Capitulo 11 – Resolução de Exercícios, Notas de estudo de Matemática Financeira

Baixe Capitulo 11 – Resolução de Exercícios e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! Capitulo 11 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 162 FORMULÁRIO Avaliação de um Projeto Critério do Valor Atual    0 0 1 n j j j a V i i     Critério da Taxa Interna de Retorno    0 0 ; 1 1 n j j j a V i i i           se ˆi i  Critério da Anuidade Uniforme Equivalente           1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ 0 ˆ1 1 n nn i n i V i i i AE V i a V i a i                 Critério do Tempo de Recuperação de Capital 1 0 0 0 , 0 T T j j j j a com a ; se T < TL Critério do Tempo de Recuperação de Capital Descontado 1 0 0 0 , 0 1 1 T Tj j j j j j a a com i i ; se T ‘ < TL‘ Capitulo 11 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 163 11.11 — Exercícios Propostos 1) Seja um empreendimento, com vida econômica de 10 períodos, ao qual se associam, respectivamente, as seguintes sequências de desembolsos (custos) e de benefícios (receitas): 10 0 : 500;400;600;50;60;70;100;100;100;100;100j j c e 10 0 : 0;0;0;300;360; 470;600;600;600;600;600j j b Sendo de 10% por período a taxa de juros que representa o custo de oportunidade para empreendedor, pede-se: a) determinar a correspondente sequência de fluxos de caixa líquidos; b) com base na sequência de fluxos de caixa líquidos, caracterizar o empreendimento; c) o tempo de recuperação do capital (T )e o tempo de recuperação descontado T ; d) o valor atual do projeto; e) justificando sua validade, avaliar o projeto com base no critério da taxa interna de retorno; f) definindo-se a chamada razão benefício/custo de um projeto como 0 0 1 1 n n j j j j j j B C b i c i qual é o seu valor para o empreendimento em questão? Solução a) Sendo 0 n j j j j a b c , a sequência de fluxos de caixa líquidos que caracteriza o empreendimento (projeto) é: 10 0 : 500; 400; 600;250;300;400;500;500;500;500;500j j a b) Como temos uma única variação de sinal na sequência de fluxos de caixa líquidos, com o fluxo inicial (na época zero) sendo negativo, e havendo mais de um fluxo de caixa líquido negativo, o empreendimento caracteriza um projeto de investimento convencional, não simples. c) Considerando a acumulação da sequência de fluxos de caixa líquidos, temos a seguinte sequência de Norstrom: 500; 900; 1500; 1250; 950; 550; 50;450;950;1450;1950 Como somente no sétimo período temos uma acumulação (lucro contábil) positiva, segue-se que o tempo de recuperação do capital do empreendimento é T= 7 períodos. Por outro lado, considerando a sequência de fluxos de caixa líquidos descontados, temos, tendo em vista a taxa de juros de 10% por período: 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 400 600 250 300 400 500 500 500 500 500 : 500; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 0,11 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 j j j a Capitulo 11 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 166 Como, por hipótese, 0LC , segue-se que, no pior dos casos, T n (o que acontece, por exemplo, no caso onde o fluxo de caixa líquido é 100;50;100 , com 2T n ). Por outro lado, também por definição, tem-se que T é tal que 0 0 1 0 1 1 T T j j j j j ji i a a a com 1 0 1 0 T j j j ia Ora, sendo 0i , tem-se 1 j jj i a a , com a igualdade acontecendo somente se 0ja . Por conseguinte, para qualquer índice , 1 ,k com k n 0 0 1 k k j j j j j i a a com a igualdade acontecendo somente se 0, 1,2, , .j j ka Deste modo, como 0 0 T j j a o que implica em que ao menos 0aT , tem-se 0 0 1 T T j j j j j i a a Conclui-se, assim, que T T . A título de ilustração, seja o projeto de investimento simples caracterizado pelo fluxo de caixa 100;0;0;100;10;200 , e 10% . .i p p Temos que 3T , pois 3 2 0 0 0 100j j j j ea a Por outro lado, o fluxo de caixa descontado é: 100;0;0;75,13;6,83;124,18 Portanto, 5T , pois 5 4 0 0 106,14 18,04 1 1 j j j j j j e i i a a Capitulo 11 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 167 Nota Como ilustrado no caso do projeto 100;0;0;100,10;50 , sendo ainda 10% . . ,i p p podemos ter a esdrúxula situação onde T não é definido (pois que excederia a vida econômica n do projeto; isto é, ter-se-ia T n ). 4) Dado um projeto de investimento qualquer, convencional ou não, para o qual se tenha 0V i , mostre que T n , se 0i . Solução Temos que 0 1 n j j j V i i a ; logo, se 0 0 0 1 n j j j V i T n i a 5) Considere o projeto de investimento não convencional caracterizado pelo fluxo de caixa 20;105, 120;105; 100 . Determine o intervalo ao qual deve pertencer a taxa periódica de juros i, que identifique o custo de oportunidade para um investidor, para que o projeto seja considerado como economicamente viável. Solução Como o lucro contábil do projeto é 4 0 30 0j j LC a o projeto não pode ser avaliado pelo critério da taxa interna de retorno. A função valor atual,       2 3 4 105 120 105 100 ( ) 20 1 1 1 1 V i i i i i           pode ser esboçada, com o auxílio do Excel, como ilustrado na figura a seguir. Capitulo 11 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 168 Ou seja, como comprovado com o auxílio da HP 12C, a função valor atual anula-se para as taxas de juros 25% e 300% por período; sendo positiva, por exemplo, para 100% . .i p p [f][REG]20[CHS][g][CF0]105[g][CFj]120[CHS][g][CFj]105[g][CFj]100[CHS][g][CFj] 25[i][f][NPV]0,00 300[i][f][NPV]0,00 100[i][f][NPV]9,38 Logo, como a função valor atual é positiva no intervalo (0,25; 3), segue-se que o projeto será considerado como economicamente viável para taxas de juros neste intervalo. Nota Que as duas únicas taxas internas de retorno são * 1 25% . .i p p e * 2 300% . .i p p , pode ser comprovado observando-se que: 2 3 4 2 3 4 105 120 105 100 20 0 20 105 120 105 100 1 1 1 1 V i F x x x x x i i i i 20,8 0,25 100 100 0x x x , para 1 1 x i Por conseguinte, as duas únicas raízes reais de F x são: 1 1 1 0,8 0,8 0,25 ou 25% . . 0,8 x i p p e 2 2 1 0,25 0,25 3 ou 300% . . 0,25 x i p p 6) Sejam os seguintes dois projetos de investimento simples, com mesma vida econômica e mutuamente exclusivos: : 80;210;200;210;200 : 60;105;320;105;300A e B Pede-se determinar: a) a taxa interna de retorno de cada um dos dois projetos; b) o(s) intervalo(s) ao(s) qual (quais) deve(m) pertencer a taxa de juros para que o projeto B seja preferível ao projeto A. Solução Fazendo uso da HP 12C, tem-se para o caso do projeto A. [f][REG]80[CHS][g][CF0]210[g][CFj]200[g][CFj]210[g][CFj]200[g][CFj][f][IRR]258,19 Ou seja, * 258,19% . .Ai p p Quanto ao projeto B, tem-se: [f][REG]60[CHS][g][CF0]105[g][CFj]320[g][CFj]105[g][CFj]300[g][CFj][f][IRR]252,06 Portanto, * 252,06% . .Bi p p