Capitulo 2 – Resolução de Exercícios, Notas de aula de Matemática Financeira

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Solução 2 1 1 1 20 0,05 nS C C C n n meses i i                  4) Qual a taxa de juros anual, a que devemos aplicar um capital inicial para que ele dobre o seu valor num prazo de 10 anos? Solução 2 1 1 2 0,2 20% . . 10 10 nS C C C i a a n                  5) Qual o total de juros acumulado, de uma aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de juros de 5% a.a. por um período de 7 anos? Solução 20000 0,05 7 $ 7.000,00J C i n R       1 Na resolução de problemas propostos considerar anos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias, salvo menção em contrário. Considerar neste capítulo o Regime de Juros Simples. 365 niC Juroexato   360 niC JuroComercial   niCJ  (1 )nS C i n   JCS  1 nS C i n    Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 7 6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias resgatou R$ 1.033.650,00 brutos. a) Qual foi a taxa diária de juros simples auferida pelo investidor? b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações financeiras for aplicada sobre os rendimentos auferidos, antecipadamente e postecipadamente? Solução a) 1033650 1 1 750000 0,002067 0,2067% . . 183 nS C i i a d n                  b) Antecipada 1033650 750000 283650 0,10 283650 28365 750000 28635 778365 1033650 1 1 778365 0,001792 0,1792% . . 183 n l S C J J S C T t J S C i a d n                                 Desembolso inicial de Deve-se notar que, está sendo admitido que o rendimento é prefixado; sendo, pois,conhecido na data da aplicação. Postecipada 1033650 750000 283650 0,10 283650 28365 1033650 28635 1005285 1005285 1 1 750000 0,001860 0,1860% . . 183 n l S C J J S C T t J S C i a d n                                 Resgate líquido de 7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, aplicado à taxa de juros simples de 22% a.a., se for paga uma alíquota de imposto de renda igual a 20% dos juros, no resgate da aplicação? Solução 5 5 5 (1 ) 5 8000 0,22 733,33 12 8000 733,33 8733,33 8733,33 0,2 733,33 $8.586,67 n n n n S C i n e J C i n S S T S t J J C i n S C J S S t J R                                  Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 10 11) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções. a) R$ 1.800,00 à vista. b) R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00. c) R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00. d) 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses. Qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros simples de 4% a.m. e data focal na data da compra? Solução A melhor opção para o comprador é a que tem o menor valor presente, isto é na data da compra (data focal 0). Calculando os valores atuais das opções temos: a) Como o valor é a vista, $1.800,00aVP R b) 600 600 600 300 $1.968,19 1 0,04 1 0,04 2 1 0,04 3 bVP R          c) 500 500 500 500 $1.890,16 1 0,04 1 0,04 2 1 0,04 3 cVP R          d) 275 275 275 275 275 1 0,04 3 1 0,04 4 1 0,04 5 1 0,04 6 1 0,04 7 275 275 275 $1.755,36 1 0,04 8 1 0,04 9 1 0,04 10 dVP R                           Logo a melhor opção para o comprador é a d. 12) Pensando nas festas de fim de ano, Fabio pretende depositar R$ 2.000,00 em 05/06 e R$ 3.000,00 em 05/09. Se o banco usado pagará juros simples à taxa de 10% ao trimestre, qual será o valor que Fabio poderá retirar em 05/12? Solução    2000 1 0,10 2 3000 1 0,10 1 $ 5.700,00S R       13) Qual o juro simples exato resultante de uma aplicação de R$500,00, à taxa de 18%a.a., empreendida no período de 04 de janeiro de 2006 a 25 de março de 2008? Solução Existem 80 dias entre as datas. Logo: 500 0,18 80 $19,73 365 365 C i n J R        Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 11 14) O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação se faça à taxa de 5% a.t. e data focal no dia de hoje, qual o valor dos novos pagamentos? Solução O valor atual dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual dos pagamentos propostos. 120000 80000 1 0,05 1 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5 114285,71 69565,22 0,8333 0,80 183850,93 1,6333 183850,93 $112.564,09 1,6333 P P P P P P R                   15) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros simples de 10% ao ano e data focal no dia de hoje? Solução A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual do pagamento proposto. 50000 100000 20000 2 3 4 1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 12 12 12 12 49180,33 97560,98 19354,84 0,9231 166096,15 0,9231 166096,15 $179.937,50 0,9231 P P P P R                   Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 12 16) Imagine-se o caso de um título de renda fixa, com valor de emissão E igual a R$12.000,00, com prazo de vencimento igual a um ano, taxa de rendimento bruta 10% . .bi a a , e tributo cobrado postecidamente à alíquota de 10% sobre o rendimento; com o título sendo negociado com deságio de 7%, com a taxa bruta bi incidindo sobre o valor cheio do título. Pede-se determinar a taxa líquida anual de rentabilidade se: a) O tributo não levar em conta o deságio. b) O tributo levar em conta o deságio. Solução a) Se o tributo não levar em conta o deságio.           12000 0,1 1200 0,1 1200 120 1 12000 1 0,1 120 13080 1 12000 0,93 11160 13080 11160 0,1720 17,20% . . 11160 1 1 0,10 0,1 0,07 0,1720 17,20% . . 1 1 0,07 b b l b l R E i T t R N E i T V E N V i ou a a n V ou t i i ou a a                                          b) Se o tributo levar em conta o deságio. Regra geral, a alíquota t incide sobre o chamado lucro contábil, LC, que é igual à soma das receitas menos a soma das despesas. No caso em apreço, teremos:      1 1b bLC E i E E i       Logo, teremos  bT t E i   . Consequentemente, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é dado por: Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 15  2000 1 0,04 6 2480 8 1000 1 0,6 1400 12 1500 3000 , quatro meses após a data de hoje (0) , seis meses após a data de hoje (0) , três meses após a data de hoje (0) , seis meses após a data a b c d N N N N                2000 de hoje (0) , oito meses após a data de hoje (0)eN  I. Taxa de 6% ao mês, data focal hoje O valor atual da Carteira de notas promissória é: 2480 1400 1500 3000 2000 7857,83 1 0,06 4 1 0,06 6 1 0,06 3 1 0,06 6 1 0,06 8 VP                 Logo como R$ 7.857,83 é maior que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se recusar a oferta. II. Taxa de 10% ao mês, data focal hoje O valor atual da Carteira de notas promissórias é: 2480 1400 1500 3000 2000 6786,39 1 0,10 4 1 0,10 6 1 0,10 3 1 0,10 6 1 0,10 8 VP                 Logo como R$ 6.786,39 é menor que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se aceitar a oferta. 19) Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros simples do financiamento é de 2% a.m., qual foi o valor da avaliação do carro usado? Solução Na data de hoje a equação de valor é: 2600 2600 2600 2600 2600 20000 1 0,02 1 1 0,02 2 1 0,02 3 1 0,02 4 1 0,02 5 20000 2549,02 2500 2452,83 2407,41 2363,64 12272,90 20000 12272,90 $ 7.727,10 usado usado usado V V V R                           20) Uma aplicação no regime de juros simples durante o prazo de 5 meses, rende juros à taxa de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$8.000,00? Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 16 Solução   5 8000 0,22 733,33 12 0,2 733,33 146,67 8000 733,33 146,67 $ 8.586,66l J C i n T t J S C J T R                   