Baixe Capitulo 9 – Resolução de Exercícios e outras Notas de aula em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 115 FORMULÁRIO Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples) Taxa efetiva linear * 1 l i i i n    ; Taxa efetiva exponencial 1 * 1 1 1 n ei i n         Empréstimos a Longo Prazo Relações Básicas 1 1 n k k k R C i ;   11k kS i S      ; k k kS S R  ; 11k k kS i S R ; 1k k kS S A 1k k kA R i S ; k k kR A J (caso se tenha 1k ki S R ); 1 1min ; ;c d k k k k kJ R i S J i S ; Método Francês ou Tabela Price     1 1 1 n n n i i C R R a i i             ;     1 1 1 n n n i i i C R C ai            ;   1 1 1 n n i C i A C s i            1 1 1 ; 1,2, , k k A A i k n ; Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 C - - - 1 1 1S C A  1 n i C A s  1 1J i C R A    R 2 2 1 2S S A   2 11A i A   2 1 2J i S R A    R 3 3 2 3S S A   3 21A i A   3 2 3J i S R A    R : : : : : n 1 0n n nS S A     11n nA i A    1n n nJ i S R A    R Método Retrospectivo  1 2k k kS C A A A C A       ;     1 1 1 1 k k i k n n i i C s iA C s i i                 ;     1 1 1 1 1 k k n i S C i            Método Prospectivo      1 1 1 1 1 n k k n k n k n k i i i S R R R a ii i                             ; k kS S R ; Método de Recorrência       1 1 1 1 k k k k k i i S C i R C i R s i                  Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 116 FORMULÁRIO Juros Acumulados entre os períodos h e m 1 1 1 1 1 1 m h n i i J m h R C i Método Americano ou do “Sinking Fund” Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 C - - - 1 C - i C i C 2 C - i C i C      n-1 C - i C i C n 0 C i C i C C  Sinking Fund  1 1 n i q C i           ;  1 1 n i R C i q C i C i                 Método Alemão ou de Juros Antecipados Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 C 0J C i  C i 1 1 1C A S    1 1 1 n A R i     1 1J R A   1 1 n C i R i     2 1 2 2S A S    1 2 1 1 A A i   2 2J R A  R 3 2 3 3S A S    1 3 2 1 A A i   3 3J R A  R : : : : : n-1 2 1 1n n nS A S      1 1 2 1 n n A A i     1 1n nJ R A   R n 1 0n n nS A S      1 1 1 n n A A i    0n nJ R A     1 1 1 n n A R A i     Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 119 b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 120 d) SAC e) SAM (40% TP/ 60% SAC) Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 121 2) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, em parcelas mensais, com carência de um ano, de amortização e juros, à taxa de 12% a.a.c.m.. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização. a) Método Francês b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Constante e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução a) Método Francês Nota Nas planilhas, estamos mostrando, ao longo do prazo de diferimento (isto é, ao longo do prazo de carência de amortização e de juros), os juros devidos; que, por não terem sido pagos, implicam em acréscimo do saldo devedor. Ao longo do prazo de diferimento, os juros contábeis são nulos; passando a coincidir com os juros devidos após o prazo de diferimento. Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 124 d) SAC e) SAM (40% TP/ 60% SAC) Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 125 3) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, em parcelas mensais, com carência de um ano de amortização, à taxa de 12% a.a.c.m. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização. a) Método Francês b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Constante e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução Observando que, ao longo de todo o prazo de 24 meses, os juros contábeis coincidem com os juros devidos, temos: a) Método Francês Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 126 b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 129 4) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, em 24 parcelas mensais e 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, à taxa de 12% a.a.c.m. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização. a) Método Francês b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Constante e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução A taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%, é:     6 6 1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . .s mi i ou a s       a) Método Francês O valor da prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor:         24 4 24 4 1 0,01 1 1 0,06152 1 200000 20000 0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152 130938,4421 $ 6.163,727 21,243387                           m m R R R Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 130 b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. Neste caso, estamos considerando o pagamento das 4 semestrais, que podem ser entendidas como amortizações extraordinárias e o sinking fund para formar o saldo de R$ 120.000,00=200000-(4×20000). c) Método Alemão Primeiramente, devemos encontrar o valor que será pago pelas prestações mensais. Este valor será o valor financiado subtraído do valor presente das semestrais de R$ 20.000,00. Para tanto, iremos trabalhar com a correspondente taxa efetiva semestral. Como     6 6 1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . .      s mi i ou a s tem-se * *1 1 1 1 1 1 0,06555 6,555% . 1 1 1 0,06152            s s s s i i ou a s i i Podemos dividir o financiamento em duas partes. A primeira, Cs , a ser paga pelas parcelas semestrais e a segunda, Cm , pelas parcelas mensais. O valor de Cs pode ser obtido por:                   1 2 3 4 * * * * 1 2 3 4 20000 20000 20000 20000 1 1 1 1 1 1 20000 20000 20000 20000 1 0,06152 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555 1,06555 68429,95 $ 72.915,72                                 s s s s s s s s i C i i i i C C R Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 131 A planilha a seguir mostra o Quadro de Amortização da parte financiada pelas parcelas semestrais. Note que neste quadro as fórmulas utilizadas são as apresentadas no quadro esquemático da seção 9.4, apenas considerando o período como o semestre, e a taxa equivalente semestral. A segunda parte do financiamento será dada por: 200000 72915,72 $127.084,28 m C R   Logo, a prestação mensal deve ser de:   24 127084,28 0,01 $ 5.929,60 1 1 0,01 R R      A planilha a seguir é relativa ao financiamento da parte mensal. Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 134 Que consolidada é dada por: Nota Observe-se que o Quadro de Amortização acima apresenta cada elemento como dado por 40% do correspondente elemento do caso da Tabela Price, somado com 60% do correspondente elemento do caso do SAC. 5) Seja o caso de um empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., a ser amortizado segundo o método francês por meio de 10 prestações anuais, a primeira vencendo-se um ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª prestação, quanto terá de pagar? Resolva utilizando o método: a) Retrospectivo b) Prospectivo c) Recorrência Solução a) Método Retrospectivo O saldo devedor logo após o pagamento da 6ª prestação é dado por: Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 135     6 6 10 1 0,06 1 200000 1 $ 94.159,36 1 0,06 1 S R             Já o saldo devedor logo antes do pagamento da 6ª prestação é dado por:       5 6 10 1 0,06 1 200000 1 1 0,06 $121.332,96 1 0,06 1                S R b) Método Prospectivo Precisamos primeiramente encontrar a prestação a ser paga no financiamento, que é dada por:     10 10 0,06 1 0,06 200000 27173,59 1 0,06 1 R            Portanto, o saldo logo após o pagamento da 6ª prestação é:   6 10 6 1 1 0,06 27173,59 $ 94.159,36 0,06           S R E logo antes do pagamento da 6ª prestação é: 6 6 94159,36 27173,59 $121.332,95     S S R R c) Método de Recorrência Utilizando o valor da prestação calculada no item anterior, temos o saldo logo após o pagamento da 6ª prestação dado por:     6 6 6 1 0,06 1 200000 1 0,06 27173,59 $ 94.159,36 0,06 S R              E logo antes do pagamento da 6ª prestação é: 6 6 94159,36 27173,59 $121.332,95     S S R R 6) Seja o caso de um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros compostos de 12% a.a., a ser amortizado por meio de 10 prestações anuais, a primeira vencendo-se 1 ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª prestação, quanto terá de pagar? Resolva, sem construir o Quadro de Amortização, utilizando o método de amortização: a) SAC b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução a) SAC No caso do SAC a amortização do saldo é constante, e o saldo logo após o pagamento da 6ª prestação é: Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 136 6 100000 $10.000,00 100000 6 10000 $ 40.000,00 10 C A R S R n         ou alternativamente 6 6 100000 1 $ 40.000,00 10 S R          E o saldo logo antes    6 5 5 1 100000 1 1 0,12 $ 56.000,00 10 S S i R                b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)     10 6 12% 6 10 12% 0,4 6 100000 1 1 0,4 10 0,4 3,037349 100000 0,4 0,6 $ 45.502,51 5,650223 a S a R                                      10 5 12% 6 5 10 12% 0,4 5 1 100000 1 1 0,4 1 0,12 10 0,4 3,604776 100000 0,5 0,6 1 0,12 $ 62.181,87 5,650223 a S S i a R                                    7) O banco Epsilon, para operações de empréstimo com prazo de 4 meses, está efetuando cobrança antecipada de juros, à taxa de 4% a.m. Se desejar ganhar, em termos reais, a taxa de 4% a.m., que proporção  do empréstimo deverá reter a título de saldo médio, se estima que a taxa mensal de inflação seja: a) de 2% a.m.? b) de 3% a.m.? Solução Sendo i a taxa mensal cobrada pelo banco, para um empréstimo de curto prazo com n meses, o fluxo de caixa, a preços correntes, que descreve a operação, pode ser esquematicamente representado como: Assim, sendo I a taxa mensal de inflação, temos que, a preços da data do empréstimo, o fluxo de caixa é: Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 139 9) O banco Teta, para empréstimos com prazo de 2 meses, adota a seguinte sistemática:  Sendo E o valor do empréstimo solicitado, cobra juros antecipados, à taxa mensal i, pelos 2 meses (ou seja, retém a quantia 2J i E   );  retém a proporção E  do empréstimo, a título de composição de saldo médio;  no fim do primeiro mês, o tomador do financiamento deve pagar metade do valor solicitado, sendo simultaneamente liberada metade da exigência de saldo médio;  no fim do prazo de 2 meses, o tomador do empréstimo deve pagar a outra metade do valor emprestado, sendo simultaneamente liberada a segunda metade da exigência de saldo médio. Pede-se: a) especificar o fluxo de caixa que, do ponto de vista do banco Teta, caracteriza a operação; b) O valor da taxa efetiva mensal, se i = 3,5% a.m, 15%  e E = R$ 10.000,00; Solução a) Do ponto de vista do banco TETA, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é:       0 1 2 1 2 1 2 1 2 a E J E E i a E a E                     b) A taxa efetiva mensal i  , será tal que:           2* * 1 1 1 2 2 1 2 1 E E E i i i                 ou          2 * *2 4 2 1 1 1 1 0i i i            Sendo 3,5% . . e 15%i a m   e fazendo=se *1x i  tem-se:      2 2 2 4 0,035 2 0,15 1 0,15 1 0,15 0 1,56 0,85 0,85 0 x x ou x x             Resolvendo-se a equação do 2º grau temos:  2 1 2 0,85 0,85 4 1,56 0,85 1,0592610,85 6,0265 0,51442 1,56 3,12 x x x              Capitulo 9 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 140 Como *1x i  , só a primeira raiz é válida; ou seja, i*=5,9261%a.m. Considerando o valor do empréstimo, de R$ 10.000,00, o fluxo de caixa será:     0 1 2 10000 1 2 0,035 0,15 $7.800,00 10000 1 0,15 2 $4.250,00 a R a a R             b) Logo, fazendo uso da HP 12 C, tem-se: [f][REG]7800[g][CF0]4250[g][CFj][g][CFj][f][IRR]5,9261 Ou seja, o banco Teta estará cobrando a taxa efetiva de 5,9261% a.m. 10) Admita que o banco Teta, considerado no Exercício 9, esteja examinando mudar a sistemática de 2 pagamentos, para a de um único pagamento no final do prazo de 2 meses. Considerando i = 3,5% a.m, 15%  (a título de composição de saldo médio) e E = R$ 10.000,00, no caso de 2 pagamentos, e denotando por  a proporção de retenção no caso de pagamento final, determinar o valor de  de modo que se mantenha a taxa efetiva mensal de 5,9261% a.m. Solução Do ponto de vista do banco Teta, o fluxo de caixa que caracteriza a operação, com um único pagamento, é:     0 1 2 1 2 0 1 a E J E E i a a E                   A taxa efetiva mensal i  , será tal que:             2 * 2 * 1 2 * 1 1 1 2 1 , 0 1 2 0 1 21 1 1 1 2 E E i i para E e i ii i i                                 Logo 1 2 21 1 0,059261 1 1,059261 1 2 0,035 0,93 1 1,043492 1,122034 0,122034 0,043492 0,043492 0,356392 35,6392% 0,122034 ou                                  Ou seja, o banco Teta terá que subir a retenção para 35,6392%.