Cinemática e Dinâmica das Rotações - Apostilas - Fisica, Notas de estudo de Física. Universidade do Estado do Amazonas (UEA)
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Brigadeiro6 de Março de 2013

Cinemática e Dinâmica das Rotações - Apostilas - Fisica, Notas de estudo de Física. Universidade do Estado do Amazonas (UEA)

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Apostilas e exercicios de Física sobre o estudo da Cinemática e Dinâmica das Rotações, movimento de um corpo rígido, rotação de um corpo rígido.
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Física Geral I - F -128 Aula 11 Cinemática e Dinâmica das Rotações

20 semestre, 2010

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Movimento de um corpo rígido

Vamos abandonar o modelo de partícula: passamos a levar em conta as dimensões do corpo, introduzindo o conceito de corpo rígido (CR): é aquele em que a distância entre quaisquer dois de seus pontos é constante. Sendo i e j dois pontos quaisquer de um CR: rij = cij

cij : constante característica do par (i, j)

O tipo mais geral de movimento de um CR é uma combinação de uma translação com uma rotação. Neste capítulo consideraremos apenas o caso de rotação de um CR em torno de um eixo fixo, como é o caso do movimento de roldanas, rotores, CDs, etc. Excluiremos, por exemplo, movimentos como o do Sol (não rígido) ou o de uma bola de boliche, cuja rotação se dá em torno de um eixo que não é fixo (rolamento).

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Rotação de um corpo rígido

z

Queremos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O eixo fixo é denominado eixo de rotação. Por conveniência, vamos tomar o eixo de rotação (fixo) como sendo o eixo z. O eixo de rotação não precisa ser um dos eixos de simetria do corpo.

x

y

θ

É conveniente escolher uma linha de referência (arbitrária) presa ao corpo, perpendicular ao eixo z, para definir as variáveis angulares em relação a ela.

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Variáveis rotacionais

a) Posição angular

A posição da linha de referência (fixa ao corpo) define o ângulo de rotação θ do corpo rígido em torno do eixo. θ é a posição angular do corpo rígido. O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita.

z

positivo negativo

θ

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Variáveis rotacionais

• Cada ponto do corpo rígido executa um movimento circular de raio r em torno do eixo. • distância percorrida pelo ponto:

z

s

r

s= r θ (θ em radianos )

θ

y

b) Deslocamento angular

• O deslocamento angular é definido como:

∆ θ =θ 2−θ 1

x

s

z r

Esta variável tem módulo ( ∆ θ ) , ˆ direção e sentido ( z ) a ela associados.

θ1

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y

θ2

ˆ Vetor ∆ θ z ?

x

∆θ

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Variáveis rotacionais

Não podemos associar um vetor a uma rotação, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece com as rotações.     Por exem ( A+ B = B + A ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes! O exemplo ao lado mostra duas rotações sucessivas de π /2 em torno dos eixos x e y nas duas ordens possíveis: o resultado final depende da ordem!

ˆ ˆ ˆ ˆ ∆ θ 1x + ∆ θ 2 y ≠ ∆ θ 2 y + ∆ θ 1x

Então:

ˆ ∆ θ z não é um vetor!

(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais).

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Variáveis rotacionais

c) Velocidade angular

Deslocamento angular:

∆ θ (t ) = θ (t + ∆ t ) − θ (t )

 ω

ˆ≡ ˆ z n

r

Velocidade angular (escalar) média

ω =

∆θ ∆t

Velocidade angular instantânea (vetor)

 ∆θ dθ ̂ ̂ ω = lim n= n ∆ t→ 0 ∆ t dt

θ (t )

y

∆ θ (t )

x

θ (t + ∆ t )

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A velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de um ponto particular nele situado.

ˆ Deslocamento angular em torno de n : θ (t 2 ) − θ (t1 ) = ∫ ω (t ′ ) dt ′

t1

t2

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Exemplo 1

Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo. A Terra completa uma revolução a cada 23h56min (dia sideral). O módulo da sua velocidade angular é

ω =

2π rad 6, 28 rad rad = = 7, 23 × 10− 5 dia 86160 s s

e a sua direção aponta para o norte ao longo do eixo de rotação, cujo período de precessão é de aproximadamente 26.000 anos (analisaremos a questão da precessão mais tarde).

ω

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Variáveis rotacionais

c) Aceleração angular

   ∆ ω = ω (t+ ∆ t ) − ω (t) Variação da velocidade angular   média ∆t   angular instantânea é um vetor paralelo a ω quando o eixo de rotação é fixo!

 α Velocidade angular em função de

t2

   ' ' ω (t 2 ) − ω (t1 ) = ∫ α (t ) dt

2

t

t

1

' ' ˆ na direção fixa ( n ): ω (t2 ) − ω (t1 ) = ∫ α (t )dt t1

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Cinemática angular

Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme. Vamos estudar agora o

Movimento circular uniformemente acelerado

Dadas as condições iniciais:

t1 = 0 e t 2 = t → θ (0) = θ 0 e ω (0) = ω 0

Temos, para α constante:

1 ω (t ) = ω 0 + α t ; θ (t ) = θ 0 + ω 0 t + α t 2 2 2 ω 2 = ω 0 + 2α (θ − θ 0 )

Comparando com as variáveis do movimento linear:

θ (t ) ↔ x (t ); ω (t ) ↔ v (t ); α (t ) ↔ a (t )

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Exemplo 2

3 Pião sujeito à aceleração angular α (t ) = at + bt Calcular ω (t ) e θ (t ).

Parâmetros: a = 5 rad/s5 e b = − 4 rad/s3 Condições iniciais: ω (0) = 5 rad/s e ϕ (0) = 2 rad

t4 t2 ω (t ) − ω (0) = ∫ (at ′ + bt ′ ) dt ′ = a + b 4 2 0

t 3

 t′ 4 t′ 2  t5 t3 θ (t )− θ (0) = ∫  ω (0)+ a + b  dt ′ = ω (0)t + a + b 4 2 20 6 0

t

Usando os valores numéricos:

t4 ω (t ) = 5 + 5 − 2t 2 (rad/s) 45 t t3 ϕ (t ) = 2 + 5t + − 2 (rad) 4 3

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Relação com as variáveis lineares

• Posição

s= r θ

• Velocidade

z ω 

r

 v

ds dθ v= = r = rω dt dt

 v é tangente à trajetória no ponto

considerado

x

θ

y

s

   v= ω × r

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Em módulo: v = ω r ⊥ neste caso)

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Relação com as variáveis lineares

• Aceleração

  dv d   a= = (ω × r ) = dt dt   dω   dr = ×r +ω × dt    dt

 α

z ˆ  ω

r

θ

 a aN t  

v

y ˆ

      ˆ a N = ω × v = ω × (ω × r ) =

   ˆ at = α × r = α r v

 at

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 aN

s

x ˆ

(em módulo: a t = α r )

aN = ω 2r) (em módulo:

ˆ v é o vetor unitário tangente à trajetória; ˆ r é o vetor unitário na direção que vai do eixo de rotação até a partícula (versor da direção radial)

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Exemplo 3

Velocidade e aceleração de um ponto na superfície da Terra a uma dada latitude θ (aproximação de esfera perfeita).

R = 6, 4 × 106 m e ω = 7, 2 enθ m / s v

 ω

Como a aceleração angular é nula:

 r θ

 aN

R

 v

  ˆ at = α r v = 0

A aceleração centrípeta é     − 2 senθ m / s 2 r

Nota: A 2a lei de Newton, para ser correta quando escrita em um referencial  acelerado (não inercial) com aceleração a0 precisa ser corrigida como:      F + F0 = m

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Peso aparente de um corpo de massa M

Na direção y : ( aN = − 3, 4 × 10− 2 sin θ m/s 2 ) ˆ

N − Mg = MaN sin θ = − 3, 4 × 10− 2 M sin 2 θ m/s 2 ou N = Mg − 3, 4 × 10− 2 M sin 2 θ m/s 2

 ω

 Fa

O peso aparente diminui à medida que nos aproximamos do Equador Força de atrito em um corpo de massa M

ˆ Na direção x :

Fa = MaN cos θ = − 3, 4 × 10− 2 M sin θ cos θ m/s 2

 aN

θ

y ˆ

R

 Mg 

 N

x ˆ

A força de atrito estático que mantém um objeto parado na superfície da Terra é máxima a 45 graus e aponta para o norte no hemisfério norte e para o sul no hemisfério sul.

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Assim, qualquer corpo sobre o qual não atua nenhuma força horizontal (com respeito à superfície da Terra) se desloca na direção do Equador (sul no hemisfério norte e norte no hemisfério sul)! ⇒ desvio diminuto de latitude dos corpos em queda livre na direção do Equador. ⇒ achatamento dos pólos ocorre pelo mesmo efeito e reduz o desvio mencionado (aparece uma pequena força horizontal)

Mg

N

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Energia Cinética de rotação

A energia cinética de um corpo em rotação é a soma:

K= 1 1 1 2 2 m1v12 + m2 v 2 + .... mn v n = 2 2 2 1 = ∑ mi vi2 2

 vi

No corpo em rotação, todos os pontos, exceto os radiais, têm mesma velocidade angular ω . Então:

K= ∑ 1 1 2 mi (ω ri ) = ( ∑ mi ri 2 )ω 2 2

2

A grandeza entre parênteses é definida como o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de rotação. Isto é: ou:

I=

∑mr

2

2

i i

1 K = Iω 2

(energia cinética de rotação)

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Cálculo do momento de inércia

No caso de partículas puntiformes, vimos:

I=

mi ri 2

 r

dm

No caso de uma distribuição contínua de massa:

I = ∫ r 2 dm ,

onde dm é uma massa infinitesimal, que pode ser a de um fio, a de uma superfície ou a de um volume:

 λ dl : em um fio  dm=  σ ds : em uma superfície  ρ

σ : densidade superficial de massa ρ : densidade volumétrica de massa

λ : densidade linear de massa

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Cálculos de momento de inércia

Exemplos:

a) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída

λ=

M M ⇒ dm= R dθ 2π R 2π R

M

dl= Rdθ

R

I = ∫ R 2 dm = ∫ R 2

0

M dθ = MR 2 2π

b) Disco de raio R e massa M (idem)

M M σ= ⇒ dm = σ dA = 2π r dr 2 2 πR πR

dr

4 R

dm

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R

r

dA= 2π r dr

2M 2M r I = ∫ r dm = ∫ r r dr = 2 R2 R 4 0

2 2

R

0

1 = MR 2 2

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