aos segmentos DC, EF e HG ;

b) AE é eqüipolente aos segmentos BF , CG e DH ;

c) AD é eqüipolente aos segmentos BC, EH e FG ;

d) AF é eqüipolente ao segmento DG apenas;

e) AH é eqüipolente ao segmento BG ;

f) AC é eqüipolente ao segmento EG ;

g) AG é eqüipolente apenas a ele, pois não é eqüipolente a nenhum dos outros segmentos

formado por esses pontos.

Exercício: Encontrar todos os segmentos orientados eqüipolentes, que podem ser formados com

os pontos da figura 1.

Propriedade: Dados três segmentos orientados quaisquer MN, PQ e RS temos em relação à

eqüipolência que:

PE1 Propriedade reflexiva: PQPQ~

PE2 Propriedade simétrica: Se PQMN~ então MNPQ~ .

PE3 Propriedade transitiva: Se PQMN~ e RSPQ~ então RSMN~ .

PE4 Propriedade do paralelogramo: Se PQMN~ então NQMP~

PE5 Dado um ponto qualquer P, é possível determinar outro ponto Q de tal forma que PQMN~ .

94

Observações:

• Note que, com as propriedades de eqüipolência, podemos construir em qualquer local do

espaço tridimensional, um segmento eqüipolente a um outro segmento dado qualquer.

• Toda relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de relação de equivalência,

logo a eqüipolência é uma relação de equivalência.

3.4 Vetores

Vamos considerar como vetor, um representante da classe dos segmentos orientados

eqüipolentes a um segmento orientado dado qualquer, ou seja, o vetor não é um segmento

orientado (conjunto de pontos) específico, mas um representante dos segmentos orientados que

tem a mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de um segmento dado.

Observações:

• O vetor determinado pelo segmento orientado AB será representado por AB , ou por uma

letra minúscula a r

.

• Vale reforçar que o segmento orientado AB é um conjunto de pontos, enquanto o vetor

AB é um representante de um conjunto de vetores eqüipolentes ao segmento orientado

AB .

Definição: O vetor determinado por todos os segmentos orientados nulos, será chamado de vetor

nulo, denotado por 0 r

.

Definição: Um vetor a r

qualquer é chamado de vetor unitário, se a sua norma for igual a um, ou

seja, 1|||| =a r

.

Exemplo: Da figura 2, considere os vetores u r

, v r

e w r

,

como sendo representantes da classe dos segmentos

orientados eqüipolentes a AB , AC e AD

respectivamente, logo:

a) u r

pode ser representado por um dos elementos do

conjunto { }HG ,EF ,DC ,AB ; b) v

r por um dos elementos do conjunto

{ }EH ,FG ,BC ,AD ; c) w

r por um dos elementos do conjunto

{ }DH ,CG ,BF ,AE ;

Figura 2 Paralelepípedo ABCDEFGH

Desafio: Quantos e quais são os

vetores que podem ser

representados na figura 2

acima?

95

ou seja, como representantes temos que os vetores são iguais, isto é HG EF DC AB u ==== r

,

EH FG BC AD v ==== r

e DH CG BF AE w ==== r

.

3.5 Operações elementares com vetores

3.5.1 Soma

A soma de dois vetores u r

e v r

quaisquer, é obtida graficamente, da seguinte maneira (ver

figura 3):

Escolha um ponto qualquer A;

 Do ponto A construa um outro representante para o

vetor u r

, ou seja, AB u = r

;

 Do ponto B construa um outro representante para o

vetor v r

, ou seja, BC v = r

;

 O vetor soma v u rr

+ será representado pelo vetor AC .

Propriedade: Dados três vetores u r

, v r

e w r

quaisquer, temos que:

PS1 Propriedade comutativa: v u u v rrrr

+=+

Da figura 3, temos que:

ACBCABv u =+=+ rr

AC DC AD u v =+=+ rr

PS2 Elemento neutro da soma: u 00 u u rrrrr

+=+=

Da figura 3, temos que:

ABBBAB =+=+ 0 u rr

ABABAA =+=+ u0 rr

PS3 Elemento oposto: u u 0 )u(- u rrrrr

+−==+

Da figura 3, temos que:

AABAAB =+=−+ )u( u rr

BBABBA =+=+− u)u( rr

PS4 Propriedade associativa:

)()( wvuwvu rrrrrr

++=++

Da figura 4, temos que:

Figura 3 Soma dos vetores u

r ev

r

Figura 4 Soma dos vetores u

r , v r

ew r

96

( ) ADCDACCDBCABwvu =+=++=++ rrr )( ( ) ADBDABCDBCABwvu =+=++=++ )( rrr

Exemplo: Da figura 2, considerando os vetores u r

, v r

e w r

(verifique os seguintes resultados!)

a) AC EH AB =+

b) AC EHHG =+

c) AGHGAEBC =++

d) HBHDDAAB =++

3.5.2 Multiplicação por escalar

Definição: A multiplicação de um vetor a r

, não nulo, por um escalar R∈α , é o vetor,

representado por a r

α , que tem mesma direção do vetor a r

, norma igual a ||||.|| a r

α , mesmo

sentido, se 0 >α e, se 0 <α , sentido oposto.

Observação: Qualquer vetor multiplicado por 0=α será o vetor nulo, ou seja, 0 a0 rr

= e qualquer

valor R∈α multiplicado pelo vetor nulo será o vetor nulo, isto é 0 0 rr

=α .

As operações aritméticas comuns também são idênticas com as operações de

multiplicação de escalar por vetores, que seguem nas propriedades exibidas a seguir.

Propriedade: Dados os vetores u r

e v r

quaisquer e os números R∈βα, , temos que:

PME1 Propriedade distributiva do escalar em relação à soma de vetores:

v u)v u( rrrr

ααα +=+

PME2 Propriedade distributiva do vetor em relação à soma dos escalares:

u u u)( rrr

βαβα +=+

PME3 Elemento neutro da multiplicação por escalar:

u u.1 rr

=

PME4 )u( )u( u)( rrr

αββααβ ==

Observação: Um conjunto qualquer onde são definidas duas operações, normalmente

denominadas de soma e multiplicação, e que satisfazem as propriedades da soma PS1, PS2,

PS3, PS4 e as propriedades da multiplicação por escalar PME1, PME2, PME3 e PME4 é

chamado de espaço vetorial. Os elementos desse conjunto são chamados de vetores (este tema

será abordado no próximo semestre na disciplina Introdução à Álgebra Linear).

97

Exemplo: Na figura 5, observe os vetores a r

2 1

, a r

2 , a r

3− e a r

.

Figura 5 Vetoresa r

2 1 , a

r 2 , a

r 3− ea

r

Exemplo: Considere um triângulo ABC qualquer, e os pontos D e E como pontos médios dos

segmentos AB e BC respectivamente e ABu = r

, BCv = r

e ACw = r

, como exemplificado no

triângulo da figura 6, logo:

a) wvu rrr

=+ ;

b) uDBAD r

2 1

== e vECBE r

2 1

== , pois D e E são pontos médios;

c) wACDE r

2 1

2 1

== , pois wvuvuBEDBDE rrrrr

2 1

)( 2 1

2 1

2 1

=+=+=+= , ou seja, além de mostrar

que o segmento DE é paralelo ao segmento AC , mostramos também que o segmento DE

tem a metade do comprimento do segmento AC .

Figura 6 Triângulo ABC e quadrilátero FGHI

Exemplo: Dado um quadrilátero FGHI qualquer e pontos J, K, L e M como pontos médios dos

segmentos FG , GH , HI e IF respectivamente, exemplificado como na figura 6, então MLJK =

e KLJM = , ou seja, JKLM é um paralelogramo.

Exemplo: Dado um vetor 0 rr

≠a qualquer, o vetor a a

u r

r r

|||| 1

= é unitário, ou seja, sua norma é igual

a 1, pois 1|||| ||||

1 ||||

|||| 1

|||| 1

|||| ==== a a

a a

a a

u r

r r

r r

r r

.

98

3.6 Combinação Linear

Definição: Diremos que um vetor a r

é uma combinação linear dos (é gerado pelos) vetores

1b r

, 2b r

, 3b r

,K , nb r

se existirem números reais 1α , 2α , 3α ,K , nα , tais que o vetor a r

possa ser

formado pela soma:

n332211 bbbba r

L rrrr

nαααα ++++=

Observação: Os números 1α , 2α , 3α ,K , nα são chamados de coeficientes do vetor a r

em

relação aos vetores 1b r

, 2b r

, 3b r

,K , nb r

.

Exemplo: Da figura 6, considerando os vetores u r

, v r

e w r

do triângulo, temos:

a) DE é uma combinação linear dos vetores u r

e v r

, pois vuDE rr

2 1

2 1

+= ;

b) w r

é uma combinação linear dos vetores u r

e v r

, pois vuw rrr

11 += ;

c) w r

é uma combinação linear do vetor DE , pois DEw 2= r

;

Exemplo: Da figura 2, considerando os vetores u r

, v r

e w r

, temos:

a) AG é uma combinação linear dos vetores u r

, v r

e w r

, pois w 1v1u1AG rrr

++= ;

b) BE é uma combinação linear dos vetores u r

, v r

e w r

, pois w 1v0u1BE rrr

++−= ;

c) BE é também uma combinação linear dos vetores u r

e w r

, pois w 1u1BE rr

+−= ;

d) BE não é uma combinação linear dos vetores u r

e v r

pois, para determinar o vetor é

necessário usar o vetor w r

.

Exercício: Da figura 2, considerando os vetores u r

, v r

e w r

, verifique que:

a) BG é uma combinação linear dos vetores u r

, v r

e w r

?

b) BG é uma combinação linear dos vetores v r

e w r

?

c) CE é uma combinação linear dos vetores u r

, v r

e w r

?

3.7 Dependência Linear

Definição: Diremos que os vetores 1b r

, 2b r

,K , ib r

,K , nb r

, são linearmente dependentes (LD), se

um dos vetores, por exemplo, ib r

for cominação linear dos outros 1−n vetores, caso contrário,

diremos que são linearmente independentes (LI).

99

Apesar da definição de dependência linear ser geral, no nosso texto trabalharemos no

máximo no espaço tridimensional, portanto teremos algumas relações geométricas, visíveis, em

relação à dependência linear, quais sejam:

• Dois vetores u r

e v r

são LD se os mesmos tiverem a mesma direção, ou seja, se um for

múltiplo do outro: vu rr

α= ;

• Três vetores u r

, v r

e w r

são LD se são paralelos a um plano;

• Quatro vetores são sempre LD no espaço tridimensional.

Exemplo: Da figura 2, considerando os vetores u r

, v r

e w r

, temos que os vetores:

a) AB , AC e AD são LD;

b) AB e DC são LD;

c) u r

, v r

e w r

são LI (verifique!);

Definição: Diremos que o conjunto }a,,a,a{ n21 r

K rr

é uma base para o nR (espaço com n

dimensões) se 1a r

, 2a r

,K , na r

forem vetores LI de nR .

Exemplo: Da figura 2, considerando os vetores u r

, v r

e w r

, temos que:

a) },,{ wvu rr

é uma base do 3R , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional;

b) },,{ AHAFAC é uma base do 3R , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional;

c) },{ vu r

não é uma base do 3R , pois é um conjunto com apenas 2 vetores;

d) },,{ ACvu r

não é uma base do 3R , pois são 3 vetores LD;

e) },,,{ AGwvu rr

não é uma base do 3R , pois é um conjunto com 4 vetores.

Definição: Uma base }a,,a,a{ n21 r

K rr

para o nR é chamada de base ortogonal se dois a dois os

seus vetores são ortogonais e de base ortonormal se além de ser ortogonal, os seus vetores são

unitários, ou seja, de norma igual a 1.

Exemplo: Da figura 3, considerando os vetores u r

, v r

e w r

, temos que:

a) },,{ wvu rr

é uma base ortogonal do 3R , pois seus vetores são perpendiculares dois a dois;

b)   

  

|||| ,

|||| ,

|||| w w

v v

u u

r

r

r

r

é uma base ortonormal do 3R , pois perpendiculares dois a dois e

unitários.

100

A vantagem de se trabalhar em uma base ortonormal é que a mesma facilita a visualização

tridimensional (pense na quina do chão de sua sala), bem como as futuras operações algébricas

que surgirão no decorrer da disciplina.

Teorema: Os vetores 1b r

, 2b r

, 3b r

,K , nb r

são linearmente independentes (LI) se, e somente se, a

equação

0bbbb n332211 rr

L rrr

=++++ nαααα

possuir como única solução 01 =α , 02 =α , 03 =α ,K , 0=nα , ou seja, apenas a solução trivial.

Demonstração: Na demonstração deste teorema, usaremos o método da redução ao absurdo, ou

seja, nega-se a tese e chega-se a uma contradição.

 Hipótese: Vamos supor que os vetores 1b r

, 2b r

,K , ib r

,K , nb r

são LI.

Se a equação 0bbbb ni2211 rr

L r

L rr

=+++++ ni αααα possuir uma solução não trivial, ou seja,

um dos coeficientes não é nulo 0≠iα ( ni ≤≤1 ). Neste caso, temos ib r

com a seguinte

combinação linear n3 3

2 2

1 1

i bbbbb r

L rrrr

i

n

iii α

α

α

α

α

α

α

α −−−−−= o que é um absurdo, pois por

hipótese os vetores são LI.

 Hipótese: Vamos considerar que a equação 0bbbb ni2211 rr

L r

L rr

=+++++ ni αααα só admita a

solução trivial 021 ====== ni αααα LL .

Se um dos vetores 0bi rr

≠ for combinação linear dos 1−n vetores 1b r

, 2b r

,K , nb r

, teremos

n2211i bbbb r

L rrr

nβββ +++= , logo podemos escrever a igualdade:

0b)b(bb ni2211 rr

L r

L rr

=++−+++ nβββ

ou seja, 1β , 2β ,K , 1−=iβ ,K , nβ também é uma outra solução da equação, o que é um

absurdo pois, por hipótese, a equação só admite a solução trivial.

Observação: Note que a solução trivial 021 ====== ni αααα LL é sempre solução para a

equação, pois 0b0b0b0b0 n321 rr

L rrr

=++++ , mas a força do teorema é a exigência da solução ser

única.

Exercício: Da figura 2, verifique que { }AH,AF,AC também é uma base do 3R . Solução: Para verificar que { }AH,AF,AC é base, basta ver que são 3 vetores LI em 3R . A quantidade de vetores está óbvia e para mostrar que são LI utilizaremos o teorema acima, mas

para tanto utilizaremos dois fatos:

101

• Os vetores u r

, v r

e w r

são LI, pois não são paralelos a um plano, temos pelo teorema

acima que uma equação 0wvu 321 rrrr

=++ ααα possui solução única 0321 === ααα .

• Os vetores AC , AF e AH são combinações lineares dos vetores u r

, v r

e w r

podemos

escrevê-los da forma: w0v1u1 rrr

++=AC , w1v0u1 rrr

++=AF e w1v1u0 rrr

++=AH .

Vamos montar a equação exigida no teorema e verificar que a equação

0AHAFAC 321 r

=++ βββ possui solução única. De fato:

0AHAFAC 321 r

=++ βββ

0)w1v1u0()w1v0u1()w0v1u1( 321 rrrrrrrrrr

=++++++++ βββ

0)wv()wu()vu( 321 rrrrrrr

=+++++ βββ

0w)(v)(u)( 323121 rrrr

=+++++ ββββββ

Note que a última equação acima possui solução única, ou seja,

0)( 21 =+ ββ , 0)( 31 =+ ββ e 0)( 32 =+ ββ

O que resulta em um sistema de três equações e três incógnitas:

 

 

=+

=+

=+

0

0

0

32

31

21

ββ

ββ

ββ

,

cuja solução é a trivial e única 0321 === βββ .

3.8 Ângulos entre vetores

Definição: Vamos considerar o ângulo entre dois vetores

a r

e b r

, não nulos, como sendo a medida θ do menor

ângulo entre dois representantes dos vetores a r

e b r

, tendo

ambos o mesmo ponto inicial, onde πθ ≤≤0

( oo 1800 ≤≤ θ ). Denotaremos essa medida por θ=),( ba rr

.

Note que, independente da escolha dos representantes dos vetores DFACa == r

e

DEABb == r

(ver figura 7), a medida θ do ângulo BAC )

é igual à medida θ do ângulo EDF )

,

pois:

• a reta definida pelos pontos A e C é paralela à reta definida pelos pontos D e F e

• a reta definida pelos pontos A e B é paralela à reta definida pelos pontos D e E.

3.9 Produtos entre vetores

Figura 7 Ângulo entre os vetores a r

e b r

102

Deste momento em diante, estaremos sempre trabalhando no espaço tridimensional 3R ,

porém algumas idéias também podem ser expandidas para dimensões maiores, que serão

tratadas na disciplina Álgebra Linear.

Os produtos entre vetores são operações que trazem um apelo geométrico bem

interessante e que serão muito úteis na compreensão das definições, propriedades e resoluções

de alguns problemas, pois estes produtos estão relacionados com as grandezas comprimento

(produto interno), área (produto vetorial) e volume (produto misto), gerado por vetores em certas

condições.

3.9.1 Produto Interno

O produto interno está muito relacionado com uma medida de uma dimensão, um

comprimento, seja olhando como o tamanho de uma projeção de um vetor em relação a um outro,

seja vendo como o comprimento de um vetor qualquer.

Definição: O produto interno entre dois vetores a r

e b r

não nulos, é o número denotado por

ba vr

⋅ e definido pela expressão:

),cos(.||||.|||| bababa vrvrvr

=⋅

Observação: Este número, produto interno,

aparentemente vindo do nada, na realidade surge de uma

simples razão trigonométrica em um triângulo retângulo

ABC (ver figura 8), dada por )cos(. θac = ou

hipotenusa adjacentecateto

a c

==)cos(θ .

Considerando unitário o vetor b r

, temos do triângulo DEF

que a norma do vetor DF é ba)b,acos(||b||||a||)cos(||a||DF vrvrrrr

⋅=⋅⋅=⋅= θ , ou seja, podemos

ver este número como sendo o comprimento da projeção do vetor a r

em relação à direção do

vetor unitário b r

.

Figura 9 Paralelepípedo ABCDEFGH com medidas 5x2x3

Exemplo: Considere os vetores unitários e ortogonais u r

, v r

e w r

da figura 9, então:

Figura 8 Triângulos ABC e DEF

103

a) 0)90cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ ovuvuvu rrrrrr

b) 0)90cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ owvwvwv rrrrrr

c) 0)90cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ ouwuwuw rrrrrr

d) 1)0cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ ouuuuuu rrrrrr

e) 1)180cos(.1.1),cos(.||||.||||)( −==−−=⋅− ouuuuuu rrrrrr

f) 0)90cos(.2.5)2,5cos(.||2||.||5||)2()5( ===⋅ ovuvuvu rrrrrr

g) 0)90cos(.2.5),cos(.||||.|||| ===⋅ oADABADABADAB

h) 0)90cos(.2.3),cos(.||||.|||| ===⋅ oADAEADAEADAE

Exercício: Encontre os produtos internos de todas as combinações entre os vetores u r

, v r

e w r

da

figura 9, bem como de seus opostos.

Propriedades: Dados três vetores u r

, v r

e w r

quaisquer e os números R∈βα, , temos:

PPI1 Propriedade comutativa: uvvu rrrr

⋅=⋅

Como as medidas angulares entre os vetores u r

e v r

são iguais, ou seja, ),(),( uvvu rrrr

= , da

definição temos:

uvuvuvbuvuvu rrrrrrvrrrrr

⋅===⋅ ),cos(.||||.||||),cos(.||||.||||

PPI2 Propriedade distributiva do produto interno em

relação à soma:

wuvuwvu rrrrrrr

⋅+⋅=+⋅ )(

Considerando o vetor u r

como sendo unitário e os

vetores v r

e w r

, como na figura 10, temos que:

• vuvuvuvuvAB rrrrrrrrr

⋅=== ),cos(.||||.||||),cos(.||||1

• wuwuwuwuwCB rrrrrrrrr

⋅=== ),cos(.||||.||||),cos(.||||11

• )(),cos(.||||.||||),cos(.||||1 wvuwvuwvuwvuwvAC rrrrrrrrrrrrrr

+⋅=++=++=

Como 1111 CBABAC += , concluímos que wuvuwvu rrrrrrr

⋅+⋅=+⋅ )( .

Exercício: Mostre que a propriedade acima também é válida quando pelo menos um dos ângulos

(u r

,v r

) ou (u r

,w r

) é maior que 90o.

Figura 10 Propriedade PPI2

104

PPI3 )()()( vuvuvu rrrrrr

ααα ⋅=⋅=⋅

• Se 0>α , temos que:

vubuvubuvuvu rrvrrrvrrrrr

⋅===⋅ )(),cos(.||||.||||),cos(.||||.||||)( ααααα ;

• Se 0<α , temos que:

vuvuvuvuvuvu rrrrrrrrrrrr

⋅===⋅ )(),cos(.||||.||||.||),cos(.||||.||||)( ααααα , pois

),cos(),cos( vuvu rrrr

−=α . (Faça um esboço e verifique este fato)

PPI4 2|||| uuu rrr

=⋅ ou uuu rrr

⋅=||||

Como a medida angular entre os vetores u r

e u r

é zero, da definição temos:

22 ||||0cos.||||),cos(.||||.|||| uuuuuuuu o rrrrrrrr

===⋅

Exercício: Supondo que 3|||| =u r

, 2|||| =v r

e que o30 é medida do ângulo entre os vetores u r

e

v r

, determine vu rr

⋅ e ||2 - u3|| v rr

.

Solução:

• Como ),cos(.||||.|||| buvuvu vrrrrr

=⋅ , temos que:

( ) 33.1 2

332 2 3

32)30cos().2.(3 =====⋅ ovu rr

• Como )2 - u3()2 - u3(||2 - u3|| 2 vvv rrrrrr

⋅= e

7163627||||4)u(12||u||9

||2||)2()u3(2||u3||)2 - u3()2 - u3( 22

22

=+−=+⋅−=

=+⋅−=⋅

vv

vvvv rrrr

rrrrrrrr

temos que: 7||2 - u3|| =v rr

Exemplo: Com base nestas propriedades e considerando os vetores unitários e ortogonais u r

, v r

e w r

da figura 9, temos:

a) =⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅ )(10)(25)25()55()25()5( vuuuvuuuvuuACAB rrrrrrrrrrr

25010125 =×+×=⋅ ACAB

b) =++⋅++=⋅ )325()325( wvuwvuAGAG rrrrrr

[ ] [ ] [ ] =++⋅+++⋅+++⋅= )325(3)325(2)325(5 wvuwwvuvwvuu rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] =⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

)332353

322252352555

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] =⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

)(9)(6)(15

)(6)(4)(10)(15)(10)(25

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] =++++++++= )1(9)0(6)0(15)0(6)1(4)0(10)0(15)0(10)1(25

[ ] [ ] [ ] 389000400025 =++++++++=

105

c) 38=⋅= AGAGAG

d) =+−−⋅++=⋅ )325()325( wvuwvuCEAG rrrrrr

[ ] [ ] [ ] =⋅+−⋅+−⋅+

+⋅+−⋅+−⋅+⋅+−⋅+−⋅=

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

33)2(3)5(3

32)2(2)5(235)2(5)5(5

[ ] [ ] [ ] =⋅+⋅−⋅−+

+⋅+⋅−⋅−+⋅+⋅−⋅−=

)(9)(6)(15

)(6)(4)(10)(15)(10)(25

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] =+−−+

++−−++−−=

)1(9)0(6)0(15

)0(6)1(4)0(10)0(15)0(10)1(25

[ ] [ ] [ ] 2094259000400025 −=+−−=+−−++−−++−−=

e) Os vetores AG e CE estão representados por duas diagonais internas, da definição do

produto interno para esses vetores, temos:

( )CEAGAGCECEAG ,cos.||||.||||=⋅ – ( )CEAG,cos.38.3820 =

( ) 0,526 19

10

38

20

38.38

20 ,cos −≈

− =

− =

− =CEAG

Portanto podemos calcular o ângulo entre as diagonais (vetores), como

( ) o1220,526)arccos(, ≈−=CEAG

Exercício: Demonstre o teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo qualquer (ver o

triângulo ABC figura 8)

Solução: Considere os vetores ACc = r

e CBb = r

, portanto o vetor bcAB vr

+= , calculando a

norma ao quadrado do vetor AB (hipotenusa ao quadrado), temos:

2222

22)()( bbccbbbcccbcbcbcAB vvrrvvvrrrvrvrvr

+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+=

como o triângulo é retângulo, os vetores c r

e b r

são perpendiculares, portanto 0=⋅ bc vr

, o que

resulta em:

222222 cbabcbc +=⇔+=+ vrvr

Proposição: Em uma base ortonormal },,{ wvu rr

, se wzvyuxa aaa rrr

++= e wzvyuxb bbb rrr

++= ,

então o produto interno entre os vetores a r

e b r

é:

bababa zzyyxxba ++=⋅ rr

.

Exercício: Usando a base },,{ wvu rr

da figura 9, calcule CEAG ⋅ .

106

Solução: Como wvuAG rrr

325 ++= e wvuCE rrr

325 +−−= , usando a proposição acima, temos

209425)3).(3()2).(2()5).(5( −=+−−=+−+−=⋅CEAG , como já havíamos calculado

anteriormente.

3.9.2 Produto Vetorial

O produto vetorial entre dois vetores é um vetor cuja norma está relacionada,

geometricamente, com uma medida em duas dimensões, ou seja, uma área. O fato de o produto

vetorial não ser o vetor nulo será um indicativo, por exemplo, de que:

 Três pontos, que definem dois vetores, formam um triângulo, ou seja, não são colineares;

 A distância entre duas retas paralelas é positiva (unidade 3);

Além disso, o produto vetorial tem muitos usos em Física como campo magnético, torção, etc.

Definição: O produto vetorial entre dois vetores a r

e b r

não nulos, é o vetor denotado por ba rr

× ,

definido pelas seguintes características:

• Direção:

Perpendicular aos vetores a r

e b r

, ou seja, aba rrr

⊥× e bba rrr

⊥× ;

• Norma:

),sen(||||.|||| |||| bababa rrrrrr

• Sentido:

É dado pela regra da mão direita que é equivalente, algebricamente a },,{ baba rrrr

× ser

uma base positiva do 3R .

Observações:

Analisando a figura 11 em relação à definição do produto vetorial,

• Note que apenas com a direção teríamos uma infinidade de vetores para representar o

vetor ba rr

× , pois qualquer vetor AD , onde rD ∈ , satisfaz a direção exigida, onde r é a

reta que contém o ponto A e é perpendicular aos

vetores a r

e b r

;

• Com a característica da norma, teríamos duas

possibilidades para o vetor ba rr

× , ou seja, o vetor

AD e o vetor AE , desde que estes tenham a

norma igual a ba rr

× ;

• Para que o vetor ba rr

× seja bem definido, teremos

Figura 11 Produto Vetorial

107

que escolher um deles. A escolha será feita usando a regra da mão direita, exibida no

tópico a seguir, mas já adiantando o vetor ba rr

× é o vetor AD .

• Note que o vetor AE , tem mesma direção, mesmo comprimento, mas sentido oposto, logo

este vetor é o oposto do vetor ba rr

× , ou seja, )( baAE rr

×−= .

3.9.2.1 Regra da mão direita

A regra da mão direita serve informalmente para definir se três vetores LI formam uma

base positiva ou orientação positiva e, no nosso caso em particular, para determinar o sentido do

vetor ba rr

× .

Esta regra consiste em usar a mão direita e os dedos desta mão da seguinte maneira,

conforme a figura 12:

 Posicionar o dedo indicador na

direção e sentido do vetor a r

(primeiro vetor);

 Posicionar o dedo médio na

direção e sentido do b r

(segundo vetor);

 O polegar indicará qual

sentido o vetor ba rr

× deve ter,

que será necessariamente perpendicular aos vetores ba rr

× , por definição.

Caso tenhamos três vetores a r

, b r

e c r

, tendo c r

a mesma direção de ba rr

× mas sentido oposto,

dizemos que a orientação destes vetores é negativa.

Exemplo: Considere os vetores unitários e ortogonais u r

, v r

e w r

da figura 9, então:

a) wvu rrr

=× , pois:

o w r

é perpendicular aos vetores u r

e v r

;

o 1)90(.1.1),(||||.|||||||| === osenvusenvuw rrrrr

;

o usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado;

b) uwv rrr

=× , análogo ao anterior;

c) vuw rrr

=× , análogo aos anteriores;

d) wuv rrr

−=× , pela definição;

e) wvu rrr

623 =× , pois:

o w r

6 é perpendicular aos vetores u r

3 e v r

2 ;

o 6)90(.2.3)2,3(||2||.||3||||6|| === osenvusenvuw rrrrr

;

o usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado;

Figura 12 Regra da mão direita

108

f) 0 rrr

=×uu , pois

o 0)0(.1.1),(||||.|||||||| ===× osenuusenuuuu rrrrrr

;

Propriedades: Dados três vetores u r

, v r

e w r

quaisquer e o número R∈α , temos que:

PPV1 )( uvvu rrrr

×−=× segue da definição;

PPV2 )()()( vuvuvu rrrrrr

ααα ×=×=×

PPV3 Propriedade distributiva: wuvuwvu rrrrrrr

×+×=+× )( e

wvwuwvu rrrrrrr

×+×=×+ )(

Exercício: Encontre os produtos vetoriais de todas as combinações entre os vetores u r

, v r

e w r

da figura 9, bem como de seus opostos.

Observações:

• Geometricamente o número associado à norma

|||| ba rr

× é exatamente a área do paralelogramo

formado pelos vetores a r

e b r

, conforme a figura

13.

Basta observar que a área de um paralelogramo qualquer é sempre comprimento da base

vezes a altura. Logo, no caso do paralelogramo ABCD formado pelos vetores, a área é

dada por DEABalturabaseA .=×= , onde do triângulo retângulo ADE temos a seguinte

relação:

),(.||||)(. basenbsenADDE rrr

== θ ,

logo a área é dada por:

||||),(||||.||||. babasenbaDEABA rrrrrr

×===

• Note que as áreas dos triângulos ABD e BCD são iguais à metade da área do

paralelogramo 2

|||| 2

baA A

rr ×

==∇ .

Exemplo: Com base nessas propriedades e considerando os vetores unitários e ortogonais u r

, v r

e w r

da figura 9, temos:

a) =×+×=×+×=+×=× )(10)(25)25()55()25()5( vuuuvuuuvuuACAB rrrrrrrrrrr

ww rrr

1010025 =+⋅=

b) =++×++=× )325()325( wvuwvuAGAG rrrrrr

[ ] [ ] [ ] =++×+++×+++×= )325(3)325(2)325(5 wvuwwvuvwvuu rrrrrrrrrrrr

Figura 13 Área do Paralelogramo ABCD

109

[ ] [ ] [ ] =×+×+×+

+×+×+×+×+×+×=

)332353

322252352555

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] =×+×+×+

+×+×+×+×+×+×=

)(9)(6)(15

)(6)(4)(10)(15)(10)(25

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] =+−++++−+−++= )0(9)(6)(15)(6)0(4)(10)(15)(10)0(25 rrrrrrrrr uvuwvw [ ] [ ] [ ] 00000615601015100 rrrrrrrrrrrrr =++=+−+++−+−+= wvuuvuwvw

como era de se esperar;

c) =+−−×++=× )325()325( wvuwvuCEAG rrrrrr

[ ] [ ]

[ ] =×+−×+−×+ +×+−×+−×+×+−×+−×=

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

33)2(3)5(3

32)2(2)5(235)2(5)5(5

[ ] [ ]

[ ] =×+×−×−+ +×+×−×−+×+×−×−=

)(9)(6)(15

)(6)(4)(10)(15)(10)(25

wwvwuw

wvvvuvwuvuuu rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ]

[ ] =+−−−+ ++−−−+−+−−=

)0(9)(6)(15

)(6)0(4)(10)(15)(10)0(25 rrr

rrrrrr

uv

uwvw

[ ] [ ] [ ] wvuuvuwvw rrrrrrrrrrrr 030120615601015100 +−=++−++−+−−=

Proposição: Em uma base ortonormal positiva },,{ wvu rr

qualquer, se wzvyuxa aaa rrr

++= e

wzvyuxb bbb rrr

++= , então produto vetorial entre os vetores a r

e b r

é o “determinante”1:

bbb

aaa

zyx

zyx

wvu

ba

rrr

rr =×

Exercício: Usando a base },,{ wvu rr

da figura 9, calcule a área do paralelogramo formado pelos

vetores AG e CE .

Solução: Como wvuAG rrr

325 ++= e wvuCE rrr

325 +−−= , usando a proposição acima, temos:

wvuwvuwvu

wvu

CEAG rrrrrrrrr

rrr

030121015610156

325

325 +−=+−+−−=

−−

como já havíamos calculado anteriormente, e a norma do vetor CEAG × é igual á

( ) ( ) 31,321044)0()30()12( 222 ≅=+−+=×⋅×=× CEAGCEAGCEAG , logo a área do paralelogramo será igual a ..31,32 auA ≅ 2.

1 O determinante está entre aspas, para enfatizar que o cálculo é igual ao de um determinante qualquer, porém a primeira linha é

composta de vetores. 2 A simbologia u.a. significa unidade de área, por exemplo: m2 (metro quadrado), cm2 (centímetro quadrado), etc.

110

3.9.3 Produto Misto

O produto misto é uma junção dos dois produtos anteriores, e com um resultado

geométrico importante: o módulo do produto misto está relacionado, geometricamente, com uma

medida em três dimensões, ou seja, um volume. O fato que este volume ser positivo revelará, por

exemplo, que três vetores são LI.

Definição: O produto misto entre os vetores a r

, b r

e c r

é o número, denotado por ],,[ cba rrr

,

definido pela expressão:

cbacba rrrrrr

⋅×=],,[

Observação: Não é necessária a colocação de parênteses em ba rr

× na definição, pois a única

maneira de se calcular este número é como sendo o produto interno do vetor ba rr

× com o vetor c r

,

já que o produto vetorial entre o vetor a r

e o número cb rr

⋅ não existe.

Exemplo: Considere os vetores unitários e ortogonais u r

, v r

e w r

da figura 9, então:

a) 1],,[ =⋅=⋅×= wwwvuwvu rrrrrrrr

b) 1],,[ =⋅=⋅×= vvvuwvuw rrrrrrrr

c) 1],,[ =⋅=⋅×= uuuwvuwv rrrrrrrr

d) 1],,[ −=⋅−=⋅×= vvvwuvwu rrrrrrrr

e) 1],,[ −=⋅−=⋅×= vvvwuvwu rrrrrrrr

f) 30310],,[ =⋅=⋅×= wwAEADABAEADAB rr

g) 132)326()03012(],,[ =++−⋅+−=⋅×= wvuwvuBHCEAGBHCEAG rrrrrr

Observação: Geometricamente o número ],,[ cba rrr

associado ao produto misto, é exatamente o volume

do paralelepípedo definido pelos vetores a r

, b r

e c r

,

conforme a figura 14, pois basta observar que o

volume de um paralelepípedo qualquer é sempre a

área da base vezes a altura. No caso do

paralelepípedo ABCDEFGH , formado pelos vetores, temos:

• Área da base é dada por |||| baAbase rr

×= ;

• Do triângulo retângulo EAE2 temos a seguinte relação para a altura )cos(.||||2 θcAEh r

== ,

onde ),( cba rrr

×=θ ;

Figura 14 Paralelepípedo inclinado ABCDEFGH

111

logo o volume do paralelepípedo é ),cos(.||||.||||. cbacbahAV base rrrrrr

××== , que por definição de

produto interno implica que ],,[. cbacbahAV base rrrrrr

=⋅×== .

Proposição: Em uma base ortonormal positiva },,{ wvu rr

, se wzvyuxa aaa rrr

++= ,

wzvyuxb bbb rrr

++= e wzvyuxc ccc rrr

++= , então produto misto entre os vetores a r

, b r

e c r

é o

determinante:

ccc

bbb

aaa

zyx

zyx

zyx

cba =],,[ rr

Exercício: Usando a base },,{ wvu rr

da figura 9, calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos

vetores AG , CE e BH .

Solução: Como wvuAG rrr

325 ++= , wvuCE rrr

325 +−−= , wvuBH rrr

326 ++−= e o volume é o

módulo do produto misto, pela proposição acima, temos:

[ ] 132 326

325

325

,, =

−−=BHCEAG

como já havíamos calculado anteriormente, logo o volume é ..132|132| vuV == 3

3.10 Vetores em coordenadas do R3

Deste ponto em diante, iremos trabalhar em um sistema ortogonal de coordenadas do

espaço 3R , onde representaremos pontos e vetores por um trio de números, chamados de

coordenadas, e onde aplicaremos toda a teoria anteriormente estudada.

Para tanto, iremos usar a base ortonormal positiva },,{ kji rrr

de R3, que chamaremos de base

canônica.

Definição:

Seja 3RO ∈ um ponto e },,{ kjiB rrr

= uma base ortonormal positiva. A dupla ),( BO é

chamado de sistema ortogonal de coordenadasem R3, de origem O e base },,{ kji rrr

.

Observações: Com base na figura 15:

• Consideraremos o sistema ortogonal de coordenadas

em R3, ou simplesmente sistema de coordenadas,

3 A simbologia u.v. significa unidade de volume, por exemplo: m3 (metro cúbico), l (litro), cm3 (centímetro cúbico), etc.

Figura 15 Eixos coordenados do R3

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