Dissertação, Exercícios de Abstrações de Programação. Universidade de Fortaleza (UniFor)
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afurtado848 de Junho de 2015

Dissertação, Exercícios de Abstrações de Programação. Universidade de Fortaleza (UniFor)

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Microsoft Word - DISSERTAÇÃO_1

Cálculo do campo electromagnético originado por linhas aéreas de transmissão de energia

Jorge Filipe Guerreiro Casaca

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri Presidente: Doutor Gil Domingos Marques

Orientador: Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Co-orientador: Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Vogal: Doutor Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado

Setembro de 2007

ii

iii

Aos meus pais

iv

Agradecimentos Este projecto não teria sido possível sem a ajuda e o apoio de algumas pessoas a quem gostaria de

expressar a minha gratidão. Primeiro, à minha orientadora, Prof. Maria Eduarda Pedro, pela ajuda, a

dedicação e pelo tempo dispendido em tornar esta Dissertação de Mestrado uma realidade. Ao Prof.

Manuel Guerreiro das Neves, pelo seu apoio e disponibilidade.

Gostaria de agradecer também à minha namorada Joana Maria Oliveira Marques, pelo seu apoio

absoluto, amor e paciência em todos os momentos durante a realização desta dissertação.

Finalmente, uma palavra de agradecimento especial aos meus pais. À minha mãe Celeste da

Conceição Guerreiro Casaca e ao meu pai Manuel Joaquim Paulino Casaca, por toda a confiança e

apoio incondicional, não só ao longo da realização desta dissertação, mas durante todo o curso.

O meu muito obrigado a todos.

v

Resumo Devido às recentes preocupações de que o campo electromagnético originado por linhas aéreas de

transmissão de energia, pode afectar os sistemas biológicos, a comunidade científica tem vindo a

esforçar-se no sentido de encontrar novas soluções capazes de reduzir os campos na vizinhança das

linhas.

Neste trabalho é apresentado um método de cálculo dos campos eléctrico e magnético a 50Hz,

produzidos por linhas aéreas de transmissão de energia. Este método permite a avaliação de todas

as correntes do sistema, incluindo as correntes nos subcondutores de cada fase, bem como as

correntes dos cabos de guarda e na malha de mitigação (caso esteja presente). No cálculo do campo

magnético é tido em conta o carácter não uniforme da trajectória descrita pelos condutores entre dois

postes, descrevendo uma catenária.

Com este método, foi elaborado um programa de cálculo dos campos eléctrico e magnético, para

qualquer geometria de linha, incluindo a presença da malha de mitigação do campo magnético.

Usando o programa foram examinados diversos tipos de linhas e propostas soluções de mitigação do

campo, dando especial atenção à eficácia da malha de mitigação em curto-circuito e com

condensador em série.

Palavras Chave Campo magnético, campo eléctrico, malha de mitigação, linhas de transmissão.

Abstract Due to the recent concerns that electromagnetic fields generated by overhead power lines might affect

biological systems, scientific community have been trying to find solutions that will reduce fields

surrounding power lines.

In this work, a method for the evaluation of 50Hz electromagnetic fields produced by overhead power

lines is presented. This method allows for a correct evaluation of all currents in the system, including

the currents in the subconductors of each phase bundle, the currents in the ground wires and the

currents in the mitigation loop (if present). In the magnetic field calculation, the nonuniform character

of the trajectory described by the conductors between towers, drawing a catenary, is considered.

Using this method, a program for the calculation of magnetic and electric fields was produced. It can

handle any line geometry, including the presence of a mitigation loop.

Making use of the program, all kinds of electric lines were examined and solutions for field reduction

were proposed, giving special attention to the effectiveness of the mitigation loop technique with or

without capacitor compensation.

Key Words Magnetic field, electric field, mitigation loop, transmission lines.

Índice Agradecimentos ....................................................................................................................................... iv 

Resumo .................................................................................................................................................... v 

Palavras Chave ........................................................................................................................................ v 

Abstract .................................................................................................................................................... vi 

Key Words ............................................................................................................................................... vi 

Índice ...................................................................................................................................................... vii 

Lista de Figuras ..................................................................................................................................... viii 

Lista de Tabelas ...................................................................................................................................... xi 

Lista de Abreviações .............................................................................................................................. xii 

1.  Introdução ...................................................................................................................................... 13 

2.  Equações da linha de transmissão ................................................................................................ 18 

2.1 Linha sem perdas ........................................................................................................................ 18 

2.2 Linha com perdas ........................................................................................................................ 23 

3.  Cálculo do campo electromagnético originado por linhas de transmissão de energia .................. 27 

3.1 Cálculo do campo magnético ...................................................................................................... 27 

3.2 Cálculo do campo eléctrico .......................................................................................................... 35 

4.  Resultados de simulação ............................................................................................................... 39 

Conclusões ............................................................................................................................................ 73 

Referências ........................................................................................................................................... 75 

Anexos ................................................................................................................................................... 78 

Lista de Figuras Figura 1.1 A – Carga à superfície do corpo originada pelo campo eléctrico. B – O campo magnético

origina um fluxo de correntes que circulam no corpo. .......................................................................... 15 

Figura 2.1 Linha multifilar na presença da terra .................................................................................... 18 

Figura 2.2 Superfície para determinação da variação da corrente ao longo da linha .......................... 19 

Figura 2.3 Linha de transmissão multifilar. Parâmetros geométricos ................................................... 21 

Figura 2.4 Representação do método de Dubanton ............................................................................. 24 

Figura 2.5 Variação da altura ao longo de um vão. Parâmetros da catenária. ..................................... 25 

Figura 3.1 Representação da Lei de Ampére. ...................................................................................... 27 

Figura 3.2 Especificação das coordenadas necessárias ao método de cálculo do campo magnético

originado pelo condutor k no ponto P. ................................................................................................... 28 

Figura 3.3 Geometria de uma linha de 400kV em esteira, com malha de mitigação presente ............ 30 

Figura 3.4 Representação geométrica das extremidades próxima e distante da malha de mitigação. 33 

Figura 3.5 Especificação das coordenadas necessárias ao método de cálculo do campo eléctrico

originado pelo condutor k no ponto P. ................................................................................................... 37 

Figura 4.1 Geometria de uma linha em esteira de 400kV, vista no poste (z=0) ................................... 39 

Figura 4.2 Representação transversal da variação do campo de indução magnética B, com a

distância em x ( 1.8 , 150 , 50 ; 50 ). A curva 1 representa o caso base, com a

linha não uniforme. A curva 2 representa a linha com altura média. .................................................... 41 

Figura 4.3 Representação transversal da variação do campo de indução magnética B, com a

distância em z ( 1.8 , 0 , 0 ; 300 ). A curva 1 representa o caso base, com a linha

não uniforme. A curva 2 representa a linha com altura média.............................................................. 42 

Figura 4.4 Representação geométrica da malha de mitigação na linha de 400kV em esteira (z=0). .. 42 

Figura 4.5 Representação transversal da variação do campo de indução magnética B, com a

distância em x. ( 1.8 , 150 , 50 ; 50 ) ...................................................................... 44 

Figura 4.6 Representação da variação do campo de indução magnética B ao longo do espaço (entre

dois postes consecutivos) para um 1.8 (malha em curto-circuito). ............................................. 45 

Figura 4.7 Representação da variação do campo de indução magnética B, com a posição em x do

condutor L2 da malha de mitigação (mantendo a simetria em relação ao poste, L1=-L2). .................. 46 

Figura 4.8 Vista aérea da configuração da linha com a malha colocada em 1 10 e 2 10 .

............................................................................................................................................................... 47 

Figura 4.9 Campo de indução magnética B em função da reactância do condensador inserido na

malha de mitigação. O ponto assinalado corresponde à situação da malha em curto-circuito. ........... 48 

Figura 4.10 Representação transversal da variação do campo com a distância em x  1.8 ,

150 , 50 ; 50 ). A curva 1 (azul) representa a situação sem mitigação; a curva 2

(vermelho) corresponde à linha com malha de mitigação em curto-circuito; e a curva 3 corresponde à

melhor solução com condensador em série. ......................................................................................... 50 

Figura 4.11 Representação da variação do campo magnético ao longo de um vão   1.8 ,

0 ,   0; 300 . A curva 1 (azul) representa a situação sem mitigação; a curva 2 (vermelho)

ix

corresponde à linha com malha de mitigação em curto-circuito; e a curva 3 (verde) corresponde à

melhor solução com condensador em série. ......................................................................................... 51 

Figura 4.12 Representação transversal da variação do campo com a distância em x  1.8 ,

150 , 50 ; 50 ). A curva 1 (azul) representa a situação com malha de mitigação com os

parâmetros 0.131Ω/k e 6.354mF; a curva 2 (vermelho) corresponde à linha com malha de

mitigação de menor resistência linear 0.028Ω/k e 5.005mF. ............................................. 52 

Figura 4.13 Plano transversal com o contorno da intensidade do campo  medido a meio vão. As

curvas correspondem ao nível crítico de 100µT. A curva 1 (azul) corresponde à situação sem

mitigação; a curva 2 (vermelho) está associada à malha em curto-circuito; a curva 3 (verde)

corresponde à malha com 0.131Ω/k e 6.354mF; e a curva 4 (preto) corresponde a

0.028Ω/k e 5.005mF. .......................................................................................................... 53 

Figura 4.14 Representação geométrica das três configurações de linha analisadas, vistas do poste

(z=0). (a) Linha na vertical; (b) Linha em triângulo; (c) Linha em triângulo invertido. ........................... 55 

Figura 4.15 Representação transversal da variação do campo com a distância em x  1.8 ,

150 , 50 ; 50 ) para as 4 geometrias analisadas: curva 1 (azul) – Linha em esteira;

curva 2 (vermelho) – Linha na vertical; curva 3 (verde) – Linha em triângulo; curva 4 (preto) – Linha

em triângulo invertido. ........................................................................................................................... 56 

Figura 4.16 Configuração geométrica de uma linha de duplo circuito de 400kV.................................. 57 

Figura 4.17 Representação transversal da variação do campo com a distância em x  1.8 ,

150 , 50 ; 50 ), para a linha de circuito simples caracterizada pela tabela 4.1 e figura

4.1 (sem mitigação) – curva 1 e para a linha de duplo circuito, com geometria vertical caracterizada

pela tabela 4.7 e pela figura 4.16. ......................................................................................................... 60 

Figura 4.18 Plano transversal com o contorno da intensidade do campo  medido a meio vão,

para a linha de duplo circuito na vertical. A curva corresponde ao nível crítico de 100µT ................... 60 

Figura 4.19 Representação geométrica da linha de duplo circuito em triângulo (a) e em triângulo

invertido (b), vistas do poste (z=0). ....................................................................................................... 61 

Figura 4.20 Representação transversal da variação do campo magnético com a distância em x 

1.8 , 150 , 50 ; 50 ) para as 3 geometrias de duplo circuito : curva 1 (azul) – Linha na

vertical; curva 2 (vermelho) – Linha em triângulo; curva 3 (verde) – Linha em triângulo invertido. ..... 62 

Figura 4.21 Representação transversal da variação do campo eléctrico E, com a distância em

x  1.8 , 150 , 50 ; 50 ).O ponto assinalado representa o valor máximo do campo E

obtido. .................................................................................................................................................... 64 

Figura 4.22 Representação transversal da variação do campo eléctrico E para diferentes

geometrias  1.8 , 150 , 50 ; 50 ). ........................................................................... 65

Figura 4.23 Representação geométrica da distância e na geometria em esteira. ..................... 66 

Figura 4.24 Representação transversal da variação do campo eléctrico E fazendo variar a distância

entre condutores para a geometria em esteira ( 1.8 , 150 , 50 ; 50 ). ................... 66 

Figura 4.25 Representação transversal da variação do campo eléctrico E fazendo variar a distância

dos condutores ao solo para a geometria em esteira ( 1.8 , 150 , 50 ; 50 ). ......... 67 

x

Figura 4.26 Plano transversal com o contorno da intensidade do campo para a linha em esteira

caracterizada pela tabela 4.1 e pela figura 4.1. As curvas correspondem aos níveis críticos da

ICNIRP. O contorno a azul corresponde ao nível para o público de 5kV/m; o contorno a castanho

corresponde ao nível para os trabalhadores de 10kV/m. ..................................................................... 68 

Figura 4.27 Sequência das fases na geometria de duplo circuito aplicada na figura 4.29. .................. 69 

Figura 4.28 Representação transversal da variação do campo eléctrico E, para a geometria típica de

duplo circuito da figura 4.16 e para os diferentes arranjos da figura 4.27. ........................................... 70 

Figura 4.29 Sequência das fases na geometria de duplo circuito aplicada na figura 4.19 – a). .......... 70 

Figura 4.30 Representação transversal da variação do campo eléctrico E, para a geometria de duplo

circuito da figura 4.19-a) em triângulo, para as diferentes geometrias da figura 4.29. ......................... 71 

Figura 4.31 Sequência das fases na geometria de duplo circuito aplicada na figura 4.22 – b). .......... 71 

Figura 4.32 Representação transversal da variação do campo eléctrico E, para a geometria de duplo

circuito da figura 4.19-b) em triangulo invertido, para as diferentes geometrias da figura 4.31. .......... 72 

Figura 0.1 Influência da resistividade da terra no campo magnético  (linha em esteira) ............. 78 

Figura 0.2 Interface gráfico do programa de cálculo do campo eléctrico e magnético originado por

linhas aéreas de transmissão de energia .............................................................................................. 79 

Figura 0.3 Apresentação dos valores obtidos pelo programa ............................................................... 80 

Lista de Tabelas Tabela 4.1 Características de todos os condutores da linha. ............................................................... 40 

Tabela 4.2 Características dos condutores da malha de mitigação. .................................................... 43 

Tabela 4.3 Amplitudes complexas da corrente de todos os condutores, sem malha incluída e com

malha em curto-circuito. ........................................................................................................................ 43 

Tabela 4.4 Amplitudes complexas das correntes nos condutores, para a malha com condensador em

série. ...................................................................................................................................................... 49 

Tabela 4.5 Variação do campo com a resistência linear dos condutores da malha, para o mesmo

ponto de observação do campo 0 , 1.8 , 150 ). .......................................................... 52 

Tabela 4.6 Variação do campo para diferentes configurações da linha, para o mesmo ponto de

observação do campo 0 , 1.8 , 150 ). ......................................................................... 55 

Tabela 4.7 Características de todos os condutores da linha de duplo circuito. .................................... 58 

Tabela 4.8 Amplitudes complexas das correntes nos condutores, para a linha de duplo circuito na

vertical. .................................................................................................................................................. 59 

Tabela 4.9 Variação do campo para diferentes configurações da linha de duplo circuito, para o

mesmo ponto de observação do campo 0 , 1.8 , 150 ). ............................................. 62 

Tabela 4.10 Valores obtidos para o campo eléctrico para diferentes geometrias. ............................... 64 

Tabela 4.11 Valores obtidos para o campo eléctrico para as diferentes geometrias, usando um

condutor por fase. .................................................................................................................................. 65 

Lista de Abreviações

CEMS Campos electromagnéticos

ROW Right-of-way

ICNIRP International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection

ANSI American National Standards Institute

IEEE Institute of Electric and Electronics Engineers

DGS Direcção-Geral de Saúde

REN Redes Energéticas Nacionais

1. Introdução

A electricidade tem tido um papel determinante nas sociedades industrializadas ao longo dos anos,

constituindo a base do modo de vida nos países desenvolvidos. O transporte, a distribuição e a

utilização diária de energia eléctrica pelos consumidores, tornam as habitações, bem como os locais

de trabalho, lugares com um ambiente electromagnético de muito baixa frequência bastante diferente

do ambiente natural. À medida que as necessidades de energia aumentam, também aumenta a

capacidade de transporte das centrais para os centros de consumo fazendo uso de tensões cada vez

mais elevadas nas linhas de transmissão. Torna-se assim importante estudar os efeitos das linhas de

transmissão de energia à medida que o consumo e as tensões de transmissão aumentam. Nos

últimos anos, um dos factores importantes na selecção da linha de transmissão são os efeitos do

campo eléctrico e magnético.

A exposição a campos electromagnéticos (CEMs) não é um fenómeno novo. No entanto, durante o

século XX, a proliferação de fontes electromagnéticas não ionizantes foi considerável, tendo sido o

nosso quotidiano invadido pelos CEMs.

Em meados do século passado, as principais preocupações com linhas de transmissão de energia

estavam relacionadas com aspectos estéticos, bem como potenciais interferências nos sistemas de

rádio e televisão. A partir dos anos 70, os CEMs provocados pelas linhas passaram a ser motivo de

preocupação, devido a uma possível relação entre a incidência de cancro e a exposição a CEM’s.

Estas suspeitas, devido ao interesse que o publico e os meios de comunicação lhe dedicaram,

despertaram a investigação científica que se seguiu. Desde então têm sido publicados inúmeros

artigos científicos e resultados de investigações com esta temática [CARST95].

Um pouco por todo o mundo estão a ser realizados estudos epidemiológicos, os quais serão uma

peça fundamental para determinar se os CEMs são responsáveis por efeitos adversos na saúde.

No entanto, até agora os estudos relacionados com a saúde têm sido inconclusivos, sem que nunca

seja provada uma evidência directa entre a exposição a CEMs e efeitos pejorativos na saúde. Grupos

científicos reconhecidos internacionalmente em [COMAR00]-[CARST95], acreditam que a informação

não é suficiente para concluir que os campos eléctrico ou magnético provenientes das linhas de

transmissão possam causar cancro, anomalias reprodutivas ou de desenvolvimento. Não existem

populações expostas há tempo suficiente que permitam tirar conclusões mais definitivas nesta altura.

No entanto, com base nos conhecimentos científicos actuais, a Comissão Internacional para a

Protecção contra as Radiações Não Ionizantes (ICNIRP) definiu um conjunto de limites básicos de

exposição aos CEMs, tanto para a população em geral como para os trabalhadores que actuam junto

das linhas [ICNIRP98]. Para a população em geral os limites são:

- para a intensidade do campo eléctrico, E < 5 kV/m;

- para a intensidade do campo magnético, H < 80 A/m;

- para a densidade do fluxo magnético, B < 100   .

14

No que respeita aos trabalhadores, são:

- para a intensidade do campo eléctrico, E < 10 kV/m;

- para a intensidade do campo magnético, H < 400 A/m;

- para a densidade do fluxo magnético, B < 500   .

A população exposta ocasionalmente (trabalhadores) consiste em adultos que estão geralmente

expostos em condições que são conhecidas e que são treinados de modo a evitarem o potencial risco

e a tomarem precauções. Por outro lado, o publico em geral, compreende indivíduos de todas as

idades e estado de saúde variável, e pode incluir grupos ou pessoas particularmente susceptíveis.

Em muitos casos, os membros do público não estão cientes ou desconhecem a sua exposição a

campos electromagnéticos.

Estes níveis de exposição são baseados em valores a partir dos quais se verifica a ocorrência de

efeitos nocivos na saúde. Com base nessas normas o Conselho da União Europeia elaborou a

Recomendação nº 1999/519/CE de 12 de Julho, relativa à limitação da exposição da população aos

CEMs (0 Hz – 300 GHz). Em Portugal foi adoptada a Recomendação do Conselho Europeu através

da Portaria nº 1421/2004, de 23 de Novembro. Grande parte dos países da EU, nomeadamente

França, Alemanha, Espanha, Reino Unido, Finlândia e Grécia, adoptaram as orientações da ICNIRP

e da Recomendação da EU, e criaram medidas legislativas. Por outro lado, em países como a Itália e

a Bélgica, foram adoptados níveis de referência mais restritos do que os definidos pela ICNIRP

(recomendação da EU). Noutros países, no que respeita à população em geral, temos a seguinte

situação:

- Nos Estados Unidos, são seguidos os limites da ANSI/IEEE, que são na generalidade

superiores aos da ICNIRP.

- No Canadá, Nova Zelândia e Japão, foram adoptados valores de referência similares aos da

ICNIRP.

- Na Suíça, são seguidos os valores-limite da ICNIRP, com excepção das zonas residenciais,

onde são mais reduzidos.

Tendo em conta esta diversidade de valores adoptados pelos diferentes países, é portanto de prever

que um longo percurso irá ser trilhado no futuro, no sentido de se obter uma clarividência no que

respeita às interacções dos CEMs com a saúde. A publicação de novos resultados conduzirá

provavelmente à revisão dos actuais valores de referência adoptados, e necessariamente, a nova

regulamentação. É de prever que a tendência verificada nestas revisões seja para diminuir valores.

Recentemente (Agosto 2007), foi divulgado um estudo da DGS sobre a exposição da população a

campos electromagnéticos [DGS07], nos quais foram feitas algumas recomendações de destacar:

- Que não se deverão impor condicionantes à operação de sistemas que produzam radiações

não ionizantes sem fundamentos científicos comprovados;

- A necessidade de se definirem procedimentos de medição e de cálculo, para avaliação do

cumprimento dos níveis de referencia e das restrições básicas das emissões provenientes de linhas

de energia, de postos de transformação e de outros equipamentos;

15

- Os projectos de linhas eléctricas de muito alta tensão passem a incluir uma avaliação dos

campos electromagnéticos, nos locais de acesso da população em geral.

À frequência industrial, as componentes do campo eléctrico e magnético comportam-se de forma

independente. A intensidade do campo eléctrico produzida pela linha de transmissão depende

principalmente da tensão da linha, enquanto que o campo magnético tem uma forte dependência da

corrente transportada pela linha. A forma como o campo eléctrico e magnético interagem com o corpo

é, também ela, diferente. Os campos eléctricos de baixa frequência não penetram no corpo de forma

significativa, mas acumulam carga à sua superfície (figura 1.1). Como resultado, as correntes

eléctricas fluem desde a superfície até ao solo (terra) [WHO02]. Os campos magnéticos podem

facilmente penetrar no corpo provocando a circulação de correntes. Estas correntes não se escoam

necessariamente para a terra, podendo, no caso de serem suficientemente intensas, estimular os

nervos e os músculos e afectar outros processos biológicos [WHO02].

Figura 1.1 A – Carga à superfície do corpo originada pelo campo eléctrico. B – O campo magnético

origina um fluxo de correntes que circulam no corpo.

Os efeitos dos campos na saúde caem fora do contexto deste trabalho, no entanto, pelo facto do

campo magnético penetrar no corpo de forma mais significativa, este vai ser estudado de forma mais

aprofundada do que o campo eléctrico. O cálculo rigoroso dos campos eléctrico e magnético

originados por linhas de transmissão de energia afigura-se assim muito importante, bem como

soluções para a sua redução. A redução dos CEMs na vizinhança das linhas de transmissão de

energia constitui assim um desafio de engenharia para desenvolver soluções tecnológicas eficazes

associado com o desafio biomédico de definir, exactamente, quais os campos e que níveis são

prejudiciais à saúde.

16

No que diz respeito a reduzir a exposição aos campos magnéticos, de muito baixa frequência,

originados pelas linhas de transmissão de energia, podem ser feitas inúmeras abordagens:

- aumentar a distancia de segurança das linhas de transmissão;

- aumento da tensão (para a mesma carga, reduz a corrente);

- redução das distancias entre fases, associado a um aumento do número de fases (linhas

compactas);

- reconfigurar a geometria da linha;

- instalar uma malha de mitigação passiva ou activa, junto dos condutores de fase;

- utilizar cabos subterrâneos.

A maior parte destas soluções são consideradas “medidas extremas” ou inviáveis por diversos

motivos, sendo quase sempre o preço o factor decisivo.

Normalmente a primeira abordagem, e mais simples, consiste em aumentar as distâncias entre os

condutores, o que implica expandir o corredor da linha (conhecido pela expressão inglesa right-of-way

ou ROW). Esta solução acarreta diversos problemas, nomeadamente do foro legal. Como é sabido,

uma linha de transmissão, tal como uma linha ferroviária ou uma auto-estrada, possui um corredor

com distâncias específicas, sujeito a direitos de passagem em propriedades privadas. Alterar o

corredor da linha é assim uma tarefa complicada e dispendiosa devido à utilização dos terrenos.

Tendo em conta, que a redução dos valores dos campos é normalmente necessária em zonas

densamente povoadas, na vizinhança de escolas, etc., raramente a expansão do corredor da linha

pode ser aplicada.

Devido às dificuldades em obter novos corredores para linhas de transmissão, as entidades públicas

dos países industrializados, redobram esforços de modo a maximizar a capacidade dos circuitos

existentes utilizando sempre que possível, linhas de duplo circuito, mesmo que um circuito fique em

reserva num estado inicial.

De todos os métodos de mitigação, aquele que conduz a resultados quase nulos do campo

magnético é a utilização de cabos subterrâneos. No entanto esta solução tem um custo

aproximadamente 7 vezes superior à configuração tradicional da linha horizontal em esteira

[WASHI92].

Neste trabalho foi elaborado um programa de cálculo do campo magnético e eléctrico na plataforma

Matlab para diferentes configurações de linhas e que permite considerar a existência de uma malha

de mitigação (em curto-circuito ou com condensador em série) como forma de reduzir o campo

magnético. O programa tem como variáveis de entrada a geometria da linha, as características dos

condutores, a tensão e corrente da linha e a resistividade da terra. As variáveis de saída são as

intensidades do campo magnético, H, do campo eléctrico, E e a densidade do campo magnético, B.

No capítulo 2 é feita a primeira abordagem à linha de transmissão, onde são deduzidas as equações

de propagação da linha. A partir da linha sem perdas são calculados os parâmetros C e L. É obtida a matriz das impedâncias longitudinais Z, através da soma de três parcelas: a matriz dos coeficientes

de indução da linha ideal ;a matriz de correcções devidas ao efeito pelicular nos condutores

17

aéreos; e a matriz de correcções devidas ao efeito pelicular na terra. É descrito o método empírico de

Dubanton no cálculo da matriz de correcções devidas ao efeito pelicular na terra. De seguida é

apresentada a expressão para a geometria da catenária, que traduz a variação da altura linha ao

longo de um vão.

No capítulo 3 é descrito o método de cálculo do campo electromagnético adoptado na realização do

programa. O cálculo do campo magnético implica o conhecimento de todas as correntes do sistema.

A partir da matriz de impedâncias é obtida a fórmula de cálculo das correntes usando como exemplo

uma linha em esteira de circuito simples. Primeiro é obtida a corrente na malha de mitigação, seguida

da corrente nas guardas e posteriormente nas fases geminadas, para as linhas com mais de um

condutor por fase. Calculadas as correntes, é obtida a expressão para o cálculo do campo magnético

B, num ponto genérico, como o somatório das contribuições de todos os condutores da linha.

Finalmente, é descrito o cálculo do campo eléctrico, calculando o vector das cargas nos condutores,

em função das tensões e da matriz dos coeficientes de potencial da linha.

O capítulo 4 é reservado aos resultados de simulação obtidos para diferentes geometrias. Este

capítulo está dividido em duas partes, a primeira reservada à análise do campo magnético e a

segunda ao campo eléctrico. Uma vez que o estudo incidiu, sobretudo, no cálculo do campo

magnético, pelas razões referidas anteriormente, por uma questão de uma maior facilidade de

percepção na análise dos resultados, optou-se por separar a análise do campo magnético e do

campo eléctrico. Para cada um dos campos são analisadas várias geometrias para linhas de circuito

simples e de duplo circuito, usando como caso base, a linha em esteira (circuito simples) e a linha na

vertical (duplo circuito), pelo facto de serem as linhas de transmissão mais usadas em Portugal pela

REN. São estudadas em pormenor as influências da malha de mitigação (em curto-circuito e com

condensador em série) e da geometria da linha nos valores do campo magnético.

Finalmente, de forma idêntica ao estudo do campo magnético, é feita a análise do campo eléctrico.

18

2. Equações da linha de transmissão

2.1 Linha sem perdas

A linha de transmissão sem perdas é constituída por um sistema de condutores metálicos perfeitos,

dispostos sobre a superfície da terra, suposta plana e condutora perfeita. O meio dieléctrico, ar, que

envolve os condutores metálicos também se considera perfeito.

Considerando a linha de transmissão, constituída por um sistema de n condutores de raio

1,… , (figura 2.1).

Considerando um troço do condutor k. Envolvemos agora esse condutor pela superfície fechada S,

que contém o volume V. Da equação da continuidade:

    0                                                                                 2.1

e aplicando o teorema de Gauss, resulta:

.                                                                                2.2   

em que n constitui a normal exterior à superfície S(figura 2.2).

x2x1

h2

2r2

h1

2r1 2rn

x z

y

Figura 2.1 Linha multifilar na presença da terra

19

Temos como contribuições para o integral de superfície,  e ∆ ,respectivamente. A

superfície lateral tem contribuição nula, uma vez que o dieléctrico é perfeito. Ficamos então com,

  ∆ . ∆                                                               2.3

em que representa a carga por unidade de comprimento do condutor k em z, admitindo que ∆

é suficientemente pequeno para considerarmos ρ constante ao longo de ∆ .

Em meio linear, ficaremos com:

                                                                         2.4

tem a dimensão de capacidade por unidade de comprimento.

Substituindo em (2.3) e dividindo por ∆ , teremos então:

∆ ∆                                                         2.5

Com ∆ a tender para zero, obtemos a seguinte equação, que pudemos generalizar como uma

equação matricial para os n condutores da linha:

                                                                                2.6

Vamos considerar agora a lei geral da indução:

    .                                                                        2.7   

vk(z)

z+∆z

S

vk(z+∆z)

z

z

Figura 2.2 Superfície para determinação da variação da corrente ao longo da linha

20

Aplicando (2.7) à circulação s, tendo S como uma superfície que se apoia no caminho de circulação e n uma normal em cada ponto à superfície S, obedecendo à regra de Stokes.

Ficamos assim com a seguinte equação:

∆                                                                   2.8

Considerando novamente que estamos em meio linear:

∆                                                                  2.9

Procedendo de forma análoga à equação (2.5), ficamos com:

∆ ∆                                                           2.10

Obtemos assim, para os n condutores:

                                                                                 2.11

No domínio da frequência as equações da linha são:

 

                                                                            2.12

onde,

   

                                                                          2.13

Cálculo dos parâmetros C e L:

Como o campo electromagnético não penetra condutores perfeitos, as suas fronteiras coincidem com

as superfícies dos condutores aéreos e a terra. Assim a geometria dos condutores, em conjunto com

os parâmetros do dieléctrico ε e µ (ε0 e µ0 para o ar), determinam completamente os coeficientes de

indução externo e de capacidade da linha [NEVES90].

21

Cada carga filiforme e a sua imagem formam um par simétrico – método das imagens (figura 2.3).

Considerando o condutor icom carga qipor unidade de comprimento (figura 2.3), o campo eléctrico

criado pela carga qi e respectiva imagem na terra, é dado por:

, 2 2                                                             2.14

em que é a distancia entre condutores e a distancia entre o condutor e a sua imagem (figura

2.3). e são os vectores directores de e  respectivamente.

A distância entre o ponto (x,y) e o condutor i, foi designada por , sendo a distância do mesmo

ponto à imagem do condutor i.

Para o condutor i e a sua imagem, podemos calcular vi:

2 2                                                         2.15

Ficando assim:

2 2 2

2 2                                                 2.16

Os elementos da diagonal principal da matriz dos coeficientes de potencial P são dados por:

1 2

2                                                                              2.17

(imagem)

 

 

x z

y

(condutor)

Figura 2.3 Linha de transmissão multifilar. Parâmetros geométricos

22

Para :

2 . 1

.                                      

2 . 1

.                                       2.18

Obtém-se:

2 ln                                                    2.19

Os elementos não-diagonais da matriz P, ficam assim:

| 1 2

1 2                                2.20

A matriz C calcula-se, invertendo a matriz dos potenciais P. Vamos agora analisar o campo magnético H, considerando que o condutor i é percorrido pela corrente i e a sua imagem pela corrente -i. Para um ponto (x,y) o campo magnético H, fica:

, 1 2

1 2                                                            2.21

No plano que contêm o condutor i, . O fluxo de B através da superfície

representada na figura 2.2, em relação ao condutor i, é dada por:

∆ 2 2                                               2.22

Daqui obtemos o coeficiente de auto-indução por unidade de comprimento, para os elementos da

diagonal principal da matriz L:

2 2                                                                             2.23

Procedendo de forma semelhante, para o condutor k, ficamos com:

∆ 2 2                    2.24

23

Ficamos assim para os restantes elementos da matriz L:

| 2                                               2.25

2.2 Linha com perdas

No caso de os condutores (metálicos e terra) serem imperfeitos, o campo electromagnético penetra

no seu interior – efeito pelicular – originando quedas de tensão longitudinais. Deste modo, o campo

eléctrico deixa ser transversal ao eixo da linha. A componente longitudinal do campo, dependente da

frequência, é responsável pela distorção e atenuação das ondas durante a propagação.

As equações de propagação (2.12), deixam de ser válidas, no entanto para uma determinada gama

de frequências pode-se desprezar a componente longitudinal da corrente de deslocamento face à

corrente de condução. Assim podem usar as mesmas equações, mas acrescentando-se no cálculo

dos parâmetros da linha os termos correctivos que traduzem a penetração do campo

electromagnético nos condutores.

A matriz das impedâncias longitudinais é considerada como a soma de três parcelas

[BARROS95], [BRAND06]:

∆ ∆                                                     2.26

em que:

 matriz dos coeficientes de indução da linha sem perdas;

matriz de correcções devidas ao efeito pelicular nos condutores aéreos;

matriz de correcções devidas ao efeito pelicular na terra.

Os elementos da matriz das impedâncias que no caso da linha sem perdas são imaginários puros,

passam agora a ter uma parte real, verificando-se assim o efeito de Joule em condutores não-ideais.

A penetração do campo é medida por , designado por profundidade de penetração:

2                                                                              2.27

Analisando a expressão (2.27), concluímos que a profundidade de penetração do campo

electromagnético num meio bom condutor é inversamente proporcional à frequência, daí a

designação adoptada de efeito pelicular.

24

As equações anteriores são aplicáveis a uma qualquer configuração de linha de transmissão de

energia, permitindo calcular a penetração do campo tanto nos condutores aéreos como na terra.

O método empírico de Dubanton baseia-se no método das imagens, mas em que o plano de

potencial nulo está a uma distância complexa da superfície real da terra (figura 2.4), com

1

                                                                              2.28

em que representa a condutividade eléctrica da terra Ω .

As entradas da matriz ∆  são dadas por [BRAND06], [DUBAN69]:

∆ 2                                                                   2.29

A matriz de correcções devidas ao efeito pelicular é uma matriz diagonal, se desprezarmos o efeito

de proximidade entre os condutores, e pode ser determinada usando os resultados da teoria do efeito

pelicular para condutores cilíndricos [BRAND06]. Calcula-se recorrendo a funções de Bessel, no

entanto para as baixas frequências usadas neste trabalho (50Hz) a equação (2.30) é uma boa

aproximação:

∆ 8                                                                     2.30

 

 

 

x z

y

Figura 2.4 Representação do método de Dubanton

25

Geometria da catenária:

Os condutores da linha não estão, em todos os pontos, à mesma altura. Na realidade, descrevem

periodicamente, uma catenária, em que a flecha depende das características individuais da linha e

das condições ambientais. Os efeitos da catenária raramente são tidos em conta na literatura, sendo

muitas vezes assumidos como desprezáveis. No entanto, o efeito da catenária é significativo na

amplitude do campo magnético. A contribuição da catenária torna-se especialmente significativa para

valores da flecha superiores a 10% da altura do condutor no poste [MAMISH96]. Este tipo de análise

tem especial interesse para os casos de exposição profissional, em que as distancias aos condutores

são muito pequenas [ICNIRP98].

Ao longo de um vão (distância entre dois postes) a distância dos condutores da linha ao solo, varia

com . A forma exacta de um condutor suspenso entre dois postes com a mesma altura, pode ser

descrita através dos seguintes parâmetros: distância entre dois postes, ; flecha, ; altura mínima,

(meio-vão) e altura máxima, (altura do poste), como ilustra a figura 2.5.

Assim, no cálculo da matriz de impedâncias longitudinais , vamos ter em conta a variação da altura

da linha ao longo de . A expressão que nos dá a altura de cada condutor ao longo de é [AMIRI06]:

2                                                                2.31

em que os dois postes que delimitam o vão estão colocados em 0 e , (ver figura 2.5), com

1 ,    1, … ,                                                                    2.32

  /20 z

y

 

… 

Figura 2.5 Variação da altura ao longo de um vão. Parâmetros da catenária.

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