Coletânia de Exercicios de Probabilidade de Estatistica, Exercícios de Probabilidade
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Colectânea de exercícios de Probabilidades e Estatística

Departamento de Matemática – Secção de Estat́ıstica e Aplicações

Probabilidades e Estat́ıstica

EXERĆICIOS

Edição de Fevereiro de 2007

Formulário

P (X = x) =

(

n

x

)

px(1− p)n−x P (X = x) = e −λλx

x! P (X = x) = p(1− p)x−1

x = 0, 1, . . . , n x = 0, 1, . . . x = 1, 2, . . .

E(X) = np V ar(X) = np(1− p) E(X) = V ar(X) = λ E(X) = 1 p

V ar(X) = (1− p) p2

P (X = x) =

(

M

x

)(

N −M n− x

)/(

N

n

)

fX(x) = 1

b− a , a ≤ x ≤ b

x = max {0, n−N +M} , . . . ,min {n,M} E(X) = b+ a 2

V ar(X) = (b− a)2

12

E(X) = n M

N V ar(X) = n

M

N

N −M N

N − n N − 1

fX(x) = 1√ 2πσ2

exp

{

−(x− µ) 2

2σ2

}

, x ∈ IR fX(x) = λe−λx, x ≥ 0

E(X) = µ V ar(X) = σ2 E(X) = 1

λ V ar(X) =

1

λ2

X̄ − µ σ/ √ n ∼ N(0, 1) X̄ − µ

S/ √ n ∼ t(n−1)

(

X̄1 − X̄2 )

− (µ1 − µ2) √

σ2 1

n1 +

σ2 2

n2

∼ N(0, 1) X̄ − µ S/ √ n

a∼ N(0, 1) S2 = 1 n− 1

n ∑

i=1

(

Xi − X̄ )2

(

X̄1 − X̄2 )

− (µ1 − µ2) √

S2 1

n1 +

S2 2

n2

a∼ N(0, 1) (

X̄1 − X̄2 )

− (µ1 − µ2) √

(n1−1)S21+(n2−1)S 2

2

n1+n2−2

(

1 n1

+ 1 n2

)

∼ t(n1+n2−2)

(n− 1)S2 σ2

∼ χ2(n−1) k ∑

i=1

(Oi −Ei)2 Ei

a∼ χ2(k−β−1) r ∑

i=1

s ∑

j=1

(Oij − Eij)2 Eij

a∼ χ2(r−1)(s−1)

Yi = β0 + β1xi + εi β̂0 = Ȳ − β̂1x̄ β̂1 =

n ∑

i=1 xiYi − nx̄Ȳ

n ∑

i=1 x2i − nx̄2

σ̂2 = 1

n− 2 n ∑

i=1

(

Yi − Ŷi )2 , Ŷi = β̂0 + β̂1xi σ̂

2 = 1

n− 2

[(

n ∑

i=1

Y 2i − nȲ 2 )

− (

β̂1 )2 (

n ∑

i=1

x2i − nx̄2 )]

β̂0 − β0 √

(

1 n + x

2

x2 i −nx̄2

)

σ̂2 ∼ t(n−2)

β̂1 − β1 √

σ̂2 ∑

x2 i −nx̄2

∼ t(n−2)

(

β̂0 + β̂1x0 )

− (β0 + β1x0) √

(

1 n + (x̄−x0)

2

x2 i −nx̄2

)

σ̂2 ∼ t(n−2)

R2 =

(

n ∑

i=1 xiYi − nx̄Ȳ

)2

(

n ∑

i=1 x2i − nx̄2

)

× (

n ∑

i=1 Y 2i − nȲ 2

)

Caṕıtulo 1

Estat́ıstica descritiva

1.1 Uma escola avalia o seu curso através de um questionário com 50 perguntas sobre diversos aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta numa escala de 1 a 5, onde a maior nota significa melhor desempenho. Para cada aluno é então encontrada a nota média. Na última avaliação recorreu-se a uma amostra de 42 alunos, e os resultados estão em baixo.

4.2 2.7 4.6 2.5 3.3 4.7 4.0 2.4 3.9 1.2 4.1 4.0 3.1 2.4 3.8 3.8 1.8 4.5 2.7 2.2 3.7 2.2 4.4 2.8 2.3 1.9 3.6 3.9 2.3 3.4 3.3 1.8 3.5 4.1 2.2 3.0 4.1 3.4 3.2 2.2 3.0 2.8

(a) Proceda à organização dos dados construindo um quadro de frequências onde figurem as frequências absolutas, absolutas acumuladas e relativas acumuladas.

(b) Desenhe o respectivo histograma.

(c) Identifique as classes modal e mediana.

(d) Calcule a média e o desvio padrão usando os dados agrupados e também usando os dados não agrupados. Compare os resultados.

(e) Calcule a mediana e os 1o e 3o quartis.

1.2 Num estudo para analisar a capacidade de germinação de certo tipo de cereal foram semeadas cinco sementes em cada um dos vasos dum conjunto de vasos iguais, contendo o mesmo tipo de solo, e registou-se o número de sementes germinadas. Obtiveram-se os seguintes resultados:

no de sementes germinadas por vaso 0 1 2 3 4 5 no de vasos 16 32 89 137 98 25

(a) Calcule a média, a mediana e a moda do número de sementes germinadas.

(b) Represente graficamente os resultados.

(c) Calcule a proporção de vasos com mais de três sementes germinadas. (Teste 26 Jan 1995)

1

1.3 Realizou-se uma experiência com uma perfuradora hidráulica a fim de conhecer a sua capacidade de perfuração em estruturas rochosas. Para tal foi observada a profundidade (em polegadas) de perfuração em 10 locais, cujos dados se encontram abaixo:

10.6 10.7 10.1 10.9 10.8 10.2 11.0 10.3 10.5 10.9

Apresente três medidas de localização e de dispersão para os dados observados, interpretando-as e sugerindo qual a melhor, dentro de cada um dos grupos de me- didas.

1.4 As notas finais obtidas em 3 turmas na disciplina de Probabilidades e Estat́ıstica foram as seguintes:

Turma 1 2 3 no alunos 30 35 40 média 13 10 9 desvio padrão 2 2.2 2.1

(a) Calcule a média e o desvio padrão das notas obtidas no conjunto de todos os alunos.

(b) No final o professor entendeu alterar linearmente as notas de forma que a média e o desvio padrão das notas de todos os alunos fossem 12 e 2 respectivamente. Sabendo que um aluno da turma 1 obteve 10 valores, calcule a sua nota na nova escala adoptada pelo professor. (Exame 23 Jun 1992)

1.5 O departamento de pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do sector administrativo, tendo obtido os seguintes resultados.

Faixa salarial Frequência Relativa

[0, 2] 0.25 ]2, 4] 0.40 ]4, 6] 0.20 ]6, 10] 0.15

(a) Esboçe o histograma correspondente.

(b) Calcule aproximadamente a média, a variância e o desvio padrão dos salários.

(c) Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionários, haverá alteração na média dos salários? E na variância dos salários? Justifique.

(d) Responda à questão anterior para o caso de ser concedido um aumento de 2 unidades a todos os funcionários.

2

Caṕıtulo 2

Noções de probabilidade

2.1 Admita que um lote contém peças pesando 5, 10, 15, 20 g e que existem pelo menos 2 peças de cada peso. Retiram-se 2 peças do lote. Seja X o peso da 1a peça retirada e Y o peso da 2a peça retirada. Utilizando o plano xy marque:

(a) O espaço de resultados.

(b) O acontecimento A = {(x, y) : x = y}. (c) O acontecimento B = {(x, y) : y > x}. (d) O acontecimento C = “A 2a peça é duas vezes mais pesada do que a 1a ”.

(e) O acontecimento D = “A 1a peça pesa menos 10g do que a 2a ”.

(f) O acontecimento E = “O peso médio das duas peças é menor que 15 g”.

2.2 Sejam A e B acontecimentos tais que P (A)+P (B) = x e P (A∩B) = y. Determine em função de x e de y a probabilidade de:

(a) Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos.

(b) Que se realize um e um só dos dois acontecimentos.

(c) Que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos.

(d) Que se realize quanto muito um único acontecimento.

2.3 Mostre que:

(a) Se A e B são acontecimentos tais que A ⊂ B então P (A) ≤ P (B). (b) Para quaisquer acontecimentos C e D tem-se

P (C ∩D) ≤ P (C) ≤ P (C ∪D).

(c) P

( n⋃ i=1

Ai

) ≤

n∑ i=1

P (Ai), ∀n ∈ IN .

2.4 Uma colecção de 100 programas de computador foi examinada para detectar erros de “sintaxe”, “input/output” e de “outro tipo” diferente dos anteriores. Desses 100 programas, 20 tinham erros de “sintaxe”, 10 tinham erros de “input/output” e 5 tinham erros de “outro tipo”, 6 tinham erros de “sintaxe” e de “input/output”, 3 tin- ham erros de“sintaxe”e de“outro tipo”, 3 tinham erros de“input/output”e de“outro

3

tipo”e 2 tinham os três tipos de erros considerados. Um programa é seleccionado ao acaso desta colecção. Determine a probabilidade de que o programa seleccionado tenha:

(a) Exclusivamente erros de “sintaxe”.

(b) Pelo menos um dos três tipos de erros.

2.5 Num lançamento de um dado viciado, a probabilidade de ocorrer cada número ı́mpar é o dobro da probabilidade de ocorrer cada número par.

(a) Indique qual o espaço de resultados e calcule a probabilidade de cada acontec- imento elementar.

(b) Calcule a probabilidade de que o número de pontos obtido no lançamento do dado seja superior a 3.

(c) Calcule a probabilidade de que o número de pontos obtido no lançamento do dado seja um quadrado perfeito.

2.6 Uma lotaria tem 10000 bilhetes numerados de 0000 a 9999. O número do primeiro prémio é o número do bilhete sáıdo numa extracção ao acaso.

(a) Um jogador comprou um bilhete com o número 6789. Qual a probabilidade de lhe sair o primeiro prémio?

(b) Se o jogador comprar todos os bilhetes cujos números têm todos os algarismos iguais, qual a probabilidade de lhe sair o primeiro prémio?

(c) Qual a probabilidade do número premiado ter todos os algarismos diferentes? (Teste 26 Nov 1994)

2.7 Numa fila de espera de autocarro estão 4 homens, 3 mulheres e 2 crianças. Qual a probabilidade de:

(a) As pessoas, dentro de cada um daqueles três grupos, estarem de seguida?

(b) As 2 crianças estarem juntas?

2.8 Considere o lançamento de 3 dados perfeitos, sendo um branco, outro preto e outro verde. Determine a probabilidade de obter uma soma de pontos igual a 10.

2.9 De um grupo de 50 alunos do IST (10 alunos por ano) é escolhida ao acaso uma comissão coordenadora de 4 pessoas. Qual a probabilidade de:

(a) Ser escolhido um e um só aluno do 1o ano?

(b) Serem escolhidos um aluno (e só um) do 1o ano e um aluno (e só um) do 5o

ano?

(c) Serem escolhidos no máximo dois alunos do 1o ano?

(d) Serem todos do mesmo ano?

2.10 Um grupo de apostadores do totobola decidiu jogar todas as apostas posśıveis con- tendo 7 vitórias em casa, 4 empates e 2 vitórias fora. Calcule a probabilidade desse grupo ganhar o totobola.

4

2.11 Suponha que uma cidade tem n + 1 habitantes e que um deles conta um boato a outro, que por sua vez o repete a um terceiro, e assim sucessivamente. Em cada passo, a pessoa que ouve o boato é escolhida ao acaso de entre as n restantes. Determine a probabilidade de que um boato seja contado r vezes:

(a) Sem antes voltar a ser contado à pessoa que lhe deu ińıcio.

(b) Sem que ninguém o ouça mais do que uma vez.

2.12 Considere um dado equipamento que é constitúıdo por 10 tranśıstores dos quais dois são defeituosos. Suponha que dois tranśıstores são seleccionados ao acaso, com reposição.

(a) Escreva o espaço de resultados correspondente a esta experiência aleatória e calcule as respectivas probabilidades.

(b) Calcule as probabilidades dos seguintes acontecimentos:

A1 – Sair um tranśıstor defeituoso na 1 a tiragem.

A2 – Sair um tranśıstor defeituoso na 2 a tiragem.

A3 – Sair pelo menos um tranśıstor defeituoso.

A4 – Sair exactamente um tranśıstor defeituoso.

(c) Responda às mesmas questões de (a) e (b) mas agora considerando que não houve reposição.

2.13 Uma bolsa contém moedas de prata e cobre em igual número. Extrai-se ao acaso e sem reposição duas moedas. Calcule a probabilidade de que:

(a) A segunda moeda extráıda seja de prata, sabendo que a primeira era de cobre.

(b) Saia uma moeda de prata na 2a tiragem.

(c) Uma e uma só das moedas seja de prata.

(d) Pelo menos uma das moedas seja de cobre.

2.14 Uma urna contém 5 bolas brancas e 5 bolas pretas. Dois jogadores, A e B, tiram alternadamente e um de cada de vez uma bola da urna. O jogador que tirar a primeira bola branca ganha a partida.

(a) Considere a experiência aleatória associada a este jogo e escreva o correspon- dente espaço de resultados.

(b) Calcule a probabilidade de cada jogador ganhar a partida sabendo que o jogador A é o primeiro a tirar a bola de urna.

(c) Responda novamente às aĺıneas (a) e (b) mas agora considerando que as bolas são extráıdas com reposição.

2.15 Considere o seguinte troço de um circuito eléctrico

� �

� �

� �

r rA B1 2

3

5

e designe por Fi o acontecimento“o interruptor i está fechado”(i = 1, 2, 3). Suponha que F1 e F2 são independentes, com probabilidades iguais a 1/2 e que F3 tem uma probabilidade condicional de 1/8 quando os interruptores 1 e 2 estão fechados e uma probabilidade condicional de 1/10 quando apenas o interruptor 1 está fechado.

(a) Prove que F1 e F 2 são independentes.

(b) Calcule a probabilidade de o interruptor 2 estar fechado dado que há corrente entre os terminais A e B. (Exame 9 Jul 1994)

2.16 A execução de um projecto de construção de um edif́ıcio no tempo programado está relacionada com os seguintes acontecimentos:

E = “escavação executada a tempo”

F = “fundações executadas a tempo”

S = “superestrutura executada a tempo”

supostos independentes e com probabilidades iguais a, respectivamente, 0.8, 0.7 e 0.9. Calcule a probabilidade de:

(a) O edif́ıcio ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazos nas três actividades referidas.

(b) O prazo de execução ser cumprido para a escavação e não ser cumprido em pelo menos uma das outras actividades. (Exame 14 Mai 1994)

2.17 Um certo tipo de motor eléctrico quando avariado pode apresentar quatro tipos de falhas, denotadas por F1, F2, F3 e F4, cujas probabilidades de ocorrência são iguais. Seja A = {F1, F2}, B = {F1, F3}, C = {F1, F4} e D = {F2, F3}.

(a) Mostre que os acontecimentos A, B e C são independentes aos pares.

(b) Mostre que P (C|A ∩B) é diferente de P (C). (c) Comente a afirmação: “Como a ocorrência simultânea de C e D é imposśıvel,

C e D são necessariamente dependentes”. (Exame 22 Fev 1994)

2.18 Um geólogo crê que existe petróleo numa certa região com probabilidade 0.8 e que, caso haja petróleo, a probabilidade de sair petróleo na primeira perfuração é de 0.5.

(a) Qual a probabilidade de sair petróleo na primeira perfuração?

(b) Tendo-se procedido à primeira perfuração da qual não resultou petróleo, qual é a nova probabilidade atribúıda à existência de petróleo na região? (Exame 28 Jul 1994)

2.19 Suponha que 5% da população portuguesa sofre de hipertensão e que de entre estes, 75% ingerem bebidas alcoólicas. De entre os que não são hipertensos 50% ingerem bebidas alcoólicas.

(a) Qual a percentagem de pessoas que bebem álcool?

(b) Qual a percentagem de pessoas que bebendo álcool sofrem de hipertensão?

2.20 Para um certo tipo de cancro a taxa de prevalência (proporção de doentes na pop- ulação em geral) é 0.005. Um teste diagnóstico para esta doença é tal que:

6

– a probabilidade do teste resultar positivo quando aplicado a um indiv́ıduo com cancro (sensibilidade do teste) é 0.99;

– a probabilidade do teste resultar negativo quando o indiv́ıduo não tem cancro (especificidade do teste) é 0.95.

(a) Calcule o valor preditivo do teste, isto é, a probabilidade de um indiv́ıduo ter cancro sabendo que o teste resultou positivo.

(b) Supondo que o teste foi aplicado duas vezes consecutivas ao mesmo doente e que das duas vezes o resultado foi positivo, calcule a probabilidade do doente ter cancro (admita que, dado o estado do indiv́ıduo, os resultados do teste em sucessivas aplicações, em qualquer indiv́ıduo, são independentes). O que pode concluir quanto ao valor preditivo da aplicação do teste duas vezes consecuti- vas? (Teste 26 Nov 1994)

2.21 Um teste é constitúıdo por uma pergunta com n alternativas. O indiv́ıduo que o faz ou conhece a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de um indiv́ıduo conhecer a resposta. Admitindo que a probabilidade de um indiv́ıduo responder correctamente à questão dado que conhece a resposta é 1 e que a probabilidade de responder correctamente dado que responde ao acaso é 1/n:

(a) Verifique que a probabilidade de um indiv́ıduo não ter respondido ao acaso

dado que respondeu correctamente é np

1 + (n− 1)p .

(b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não responder cor- rectamente à questão, supondo n = 5 e p = 0.2.

2.22 Registos efectuados levaram a concluir que os motoristas que circulam em determi- nada estrada podem cometer dois e só dois tipos de transgressões ditas do tipo I e do tipo II, não se notando nenhum caso em que o motorista cometa ambas as trans- gressões. De entre 500 motoristas multados verificou-se serem 100 por transgressões do tipo I. Sabendo que 10% dos motoristas que cometem transgressões do tipo I são multados; que 1% cometem transgressões do tipo I e que 2% cometem transgressões do tipo II, calcule a probabilidade de que um motorista que circule nessa estrada e cometa uma transgressão do tipo II seja multado.

2.23 Um barco pesqueiro desapareceu e presume-se que o seu desaparecimento se deva a uma das três posśıveis causas:

C1 – afundou-se quando experimentava um sofisticado sistema de pesca para o qual não estava minimamente apetrechado;

C2 – foi sequestrado por transportar um carregamento de material nuclear;

C3 – foi destruido por um temporal.

Três brigadas de busca e salvamento, B1 , B2 e B3 foram enviadas com a missão de procurar o barco, investigando cada uma delas uma das causas (i.e. a brigada Bi investiga a causa Ci). Suponha que:

1) as três causas do desaparecimento são igualmente prováveis;

2) a probabilidade da brigada Bi ser bem sucedida quando de facto o barco desa- pareceu devido à causa Ci é αi (α1 = 0.1, α2 = 0.7, α3 = 0.8).

7

Sabendo que a investigação da brigada B2 resultou infrut́ıfera, calcule a probabili- dade:

(a) Do barco ter sido sequestrado.

(b) Do barco ter sido destruido por um temporal. (Exame 13 Jan 1992)

8

Caṕıtulo 3

Variáveis aleatórias e distribuições discretas

3.1 Uma caixa contém 6 iogurtes dos quais 2 estão estragados. Retiram-se ao acaso e sem reposição 3 iogurtes.

(a) i) Qual a probabilidade de obter quando muito um iogurte estragado?

ii) Se nas 3 extracções apenas houve um iogurte estragado, qual a probabili- dade de ter sido o segundo?

(b) Designe por X a variável aleatória que representa o número de iogurtes estra- gados nas 3 extracções. Determine:

i) A função de probabilidade de X.

ii) A função de distribuição de X.

iii) O valor esperado e a variância de X.

(c) Responda novamente às aĺıneas (a) e (b), mas agora admitindo que as 3 ex- tracções foram feitas com reposição.

3.2 Numa fábrica existem três máquinas iguais de uma mesma marca, que trabalham independentemente. A probabilidade de cada máquina avariar num dado espaço de tempo é 0.1. Seja X a variável aleatória que representa o número de máquinas que findo esse peŕıodo de tempo estão a trabalhar. Determine:

(a) A função de probabilidade de X.

(b) A função de distribuição de X.

(c) O valor esperado, moda, mediana e variância de X.

3.3 Considere a variável aleatória discreta X com a seguinte função de probabilidade:

P (X = x) =

{ ax , x = 1, 2, 3 0 , caso contrário

sendo a uma constante real.

(a) Determine a.

(b) Determine a função de distribuição de X.

9

(c) Calcule a moda, a mediana e o valor esperado de X.

3.4 Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:

P (X = x) =



(1 + 3c)/4 , x = 1 (1− c)/4 , x = 2 (1 + 2c)/4 , x = 3 (1− 4c)/4 , x = 4 0 , x 6= 1, 2, 3, 4

(a) Determine o valor de c.

(b) Calcule o valor esperado e a variância de X.

3.5 Considere uma experiência aleatória associada a 5 acontecimentos elementares ωi (i = 1, 2, 3, 4, 5) com as seguintes probabilidades:

i 1 2 3 4 5 ωi 0 1 2 3 4

P (ωi) 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1

Considere a variável aleatória, definida à custa dos acontecimentos elementares,

X(ωi) =

{ 2ωi , ωi ≥ 2 6ωi − 8 , ωi < 2

Determine o valor esperado de X e a probabilidade de X assumir um valor negativo.

3.6 Considere a variável aleatória discreta X com a seguinte função de distribuição:

FX(x) =



0 , x < 0 1/6 , 0 ≤ x < 2 1/4 , 2 ≤ x < 4 1/2 , 4 ≤ x < 6 1 , x ≥ 6

(a) Determine a função de probabilidade de X.

(b) Calcule:

i) P (X ≤ 1). ii) P (X > 5).

iii) P (0 < X ≤ 2). iv) P (2 ≤ X < 6).

3.7 Num armazém encontra-se um lote de 10000 latas de um certo produto alimentar que está a ser preparado para ser distribúıdo. 500 dessas latas já ultrapassaram o prazo de validade. É efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 15 embalagens escolhidas ao acaso com reposição. A inspecção rejeita o lote se forem encontradas mais do que duas latas fora do prazo de validade nessa amostra.

(a) Qual a probabilidade de rejeição do lote?

(b) Qual o número esperado de latas fora do prazo de validade?

(c) Suponha que as latas são inspeccionadas sucessivamente (com reposição) até ser encontrada uma fora do prazo de validade.

10

i) Qual a probabilidade de ser necessário inspeccionar 4 ou mais latas?

ii) Qual o número esperado de latas inspeccionadas?

3.8 Num lote de 500 peças existem 50 defeituosas. Desse lote retira-se ao acaso e com reposição uma amostra. O lote é rejeitado se tal amostra incluir mais do que duas peças defeituosas. Calcule:

(a) A probabilidade de rejeição do lote se a amostra tiver dimensão 10.

(b) A dimensão que a amostra deve ter para que a probabilidade de rejeição seja inferior a 0.05.

(c) Nas condições da aĺınea (a) e se existirem 100 lotes nas condições indicadas, qual o número esperado de lotes em que se pode esperar que haja rejeição?

3.9 2000 pessoas de entre as 60000 que constituem a população de uma cidade estão a assistir a um programa de televisão. Escreva a expressão que lhe permitiria calcu- lar a probabilidade exacta de que, entre 250 pessoas seleccionadas ao acaso e sem reposição da população da cidade, menos de 5 estejam a ver esse programa.

3.10 O número de part́ıculas emitidas por uma fonte radioactiva, num dado peŕıodo de tempo, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não ser emitida qualquer part́ıcula nesse peŕıodo de tempo é 1/3, calcule a probabilidade de que nesse peŕıodo de tempo a fonte emita pelo menos 2 part́ıculas.

3.11 Uma máquina electrónica de venda de chocolates e bebidas dá um lucro de 12 dezenas de euros por semana se não tiver avarias durante a semana. Se a máquina tiver x (x ≥ 1) avarias durante a semana o custo da reparação é de (x+1)2 dezenas de euros. Suponha que o número de avarias numa semana, X, é uma variável aleatória de Poisson de parâmetro λ = 3/2.

(a) Calcule a probabilidade de numa semana

i) não haver avarias.

ii) haver uma avaria, sabendo que de facto ocorreram avarias nessa semana.

(b) Determine, em dezenas de euros, o lucro esperado por semana.

3.12 Indique uma expressão que lhe permita calcular a probabilidade exacta de que pelo menos 2 pessoas de um grupo de 500 façam anos no dia de Natal (considere o ano com 365 dias). Obtenha um valor aproximado para esta probabilidade com base na distribuição de Poisson.

3.13 Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em média, 4 bolhas de ar espal- hadas aleatoriamente por 10m2 de placa. Sabendo que a distribuição do número de bolhas de ar pode ser modelada por uma distribuição de Poisson, calcule a proba- bilidade de:

(a) Uma placa de 2.5m × 2m ter mais de 2 bolhas de ar. (b) Obter, num lote de 10 placas de vidro com 1m × 2.5m, 6 placas perfeitas.

11

Caṕıtulo 4

Variáveis aleatórias e distribuições cont́ınuas

4.1 Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X com a seguinte função de densidade de probabilidade:

fX(x) =

 1 + k + x , −1 ≤ x < 0 1 + k − x , 0 ≤ x ≤ 1 0 , restantes valores de x

(a) Calcule o valor de k.

(b) Determine a função de distribuição de X.

(c) Calcule o valor esperado e a variância de X.

(d) Calcule a moda, a mediana e o 1o quartil de X.

(e) Calcule a probabilidade de que seja necessário extrair exactamente duas peças da produção da máquina para que apareça uma peça com um desvio positivo em relação à norma.

4.2 Seja Y = 100 X a variavel aleatória que representa a percentagem de álcool num certo composto, onde X é uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de probabilidade:

fX(x) =

{ 20 x3 (1− x) , 0 < x < 1 0 , caso contrário

(a) Determine a função de distribuição de X e esboce o seu gráfico.

(b) Calcule a probabilidade de X ser inferior a 2/3.

(c) Suponha que o preço de venda do composto depende do conteúdo em álcool: se 1/3 < X < 2/3 o preço é de C1 euros por litro; caso contrário o preço é de C2 < C1 euros por litro. Supondo o custo de produção igual a C3 euros por litro:

i) Calcule a função de distribuição do lucro ĺıquido por litro.

ii) Determine o valor esperado do lucro ĺıquido por litro.

12

4.3 Uma empresa vende peças cuja duração em centenas de horas é uma variável aleatória cont́ınua com a seguinte função de distribuição:

FX(x) =

{ 1− e−λx , x > 0 0 , caso contrário

A empresa dispõe de um stock de peças dos tipos A e B. Ao tipo A está associado um parâmetro λ = 1/2 e ao tipo B um parâmetro λ = 1. De um lote formado por 100 peças do tipo A e 50 peças do tipo B, retirou-se ao acaso uma peça, cuja duração foi ensaiada. Em relação ao resultado desse ensaio sabe-se apenas que a duração da peça foi inferior a 90h. Calcule a probabilidade de que a peça escolhida seja do tipo B.

4.4 Considere uma variável aleatória cont́ınua cuja função densidade de probabilidade é simétrica em relação ao seu valor esperado. Sabendo que E(X) = 10 e V (X) = 25 e que a variável aleatória Y se define por Y = β X − α com α, β > 0, determine:

(a) α e β de modo que o valor esperado de Y seja nulo e a variância de Y seja unitária.

(b) P (Y ≤ 0).

4.5 Uma certa liga metálica contém uma percentagem de chumbo X, que pode ser considerada como uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por

fX(x) =

{ 3 5 10−5x(100− x) , 0 ≤ x ≤ 100

0 , caso contrário

Suponha que L, o lucro ĺıquido obtido na venda desta liga (por unidade de peso), depende da percentagem de chumbo através da relação:

L = C1 + C2X

Calcule o valor esperado do lucro ĺıquido por unidade de peso.

4.6 A procura diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade:

fX(x) =

 (2x)/3 , 0 ≤ x < 1 −x/3 + 1 , 1 ≤ x ≤ 3 0 , restantes valores de x

(a) Qual a probabilidade da procura exceder 150 Kg de arroz num dia escolhido ao acaso?

(b) Calcule o valor esperado da procura diária de arroz, assim como uma medida da variabilidade dessa procura.

(c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada diariamente à disposição do público para que não falte arroz em 95% dos dias?

4.7 Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor esperado 10 e var- iância 4, que representa o comprimento de uma barra de ferro. Suponha que a barra é considerada não defeituosa se 8 ≤ X ≤ 12 e defeituosa caso contrário.

(a) Qual a probabilidade de que uma barra seja não defeituosa?

13

(b) Qual a probabilidade de que, em 10 barras escolhidas ao acaso e com reposição do fabrico diário, pelo menos 2 sejam defeituosas?

4.8 O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma variável aleatória normal com valor esperado µ (mm) e variância σ2 (mm2). Uma peça é defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 2.5 mm e 47.5% das peças produzidas têm comprimento entre 2.5 mm e 3.42 mm.

(a) Calcule µ e σ.

(b) Determine a probabilidade de que uma peça seja não defeituosa.

4.9 O tempo de vida de um laser tem distribuição normal com média igual a 7000 horas e desvio padrão igual a 600 horas.

(a) Qual é a probabilidade de um desses lasers falhar até 5300 horas?

(b) Qual é a duração que 90% desses lasers excede?

(c) Um produto inclui três lasers e falha se algum deles falhar. Se os tempos de vida dos três lasers forem independentes, qual é a probabilidade desse produto durar mais do que 7000 horas? (Teste B 13 Mai 2000 )

4.10 Uma componente electrónica tem uma duração de vida, em centenas de horas, que é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor esperado 0.5.

(a) Calcule a função de distribuição da variável aleatória X.

(b) Calcule a probabilidade de que a componente electrónica tenha uma duração de vida superior a 150h, sabendo que já funcionou pelo menos durante 100 h.

4.11 O número de mensagens electrónicas recebidas por dia (24h) numa pequena empresa de entregas rápidas tem distribuição de Poisson com média igual a 10.

(a) Calcule a probabilidade de num dia a empresa não receber mais do que 7 mensagens.

(b) Qual é a probabilidade do intervalo entre duas mensagens consecutivas exceder 1 hora? (Exame 5 Fev 2002 )

14

Caṕıtulo 5

Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos

5.1 Uma loja de electrodomésticos vende televisores da marca X e da marca Y . A função de probabilidade conjunta do número de televisores vendidos diariamente é a seguinte:

Y \X 0 1 2 0 0.12 0.25 0.13 1 0.05 0.30 0.01 2 0.03 0.10 0.01

(a) Calcule as funções de probabilidade marginais de X e de Y .

(b) Calcule a função de distribuição marginal de X.

(c) Calcule a probabilidade de que num dia a marca Y seja mais vendida do que a marca X.

(d) Determine o valor esperado e a variância do número total de televisores vendi- dos diariamente.

5.2 Durante um treino de basquetebol um jogador efectua três lançamentos da linha de lançamento livre. A probabilidade que ele tem de encestar em cada lançamento é de 0.6 e os lançamentos podem ser considerados independentes.

(a) Descreva o espaço de resultados.

(b) Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o jogador encesta nos dois primeiros lançamentos e Y a variável aleatória que representa o número de vezes que o jogador encesta nos dois últimos lançamentos.

i) Determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ).

ii) Determine as funções de probabilidade marginais de X e de Y .

5.3 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade con- junta dada por:

Y \X 1 2 3 1 1/9 0 1/18 2 0 1/3 1/9 3 1/9 1/6 1/9

15

(a) Determine:

i) A função de probabilidade marginal de X.

ii) A função de distribuição marginal de Y .

iii) P (X + Y ≤ 4). iv) As funções de probabilidade de X condicionais a Y = 1 e Y = 3.

v) E(X|Y = 1). (b) Defina E(X|Y ). (c) Diga, justificando, se X e Y são variáveis aleatórias independentes.

(d) Calcule a V (X + Y ).

5.4 Para ser admitido num certo curso um aluno tem que realizar duas provas, A e B, independentes. A classificação em cada uma das provas será de insuficiente (0), suficiente (1) ou bom (2). A probabilidade do aluno obter 0, 1 ou 2 nas provas A e B é apresentada em seguida:

Classificação Prova A Prova B 0 0.2 0.2 1 0.5 0.6 2 0.3 0.2

Considere o par aleatório (X, Y ) onde:

X =“diferença (em módulo) das classificações nas provas A e B”; Y =“soma das classificações das provas A e B”.

(a) Determine:

i) A função de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ).

ii) As funções de probabilidade marginais de X e de Y .

iii) A função de distribuição marginal de X.

iv) A função de probabilidade de X condicional a Y = 2.

(b) Diga, justificando, se X e Y são independentes.

(c) Calcule:

i) Todas as funções de probabilidade de Y condicionais a X.

ii) E(Y |X = 2) e V (Y |X = 2). iii) FY |X=0(y).

iv) P (Y = 2|X.Y = 0). v) P (X + Y ser ı́mpar).

5.5 A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y , é tal que:

P (X = x, Y = y) =

{ 1/10 , x = 1, 2, 3, 4, y = 1, 2, 3, 4 e y ≤ x 0 , caso contrário

(a) Calcule o coeficiente de correlação de X e Y e diga, justificando, se as variáveis aleatórias são ou não independentes.

(b) Calcule E(X|Y = 3).

16

5.6 Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta dada por:

X\Y -1 0 1 -1 0 1/4 0 0 1/4 0 1/4 1 0 1/4 0

Mostre que Cov(X, Y ) = 0 mas que X e Y não são independentes.

5.7 Considere o par aleatório (X, Y ) cuja função de probabilidade é

P (X = x, Y = y) =

{ p2−x−yqx+y , x, y = 0, 1, 0 < p < 1, q = 1− p 0 , caso contrário

(a) Calcule V (Z), onde Z = X + Y .

(b) Defina a variável aleatória E(X|Y ). (c) Apresente um exemplo dum par aleatório discreto (U, V ) com as mesmas

funções de probabilidade marginais que (X, Y ), mas tal que P (U = x, V = y) 6= P (X = x, Y = y). (Exame 23 Mar 1990)

5.8 A emissão de uma fonte radioactiva é tal que o número de part́ıculas emitidas em cada peŕıodo de 10 segundos, X, tem distribuição de Poisson com E(X2) = 6.

(a) Observada a emissão durante 7 peŕıodos consecutivos de 10 segundos, qual a probabilidade de, em pelo menos um desses peŕıodos, serem emitidas 4 ou mais part́ıculas?

(b) Um contador Geiger-Muller, que vai registando as emissões sucessivas, tem uma probabilidade 0.9 de registar cada part́ıcula que é emitida.

i) Sabendo que o número de part́ıculas registadas em x (x ≥ 1) part́ıculas emitidas por peŕıodo tem uma distribuição binomial, mostre que o número de part́ıculas registadas por peŕıodo tem uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0.9× 2.

ii) Determine o valor esperado e a mediana do número de part́ıculas registadas por peŕıodo. (Exame 22 Jul 1993)

5.9 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias cont́ınuas com função de densidade de prob- abilidade conjunta

fX,Y (x, y) =

{ 1/2 , −a ≤ x ≤ a, −a ≤ y ≤ a , a ∈ IR+ 0 , caso contrário

(a) Determine o valor de a.

(b) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique.

(c) Calcule a função de distribuição da variável aleatória Y .

5.10 Considere o par aleatório com densidade conjunta

fX,Y (x, y) =

{ 6(1− x− y) , 0 < y < 1− x , x > 0 0 , caso contrário

(a) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique.

17

(b) Calcule a função de distribuição da variável aleatória X.

(c) Determine fX|Y = y(x).

(d) Calcule P (X < 1/4|Y = 1/2). (e) Calcule P (X < 3/4|Y > 1/2).

5.11 Considere para origem do eixo do tempo o horário de partida de certo comboio e para unidade um intervalo de 10 minutos. Sejam X e Y o momento de chegada do passageiro à estação e o momento de partida do comboio, respectivamente. A função de densidade de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) é dada por

fX,Y (x, y) =

{ {1 + x(y − 1)[x2 − (y − 1)2]}/4 , |x| < 1 , 0 < y < 2 0 , caso contrário

(a) Calcule as funções de densidade de probabilidade marginais de X e de Y .

(b) Calcule a probabilidade de o passageiro apanhar o comboio.

5.12 Duas pessoas combinam encontrar-se entre as 14 e as 15 horas ficando entendido que nenhuma delas esperará mais do que 15 minutos pela outra. Assuma que iguais intervalos de tempo têm associadas iguais probabilidades de chegada. Qual a prob- abilidade de as duas pessoas se encontrarem?

5.13 Considere a variável aleatória bidimensional cont́ınua (X, Y ) com função densidade de probabilidade conjunta:

fX,Y (x, y) =

{ 2 , 0 < x < y < 1 0 , caso contrário

(a) Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y .

(b) Calcule a V (X|Y = y). (c) Verifique que E(X) = E[E(X|Y )].

5.14 O diâmetro interior de um tubo ciĺındrico é uma variável aleatória X com dis- tribuição normal de valor esperado 3 cm e desvio padrão 0.02 cm e a espessura Y do mesmo tubo é uma variável com distribuição normal de valor esperado 0.3 cm e desvio padrão 0.005 cm, independente de X.

(a) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do diâmetro exterior do tubo.

(b) Calcule a probabilidade de que o diâmetro exterior do tubo exceda 3.62 cm.

5.15 Um dos elevadores dum grande edif́ıcio público transporta, no máximo, 20 pessoas de cada vez. A carga máxima transportada pelo elevador é de 1300 Kg. Os utilizadores deste elevador pertencem a um largo estrato duma população em que se verificou que o peso duma pessoa é aproximadamente normal com valor esperado 61 Kg e desvio padrão 10 Kg.

(a) Calcule a probabilidade do peso destes 20 utilizadores exceder a carga máxima.

(b) Sabendo que estão 15 pessoas no elevador com um peso de 950 Kg e que se espera a entrada de mais 5 pessoas para completar a lotação e iniciar a viagem, determine a probabilidade do peso total destes 20 passageiros exceder a carga máxima.

18

(c) Qual a probabilidade de haver nas 20 pessoas, que em certo momento viajam no elevador,

i) quando muito 2 com peso superior a 85 Kg?

ii) pelo menos 1 com peso inferior a 40 Kg?

(d) Acha que, em face do tipo de população que utiliza o elevador, a carga máxima indicada é adequada? Explique a sua opinião. (Exame 7 Jun 1988)

5.16 Um posto de transformação permite uma carga total de 2800KW. Sabe-se que esse posto de transformação alimenta uma fábrica com consumo permanente de 2500KW e além disso o mesmo posto de transformação alimenta 100 consumidores domésticos. Estes gastam em média 2KW em electrodomésticos (sendo o desvio padrão igual a 0.5KW) e 0.5KW com a iluminação (sendo o desvio padrão de 0.25KW). Determine a probabilidade do transformador disparar por excesso de carga, admitindo que os vários tipo de consumos domésticos são independentes e normalmente distribúıdos. (Exame 10 Set 1993)

5.17 O número de itens dum certo tipo procurados num armazém durante uma semana segue uma distribuição de Poisson com λ = 50. Calcule a dimensão mı́nima do stock a adquirir de modo a que a probabilidade de satisfazer a procura seja de 98% (use a aproximação à normal).

5.18 Um atirador acerta num alvo com probabilidade 1/3. Numa sequência de 30 tiros calcule aproximadamente a probabilidade do atirador acertar pelo menos 15 vezes no alvo.

5.19 O tempo de produção de uma certa peça de porcelana é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor esperado 2 horas.

(a) Qual a probabilidade duma peça levar pelo menos 1h 45m a ser produzida?

(b) Verificando-se que em certo momento uma peça já está a ser produzida há 45m, qual a probabilidade de ser necessário esperar pelo menos 1h 45m para concluir a peça? Compare este resultado com o da aĺınea (a) e comente.

(c) Num dia em que a fábrica não tinha qualquer peça em stock foi aceite uma en- comenda de 100 peças, tendo a fábrica assumido o compromisso de fornecer as peças no prazo máximo de 30 dias (o que corresponde a 240 horas de trabalho). Acha que a fábrica tem boas possibilidades de cumprir o seu compromisso? Justifique.

(d) A fábrica mantém os registos do tempo de execução de cada peça. Seis peças foram escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de 4 delas terem sido execu- tadas no máximo em 1h 45m cada uma? (Exame 26 Nov 1994)

5.20 Um estudante decidiu amealhar diariamente uma pequena quantia para comprar uma bicicleta. As probabilidades do estudante amealhar 50, 100 e 250 cêntimos em cada dia são respectivamente 0.3, 0.6 e 0.1. Calcule, justificando, a probabilidade do estudante amealhar mais do que 350 euros durante o ano (365 dias).

5.21 O intervalo de tempo, em minutos, entre a passagem de dois comboios numa estação de metropolitano tem, em horas de ponta, distribuição uniforme no intervalo de (5, 15).

19

(a) Determine a probabilidade de se ter de esperar mais de 8 minutos entre dois comboios.

(b) Sabendo que o último comboio passou há oito minutos, qual é a probabilidade de se ter de esperar pelo menos mais cinco minutos pelo próximo comboio? Calcule o valor esperado desse tempo de espera adicional.

(c) Admitindo que os intervalos de tempo entre passagens sucessivas dos comboios são variáveis aleatórias independentes, calcule um valor aproximado para a probabilidade da média dos intervalos de tempo entre 100 passagens exceder 9 minutos. (Exame 19 Jan 2002 )

5.22 O tempo (em horas) que João Pestana dorme por noite é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (7,12).

(a) Calcule a probabilidade de João Pestana dormir mais de 11 horas numa noite.

(b) Calcule a probabilidade de, em 20 noites, João Pestana dormir mais de 11 horas em pelo menos 3 dessas noites.

(c) Qual a probabilidade de João Pestana dormir mais de 1100 horas em 100 noites?

20

Caṕıtulo 6

Amostragem e estimação pontual

6.1 Considere a população X com função densidade de probabilidade

f(x) =

{ |x|, |x| < 1 0, |x| ≥ 1

e a amostra aleatória (X1, . . . , X5).

(a) Diga o que entende por amostra aleatória. Determine a função densidade de probabilidade da amostra aleatória (X1, . . . , X5).

(b) Determine o valor esperado e a variância da média da amostra aleatória, e a variância da amostra (-0.9; 0.8; 0.95; -0.5; 0.75) que representa um valor particular de (X1, . . . , X5).

(c) Calcule a probabilidade do menor valor da amostra aleatória, considerada em (a), ser inferior a 1/7 e ainda a probabilidade do maior valor da amostra aleatória ser superior a 1/7.

6.2 (a) Mostre que se θ̂ é um estimador centrado do parâmetro θ e V (θ̂) > 0 então (θ̂)2 não é um estimador centrado de θ2.

(b) Se θ̂ é um estimador de θ, o seu enviesamento é dado por b = [E(θ̂)−θ]. Mostre que E[(θ̂ − θ)2] = V (θ̂) + b2.

6.3 Seja X1, a média de uma amostra aleatória de dimensão n extráıda de uma po- pulação normal de valor esperado µ e variância σ21 e X2 a média de uma amostra aleatória de dimensão n, independente da primeira, extráıda de uma população normal de valor esperado µ e variância σ22. Mostre que:

(a) [wX1 + (1− w)X2], em que 0 ≤ w ≤ 1, é um estimador centrado de µ. (b) A variância do estimador indicado em a) é mı́nima quando

w = σ22

σ21 + σ 2 2

6.4 Se (X1, X2, X3) constitui uma amostra aleatória de dimensão 3 extráıda de uma população normal com valor esperado µ e variância σ2, qual a eficiência de µ̂ = (X1 + 2X2 +X3)/4 relativamente a X?

21

6.5 Considere uma população X, com função densidade de probabilidade f(x) e valor desconhecido da mediana, ξ. A mediana da amostra aleatória X̃ é estimador centrado de ξ e o seu desvio padrão é aproximadamente [2

√ n f(ξ)]−1. Calcule a

eficiência relativa da média da amostra aleatóriaX em relação à mediana da amostra aleatória X̃, como estimadores do parâmetro µ,

(a) para o caso duma população normal com valor esperado µ e desvio padrão σ.

(b) para o caso da variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é:

f(x) = 1√ 2σ

e− √

2|x−µ σ |

em que µ e σ representam, respectivamente, o valor esperado e o desvio padrão.

(c) O que pode concluir, na sequência dos resultados obtidos em (a) e (b)? (Exame 13 Jul 1991)

6.6 T1 e T2 são estimadores de um parâmetro θ, tais que:

E(T1) = θ V (T1) = 9 E(T2) = 3θ V (T2) = 3

Diga, justificando, qual destes estimadores é melhor estimador de θ. (Exame 27 Jan 1992)

6.7 Considere uma urna com bolas brancas e pretas na proporção de 3/1 desconhecen- do-se, no entanto, qual a cor dominante. Seja p a probabilidade de sair uma bola preta numa extracção.

Qual a estimativa de máxima verosimilhança de p se, ao extráırmos com reposição 3 bolas da urna, encontrássemos

(a) 1 bola preta?

(b) 2 bolas pretas?

(c) Suponha agora que desconhećıamos qualquer relação entre o número de bolas brancas e pretas. Qual a estimativa de máxima verosimilhança de p, se ao extrairmos 3 bolas com reposição encontrássemos 2 bolas pretas?

6.8 Uma urna contém N bolas, umas brancas e outras pretas. Seja R a razão (descon- hecida) entre o número de bolas brancas e o número de bolas pretas. Supondo que dessa urna foram extráıdas, com reposição, n bolas e que se observaram k bolas brancas, determine a estimativa de máxima verosimilhança para R.

(Sugestão: exprima as probabilidades de extrair uma bola branca ou uma bola preta em termos de R).

6.9 Num trabalho de rotina de controlo de qualidade da produção duma fábrica de pneus foram analisados 4 lotes de 80 pneus cada, tendo-se obtido 2.5%,3.75%,5% e 6.25% de pneus defeituosos, respectivamente. Considere a distribuição do número de pneus defeituosos por lote e deduza o estimador de máxima verosimilhança da probabil- idade de um pneu ser defeituoso. Calcule a estimativa de máxima verosimilhança com base na amostra de 4 lotes.

6.10 O número de andares vendidos em cada dia por uma empresa imobiliária segue uma distribuição de Poisson de parâmetro λ .

22

(a) Com base numa amostra aleatória proveniente dessa população, deduza o esti- mador de máxima verosimilhança do parâmetro λ. Diga, justificando, se é ou não centrado.

(b) Indique um estimador centrado para a variância da variável aleatória em es- tudo.

(c) Sabendo que durante 20 dias consecutivos são vendidos 8 andares, calcule a estimativa da máxima verosimilhança de λ .

(d) Sabendo que durante 15 dias consecutivos não foram vendidos andares e que nos dois dias seguintes a empresa vendeu pelo menos um andar em cada dia, calcule a estimativa da máxima verosimilhança de λ .

6.11 Suponha que X é uma variável aleatória normal de valor esperado µ e desvio padrão σ = 2. Calcule a partir de uma amostra aleatória de dimensão n dessa população o estimador de máxima verosimilhança para µ. Será um estimador centrado?

6.12 Suponha que a voltagem que um cabo eléctrico com um certo isolamento pode suportar varia de acordo com uma distribuição Normal. Para uma amostra de 12 cabos as falhas ocorreram nos seguintes ńıveis de voltagem:

52 64 38 68 66 52 60 44 48 46 70 62

Determine as estimativas de máxima verosimilhança dos seguintes parâmetros: valor esperado, variância, desvio padrão, bem como da probabilidade de um cabo suportar ńıveis superiores a voltagem máxima registada na amostra acima.

6.13 A tensão de rotura de uma “amostra” de betão é uma variável aleatória X com valor esperado µ e variância σ2, finitos mas desconhecidos. Cem determinações independentes desta variável originaram os seguintes valores:

100∑ i=1

x2i = 5706 100∑ i=1

x2i − 1

100

( 100∑ i=1

xi

)2 = 81

(a) Justifique a afirmação: “A estat́ıstica T1 =

1 n2(n−1)

∑n i=1(nXi −

∑n j=1 Xj)

2 é um estimador centrado

para σ2 enquanto que o estimador T2 = 1 n3 ∑n

i=1(nXi − ∑n

j=1 Xj) 2 subestima,

em valor esperado, σ2, sendo centrado apenas assintoticamente”.

(b) Indique, justificando detalhadamente, qual dos dois estimadores T1 e T2 é o estimador de máxima verosimilhança de σ2, caso X possua uma distribuição normal. (Teste 25 Jun 1994)

6.14 Certo tipo de pilhas tem uma duração (em horas) que se distribui exponencialmente com valor esperado µ. A duração global de 10 pilhas tomadas aleatoriamente foi de 1740 horas. Qual a estimativa de máxima verosimilhança da probabilidade de uma pilha durar mais de 200 horas?

6.15 Tem sido sugerido que em certos locais e certas condições climatéricas, a altura X das ondas do mar segue aproximadamente a distribuição de Rayleigh cuja função densidade de probabilidade é

f(x;α) =

{ x α2 e−

1 2 ( x α

)2 , x ≥ 0 0, x < 0

(α > 0)

Relativamente a variável aleatóriaX sabe-se que E(X) = α √ π 2 e V (X) = (2−

π 2 )α

2.

23

(a) Suponha que se observaram ondas com as seguintes alturas (em metros):

1.4 3.5 2.4 1.9 3.1 2.7 2.5 3.1 4.1 2.8 2.5 3.3

Obtenha a estimativa de máxima verosimilhança do valor esperado e da var- iância de X.

(b) Faça um esboço gráfico da função densidade de probabilidade f(x; α̂) corre- spondente à população especificada pelas observações referidas em a). Marque

no eixo x os valores de α̂ e ̂E(X). Como se designa habitualmente o valor α̂? (Exame 12 Mar 1990)

6.16 Uma amostra aleatória de tamanho 5 é obtida de uma população normal com valor médio 12 e desvio padrão 2.

(a) Qual é a probabilidade de a média da amostra aleatória exceder 13?

(b) Qual é a probabilidade de o mı́nimo da amostra aleatória ser inferior a 10?

(c) Qual é a probabilidade de o máximo da amostra aleatória ser superior a 15?

6.17 Seja (X1, . . . , Xn) uma amostra aleatória de tamanho n proveniente da população X com distribuição U(0, 1). Calcule a probabilidade de X ser pelo menos 0.9.

6.18 Uma amostra de dimensão 40, (X1, . . . , X40), é extráıda duma população de Poisson com λ = 10. Recorra à distribuição normal para calcular um valor aproximado de P (X < 9).

6.19 Um processo de fabrico é delineado para produzir unidades com um máximo de 2% de defeituosas. A sua verificação é feita diariamente testando 10 unidades se- lecionadas aleatoriamente da produção diária. Se se encontrar pelo menos uma defeituosa, o processo é parado momentaneamente e examinado. Se a probabilidade de ser produzida uma unidade defeituosa é efectivamente 0.01:

(a) Qual a probabilidade de o processo ser interrompido?

(b) Qual a probabilidade de, num dado teste, não se obter nenhuma defeituosa?

(c) Qual o valor esperado e o desvio padrão da proporção de unidades defeituosas em amostras de 10 unidades?

6.20 Suponha que o diâmetro de um certo tipo de tubo tem uma distribuição Normal de valor médio µ e desvio padrão 0.01 cm.

(a) Qual a probabilidade de um tubo ter um diâmetro que se desvie do seu valor esperado de ± 0.02 cm?

(b) Em 1000 tubos produzidos, quantos esperaria rejeitar se os limites de especifi- cação fossem 2.77 ± 0.03 cm e o valor esperado da distribuição fosse de 2.79 cm?

(c) Qual o tamanho da amostra a obter para que não seja superior a 5% a proba- bilidade de a média da amostra aleatória diferir do valor esperado da população por mais de ± 0.01 cm?

24

Caṕıtulo 7

Estimação por intervalos

7.1 Medições do comprimento de 25 peças produzidas por uma máquina conduziram a uma média x = 140 mm. Admita que cada peça tem comprimento aleatório com distribuição normal de valor esperado µ e desvio padrão σ = 10 mm, e que o comprimento de cada peça é independente das restantes. Construa um intervalo de confiança a 95% para o valor esperado da população.

7.2 Admita que a densidade de construção, X, num projecto de urbanização tem dis- tribuição normal. Uma amostra aleatória de 50 lotes desse projecto conduziu a

50∑ i=1

xi = 227.2 ; 50∑ i=1

x2i = 2242.6

Assumindo que o desvio padrão de X é igual a 4, construa um intervalo de confiança a 95% para a densidade média de construção. Que dimensão deveria ter a amostra para que a amplitude desse intervalo fosse reduzida a metade? (Exame 19 Jan 2002 )

7.3 Foram efectuados estudos em Los Angeles com o objectivo de determinar a con- centração de monóxido de carbono perto de vias rápidas. Para isso recolheram-se amostras de ar, para as quais se determinou a respectiva concentração (usando um espectrómetro). Os resultados das medições em ppm (partes por milhão) foram os seguintes (para um peŕıodo de um ano):

102.2 98.4 104.1 101.0 102.2 100.4 98.6 88.2 78.8 83.0 84.7 94.8 105.1 106.2 111.2 108.3 105.2 103.2 99.0 98.8

Determine um intervalo de confiança a 95% para a concentração esperada de monóx- ido de carbono, assim como para a sua variância. Indique as hipóteses consideradas.

7.4 Suponha que a intensidade da corrente, em amperes, num certo circuito é uma variável aleatória com distribuição normal. Uma amostra de dimensão 12 desta variável aleatória conduziu aos seguintes resultados:

2.3 1.9 2.1 2.8 2.3 3.6 1.4 1.8 2.1 3.2 2.0 1.9

Construa um intervalo de confiança de 99% para:

(a) O valor esperado da intensidade da corrente.

25

(b) O desvio padrão da intensidade da corrente.

7.5 Um engenheiro civil, tencionando comparar a resistência a forças compressivas de dois tipos de betão, seleccionou aleatoriamente 10 elementos de cada tipo de betão e registou as seguintes medições.

Tipo I 3250 3268 4302 3184 3266 3297 3332 3502 3064 3116 Tipo II 3094 3268 4302 3184 3266 3124 3316 3212 3380 3018

Se se assumir que as amostras provêm de populações normais com desvio padrão igual a 353 e 133, respectivamente, determine um intervalo de confiança a 95% para a diferença entre os valores esperados das duas populações.

7.6 Um fabricante de cigarros enviou a dois laboratórios amostras de tabaco suposta- mente idênticas. Cada laboratório efectuou cinco determinações do conteúdo em nicotina (em mg). Os resultados foram os seguintes:

Laboratório 1 (x1) 24 27 26 21 24 Laboratório 2 (x2) 27 28 23 31 26

x̄1 = 24.4 x̄2 = 27.0 ∑ i x21i = 2998

∑ i x22i = 3679

Admite-se que os resultados de cada laboratório seguem distribuições normais inde- pendentes com variância comum. Determine um intervalo de confiança a 99% para a diferença das médias entre os resultados fornecidos pelos dois laboratórios. Acha que se pode concluir que as médias das duas populações são iguais? (Exame 5 Fev 2002 )

7.7 Para comparar a eficiência de dois métodos de ensino, uma turma de 24 alunos foi dividida aleatoriamente em dois grupos. Cada grupo é ensinado de acordo com um método diferente. Os resultados no fim de semestre, numa escala de 0 a 100, são os seguintes:

1o grupo n1 = 13 x1 = 74.5 s 2 1 = 82.6

2o grupo n2 = 11 x2 = 71.8 s 2 2 = 112.6

Assumindo que as populações são normais e com variâncias iguais e desconhecidas obtenha um intervalo de confiança a 95% para a diferença entre os valores esperados das duas populações. (Teste 1 Fev 1996)

7.8 Para estimar a diferença de tempos esperados de vida entre fumadores e não fu- madores, numa grande cidade dos E.U.A., foram recolhidos duas amostras indepen- dentes de, respectivamente, 36 não fumadores e 44 fumadores tendo-se obtido os seguintes resultados:

Dimensão Média Desvio padrão corrigido

Não fumadores 36 72 9 Fumadores 44 62 11

Calcule um intervalo de confiança a 90% para a diferença dos valores esperados dos tempos de vida.

26

7.9 Uma amostra de 100 peças de uma linha de produção revelou 17 peças defeituosas.

(a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a verdadeira proporção p de peças defeituosas produzidas.

(b) Quantas peças adicionais devemos recolher para estarmos confiantes a 98% que o erro de estimação de p seja menor que 2%?

7.10 Num trabalho realizado há já algum tempo concluiu-se que 62% dos passageiros que entram na estação A do metro tem como destino o centro da cidade. Esse valor tem vindo a ser utilizado em todos os estudos de transportes realizados deste então.

O Engenheiro Vivaço começou a ter dúvidas sobre a actualidade daquele valor, acreditando que ele tem vindo a diminuir, acompanhando o decĺınio do centro. Resolveu, portanto, realizar um inquérito na estação A, tendo sido inquiridos 240 passageiros dos quais 126 indicaram o centro como destino.

(a) Com base nestes resultados construa um intervalo de confiança a 90% para a percentagem de passageiros entrados em A e que saiem no centro, e interpre- te-o, admitindo que tem como interlocutor um leigo em Estat́ıstica.

(b) Quantos passageiros deveriam ser inquiridos caso se pretendesse estimar aquela percentagem com margem de erro não superior a 2% e com um grau de confi- ança de pelo menos 90%? (Exame 22 Jul 1993)

7.11 Estudos efectuados ao longo do tempo pela secção de Controlo de Qualidade de uma dada empresa permitiram constatar que o número de artigos defeituosos (isto é, fora dos padrões de especificação) produzidos por lote é bem modelado por uma distribuição de Poisson com um valor esperado λ, que tem girado em torno de 80%.

Tendo-se criado uma certa desconfiança quanto ao funcionamento adequado do pro- cesso de produção, a secção verificou 465 lotes idênticos de artigos, com os seguintes resultados:

no de artigos defeituosos por lote 0 1 2 3 4 5 no de lotes 216 156 71 15 5 2

(a) Derive o estimador de máxima verosimilhança de λ, T , e o estimador de máxima verosimilhança da probabilidade de o número de artigos defeituosos por lote não ser superior a 1.

(b) Indique, justificando, a distribuição amostral aproximada de T e, com base nela, construa um intervalo de confiança a 90% para λ. (Exame 9 Jul 1994)

7.12 Considere uma população X com distribuição exponencial com valor esperado α−1, α > 0, isto é, com função densidade de probabilidade

f(x) =

{ αe−αx, x > 0 0, x ≤ 0

Observada uma amostra de dimensão 100 obteve-se x = 2.5. Deduza, com base nesta amostra, um intervalo de confiança a 95% para o parâmetro α. (Exame 25 Jul 1988)

27

Caṕıtulo 8

Testes de hipóteses

8.1 Seja X ∼ N (µ, 4). Para testar a hipótese H0 : µ = 1 contra a alternativa H1 : µ = 2 usa-se a seguinte região cŕıtica: x > c.

(a) Para uma amostra de dimensão 25 determine c de modo que α = 0.1.

(b) Determine a dimensão da amostra n e c de modo que α = 0.05 e β = 0.10.

(c) Suponha que para amostras de dimensão 2 dessa população se fixa o seguinte teste: rejeita-se H0 se x > 1.5. Calcule as probabilidades dos erros de 1

a e 2a

espécie.

8.2 Uma fábrica de adubos tem um novo adubo que se diz produzir, em valor esperado, 20 quintais de um determinado cereal por hectare. O desvio padrão da produção deste cereal é conhecido como sendo de 4 quintais por hectare.

Para testar a hipótese H0 : µ = 20 contra a hipótese H1 : µ 6= 20 é extráıda uma amostra aleatória de 16 hectares numa área agŕıcola experimental. Considerando que a produção do cereal pode ser representada por uma variável aleatória X, nor- malmente distŕıbuida de valor esperado µ e que, se 18 < x < 22 aceita-se H0 e caso contrário rejeita-se H0:

(a) Identifique a estat́ıstica do teste.

(b) Calcule a probabilidade de aceitar H0 quando µ = 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23.

(c) Com base nos resultados de (b) faça um gráfico aproximado da função potência do teste.

Note que a função potência do teste, para testar a hipótese H0 contra uma hipótese alternativa H1, referente a um dado parâmetro θ é dada pela seguinte função de θ: β(θ) = P (rejeitar H0|θ)

8.3 Para controlar a qualidade de lotes que vão sendo produzidos relativamente ao peso das embalagens decidiu-se usar o seguinte esquema: recolher uma amostra de dimensão n de cada lote, e calcular a média amostral x dos pesos das embalagens e:

se x ≤ c rejeita-se o lote se x > c aceita-se o lote

Acordou-se ainda que se o valor esperado do peso das embalagens no lote (µ) for inferior ou igual a 5.3, a probabilidade de rejeitar o lote deve ser pelo menos 99% e

28

se µ for superior ou igual a 5.5 a probabilidade de aceitar o lote deve ser pelo menos 90%. Admita que os pesos das embalagens têm distribuição normal com desvio padrão, em cada lote, igual a 0.2.

Calcule o valor de c e o menor valor de n requerido por este esquema de amostragem. Justifique. (Exame 25 Jul 1991)

8.4 Para testar a hipótese H0 : p = 1/2 contra H1 : p = 3/4 (p é a probabilidade de obter cara no lançamento duma moeda), com base no número de caras sáıdas com o lançamento de uma moeda 4 vezes consecutivas, consideram-se as seguintes regiões cŕıticas:

C1 = { 2, 3, 4 } C2 = { 3, 4 } C3 = { 4 }

Calcule, com base nos valores da tabela seguinte, as probabilidades dos erros de 1a e 2a espécie associados a cada uma das regiões cŕıticas.

Caras sáıdas H0 : p = 1/2 H1 : p = 3/4 0 0.0625 0.0039 1 0.2500 0.0469 2 0.3750 0.2109 3 0.2500 0.4219 4 0.0625 0.3164

Escolha justificando, uma região cŕıtica para definir o teste. (Exame 6 Fev 1991)

8.5 Da produção diária de determinado fertilizante tiraram-se seis pequenas porções que se analisaram para calcular a percentagem de nitrogénio. Os resultados foram os seguintes:

6.2 5.7 5.8 5.8 6.1 5.9

Sabe-se, por experiência, que o processo de análise fornece valores com distribuição que se pode considerar normal com σ2 = 0.25.

(a) Suportam as observações a garantia de que a percentagem esperada de ni- trogénio, µ, é igual a 6% ao ńıvel de significância de 10%?

(b) Responda à aĺınea anterior usando o valor-p.

8.6 Uma máquina de ensacar açúcar está regulada para encher sacos de 16 quilos. Para controlar o funcionamento escolheram-se ao acaso 15 sacos da produção de deter- minado peŕıodo, tendo-se obtido os pesos seguintes:

16.1 15.8 15.9 16.1 15.8 16.2 16.0 15.9 16.0 15.7 15.8 15.7 16.0 16.0 15.8

Admitindo que o peso de cada saco possui distribuição normal:

a) Que conclusão pode tirar sobre a regulação da máquina?

b) Que evidência fornece a concretização de S2 sobre a hipótese H0 : σ 2 = 0.25?

29

8.7 Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor esperado µ e desvio padrão σ. A partir de uma amostra de dimensão 30 dessa variável obtiveram-se os seguintes resultados:

30∑ i=1

xi = 64.0 30∑ i=1

(xi − x)2 = 84.8

Teste ao ńıvel de significância de 5% a hipótese H0 : µ = 2.0 contra a hipótese alternativa H1 : µ > 2.0.

8.8 Um ensaio de rotura a compressão efectuado sobre 12 provetes cúbicos de betão conduziu aos seguintes valores da tensão de rotura (kgf/cm2).

263 254 261 236 228 253 249 262 250 252 257 258

Admita (como aliás é feito no Regulamento de Betões de Ligantes Hidráulicos) que a variável em estudo segue uma distribuição normal.

(a) Um engenheiro pretende saber se a tensão esperada de rotura não é inferior a 255 kgf/cm2. Que evidência fornecem os dados acerca desta questão se se admitir um ńıvel de significância menor ou igual a 5%? Justifique.

(b) Sabendo que o valor caracteŕıstico da tensão de rotura se define como o valor da variável que tem uma probabilidade de 95% de ser excedido, calcule uma es- timativa do valor caracteŕıstico da tensão de rotura daquele betão, justificando o procedimento adoptado. (Exame 13 Jan 1993)

8.9 A cotação na bolsa de uma dada empresa está sujeita a flutuações em torno de um valor médio (2500) relativamente estável. Admite-se que a cotação desta empresa pode ser considerada uma variável aleatória com distribuição aproximadamente nor- mal. O valor que se admite para a variância é tal que há 95% de probabilidade de a cotação pertencer ao intervalo (2300,2700).

(a) Observou-se durante 16 dias as cotações da empresa e obteve-se a média amostral de 2538 e um desvio padrão amostral corrigido de 91.5. Que conclusão pode tirar acerca da variabilidade da cotação dessa empresa?

(b) Após um peŕıodo de remodelação da empresa observaram-se durante 13 dias a sua cotaçao na bolsa e obteve-se a média amostral de 2670 e o desvio padrão amostral corrigido igual a 86.3. Será que pode concluir pela eficácia das medi- das introduzidas?

8.10 Dois alunos de estat́ıstica decidiram fazer uma aposta relativamente à nota da dis- ciplina de Probabilidades e Estat́ıstica. O aluno A acredita que o valor esperado da nota é 8 e o aluno B afirma que será 10. Para decidir qual o vencedor fizeram um teste ao valor proposto pelo aluno A. Admitindo que A perde a aposta se a sua hipótese for rejeitada, selecionaram ao acaso 30 notas de Probabilidades e Estat́ıs- tica (x1, . . . , x30) e verificaram que

∑30 i=1 xi = 270. Acrescente-se que a variância

divulgada pela secção de Estat́ıstica e Aplicações foi 16 e os alunos acordaram um ńıvel de significância de 5%.

(a) Quem ganhou a aposta?

30

(b) Acha que a aposta foi justa (no sentido da probabilidade de cada um dos jogadores perder injustamente ser igual)? Identifique essas probabilidades.

8.11 O departamento de segurança de uma fábrica quer saber se o tempo esperado que o empregado nocturno da segurança leva a dar uma volta a fábrica é de 30 minutos. Em 32 voltas a média do tempo foi de 30.8 minutos com um desvio padrão corrigido de s = 1.5 minutos. Diga se, ao ńıvel de significância de 1%, é de admitir a hipótese considerada.

8.12 Um mesmo tipo de material (em relação ao qual a temperatura de fusão é impor- tante) pode ser adquirido a dois fabricantes (A e B). Uma amostra de 21 observações da temperatura de fusão de material de cada fabricante produziu os seguintes val- ores:

fabricante A B média (oC) 420 426

É sabido que o desvio padrão das temperaturas de fusão do material fornecido pelos dois fabricantes é de 4oC.

(a) Acha que a temperatura esperada de fusão do material fornecido pelos dois fabricantes pode ser considerada igual? Use um teste de hipóteses conveniente e um ńıvel de significância de 1%, não se esquecendo de indicar alguma hipótese de trabalho que seja necessária.

(b) Determine a probabilidade de o teste da aĺınea (a) detectar diferença entre as temperaturas esperadas de fusão do material produzido pelos fabricantes B e A quando existe uma diferença de +3oC entre essas temperaturas. (Exame A 29 Jan 2000 )

8.13 Para confrontar dois tipos de máquina de ceifar (segadeiras) um trigal foi dividido em secções longitudinais e cada duas secções adjacentes tratadas por cada uma das máquinas, sendo a indicação da máquina obtida lançando uma moeda ao ar. As produtividades foram as seguintes:

Segadeira 1 8.0 8.4 8.0 6.4 8.6 7.7 7.7 5.6 6.2 Segadeira 2 5.6 7.4 7.3 6.4 7.5 6.1 6.6 6.0 5.5

Ao agricultor que experimenta as segadeiras interessa averiguar se a produtividade esperada das duas máquinas se pode considerar igual ou se existe diferença signi- ficativa que o leve a preferir uma delas.

Responda a esta questão admitindo que as produtividades possuem distribuição normal com:

(a) As variâncias conhecidas e iguais a 1.13 e 0.62, respectivamente.

(b) As variâncias iguais com valor comum desconhecido.

8.14 Um fabricante de pneus pretende comparar, através de ensaios piloto, 2 métodos de produção dos pneus. Selecionados 10 e 8 pneus produzidos, respectivamente segundo o 1o e 2o métodos, resolve-se testá-los. Os pneus da 1a amostra foram testados numa zona A, os da 2a numa zona B, com as durações (em unidades de 100 km):

31

Amostra 1 61.1 58.2 62.3 64 59.7 66.2 57.8 61.1 62 63.6 Amostra 2 62.2 56.6 66.4 56.2 57.4 58.4 57.6 65.4

Sabe-se de estudo anteriores que a duração de um pneu varia segundo uma dis- tribuição normal, em que o valor esperado é eventualmente influenciável pelo método de produção, e cujo desvio padrão é suscept́ıvel de ser fortemente afectado pelas car- acteŕısticas da zona onde se procede a rodagem.

(a) Será que se pode admitir que a duração esperada de um pneu do 1o tipo não excede 6000 km?

(b) Os dados são significativamente compat́ıveis com a conjectura do desvio padrão da duração de um pneu do 1o tipo ser igual a 400 km?

(c) Admita que as variâncias da duração dos dois tipos de pneus são iguais. Teste a hipótese de não haver uma diferença significativa na duração média dos dois tipos de pneus.

8.15 Dois grupos de 20 estudantes foram seleccionados ao acaso para participarem numa experiência que consiste em aprender o significado de palavras numa ĺıngua que não conhecem.

Durante 30 minutos os estudantes tentaram aprender o maior número de palavras. No grupo I os estudantes trabalharam isoladamente. No grupo II os estudantes trabalharam aos pares procurando certificar-se mutuamente que iam aprendendo as palavras. Em seguida foi efectuado um teste para determinar o número de palavras aprendidas por cada aluno, tendo-se obtido os seguintes resultados:

Grupo I 24 14 16 17 18 23 14 15 15 17 18 16 17 19 20 21 20 19 19 18

Grupo II 21 22 25 21 20 18 20 17 16 14 17 15 18 23 17 19 15 23 19 20

Acha que o segundo método de aprendizagem pode considerar-se significativamente superior ao primeiro? Indique as hipóteses que teve de admitir para poder usar o teste efectuado.

8.16 Um laboratório lançou no mercado um novo medicamento para o tratamento de uma alergia, afirmando que a sua eficácia, num peŕıodo de 8 horas, é de 90%. A sua aplicação a uma amostra de 200 indiv́ıduos sofrendo de tal alergia revelou-se eficaz em 160 dos casos. Será a afirmação acima consistente com os dados obtidos? Indique o valor-p do teste efectuado.

8.17 Uma empresa fabricante de lâmpadas considera que a sua produção é eficaz se a probabilidade de se seleccionar ao acaso uma lâmpada não defeituosa for de pelo menos 90%. Para verificar a qualidade da produção das lâmpadas, foi efectuado um teste a 200 lâmpadas, tendo-se verificado que 24 tinham defeitos. A que conclusão deve chegar o estat́ıstico da empresa? Justifique. (Exame 13 Jan 1993)

8.18 Um comerciante retalhista recebe carregamentos de roupa de homem normalmente com 10% de peças defeituosas. A fim de se certificar que a qualidade do produto não diminuiu, resolve verificar 100 peças, determinar a percentagem de peças defeituosas e conduzir um teste de hipóteses com ńıvel de significância igual a 8%.

32

(a) Especifique a hipótese nula que está em causa assim como a hipótese alterna- tiva.

(b) Indique a estat́ıstica e determine a região cŕıtica do teste.

(c) Suponha que, nas peças verificadas, foram encontradas 12 defeituosas. O com- erciante deve ou não rejeitar o carregamento? (Exame 11 Mar 1991)

8.19 Numa empresa recolheu-se uma amostra relativa à produção de energia eléctrica em kW/h de dois tipos de geradores. Admita que a distribuição de energia segue uma distribuição normal e que aos dois tipos de geradores está associado uma variância igual. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Gerador tipo I 15.01 3.81 2.74 16.82 14.30 13.45 8.75 (n = 27) 9.40 16.84 17.21 2.74 4.91 5.05 9.72

9.02 12.31 14.10 9.64 10.21 10.34 9.04 5.02 10.59 11.91 9.44 7.21 11.07

Gerador tipo II 10.87 8.07 10.31 11.08 10.84 6.34 10.05 (n = 23) 9.37 8.94 8.78 15.01 6.93 15.91 13.45

6.84 9.37 10.04 10.94 2.04 16.89 14.04 4.32 10.71

(a) Teste se a produção média de energia eléctrica segundo os dois geradores é igual.

(b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o valor esperado da produção de energia eléctrica.

(c) O fabricante afirma que a variância da produção de energia eléctrica é de 4 (kW/h)2. Comente a afirmação do fabricante.

(d) Seja p a proporção desconhecida de geradores cuja produção se situa abaixo dos 5 kW/h. Estes são considerados defeituosos e o comprador será indemnizado. Teste a hipótese de a proporção de geradores defeituosos ser inferior ou igual a 10%.

8.20 Uma empresa agŕıcola tem uma estação agronómica experimental onde produz novas variedades de ervilhas. Uma amostra sobre as caracteŕısticas das ervilhas resultou em 310 ervilhas amarelas e de casca macia, 109 ervilhas amarelas e de casca dura, 100 ervilhas verdes e de casca macia e 37 ervilhas verdes e de casca dura. Numa experiência semelhante, Mendel, através de um modelo matemático simples, previu que o resultado seria de 56.25% de ervilhas amarelas de casca macia, 18.75% de ervilhas amarelas de casca dura, 18.75% de ervilhas verdes de casca macia e 6.25% de ervilhas verdes de casca dura. Serão os resultados da estação agronómica com- pat́ıveis com os resultados de Mendel para os ńıveis de significância de 5% e 1%, respectivamente?

8.21 O recenseamento de 320 famı́lias com 5 filhos conduziu aos seguintes resultados:

Rapazes 5 4 3 2 1 0 Famı́lias 18 56 110 88 40 8

(a) Verifique se estes resultados são compat́ıveis com a hipótese do número de rapazes ser uma variável aleatória com distribuição binomial, admitindo a equiprobabilidade dos sexos, ao ńıvel de significância de 0.1%.

33

(b) Indique um intervalo para o valor-p do teste efectuado para responder à aĺınea anterior.

8.22 Suponha que o departamento de defesa acredita que a distribuição de probabilidade do número de avarias, durante uma dada missão, ocorridas numa determinada zona do submarino Polaris segue uma distribuição de Poisson. Os dados relativos a 500 destas missões são os seguintes:

número de falhas por missão 0 1 2 3 4 número de missões 185 180 95 30 10

(a) Teste ao ńıvel de significância de 5% a hipótese da referida variável aleatória possuir uma distribuição de Poisson, com valor esperado igual a 1.

(b) A estimativa de máxima verosimilhança do valor esperado avaliada numerica- mente com base na amostra agrupada é igual a 0.9845. Será que o modelo de Poisson é uma boa escolha para descrever o conjunto de dados?

8.23 Numa experiência com tubos de vácuo foram observados os tempos de vida (em horas) de 100 tubos, tendo-se registado as seguintes frequências absolutas:

Intervalo ]0, 30] ]30, 60] ]60, 90] ]90,+∞[ Frequências absolutas 41 31 13 15

Serão os dados consistentes com a hipótese de o tempo de vida de um tubo de vácuo ter distribuição exponencial com valor esperado igual a 50 horas? Calcule um intervalo para o valor-p e comente. (Exame 13 Jul 2002 )

8.24 A altura, em metros, dos indiv́ıduos de determinada população é uma variável aleatória X. Escolhidos aleatoriamente 100 desses indiv́ıduos e medidas as suas alturas obtiveram-se os seguintes resultados:

Classes F 0i [1.595, 1.625[ 5 [1.625, 1.655[ 18 [1.655, 1.685[ 42 [1.685, 1.715[ 27 [1.715, 1.745[ 8

(a) Teste o ajustamento da distribuição normal com valor esperado 1.675 e variân- cia 0.0292.

(b) Teste ao ńıvel de significancia de 1% a hipótese H0 : “X é uma variável aleatória com distribuição normal”, admitindo que as estimativas de máxima verosimil- hança de µ e σ2 são os respectivos momentos da amostra agrupada.

8.25 Mil indiv́ıduos foram classificados segundo o sexo e o daltonismo tendo-se obtido o seguinte quadro:

Homem Mulher Não daltónico 442 514 Daltónico 38 6

34

Acha que o daltonismo é independente do sexo? Justifique. Considere um ńıvel de significância de 5%.(Exame 13 Jul 1991)

8.26 Uma importante empresa de equipamento desportivo pretende seleccionar um de três programas de treino de vendas A, B ou C. Os resultados do desempenho de vendas de 120 vendedores após o treino foram os seguintes:

Resultados Programa Med́ıocre Suficiente Bom

A 6 25 9 B 8 20 7 C 10 30 5

Teste se o desempenho dos vendedores não é influenciado pelo programa de treino, justificando o procedimento adoptado. (Exame 29 Jan 1993)

8.27 Num estudo sobre os efeitos da vacinação na mortalidade por contracção de vaŕıola em Londres no ano de 1901, obteve-se o seguinte conjunto de resultados:

Recuperaram Morreram Vacinados 847 153 Não vacinados 126 158

Conjectura-se que não existe associação entre a vacinação contra a vaŕıola e a mor- talidade devido a essa doença. Verifique se esta hipótese é apoiada pelos dados recolhidos ao ńıvel de significância de 10%.

8.28 Num levantamento de opinião pública em 1982 nos Estados Unidos da América foram postas as duas seguintes questões a 1397 pessoas:

– É a favor da obrigatoriedade do registo de porte de arma?

– Concorda com a pena de morte?

tendo-se obtido o conjunto de resultados na tabela abaixo.

Pena de morte Registo obrigatório Sim Não

Sim 784 236 Não 311 66

Formule e teste a hipótese de não existir associação entre as respostas às duas questões.

35

Caṕıtulo 9

Introdução à regressão linear simples

9.1 Interessa estudar a relação entre a resistência de um determinado tipo de plástico (Y ) e o tempo que decorre a partir da conclusão do processo de moldagem até ao momento de medição da resistência (x [horas]). As observações que se seguem foram efectuadas em 12 peças constrúıdas com este plástico, escolhidas aleatoriamente.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 32 48 72 64 48 16 40 48 48 24 80 56 yi 230 262 323 298 255 199 248 279 267 214 359 305

(a) Represente graficamente as observações e desenhe a recta que, no seu entender, melhor se ajusta às observações.

(b) Considere um modelo de regressão linear simples para explicar as observações. Obtenha a estimativa dos mı́nimos quadrados dos coeficientes da recta de re- gressão e desenhe-a no gráfico.

(c) Calcule o coeficiente de determinação e comente o valor obtido.

(d) Proceda ao teste da hipótese “O coeficiente angular é nulo”. Qual o interesse desta hipótese? Relacione-o com o resultado obtido em (c).

(e) Calcule o intervalo de confiança a 95% para o valor esperado da resistência obtida 48 horas depois de conclúıda a moldagem. Acha leǵıtimo usar o mesmo procedimento tratando-se de um peŕıodo de 10 horas em vez de 48 horas? Justifique a sua resposta.

9.2 Um estudo sobre a influência da velocidade do vento (X), em m/s, na quantidade de água (Y ) que se evapora por dia, em centenas de litros, na albufeira de certa barragem, a temperaturas constantes, conduziu a:

xi 20 50 30 100 70 yi 3 5 3 10 8

(a) Adoptando um modelo de regressão linear simples, estime a recta de regressão de Y sobre X e obtenha uma estimativa da quantidade média de água evap- orada quando a velocidade do vento é igual a 90m/s. Faça uso dos seguintes valores:

x̄ = 54.0 ȳ = 5.8 ∑ i x2i = 18700

∑ i y2i = 207

∑ i xiyi = 1960

36

(b) Calcule o coeficiente de determinação do modelo estimado.

(c) Teste a significância da regressão. Indique o valor-p desse teste e comente o resultado face ao valor obtido na aĺınea anterior. (Exame 5 Fev 2002 )

9.3 O modelo de regressão linear simples foi usado para estudar a relação entre a pro- dução de uma variedade de trigo (Y ) e a quantidade de adubo usada como fertilizante (x). Foram efectuadas 7 observações:

i 1 2 3 4 5 6 7 xi 100 200 300 400 500 600 700 yi 40 50 50 70 65 65 80

As observações foram tratadas em seguida usando o pacote estat́ıstico R. Parte do output obtido é o seguinte:

> producao <- c(40,50,50,70,65,65,80)

> adubo <- c(100,200,300,400,500,600,700)

> mrl <- lm(producao~adubo)

> summary(mrl)

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 36.42857 5.03812 7.231 0.00079 ***

adubo 0.05893 0.01127 5.231 0.00338 **

Residual standard error: 5.961 on 5 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.8455, Adjusted R-squared: 0.8146

(a) Proceda ao teste da hipótese de que a adubação não tem influência na produção.

(b) Acha que o modelo se ajusta adequadamente às observações? Justifique.

(c) Calcule uma estimativa do valor esperado da produção com uma quantidade de adubo à sua escolha e indique uma estimativa da variância associada.

9.4 Da análise do consumo médio de energia por agregado familiar durante 10 dias de um mês de Inverno numa cidade obtiveram-se os seguintes resultados:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 15 14 12 14 12 11 11 10 12 13 yi 4.3 4.4 5.3 4.6 5.5 5.9 5.7 6.2 5.2 5.0

X: Temperatura diária média (oC), Y : Consumo médio de energia (kW )

10∑ i=1

xi = 124 10∑ i=1

yi = 52.1 10∑ i=1

xiyi = 637.1

10∑ i=1

x2i = 1560 10∑ i=1

y2i = 275.13

O modelo de regressão linear simples foi usado para estudar a relação entre o con- sumo médio de energia por agregado familiar e a temperatura diária média.

37

(a) Escreva a equação da recta de regressão estimada e obtenha um intervalo de confiança a 90% para o verdadeiro valor do declive da recta de regressão.

(b) Qual o valor predito para o consumo médio num dia de temperatura média igual a 10oC? Que responderia se lhe fosse pedida uma predição do consumo médio para um dia com temperatura média de 20oC? (Exame 17 Fev 1993)

9.5 Uma amostra de alunos seleccionada ao acaso dum curso com as disciplinas de Matemática e Estat́ıstica produziu as seguintes classificações num teste efectuado no final do ano lectivo (escala 0-100):

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi (Mat.) 56 50 72 67 31 50 65 40 80 61 yi (Est.) 60 50 67 75 44 56 72 48 76 62

A partir destes dados, o professor resolveu determinar o valor de algumas quanti- dades:

10∑ i=1

xi = 572 10∑ i=1

x2i = 34716 10∑ i=1

xiyi = 36335

10∑ i=1

yi = 610 10∑ i=1

y2i = 38394 10∑ i=1

(xi − x) (yi − y) = 1443

e a partir delas deduziu a equação de regressão estimada pelo método dos minimos quadrados:

Ê(Est.|Mat. = x) = 19.7 + 0.722x.

(a) Qual o interesse no uso do modelo de regressão em geral e em particular no caso presente?

(b) A Joana, o António e a Maria obtiveram 60, 95 e 20 em Matemática, respec- tivamente, mas faltaram ao teste de Estat́ıstica.

Poderá sugerir valores para as notas esperadas no teste de Estat́ıstica dos alunos que faltaram? Justifique a sua resposta. Acha que os valores que sugere para as notas de Estat́ıstica são de confiança?

(c) Suponha que o João obteve 70 em Estat́ıstica e faltou a Matemática.

Obtenha uma nova recta de regressão que permita estimar uma nota para o teste de Matemática deste aluno e indique esse valor predito. Justifique a resposta.(Exame 10 Set 1993)

9.6 Uma liga metálica é submetida a várias tensões (x[103Kgf/cm2]), tendo-se registado o tempo decorrido (T [horas]) até se atingir a rotura. Alguns dos resultados obtidos nesta experiência foram os seguintes:

i 1 2 3 4 xi 15 20 25 30 ti 2500 600 200 70

Admite-se que as duas variáveis estão relacionadas de acordo com o seguinte modelo de regressão linear: lnT = β0 + β1X + ε.

(a) Assumindo as hipóteses que julgar convenientes, obtenha as estimativas dos mı́nimos quadrados de β0 e β1.

38

(b) O modelo foi utilizado para prever os tempos correspondentes às tensões de 25× 103 Kgf/cm2 e 50× 103 Kgf/cm2. Calcule as estimativas desses tempos. Diga, justificando, se concorda que o modelo adoptado seja usado para predizer aqueles tempos. (Exame 27 Jan 1992)

9.7 Numa fábrica deseja-se estimar o valor esperado do custo total para produzir um item, E(Y ), como função do número de unidades produzidas (x). Após um certo peŕıodo de observação, foi posśıvel obter os dados da tabela seguinte:

i 1 2 3 4 5 6 7 xi 35 75 138 161 199 224 252 yi 81 88 133 165 239 282 343

(a) Admitindo que as variáveis em causa estão relacionadas de acordo com o mod- elo Y = αeβx, determine as estimativas dos parâmetros α e β.

(b) Acha que o custo total de produção do item é significativamente influenciado pelo número de unidades produzidas? Justifique.

(c) Construa um intervalo de confiança de 95% para α.

39

40

Soluções (Edição de Fevereiro de 2007)

Capítulo 1

1.1 d)x = 3.167; s = 0.886 (dados não agrupados) e) mediana = ˜ x = 3.25; q1 = 2.4 ; q3 = 3.9

1.2 a)x = 2.866 ; ˜ x = 3; moda = 3 c) 0.3098

1.3 localização: x = 10.6 ; ˜ x =10.65; moda = 10.9

dispersão: s 2 = 0.1; s = 0.3162; r = 0.9; c.v. = 2.98 ×10−2

1.4 a)x = 10.476; s = 2.665 b) 11.64

1.5 a)x ≅ 3.65; s 2 ≅ 5.17; s ≅ 2.27 b) média — sim; variância — sim

c) média — sim; variância — não

Capítulo 2

2.2 a) 1 + y - xb)x - 2yc)xy d) 1 - y

2.4 a) 0.13 b) 0.25

2.5 a)S = 1,2,3,4,5,6{ }, P 1{ }( )= P 3{ }( )= P 5{ }( ) = 2 9

, P 2{ }( ) = P 4{ }( ) = P 6{ }( )= 1 9

b) 4 9 c) 1 3

2.6 a) 0001.0 b) 001.0 c) 0.504

2.7 a) 1 210 b) 2 9

2.8 0.125

2.9a) 988 2303 b) 435 2303 c) 22529 23030 d) 6583

2.10 Admitindo equiprobabilidade, 13325740

2.11a)n −1

n  

 

r −1

b)n!

n r n r( )!

2.12 a)S = D, D( ), F, D( ), D, F( ), F, F( ){ }, onde D ≡ defeituoso; F ≡ não defeituoso P D, D( ){ }= 0.04; P F, D( ){ }= P D,F( ){ }= 0.16; P F, F( ){ }= 0.64 b)P A1( )= P A2( )= 0.2; P A3( )= 0.36; P A4( )= 0.32 c)P D, D( ){ }= 2 90; P F, D( ){ }= P D, F( ){ }=16 90; P F,F( ){ }= 56 90 P A1( )= P A2( )= 0.2; P A3( )= 34 90; P A4( )= 32 90 2.13 a)n 2n −1( ) , onde n é o número de moedas de cada tipo b) 1 2 c)n 2n −1( ) d) 3n −1( ) 4n − 2( ) 2.14 b) P(A ganhar) = 0.6587; P(B ganhar)= 0.3413

c) P(A ganhar) = 2 3; P(B ganhar)= 1 3

41

2.15 b) 10 11

2.16 a) 0.504 b) 0.296

2.18 a) 0.4 b) 2/3

2.19 a) 51.25% b) 7.32%

2.20 a) 0.0905 b) 0.6633

2.21 b) 0.64

2.22 0.2

2.23 a) 0.13043 b) 0.43478

Capítulo 3

3.1 a) i) 4/5 ii) 1/3

b) i) f X x( ) = 0.2, x = 0 0.6, x = 1 0.2, x = 2

  

  ii) FX x( ) =

0, x < 0 0.2, 0 ≤ x <1 0.8, 1≤ x < 2 1, x ≥ 2

 

 

iii) E X( )= 1 e V X( )= 0.4 c) a) i) 20/27 ii) 1/3

b) i) f X x( ) =

8 27, x = 0

12 27, x =1

6 27, x = 2

1 27, x = 3

 

 

ii) FX x( ) =

0, x < 0 8 27, 0 ≤ x < 1 20 27, 1 ≤ x < 2 26 27, 2 ≤ x < 3 1, x ≥ 3

 

 

iii) E X( )= 1 iv) V X( )= 2 3

3.2 a)f X x( ) =

0.001, x = 0

0.027, x =1

0.243, x = 2

0.729, x = 3

 

 

b)FX x( ) =

0, x < 0 0.001, 0 ≤ x < 1 0.028, 1 ≤ x < 2 0.271, 2 ≤ x < 3 1, x ≥ 3

 

 

c)E X( )= 2.7, moda=mediana=3 e V(X)=0.27

3.3 a)a = 1 6 b) FX x( ) =

0, x < 1 1 6, 1 ≤ x < 2 1 2, 2 ≤ x < 3 1 x ≥ 3

 

 

c) moda = 3; mediana = qualquer ponto ∈ [2,3]; E X( )= 7 3

3.4 a) −1 3 ≤ c ≤1 4 b)E X( )= 10 − 9c 4

c)V X( )= 20 −8c − 81c 2

16

3.5E X( )= 2.6; P X < 0( )= 0.3

42

3.6 a)f X x( ) =

1 6, x = 0 1 12, x = 2 1 4, x = 4 1 2, x = 6

 

 

b) i) 1/6 ii) 1/2 iii) 1/12 iv) 1/3

3.7 a) 0.0362 b) 0.75 c) i) 0.8574 ii) 20

3.8 a) 0.0702 b) ≤ 8 c) 7.02

3.9

2000

k

   

 58000

250 − k    

 60000

250

   

k=0

4

3.10 0.3005

3.11 a) 0.2231; 0.4308 b) 4.47

3.12 500

x

   

x=2

500

∑ 1

365  

 

x 364

365  

 

500− x

≅ 0.3977

3.13 a) 0.3233 b) 0.0831

Capítulo 4

4.1 a)k = 0 b)FX x( ) =

0, x < −1 x2 2 + x +1 2, −1 ≤ x < 0 −x 2 2 + x +1 2, 0 ≤ x < 1 1, x ≥1

 

 

c)E X( )= 0 ; V X( )= 1 6

d) moda = 0; mediana = 0; 221411 +−=− )(FX e) 1/4

4.2 a)FX x( ) = 0, x < 0 5x4 − 4x5, 0 ≤ x <1 1, x ≥ 1

  

  b)

112

243

c) i) P L = C1 − C3( )=101 243; P L = C2 − C3( )= 142 243:

FL l( ) = 0, l < C2 − C3 142 243, C2 − C3 ≤ l < C1 − C3 1, l C1 − C3

  

 

4.3 0.4502

4.4 a) α = 2 ; β = 1 5 b) 0.5 4.5C1 + 50C2

4.6 a) 0.375 b) µX = 4 3 =133.3Kg; σX = 62.36Kg c) 245.23 Kg

4.7 a) 0.6826 b) 0.8759

4.8 a) µ = 2.5; σ = 0.469 b) 0.6826

4.9a) 0.0023 b) 6231.04 horas c) 1/8

43

4.10 a)FX x( ) = 0, x < 0 1 − e−2x , x ≥ 0   

b) 0.3679

4.11a) 0.2202 b) 0.6592

Capítulo 5

5.1 a)f X x( ) = 0.2, x = 0 0.65, x = 1 0.15, x = 2

  

  ; f Y y( ) =

0.5, y = 0 0.36, y = 1 0.14, y = 2

  

 

b)FX x( ) =

0. x < 0 0.2, 0 ≤ x < 1 0.85, 1 ≤ x < 2 1, x ≥ 2

 

 

c) 0.18 d) 1.59; 0.7619

5.2 b)

Y\X 0 1 2 f Y y( )

0 0.064 0.096 0 0.16

1 0.096 0.240 0.144 0.48

2 0 0.144 0.216 0.36

f X x( ) 0.16 0.48 0.36 1

5.3 a) i) f X x( ) = 2 9, x =1 1 2, x = 2 5 18, x = 3

  

  ii) FY y( ) =

0, y < 1 1 6, 1 ≤ y < 2 11 18, 2 ≤ y < 3 1, y ≥ 3

 

 

iii) 11/18

iv) f X Y =1 x( ) = 2 3, x =1 1 3, x = 3   

; f X Y = 3 x( ) = 2 7, x = 1 3 7, x = 2 2 7, x = 3

  

  v) 5/3

b)P E X Y( )= z[ ]= P Y = 1( ), z = 5 3 P Y = 2( ), z = 9 4 P Y = 3( ), z = 2

  

 

c) Não, porque ∃ x ,y( ): f X ,Y x, y( )≠ f X x( ) f Y y( ), por exemplo x, y( ) = (1,2) d) 1.44

44

5.4 a) i) e ii):

X\Y 0 1 2 3 4 f X x( )

0 0.04 0 0.3 0 0.06 0.4

1 0 0.22 0 0.28 0 0.5

2 0 0 0.1 0 0 0.1

f Y y( ) 0.04 0.22 0.4 0.28 0.06 1

iii) FX x( ) =

0, x < 0 0.4, 0 ≤ x <1 0.9, 1 ≤ x < 2 1, x ≥ 2

 

 

iv) f X Y = 2 x( ) = 0.75, x = 0 0.25, x = 2

  

b) Não, porque ∃ x ,y( ): f X ,Y x, y( )≠ f X x( ) f Y y( ), por exemplo x, y( ) = 1,0( )

c) i) f Y X= 0 y( ) = 0.1, y = 0 0.75, y = 2 0.15, y = 4

  

  ; f Y X=1 y( ) =

0.44, y = 1 0.56, y = 3

  

; f Y X= 2 y( ) = 1, y = 2 0, y ≠ 2

  

ii) E Y X = 2( )= 2; V Y X = 2( )= 0 iii) FY X= 0 y( ) =

0, y < 0 0.1, 0 ≤ y < 2 0.85, 2 ≤ y < 4 1, y ≥ 4

 

 

iv) 0.75 v) 0

5.5 a) ρX ,Y = 0.5 ≠ 0⇒X e Y não são independentes b) 3.5

5.7 a)V Z( )= 2 pq b)P E X Y( )= q[ ]=1 c) Por exemplo: u \ v 0 1

0 p 0

1 0 q

5.8 a) 0.6602 b) 1.8; 2 5.9 a)a = 2 2 b) Sim, porque ∀ x , y( ): f X ,Y x, y( ) = f X x( ) fY y( )

c)FY y( ) = 0, y < −a

2

2 y +

2

2

   

  , −a y a

1, y > a

 

 

5.10 a) Não, porque ∃ x ,y( ): f X ,Y x, y( )≠ f X x( ) f Y y( ), por exemplo x, y( ) = 3

4 , 3

4  

 

b)FX x( ) = 0, x < 0 x3 − 3x 2 + 3x, 0 ≤ x ≤1 1, x > 1

  

 

c) ( ) ( ) ( ) 1<y<0 ,

contrário caso,0

10, 1

12 2



 

 −<< −

−− ==

yx y

yx xf yYX d) 3/4 e) 1

45

5.11 a)f X x( ) = 1 2, −1 < x < 1 0. c. c.

  

; f Y y( ) = 1 2, 0 < y < 2 0. c. c.   

b)P X < Y( ) = 7 8

5.12 0.4375 5.13 a) ρX ,Y = 0.5 b)V X Y = y( )= y2 12 5.14 a) µD = 3.6 cm; σD = 0.0224 cm b) 0.1867

5.15 a) 0.0367 b) 0.0222 c) 0.9994; 0.3032

5.16 ≅ 0

5.17 ≥ 65

5.18 0.0409

5.19 a) 0.4169 b) 0.4169

c) A probabilidade de cumprir o compromisso é elevada (0.9772) d) 0.3014

5.20 0.9236

5.21 a) 0.7 b) 0.286 e 3.5 m c) 0.9997

5.22 a) 0.2 b) 0.7939 c) ≅ 0

Capítulo 6

6.1 a)

f X1,…,X 5 x1,…, x5( )= xi

i =1

5

∏ , x i < 1, i = 1,…,5 0, c. c.

  

b) E X ( )= 0; V X ( )=0.1; s 2 = xi x ( ) 2

n −1

=0.73075 c) 0.9718; 0.9654

6.4 8/9, logo X é mais eficiente

6.5 a) π 2 > 1 b) 1/2 < 1 c) Para a população normal X é mais eficiente,

para a população da alínea b) verifica-se o contrário

6.6T1 é melhor para θ > 3 2 e T2 é melhor para θ < 3 2

6.7 a) 41=p̂ b) ˆ p = 3 4 c) ˆ p = 2 3

6.8 ˆ R = k

n k

6.9 ˆ p = 0.04375

6.10 a) ˆ λ = X , é centrado b) ˆ σ 2 = X c) ˆ λ = 0.4 d) ˆ λ = 0.1252 6.11 ˆ µ = X , é centrado 6.12 ˆ µ = 55.833; ˆ σ 2 =101.639; ˆ σ = 10.082; ˆ P X > 70( ) = 0.0793 6.13 b)T2

6.14 ˆ P X > 200( )= 0.3168 6.15 a) ˆ α = 2.022; ˆ E X( ) = 2.534; ˆ V X( ) = 1.755 b) moda 6.16 a) 0.1314 b) 0.5785 c) 0.2923

46

6.17 ≅ 1 − Φ 0.4 12n( ), n elevado 6.18 0.0212 (com correcção de continuidade), 0.0202 (sem correcção de continuidade)

6.19 a) 0.0956 b) 0.9044 c) 0.01; 0.0315

6.20 a) 0.0456 b) 158.7 c)n ≥ 4

Capítulo 7

7.1IC95% µ( )= 136.08;143.92( ) 7.2 ( ) ( )653.5;435.3%95 =µIC e n=200 7.3IC95% µ( )= 94.604;102.736( ) ; IC95% σ 2( )= 43.656;161.008( ) 7.4 a)IC99% µ( )= 1.723;2.844( ) b)IC99% σ( )= 0.4007;1.285( ) 7.5IC95% µ1 − µ 2( ) = −192.106; 275.506( ) 7.6 ( ) ( )974.2;174.821%99 −=− µµIC . Como %990 IC∈ não se rejeita a hipótese de que

as médias são iguais para n. s. %1≤ .

7.7IC95% µ1 − µ 2( ) = −5.635;11.035( ) 7.8 IC90% µ1 − µ 2( ) = 6.204;13.796( ) 7.9 a)IC95% p( )= 0.0964;0.2436( ) b) 1809 7.10 a)IC90% p( )= 0.4720;0.5780( ) b)n ≥ 1688 7.11 a)T = X ; p = P X ≤ 1( ), ˆ p = eT + TeT b)IC90% λ( )≅ 0.7338; 0.8705( ) 7.12IC95% α( ) ≅ 0.3216;0.4784( )

Capítulo 8

8.1 a)c = 1.5126 b) n = 35; c = 1.5621 c) α = β = 0.3632 8.2 a)X ~

sob H 0 N 20;1( )

b) µ 17 18 19 20 21 22 23

P aceitar H0 µ( ) .1587 .5000 .8400 .9544 .8400 .5000 .1587

c) β µ( ) =1 − P aceitar H0 µ( ) 8.3n = 14, c = 5.429

8.4

C1: α = 0.6875, β = 0.0508 C2: α = 0.3125, β = 0.2617 C3: α = 0.0625, β = 0.6836

8.5 a) Sim (-1.645 < -0.408 < 1.645) b) Valor-p = 0.6818 > 0.1

8.6 a)H0 :µ =16 versus H1:µ ≠16 , não rejeitar H0 para α ≤ 5% e rejeitar para

α ≥ 10% (-2.145 < -2.037 < -1.761)

47

b)H0 :σ 2 = 0.25 versus H1:σ

2 ≠ 0.25 , rejeitar H0 pelo menos para α ≥ 0.1%, ou

seja para os níveis de significância usuais (1.296 < 2.697)

8.7 Não se rejeita H0 (0.427 < 1.699)

8.8 a)H0 :µ ≥ 255 versus H1:µ < 255 (ou H0 :µ = 255 versus H1:µ < 255), não se rejeita H0 para α ≤ 5% (-1.017 > -1.796)

b) ˆ ξ 0.05 = ˆ µ −1.6449 ˆ σ = 234.64

8.9 a) Teste sobre µ : -2.131 < 1.661 < 2.131, aceitar a 5%

Teste sobre σ : 6.262 < 12.06 < 27.49, aceitar a 5% b) Teste sobre µ1 − µ2 com σ1 = σ2 : -3.962 < -1.703, rejeitar a 5%, isto é as

medidas introduzidas provocaram um aumento significativo na cotação esperada.

8.10 a) ganha A b) P(A perder injustamente) = 0.05,

P(B perder injustamente) = 0.1379, logo a aposta não é justa.

8.11H0 :µ = 30 versus H1:µ ≠ 30 , rejeitar H0 para α =1% (3.02 > 2.576) 8.12a) Assumindo que as variáveis têm distribuições normais rejeita-se H0 para

%1≥α (-4.86<-2.5758). b) 0.4404 8.13H0 :µ1 = µ2 versus H1:µ1 ≠ µ2 a) Rejeitar H0 para %94.3>α e não rejeitar para %94.3<α b) Rejeitar H0 para α ≥ 10% e não rejeitar para α ≤ 5% (1.746 < 2.088 < 2.120) 8.14 a)H0 :µ1 ≤ 60 versus H1:µ1 > 60 (ou 6010 =µ:H versus 6011 >µ:H ), rejeitar

H0 para α ≥ 5% e não rejeitar para α ≤ 2.5% (1.833 < 1.93 < 2.262) b)H0 :σ1

2 = 16 versus H1:σ1 2 ≠ 16, rejeitar H0 para α ≥ 20% e não rejeitar para

α ≤ 15% (3.785 < 3.855 < 4.168), ou seja para os níveis de significância usuais c)H0 :µ1 = µ2 versus H1:µ1 ≠ µ2 , rejeitar H0 para α ≥ 40% e não rejeitar para

α ≤ 30% (0.865 < 0.996 < 1.071), ou seja para os níveis de significância usuais 8.15 Admite-se X1 ~ N µ1,σ1

2( ), X2 ~ N µ 2, σ22( ), X1 e X2 independentes, σ1 = σ2 mas desconhecidos. H0 :µ1 = µ2 versus H1:µ1 < µ2 , rejeitar H0 para α ≥ 15% e não

rejeitar para α ≤ 10% (-1.33 < -1.107 < -1.067), ou seja para os níveis de significância usuais não se pode concluir que o segundo método é

significativamente superior ao primeiro

8.16H0 : p = 0.9 versus H1: p ≠ 0.9 . Valor-p ≈ 2 ×10 −6 . Rejeita-se H0 para

α ≥ 2 ×10−6 , ou seja para os níveis de significância usuais, logo a afirmação não é consistente com os dados

8.17H0 : p = 0.1 versus H1: p > 0.1 (p é a proporção de lâmpadas com defeitos), não

rejeitar H0 para α ≤ 17.36%, ou seja para os níveis de significância usuais 8.18 a)H0 : p = 0.1 versus H1: p > 0.1 ou H0 : p ≤ 0.1 versus H1: p > 0.1

48

b)T = ˆ P − 0.1 0.1 × 0.9

100

~ sob H o

a

N 0,1( ); Região crítica: T >1.4051{ }

c)tobs = 0.67 < 1.4051, não deve rejeitar o carregamento (para o n. s. de 8%)

8.19 a)H0 :µ1 = µ2 versus H1:µ1 ≠ µ2 , não se rejeita H0 para α ≤ 80% , ou seja para os

n. s. usuais (-0.255 < -0.02 < 0.255)

b)IC95% µ( )= 8.936;11.136( ) c)H0 :σ

2 = 4 versus H1:σ 2 ≠ 4, rejeita-se H0 para α ≥ 0.1% , ou seja para os n.

s. usuais (183.65 > 89.56)

d)H0 : p = 0.1 versus H1: p > 0.1 ou H0 : p ≤ 0.1 versus H1: p > 0.1. Não se rejeita

H0 para α ≤ 31.9% , ou seja para os n. s. usuais

8.20 Sim, para ambos os níveis (0.5596 < 7.815 < 11.34)

8.21 a) 11.96 < 20.52, os resultados são compatíveis com distribuição binomial e

equiprobabilidade dos sexos ao n. s. de 0.1%

b) 0.025 < valor-p < 0.05

8.22 a) A hipótese não é rejeitada (0.2308 < 9.488)

b) É, aos n. s. usuais (não se rejeita para %5.97≤α , 0.4214 < 0.472) 8.23 valor-p )6.0,5.0(∈ pelo que não se rejeita H0 para os n. s. usuais

8.24 a) Não rejeitar para α ≤ 92.5% (0.4347 < 0.472), ou seja para os n. s. usuais b) A hipótese não é rejeitada (0.4505 < 6.635)

8.25 Rejeita-se a hipótese de independência para α ≥ 0.05%, ou seja para os n. s. usuais (27.14 > 12.12)

8.26 A hipótese de independência entre o programa de treino e os resultados não é

rejeitada para α ≤ 60%, ou seja para os n. s. usuais (2.742 > 2.753) 8.27 A hipótese de não associação não é apoiada pelos dados ao n. s. de 10% (195.97 >

2.706)

8.28 Rejeita-se a hipótese de não associação para α ≥ 2.5%, não se rejeita para α ≤ 1% (5.024 < 5.15 < 6.635)

Capítulo 9

9.1 b) ˆ β 0 =153.917; ˆ β 1 = 2.417

c)R2 = 0.9593 . A recta estimada ajusta-se bem, 95.9% da variação de Y é

explicada pela relação linear com x.

d)H0 :β1 = 0 versus H1:β1 ≠ 0, rejeita-se H0 para α ≥ 0.1% , ou seja para os n.s.

usuais (15.35 > 4.587)

49

e)IC95% µY x = 48( )= 263.64;276.20( ). Não é legítimo para x = 10 porque 10 ∉ min xi

i ;max xi

i ( )

9.2 a) 6359.0ˆ0 =β ; 0965.0ˆ1 =β ; ( ) 2427.990ˆ ≅=xYE b) 9711.02 =R . c)H0 :β1 = 0 versus H1:β1 ≠ 0, rejeita-se H0 para os n.s. usuais. 929.9=obst ,

valor-p )01.0,002.0(∈ . 9.3 a)H0 :β1 = 0 versus H1:β1 ≠ 0, tobs = 5.23, valor-p = 0.003, rejeita-se H0 para

α ≥ 0.3% , ou seja para os n.s. usuais. Os dados indicam que a adubação influencia significativamente a produção

b)R2 = 84.5% . O modelo ajusta-se bem às observações. c)x0 = 400; µY x0 = 60; s

2 ˆ µ Y x0( )= 5.08

9.4 a) ˆ µ Y x = 10.1589 − 0.3991x; IC90% β1( ) = −0.4474;−0.3508( ) b) ˆ µ Y x =10 = 6.17, não se deve usar para x = 20

9.5 b) Só para x = 60, as outras duas são extrapolações. ˆ E Est Mat = 60( ) ≅ 63 c) ˆ E Mat Est = y( )= −17.144 +1.2188y ; ˆ E Mat Est = 70( )≅ 68 9.6 a) ˆ α =11.2633; ˆ β = −0.23651 b) ˆ t x= 25 = 210.7 horas, ˆ t x= 50 = 0.57 não deve ser usado com x = 50 porque se trata

de uma extrapolação

9.7 a) ˆ α = 55.77; ˆ β = 0.0070805 b) 0:0 =βH versus 0:1 ≠βH , rejeita-se H0 para α ≥ 0.1% , ou seja para os

n.s. usuais (15.19 > 6.869), conclui-se que o custo total é significativamente

influenciado pelo número de unidades produzidas

c)IC95% α( ) = 45.43;68.47( )

naum me ajudo eim nada um lixo eu achei
Parabens pela iniciativa!!!
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