Distribuição de Weibull, Notas de estudo de Administração Empresarial
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Distribuição de Weibull

LUIZ CLAUDIO BENCK

KEVIN WONG

TAMARA CANDIDO

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL

CONCEITOS BÁSICOS

APLICAÇÕES

Trabalho apresentado para avaliação na disciplina de Estatística e Métodos Numéricos do Curso de Administração de Empresas da Escola Superior de Engenharia e Gestão - ESEG. Prof. Alexandre Borges

SÃO PAULO

2008

ii

AGRADECIMENTOS

- A Deus pela vida, saúde e pelas oportunidades.

iii

SUMÁRIO

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL – CONCEITOS BÁSICOS .............................................5

PRINCIPAIS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS ...................................................................5

Probabilidade de falhas de um item, num dado intervalo de tempo "t" de operação. .................................... 5Probabilidade a qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo "t"de operação (Confiabilidade). ............................................................................................................................................. 5Tempo Médio Entre falhas (MTTF)................................................................................................................. 5Desvio Padrão................................................................................................................................................. 6Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull................................................................................. 6Observações relativas ao Fator de Forma " β "............................................................................................. 7

WEIBULL - CÁLCULO MATEMÁTICO............................................................................8

MODELO HIPOTÉTICO – BOMBAS EM OPERAÇÃO.....................................................8

I- Cálculos:...................................................................................................................................................... 8II Traço o gráfico da confiabilidade. .............................................................................................................. 8III O custo de manutenção corretiva por intervenção (CCM) é de $600,00 e o custo de manutenção preventiva por intervenção (CPM) é de $250,00. Há um período ótimo para executar a manutenção preventiva? Em caso afirmativo, que período é este? ..................................................................................... 8I-1 Para determinar “ 0t ”, há três métodos: .................................................................................................. 9Para os itens I-2 e I-3.................................................................................................................................... 10I-4 Determinação do coeficiente de correlação (r):...................................................................................... 12I-5 Probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas em operação (t=1350 horas): ........................................................................................................................................................... 13I-6 A confiabilidade em um intervalo do funcionamento de 1400 horas (t=1400 horas): ............................ 13I-7 MTTF (tempo médio sem falha): ............................................................................................................. 13I-8 Desvio Padrão: ........................................................................................................................................ 14I-9 Coeficiente de variação: .......................................................................................................................... 14Item II – Representação gráfica:................................................................................................................... 14III - Intervalo de manutenção preventiva ...................................................................................................... 15

INTRODUÇÃO

O objetivo do presente trabalho é apresentar as principais características da

Distribuição de Weibull, seus parâmetros e aplicações.

Também são desenvolvidos os cálculos relativos a um exemplo hipotético de testes

de falhas em equipamentos de bombeamento.

Devido ao reduzido material para consulta, ou pela sua pouca profundidade,

tomamos por base o excelente material “Weibull Passo a Passo”, disponível em

http://www.qualytek.com.br (em inglês) 1.

5

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL – CONCEITOS BÁSICOS

Expressão semi-empírica desenvolvida por Ernest Hjalmar Wallodi Weibull (1887-

1979), físico sueco, que em 1939 apresentou o modelo de planejamento estatístico sobre

fadiga de material. Sua utilidade decorre do fato de permitir:

• representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil), falhas aleatórias e

falhas devido ao desgaste.

• obter parâmetros significativos da configuração das falhas.

• representação gráfica simples.

Um outro fato importante relacionado a distribuição de Weibull é que na presença de

co-variáveis, tem-se um modelo de riscos proporcionais e de falha acelerada. A distribuição

de Weibull é a única distribuição de probabilidade que pode ser escrita na forma de um

modelo de riscos proporcionais3.

PRINCIPAIS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS

Probabilidade de falhas de um item, num dado intervalo de tempo "t" de operação.

0

0( ) 1 1 exp t t

t t F t e

β β η

β

− −   

  − = − = − −      

F(t)⇒ Função Distribuição cumulativa

Probabilidade a qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo

"t"de operação (Confiabilidade).

0( ) 1 ( ) exp t t

R t F t β

η   − = − = −  

   

Tempo Médio Entre falhas (MTTF)

10 . (1 )TMEF t η β −= + Γ +

6

Desvio Padrão

1 1 2 1 2(1 2 ) (1 )σ η β β− − = Γ + − Γ − 

" Γ " => Símbolo da Função Gama

Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull

• " 0t " => Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca (tempo de operação a

partir do qual o equipamento passa a apresentar falhas, ou seja, intervalo de tempo que o equipamento não apresenta falhas).

• "η " => Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo entre

" 0t " e "t" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto, 36,8% de

itens sem falhar).

• " β " => Fator de Forma (indica a forma da curva e a característica das falhas).

• " β < 1" mortalidade infantil • " β = 1" falhas aleatórias (função exponencial negativa) • " β > 1" falhas por desgaste

O parâmetro β é adimensional, enquanto η está na mesma escala dos dados3.

7

Observações relativas ao Fator de Forma " β "

A escolha apropriada de " 0t ", " β " e "η " na Distribuição de Weibull podem ser

usadas para representar uma larga faixa de distribuições, incluindo tanto distribuições

randômicas (exponencial negativa) quanto distribuições aproximadamente normal.

Embora a experiência tenha mostrado que a distribuição de Weibull possa ser usada

para representar a grande maioria de modelos de falha, é essencial notar que é uma função

semi-empírica, e pode não ser capaz de representar algumas distribuições particulares

encontradas na prática.

Com relação ao Fator de Forma " β ", temos que:

• Se " β = 1" (taxa de falha constante), pode ser uma indicação que modos de

falhas múltiplos estão presentes ou que os dados coletados dos tempos para

falhar são suspeitos. Este é freqüentemente o caso dos sistemas nos quais

diferentes componentes têm diferentes idades, e o tempo individual de

operação dos componentes não estão disponíveis. Uma taxa de falhas

constante pode também indicar que as falhas são provocadas por agentes

externos, tais como: uso inadequado do equipamento ou técnicas inadequadas

de manutenção.

• O modo de falhas por desgaste é caracterizado por " β > 1", mas podem

ocorrer situações nas quais as falhas por desgaste ocorram depois de um

tempo finito livre de falhas, e um valor de " β = 1" é obtido. Isto pode

ocorrer quando uma amostragem contém uma proporção de itens imperfeitos,

acarretando falhas antes de um tempo finito livre de falhas. Os parâmetros da

Distribuição de Weibull dos modos de falhas por desgaste podem ser

deduzidos se forem eliminados os itens imperfeitos e analisados os seus

dados separadamente.

WEIBULL - CÁLCULO MATEMÁTICO

MODELO HIPOTÉTICO – BOMBAS EM OPERAÇÃO

Cem bombas idênticas estão em operação continuamente até falharem. Anotados os

tempos de falha de cada uma, obtemos a seguinte tabela:

Tempo até falhar

(horas) Frequência observada

1000 => 1100 2 1100 => 1200 6 1200 => 1300 16 1300 => 1400 14 1400 => 1500 26 1500 => 1600 22 1600 => 1700 7 1700 => 1800 6 1800 => 1900 1

I- Cálculos:

1. O tempo livre de vida mínima ou da falha intrínseca " 0t "=> da confiabilidade " 0t ".

2. O parâmetro característico da vida ou da escala (η ).

3. O parâmetro da forma ( β ) e falha característica.

4. O coeficiente de correlação ( r ).

5. A probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas.

6. A confiabilidade em um intervalo de funcionamento de 1400 horas.

7. MTTF (tempo médio sem falha).

8. O desvio padrão (σ ).

9. O coeficiente de variação ( /σ µ ).

II Traço o gráfico da confiabilidade.

III O custo de manutenção corretiva por intervenção (CCM) é de $600,00 e o custo

de manutenção preventiva por intervenção (CPM) é de $250,00. Há um período ótimo para

executar a manutenção preventiva? Em caso afirmativo, que período é este?

9

Solução:

Tempo até falhar

(horas) Frequência observada

Freq. Relativa

Freq. Rel. Acumulada

1000 => 1100 2 0,02 0,02 1100 => 1200 6 0,06 0,08 1200 => 1300 16 0,16 0,24 1300 => 1400 14 0,14 0,38 1400 => 1500 26 0,26 0,64 1500 => 1600 22 0,22 0,86 1600 => 1700 7 0,07 0,93 1700 => 1800 6 0,06 0,99 1800 => 1900 1 0,01 1,00

Total 100 1,00

I-1 Para determinar “ 0t ”, há três métodos:

• Pela experimentação;

• Gráfico;

• Simulação computacional;

Experimentação: consiste em selecionar valores arbitrários a “ 0t ”. O valor que

obtiver o melhor coeficiente de correlação, será o mais adequado.

Gráfico: através da utilização do gráfico que representa a Freqüência acumulada e

do uso da fórmula abaixo.

10

Simulação computacional: diversos valores candidatos a “ 0t ” são testados, escolhe-

se o que apresenta o melhor coeficiente de correlação.

Em nosso caso, a melhor opção é “ 0t = 900 horas”.

Para os itens I-2 e I-3

Sabemos que a freqüência cumulativa de falha em uma distribuição de Weibull, é

dada por:

Transformando a função para a forma Y=aX + b, obtemos:

Conseqüentemente, nós podemos construir a seguinte tabela:

t F(t) Y=Ln{-Ln[1-

F(t)]} X=ln(t-to) to=900h

1100 0,02 -3,9019 5,2983 1200 0,08 -2,4843 5,7038 1300 0,24 -1,2930 5,9915 1400 0,38 -0,7381 6,2146 1500 0,64 0,0214 6,3969 1600 0,86 0,6761 6,5511 1700 0,93 0,9780 6,6846 1800 0,99 1,5272 6,8024 1900 1,00 ----- 6,9078

11

Agora, nós podemos aplicar a regressão linear para determinar o “ β ” e o “η ”:

Tabela para facilitar os cálculos

Ord. iY iX 2

iY 2 iX i iX Y

1 -3,9019 5,2983 15,2251 28,0722 -20,6737 2 -2,4843 5,7038 6,1719 32,5331 -14,1701 3 -1,2930 5,9915 1,6719 35,8976 -7,74717 4 -0,7381 6,2146 0,5447 38,6214 -4,58681 5 0,0214 6,3969 0,0005 40,9207 0,137023 6 0,6761 6,5511 0,4571 42,9167 4,428913 7 0,9780 6,6846 0,9566 44,6840 6,53787 8 1,5272 6,8024 2,3323 46,2726 10,38848 Σ -5,2147 49,6432 27,3601 309,9183 -25,6855

Determinação do coeficiente angular ( β ):

1 1 1 2

2

1 1

. . .

.

n n n

i i i i i i i

n n

i i i i

n X Y X Y a

n X X

β = = =

= =

− = =

 −    

∑ ∑ ∑

∑ ∑

2

8( 25,6855) 49,6432( 5.2146)

8(309,9183) (49,6432)

205, 4840 258,8694 53,3854 3,5831

2479,3464 2464,4473 14,8991

β

β

− − −= −

− += = = −

β =3,5831

12

Determinação do coeficiente angular (- β .Lnη ):

1 1 5, 2146 49,6432. . 3,5831. 8 8

0,6518 22,2347

22,8865

n n

i i i i

Y X b Ln a

n n β η = == − = − = −

= − − = −

∑ ∑

Conseqüentemente:

6,3873

. 22,8865

3,5831. 22,8865

22,8865 6,3873

3,5831

Ln

Ln

Ln

e

β η η

η

η

− = − =

= =

=

594, 28n = horas - Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo

entre " 0t " e "t" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto, 36,8% de

itens sem falhar).

I-4 Determinação do coeficiente de correlação (r):

13

I-5 Probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas em

operação (t=1350 horas):

Assim, com t=1350, temos:

I-6 A confiabilidade em um intervalo do funcionamento de 1400 horas (t=1400

horas):

Assim, com t=1400, temos:

I-7 MTTF (tempo médio sem falha):

MTTF = 1435,35 HORAS

14

I-8 Desvio Padrão:

I-9 Coeficiente de variação:

Item II – Representação gráfica:

15

III - Intervalo de manutenção preventiva

Valores:

As seguintes equações serão usadas:

# Existe um tempo finito para executar manutenção preventiva sistematicamente,

quando:

Nós igualmente podemos usar o gráfico abaixo:

# Se a equação acima é verdadeira, o intervalo de tempo ótimo para executar a

manutenção preventiva, é dado por:

16

Entrando com os valores, nós obtemos:

Condição:

Intervalo ótimo:

T=1.257,12 horas

17

CONCLUSÃO

A Distribuição de Weibull tem sido usada extensivamente na engenharia de

confiabilidade como modelo de tempo de falha para componentes e sistema elétricos e

mecânicos4, e também para estimar a sobrevivência humana e de outros mamíferos, pássaros,

rotíferos até insetos5.

Com a escolha apropriada dos parâmetros " 0t ", " β " e "η " da Distribuição de

Weibull, pode-se representar uma larga faixa de distribuições de modelos de falhas, podendo

explicar a sua grande aplicação em vários campos, da engenharia às ciências biológicas.

REFERÊNCIAS

1 http://www.qualytek.com.br Acesso em 08/11/2008. 2 http://www.bobabernethy.com/bios_weibull.htm Acesso em 10/11/2008 3 SILVA, WALDIR S. J. Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança

Assintótico, p-Bootstrap e t-Bootstrap, Para Alguns Parâmetros da Distribui¸cão Weibull. Monografia de Conclusão de Curso – Centro de Ciências Exatas – Universidade Estadual de Maringá . Maringá – PR, 2005.

4 MONTGOMERY, DOUGLAS C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4.

ed.Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004. 5 http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0301-80591997000300005&script=sci_arttext Acesso em 08/11/2008.

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