Catalogo eletrocalhas, Pesquisas de Engenharia Civil. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ)
Camila.Cunha
Camila.Cunha13 de Maio de 2016

Catalogo eletrocalhas, Pesquisas de Engenharia Civil. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ)

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UNISUAM MECÂNICA GERAL

Elaboração: Prof. Franco

Edição: Prof. Brisola

CAPÍTULO 1 – ESTÁTICA DAS PARTÍCULAS

1 – ESTÁTICA

É a parte da física que estuda o equilíbrio estático dos corpos. Ela é dividida em duas partes:

1) Estática das partículas ou do ponto material. 2) Estática do corpo rígido ou do corpo extenso.

2 – RESULTANTE DE DUAS FORÇAS

F1

F2

Vetorialmente:

R=F1F2

Regra do Polígono

F1

F2 R

α

F1

F2 R

α

α é Ângulos entre as forças F1 e F2

Regra do Paralelogramo

F1

F2 R

α

Pela lei dos cossenos:

R2=F1 2F2

22F1 F2 cos

R=F12F222F1 F2 cos

Se α = 0° → RMAX=F1F2 Se α = 180° → RMIN=F1−F2

RMIN R RMAX → F1−F2 R F1−F2

1

Lembrete 1: Soma e diferença de dois vetores.

a

b S

α D

S=ab

S=a2b22a bcos

D=a−b

S=a2b2−2a bcos

Lembrete 2: Lei dos senos.

b

a

c

B

A

C

sen A a =

sen B b =

sen C c

Exemplo: Calcule o módulo, a direção e o sentido da resultante das forças F1=5N e F2=3 N

Lei dos cossenos

R=F12F222F1 F2 cos60º

R=52322⋅5⋅3⋅12 R=25915

R=49

R=7N

Lei dos senos

sen  F2

= sen 120º R

sen = F2sen 120º

R

sen =3⋅sen 120º 7

sen =0,371153744

≈21,8 º

Resp: R=7N ∢21,8 º

2

F1

F2 R

60° 120° β

3 – COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA

Fx

Fy

θ

F

y

xO

F=FxFy

F=FxiFyj

F=Fx2Fy2

Fx=F cos

Fy=F sen

tg = Fy Fx

Exemplo: Calcule as componentes retangulares Fx e Fy da força F=100 N

Fx

Fy

30°

F

y

xO

Fx=F⋅cos 30º

Fx=100⋅ 3 2

Fx=503 N

Fy=F⋅sen 30º

Fy=100⋅ 1 2

Fy=50 N

4 – RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS

Calcula-se as resultantes sobre os eixos x Rx e y Ry e depois aplica-se o teorema de Pitágoras para determinar a reultante total R  .

3

y

x

F3 F2 F1

F5F4

O

y

xO ≡

R y R

R x

θ

R=RxRy R=Rx2Ry2

R=RxiRyj tg = Ry Rx

5 – EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA

Uma partícula está em equilíbrio, quando a resultante de todas as forças atuantes sobre ela é nula.

R=0 {Rx=0Ry=0 Exemplo:

Consideremos um caixote de 75 kg, ilustrado no diagrama a seguir. O caixote é suportado por um cabo vertical, unido em A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nas paredes laterais em B e C. Deseja-se determinar a tração em cada uma das cordas AB e AC.

(a) Diagrama espacial . (b) Diagrama de corpo livre. (c) Triângulo de forças.

P = mg = 75 kg9,81m /s2 = 736 N

TAB sen60 °

= TAC

sen 40° = 736N

sen 80°

TAB = 647 N TAC = 480 N

4

A

C

B

A

TAB

TAC

736 N 736 N TAC

TAB

40°

60° 80°

30° 50°

50° 30°

(a) (b) (c)

CAPÍTULO 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO

1 – MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO

O momento de uma força é a capacidade dessa força em fazer girar um corpo rígido. O momento de uma força F , em relação a um ponto O fixo, é o produto da intensidade da força F pela distância d (braço de alavanca) do ponto à reta suporte da força.

O momento de uma força tende sempre a causar um movimento de rotação do corpo sob a ação dessa força em torno do ponto O considerado.

F1 d1

d 2 F2

O

+

-

MO F1=F1 d1

MO F2=−F2d 2

Exemplo: Calcule o momento da força F=100 N em relação ao ponto A.

Fd

A B

20 cm = 0,2 m

30 °

MA=Fd

MA=F ABsen 30 °

MA=100⋅0,2⋅ 1 2

MA=10 N⋅m

A B

20 cm = 0,2 m

Fy

Fx

MA=Fy d

MA=Fsen 30 °d

MA=100⋅ 1 2 ⋅0,2

MA=10 N⋅m

2 – BINÁRIO OU CONJUGADO

Denomina-se binário ou conjugado o sistema formado por duas forças de mesma intensidade, mesma direção, sentidos opostos e aplicadas em pontos diferentes.

Um binário tende a produzir apenas uma rotação no corpo em que é aplicado e só pode ser equilibrado por outro binário, pois uma força sozinha que atuasse no corpo provocaria uma resultante R≠0 . A resultante de um binário é nula.

BINÁRIO R=0

5

3 – MOMENTO DE UM BINÁRIO

O momento de um binário é a soma algébrica dos momentos das forças que o costituem.

F

F

P

Q O

d1 d 2

d

MO=F d1−Fd 2

MO=Fd1−d2

MO=F d

Obs: O momento de um binário independe do ponto O.

Exemplo: Determinar o módulo do momento dos binários nas figuras. Dados: F=100 N e AB=2m

a) M=F d

M=100⋅2

M=200 Nm

b)

A

B

F

F

d

M=F d

M=F ABsen 60º

M=100⋅2⋅3 2

M=100 3 Nm

6

A B

F

F

Sentido de rotação

A B

F

F

d

4 – EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO

As condições necessárias e suficientes para que um corpo rígido se mantenha em equilíbrio são:

1a) A resultante de todas as forças que nele agem sejam nula.

R=0 {Rx=0Ry=0 Esta condição implica que o corpo não terá movimento de translação.

2a) A soma algébrica dos momentos de todas as forças que nele atuam, em relação ao mesmo ponto, seja nula.

MR=0

Esta condição implica que o corpo não terá movimento de rotação.

5 – GRAUS DE LIBERDADE

Quando um corpo rígido está sujeito a um sistema de forças, os movimentos possíveis são de translação e rotação.

Tanto a translação quanto a rotação não tem direção nem intensidade privilegiadas. Por comodidade, exprime-se a translação como a a resultante de translações segundo os eixos x, y e z e a rotação como a resultante das rotações segundo os eixos x, y e z. Diz-se , então, que um corpo rígido no espaço possui 6 graus de liberdade.

GRAUS DE LIBERDADE NO ESPAÇO {3 TRANLAÇÕES3 ROTAÇÕES GRAUS DE LIBERDADE NO PLANO {2TRANLAÇÕES1ROTAÇÃO 6 – VÍNCULOS

As ações e reações se transmitem de corpo a corpo por intermédio de vínculos. Sempre que houver restrição ao movimento de um corpo existe um vínculo.

7 – VÍNCULOS NOS SISTEMAS COPLANARES

7.1 – VÍNCULO DO 1º GÊNERO

Possui dois graus de liberdade. São os apoios simples ou apoios do 1o gênero.

Calcula-se uma força com direção conhecida.

7

P

VP

P HP

Exemplo:

ROLETE CURSOR

7.2 – VÍNCULO DO 2 º GÊNERO

Possui um grau de liberdade. São as articulações (rótulas) ou apoios do 2o gênero. Calcula-se duas forças perpendiculares, ou compondo-as, uma força com direção desconhecida.

P

VP

HP P RP

α

Exemplo:

ARTICULAÇÃO

7.3 – VÍNCULO DO 3 º GÊNERO

Não possui graus de liberdade. Impede qualquer movimento. São os engastamentos ou apoios fixos.

Calcula-se duas forças perpendiculares e um binário, ou compondo-as, uma força com direção desconhecida e um binário.

PHP

VP

MP P

MP

RP

α

8

Exemplo:

VIGA ENGASTADA

8 – TIPOS DE EQUILÍBRIO

8.1 – EQUILÍBRIO ESTÁVEL

O equilíbrio é estável quando os vínculos estão dispostos de maneira a não haver graus de liberdade.

8.2 – EQUILÍBRIO INSTÁVEL

O equilíbrio é instável quando os vínculos permitem qualquer grau de liberdade. Poderá haver equilíbrio, mas sob determinadas condições das cargas ou forças ativas.

Exemplo: Classificar os equilíbrios, nos casos abaixo.

a)

F1 F2

VA

A

VB

B

INSTÁVEL

b)

F1 F2

VA

A

VB

B HA

ESTÁVEL

c)

F1 F2

VA

A HA

MA

ESTÁVEL

d)

F1 F2

VA

A

VC

C HA

VB

B

ESTÁVEL COM VÍNCULOS ABUNDANTES B OU C PODE SER REMOVIDO

9

9 – TIPOS DE CARREGAMENTO

9.1 – CARGA CONCENTRADA

F1 F2

A B F3

9.2 – CARGA MOMENTO

A B

M

9.3 – CARGA RETANGULAR (UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA)

P = qd

A B

d d/2

q,w

9.4 – CARGA TRIANGULAR

P = (qd)/2

A B

d 2d/3

q,w

10

10 – MÉTODO GERAL PARA O CÁLCULO DE REAÇÕES NOS APOIOS

1o) Substituir os vínculos pelas reações de apoio correspondentes . 2o) Arbitrar um sentido para cada reação de apoio. 3o) Escrever as equações da estática. 4o) Conservar os sentidos das reações encontradas positivas e inverter as negativas

11 – TIPOS DE ESTRUTURAS

As estruturas serão classificadas pelo número de incógnitas e pelo número de equações.

11.1 – ESTRUTURA HIPOESTÁTICA

Número de incógnitas (reações) < Número de equações → Graus de liberdade ≠ 0.

11.2 – ESTRUTURA ISOSTÁTICA

Número de incógnitas (reações) = Número de equações → Graus de liberdade = 0.

11.3 – ESTRUTURA HIPERESTÁTICA

Número de incógnitas (reações) > Número de equações → Graus de liberdade = 0, com vínculos abundantes.

Vínculo Reação Número de incógnitas

Roletes Balancim Superfície lisa Força com direção conhecida

1

ou

α

Pino liso ou articulação Superfície áspera Força com direção desconhecida

2

ou

α

Apoio fixo ou engastamento Força e binário

3

11

CAPÍTULO 3 – CENTRO DE GRAVIDADE – CENTRÓIDES

1 – CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO BIDIMENSIONAL

Consideremos, inicialmente, uma placa horizontal conforme a da figura a seguir. Podemos dividir essa placa em n pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são x1 e y1, as do segundo elemento, x2 e y2 etc...As forças exercidas pela Terra sobre cada um dos elementos da placa são denominados ∆P1, ∆P2, ... , ∆Pn, respectivamente. Essas forças ou pesos estão orientadas em direção ao centro da Terra; porém, para todas as finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, por conseguinte, uma força na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos elementares.

∑ Fz : P=P1P2...Pn

∑My=x P=∑ x i Pi ∑Mx=y P=∑ y i Pi

Para obter as coordenadas x e y do ponto G, onde a resultante P deve ser aplicada, escrevemos que os momentos de P em relação os eixos x e y são iguais à soma de todos os momentos correspondentes dos pesos elementares  P i :

∑My : xP=x1 P1x2 P2xn Pn ∑Mx: y P=y1 P1y2 P2yn Pn

Se, agora, aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos, no limite, as seguintes expressões:

P=∫dP x P=∫xdP y P=∫ ydP 

Essas equações definem o peso P e as coordenadas x e y do baricentro G da placa plana. As mesmas equações poderiam ser deduzidas para um arame situado no plano xy da figura a seguir. Observaremos nesse caso que o baricentro G geralmente não estará sobre o arame.

12

P

z

x

O

y

G y

x

∆ P z

x

O

y

x

≡ i

y i

i

i

P

z

x

O

y

G y

x

∆ P z

x

O

y

x

≡ i

y i

i

i

∑My=x P=∑ x i Pi ∑Mx=y P=∑ y i Pi

2 – CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES E CURVAS

No caso de uma placa homogênea de espessura uniforme, o módulo ∆Pi do peso de um elemento i de placa pode ser expresso como:

 P i= t Ai

onde γ = peso específico (peso por unidade de volume) do material t = espessura da placa ∆Ai = área do elemento i

Analogamente, podemos exprimir o módulo P do peso da placa inteira na forma:

P= t A onde A é a área total da placa.

Em unidades SI, γ é expresso em N/m³ (newtons por metro cúbico), t em m (metros) e as área ∆Ai e A em (metros quadrados); os pesos ∆Pi e P serão então expressos em N (newtons).

Substituindo ∆Pi e P na equação de momentos  e dividindo por γt, podemos escrever:

∑My : xA=x1A1x2 A2xnA n ∑Mx : y A=y1A1y2A 2ynA n

Se aumentarmos o número de elementos em que a área A é dividida e diminuirmos, simultaneamente, o tamanho de cada elemento, obteremos, no limite, as seguintes expressões:

A=∫dA x A=∫xdA y A=∫ ydA 

Essas equações definem as coordenadas x e y do baricentro G de uma placa homogênea. O ponto de coordenadas x e y é também conhecido como centróide C da superfície A da placa (figura a seguir). Se a placa não for homogênea, essas equações não podem ser utilizadas para determinar o baricentro da placa; porém, definem ainda o centróide da superfície.

13

y

xO

C y

x

≡ yi i

A

y

xO

∆ Ax i

∑My=x A=∑ x iAi ∑Mx=y A=∑ y iA i

No caso de um arame homogêneo de seção transversal uniforme, o módulo do peso, ∆Pi, de um elemento i do arame pode ser expresso como:

 P i= a Li

onde γ = peso específico (peso por unidade de volume) do material a = área da seção transversal do arame ∆Li = comprimento do elemento i

O baricentro do arame coincide, então, com o centróide C da curva L definida pela forma do arame conforme a figura a seguir. As coordenadas x e y do centróide C da curva L são obtidas das equações:

L=∫dL x L=∫ xdL y L=∫ ydL 

y

xO

C y

x

≡ y

i

i

L

y

xO

∆ Lx i

∑My=x L=∑ x i Li ∑Mx=y L=∑ y i Li

3 – EIXOS DE SIMETRIA

Quando uma área A ou uma linha L possui um eixo de simetria, o centróide da área ou da linha está contido sobre esse eixo. Se o eixo y é de simetria, a coordenada x é nula ( x=0 ). Se o eixo x é de simetria, a coordenada y é nula ( y=0 ). Segue-se, ainda, que se a área A ou a linha L possuir dois eixos de simetria, o centróide deverá estar na interseção dos mesmos. Essa propriedade permite determinar imediatamente o centróide de superfícies como círculos, quadrados, retângulos, triângulos equilateros ou outras figuras simétricas.

14

x=d y=d

4 – CENTRÓIDE DA ÁREA DE UM RETÂNGULO

y

xO

C

x

y

b

h x'

y'

x= b 2 

y=h 2 A=b⋅h

5 – CENTRÓIDE DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO

y

xO

C

x

y

b

h x'

y'

x= 2 3

b y= 1 3

h A= b⋅h 2

15

y

xO

x y' y

xO

x' y

d

d

6 – CENTRÓIDE DA ÁREA DE UM SETOR CIRCULAR

x

y

xO C

R

R

α

− α

Por simetria y=0

x= 2Rsen 

3

A=R2 α em radianos

Para um semicírculo → =  2

C

y

xO

R

R x

Por simetria y=0

x= 4R 3

A=R 2

2

Para um 1/4 de círculo → =  4

C

y

xO

R

R x

y

x=y= 4R 3

A=R 2

4

7 – CENTRÓIDE DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

x

y

xO C

R

R

α

− α

Por simetria y=0

x= Rsen  

L=2R α em radianos

16

Para uma semicircunferência → =  2

C

y

xO

R

R x

Por simetria y=0

x= 2R 

L=R

Para um 1/4 de circunferência → =  4

C

y

xO

R

R x

y

x=y= 2R 

L=R 2

8 – Placas e Arames Compostos

Em muitos casos, uma placa pode ser dividida em retângulos, triângulos ou outrs formas usuais mostradas. A abscissa X de seu baricentro G pode ser determinada das abscissas x1 , x2 ,..., dos baricentros das várias partes, exprimindo que o momento do peso de toda placa em relação ao eixo y é igual à soma dos momentos dos pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo. A ordenada Y do baricentro da placa é obtida de maneira análoga, equacionando-se os momentod em relação ao eixo x.

∑My : XP1P2Pn=x1 P1x2 P2xn Pn ∑Mx: YP1P2Pn=y1 P1y2 P2yn Pn

Ou de forma compacta,

X∑ Pi=∑ x i Pi e Y∑ Pi=∑ yi P i 

Σ P

z

x

O

y

G Y

X

P

z

x

O

y

≡ 1

1

G

P

2

2

G

P

3

3

G

i Essas equações podem ser resolvidas obtendo-se as coordenadas X e Y do baricentro da placa.

17

Σ A

G Y

X

i

y

xO ≡

O x

y

C1

C2

C3

A2A1

A3

Se a placa é homogênea e de espessura constante, o baricentro coincide com o centróide C de sua superfície. A abscissa X do centróide da superfície pode ser determinado notando que o momento de primeira ordem Qy em relação ao eixo y, da superfície composta, pode ser expresso seja como o produto de X pela área total seja como a soma dos momentos de primeira ordem em relação ao eixo y das áreas elementares.

A ordenada Y do centróide é determinada de maneira análoga, a partir do momento de primeira ordem Qx da superfície composta:

Q y=XA1A2An=x1 A1x2 A2xn A n Qx=Y A1A2An=y1 A1y2 A2yn An

Ou de forma compacta:

Qy=X∑ Ai=∑ x i A i e Qx= Y∑ A i=∑ y i Ai 

Essas equações determinam os momentos de primeira ordem da superfície composta e também podem ser utilizadas para calcular as coordenadas X e Y de seu centróide.

Deve-se tomar cuidado para registrar o momento de cada superfície com o sinal apropriado. Momentos estáticos de superfícies, assim como os momentos de forças, podem ser positivos ou negativos. Por exemplo, uma superfície cujo centróide está localizado à esquerda do eixo y terá um momento estático negativo em relação a esse eixo. Também a superfície de um furo terá um sinal negativo.

Analogamente, em muitos casos, é possível determinar o baricentro de um arame composto ou o centróide de uma linha composta dividindo-se o arame ou a linha em elementos mais simples.

P

z

x

y

x

2

P3

P1

2

x3

x1

x

y

x2 x3

x1

A3A2A1

x A x A

A1 Semicírculo −  −

A2 Retângulo   

A3 Furo Circular  − −

18

Recapitulação e Sumário

Este capítulo foi principalmente dedicado à determinação do baricentro de um corpo rígido, isto é, à determinação do ponto G onde uma única força P, denominada peso do corpo, pode ser aplicada para representar o efeito da atração da Terra sobre o corpo.

Baricentro de um corpo bidimensional

Na primeira parte do capítulo consideramos corpos bidimensionais como placas e fios contidos no plano xy. Somando componentes na direção vertical z e momentos em relação aos eixos horizontais x e y, deduzimos as relações

P=∫dP x P=∫xdP y P=∫ ydP 

que definem o peso do corpo e as coordenadas x e y de seu baricentro.

Centróide de uma superfície ou de uma curva

No caso de uma placa homogênea de espessura uniforme, o baricentro G da placa coincide com o centróide C da superfície A da placa, cujas coordenadas são determinadas pelas equações

A=∫dA x A=∫xdA y A=∫ ydA 

Analogamente, a determinação do baricentro de um arame homogêneo plano de seção transversal uniforme reduz-se à determinação do centróide C da curva L definida pela forma do arame, temos então

L=∫dL x L=∫ xdL y L=∫ ydL 

Momentos de primeira ordem

As integrais das equações  são denominadas momentos de primeira ordem da superfície A em relação aos eixos y e x sendo representados por Qy e Qx, respectivamente. Temos

Qy=x A Qx=y A

Os momentos de primeira ordem de uma curva são definidos de maneira semelhante.

Propriedades de simetria

A determinação do centróide de uma superfície ou curva é simplificada quando a superfície ou a curva tem certas propriedades de simetria.

19

CAPÍTULO 4 – MOMENTO DE INÉRCIA

1 – MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA

Define-se momento de inércia de uma área dA em relação ao eixo x como o produto da área do elemento dA pelo quadrado da distância ao eixo considerado.

Dessa forma o momento de inércia de uma área A em relação ao eixo x será dado pela soma dos momentos de inércia de todos os elementos dA.

y

xO

y

x

A

dA dIx=y2 dA

dIy=x 2 dA

Ix=∫ y2 dA

Iy=∫x2 dA

2 – MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA RETANGULAR EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE COINCIDE COM UM LADO

y

xO

y

dy

b

h

Ix=∫ y2 dA

dA=b dy

Ix=∫ 0

h

y2 bdy

Ix=b∫ 0

h

y2 dy

Ix= by3

3 ∣0 h

Ix= bh3

3

Iy= hb3

3

20

3 – MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA TRIANGULAR EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE COINCIDE COM UM LADO

y

xO

y

dy

b

h

x'

x ' b = h−y

h

x '=b h−yh 

Ix=∫ y2 dA

dA=x 'dy

Ix=∫ 0

h

y2 x ' dy

Ix=∫ 0

h

y2 bh−yh dy

Ix= b h∫0

h

h−y y2 dy

Ix= b h  hy

3

3 −

y4

4 ∣0 h

Ix= b h  h

4

3 −

h4

4  Iy=

bh3

12

4 – MOMENTO POLAR DE INÉRCIA

Define-se momento polar de inércia de uma área A em relação a um ponto O a expressão

JO=∫ r 2 dA

y

xO

y

x

A

dA

r

mas r2=x2y2

JO=∫ x2y2 dA

JO=∫ x2 dA∫ y2 dA

como Ix=∫ y2 dA e Iy=∫x2 dA , teremos:

JO=IxIy

21

5 – MOMENTO POLAR DE INÉRCIA DE UMA ÁREA CIRCULAR

A

dA y

x u

du

R

JO=∫ u2 dA

dA=2 udu

JO=∫ u2 2 u du

JO=2∫ 0

R

u3du

JO=2 u 4

4 ∣0 R

JO=  R4

2

6 – MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA CIRCULAR EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE COINCIDE COM O DIÂMETRO

y

x

R

O

y

x

R

O

JO=IxIy

por simetria Ix=Iy logo,

JO=2 Ix

Ix= J0 2

Ix=Iy=  R4

4

JO=  R4

4 Ix=

R4

8

22

7 – TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

Seja Ix o momento de inércia de uma área A em relação ao eixo x e y a distância de um elemento dA ao eixo x. Assim temos que:

Ix=∫ y2 dA

Seja agora, o eixo x' baricêntrico paralelo ao eixo x e y' a distância do elemento de área dA ao eixo x'. desta forma, pode-se escrever:

Ix '=∫ y '2 dA

Sabendo que d é a distância entre o eixos x e x', temos:

y=y 'd Ou ainda:

Ix=∫y 'd 2dA

Elevando ao quadrado e separando em três integrais temos:

Ix=∫ y '2 dA∫ 2d y ' dA∫ d2 dA

Ix=∫ y '2dA Ix '

 2 d∫ y ' dA y ' A

 d2∫dA A

Como o baricentro da área A está localizado sobre o eixo x', temos que y '=0 , com isso:

Ix=Ix 'A d 2

O momento de inércia de uma área A em relação a um eixo qualquer x, é igual ao momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico x' paralelo ao eixo x, mais o produto da área A pelo quadrado da distância entre os dois eixos.

O teorema dos eixos paralelos também é válido para o momento polar de inércia.

J A=JCA d 2

JC ⇒ Momento polar de inércia da área A em relação ao baricentro C JA ⇒ Momento polar de inércia da área A em relação a um ponto A d ⇒ Distância entre os pontos A e C

23

y

xO

y A

dA

C x' d

y'

O'

8 – MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA CIRCULAR EM RELAÇÃO A UM EIXO TANGENTE

y

x' R

C

xO

d = R

Ix=Ix 'A d 2

Ix= R4

4 R2R2

Ix= R4

4 R4

Ix= 5R4

4

9 – MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA RETANGULAR EM RELAÇÃO A UM EIXO BARICÊNTRICO PARALELO A UM LADO

y

xO

d = h2

b

h x'

y'

C

Ix=Ix 'A d 2

Ix '=Ix−A d 2

Ix '= b h3

3 − b hh2

2

Ix '= b h3

3 − b h

3

4

Ix '= b h3

12

Iy '= h b3

12

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